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Introduction
Théorie des probabilités - science mathématique, qui étudie les modèles mathématiques de phénomènes aléatoires, calcule les probabilités d'apparition de certains événements.
Les bases de la théorie des probabilités sont enseignées dans le programme de mathématiques de chaque école. De plus, les tâches dans cette discipline sont obligatoires fait partie de l'OGE 9e et 11e années.
L’un des domaines d’application les plus importants de la théorie des probabilités est l’économie. Actuellement, il est impossible d'imaginer l'étude et la prévision des phénomènes économiques sans l'utilisation de la modélisation économique, de l'analyse de régression, des modèles de tendance et de lissage et d'autres méthodes basées sur des modèles étudiés dans les cours de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques.
En outre, la théorie des probabilités est largement utilisée dans des domaines tels que les prévisions météorologiques sur une période donnée. Par conséquent, il existe un désir de vérifier pratiquement si cela aidera cette scienceà des fins dont la solution est nécessaire dans Vie courante.
Le but de ce travail est deétudier les caractéristiques de l'application de la théorie des probabilités dans la vie et analyser les données obtenues lors d'une expérience pratique ;
Objectifs de recherche:
Étudier et analyser la littérature nécessaire sur le sujet de recherche ;
Résoudre un certain nombre de problèmes sur la détermination classique des probabilités.
Testez expérimentalement l’utilisation des probabilités dans la vie quotidienne.
Ce travail se compose de deux parties : « Chapitre 1. Partie théorique », « Chapitre 2. Partie expérimentale », dont chacune est divisée en paragraphes distincts.
Objet d'étude : application de la théorie des probabilités dans la vie ;
Sujet d'étude: bases de la théorie des probabilités ;
Les idées probabilistes stimulent aujourd'hui le développement de l'ensemble des connaissances, depuis les sciences de la nature inanimée jusqu'aux sciences de la société. Progrès sciences naturelles modernes indissociable de l’utilisation et du développement d’idées et de méthodes probabilistes. De nos jours, il est difficile de nommer un domaine de recherche dans lequel les méthodes probabilistes ne sont pas utilisées.
Hypothèse de recherche: une étude approfondie de ce sujet nous permettra d'être compétent dans les examens de 9e et 11e années ;
Importance pratique: Le matériel examiné au cours de l'étude enrichit l'expérience de vie avec des méthodes de résolution de problèmes standards et non standard en théorie des probabilités.
Chapitre 1 Partie théorique 1.1 Historique de l'émergence de la théorie des probabilités
Un noble français, un certain Monsieur de Mère, était un joueur de dés et désirait passionnément s'enrichir. Il a passé beaucoup de temps à découvrir le secret des dés. Il a inventé diverses options pour le jeu, en supposant qu'il acquerrait ainsi une grande fortune. Ainsi, par exemple, il a suggéré de lancer un dé 4 fois à tour de rôle et a convaincu son partenaire qu'au moins une fois, un six apparaîtrait. Si un six n'est pas sorti en 4 lancers, alors l'adversaire a gagné.
A cette époque, la branche des mathématiques que nous appelons aujourd'hui théorie des probabilités n'existait pas encore, et donc, afin de s'assurer que ses hypothèses étaient correctes, M. Mere s'est tourné vers son ami, le célèbre mathématicien et philosophe B. Pascal, en lui demandant d'étudier deux questions célèbres, dont il a essayé de résoudre la première lui-même. Les questions étaient :
Combien de fois faut-il lancer deux dés pour que le nombre de fois où deux six sont lancés à la fois soit supérieur à la moitié du nombre total de lancers ?
Comment diviser équitablement l'argent misé par deux joueurs si, pour une raison quelconque, ils arrêtent le jeu prématurément ?
Pascal non seulement s'y est intéressé, mais a également écrit une lettre au célèbre mathématicien P. Fermat, qui l'a incité à étudier les lois générales des dés et la probabilité de gagner.
Ainsi, l’enthousiasme et la soif de s’enrichir ont donné une impulsion à l’émergence d’une nouvelle discipline mathématique extrêmement importante : la théorie des probabilités. Des mathématiciens de l'envergure de Pascal et Fermat, Huygens (1629-1695), auteur du traité « Des calculs dans les jeux de hasard », Jacob Bernoulli (1654-1705), Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855) et Poisson (1781-1840). De nos jours, la théorie des probabilités est utilisée dans presque toutes les branches de la connaissance : statistiques, prévisionnistes (prévisions météorologiques), biologie, économie, technologie, construction, etc.
1.2 Le concept de théorie des probabilités
Théorie des probabilités est la science des modèles d’événements aléatoires. En théorie des probabilités, un événement aléatoire désigne tout phénomène qui peut ou non se produire (de manière aléatoire) lorsqu'un certain ensemble de conditions est rempli. Chacune de ces implémentations est appelée un test, une expérience ou une expérience.
Les événements peuvent être divisés en événements fiables, impossibles et aléatoires.
Fiable Un événement qui est sûr de se produire lors d'un test est appelé. Impossible Un événement dont on sait qu'il ne se produit pas pendant le test est appelé. Aléatoire est un événement qui, à la suite d'une expérience, peut se produire ou ne pas se produire (en fonction de circonstances aléatoires).
Le sujet de la théorie des probabilités sont les modèles d'événements aléatoires de masse, où par masse nous entendons la répétition répétée.
Regardons quelques événements :
l'apparition des armoiries lors du lancement d'une pièce de monnaie ;
l'apparition de trois blasons lorsqu'une pièce de monnaie est lancée trois fois ;
toucher la cible lors du tir ;
gains d'un billet de loterie en espèces.
Évidemment, chacun de ces événements comporte un certain degré de possibilité. Afin de comparer quantitativement les événements entre eux selon le degré de possibilité, il faut associer un certain nombre à chaque événement.
Probabilité de l'événement est une mesure numérique du degré de possibilité objective de cet événement. La probabilité est prise comme unité de mesure de la probabilité événement fiable. La probabilité d'un événement impossible est nulle. La probabilité de tout événement aléatoire est notée P et va de zéro à un : 0 ≤ P ≤ 1.
La probabilité d'un événement aléatoire est le rapport du nombre n d'événements élémentaires équiprobables incompatibles qui composent l'événement au nombre de tous les événements élémentaires possibles N :
L'émergence de la théorie des probabilités en tant que science remonte au Moyen Âge et aux premières tentatives d'analyse mathématique des jeux de hasard (lancer, lancer de dés). Initialement, ses concepts de base n'avaient pas de forme strictement mathématique ; ils pouvaient être traités comme des faits empiriques, comme des propriétés d'événements réels, et ils étaient formulés dans des représentations visuelles.
1.3 Application de la théorie des probabilités dans la vie
Nous utilisons tous la théorie des probabilités à un degré ou à un autre, sur la base de l’analyse d’événements survenus dans nos vies. Nous savons que la mort par accident de voiture est plus probable que par la foudre, car le premier accident arrive malheureusement très souvent. D'une manière ou d'une autre, nous prêtons attention à la probabilité des choses afin de prédire notre comportement. Mais malheureusement, une personne ne peut pas toujours déterminer avec précision la probabilité de certains événements.
Par exemple, sans connaître les statistiques, la plupart des gens ont tendance à penser que le risque de mourir dans un accident d’avion est plus grand que dans un accident de voiture. Nous savons maintenant, après avoir étudié les faits (dont beaucoup, je pense, ont entendu parler), que ce n’est pas du tout le cas. Le fait est que notre « œil » de vie échoue parfois, car le transport aérien semble considérablement plus effrayant pour les gens, habitué à marcher fermement sur le sol. Et la plupart des gens n’utilisent pas très souvent ce type de transport. Même si nous pouvons estimer correctement la probabilité d'un événement, elle est très probablement extrêmement inexacte, ce qui n'a aucun sens, par exemple, dans l'ingénierie spatiale, où les parties par million décident beaucoup. Et lorsque nous avons besoin de précision, vers qui nous tournons-nous ? Bien sûr, aux mathématiques.
Il existe de nombreux exemples d’utilisation réelle de la théorie des probabilités dans la vie. Presque toutes économie moderne est basé sur cela. Lors de la commercialisation d'un certain produit, un entrepreneur compétent prendra certainement en compte les risques, ainsi que la probabilité d'achat sur un marché, un pays, etc. Les courtiers sur les marchés mondiaux ne peuvent pratiquement pas imaginer leur vie sans la théorie des probabilités. Prédire le taux de change de l'argent (ce qui ne peut certainement pas se faire sans la théorie des probabilités) sur les options monétaires ou sur le célèbre marché Forex permet de gagner beaucoup d'argent grâce à cette théorie.
La théorie des probabilités est importante au début de presque toutes les activités, ainsi que sa régulation. En évaluant les chances d'un problème particulier (par exemple, vaisseau spatial), nous savons quels efforts nous devons faire, que vérifier exactement, à quoi nous attendre généralement à des milliers de kilomètres de la Terre. Possibilité d'attentat terroriste dans le métro, crise économique ou guerre nucléaire- tout cela peut être exprimé en pourcentage. Et surtout, prenez les mesures appropriées en fonction des données reçues. Toute activité dans n'importe quel domaine peut être analysée à l'aide de statistiques, calculée à l'aide de la théorie des probabilités et considérablement améliorée.
Chapitre 2 Partie pratique 2.1 La monnaie en théorie des probabilités.
Du point de vue de la théorie des probabilités, une pièce de monnaie n'a que deux faces, l'une étant appelée « face » et l'autre « face ». Une pièce est lancée et atterrit avec une face visible. Aucune autre propriété n'est inhérente à la pièce mathématique.
Faisons une expérience. Pour commencer, prenons une pièce de monnaie en main, lançons-la et notons le résultat de manière séquentielle. Dans notre cas, lancer une pièce de monnaie est un test, et obtenir pile ou face est un événement, c'est-à-dire un résultat possible de notre test (voir Annexe 2).
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N° d'essai |
Événement : pile ou face |
N° d'essai |
Événement : pile ou face |
N° d'essai |
Événement : pile ou face |
Après avoir effectué 100 tests, les têtes sont tombées - 55, les queues - 45. La probabilité que les têtes tombent dans ce cas est de 0,55 ; queues - 0,45. Ainsi, nous avons montré que la théorie des probabilités est valable dans ce cas.
2.2 Résoudre des problèmes de théorie des probabilités dans OGE
La toute première application de la théorie des probabilités qui m'est venue à l'esprit était la résolution de problèmes sur ce sujet inclus dans le prochain examen de mathématiques de 9e année. Il est plus approprié de considérer les problèmes clés de la théorie des probabilités, qui sont au numéro 9 dans l'OGE.
Formules utilisées pour résoudre des problèmes :
P. = , où m est le nombre d'issues favorables, n - nombre total résultats.
Tâche n°1. La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir une « tête » et une « queue » ?
Solution: Lorsque vous lancez une pièce, deux résultats sont possibles : « face » ou « face ». Lorsque l’on lance deux pièces, il y a 4 résultats (2*2=4) : « face » - « face » « face » - « face » « face » - « face » « face » - « face » Un « face » et une « queue » apparaîtra dans deux cas sur quatre. P(A)=2:4=0,5. Répondre: 0,5.
Tâche n°2. La pièce est lancée trois fois. Quelle est la probabilité d’obtenir deux têtes et une queue ?
Solution: En lançant trois pièces, 8 résultats sont possibles (2*2*2=8) : « face » - « face » - « face » « face » - « face » - « face » « face » - « face » - « queues » « têtes » - « têtes » - « queues » « queues » - « queues » - « têtes » « queues » - « têtes » - « têtes » « têtes » - « queues » - « têtes » « têtes » - "face" - "Pile" Deux "pile" et un "pile" apparaîtront dans trois cas sur huit. P(A)=3:8=0,375. Répondre: 0,375.
Tâche n°3. DANS expérience aléatoire Une pièce symétrique est lancée quatre fois. Trouvez la probabilité que vous n’obteniez aucune face.
Solution: Lorsque vous lancez quatre pièces, 16 résultats sont possibles : (2*2*2*2=16) : Résultats favorables - 1 (quatre têtes apparaîtront). P(A)=1:16=0,0625. Répondre: 0,0625.
Tâche n°4. Déterminez la probabilité qu'en lançant un dé, vous obteniez plus de trois points.
Solution: Le total des résultats possibles est de 6. Grands nombres 3 - 4, 5, 6. P(A)= 3:6=0,5. Répondre: 0,5.
Tâche n°5. Un dé est lancé. Trouvez la probabilité d'obtenir un nombre pair de points.
Solution: Le total des résultats possibles est 6. 1, 3, 5 sont des nombres impairs ; 2, 4, 6 sont des nombres pairs. La probabilité d’obtenir un nombre pair de points est de 3 : 6 = 0,5. Répondre: 0,5.
Tâche n°6. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 8 points. Arrondissez le résultat au centième.
Solution: Cette action - lancer deux dés - a un total de 36 résultats possibles, puisque 6² = 36. Résultats favorables : 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 La probabilité d'obtenir huit points est de 5 :36 ≈ 0,14. Répondre: 0,14.
Tâche n°7. Jetez-le deux fois dé. Un total de 6 points ont été obtenus. Trouvez la probabilité que l’un des lancers donne un 5.
Solution: Résultats totaux de 6 points - 5 : 2 et 4 ; 4 et 2 ; 3 et 3 ; 1 et 5 ; 5 et 1. Résultats favorables - 2. P(A)=2:5=0,4. Répondre: 0,4.
Tâche n°8. Il y a 50 tickets à l'examen, Timofey n'en a pas appris 5. Trouvez la probabilité qu'il tombe sur le ticket appris.
Solution: Timofey a appris 45 billets. P(A)=45:50=0,9. Répondre: 0,9.
Tâche n°9. 20 athlètes participent au championnat de gymnastique : 8 de Russie, 7 des États-Unis et le reste de Chine. L'ordre d'exécution est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que l’athlète concourant en premier vienne de Chine.
Solution: Il y a 20 résultats au total. Les résultats favorables sont 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Répondre: 0,25.
Tâche n°10. 4 athlètes français, 5 anglais et 3 italiens sont venus à la compétition de lancer du poids. L'ordre des représentations est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que l’athlète en cinquième position soit italien.
Solution: Le nombre de tous les résultats possibles est 12 (4 + 5 + 3 = 12). Le nombre de résultats favorables est de 3. P(A)=3:12=0,25. Répondre: 0,25 .
2.3 Utilisation pratique théorie des probabilités. Détermination de la température de l'air.
On peut dire avec certitude que chacun de nous s'intéresse aux prévisions météorologiques au moins une fois par jour. Cependant, tout le monde ne sait pas que derrière les chiffres modestes de température et de vitesse du vent se cachent des calculs mathématiques complexes. La météorologie en général et la météorologie prédictive en particulier constituent une sorte de domaine d'incertitude idéal.
Expérience n°1.
Pendant 20 jours, nous avons mesuré la température de l'air extérieur. Calculer la probabilité que le 21 septembre la température de l'air extérieur soit supérieure à +15 0 C (voir annexe 1).
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Date et mois |
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Température de l'air |
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TOTAL : m = 20, n = 9, P = 9 / 20 = 0,45 |
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Conclusion: Après avoir effectué les calculs, nous concluons que puisque la probabilité est inférieure à 0,5, il est fort probable que le 21 septembre, la température de l'air extérieur soit inférieure à 15 0. Ce qui est pratiquement confirmé. Température de l'air le 21 septembre +13 0.
Expérience n°2.
Pendant 15 jours, nous avons mesuré la température de l'air extérieur. Calculer la probabilité que le 7 octobre la température de l'air extérieur soit inférieure à +10 0 C (voir annexe 3).
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Date et mois |
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TOTAL : m = 15, n = 12, P = 12 / 15 = 0,8 |
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Conclusion: Après avoir effectué les calculs, nous concluons que puisque la probabilité est supérieure à 0,8, il est fort probable que le 7 octobre, la température de l'air extérieur sera inférieure à +10 0. Ce qui est pratiquement confirmé. Température de l'air le 7 octobre +7 0 .
Conclusion
Au cours du travail, des informations de base sur l'application de la théorie des probabilités dans la vie ont été étudiées. La capacité de résoudre des problèmes en théorie des probabilités est nécessaire pour chaque personne, puisque la capacité de prédire tel ou tel événement nous permet de réussir dans de nombreux domaines de notre activité.
À l’issue des travaux, il a été révélé :
La théorie des probabilités est une branche majeure de la science mathématique et le champ de ses applications est très diversifié. Après avoir parcouru de nombreux faits de la vie et mené des expériences, en utilisant la théorie des probabilités, vous pouvez prédire des événements se produisant dans diverses sphères de la vie ;
La théorie des probabilités est une science à part entière qui, semble-t-il, n'a pas de place pour les mathématiques - quelles sortes de lois existe-t-il dans le royaume du hasard ? Mais là aussi, la science a découvert des modèles intéressants. Si vous lancez une pièce de monnaie, vous ne pouvez pas dire avec certitude de quel côté elle sera tournée : les armoiries ou le numéro. Mais après tests, il s'avère que lorsque l'expérience est répétée plusieurs fois, la fréquence de l'événement prend des valeurs proches de 0,5.
La théorie des probabilités a de nombreuses applications : pour les prévisions météorologiques, pour l’achat de voitures en bon état, mais aussi pour l’achat d’ampoules en bon état, et bien d’autres choses encore. Nous avons mené deux expériences pour prédire la météo à une certaine date et heure. La théorie des probabilités n’est en effet pas seulement utilisée dans les manuels scolaires, mais peut également trouver des applications dans la vie quotidienne.
En utilisant l'exemple de ce travail, vous pouvez faire plus conclusions générales: éloignez-vous de toutes les loteries, casinos, cartes, jeux de hasard en général. Vous devez toujours réfléchir, évaluer le degré de risque, choisir la meilleure option possible - cela sera utile plus tard dans la vie. Ainsi, l'objectif fixé dans le travail a été atteint, les tâches assignées ont été résolues et les conclusions appropriées ont été tirées.
Bibliographie
1. Borodine A.L. Cours élémentaire de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques / A.L. Borodine. - Saint-Pétersbourg : Lan, 2004.
2. Klentak L.S. Éléments de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques / L.S. Klentak. - Samara : Maison d'édition SSAU, 2013.
3. Mordovitch A.G. Événements. Probabilités. Traitement des données statistiques / A.G. Mordovitch, P.V. Semenov. - M. : Mnémosyne, 2004.
4. Ouvrir le Guichet emplois mathématiques OGE[Ressource électronique] // URL :
http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=5277E3049BBFA50A46567B64CE413F29&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 (consulté le 10/09/2018).
5. Fadeeva L.N. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques/ L.N. Fadeeva, A.V. Lébédev ; édité par Fadeeva. - 2e éd. - M. : Eksmo, 2010. - 496 p.
Candidatures Annexe 1 Annexe 2 Annexe 3
De nombreuses personnes utilisent régulièrement la théorie des probabilités. Les entrepreneurs l'utilisent particulièrement souvent dans leur entreprise. Mais presque personne n’y associe des calculs personnels et des actions réfléchies. La théorie des probabilités dans la vie permet d'éviter de nombreux problèmes, y compris les pertes. La plupart des hommes d’affaires le maîtrisent sur le plan pratique. D’un autre côté, ceux à qui la théorie des probabilités devrait paraître très bien comprise l’ignorent souvent en réalité complètement. À propos, le scientifique israélien Lauréat du Prix Nobel Daniel Kahneman et son ami Amos Tversky ont prouvé expérimentalement que les spécialistes ayant une formation en mathématiques ne comprennent pas vraiment la théorie des probabilités. Ils n'en tiennent pas compte, même dans les cas où des pertes pourraient être évitées ou des avantages pourraient être obtenus. Et ils agissent exactement comme des gens qui ne connaissent pas du tout cette théorie.
Pour votre entreprise (au sens de votre entreprise), la théorie des probabilités est nécessaire. Sa compréhension et son application constante sont l’un des fondements du succès et de l’efficacité du travail.
La théorie des probabilités est simple sans la compliquer
Considérons la théorie des probabilités d'un point de vue très exemples simples. Si nous avons 10 boules numérotées dans une boîte avec des chiffres de 1 à 10, alors la probabilité de tirer une boule avec le numéro 10 est de 10 pour cent. Mais il est plus probable que nous tirerons n’importe quel autre nombre de 1 à 9, plutôt que le plus grand (et non 10), puisque cette probabilité est de 90 pour cent. Tirer la boule avec le numéro le plus élevé parmi 10 000 boules numérotées est déjà trop improbable. Très probablement, nous tirerons n'importe quel autre nombre (pas 10 000). Avec 10 millions de boules, tirer le plus grand nombre (10 000 000) est presque impossible. Le résultat naturel serait de tirer n’importe quel autre nombre, mais pas le plus grand. Les exemples donnés avec des balles nous ont amenés à la loi grands nombres. Ça lit:
Phénomènes probables quand leur nombre est petit, quand leur nombre est grand, ils deviennent naturels, et quand leur nombre est très grand, ils deviennent inévitables.
Dans nos exemples, il est possible de tirer un dix à partir de 10 boules, mais il est plus probable que nous tirerons n'importe quel autre nombre. Mais à mesure que le nombre de boules augmente, la probabilité de ne pas tirer le plus grand nombre augmente de plus en plus et se transforme en un modèle lorsqu'un grand nombre de boules est atteint, et avec leur grand nombre - en une fatalité.
La loi des grands nombres comprend plusieurs dispositions (plusieurs théorèmes). Un mot supplémentaire doit être ajouté à la formulation que vous connaissez déjà :
Avec une augmentation du nombre de phénomènes probables, leurs valeurs moyennes tendent à devenir constantes et, avec un grand nombre, le deviennent pratiquement.
Considérons cette situation en utilisant l'exemple d'une pièce de monnaie. Lorsque vous lancez une pièce 10 fois, elle atterrira pile ou face dans un rapport de 5 contre 5, 6 contre 4 et 3 contre 7... Mais à mesure que le nombre de lancers augmente, ce rapport se rapprochera inexorablement de l'égalité (à constante valeurs moyennes), c'est-à-dire dans un rapport de 50% à 50%. Avec un million de lancers, il est presque impossible d'obtenir ne serait-ce qu'un ratio de 60 à 40 % - ce sera très proche d'un ratio de 50 à 50 %. Certaines personnes pensent que la probabilité d’atterrir sur la même face d’une pièce 100 fois de suite est de 1 %. Et ils se trompent lourdement, car un tel événement est trop improbable : comme une chance sur plusieurs milliards.
Je pense que vous comprenez que la théorie des probabilités est vraiment simple. Ses dispositions depuis sa publication (il y a plusieurs siècles) ont été vérifiées dans presque tous les États grande quantité une fois. Les étudiants y ont particulièrement réussi. En règle générale, les pièces de monnaie étaient utilisées à des fins de vérification. Et tout le monde était convaincu de la coïncidence totale de la théorie et de la pratique.
Application de la théorie des probabilités dans votre entreprise
Lorsque vous évaluez la situation du marché (dans votre niche), lorsque vous travaillez avec des données statistiques, vous devez inévitablement utiliser la théorie des probabilités - en règle générale, à un niveau pratique. Mais c'est mieux si tu utilises cette théorie, je le comprends base théorique. Après tout, c'est vraiment simple. Il est seulement important de comprendre la théorie des probabilités et de l’appliquer consciemment. Et des situations dans lesquelles son utilisation est nécessaire se présentent tout le temps, notamment en entreprise. Par conséquent, rappelez-vous les deux formulations données de la théorie des probabilités. Ils sont surlignés ci-dessus en rouge. Essayez de comprendre leur signification ! C'est vraiment très important pour vous !
Dans le webinaire, nous n'avons pas abordé les sujets « jaunes » comme « comment gagner au casino" Et " Moyen à 100% d'obtenir un million sans inscription ni SMS".
Au contraire, des cas plus graves ont été touchés. Voici le webinaire lui-même :
Par exemple, dans le secteur des statistiques plus d'argent que dans le commerce des armes, de la drogue et des personnes réunis. Un scientifique anglais peu connu du XVIIIe siècle a utilisé des statistiques sur l'espérance de vie (appelées tables actuarielles, compilé par Halley, qui a également découvert la comète de Halley) et a fondé une entreprise qui est aujourd'hui devenue une industrie à part entière, l'entreprise n°1 mondiale. Et vous y participez également tous les jours, consciemment ou non, par exemple lorsque vous vous rendez au travail en voiture.
L'idée d'un appareil mathématique similaire est utilisée en Inde : vous pouvez acheter un ticket à la mafia et prendre les transports en commun gratuitement, et les amendes que vous recevrez seront payées par la mafia. Cela s’appelle « hafta » et cela profite à vous et à la mafia, mais pas à l’État.
Le mécanisme de la loterie est analysé en détail - comment les fonds sont distribués et comment le jeu se joue sur les émotions, lorsqu'un gagnant est montré à la télévision, mais pas des millions de perdants. Cette idée est tirée d’une conférence TED sur les fausses attentes.
Décrit également la découverte loi des grands nombres et son application maintenant.
Et en regardant la carte de la criminalité du pays, vous pouvez facilement constater que dans certaines régions, vous avez 3 fois moins de chances d'être victime d'un crime que dans d'autres. Le terme taux de criminalité lui-même est un terme statistique, une mesure quantitative de la criminalité, et il convient de noter que lorsque cette approche de mesure de la criminalité a été introduite pour la première fois en 1832 en France, elle a semé la confusion en raison de la stabilité des données obtenues.
Autres sujets abordés dans le webinaire :
- comment les chaînes de télévision comme ORT évaluent les audiences des programmes télévisés,
- comment prendre les statistiques au sérieux a contribué à rendre les Japonais miracle économique(et comment cela se reflète dans divers épisodes de Retour vers le futur),
- augmenter la conversion en business et SEO (la conversion elle-même peut être considérée comme une probabilité),
- distribution normale en prenant l'exemple de la longueur du nez, et comment tout ce qui dépasse le 3 sigma devient l'objet de contes de fées et d'informations télévisées,
- Comment Google Translate utilise des statistiques pour déterminer la langue du texte.
À propos, l'annonce du webinaire a utilisé le fait suivant : en mai 2015, la Russie a perdu le contrôle de vaisseau spatial"Progrès". Comment calculer si l'appareil tombera sur terre (ou sur un pays spécifique). Pouvez-vous donner une réponse ? Il s’agit à notre avis d’un excellent exemple pour illustrer approche géométrique pour calculer des probabilités.
Vous pouvez aider et transférer des fonds pour le développement du site
Développement méthodologique leçon
« La théorie des probabilités dans la vie».
Matière : mathématiques
Enseignant : Rakitskaya V.N.
Introduction
Plan de cours
Méthodologie de conduite de la leçon
2.1.Moment organisationnel
2.2.Explication du nouveau matériel
2.3.Fixation
2.4. Devoirs
2.5. Résumer. Notes des cours
Conclusion
Introduction .
Sujet : « La théorie des probabilités dans la vie » est l'un des sujets importants de la section « Théorie des probabilités ».
Afin d'atteindre mes objectifs, j'ai choisi un cours de colloque. Les formes de visualisation dans cette leçon sont choisies pour être celles qui non seulement complètent les informations consciencieuses de l’enseignant, mais agissent également elles-mêmes comme des informations significatives.
Développement méthodologique pour la conduite d'un cours - colloque utilisant diverses méthodes apprendre à chaque étape de la leçon contribuera à améliorer le processus d’apprentissage.
JE. Plan de cours
Dans la discipline "Mathématiques"Spécialité 080302 « Commerce » pour les étudiants de 2ème année groupe K
La date du :
Sujet: "La théorie des probabilités dans nos vies"
Épigraphe leçon : "Peut Et besoin de Pour Tâches prendre exemples depuis environnant
vie"
Objectifs:
1. Approfondir et systématiser les connaissances sur le thème « Théorie des probabilités ennotre vie"
2. Continuer à développer la capacité d’agir de manière indépendante,planifier et mettre en œuvre ses activités, contrôler etmaîtrise de soi.
3. Continuer à développer le désir d’assimilation profondela matière étudiée.
Temps: 1 heure
Type de cours : Combiné
Pendant les cours
Méthodes d'enseignement
je. Temps d’organisation :1. Salutation mutuelle
2.Vérification de la composition des étudiants
Conversation
II. Fixer des buts et des objectifs
III. Généralisation et systématisation Matériel pédagogique:
1.Rapports
2. Résoudre les problèmes :
a) à la définition classique
b)à la formule de Bernoulli
Une histoire avec des éléments de conversation
Résolution de problème
IV.Devoirs
Essai sur le thème : « Théorie
V.Résumé de la leçon
2. Méthodologie de conduite de la leçon .
2.1. Moment organisationnel et psychologique. Motivation.
2.1.1. Communiquer le sujet et les objectifs de la leçon.
Le professeur accueille les élèves. Il dit qu'aujourd'hui, ilsfamiliarisons-nouscconcepts de base de la théorie des probabilités et examinera dans quels domaines la théorie des probabilités est appliquée.
2.1.2.Message :La théorie des probabilités dans la vie(référence historique).
En tant que science, la théorie des probabilités est née au XVIIe siècle. L'émergence du concept de probabilité est associée à la fois aux besoins de l'assurance, qui se généralisent à l'époque où les relations commerciales et voyage en mer, et dans le cadre des demandes de jeux de hasard. Le mot « excitation », qui signifie généralement forte passion, ferveur, est une transcription du mot françaisdanger, signifiant littéralement « cas », « risque ». Les jeux de hasard sont des jeux (cartes, dominos, etc.) dans lesquels les gains dépendent principalement non pas de l’habileté du joueur, mais du hasard. Le risque, qui joue un rôle important dans ces jeux, entraîne les participants dans un état extraordinaire de passion et d'ardeur intense. Le jeu était pratiqué à cette époque principalement parmi la noblesse, les seigneurs féodaux et les nobles.
2.2. Explication du nouveau matériel.
Ce sujet a large éventail liens interdisciplinaires : médecine, jeux de hasard, industrie, mécanique et autres sciences.
Considérons des problèmes en utilisant la définition classique des probabilités
Tâches:
№1
Il y a 52 cartes dans le jeu, elles sont mélangées et la 3ème carte est retirée au hasard.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3, 7, As ?
Répondre: P(A)=0,0029 n°2
La carte Sportloto contient 36 numéros. Le tirage comporte 5 numéros. Quelle est la probabilité que 4 nombres soient devinés correctement ?
Répondre: P(A)=0,00041
2) De nombreux événements se produisent autour de nous, dont l'issue est impossible à prédire à l'avance. Par exemple, lorsque l’on lance une pièce de monnaie, on ne sait pas de quel côté elle va tomber. En tirant le même type d’obus sans changer la visée du canon, il est impossible de toucher le même point. En effectuant des mesures répétées de haute précision, par exemple la vitesse de la lumière ou de très grandes distances, on obtient généralement des résultats à peu près égaux mais différents. Il n'est pas possible de prédire avec une précision absolue à la fois le volume des ventes de biens sur une période de temps déterminée et le montant des revenus tirés de la vente de ces derniers.
Toutes ces expériences sont réalisées dans les mêmes conditions, mais leurs résultats sont différents et imprévisibles. De telles expériences et résultats sont appelésaléatoire.
Des exemples d'événements aléatoires sont : les ratios de taux de change ; les retours de stock; prix des produits vendus ; le coût de réalisation de grands projets ; espérance de vie humaine; Mouvement brownien des particules, résultat de leurs collisions mutuelles, et bien plus encore. Le hasard et la nécessité de consolider les efforts de lutte contre les éléments (nature, marché, etc.), ou plutôt de créer des structures pour compenser les dommages inattendus grâce aux contributions de tous les participants, ont donné naissance à la théorie et aux institutions de l'assurance. Dans le même temps, il est intuitivement clair que les phénomènes aléatoires se produisant même avec des objets du même type peuvent être qualitativement différents les uns des autres.
Par exemple, l'espérance de vie en différents pays et à différentes époques, ils peuvent être fondamentalement différents les uns des autres. Les gens primitifs a vécu environ 30 à 40 ans, même en Russie pendant dernières années il subit des changements importants, alors
a augmenté jusqu'à 70 ans, puis a commencé à diminuer de manière significative ; de plus, il diffère de 10 à 15 ans pour les hommes et les femmes.
Il ne serait pas raisonnable de penser que certains anciens commandants, comme Alexandre le Grand ou Dmitri Donskoï, se préparaient au combat uniquement sur la valeur et l'art des guerriers. Sans aucun doute, sur la base des observations et de l'expérience des dirigeants militaires, ils étaient capables d'évaluer d'une manière ou d'une autre la probabilité de leur retour avec un bouclier ou sur un bouclier, ils savaient quand accepter la bataille et quand l'éviter. Ils n’étaient pas esclaves du hasard, mais en même temps ils étaient encore très loin de la théorie des probabilités. Plus tard, avec l’expérience, les gens ont commencé à peser de plus en plus les événements aléatoires et à classer leurs résultats comme impossibles, possibles et fiables.
La théorie des probabilités est souvent appelée la « science du hasard ». À l'aide de nombreux exemples, on peut être convaincu que les phénomènes aléatoires de masse ont également leurs propres modèles, dont la connaissance peut être utilisée avec succès dans activités pratiques personne. Par exemple : les montants reçus de la vente de biens sur le marché sont en grande partie dictés par le hasard - de la demande effective de la population au comportement des concurrents et à la capacité d'attirer des clients.
Problèmes sur la détermination classique des probabilités.
№1
L'étudiant connaît les réponses à 20 questions théoriques sur 30 et peut résoudre 30 problèmes sur 50 proposés lors de l'épreuve. Quelle est la probabilité qu’un étudiant réponde entièrement à un ticket composé de deux questions théoriques et d’un problème ?
Répondre: P(A)=0,23
№2
Dans un lot de 50 produits, 10 sont défectueux. 5 produits ont été sélectionnés pour un contrôle aléatoire.
Quelle est la probabilité que 2 des produits sélectionnés soient défectueux ?
Répondre: P(A)= 0,21
Le développement de la théorie des probabilités a été influencé par les besoins plus sérieux de la science et les exigences de la pratique, principalement du secteur des assurances, qui a débuté dans certains pays au 14e siècle. Aux XVIe et XVIIe siècles, la création de compagnies d'assurance et d'assurance incendie des navires s'est répandue dans de nombreux pays européens. Le jeu n’était qu’un modèle pratique permettant aux scientifiques de résoudre des problèmes et d’analyser les concepts de la théorie des probabilités.
Au début du XVIIIe siècle, Jacob Bernoulli, développant les idées de Huygens, développe dans son livre « L'art des propositions », publié à titre posthume en 1713, les fondements de la combinatoire comme appareil de calcul des probabilités - le « théorème de Bernoulli », qui constitue un cas particulier important de la « loi des grands nombres », ouverte au milieu du siècle dernier par P.L. Chebyshev. Grâce au théorème de Bernoulli, la théorie des probabilités s'est étendue bien au-delà des questions de jeu et est désormais utilisée dans de nombreux domaines. Vie pratique et l'activité humaine.
Problèmes d'utilisation de la formule de Jacob Bernoulli.
№1
La probabilité qu'un échantillon de béton résiste à la charge standard est de 0,9.
Quelle est la probabilité que sur 7 échantillons, exactement 5 réussissent le test ? Réponse : R 7 ,5=0,124
№2
La probabilité de contracter la grippe lors d'une épidémie est de 0,4. Quelle est la probabilité que sur 6 salariés de l’entreprise, exactement 4 tombent malades ? Répondre: Rb,4= 0,138
№3
Déterminez la probabilité que dans une famille de 5 enfants, il y ait Zdevochki et 2 garçons.
La probabilité d’avoir un garçon et une fille est supposée être la même. Répondre: PS,3= 0,31
Alors pLe développement des sciences naturelles et de la technologie des mesures précises, de la science militaire et de la théorie du tir qui y est associée, de la doctrine des molécules et de la théorie cinétique des gaz ont posé de plus en plus de nouveaux problèmes issus de la théorie des probabilités aux scientifiques de la fin du XVIIIe et du début du XVIIIe siècle. 19èmes siècles. L'un d'eux était le développement de la théorie des erreurs de mesure. De nombreux mathématiciens ont travaillé sur ce problème, notamment Cotes, Simpson, Lagrange et Laplace.
À l’heure actuelle, la théorie des probabilités continue de se développer en contact étroit avec le développement de la technologie et de diverses branches des mathématiques théoriques et appliquées modernes.
Devoirs: Essai sur le thème : « Théorieprobabilités dans nos vies" oucomposer des problèmes sur l'application de la théorie des probabilités dans la vie
Résumer . Notes de cours.
Conclusion
Cette technique diriger une leçon de colloque aide à mettre en œuvre les objectifsbuts et objectifs:
Vacciner attitude positiveà la connaissance;
Développer le contrôle et la maîtrise de soi ;
Résumer et systématiser les connaissances dans la section « La théorie des probabilités dans la vie »
Traiter les compétences informatiques lors de la résolution de problèmes ;
Activer l'activité mentale tout au long de la leçon ;
Susciter l'intérêt pour la discipline;
Reconstituez votre vocabulaire.
Les caractéristiques les plus importantes des distributions de probabilité en finance
Introduction 3
Approches de base pour définir la théorie des probabilités 4
Règles de base de la théorie des probabilités 5
Variables aléatoires discrètes et continues 7
Conclusion 9
Références 10
Introduction
La probabilité est une mesure selon laquelle un événement aléatoire se produira. La probabilité peut prendre des valeurs de O ( événement impossible) oui 1 (événement fiable). Les distributions de probabilité sont un modèle mathématique de la probabilité d'occurrence d'événements aléatoires.
La théorie des probabilités joue un rôle important en finance car dans presque tous les cas, les résultats des décisions financières sont incertains.
Le but de ce travail est de vous familiariser avec les bases de la théorie des probabilités, puis nous nous familiariserons avec les règles de calcul des probabilités, ainsi que de mettre en évidence plusieurs distributions de probabilité et des exemples de leur utilisation.
Approches de base pour définir la théorie des probabilités
Approche classique ou a priori des probabilités
Cette approche est utilisée lorsque les résultats incertains possibles sont connus et également probables. En utilisant une logique simple, vous pouvez déterminer la probabilité de chaque résultat.
Approche empirique
Cependant, en finance, comme dans de nombreux autres domaines, on ne peut pas toujours se fier à l’exactitude du processus de détermination des probabilités.
Cette approche analyse les informations historiques pour déterminer la probabilité que des événements futurs se produisent.
De plus, cette approche permet, sur la base de données historiques, de faire des hypothèses concernant la distribution de probabilité du rendement futur des actifs. La probabilité d'occurrence d'un événement a une valeur de 0 à 1 et la somme des probabilités de tous les événements doit être égale à un.
Approche subjective
Il existe également une troisième approche de la théorie des probabilités, connue sous le nom d’approche subjective. Selon cette approche, la probabilité est définie comme le degré de confiance dans la survenance d’un événement.
La probabilité subjective est utilisée pour résoudre de nombreux problèmes en entreprise, où la probabilité ne peut pas être dérivée à l'aide de la logique, ou où les données empiriques sur la base desquelles la probabilité peut être estimée sont insuffisantes. Par exemple, la probabilité subjective est incluse dans les prévisions d’un analyste en investissement concernant les bénéfices d’une entreprise. Il est également utilisé dans certaines méthodes de calcul du retour attendu sur investissement.Ces deux approches sont les plus courantes et les plus fréquemment rencontrées.
Règles de base de la théorie des probabilités
Quelle que soit l’approche adoptée en théorie des probabilités, plusieurs règles formelles s’appliquent. L'applicabilité de chacune des règles dépend : 1) du fait qu'il s'agisse d'un événement distinct, auquel cas les résultats se rapportent uniquement à cet événement ;
2) sommes-nous confrontés à une combinaison de plusieurs événements, par exemple des évolutions des indices FTSE 100 et S&P 500 ;
3) si les événements conjoints sont indépendants ou mutuellement exclusifs.
Ces règles sont des règles pour additionner et multiplier des probabilités.
La règle d’addition s’applique lorsque l’on veut connaître la probabilité qu’un événement A ou B se produise, et si l’on veut savoir si les événements A et B s’excluent mutuellement.
La règle de multiplication est utilisée pour trouver la probabilité d'apparition simultanée des événements A et B. Dans ce cas, il faut également savoir si les événements A et B sont indépendants l'un de l'autre.
La règle d'addition s'appliquait à des événements mutuellement exclusifs.
Règle d'ajout pour les événements mutuellement non exclusifs:
Si les résultats des tests ne s’excluent pas mutuellement, alors règle générale addition de probabilités, qui peuvent être représentées sous forme générale :
L’explication de cette règle est que certains événements pourraient conduire au résultat A, d’autres au résultat B et d’autres encore à A et B, puisque A et B ne s’excluent pas mutuellement. Ainsi, si nous voulons connaître la probabilité que A ou B se produise, nous devons soustraire de la somme les résultats qui aboutissent à A et B en même temps, car sinon l'intersection sera comptée deux fois - une fois dans le cadre de A et une fois dans le cadre de B.
Règle de multiplication d'événements indépendants:
Deux événements sont considérés comme indépendants en théorie des probabilités si la survenance de l’événement A n’affecte en rien la probabilité de survenance de l’événement B. Ainsi,
Deux variables sont considérées comme indépendantes si elles covarient entre elles. égal à zéro. Par exemple, si deux indices boursiers ne s’affectent pas par leurs variations, alors leur covariance est nulle et, par conséquent, ils sont indépendants. Il convient toutefois de noter que la covariance entre les principaux indices est généralement différente de zéro.
Règle de multiplication appliquée aux événements dépendants. Si les événements ne sont pas indépendants, alors la probabilité d'occurrence de A et B est déterminée par le produit des probabilités d'occurrence de l'événement A (РХА)) et la probabilité conditionnelle d'occurrence de l'événement B, sous réserve de l'occurrence de A.
Variables aléatoires discrètes et continues
Une variable aléatoire est une variable dont le comportement est incertain. Et comme le comportement est incertain, on ne peut attribuer des probabilités qu'aux valeurs possibles de ces variables. Ainsi, une variable aléatoire est définie par sa distribution de probabilités et de résultats possibles.
Variables aléatoires discrètes sont ceux qui ont un nombre fini de résultats possibles.
Des exemples de distributions discrètes sont les distributions binomiales et trinomiales. Lancer une pièce de monnaie entraîne une distribution binomiale des résultats, car le résultat peut être face ou face. Les prix des actifs peuvent baisser, augmenter ou rester inchangés, ce qui entraîne une distribution trinomiale puisqu’il peut y avoir trois types de résultats : une hausse, une baisse et aucun changement.
Variables aléatoires continues- ce sont des variables aléatoires qui peuvent prendre une infinité de valeurs. Par exemple, vitesse, temps, distance, retour sur actifs. L'unité de mesure ici peut représenter une quantité infinitésimale. Par exemple, considérons le revenu d’un titre. Le nombre de valeurs de rendement possibles peut être infiniment grand. Par exemple, changer le prix d'un actif de 105 unités à 109 donnera un rendement égal à 3,8 % ou 3,81 % ou 3,8095 % selon le nombre de décimales que nous autorisons lors de la mesure du rendement. Dans ces circonstances, il ne sert à rien d'essayer de trouver la probabilité d'une valeur de rendement égale, disons, à 3,81 %. Il est logique de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans un certain intervalle, par exemple entre 3,81 % et 3,82 %.
Ce sont ces quantités qui sont les plus importantes lors de l’étude de la théorie des probabilités en finance.
Conclusion
Ainsi, de tout ce qui précède, nous pouvons conclure que la distribution de probabilité en science financière est très importante et nécessaire, car c'est avec son aide que l'on peut calculer la probabilité de survenance d'un événement financier particulier.
Bibliographie
Borovkov, A. A. « Théorie des probabilités », M. : Nauka, 1986.
Kolmogorov, A. N. « Concepts de base de la théorie des probabilités », M. : Nauka, 1974.
Matskevich I. P., Svirid G. P. « Mathématiques supérieures. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques », Mn. : Vysh. école, 1993.
Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. « Théorie des probabilités », - M. : Nauka, 1967.
Shiryaev, A. N. « Probabilités », Science. M. : 1989.
