Sections: Mathématiques

Classe: 11

Leçon 1

Sujet: 11e année (préparation à l'examen d'État unifié)

Simplifier les expressions trigonométriques.

La solution la plus simple équations trigonométriques. (2 heures)

Objectifs:

• Systématiser, généraliser, élargir les connaissances et les compétences des élèves liées à l'utilisation de formules trigonométriques et à la résolution d'équations trigonométriques simples.

Matériel pour le cours :

Structure de la leçon :

1. Moment d'organisation
2. Tests sur ordinateurs portables. La discussion des résultats.
3. Simplifier les expressions trigonométriques
4. Résoudre des équations trigonométriques simples
5. Travail indépendant.
6. Résumé de la leçon. Explication du devoir à faire.

1. Moment organisationnel. (2 minutes.)

L'enseignant accueille le public, annonce le sujet de la leçon, lui rappelle qu'il lui a été confié auparavant la tâche de répéter des formules trigonométriques et prépare les élèves aux tests.

2. Tests. (15 min + 3 min d'échange)

Le but est de tester les connaissances formules trigonométriques et la capacité de les appliquer. Chaque étudiant dispose d'un ordinateur portable sur son bureau avec une version du test.

Il peut y avoir un certain nombre d'options, je vais en donner un exemple :

Je choisis.

Simplifiez les expressions :

a) identités trigonométriques de base

1. péché 2 3 ans + cos 2 3 ans + 1 ;

b) formules d'addition

3. sin5x - sin3x ;

c) convertir un produit en une somme

6. 2sin8y cos3y;

d) formules à double angle

7. 2sin5x cos5x ;

e) formules pour les demi-angles

f) formules triple angle

g) substitution universelle

h) réduction de degré

16. cos2 (3x/7) ;

Les élèves voient leurs réponses sur l'ordinateur portable à côté de chaque formule.

Le travail est instantanément vérifié par l'ordinateur. Les résultats sont affichés sur un grand écran à la vue de tous.

De plus, une fois le travail terminé, les bonnes réponses sont affichées sur les ordinateurs portables des étudiants. Chaque élève voit où l'erreur a été commise et quelles formules il doit répéter.

3. Simplification des expressions trigonométriques. (25 minutes)

L'objectif est de répéter, pratiquer et consolider l'utilisation des formules trigonométriques de base. Résoudre les problèmes B7 de l'examen d'État unifié.

Sur à ce stade Il est conseillé de diviser la classe en groupes d'élèves forts (travaillant de manière indépendante avec des tests ultérieurs) et d'élèves faibles qui travaillent avec l'enseignant.

Devoir pour étudiants forts (préparé à l'avance sur une base imprimée). L'accent principal est mis sur les formules de réduction et de double angle, selon l'examen d'État unifié 2011.

Simplifier les expressions (pour les étudiants forts) :

Parallèlement, l’enseignant travaille avec des élèves faibles, discutant et résolvant des tâches à l’écran sous la dictée des élèves.

Calculer:

5) péché(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Simplifier:

Il était temps de discuter des résultats du travail du groupe fort.

Les réponses apparaissent à l'écran, et également, à l'aide d'une caméra vidéo, les travaux de 5 étudiants différents sont affichés (une tâche pour chacun).

Le groupe faible voit la condition et la méthode de solution. Des discussions et des analyses sont en cours. En utilisant moyens techniquesça arrive vite.

4. Résoudre des équations trigonométriques simples. (30 minutes.)

Le but est de répéter, systématiser et généraliser la solution des équations trigonométriques les plus simples et d'écrire leurs racines. Solution du problème B3.

Toute équation trigonométrique, quelle que soit la manière dont nous la résolvons, mène à la plus simple.

En accomplissant cette tâche, les élèves doivent prêter attention à l’écriture des racines des équations de cas particuliers et de forme générale et à la sélection des racines dans la dernière équation.

Résoudre des équations :

Notez la plus petite racine positive comme réponse.

5. Travail indépendant (10 min.)

L'objectif est de tester les compétences acquises, d'identifier les problèmes, les erreurs et les moyens de les éliminer.

Un travail à plusieurs niveaux est proposé au choix de l'étudiant.

Option "3"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Simplifiez l'expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Résoudre l'équation

Option pour "4"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Résoudre l'équation Notez la plus petite racine positive de votre réponse.

Option "5"

1) Trouver tanα si

2) Trouvez la racine de l'équation Notez la plus petite racine positive comme réponse.

6. Résumé de la leçon (5 min.)

L'enseignant résume le fait que pendant la leçon, ils ont répété et renforcé les formules trigonométriques et résolu les équations trigonométriques les plus simples.

Ensemble devoirs(préparé sur une base imprimée à l'avance) avec un contrôle ponctuel au prochain cours.

Résoudre des équations :

9)

10) Dans votre réponse, indiquez la plus petite racine positive.

Leçon 2

Sujet: 11e année (préparation à l'examen d'État unifié)

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques. Sélection des racines. (2 heures)

Objectifs:

• Généraliser et systématiser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de divers types.
• Favoriser le développement de la pensée mathématique des élèves, de leur capacité à observer, comparer, généraliser et classer.
• Encouragez les élèves à surmonter les difficultés du processus d'activité mentale, à la maîtrise de soi et à l'introspection de leurs activités.

Matériel pour le cours : KRMu, des ordinateurs portables pour chaque étudiant.

Structure de la leçon :

1. Moment d'organisation
2. Discussion sur d/z et soi-même. travail du dernier cours
3. Revue des méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
4. Résoudre des équations trigonométriques
5. Sélection de racines dans les équations trigonométriques.
6. Travail indépendant.
7. Résumé de la leçon. Devoirs.

1. Moment d'organisation (2 min.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet du cours et le plan de travail.

2. a) Analyse des devoirs (5 min.)

Le but est de vérifier l’exécution. Une œuvre est affichée à l'écran à l'aide d'une caméra vidéo, les autres sont collectées sélectivement pour être vérifiées par l'enseignant.

b) Analyse du travail indépendant (3 min.)

L’objectif est d’analyser les erreurs et d’indiquer les moyens de les surmonter.

Les réponses et les solutions sont affichées à l'écran, les élèves voient leur travail distribué à l'avance. L'analyse se déroule rapidement.

3. Revue des méthodes de résolution d'équations trigonométriques (5 min.)

L'objectif est de rappeler les méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Demandez aux élèves quelles méthodes de résolution d’équations trigonométriques ils connaissent. Insistez sur le fait qu'il existe des méthodes dites de base (fréquemment utilisées) :

• remplacement variable,
• factorisation,
• équations homogènes,

et il existe des méthodes appliquées :

• utiliser les formules pour convertir une somme en produit et un produit en somme,
• selon les formules de réduction du degré,
• substitution trigonométrique universelle
• introduction d'un angle auxiliaire,
• multiplication par une fonction trigonométrique.

Il convient également de rappeler qu’une même équation peut être résolue de différentes manières.

4. Résolution d'équations trigonométriques (30 min.)

L'objectif est de généraliser et de consolider les connaissances et compétences sur ce sujet, pour préparer la solution C1 de l'Examen d'État unifié.

Je considère qu'il est conseillé de résoudre les équations pour chaque méthode avec les étudiants.

L'élève dicte la solution, l'enseignant l'écrit sur la tablette et l'ensemble du processus s'affiche à l'écran. Cela vous permettra de rappeler rapidement et efficacement les éléments précédemment abordés dans votre mémoire.

Résoudre des équations :

1) remplacer la variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisation 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) équations homogènes sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertir la somme en un produit cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertir le produit en la somme 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) réduction du degré sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substitution trigonométrique universelle sinx + 5cosx + 5 = 0.

Lors de la résolution de cette équation, il convient de noter que l'utilisation de cette méthode conduit à un rétrécissement de la plage de définition, puisque le sinus et le cosinus sont remplacés par tg(x/2). Par conséquent, avant d'écrire la réponse, vous devez vérifier si les nombres de l'ensemble π + 2πn, n Z sont des chevaux de cette équation.

8) introduction d'un angle auxiliaire √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplication par une fonction trigonométrique cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Sélection des racines des équations trigonométriques (20 min.)

Étant donné que dans des conditions de concurrence féroce lors de l'entrée à l'université, résoudre à lui seul la première partie de l'examen ne suffit pas, la plupart des étudiants doivent prêter attention aux tâches de la deuxième partie (C1, C2, C3).

Par conséquent, le but de cette étape de la leçon est de mémoriser le matériel précédemment étudié et de se préparer à résoudre le problème C1 de l'examen d'État unifié 2011.

Il existe des équations trigonométriques dans lesquelles vous devez sélectionner des racines lors de la rédaction de la réponse. Cela est dû à certaines restrictions, par exemple : le dénominateur de la fraction n'est pas égal à zéro, l'expression sous la racine paire est non négative, l'expression sous le signe du logarithme est positive, etc.

De telles équations sont considérées comme des équations de complexité accrue et, dans version de l'examen d'État unifié sont dans la deuxième partie, à savoir C1.

Résous l'équation:

Une fraction est égale à zéro si alors en utilisant cercle unitaire sélectionnons les racines (voir Figure 1)

Image 1.

on obtient x = π + 2πn, n Z

Réponse : π + 2πn, n Z

Sur l'écran, la sélection des racines est représentée sur un cercle dans une image couleur.

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro, et l'arc ne perd pas son sens. Alors

A l'aide du cercle unité, on sélectionne les racines (voir Figure 2)

DANS transformations identitaires expressions trigonométriques les techniques algébriques suivantes peuvent être utilisées : addition et soustraction de termes identiques ; mettre le facteur commun entre parenthèses ; multiplication et division par la même quantité ; application de formules de multiplication abrégées ; sélectionner un carré complet ; factoriser un trinôme quadratique ; introduction de nouvelles variables pour simplifier les transformations.

Lors de la conversion d'expressions trigonométriques contenant des fractions, vous pouvez utiliser les propriétés de proportion, réduire des fractions ou convertir des fractions en dénominateur commun. De plus, vous pouvez utiliser la sélection de la partie entière de la fraction, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le même montant, et aussi, si possible, prendre en compte l'homogénéité du numérateur ou du dénominateur. Si nécessaire, vous pouvez représenter une fraction comme la somme ou la différence de plusieurs fractions plus simples.

De plus, lors de l'application de toutes les méthodes nécessaires à la conversion d'expressions trigonométriques, il est nécessaire de constamment prendre en compte la plage de valeurs admissibles des expressions converties.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1.

Calculer A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ péché (3π/2 – x) péché (2x –5π/2))2

Solution.

Des formules de réduction, il résulte :

péché (2x – π) = -sin 2x ; cos (3π – x) = -cos x ;

péché (2x – 9π/2) = -cos 2x ; cos (x + π/2) = -sin x ;

cos (x – π/2) = péché x ; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x ;

péché (3π/2 – x) = -cos x ; péché (2x – 5π/2) = -cos 2x.

D'où, grâce aux formules d'addition d'arguments et à l'identité trigonométrique principale, on obtient

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= péché 2 3x + cos 2 3x = 1

Réponse 1.

Exemple 2.

Convertissez l'expression M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ en un produit.

Solution.

À partir des formules d'ajout d'arguments et des formules de conversion de la somme des fonctions trigonométriques en produit après regroupement approprié, nous avons

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + y)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Réponse : M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Exemple 3.

Montrer que l’expression A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) prend un pour tout x de R et le même sens. Trouvez cette valeur.

Solution.

Voici deux façons de résoudre ce problème. En appliquant la première méthode, en isolant un carré complet et en utilisant les formules trigonométriques de base correspondantes, on obtient

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

En résolvant le problème de la deuxième manière, considérez A en fonction de x à partir de R et calculez sa dérivée. Après transformations on obtient

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Péché 2(x + π/6) + péché ((x + π/6) + (x – π/6)) – péché 2(x – π/6) =

Péché 2x – (péché (2x + π/3) + péché (2x – π/3)) =

Péché 2x – 2péché 2x · cos π/3 = péché 2x – péché 2x ≡ 0.

Ainsi, du fait du critère de constance d’une fonction différentiable sur un intervalle, on conclut que

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Réponse : A = 3/4 pour x € R.

Les principales techniques pour prouver les identités trigonométriques sont :

UN) réduire le côté gauche de l'identité vers la droite grâce à des transformations appropriées ;
b) réduire le côté droit de l’identité vers la gauche ;
V) réduire les côtés droit et gauche de l'identité à la même forme ;
G) réduire à zéro la différence entre les côtés gauche et droit de l'identité à prouver.

Exemple 4.

Vérifiez que cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Solution.

En transformant le membre de droite de cette identité à l'aide des formules trigonométriques correspondantes, nous avons

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Le côté droit de l'identité est réduit à gauche.

Exemple 5.

Montrer que sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 si α, β, γ sont les angles intérieurs d'un triangle.

Solution.

Considérant que α, β, γ sont les angles intérieurs d’un triangle, on obtient que

α + β + γ = π et donc γ = π – α – β.

péché 2 α + péché 2 β + péché 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

L'égalité originelle a été prouvée.

Exemple 6.

Montrer que pour que l'un des angles α, β, γ du triangle soit égal à 60°, il faut et il suffit que sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Solution.

La condition de ce problème implique de prouver à la fois la nécessité et la suffisance.

Prouvons d'abord nécessité.

On peut montrer que

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Ainsi, en tenant compte du fait que cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, on obtient que si l'un des angles α, β ou γ est égal à 60°, alors

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 et donc sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Prouvons maintenant adéquation l'état spécifié.

Si sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, alors cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, et donc

soit cos (3α/2) = 0, soit cos (3β/2) = 0, soit cos (3γ/2) = 0.

Ainsi,

ou 3α/2 = π/2 + πk, c'est-à-dire α = π/3 + 2πk/3,

ou 3β/2 = π/2 + πk, c'est-à-dire β = π/3 + 2πk/3,

ou 3γ/2 = π/2 + πk,

ceux. γ = π/3 + 2πk/3, où k ϵ Z.

Du fait que α, β, γ sont les angles d’un triangle, on a

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Par conséquent, pour α = π/3 + 2πk/3 ou β = π/3 + 2πk/3 ou

γ = π/3 + 2πk/3 de tous les kϵZ seul k = 0 convient.

Il s’ensuit que soit α = π/3 = 60°, soit β = π/3 = 60°, soit γ = π/3 = 60°.

La déclaration a été prouvée.

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Sections: Mathématiques

Classe: 11

Leçon 1

Sujet: 11e année (préparation à l'examen d'État unifié)

Simplifier les expressions trigonométriques.

Résoudre des équations trigonométriques simples. (2 heures)

Objectifs:

• Systématiser, généraliser, élargir les connaissances et les compétences des élèves liées à l'utilisation de formules trigonométriques et à la résolution d'équations trigonométriques simples.

Matériel pour le cours :

Structure de la leçon :

1. Moment d'organisation
2. Tests sur ordinateurs portables. La discussion des résultats.
3. Simplifier les expressions trigonométriques
4. Résoudre des équations trigonométriques simples
5. Travail indépendant.
6. Résumé de la leçon. Explication du devoir à faire.

1. Moment organisationnel. (2 minutes.)

L'enseignant accueille le public, annonce le sujet de la leçon, lui rappelle qu'il lui a été confié auparavant la tâche de répéter des formules trigonométriques et prépare les élèves aux tests.

2. Tests. (15 min + 3 min d'échange)

L'objectif est de tester la connaissance des formules trigonométriques et la capacité de les appliquer. Chaque étudiant dispose d'un ordinateur portable sur son bureau avec une version du test.

Il peut y avoir un certain nombre d'options, je vais en donner un exemple :

Je choisis.

Simplifiez les expressions :

a) identités trigonométriques de base

1. péché 2 3 ans + cos 2 3 ans + 1 ;

b) formules d'addition

3. sin5x - sin3x ;

c) convertir un produit en une somme

6. 2sin8y cos3y;

d) formules à double angle

7. 2sin5x cos5x ;

e) formules pour les demi-angles

f) formules triple angle

g) substitution universelle

h) réduction de degré

16. cos2 (3x/7) ;

Les élèves voient leurs réponses sur l'ordinateur portable à côté de chaque formule.

Le travail est instantanément vérifié par l'ordinateur. Les résultats sont affichés sur un grand écran à la vue de tous.

De plus, une fois le travail terminé, les bonnes réponses sont affichées sur les ordinateurs portables des étudiants. Chaque élève voit où l'erreur a été commise et quelles formules il doit répéter.

3. Simplification des expressions trigonométriques. (25 minutes)

L'objectif est de répéter, pratiquer et consolider l'utilisation des formules trigonométriques de base. Résoudre les problèmes B7 de l'examen d'État unifié.

À ce stade, il est conseillé de diviser la classe en groupes d'élèves forts (travaillant de manière indépendante avec des tests ultérieurs) et d'élèves faibles qui travaillent avec l'enseignant.

Devoir pour étudiants forts (préparé à l'avance sur une base imprimée). L'accent principal est mis sur les formules de réduction et de double angle, selon l'examen d'État unifié 2011.

Simplifier les expressions (pour les étudiants forts) :

Parallèlement, l’enseignant travaille avec des élèves faibles, discutant et résolvant des tâches à l’écran sous la dictée des élèves.

Calculer:

5) péché(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Simplifier:

Il était temps de discuter des résultats du travail du groupe fort.

Les réponses apparaissent à l'écran, et également, à l'aide d'une caméra vidéo, les travaux de 5 étudiants différents sont affichés (une tâche pour chacun).

Le groupe faible voit la condition et la méthode de solution. Des discussions et des analyses sont en cours. Grâce à l'utilisation de moyens techniques, cela se produit rapidement.

4. Résoudre des équations trigonométriques simples. (30 minutes.)

Le but est de répéter, systématiser et généraliser la solution des équations trigonométriques les plus simples et d'écrire leurs racines. Solution du problème B3.

Toute équation trigonométrique, quelle que soit la manière dont nous la résolvons, mène à la plus simple.

En accomplissant cette tâche, les élèves doivent prêter attention à l’écriture des racines des équations de cas particuliers et de forme générale et à la sélection des racines dans la dernière équation.

Résoudre des équations :

Notez la plus petite racine positive comme réponse.

5. Travail indépendant (10 min.)

L'objectif est de tester les compétences acquises, d'identifier les problèmes, les erreurs et les moyens de les éliminer.

Un travail à plusieurs niveaux est proposé au choix de l'étudiant.

Option "3"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Simplifiez l'expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Résoudre l'équation

Option pour "4"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Résoudre l'équation Notez la plus petite racine positive de votre réponse.

Option "5"

1) Trouver tanα si

2) Trouvez la racine de l'équation Notez la plus petite racine positive comme réponse.

6. Résumé de la leçon (5 min.)

L'enseignant résume le fait que pendant la leçon, ils ont répété et renforcé les formules trigonométriques et résolu les équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs sont attribués (préparés sur une base imprimée à l'avance) avec un contrôle aléatoire au cours suivant.

Résoudre des équations :

9)

10) Dans votre réponse, indiquez la plus petite racine positive.

Leçon 2

Sujet: 11e année (préparation à l'examen d'État unifié)

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques. Sélection des racines. (2 heures)

Objectifs:

• Généraliser et systématiser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de divers types.
• Favoriser le développement de la pensée mathématique des élèves, de leur capacité à observer, comparer, généraliser et classer.
• Encouragez les élèves à surmonter les difficultés du processus d'activité mentale, à la maîtrise de soi et à l'introspection de leurs activités.

Matériel pour le cours : KRMu, des ordinateurs portables pour chaque étudiant.

Structure de la leçon :

1. Moment d'organisation
2. Discussion sur d/z et soi-même. travail du dernier cours
3. Revue des méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
4. Résoudre des équations trigonométriques
5. Sélection de racines dans les équations trigonométriques.
6. Travail indépendant.
7. Résumé de la leçon. Devoirs.

1. Moment d'organisation (2 min.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet du cours et le plan de travail.

2. a) Analyse des devoirs (5 min.)

Le but est de vérifier l’exécution. Une œuvre est affichée à l'écran à l'aide d'une caméra vidéo, les autres sont collectées sélectivement pour être vérifiées par l'enseignant.

b) Analyse du travail indépendant (3 min.)

L’objectif est d’analyser les erreurs et d’indiquer les moyens de les surmonter.

Les réponses et les solutions sont affichées à l'écran, les élèves voient leur travail distribué à l'avance. L'analyse se déroule rapidement.

3. Revue des méthodes de résolution d'équations trigonométriques (5 min.)

L'objectif est de rappeler les méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Demandez aux élèves quelles méthodes de résolution d’équations trigonométriques ils connaissent. Insistez sur le fait qu'il existe des méthodes dites de base (fréquemment utilisées) :

• remplacement variable,
• factorisation,
• équations homogènes,

et il existe des méthodes appliquées :

• utiliser les formules pour convertir une somme en produit et un produit en somme,
• selon les formules de réduction du degré,
• substitution trigonométrique universelle
• introduction d'un angle auxiliaire,
• multiplication par une fonction trigonométrique.

Il convient également de rappeler qu’une même équation peut être résolue de différentes manières.

4. Résolution d'équations trigonométriques (30 min.)

L'objectif est de généraliser et de consolider les connaissances et compétences sur ce sujet, pour préparer la solution C1 de l'Examen d'État unifié.

Je considère qu'il est conseillé de résoudre les équations pour chaque méthode avec les étudiants.

L'élève dicte la solution, l'enseignant l'écrit sur la tablette et l'ensemble du processus s'affiche à l'écran. Cela vous permettra de rappeler rapidement et efficacement les éléments précédemment abordés dans votre mémoire.

Résoudre des équations :

1) remplacer la variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisation 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) équations homogènes sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertir la somme en un produit cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertir le produit en la somme 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) réduction du degré sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substitution trigonométrique universelle sinx + 5cosx + 5 = 0.

Lors de la résolution de cette équation, il convient de noter que l'utilisation de cette méthode conduit à un rétrécissement de la plage de définition, puisque le sinus et le cosinus sont remplacés par tg(x/2). Par conséquent, avant d'écrire la réponse, vous devez vérifier si les nombres de l'ensemble π + 2πn, n Z sont des chevaux de cette équation.

8) introduction d'un angle auxiliaire √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplication par une fonction trigonométrique cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Sélection des racines des équations trigonométriques (20 min.)

Étant donné que dans des conditions de concurrence féroce lors de l'entrée à l'université, résoudre à lui seul la première partie de l'examen ne suffit pas, la plupart des étudiants doivent prêter attention aux tâches de la deuxième partie (C1, C2, C3).

Par conséquent, le but de cette étape de la leçon est de mémoriser le matériel précédemment étudié et de se préparer à résoudre le problème C1 de l'examen d'État unifié 2011.

Il existe des équations trigonométriques dans lesquelles vous devez sélectionner des racines lors de la rédaction de la réponse. Cela est dû à certaines restrictions, par exemple : le dénominateur de la fraction n'est pas égal à zéro, l'expression sous la racine paire est non négative, l'expression sous le signe du logarithme est positive, etc.

De telles équations sont considérées comme des équations de complexité accrue et dans la version de l'examen d'État unifié, elles se trouvent dans la deuxième partie, à savoir C1.

Résous l'équation:

Une fraction est égale à zéro si alors en utilisant le cercle unité nous sélectionnerons les racines (voir Figure 1)

Image 1.

on obtient x = π + 2πn, n Z

Réponse : π + 2πn, n Z

Sur l'écran, la sélection des racines est représentée sur un cercle dans une image couleur.

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro, et l'arc ne perd pas son sens. Alors

A l'aide du cercle unité, on sélectionne les racines (voir Figure 2)

Figure 2.

5)

Passons au système :

Dans la première équation du système on fait le remplacement log 2 (sinx) = y, on obtient alors l'équation , revenons au système

en utilisant le cercle unité on sélectionne les racines (voir Figure 5),

Graphique 5.

6. Travail indépendant (15 min.)

L'objectif est de consolider et de vérifier l'assimilation du matériel, d'identifier les erreurs et de proposer des moyens de les corriger.

L'ouvrage est proposé en trois versions, préparées à l'avance sur une base imprimée, parmi lesquelles les étudiants peuvent choisir.

Vous pouvez résoudre des équations de n’importe quelle manière.

Option "3"

Résoudre des équations :

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Option pour "4"

Résoudre des équations :

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Option "5"

Résoudre des équations :

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Résumé du cours, devoirs (5 min.)

L'enseignant résume la leçon et attire encore une fois l'attention sur le fait qu'une équation trigonométrique peut être résolue de plusieurs manières. La plupart La meilleure façon pour obtenir un résultat rapide, c'est celui qui est le mieux appris par un élève en particulier.

Lors de la préparation de l'examen, vous devez répéter systématiquement les formules et les méthodes de résolution d'équations.

Des devoirs (préparés à l'avance sur une base imprimée) sont distribués et les méthodes de résolution de certaines équations sont commentées.

Résoudre des équations :

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4péché 2 x + péché2x = 3

4) péché 2 x + péché 2 2x - péché 2 3x - péché 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Lycée"

N°18"

Engels, région de Saratov.

Professeur de mathématiques.

"Expressions trigonométriques et leurs transformations"

Introduction…………………………………………………………………………………......3

Chapitre 1 Classification des tâches sur l'utilisation des transformations d'expressions trigonométriques ………………………….…………………...5

1.1. Tâches de calcul valeurs des expressions trigonométriques……….5

1.2.Tâches de simplification des expressions trigonométriques.... 7

1.3. Tâches de conversion d'expressions trigonométriques numériques.....7

1.4 Tâches de type mixte…………………………………………………….....9

Chapitre 2. Aspects méthodologiques de l'organisation de la répétition finale du thème « Transformation des expressions trigonométriques »……………………………11

2.1 Redoublement thématique en 10e………………………………………………………...11

Essai 1………………………………………………………………………………..12

Essai 2………………………………………………………………………………..13

Essai 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Redoublement final en 11ème année………………………………………………………...15

Essai 1………………………………………………………………………………..17

Essai 2………………………………………………………………………………..17

Essai 3………………………………………………………………………………..18

Conclusion.………………………………………………………………………………......19

Liste des références………………………………………………………..…….20

Introduction.

Dans les conditions actuelles, la question la plus importante est : « Comment pouvons-nous contribuer à combler certaines lacunes dans les connaissances des étudiants et les mettre en garde contre d'éventuelles erreurs à l'examen d'État unifié ? Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'obtenir des étudiants non pas une assimilation formelle du matériel du programme, mais sa compréhension profonde et consciente, le développement de la vitesse des calculs et des transformations orales, ainsi que le développement de compétences dans la résolution de problèmes simples « dans l'esprit." Il est nécessaire de convaincre les étudiants que ce n'est que s'il existe poste actif Lorsque vous étudiez les mathématiques, à condition que vous acquériez des compétences et des capacités pratiques et que vous les utilisiez, vous pouvez compter sur un réel succès. Il est nécessaire de profiter de chaque opportunité pour se préparer à l'examen d'État unifié, y compris les matières au choix dans les classes 10-11, et de revoir régulièrement les devoirs complexes avec les étudiants, en choisissant la manière la plus rationnelle de les résoudre dans les cours et les cours supplémentaires.Résultat positif endomaines de solutions tâches typiques peut être réalisé si les professeurs de mathématiques, en créantbien formation de baseétudiants, recherchent de nouvelles façons de résoudre les problèmes qui se sont ouverts à nous, expérimentent activement, appliquent les technologies modernes technologies éducatives, méthodes, techniques qui créent des conditions favorables à la réalisation de soi et à l'autodétermination efficaces des étudiants dans de nouvelles conditions sociales.

La trigonométrie fait partie intégrante du cours de mathématiques à l'école. Bonne connaissance et de solides compétences en trigonométrie témoignent d'un niveau de culture mathématique suffisant, condition indispensable étude réussieà l'université de mathématiques, de physique et d'un certain nombre de techniques disciplines.

Pertinence du travail. Une proportion importante de bacheliers montrent d'année en année une très mauvaise préparation dans cette section importante des mathématiques, comme en témoignent les résultats des années passées (pourcentage d'achèvement en 2011 - 48,41%, 2012 - 51,05%), depuis l'analyse des réussites l'examen d'État unifié a montré que les étudiants commettent de nombreuses erreurs lorsqu'ils accomplissent les tâches de cette section particulière ou n'accomplissent pas du tout de telles tâches. Dans une Dans l'examen d'État, les questions de trigonométrie se retrouvent dans près de trois types de tâches. Cela inclut la solution des équations trigonométriques les plus simples dans la tâche B5, le travail avec les expressions trigonométriques dans la tâche B7, et l'étude des fonctions trigonométriques dans la tâche B14, ainsi que les tâches B12, dans lesquelles se trouvent des formules décrivant phénomènes physiques et contenant des fonctions trigonométriques. Et ce n'est qu'une partie des tâches B ! Mais il existe aussi des équations trigonométriques préférées avec sélection de racines C1, et des tâches géométriques « moins préférées » C2 et C4.

But du travail. Analyser Matériel d'examen d'État unifié tâches B7, consacrées aux transformations d'expressions trigonométriques et classer les tâches selon la forme de leur présentation dans les tests.

L'ouvrage se compose de deux chapitres, introduction et conclusion. L'introduction souligne la pertinence de l'ouvrage. Le premier chapitre propose une classification des tâches sur l'utilisation des transformations d'expressions trigonométriques dans le test Travaux d'examen d'État unifié(2012).

Le deuxième chapitre aborde l'organisation de la répétition du thème « Transformation des expressions trigonométriques » en 10e et 11e années et des tests sur ce sujet sont développés.

La liste de références comprend 17 sources.

Chapitre 1. Classification des tâches à l'aide de transformations d'expressions trigonométriques.

Conformément au niveau de l'enseignement secondaire (complet) et aux exigences relatives au niveau de préparation des étudiants, le codificateur d'exigences comprend des tâches sur la connaissance des bases de la trigonométrie.

L'apprentissage des bases de la trigonométrie sera plus efficace lorsque :

une motivation positive sera fournie aux étudiants pour qu'ils répètent le matériel déjà appris ;

une approche axée sur la personne sera mise en œuvre dans le processus éducatif ;

un système de tâches sera utilisé pour aider à élargir, approfondir et systématiser les connaissances des étudiants ;

Des technologies pédagogiques avancées seront utilisées.

Après avoir analysé la littérature et les ressources Internet sur la préparation à l'examen d'État unifié, nous avons proposé l'une des classifications possibles des tâches B7 (examen d'État unifié KIM 2012-trigonométrie) : tâches de calculvaleurs des expressions trigonométriques ; missions pourconvertir des expressions trigonométriques numériques ; tâches de conversion d'expressions trigonométriques littérales ; tâches de type mixte.

1.1. Tâches de calcul significations des expressions trigonométriques.

L'un des types les plus courants de problèmes de trigonométrie simple consiste à calculer les valeurs des fonctions trigonométriques à partir de la valeur de l'une d'entre elles :

a) Utilisation de l'identité trigonométrique de base et ses conséquences.

Exemple 1 . Trouver si
Et
.

Solution.
,
,

Parce que , Que
.

Répondre.

Exemple 2 . Trouver
, Si
Et .

Solution.
,
,
.

Parce que , Que
.

Répondre. .

b) Utiliser des formules à double angle.

Exemple 3 . Trouver
, Si
.

Solution. , .

Répondre.
.

Exemple 4 . Trouver le sens de l'expression
.

Solution. .

Répondre.
.

1. Trouver , Si
Et
. Répondre. -0,2

2. Trouver , Si
Et
. Répondre. 0,4

3. Trouver
, Si . Répondre. -12,884. Trouver
, Si
. Répondre. -0,845. Trouvez le sens de l'expression :
. Répondre. 66. Trouver le sens de l'expression
.Répondre. -19

1.2.Tâches de simplification des expressions trigonométriques. Les formules de réduction doivent être bien comprises par les étudiants, car elles trouveront d'autres applications en géométrie, en physique et dans d'autres disciplines connexes.

Exemple 5 . Simplifier les expressions
.

Solution. .

Répondre.
.

Tâches pour une solution indépendante :

1. Simplifier l'expression
. Répondre. 0,62. Trouver
, Si
Et. Répondre. 10.563. Trouver le sens de l'expression
, Si
. Répondre. 2

1.3. Tâches de conversion d'expressions trigonométriques numériques.

Lorsque vous pratiquez les tâches de conversion d'expressions trigonométriques numériques, vous devez faire attention à la connaissance du tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, des propriétés de parité et de la périodicité des fonctions trigonométriques.

a) Utiliser les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour certains angles.

Exemple 6 . Calculer
.

Solution.
.

Répondre.
.

b) Utilisation des propriétés de parité fonctions trigonométriques.

Exemple 7 . Calculer
.

Solution. .

Répondre.

V) Utilisation des propriétés de périodicitéfonctions trigonométriques.

Exemple 8 . Trouver le sens de l'expression
.

Solution. .

Répondre.
.

Tâches pour une solution indépendante :

1. Trouver le sens de l'expression
. Répondre. -40,52. Trouver le sens de l'expression
. Répondre. 17

3. Trouver le sens de l'expression
. Répondre. 6

. Répondre. -24
Répondre. -64

1.4 Tâches de type mixte.

Le formulaire de test de certification présente des caractéristiques très importantes, il est donc important de prêter attention aux tâches liées à l'utilisation de plusieurs formules trigonométriques en même temps.

Exemple 9. Trouver
, Si
.

Solution.
.

Répondre.
.

Exemple 10 . Trouver
, Si
Et
.

Solution. .

Parce que , Que
.

Répondre.
.

Exemple 11. Trouver
, Si .

Solution. , ,
,
,
,
,
.

Répondre.

Exemple 12. Calculer
.

Solution. .

Répondre.
.

Exemple 13. Trouver le sens de l'expression
, Si
.

Solution. .

Répondre.
.

Tâches pour une solution indépendante :

1. Trouver
, Si
. Répondre. -1,75
2. Trouver
, Si
. Répondre. 33. Trouver
, Si .Répondre. 0,254. Trouver le sens de l'expression
, Si
. Répondre. 0,35. Trouver le sens de l'expression
, Si
. Répondre. 5

Chapitre 2. Aspects méthodologiques de l'organisation de la répétition finale du thème « Transformation des expressions trigonométriques ».

L'une des questions les plus importantes qui contribuent à l'amélioration continue des résultats académiques et à l'acquisition de connaissances approfondies et durables chez les étudiants est la question de la répétition des matières déjà abordées. La pratique montre qu'en 10e année, il est plus judicieux d'organiser la répétition thématique ; en 11e année - redoublement final.

2.1. Révision thématique en 10e.

En train de travailler sur du matériel mathématique, en particulier grande importance acquiert la répétition de chaque sujet terminé ou de la section entière du cours.

Avec la répétition thématique, les connaissances des étudiants sur un sujet sont systématisées au stade final de sa réalisation ou après une certaine pause.

Pour la répétition thématique, des leçons spéciales sont allouées, dans lesquelles le matériel d'un sujet particulier est concentré et généralisé.

La répétition de la leçon s'effectue à travers une conversation avec une large implication des élèves dans cette conversation. Après cela, les étudiants ont pour tâche de répéter un certain sujet et sont avertis que des tests seront effectués.

Un test sur un sujet doit inclure toutes ses questions principales. Une fois le travail terminé, les erreurs caractéristiques sont analysées et des répétitions sont organisées pour les éliminer.

Pour les cours de redoublement thématiques, nous proposons des cours développés travail d'évaluation sous forme de tests sur le thème "Transformation des expressions trigonométriques".

Essai n°1

Essai n°2

Essai n°3

Tableau de réponses

Test

2.2. Révision finale en 11e année.

Le redoublement final s'effectue au stade final de l'étude des principales problématiques du cours de mathématiques et s'effectue en lien logique avec l'étude Matériel pédagogique pour cette section ou le cours dans son ensemble.

La répétition finale du matériel pédagogique poursuit les objectifs suivants :

1. Activation de l'ensemble du matériel formation pour le clarifier structure logique et construire un système au sein de connexions entre sujets et inter-sujets.

2. Approfondir et, si possible, élargir les connaissances des étudiants sur les principales problématiques du cours en cours de redoublement.

Dans le contexte d'un examen de mathématiques obligatoire pour tous les diplômés, l'introduction progressive de l'examen d'État unifié oblige les enseignants à adopter une nouvelle approche dans la préparation et la conduite des cours, en tenant compte de la nécessité de garantir que tous les écoliers maîtrisent le matériel pédagogique à un niveau de base. niveau, ainsi que la possibilité pour les étudiants motivés intéressés d'obtenir des scores élevés pour l'admission dans une université, des progrès dynamiques dans la maîtrise de la matière à un niveau avancé et élevé.

Lors des cours de révision finale, vous pouvez envisager les tâches suivantes :

Exemple 1 . Calculez la valeur de l'expression.Solution. =
= =
=
=
=
=0,5. Répondre. 0,5. Exemple 2. Spécifiez la plus grande valeur entière que l'expression peut accepter
.

Solution. Parce que
peut prendre n'importe quelle valeur, appartenant au segment[-1; 1], alors
prend n'importe quelle valeur du segment [–0,4 ; 0,4], donc . L'expression a une valeur entière – le nombre 4.

Réponse : 4 Exemple 3 . Simplifier l'expression
.

Solution : Utilisons la formule de factorisation de la somme des cubes : . Nous avons

Nous avons:
.

Réponse 1

Exemple 4. Calculer
.

Solution. .

Réponse : 0,28

Pour les cours de révision finale, nous proposons des tests développés sur le thème « Transformation des expressions trigonométriques ».

Entrez le plus grand entier ne dépassant pas 1

Conclusion.

Après avoir travaillé sur les mesures appropriées littérature méthodologique sur ce sujet, nous pouvons conclure que la capacité et les compétences à résoudre des problèmes liés à transformations trigonométriques V cours scolaire les mathématiques sont très importantes.

Au cours des travaux effectués, une classification des tâches B7 a été réalisée. Les formules trigonométriques les plus souvent utilisées dans les MMT en 2012 sont prises en compte. Des exemples de tâches avec des solutions sont donnés. Des tests différenciés ont été développés pour organiser le redoublement et systématiser les connaissances en vue de la préparation à l'examen d'État unifié.

Il convient de poursuivre le travail commencé en considérant résoudre les équations trigonométriques les plus simples dans la tâche B5, étudier les fonctions trigonométriques dans la tâche B14, les tâches B12, qui contiennent des formules décrivant des phénomènes physiques et contenant des fonctions trigonométriques.

En conclusion, je voudrais souligner que l'efficacité réussir l'examen d'État unifié est largement déterminé par l’efficacité avec laquelle le processus de formation est organisé à tous les niveaux d’enseignement, avec toutes les catégories d’étudiants. Et si nous parvenons à inculquer aux étudiants l'indépendance, la responsabilité et la volonté de continuer à apprendre tout au long de leur vie, alors nous remplirons non seulement l'ordre de l'État et de la société, mais augmenterons également notre propre estime de soi.

La répétition du matériel pédagogique nécessite l'enseignant travail créatif. Il doit établir un lien clair entre les types de répétition et mettre en œuvre un système de répétition profondément réfléchi. Maîtriser l'art d'organiser la répétition est la tâche de l'enseignant. La force des connaissances des étudiants dépend en grande partie de sa solution.

Littérature.

Vygodsky Ya.Ya., Manuel de mathématiques élémentaires. -M. : Nauka, 1970.

Problèmes de difficulté accrue en algèbre et analyse de base : manuel pour les classes 10-11 lycée/B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyne, S.I. Schwartzburd. – M. : Éducation, 1990.

Application de formules trigonométriques de base pour transformer des expressions (10e année) //Festival idées pédagogiques. 2012-2013.

Korianov A.G. , Prokofiev A.A. Nous préparons les bons et excellents étudiants à l'examen d'État unifié. - M. : Université pédagogique« Premier septembre », 2012.- 103 p.

Kuznetsova E.N. Simplifier les expressions trigonométriques. Résolution d'équations trigonométriques par diverses méthodes (préparation à l'examen d'État unifié). 11e année. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 problèmes de compétition en mathématiques. 4e édition, correcte. et supplémentaire – M. : Rolf, 2000.

Mordkovitch A.G. Problèmes méthodologiques de l'étude de la trigonométrie dans lycée// Les mathématiques à l'école. 2002. N° 6.

Pichurin L.F. A propos de la trigonométrie et pas seulement : -M. Lumières, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonométrie à l'école : -M. : Université pédagogique « Premier septembre », 2006, lx 1.

Shabounine M.I., Prokofiev A.A. Mathématiques. Algèbre. Débuts de l'analyse mathématique Niveau profil : manuel de 10e année - M. : BINOM. Laboratoire de connaissances, 2007.

Portail pédagogique pour la préparation à l'examen d'État unifié.

Préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques « Oh, cette trigonométrie ! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projet "Maths ? Facile !!!" http://www.resolventa.ru/

La leçon vidéo « Simplifier les expressions trigonométriques » est conçue pour développer les compétences des élèves dans la résolution de problèmes trigonométriques en utilisant les identités trigonométriques de base. Au cours de la leçon vidéo, les types d'identités trigonométriques et des exemples de résolution de problèmes les utilisant sont discutés. En utilisant des aides visuelles, il est plus facile pour l’enseignant d’atteindre les objectifs de la leçon. Une présentation vivante du matériel aide à mémoriser les points importants. L'utilisation d'effets d'animation et de voix off permet de remplacer complètement l'enseignant au stade de l'explication de la matière. Ainsi, en utilisant cette aide visuelle dans les cours de mathématiques, l'enseignant peut augmenter l'efficacité de l'enseignement.

Au début de la leçon vidéo, son sujet est annoncé. On rappelle ensuite les identités trigonométriques étudiées précédemment. L'écran affiche les égalités sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, où t≠π/2+πk pour kϵZ, ctg t=cos t/sin t, corriger pour t≠πk, où kϵZ, tg t· ctg t=1, pour t≠πk/2, où kϵZ, appelées les identités trigonométriques de base. Il est à noter que ces identités sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes où il est nécessaire de prouver l'égalité ou de simplifier une expression.

Ci-dessous, nous examinons des exemples d'application de ces identités dans la résolution de problèmes. Premièrement, il est proposé d’envisager de résoudre des problèmes de simplification d’expressions. Dans l'exemple 1, il faut simplifier l'expression cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pour résoudre l’exemple, retirez d’abord le facteur commun cos 2 t entre parenthèses. À la suite de cette transformation entre parenthèses, on obtient l'expression 1- cos 2 t, dont la valeur de l'identité principale de la trigonométrie est égale à sin 2 t. Après avoir transformé l'expression, il est évident qu'un autre facteur commun péché 2 t peut être retiré entre parenthèses, après quoi l'expression prend la forme péché 2 t(sin 2 t+cos 2 t). De la même identité de base on dérive la valeur de l'expression entre parenthèses égale à 1. Par simplification, on obtient cos 2 t- cos 4 t+ péché 4 t= péché 2 t.

Dans l’exemple 2, l’expression cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) doit être simplifiée. Étant donné que les numérateurs des deux fractions contiennent l’expression coût, celle-ci peut être retirée des parenthèses comme facteur commun. Ensuite, les fractions entre parenthèses sont réduites à un dénominateur commun en multipliant (1- sint)(1+ sint). Après avoir apporté termes similaires le numérateur reste 2 et le dénominateur 1 - sin 2 t. Sur le côté droit de l'écran, l'identité trigonométrique de base sin 2 t+cos 2 t=1 est rappelée. En l'utilisant, on trouve le dénominateur de la fraction cos 2 t. Après réduction de la fraction, nous obtenons une forme simplifiée de l’expression coût/(1- sint)+ coût/(1+ sint)=2/coût.

Ensuite, nous considérons des exemples de preuves d'identités qui utilisent les connaissances acquises sur les identités de base de la trigonométrie. Dans l'exemple 3, il faut prouver l'identité (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Le côté droit de l'écran affiche trois identités qui seront nécessaires pour la preuve - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t et tg t=sin t/cost t avec restrictions. Pour prouver l'identité, les parenthèses sont d'abord ouvertes, après quoi un produit est formé qui reflète l'expression de l'identité trigonométrique principale tg t·ctg t=1. Ensuite, selon l'identité issue de la définition de la cotangente, ctg 2 t est transformé. À la suite des transformations, l'expression 1-cos 2 t est obtenue. En utilisant l'identité principale, on retrouve le sens de l'expression. Ainsi, il a été prouvé que (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dans l'exemple 4, vous devez trouver la valeur de l'expression tg 2 t+ctg 2 t si tg t+ctg t=6. Pour calculer l'expression, mettez d'abord au carré les côtés droit et gauche de l'égalité (tg t+ctg t) 2 =6 2. La formule de multiplication abrégée est rappelée sur le côté droit de l'écran. Après avoir ouvert les parenthèses sur le côté gauche de l'expression, la somme tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t est formée, pour transformer laquelle vous pouvez appliquer l'une des identités trigonométriques tg t·ctg t=1 , dont la forme est rappelée sur le côté droit de l'écran. Après transformation, on obtient l'égalité tg 2 t+ctg 2 t=34. Le côté gauche de l’égalité coïncide avec la condition du problème, donc la réponse est 34. Le problème est résolu.

La leçon vidéo « Simplification des expressions trigonométriques » est recommandée pour une utilisation en langage traditionnel cours d'école mathématiques. Le matériel sera également utile à l'enseignant mettant en œuvre Apprentissage à distance. Afin de développer des compétences dans la résolution de problèmes trigonométriques.

DÉCODAGE DE TEXTE :

"Simplification des expressions trigonométriques."

Égalités

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus carré te plus cosinus carré te est égal à un)

2)tgt =, pour t ≠ + πk, kϵZ (la tangente te est égale au rapport du sinus te au cosinus te avec te différent de pi par deux plus pi ka, ka appartient à zet)

3)ctgt = , pour t ≠ πk, kϵZ (la cotangente te est égale au rapport du cosinus te au sinus te avec te différent de pi ka, ka appartient à zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pour t ≠ , kϵZ (le produit de la tangente te par la cotangente te est égal à un lorsque te n'est pas égal au pic ka, divisé par deux, ka appartient à zet)

sont appelées identités trigonométriques de base.

Ils sont souvent utilisés pour simplifier et prouver des expressions trigonométriques.

Examinons des exemples d'utilisation de ces formules pour simplifier les expressions trigonométriques.

EXEMPLE 1. Simplifiez l'expression : cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expression un cosinus au carré te moins cosinus du quatrième degré te plus sinus du quatrième degré te).

Solution. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = péché 2 t 1= péché 2 t

(on retire le facteur commun cosinus carré te, entre parenthèses on obtient la différence entre l'unité et le cosinus carré te, qui est égal au sinus carré te par la première identité. On obtient la somme de la quatrième puissance sinus te du produit cosinus carré te et sinus carré te. Nous retirons le facteur commun sinus carré te en dehors des parenthèses, entre parenthèses nous obtenons la somme des carrés du cosinus et du sinus, qui, selon l'identité trigonométrique de base, est égale à 1 En conséquence, nous obtenons le carré du sinus te).

EXEMPLE 2. Simplifiez l'expression : + .

(l'expression be est la somme de deux fractions au numérateur du premier cosinus te au dénominateur un moins le sinus te, au numérateur du deuxième cosinus te au dénominateur du deuxième plus le sinus te).

(Retirons le facteur commun cosinus te des parenthèses, et entre parenthèses nous le ramènerons à un dénominateur commun, qui est le produit de un moins sinus te par un plus sinus te.

Au numérateur on obtient : un plus sinus te plus un moins sinus te, on donne les semblables, le numérateur est égal à deux après avoir ramené les semblables.

Au dénominateur, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) et obtenir la différence entre l'unité et le carré du sinus te, qui, selon l'identité trigonométrique de base

égal au carré du cosinus te. Après réduction par le cosinus te on obtient la réponse finale : deux divisé par le cosinus te).

Examinons des exemples d'utilisation de ces formules lors de la preuve d'expressions trigonométriques.

EXEMPLE 3. Prouver l'identité (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (le produit de la différence entre les carrés de la tangente te et du sinus te par le carré de la cotangente te est égal au carré de sine te).

Preuve.

Transformons le côté gauche de l'égalité :

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = péché 2 t

(Ouvrons les parenthèses ; d'après la relation obtenue précédemment, on sait que le produit des carrés de la tangente te par la cotangente te est égal à un. Rappelons que la cotangente te est égale au rapport du cosinus te par le sinus te, qui signifie que le carré de la cotangente est le rapport du carré du cosinus te par le carré du sinus te.

Après réduction par le sinus carré te, nous obtenons la différence entre l'unité et le cosinus carré te, qui est égal au sinus carré te). Q.E.D.

EXEMPLE 4. Trouvez la valeur de l'expression tg 2 t + ctg 2 t si tgt + ctgt = 6.

(la somme des carrés de la tangente te et de la cotangente te, si la somme de la tangente et de la cotangente est six).

Solution. (objectif + objectif) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ cible ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mettons au carré les deux côtés de l'égalité originale :

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (le carré de la somme de la tangente te et de la cotangente te est égal à six au carré). Rappelons la formule de multiplication abrégée : Le carré de la somme de deux quantités est égal au carré de la première plus deux fois le produit de la première par la seconde plus le carré de la seconde. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 On obtient tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangente au carré te plus le double du produit de la tangente te par cotangente te plus cotangente au carré te est égal trente-six) .

Puisque le produit de la tangente te et de la cotangente te est égal à un, alors tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (la somme des carrés de la tangente te et de la cotangente te et deux est égale à trente-six),