Atkarpų tiesės lygtis

Tegul tai duota bendroji lygtis tiesiai:

Tiesės lygtis atkarpose, kur yra atkarpos, kurias tiesė nupjauna atitinkamose koordinačių ašyse.

Sukurkite tiesią liniją, pateiktą pagal bendrąją lygtį:

Iš kurios galime sudaryti šios linijos lygtį segmentais:

Abipusis susitarimas tiesios linijos plokštumoje.

1 teiginys.

Kad tiesios linijos būtų pateiktos lygtimis:

Sutapimas yra būtinas ir pakankamas, kad:

Įrodymas: ir sutampa, jų krypties vektoriai ir yra kolineariniai, t.y.:

Paimkime tašką M 0 su šia tiese, tada:

Pirmąją lygtį padauginę iš ir antrosios pridėję iš (2), gauname:

Taigi, formulės (2), (3) ir (4) yra lygiavertės. Tegul (2) tenkinama, tada sistemos (*) lygtys yra lygiavertės atitinkamos tiesės.

2 teiginys.

Lygtimis (*) pateiktos tiesės yra lygiagrečios ir nesutampa tada ir tik tada, kai:

Įrodymas:

Net jei jie nesutampa:

Nenuoseklus, ty pagal Kronecker-Capelli teoremą:

Tai įmanoma tik tuo atveju, jei:

Tai yra, kai įvykdoma (5) sąlyga.

Kai įvykdoma pirmoji lygybė (5), - neįvykdžius antrosios lygybės atsiranda sistemos nesuderinamumas (*) linijos yra lygiagrečios ir nesutampa.

1 pastaba.

Poliarinė koordinačių sistema.

Pataisykime tašką plokštumoje ir pavadinkime jį stulpu. Iš ašigalio sklindantis spindulys bus vadinamas poliarine ašimi.

Pasirinkime skalę atkarpų ilgiams matuoti ir susitarkime, kad sukimasis aplink tašką prieš laikrodžio rodyklę bus laikomas teigiamu. Apsvarstykite bet kurį tašką duotas lėktuvas, pažymėkite atstumą iki ašigalio ir vadinkite poliariniu spinduliu. Kampas, kuriuo poliarinė ašis turi būti pasukta, kad sutaptų su, bus žymimas ir vadinamas poliniu kampu.

3 apibrėžimas.

Taško polinės koordinatės yra jo polinis spindulys ir poliarinis kampas:

Pastaba 2. stulpe. Taškų, išskyrus tašką, vertė nustatoma iki termino.

Apsvarstykite Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą: polius sutampa su pradžia, o poliarinė ašis sutampa su teigiama pusašiu. Čia. Tada:

Koks yra ryšys tarp stačiakampių Dekarto ir polinių koordinačių sistemų.

Bernulio lemniskato lygtis. Įrašykite jį polinių koordinačių sistemoje.

Normalioji tiesės lygtis plokštumoje. Tegul polinė ašis sutampa su, - ašimi, einančia per pradinę vietą. Leisti būti:

Leiskite tada:

Sąlyga (**) dėl punkto:

Tiesės lygtis polinėje koordinačių sistemoje.

Čia - ilgis, nubrėžtas nuo pradžios iki tiesės, - normalaus polinkio į ašį kampas.

(7) lygtį galima perrašyti:

Normalioji tiesės lygtis plokštumoje.

Tegu pateikta afininė koordinačių sistema OXY.

2.1 teorema. Bet kokia tiesi linija l koordinačių sistema OX pateikiama formos tiesine lygtimi

A x+B y+ C = O, (1)

kur A, B, C R ir A 2 + B 2 0. Ir atvirkščiai, bet kuri (1) formos lygtis apibrėžia tiesę.

Lygtis kaip (1) - bendroji tiesės lygtis .

Tegul visi (1) lygties koeficientai A, B ir C skiriasi nuo nulio. Tada

Ah-By=-C ir .

Pažymėkime -C/A=a, -C/B=b. Mes gauname

-lygtis segmentais .

Iš tiesų, skaičiai |a| ir |b| nurodykite tiesia linija nupjautų segmentų dydį l atitinkamai ant OX ir OY ašių.

Tegul būna tiesiai l yra pateikta bendra lygtimi (1) stačiakampėje koordinačių sistemoje ir tegul taškai M 1 (x 1,y 1) ir M 2 (x 2,y 2) priklauso l. Tada

A x 1 + V adresu 1 + C = A X 2 + V adresu 2 + C, tai yra A( x 1 -x 2) + B( adresu 1 -adresu 2) = 0.

Paskutinė lygybė reiškia, kad vektorius =(A,B) yra statmenas vektoriui =(x 1 -x 2,y 1 -y 2). tie. Vektorius (A,B) vadinamas tiesės l normalusis vektorius.

Apsvarstykite vektorių =(-B,A). Tada

A(-B)+BA=0. tie. ^.

Todėl vektorius =(-B,A) yra aštraus krypties vektorius l.

Parametrinės ir kanoninės tiesės lygtys

Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis

Tegul afininėje koordinačių sistemoje (0, X, Y) pateikiama tiesė l, jo krypties vektorius = (m,n) ir taškas M 0 ( x 0 ,y 0) priklauso l. Tada savavališkam taškui M ( x,adresu) iš šios eilutės turime

ir nuo to laiko .

Jei žymėsime ir

Taškų M ir M spindulio vektoriai atitinkamai 0, tada

- vektoriaus formos tiesės lygtis.

Nuo =( X,adresu), =(X 0 ,adresu 0), tada

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- linijos parametrinė lygtis .

Tai seka

- kanoninė tiesės lygtis .

Galiausiai, jei tiesia linija l du taškai M 1 ( X 1 ,adresu 1) ir

M2( x 2 ,adresu 2), tada vektorius =( X 2 -X 1 ,y 2 -adresu 1) yra vedliai tiesios linijos vektorius l. Tada

- tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis.

Santykinė dviejų tiesių padėtis.

Leiskite tiesiai l 1 ir l 2 pateikiami pagal jų bendrąsias lygtis

l 1: A 1 X+ B 1 adresu+ C 1 = 0, (1)

l 2: A 2 X+ B 2 adresu+ C 2 = 0.

Teorema. Leiskite tiesiai l 1 ir l 2 pateikiamos lygtimis (1). Tada ir tik tada:

1) tiesės susikerta, kai nėra tokio skaičiaus λ, kad

A1 =λA2, B1 =λB2;

2) tiesės sutampa, kai yra toks skaičius λ, kad

A1 =λA2, B1 =λB2, C1 =λC2;

3) tiesės yra skirtingos ir lygiagrečios, kai yra toks skaičius λ, kad

A 1 = λA 2, B 1 = λB 2, C 1 λC 2.

Tiesių linijų krūva

Tiesių linijų krūva yra aibė visų plokštumos tiesių, einančių per tam tikrą tašką, vadinamą centras sija.

Norint nurodyti pluošto lygtį, pakanka žinoti bet kurias dvi tiesias linijas l 1 ir l 2, einantis per sijos centrą.

Tegul tiesės afininėje koordinačių sistemoje l 1 ir l 2 pateikiamos lygtimis

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 = 0.

Lygtis:

A 1 x+ B 1 y+ C + λ (A 2 X+ B 2 y+ C) = 0

- tiesių, apibrėžtų lygtimis l 1 ir l 2, pieštuko lygtis.

Ateityje koordinačių sistema suprasime stačiakampę koordinačių sistemą .

Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlygos

Tegul eilutės pateikiamos l 1 ir l 2. jų bendrosios lygtys; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) – šių tiesių normalieji vektoriai; k 1 = tgα 1, k 2 = tanα 2 – kampiniai koeficientai; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) – krypties vektoriai. Tada tiesiai l 1 ir l 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai yra viena iš šių sąlygų:

arba arba k 1 =k 2 arba .

Tegul dabar būna tiesiai l 1 ir l 2 yra statmenos. Tada akivaizdu, kad A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Jei tiesiai l 1 ir l 2 atitinkamai pateikiamos lygtimis

l 1: adresu=k 1 x+ b 1 ,

l 2: adresu=k 2 x+ b 2 ,

tada tanα 2 = tan(90º+α) = .

Tai seka

Galiausiai, jei ir krypties vektoriai yra tiesūs, tada ^, tai yra

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Paskutinis ryšys išreiškia būtiną ir pakankamą dviejų plokštumų statmenumo sąlygą.

Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Kampu φ tarp dviejų tiesių l 1 ir l 2 suprasime mažiausią kampą, kuriuo reikia pasukti vieną tiesę, kad ji taptų lygiagreti kitai tiesei arba sutaptų su ja, tai yra 0 £ φ £

Tegul tiesės pateikiamos bendromis lygtimis. Tai akivaizdu

cosφ=

Tegul dabar būna tiesiai l 1 ir l 2 pateikiamos lygtys su nuolydžio koeficientais k 1 in k 2 atitinkamai. Tada

Akivaizdu, kad tai yra ( X-X 0) + B( adresu-adresu 0) + C( z-z 0) = 0

Atidarykime skliaustus ir pažymime D= -A x 0 - V adresu 0-C z 0 . Mes gauname

A x+B y+ C z+ D = 0 (*)

- plokštumos lygtis in bendras vaizdas arba bendrosios plokštumos lygtis.

3.1 teorema Tiesinė lygtis(*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) yra plokštumos lygtis ir atvirkščiai, bet kuri plokštumos lygtis yra tiesinė.

1) D = 0, tada plokštuma eina per pradžios tašką.

2) A = 0, tada plokštuma lygiagreti OX ašiai

3) A = 0, B = 0, tada plokštuma lygiagreti OXY plokštumai.

Tegul visi lygties koeficientai skiriasi nuo nulio.

- plokštumos lygtis atkarpomis. Skaičiai |a|, |b|, |c| koordinačių ašyse nurodykite plokštumos nupjautų atkarpų reikšmes.

Užduotis – nubrėžti tiesę, einančią per nurodytas atkarpos pabaigos koordinates.

Manome, kad segmentas yra neišsigimęs, t.y. kurio ilgis didesnis už nulį (kitaip, žinoma, per jį eina be galo daug skirtingų linijų).

Dvimatis korpusas

Tegu duota atkarpa, t.y. žinomos jo galų koordinatės , , .

Reikalingas statyti tiesės lygtis plokštumoje, einantis per šį segmentą, t.y. raskite koeficientus , , tiesės lygtyje:

Atkreipkite dėmesį, kad reikalingi trigubai, einantys per tam tikrą segmentą, yra be galo daug: galite padauginti visus tris koeficientus iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis, ir gauti tą pačią tiesę. Todėl mūsų užduotis yra surasti vieną iš šių trynukų.

Nesunku patikrinti (pakeitus šias išraiškas ir taškų koordinates į tiesės lygtį), ar tinkamas toks koeficientų rinkinys:

Sveikasis atvejis

Svarbus šio tiesės kūrimo metodo privalumas yra tas, kad jei galų koordinatės buvo sveikieji skaičiai, tada gaunami koeficientai taip pat bus sveikieji skaičiai. Kai kuriais atvejais tai leidžia atlikti geometrines operacijas visiškai nesinaudojant realiais skaičiais.

Tačiau yra nedidelis trūkumas: toje pačioje eilutėje galima gauti skirtingus koeficientų trejetus. Norėdami to išvengti, bet nenutolti nuo sveikųjų skaičių koeficientų, galite naudoti šią techniką, dažnai vadinamą normavimas. Raskime didžiausią skaičių bendrąjį daliklį , , iš jo padalinkime visus tris koeficientus ir normalizuokime ženklą: jei arba , tada visus tris koeficientus padauginkite iš . Dėl to padarysime išvadą, kad identiškoms tiesėms gausime vienodus koeficientų trejetus, kurie leis lengvai patikrinti eilių lygybę.

Realiai vertingas atvejis

Dirbdami su realiais skaičiais, visada turėtumėte žinoti apie klaidas.

Koeficientai, kuriuos gauname, yra pirminių koordinačių eilės, koeficientas jau yra jų kvadrato eilės. Tai jau gali būti gana dideli skaičiai, o, pavyzdžiui, tiesėms susikirtus, jos dar labiau padidės, o tai gali lemti dideles apvalinimo klaidas net esant pradinėms eilės koordinatėms.

Todėl dirbant su realiais skaičiais, patartina atlikti vadinamuosius normalizavimas tiesioginis: būtent, kad koeficientai būtų tokie, kad . Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti skaičių:

ir padalinkite iš jo visus tris koeficientus , .

Taigi, koeficientų ir eilės tvarka nebepriklausys nuo įvesties koordinačių eilės, o koeficientas bus tokios pat eilės kaip ir įvesties koordinatės. Praktiškai tai žymiai pagerina skaičiavimo tikslumą.

Galiausiai, paminėsime palyginimas tiesės - juk po tokio normalizavimo tai pačiai tiesei galima gauti tik du koeficientų tripletus: iki padauginimo iš . Atitinkamai, jei atliksime papildomą normalizavimą atsižvelgdami į ženklą (jei arba , tada padauginkite iš ), tada gauti koeficientai bus unikalūs.

Formos tiesinė lygtis , kur a Ir b– iškviečiami kai kurie realieji skaičiai, išskyrus nulį tiesios linijos atkarpomis lygtis. Šis pavadinimas neatsitiktinis, nes absoliučios vertės numeriai A Ir b lygus atkarpų, kurias tiesia linija nukerta koordinačių ašyse, ilgiams Jautis Ir Oy atitinkamai (segmentai skaičiuojami nuo kilmės). Taigi, linijos lygtis atkarpose leidžia lengvai sukonstruoti šią liniją brėžinyje. Norėdami tai padaryti, plokštumoje turėtumėte pažymėti taškus koordinatėmis ir stačiakampėje koordinačių sistemoje, o liniuote sujungti juos tiesia linija.

Pavyzdžiui, sukonstruokime tiesią liniją, pateiktą pagal lygtį formos segmentuose. Pažymėkite taškus ir sujunkite juos.

Išsamios informacijos apie tokio tipo tiesės lygtį plokštumoje galite gauti straipsnyje linijos lygtis segmentuose.

Puslapio viršuje

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso skyriui:

Algebra ir analitinė geometrija. Matricos samprata, operacijos su matricomis ir jų savybės

Matricos sąvoka yra operacijos su matricomis ir jų savybėmis. matrica yra stačiakampė lentelė, sudaryta iš skaičių, kurių negali būti.. o matricos pridėjimas yra veiksmas pagal elementus.

Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

Tviteryje

Visos temos šiame skyriuje:

Diferencialumo apibrėžimas
Išvestinės radimo operacija vadinama funkcijos diferenciacija. Sakoma, kad funkcija tam tikru momentu yra diferencijuota, jei tame taške ji turi baigtinę išvestinę ir

Diferencijavimo taisyklė
Išvada 1. Pastovųjį koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

Geometrinė išvestinės reikšmė. Tangento lygtis
Tiesios linijos pasvirimo kampas y = kx+b yra kampas, matuojamas nuo padėties

Funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė
Panagrinėkime funkcijos y = f(x) grafiko sekantą AB, kad taškai A ir B atitinkamai turėtų koordinates.

Sprendimas
Funkcija apibrėžta kiekvienam realūs skaičiai. Kadangi (-1; -3) yra liesties taškas, tada

Būtinos sąlygos ekstremumui ir pakankamos sąlygos ekstremumui
Didėjančios funkcijos apibrėžimas. Funkcija y = f(x) didėja intervale X, jei tokia yra

Pakankami funkcijos ekstremumo požymiai
Norėdami rasti funkcijos maksimumus ir minimumus, galite naudoti bet kurį iš trijų pakankamų ekstremumo ženklų. Nors labiausiai paplitęs ir patogiausias yra pirmasis.

Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės. Turtas 1. Išvestinė iš apibrėžtasis integralas Autorius viršutinis limitas lygus integrandui, į kurį vietoj kintamojo yra integruotas

Niutono-Leibnizo formulė (su įrodymu)
Niutono-Leibnizo formulė. Tegul funkcija y = f(x) yra tolydi intervale, o F(x) yra viena iš funkcijos antidarinių šiame intervale, tada lygtis

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, tada dalijant iš –С gauname: arba

Geometrinė reikšmė koeficientai yra tas koeficientas A yra tiesės susikirtimo su Ox ašimi taško koordinatė ir b– tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės x – y + 1 = 0 lygtis. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + By + C = 0 dalijamos iš vadinamo skaičiaus normalizuojantis veiksnys, tada gauname

Xcosj + ysinj - p = 0 -

normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad m×С< 0.

p yra statmens, nukritusio nuo pradžios iki tiesės, ilgis, o j yra šio statmens suformuotas kampas su teigiama Ox ašies kryptimi.

Pavyzdys. Pateikiama bendroji eilutės 12x – 5y – 65 = 0 lygtis. Šiai eilutei reikia parašyti įvairių tipų lygtis.

šios linijos lygtis segmentais:

šios tiesės ir nuolydžio lygtis: (padalinkite iš 5)

normalioji linijos lygtis:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės, lygiagrečios ašims arba einančios per koordinačių pradžią.

Pavyzdys. Tiesi linija nupjauna lygias teigiamas atkarpas koordinačių ašyse. Parašykite tiesės lygtį, jei iš šių atkarpų sudaryto trikampio plotas yra 8 cm 2.

Tiesės lygtis yra tokia: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 netinka pagal uždavinio sąlygas.

Iš viso: arba x + y – 4 = 0.

Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką A(-2, -3), ir pradžios lygtį.

Tiesios linijos lygtis yra tokia: , kur x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis

Statmena nurodytai tiesei.

Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei dvi eilutės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada aštrus kampas tarp šių tiesių bus apibrėžta kaip

Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2.

Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Tiesės Ax + Bу + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 = lA, B 1 = lB yra proporcingi. Jei taip pat С 1 = lС, tai linijos sutampa.

Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei duotas taškas M(x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Bу + C = 0 nustatomas kaip

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti išsprendus lygčių sistemą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios pro ją, lygtis duotas taškas M 0 yra statmena nurodytai tiesei.

Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys . Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x – 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y – 3 = 0 yra statmenos.

Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, todėl tiesės yra statmenos.

Pavyzdys. Duotos trikampio A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Randame kraštinės AB lygtį: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3m + 3 = 0;

Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b.

k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso: .

Atsakymas: 3x + 2m – 34 = 0.

Antros eilės kreivės.

Antrosios eilės kreivę galima pateikti pagal lygtį

Ax 2 + 2Bhu + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Yra koordinačių sistema (nebūtinai Dekarto stačiakampė), kurioje ši lygtis gali būti pavaizduota viena iš toliau pateiktų formų.

1) - elipsės lygtis.

2) - „įsivaizduojamos“ elipsės lygtis.

3) - hiperbolės lygtis.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – dviejų susikertančių tiesių lygtis.

5) y 2 = 2px – parabolės lygtis.

6) y 2 – a 2 = 0 – dviejų lygiagrečių tiesių lygtis.

7) y 2 + a 2 = 0 – dviejų „įsivaizduojamų“ lygiagrečių tiesių lygtis.

8) y 2 = 0 – sutampančių tiesių pora.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – apskritimo lygtis.

Apskritimas.

Apskritime (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 centras turi koordinates (a; b).

Pavyzdys. Raskite apskritimo centro ir spindulio koordinates, jei jo lygtis pateikta tokia forma:

2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Norint rasti apskritimo centro ir spindulio koordinates, ši lygtis turi būti suformuota į 9 pastraipoje nurodytą formą. Norėdami tai padaryti, pasirinkite visus kvadratus:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5 m + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Iš čia randame O(2; -5/4); R = 11/4.

Elipsė.

Apibrėžimas. Elipsė vadinama lygties pateikta kreive.

Apibrėžimas. Fokusuoja vadinami tokiais dviem taškais, atstumų, nuo kurių iki bet kurio elipsės taško, suma yra pastovi reikšmė.

F 1, F 2 – fokusuoja. F1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c – pusė atstumo tarp židinių;

a – pusiau didžioji ašis;

b – pusiau mažoji ašis.

Teorema. Elipsės židinio nuotolis ir pusiau ašys yra susietos tokiu ryšiu:

a 2 = b 2 + c 2 .

Įrodymas: Jei taškas M yra elipsės sankirtoje su vertikali ašis, r 1 + r 2= 2 (pagal Pitagoro teoremą). Jei taškas M yra elipsės sankirtoje su horizontalioji ašis, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Nes pagal apibrėžimą suma r 1 + r 2 yra pastovi reikšmė, tada, prilyginę, gauname:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Apibrėžimas. Elipsės formą lemia charakteristika, kuri yra židinio nuotolio ir pagrindinės ašies santykis ir vadinama ekscentriškumas.

Nes Su< a, то е < 1.

Apibrėžimas. Vadinamas dydis k = b/a suspaudimo laipsnis elipsė, ir vadinamas dydis 1 – k = (a – b)/a suspaudimas elipsė.

Suspaudimo laipsnį ir ekscentriškumą sieja ryšys: k 2 = 1 – e 2 .

Jei a = b (c = 0, e = 0, židiniai susilieja), tai elipsė virsta apskritimu.

Jei taško M(x 1, y 1) sąlyga tenkinama: tada jis yra elipsės viduje, o jei , tai taškas yra už elipsės ribų.

Teorema. Savavališkam taškui M(x, y), priklausančiam elipsei, yra teisingi šie ryšiai::

R 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Įrodymas. Aukščiau buvo parodyta, kad r 1 + r 2 = 2a. Be to, iš geometrinių sumetimų galime parašyti:

Po kvadratūros ir sumažinimo panašius terminus:

Panašiai įrodoma, kad r 2 = a + ex. Teorema įrodyta.

Elipsė yra sujungta su dviem tiesiomis linijomis, vadinamomis direktorės. Jų lygtys yra šios:

X = a/e; x = -a/e.

Teorema. Kad taškas atsidurtų elipsėje, būtina ir pakanka, kad atstumo iki židinio ir atstumo iki atitinkamos krypties santykis būtų lygus ekscentriškumui e.

Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per kairįjį židinį ir apatinę elipsės viršūnę, pateiktą pagal lygtį, lygtį:

1) Apatinės viršūnės koordinatės: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Kairiojo židinio koordinatės: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) tiesės, einančios per du taškus, lygtis:

Pavyzdys. Parašykite elipsės lygtį, jei jos židiniai yra F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), o pagrindinė ašis yra 2.

Elipsės lygtis yra tokia: . Fokusavimo atstumas:

2c = taigi a 2 – b 2 = c 2 = ½

pagal sąlygą 2a = 2, todėl a = 1, b =

Hiperbolė.

Apibrėžimas. Hiperbolė yra aibė plokštumos taškų, kuriems vadinamas atstumų nuo dviejų duotųjų taškų skirtumo modulis gudrybės yra pastovi reikšmė, mažesnė už atstumą tarp židinių.

Pagal apibrėžimą ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1, F 2 – hiperbolės židiniai. F 1 F 2 = 2c.

Pasirinkime savavališką hiperbolės tašką M(x, y). Tada:

pažymėkime c 2 – a 2 = b 2 (geometriškai šis dydis yra mažoji pusašis)

Gavome kanoninę hiperbolės lygtį.

Hiperbolė yra simetriška apie atkarpos, jungiančios židinius, vidurį ir apie koordinačių ašis.

2a ašis vadinama tikrąja hiperbolės ašimi.

2b ašis vadinama įsivaizduojama hiperbolės ašimi.

Hiperbolė turi dvi asimptotes, kurių lygtys yra

Apibrėžimas. Santykiai vadinami ekscentriškumas hiperbolės, kur c yra pusė atstumo tarp židinių ir yra tikroji pusašis.

Atsižvelgiant į tai, kad c 2 – a 2 = b 2:

Jei a = b, e = , vadinasi hiperbolė lygiakraštis (lygiakraistis).

Apibrėžimas. Dvi tiesės, statmenos realiajai hiperbolės ašiai ir išsidėsčiusios simetriškai centro atžvilgiu atstumu a/e nuo jos, vadinamos direktorės hiperbolė. Jų lygtys yra tokios: .

Teorema. Jei r yra atstumas nuo savavališko hiperbolės taško M iki bet kurio židinio, d yra atstumas nuo to paties taško iki krypties, atitinkančios šį židinį, tada santykis r/d yra pastovi reikšmė, lygi ekscentriškumui.

Įrodymas. Schemiškai pavaizduokime hiperbolę.

Iš akivaizdžių geometrinių ryšių galime parašyti:

a/e + d = x, todėl d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Iš kanoninės lygties: , atsižvelgiant į b 2 = c 2 – a 2:

Tada, nes с/a = e, tada r = ex – a.

Kairiosios hiperbolės šakos įrodymas yra panašus. Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Raskite lygtį hiperbolės, kurios viršūnės ir židiniai yra atitinkamose elipsės viršūnėse ir židiniuose.

Elipsei: c 2 = a 2 – b 2.

Hiperbolei: c 2 = a 2 + b 2.

Hiperbolės lygtis: .

Pavyzdys. Parašykite hiperbolės lygtį, jei jos ekscentriškumas yra 2 ir jos židiniai sutampa su elipsės židiniais, o lygtis yra parabolės parametras. Išveskime kanoninę parabolės lygtį.

Iš geometrinių ryšių: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 + xp + p 2 / 4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 / 4

Krypties lygtis: x = -p/2.

Pavyzdys . Parabolėje y 2 = 8x raskite tašką, kurio atstumas nuo krypties yra 4.

Iš parabolės lygties matome, kad p = 4.

r = x + p/2 = 4; taigi:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Ieškomi taškai: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Pavyzdys. Kreivės lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra tokia:

Raskite kreivės lygtį Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje, nustatykite kreivės tipą, raskite židinius ir ekscentriškumą. Schematiškai nubrėžkite kreivę.

Pasinaudokime Dekarto stačiakampių ir polinių koordinačių sistemų ryšiu: ;

Gavome kanoninę hiperbolės lygtį. Iš lygties aišku, kad hiperbolė išilgai Ox ašies pasislinkusi 5 į kairę, didžioji pusašis a lygi 4, mažoji pusašis b lygi 3, iš kur gauname c 2 = a 2 + b 2; c = 5; e = c/a = 5/4.

Fokusuoja F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Sukurkime šios hiperbolės grafiką.