Жишээг шийдвэрлэхдээ хавтгай дээрх өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун хүртэлх зайг олохын тулд хэлэлцсэн аргуудын хэрэглээг авч үзье.

Цэгээс шугам хүртэлх зайг ол:

Эхлээд эхний аргыг ашиглан асуудлыг шийдье.

Асуудлын тайлбарт бид дараах хэлбэрийн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгсөн болно.

Шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх b шулууны ерөнхий тэгшитгэлийг олъё.

b шугам нь а шулуунд перпендикуляр тул b шугамын чиглэлийн вектор нь өгөгдсөн шулууны хэвийн вектор болно.

өөрөөр хэлбэл b шулуун шугамын чиглэлийн вектор координаттай байна. Одоо бид b шулууны өнгөрч буй M 1 цэгийн координат, b шугамын чиглэлийн векторын координатыг мэддэг тул хавтгай дээр b шулууны каноник тэгшитгэлийг бичиж болно.

Үүссэн шулуун б-ийн каноник тэгшитгэлээс бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл рүү шилжинэ.

Одоо a ба b шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс бүрдсэн тэгшитгэлийн системийг шийдэж a ба b шугамын огтлолцох цэгийн координатыг олцгооё (үүнийг H 1 гэж тэмдэглэе) (шаардлагатай бол өгүүллийн шийдвэрлэх системийг үзнэ үү шугаман тэгшитгэл):

Тиймээс H 1 цэг нь координаттай байна.

M 1 цэгээс шулуун шугам хүртэлх шаардлагатай зайг дараах цэгүүдийн хоорондох зай болгон тооцоолоход хэвээр байна.

Асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга.

Бид өгөгдсөн шугамын хэвийн тэгшитгэлийг олж авна. Үүнийг хийхийн тулд бид хэвийн болгох хүчин зүйлийн утгыг тооцоолж, шулуун шугамын анхны ерөнхий тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ.

(бид энэ талаар шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулах хэсэгт ярьсан).

хэвийн болгох хүчин зүйл нь тэнцүү байна

шугамын хэвийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид шугамын үүссэн хэвийн тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийлэлийг авч, түүний утгыг дараах байдлаар тооцоолно.

Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун шугам хүртэлх шаардлагатай зай:

үүссэн утгын үнэмлэхүй утгатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл таван ().

цэгээс шулуун хүртэлх зай:

Шугамын хэвийн тэгшитгэлийг ашиглахад үндэслэсэн хавтгай дээрх цэгээс шулуун хүртэлх зайг олох аргын давуу тал нь тооцооллын ажлын хэмжээ харьцангуй бага байдаг нь ойлгомжтой. Хариуд нь цэгээс шугам хүртэлх зайг олох эхний арга нь зөн совинтой бөгөөд тууштай байдал, логикоор ялгагдана.

Тэгш өнцөгт координатын систем Oxy нь хавтгай дээр тогтсон, цэг ба шулуун шугамыг зааж өгсөн болно.

Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

Эхний арга.

-аас боломжтой өгөгдсөн тэгшитгэлшууд хамт налууЭнэ шугамын ерөнхий тэгшитгэл рүү очоод дээр дурдсан жишээнтэй ижил аргаар ажиллана.

Гэхдээ та үүнийг өөрөөр хийж болно.

Перпендикуляр шугамын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь 1-тэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ (Перпендикуляр шугам, шугамын перпендикуляр гэсэн өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр шугамын өнцгийн коэффициент:

2-той тэнцүү. Тэгвэл өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр ба цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Одоо шугамуудын огтлолцлын цэг болох H 1 цэгийн координатыг олъё.

Тиймээс цэгээс шугам хүртэлх зай:

цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү ба:

Хоёр дахь арга зам.

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын өгөгдсөн тэгшитгэлээс энэ шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл рүү шилжье.

хэвийн болгох хүчин зүйл нь тэнцүү байна:

Тиймээс өгөгдсөн шугамын хэвийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид цэгээс шугам хүртэлх шаардлагатай зайг тооцоолно.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг тооцоолох:

ба шулуун шугам руу:

Бид шугамын хэвийн тэгшитгэлийг олж авна:

Одоо цэгээс шулуун хүртэлх зайг тооцоолъё.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэвийн болгох коэффициент:

1-тэй тэнцүү. Тэгвэл энэ шугамын хэвийн тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид цэгээс шулуун хүртэлх зайг тооцоолж болно:

тэнцүү байна.

Хариулт: ба 5.

Дүгнэж хэлэхэд бид хавтгай дээрх өгөгдсөн цэгээс Ox ба Oy координатын шугам хүртэлх зайг хэрхэн олох талаар тусад нь авч үзэх болно.

Тэгш өнцөгт координатын Oxy системд Oy координатын шугамыг x=0 шулууны бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлээр, Ox координатын шулууныг y=0 тэгшитгэлээр тусгана. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь Oy ба Ox шугамуудын хэвийн тэгшитгэлүүд тул цэгээс эдгээр шугам хүртэлх зайг дараах томъёогоор тооцоолно.

тус тус.

Зураг 5

Тэгш өнцөгт координатын Oxy системийг хавтгайд нэвтрүүлсэн. Цэгээс координатын шугам хүртэлх зайг ол.

Өгөгдсөн M 1 цэгээс Ox координатын шулуун хүртэлх зай (үүнийг y=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн) M 1 цэгийн ординатын модультай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл .

Өгөгдсөн M 1 цэгээс Oy координатын шулуун хүртэлх зай (х=0 тэгшитгэл түүнд тохирч байна) M 1 цэгийн абсцисса абсцисса абсолют утгатай тэнцүү байна: .

Хариулт: M 1 цэгээс Ox шулуун шугам хүртэлх зай 6-тай тэнцүү, өгөгдсөн цэгээс Oy координатын шугам хүртэлх зай тэнцүү байна.

Энэ нийтлэлд бид геометрийн олон асуудлыг энгийн арифметик болгон багасгах боломжийг олгодог нэг "шидэт саваа" -ын талаар ярилцаж эхлэх болно. Энэ "зөөгч" нь таны амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно, ялангуяа орон зайн дүрс, хэсэг гэх мэтийг бүтээхдээ итгэлгүй байгаа үед. Энэ бүхэн нь тодорхой төсөөлөл, практик ур чадвар шаарддаг. Бидний энд авч үзэх арга нь бүх төрлийн геометрийн бүтэц, үндэслэлээс бараг бүрэн хийсвэрлэх боломжийг танд олгоно. арга гэж нэрлэдэг "координатын арга". Энэ нийтлэлд бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Координатын хавтгай
2. Хавтгай дээрх цэг ба векторууд
3. Хоёр цэгээс вектор байгуулах
4. Вектор урт (хоёр цэгийн хоорондох зай).
5. Сегментийн дунд хэсгийн координатууд
6. Векторуудын цэгийн үржвэр
7. Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Координатын аргыг яагаад ингэж нэрлэдэгийг та аль хэдийн таасан байх гэж бодож байна? Энэ нь зөв, энэ нь геометрийн объектуудтай биш, харин тоон шинж чанараараа (координат) ажилладаг учраас ийм нэртэй болсон. Геометрээс алгебр руу шилжих боломжийг олгодог өөрчлөлт нь координатын системийг нэвтрүүлэхээс бүрддэг. Хэрэв анхны зураг хавтгай байсан бол координат нь хоёр хэмжээст, хэрэв зураг гурван хэмжээст бол координат нь гурван хэмжээст байна. Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хоёр хэмжээст тохиолдлыг авч үзэх болно. Өгүүллийн гол зорилго бол координатын аргын зарим үндсэн техникийг хэрхэн ашиглахыг заах явдал юм (Тэд заримдаа Улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсэгт байгаа планиметрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болдог). Энэ сэдвийн дараагийн хоёр хэсэг нь C2 (стереоометрийн асуудал) асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын талаар хэлэлцэхэд зориулагдсан болно.

Координатын аргын талаар ярилцаж эхлэх нь хаанаас логиктой байх вэ? Координатын системийн тухай ойлголтоос л гарсан байх. Түүнтэй анх уулзаж байснаа санаарай. Жишээлбэл, 7-р ангид шугаман функц байдаг талаар олж мэдсэн юм шиг санагдаж байна. Та үүнийг цэгээс нь босгосон гэдгийг сануулъя. Чи санаж байна уу? Та дурын тоог сонгож, томъёонд орлуулж, ийм байдлаар тооцоолсон. Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл, хэрэв, тэгвэл гэх мэт.. Эцэст нь та юу авсан бэ? Мөн та координаттай оноо авсан: ба. Дараа нь та "загалмай" (координатын систем) зурж, түүн дээр масштабыг сонгоод (нэгж сегментэд хэдэн нүд байх вэ) түүн дээр олж авсан цэгүүдийг тэмдэглэж, дараа нь шулуун шугамаар холбоно; үр дүн шугам нь функцийн график юм.

Энд танд илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах хэд хэдэн зүйл байна:

1. Зурган дээр бүх зүйл сайхан, нягт нийцэхийн тулд та ая тухтай байдлын үүднээс нэг сегментийг сонгодог.

2. Тэнхлэг нь зүүнээс баруун тийш, тэнхлэг нь доороос дээш явдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөрдөг

3. Тэд зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг эхлэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг захидлаар зааж өгсөн болно.

4. Цэгийн координатыг бичихдээ жишээлбэл, зүүн талд нь тэнхлэгийн дагуух цэгийн координатыг хаалтанд, баруун талд нь тэнхлэгийн дагуу тэмдэглэнэ. Ялангуяа, энэ нь зүгээр л цэг дээр гэсэн үг юм

5. Координатын тэнхлэгийн аль нэг цэгийг зааж өгөхийн тулд түүний координатыг (2 тоо) зааж өгөх шаардлагатай.

6. Тэнхлэг дээр хэвтэж буй аливаа цэгийн хувьд,

7. Тэнхлэг дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд,

8. Тэнхлэгийг х тэнхлэг гэж нэрлэдэг

9. Тэнхлэгийг у тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Одоо дараагийн алхамаа хийцгээе: хоёр цэгийг тэмдэглэ. Энэ хоёр цэгийг сегментээр холбоно. Бид сумыг цэгээс цэг рүү сегмент зурж байгаа мэт байрлуулна: өөрөөр хэлбэл бид сегментээ чиглүүлэх болно!

Өөр чиглэлтэй сегментийг юу гэж нэрлэдэгийг санаж байна уу? Энэ нь зөв, үүнийг вектор гэж нэрлэдэг!

Хэрэв бид цэгийг цэг рүү холбовол эхлэл нь А цэг, төгсгөл нь В цэг байх болно,Дараа нь бид векторыг авна. Чи бас 8-р ангидаа энэ бүтээн байгуулалтыг хийж байсныг санаж байна уу?

Векторуудыг цэгүүд шиг хоёр тоогоор тэмдэглэж болно: эдгээр тоог вектор координат гэж нэрлэдэг. Асуулт: Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатыг мэдэх нь координатыг нь олоход хангалттай гэж та бодож байна уу? Энэ нь тийм гэж харагдаж байна! Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Тиймээс векторын цэг нь эхлэл, цэг нь төгсгөл байдаг тул вектор нь дараах координаттай байна.

Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл векторын координатууд

Одоо эсрэгээр нь векторын координатыг олъё. Үүний тулд бид юуг өөрчлөх хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, та эхлэл ба төгсгөлийг солих хэрэгтэй: одоо векторын эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх болно. Дараа нь:

Анхааралтай харна уу, векторуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Тэдний цорын ганц ялгаа нь координат дахь тэмдэг юм. Тэд эсрэг тэсрэг хүмүүс. Энэ баримтыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

Заримдаа, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг тусгайлан заагаагүй бол векторуудыг хоёр том үсгээр биш, харин нэг жижиг үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: гэх мэт.

Одоо жаахан дадлага хийхДараах векторуудын координатыг өөрөө ол.

Шалгалт:

Одоо арай илүү хэцүү асуудлыг шийд:

Нэг цэг дээр эхлэлтэй вектор нь ко- or-di-na-yo-тэй байна. Abs-cis-su цэгүүдийг ол.

Бүгд ижил төстэй: Цэгийн координат байцгаая. Дараа нь

Би векторын координат гэж юу вэ гэсэн тодорхойлолт дээр үндэслэн системийг эмхэтгэсэн. Дараа нь цэг нь координаттай болно. Бид абсциссыг сонирхож байна. Дараа нь

Хариулт:

Та векторуудаас өөр юу хийж чадах вэ? Тийм ээ, бараг бүх зүйл энгийн тоонуудтай адил байна (та хуваах боломжгүй, гэхдээ та хоёр аргаар үржүүлж болно, тэдгээрийн аль нэгийг бид дараа нь хэлэлцэх болно)

1. Векторуудыг бие биедээ нэмж болно
2. Векторуудыг бие биенээсээ хасаж болно
3. Векторуудыг дурын тэг биш тоогоор үржүүлж (эсвэл хувааж) болно
4. Векторуудыг өөр хоорондоо үржүүлж болно

Эдгээр бүх үйл ажиллагаа нь маш тодорхой байна геометрийн дүрслэл. Жишээлбэл, гурвалжин (эсвэл параллелограмм) нэмэх, хасах дүрэм:

Векторыг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваахад сунадаг, агшдаг эсвэл чиглэлээ өөрчилдөг.

Гэсэн хэдий ч, бид энд координат юу болох вэ гэсэн асуултыг сонирхох болно.

1. Хоёр векторыг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийн координатын элементийг элемент тус бүрээр нь нэмнэ (хасах). Тэр бол:

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх (хуваах) үед түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ (хуваагдана).

Жишээлбэл:

· co-or-di-nat зууны-to-ra хэмжээг ол.

Эхлээд вектор тус бүрийн координатыг олъё. Тэд хоёулаа ижил гарал үүсэлтэй байдаг - гарал үүслийн цэг. Тэдний төгсгөл нь өөр өөр байдаг. Дараа нь, . Одоо векторын координатыг бодъё.Тэгвэл үүссэн векторын координатуудын нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлыг өөрөө шийд.

· Векторын координатын нийлбэрийг ол

Бид шалгаж байна:

Одоо дараах асуудлыг авч үзье: бидэнд хоёр цэг байна координатын хавтгай. Тэдний хоорондох зайг хэрхэн олох вэ? Эхний цэг, хоёр дахь нь байг. Тэдгээрийн хоорондох зайг үүгээр тэмдэглэе. Тодорхой болгохын тулд дараах зургийг хийцгээе.

Би юу хийчихэв ээ? Юуны өмнө би холбогдсон цэгүүд ба, aмөн нэг цэгээс би тэнхлэгтэй параллель шугам, нэг цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам татсан. Тэд нэг цэг дээр огтлолцон, гайхалтай дүрс үүсгэсэн үү? Түүний юугаараа онцлог вэ? Тийм ээ, та бид хоёр бараг бүх зүйлийг мэддэг зөв гурвалжин. За, Пифагорын теорем нь гарцаагүй. Шаардлагатай сегмент нь энэ гурвалжны гипотенуз, сегментүүд нь хөл юм. Цэгийн координат хэд вэ? Тиймээ, тэдгээрийг зурагнаас олоход хялбар байдаг: Сегментүүд нь тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийн уртыг олоход хялбар байдаг: хэрвээ бид сегментүүдийн уртыг тус тусад нь тэмдэглэвэл, дараа нь

Одоо Пифагорын теоремыг ашиглая. Бид хөлний уртыг мэддэг тул гипотенузыг олох болно.

Ийнхүү хоёр цэгийн хоорондох зай нь координатуудын квадратын зөрүүний нийлбэрийн үндэс юм. Эсвэл - хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Цэгүүдийн хоорондох зай нь чиглэлээс хамаардаггүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Дараа нь:

Эндээс бид гурван дүгнэлт гаргаж байна.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох талаар бага зэрэг дадлага хийцгээе.

Жишээлбэл, хэрэв, дараа нь ба хоорондын зай нь тэнцүү байна

Эсвэл өөр замаар явъя: векторын координатыг ол

Мөн векторын уртыг ол:

Таны харж байгаагаар энэ нь ижил зүйл юм!

Одоо өөрөө бага зэрэг дасгал хий:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

Бид шалгаж байна:

Хэдий арай өөр сонсогдож байгаа ч гэсэн ижил томъёог ашигласан хэд хэдэн асуудлыг энд оруулав.

1. Зовхины уртын квадратыг ол.

2. Зовхины уртын квадратыг ол

Та тэдэнтэй төвөггүй харьцсан гэж бодож байна уу? Бид шалгаж байна:

1. Мөн энэ нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм) Бид өмнө нь векторуудын координатыг олсон: . Дараа нь вектор координаттай байна. Түүний уртын квадрат нь дараахтай тэнцүү байна.

2. Векторын координатыг ол

Дараа нь түүний уртын квадрат нь байна

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Энгийн арифметик, өөр юу ч биш.

Дараахь асуудлуудыг хоёрдмол утгагүйгээр ангилах боломжгүй бөгөөд тэдгээр нь ерөнхий мэдлэг, энгийн зураг зурах чадварт илүү их хамааралтай болно.

1. Цэгийг абсцисса тэнхлэгтэй холбосон зүсэлтээс өнцгийн синусыг ол.

Тэгээд

Бид энд яаж цааш явах вэ? Бид тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Бид синусыг хаанаас хайх вэ? Энэ нь зөв, тэгш өнцөгт гурвалжинд. Тэгэхээр бид юу хийх хэрэгтэй вэ? Энэ гурвалжинг бүтээ!

Цэгийн координатууд нь ба, тэгвэл хэрчим нь тэнцүү, ба хэрчим болно. Бид өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синус бол эсрэг талын гипотенузын харьцаа гэдгийг сануулъя

Бидэнд юу хийх үлдэв? Гипотенузыг ол. Та үүнийг хоёр аргаар хийж болно: Пифагорын теоремыг ашиглан (хөл нь мэдэгдэж байна!) эсвэл хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан (үнэндээ эхний аргатай ижил зүйл!). Би хоёр дахь замаар явна:

Хариулт:

Дараагийн даалгавар танд илүү хялбар санагдах болно. Тэр цэгийн координат дээр байна.

Даалгавар 2.Цэгээс per-pen-di-ku-lyar нь ab-ciss тэнхлэг рүү доошилно. Най-ди-тэ абс-цис-су ос-но-ва-ния пер-пен-ди-ку-ла-ра.

Зураг зурцгаая:

Перпендикулярын суурь нь х тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэг бөгөөд миний хувьд энэ нь цэг юм. Зураг нь координаттай болохыг харуулж байна: . Бид abscissa буюу "x" бүрэлдэхүүн хэсгийг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт: .

Даалгавар 3.Өмнөх бодлогын нөхцөлд цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх зайны нийлбэрийг ол.

Хэрэв та цэгээс тэнхлэг хүртэлх зай ямар байхыг мэддэг бол даалгавар нь ерөнхийдөө энгийн зүйл юм. Та мэдэх үү? Би найдаж байна, гэхдээ танд сануулж байна:

Тэгэхээр яг дээрх зурган дээрээ би ийм перпендикуляр зурсан уу? Аль тэнхлэг дээр байна вэ? Тэнхлэг рүү. Тэгээд түүний урт хэд вэ? Тэр тэнцүү. Одоо тэнхлэгт перпендикуляр зурж, уртыг нь ол. Энэ нь тэнцүү байх болно, тийм үү? Дараа нь тэдний нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт: .

Даалгавар 4. 2-р даалгаврын нөхцөлд абсцисса тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийн ординатыг ол.

Тэгш хэм гэж юу болох нь танд ойлгомжтой байх гэж бодож байна уу? Олон объектод байдаг: олон барилга, ширээ, онгоц, олон геометрийн дүрсүүд: бөмбөлөг, цилиндр, дөрвөлжин, ромбус гэх мэт Бүдүүнчлэн хэлбэл, тэгш хэмийг дараах байдлаар ойлгож болно: дүрс нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ижил хагасаас бүрдэнэ. Энэ тэгш хэмийг тэнхлэгийн тэгш хэм гэж нэрлэдэг. Тэгвэл тэнхлэг гэж юу вэ? Энэ нь дүрсийг харьцангуйгаар тэнцүү хагас болгон "тайрах" боломжтой яг шугам юм (энэ зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг шулуун байна):

Одоо даалгавартаа буцаж орцгооё. Бид тэнхлэгт тэгш хэмтэй цэгийг хайж байгаагаа мэдэж байна. Тэгвэл энэ тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Энэ нь бид тэнхлэг нь сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Ийм цэгийг өөрөө тэмдэглэхийг хичээ. Одоо миний шийдэлтэй харьцуул:

Энэ нь танд яг адилхан болсон уу? Сайн байна! Бид олсон цэгийн ординатыг сонирхож байна. Энэ нь тэнцүү юм

Хариулт:

Одоо надад хэлээч, хэдэн секунд бодсоны дараа ординаттай харьцуулахад А цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн абсцисса хэд байх вэ? Таны хариулт юу вэ? Зөв хариулт: .

Ерөнхийдөө дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

Абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

Ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

За, одоо энэ нь бүрэн аймшигтай болсон даалгавар: цэгийн эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол. Чи эхлээд өөрийнхөөрөө бодоод дараа нь миний зургийг хар!

Хариулт:

Одоо параллелограммын асуудал:

Даалгавар 5: Цэгүүд вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма гарч ирнэ. Тэр цэгийг олоорой.

Та энэ асуудлыг логик болон координатын арга гэсэн хоёр аргаар шийдэж болно. Би эхлээд координатын аргыг ашиглаад дараа нь яаж өөрөөр шийдэж болохыг хэлье.

Цэгийн абсцисса тэнцүү гэдэг нь тодорхой байна. (энэ нь цэгээс абсцисса тэнхлэг рүү татсан перпендикуляр дээр байрладаг). Бид ординатыг олох хэрэгтэй. Бидний зураг параллелограмм гэдгийг ашиглацгаая, энэ нь гэсэн үг юм. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан сегментийн уртыг олъё.

Бид цэгийг тэнхлэгт холбосон перпендикулярыг буулгана. Би огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ.

Сегментийн урт нь тэнцүү байна. (энэ цэгийг хэлэлцсэн асуудлыг өөрөө ол), тэгвэл бид Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно.

Сегментийн урт нь түүний ординаттай яг таарч байна.

Хариулт: .

Өөр нэг шийдэл (би үүнийг харуулсан зургийг л өгье)

Шийдлийн явц:

1. Зан төлөв

2. Цэг ба уртын координатыг ол

3. Үүнийг нотлох.

Өөр нэг сегментийн урттай холбоотой асуудал:

Гурвалжны орой дээр цэгүүд гарч ирнэ. Түүний зэрэгцээ шугамын уртыг ол.

Гурвалжны дунд шугам гэж юу байдгийг санаж байна уу? Тэгвэл энэ даалгавар таны хувьд энгийн зүйл юм. Хэрэв та санахгүй байгаа бол би танд сануулъя: гурвалжны дунд шугам нь эсрэг талын дундын цэгүүдийг холбосон шугам юм. Энэ нь суурьтай параллель бөгөөд хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь сегмент юм. Бид түүний уртыг эрт хайх хэрэгтэй байсан, энэ нь тэнцүү байна. Дараа нь дунд шугамын урт нь хагас том, тэнцүү байна.

Хариулт: .

Тайлбар: Энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд үүнийг бид дараа нь авч үзэх болно.

Энэ хооронд танд хэд хэдэн асуудал байна, тэдэн дээр дадлага хий, тэдгээр нь маш энгийн боловч координатын аргыг илүү сайн ашиглахад тусална!

1. Цэгүүд нь тра-пе-ционы дээд хэсэг юм. Дунд шугамын уртыг ол.

2. Оноо ба харагдах байдал вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Тэр цэгийг олоорой.

3. Цэгийг холбосон зүсэлтээс уртыг ол

4. Координат хавтгай дээрх өнгөт дүрсийн ард байгаа хэсгийг ол.

5. На-ча-ле ко-ор-ди-нат дахь төвтэй тойрог цэгээр дамжин өнгөрдөг. Түүнийг ra-di-us-г олоорой.

6. Тойргийн олд-ди-тэ ра-ди-ус, зөв ​​өнцгийн-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-эсвэл -ди-на-чи маш хариуцлагатай байдаг.

Шийдэл:

1. Трапецын дунд шугам нь суурийнх нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурь нь тэнцүү, суурь нь. Дараа нь

Хариулт:

2. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол үүнийг тэмдэглэх явдал юм (параллелограммын дүрэм). Векторуудын координатыг тооцоолоход хэцүү биш: . Вектор нэмэх үед координатууд нэмэгддэг. Дараа нь координатууд байна. Векторын гарал үүсэл нь координаттай цэг тул цэг нь мөн эдгээр координатуудтай. Ординатыг бид сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт:

3. Бид хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёоны дагуу нэн даруй ажиллана.

Хариулт:

4. Зургийг хараад, сүүдэрлэсэн хэсэг нь аль хоёр дүрсийн хооронд "сэндвич" байгааг хэлээрэй? Энэ нь хоёр квадратын хооронд хавчуулагдсан байна. Дараа нь хүссэн зургийн талбай нь том дөрвөлжингийн талбайгаас жижиг квадратын талбайг хассантай тэнцүү байна. Жижиг дөрвөлжингийн тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь юм

Дараа нь жижиг талбайн талбай байна

Бид том дөрвөлжинтэй ижил зүйлийг хийдэг: түүний тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь юм

Дараа нь том талбайн талбай байна

Хүссэн зургийн талбайг бид дараах томъёогоор олно.

Хариулт:

5. Хэрэв тойрог нь эхийг төв болгож, нэг цэгийг дайран өнгөрвөл түүний радиус яг болно урттай тэнцүүсегмент (зураг зурж, энэ нь яагаад тодорхой болохыг та ойлгох болно). Энэ сегментийн уртыг олъё:

Хариулт:

6. Тэгш өнцөгтийг тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь түүний диагональ талтай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Хоёр диагональуудын аль нэгнийх нь уртыг олцгооё (эцсийн эцэст тэгш өнцөгт нь тэд тэнцүү байна!)

Хариулт:

За, чи бүх зүйлийг даван туулж чадсан уу? Үүнийг ойлгоход тийм ч хэцүү байгаагүй, тийм үү? Энд зөвхөн нэг дүрэм бий - визуал зураг хийж, үүнээс бүх өгөгдлийг "унших" боломжтой.

Бидэнд маш бага үлдлээ. Би ярихыг хүсч байгаа хоёр зүйл байна.

Энэ энгийн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе. Хоёр оноо өгье. Сегментийн дунд цэгийн координатыг ол. Энэ асуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна: цэгийг хүссэн дунд нь байг, дараа нь координаттай болно.

Тэр бол: сегментийн дунд хэсгийн координат = сегментийн төгсгөлийн харгалзах координатуудын арифметик дундаж.

Энэ дүрэм нь маш энгийн бөгөөд ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаггүй. Үүнийг ямар асуудал, хэрхэн ашиглахыг харцгаая.

1. Зүссэн хэсгээс олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту се-ре-ди-ны, цэгийг холбох ба

2. Цоонууд нь дэлхийн хамгийн дээд цэг мэт харагдаж байна. Түүний dia-go-na-ley-ийн per-re-se-che-niya олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту оноо.

3. Хай-di-te abs-cis-su дугуй төв, дүрслэх-сан-ной тухай тэгш өнцөгт-но-ка, ямар нэг зүйлийн орой хамтран эсвэл-ди-на-та маш хариуцлагатай-гэхдээ байна.

Шийдэл:

1. Эхний асуудал бол зүгээр л сонгодог. Бид сегментийн дунд хэсгийг тодорхойлохын тулд нэн даруй үргэлжлүүлнэ. Энэ нь координаттай. Ординат тэнцүү байна.

Хариулт:

2. Энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм (ромбус ч гэсэн!) гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үүнийг талуудын уртыг тооцоолж, бие биентэйгээ харьцуулах замаар өөрөө баталж болно. Параллелограммын талаар би юу мэдэх вэ? Түүний диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагддаг! Тиймээ! Тэгэхээр диагональуудын огтлолцох цэг юу вэ? Энэ бол аль ч диагональуудын дунд юм! Би ялангуяа диагональ сонгох болно. Дараа нь цэг нь координаттай байна Цэгийн ординат нь тэнцүү байна.

Хариулт:

3. Тэгш өнцөгтийг тойрсон тойргийн төв нь юутай давхцаж байна вэ? Энэ нь диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ? Тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд огтлолцох цэг нь тэдгээрийг хагасаар хуваадаг. Даалгаврыг өмнөх ажил болгон бууруулсан. Жишээлбэл, диагональыг авч үзье. Хэрэв тойргийн төв бол дунд цэг болно. Би координат хайж байна: Абсцисса тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо бие даан бага зэрэг дадлага хий, би зүгээр л асуудал бүрийн хариултыг өгье, ингэснээр та өөрийгөө туршиж үзээрэй.

1. Тойргийн олдох-ди-тэ ра-ди-ус, гурвалсан өнцөг-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-ор-ди-но мистер

2. Тойргийн төвийг олоод орой нь координаттай-но-ка гурвалжны талаар-сан-нойыг дүрсэл.

3. Аб-цисс тэнхлэгт хүрэхийн тулд нэг цэг дээр төвтэй тойрог ямар төрлийн ра-ди-у-са байх ёстой вэ?

4. Тэнхлэгийн дахин сэлэлтийн цэг ба зүсэлтээс, цэгийг холбох ба

Хариултууд:

Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Би үүнд үнэхээр найдаж байна! Одоо - сүүлчийн түлхэлт. Одоо ялангуяа болгоомжтой байгаарай. Миний одоо тайлбарлах материал нь В хэсгийн координатын аргын энгийн бодлоготой шууд холбоотой төдийгүй С2 бодлогын хаа сайгүй байдаг.

Би амлалтуудынхаа алийг нь хараахан биелүүлээгүй вэ? Би векторууд дээр ямар үйлдлүүдийг танилцуулна гэж амлаж, эцэст нь алийг нь нэвтрүүлсэнээ санаж байна уу? Би юу ч мартаагүй гэдэгт итгэлтэй байна уу? Мартсан! Вектор үржүүлэх гэж юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахаа мартав.

Векторыг вектороор үржүүлэх хоёр арга бий. Сонгосон аргаас хамааран бид янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг авах болно.

Загалмайн бүтээгдэхүүнийг нэлээд ухаалаг хийдэг. Үүнийг хэрхэн хийх, яагаад хэрэгтэй вэ гэдгийг бид дараагийн өгүүллээр хэлэлцэх болно. Мөн энэ хэсэгт бид скаляр бүтээгдэхүүн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий:

Таны таамаглаж байгаагаар үр дүн нь ижил байх ёстой! Тиймээс эхлээд эхний аргыг харцгаая:

Координатаар цэгэн бүтээгдэхүүн

Олно: - скаляр үржвэрийн нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр = вектор координатын үржвэрийн нийлбэр!

Жишээ:

Хай-ди-тэ

Шийдэл:

Вектор тус бүрийн координатыг олъё.

Бид скаляр бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хариулт:

Хараач, ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй!

За, одоо өөрөө үзээрэй:

· Зууны скаляр про-из-ве-де-ни болон

Та удирдаж чадсан уу? Магадгүй та бага зэрэг барьсныг анзаарсан уу? Шалгацгаая:

Өмнөх асуудлын нэгэн адил вектор координатууд! Хариулт: .

Координатын нэгээс гадна векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар дамжуулан скаляр үржвэрийг тооцоолох өөр нэг арга бий.

ба векторуудын хоорондох өнцгийг илэрхийлнэ.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Яагаад бидэнд энэ хоёр дахь томьёо хэрэгтэй байна вэ, хэрэв бидэнд эхнийх нь байгаа бол хамаагүй энгийн, ядаж косинус байхгүй. Энэ нь эхний болон хоёр дахь томьёоноос та бид хоёр векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдэхийн тулд шаардлагатай байна!

Дараа нь векторын уртын томъёог санаарай!

Дараа нь би энэ өгөгдлийг скаляр бүтээгдэхүүний томъёонд орлуулах юм бол би дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ өөр аргаар:

Тэгэхээр та бид хоёр юу авсан бэ? Одоо бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг тооцоолох томьёотой боллоо! Заримдаа үүнийг товчлох үүднээс ингэж бичдэг.

Өөрөөр хэлбэл, векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Скаляр үржвэрийг координатаар тооцоол
2. Векторуудын уртыг олоод үржүүл
3. 1-р цэгийн үр дүнг 2-р цэгийн үр дүнд хуваана

Жишээн дээр дадлага хийцгээе:

1. Зовхи болон хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хариултыг grad-du-sah хэлээр өг.

2. Өмнөх бодлогын нөхцөлд векторуудын хоорондох косинусыг ол

Үүнийг хийцгээе: Би чамд эхний асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална, харин хоёр дахь асуудлыг өөрөө хийхийг хичээ! Зөвшөөрч байна уу? Дараа нь эхэлцгээе!

1. Эдгээр векторууд нь бидний эртний найзууд юм. Бид аль хэдийн тэдний скаляр үржвэрийг тооцоолсон бөгөөд энэ нь тэнцүү байсан. Тэдний координат нь: , . Дараа нь бид тэдгээрийн уртыг олно:

Дараа нь бид векторуудын хоорондох косинусыг хайна.

Өнцгийн косинус хэд вэ? Энэ бол булан.

Хариулт:

За, одоо хоёр дахь асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь харьцуулаарай! Би маш богино шийдлийг өгөх болно:

2. солбицолтой, координаттай.

Дараа нь векторуудын хоорондох өнцөг гэж үзье

Хариулт:

В хэсгийн шууд бодлогууд ба координатын арга В хэсэгт байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй шалгалтын хуудаснэлээд ховор. Гэсэн хэдий ч C2 асуудлын дийлэнх хэсгийг координатын системийг нэвтрүүлснээр хялбархан шийдэж болно. Тиймээс та энэ өгүүллийг бид нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай нэлээд ухаалаг барилга байгууламжийг бий болгох үндэс суурь гэж үзэж болно.

КОРДИНАТ БА ВЕКТОР. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Та бид хоёр координатын аргыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Сүүлчийн хэсэгт бид танд дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгодог хэд хэдэн чухал томъёог гаргаж авсан.

1. Вектор координатыг ол
2. Векторын уртыг ол (өөр нэг хувилбар: хоёр цэгийн хоорондох зай)
3. Векторуудыг нэмэх, хасах. Тэдгээрийг бодит тоогоор үржүүлнэ
4. Сегментийн дунд цэгийг ол
5. Векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоол
6. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Мэдээжийн хэрэг, координатын бүх арга нь эдгээр 6 цэгт тохирохгүй. Энэ нь аналитик геометр гэх мэт шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог бөгөөд та үүнийг их сургуульд сурч мэдэх болно. Ганц мужид асуудлыг шийдэх боломжийг олгох суурийг л бий болгомоор байна. шалгалт. Бид В хэсгийн даалгавруудыг гүйцэтгэсэн. Одоо цоо шинэ түвшинд шилжих цаг боллоо! Энэ нийтлэлийг координатын арга руу шилжүүлэх нь зүйтэй гэж үзсэн C2 асуудлыг шийдвэрлэх аргад зориулах болно. Энэхүү үндэслэлтэй байдал нь тухайн асуудалд юуг олох шаардлагатай, ямар тоогоор тодорхойлогддог. Тиймээс, хэрэв асуултууд байвал би координатын аргыг ашиглах болно.

1. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг ол
2. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол
3. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол
4. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол
5. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол
6. Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг ол
7. Хоёр шугамын хоорондох зайг ол

Хэрэв асуудлын тайлбарт өгөгдсөн дүрс нь эргэлтийн бие (бөмбөг, цилиндр, конус ...) байвал

Координатын аргын тохиромжтой тоонууд нь:

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт)

Мөн миний туршлагаас координатын аргыг хэрэглэх нь зохисгүй:

1. Хөндлөн огтлолын талбайг олох
2. Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох

Гэсэн хэдий ч координатын аргын гурван "тааламжгүй" нөхцөл байдал практикт нэлээд ховор байдаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх ажлуудад энэ нь таны аврагч болж чадна, ялангуяа та гурван хэмжээст бүтээцэд тийм ч сайн биш бол (энэ нь заримдаа нэлээд төвөгтэй байж болно).

Миний дээр дурдсан бүх тоо юу вэ? Тэд хавтгай байхаа больсон, жишээ нь дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэх мэт, гэхдээ их хэмжээний! Үүний дагуу бид хоёр хэмжээст биш, харин гурван хэмжээст координатын системийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг бүтээхэд маш хялбар: зүгээр л абсцисса ба ординатын тэнхлэгээс гадна бид өөр тэнхлэг болох хэрэглээний тэнхлэгийг нэвтрүүлэх болно. Зурагт тэдгээрийн харьцангуй байрлалыг бүдүүвчээр харуулав.

Тэд бүгд харилцан перпендикуляр бөгөөд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд бид үүнийг координатын гарал үүсэл гэж нэрлэх болно. Өмнөхтэй адил бид абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэгийг - , танилцуулсан хэрэглээний тэнхлэгийг - гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнө нь хавтгай дээрх цэг бүрийг абсцисса ба ординат гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлдог байсан бол орон зайн цэг бүрийг абсцисса, ординат, аппликат гэсэн гурван тоогоор аль хэдийн тодорхойлсон байдаг. Жишээлбэл:

Үүний дагуу цэгийн абсцисс тэнцүү, ординат нь , хэрэглүүр нь .

Заримдаа цэгийн абсциссыг цэгийн абсцисса тэнхлэг рүү, ордината - ординат тэнхлэг рүү чиглэсэн проекц, хэрэглээний тэнхлэг дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу, хэрэв цэг өгөгдсөн бол координат бүхий цэг:

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

Байгалийн асуулт гарч ирнэ: хоёр хэмжээст тохиолдлоор гаргаж авсан бүх томьёо нь орон зайд хүчинтэй юу? Хариулт нь тийм ээ, тэд шударга бөгөөд ижил дүр төрхтэй байдаг. Жижиг нарийн ширийн зүйлийн хувьд. Аль нь болохыг та аль хэдийн таамагласан байх гэж бодож байна. Бүх томъёонд бид хэрэглээний тэнхлэгийг хариуцах өөр нэг нэр томъёо нэмэх шаардлагатай болно. Тухайлбал.

1. Хоёр оноо өгвөл: , тэгвэл:

• Вектор координатууд:
• Хоёр цэгийн хоорондох зай (эсвэл векторын урт)
• Сегментийн дунд цэг нь координаттай

2. Хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба, тэгвэл:

• Тэдний скаляр үржвэр нь дараахтай тэнцүү байна.
• Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь дараахтай тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч орон зай нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Таны ойлгож байгаагаар дахин нэг координат нэмэх нь энэ орон зайд "амьдрах" дүрсүүдийн спектрт ихээхэн ялгаатай байдлыг бий болгодог. Цаашид өгүүлэхийн тулд би шулуун шугамын "ерөнхийлэл"-ийн заримыг танилцуулах хэрэгтэй болно. Энэ "ерөнхийлэл" нь онгоц байх болно. Та онгоцны талаар юу мэдэх вэ? Онгоц гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулахыг хичээгээрэй. Үүнийг хэлэхэд маш хэцүү. Гэсэн хэдий ч бид бүгд энэ нь юу болохыг зөн совингоор төсөөлдөг:

Товчхондоо энэ бол огторгуйд наалдсан эцэс төгсгөлгүй "хуудас" юм. "Хязгааргүй" гэдэг нь онгоц бүх чиглэлд сунадаг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч энэхүү "гар"-ын тайлбар нь онгоцны бүтцийн талаар өчүүхэн ч гэсэн ойлголт өгөхгүй. Тэр бол биднийг сонирхох болно.

Геометрийн үндсэн аксиомуудын нэгийг санацгаая.

• Шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх ба зөвхөн нэг нь:

Эсвэл түүний сансар дахь аналог:

Мэдээжийн хэрэг, та өгөгдсөн хоёр цэгээс шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн гаргаж авахаа санаж байна; энэ нь тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв эхний цэг нь координаттай бол: хоёрдугаарт шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Та үүнийг 7-р ангидаа авсан. Орон зайд шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна: координаттай хоёр цэг өгье: , тэгвэл тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг:

Үүнийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ? Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: хэрэв цэг нь координат нь дараах системийг хангаж байвал шулуун дээр байрладаг.

Шугамын тэгшитгэлийг бид тийм ч их сонирхохгүй ч шугамын чиглэлийн векторын тухай маш чухал ойлголтод анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. - өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор.

Жишээлбэл, хоёр вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн векторууд юм. Шулуун дээр хэвтэж буй цэг, түүний чиглэлийн вектор байг. Дараа нь шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Дахин хэлэхэд, би шулуун шугамын тэгшитгэлийг тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ чиглэлийн вектор гэж юу болохыг санах хэрэгтэй байна! Дахин: Энэ нь шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор юм.

Татаж авах өгөгдсөн гурван цэг дээр суурилсан хавтгайн тэгшитгэлЭнэ нь тийм ч энгийн зүйл байхаа больсон бөгөөд ихэвчлэн энэ асуудлыг хичээл дээр авч үздэггүй ахлах сургууль. Гэхдээ дэмий хоосон! Нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд координатын аргыг ашиглахад энэ техник нь амин чухал юм. Гэсэн хэдий ч та шинэ зүйл сурах хүсэлтэй байгаа гэж бодож байна уу? Түүгээр ч зогсохгүй аналитик геометрийн курст ихэвчлэн судалдаг техникийг хэрхэн ашиглахаа мэддэг болсон бол та их сургуулийн багшдаа сэтгэгдэл төрүүлэх боломжтой болно. Ингээд эхэлцгээе.

Хавтгайн тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлээс тийм ч их ялгаатай биш, тухайлбал дараахь хэлбэртэй байна.

зарим тоонууд (бүгд тэгтэй тэнцүү биш), харин хувьсагч, жишээлбэл: гэх мэт. Таны харж байгаагаар хавтгайн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэлээс (шугаман функц) тийм ч их ялгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч та бид хоёр юу маргаж байсныг санаж байна уу? Хэрэв бид нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгтэй бол тэдгээрээс онгоцны тэгшитгэлийг өвөрмөц байдлаар сэргээж болно гэж бид хэлсэн. Гэхдээ яаж? Би танд тайлбарлахыг хичээх болно.

Хавтгайн тэгшитгэл нь:

Мөн цэгүүд нь энэ хавтгайд хамаарах тул цэг бүрийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулахдаа бид зөв таних тэмдгийг олж авах ёстой.

Тиймээс үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байна! Дилемма! Гэсэн хэдий ч та үүнийг үргэлж таамаглаж болно (үүнийг хийхийн тулд та хуваах хэрэгтэй). Тиймээс бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч бид ийм системийг шийдэхгүй, харин үүнээс үүдэлтэй нууцлаг илэрхийлэлийг бичих болно.

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(массив)) \баруун| = 0\]

Зогс! Энэ юу вэ? Зарим маш ер бусын модуль! Гэсэн хэдий ч таны өмнө харж буй объект нь модультай ямар ч холбоогүй юм. Энэ объектыг гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Одооноос эхлэн та хавтгай дээрх координатын аргыг судлахдаа эдгээр ижил тодорхойлогчтой байнга тулгарах болно. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Хачирхалтай нь энэ бол зүгээр л тоо. Тодорхойлогчтой ямар тодорхой тоог харьцуулахыг ойлгоход л үлдлээ.

Эхлээд гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг илүү ерөнхий хэлбэрээр бичье.

Зарим тоо хаана байна. Түүнээс гадна эхний индексээр бид мөрийн дугаарыг, индексээр баганын дугаарыг хэлнэ. Жишээлбэл, энэ тоо нь хоёр дахь мөр, гурав дахь баганын огтлолцол дээр байна гэсэн үг юм. Дараах асуултыг тавьцгаая: ийм тодорхойлогчийг яг яаж тооцоолох вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид үүнтэй ямар тодорхой тоогоор харьцуулах вэ? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд эвристик (харааны) гурвалжны дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

1. Үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэр (зүүн дээд булангаас баруун доод тал руу) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь үндсэн диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэгч элементүүдийн үржвэр. үндсэн диагональ
2. Хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэр (баруун дээд булангаас зүүн доод тал хүртэл) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь хоёрдогч диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр юм. хоёрдогч диагональ
3. Дараа нь тодорхойлогч нь алхам дээр олж авсан утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хэрэв бид энэ бүгдийг тоогоор бичвэл дараах илэрхийлэл гарч ирнэ.

Гэсэн хэдий ч та энэ хэлбэрээр тооцоолох аргыг санах шаардлагагүй, зүгээр л толгойдоо гурвалжингууд, юу нэмэгдэж, юунаас юу хасагдах талаархи санааг л хадгалахад л хангалттай).

Гурвалжингийн аргыг жишээгээр тайлбарлая.

1. Тодорхойлогчийг тооцоол:

Юу нэмж, юуг хасахаа олж мэдье.

Нэмэлттэй хамт ирдэг нөхцлүүд:

Энэ бол гол диагональ: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "үндсэн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Хоёрдахь гурвалжин, "гол диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Гурван тоог нэмнэ үү:

Хасах тэмдэгтэй ирдэг нэр томъёо

Энэ нь хажуугийн диагональ юм: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Хоёрдахь гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Гурван тоог нэмнэ үү:

Үлдсэн зүйл бол "хасах" нөхцлүүдийн нийлбэрээс "нэмэх" нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах явдал юм.

Тиймээс,

Таны харж байгаагаар гуравдагч эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолоход төвөгтэй, ер бусын зүйл байхгүй. Гурвалжны талаар санаж, арифметик алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. Одоо үүнийг өөрөө тооцоолж үзээрэй:

Бид шалгаж байна:

1. Үндсэн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
2. Үндсэн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
3. Нэмэх нэр томъёоны нийлбэр:
4. Хоёрдогч диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
5. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
6. Хасах нэр томъёоны нийлбэр:
7. Нэмэхтэй нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах нь хасахтай нөхцлүүдийн нийлбэр:

Энд хэд хэдэн тодорхойлогч хүчин зүйлүүд байна, тэдгээрийн утгыг өөрөө тооцоолж, хариулттай харьцуулна уу.

Хариултууд:

За, бүх зүйл давхцсан уу? Гайхалтай, тэгвэл та цаашаа явж болно! Хэрэв бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол: Интернет дээр тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох олон програмууд байдаг. Танд хэрэгтэй зүйл бол өөрийн тодорхойлогчийг гаргаж, өөрөө тооцоолж, дараа нь програмын тооцоолсон зүйлтэй харьцуулах явдал юм. Үр дүн нь давхцаж эхлэх хүртэл. Энэ мөч удахгүй ирэхгүй гэдэгт би итгэлтэй байна!

Одоо өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийн тухай ярихдаа миний бичсэн тодорхойлогч руу буцъя.

Танд хэрэгтэй зүйл бол түүний утгыг шууд (гурвалжингийн аргыг ашиглан) тооцоолж, үр дүнг тэг болгох явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь хувьсагч учраас та тэдгээрээс хамаарах зарим илэрхийлэлийг авах болно. Яг энэ илэрхийлэл нь нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл байх болно!

Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая:

1. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул

Бид эдгээр гурван цэгийн тодорхойлогчийг эмхэтгэдэг.

Хялбарчилъя:

Одоо бид гурвалжингийн дүрмийг ашиглан шууд тооцоолно.

\[(\left| (\begin(массив)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\төгсгөл(массив)) \ баруун| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Тиймээс цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл нь:

Одоо нэг асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй, дараа нь бид үүнийг хэлэлцэх болно:

2. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол

За, одоо шийдлийн талаар ярилцъя:

Тодорхойлогчийг үүсгэцгээе:

Мөн түүний утгыг тооцоолох:

Дараа нь онгоцны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо өөрийгөө хянах хоёр даалгавар:

1. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуул.

Хариултууд:

Бүх зүйл давхцсан уу? Дахин хэлэхэд, хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол толгойноосоо гурван оноо ав (ижил шулуун дээр хэвтэхгүй байх магадлал өндөртэй), тэдгээрийн үндсэн дээр онгоц бүтээ. Тэгээд та өөрийгөө онлайнаар шалгана уу. Жишээлбэл, сайт дээр:

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын тусламжтайгаар бид зөвхөн хавтгайн тэгшитгэлийг бүтээх болно. Зөвхөн цэгэн үржвэр нь векторуудад тодорхойлогддоггүй гэдгийг би та нарт хэлснийг санаарай. Мөн вектор бүтээгдэхүүн, түүнчлэн холимог бүтээгдэхүүн байдаг. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо бол хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор байх ба энэ вектор нь өгөгдсөн векторуудад перпендикуляр байх болно.

Түүнээс гадна түүний модуль байх болно талбайтай тэнцүүвекторууд дээр баригдсан параллелограмм ба. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолохын тулд бидэнд энэ вектор хэрэгтэй болно. Векторуудын вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэдгээрийн координат нь өгөгдсөн бол? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч бидэнд дахин туслахаар ирлээ. Гэсэн хэдий ч, вектор үржвэрийг тооцоолох алгоритм руу шилжихээсээ өмнө би жижиг ухралт хийх ёстой.

Энэ хазайлт нь суурь векторуудад хамаатай.

Тэдгээрийг схемийн дагуу зурагт үзүүлэв:

Тэднийг яагаад үндсэн гэж нэрлэдэг гэж та бодож байна вэ? Баримт нь:

Эсвэл зураг дээр:

Энэ томъёоны хүчин төгөлдөр байдал нь ойлгомжтой, учир нь:

Вектор урлагийн бүтээл

Одоо би хөндлөн бүтээгдэхүүнийг танилцуулж эхэлж болно:

Хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор бөгөөд дараах дүрмийн дагуу тооцоолно.

Одоо хөндлөн үржвэрийг тооцоолох зарим жишээг өгье.

Жишээ 1: Векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол:

Шийдэл: Би тодорхойлогчийг бүрдүүлж байна:

Тэгээд би тооцоолж байна:

Одоо суурь векторуудаар дамжуулан бичихээс хойш би ердийн вектор тэмдэглэгээ рүү буцах болно.

Тиймээс:

Одоо оролдоод үз.

Бэлэн үү? Бид шалгаж байна:

Уламжлал ёсоор хоёр хяналтын даалгавар:

1. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.
2. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.

Хариултууд:

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн

Надад хамгийн сүүлд хэрэгтэй зүйл бол гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь скаляр шиг тоо юм. Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий. - тодорхойлогчоор, - холимог бүтээгдэхүүнээр.

Тухайлбал, бидэнд гурван вектор өгье:

Дараа нь гурван векторын холимог үржвэрийг дараах байдлаар тооцоолж болно.

1. - өөрөөр хэлбэл холимог үржвэр нь векторын скаляр үржвэр ба бусад хоёр векторын вектор үржвэр юм.

Жишээлбэл, гурван векторын холимог үржвэр нь:

Үүнийг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан өөрөө тооцоолж, үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай!

Мөн дахин - хоёр жишээ бие даасан шийдвэр:

Хариултууд:

Координатын системийг сонгох

За, одоо бид стереометрийн геометрийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдлэгийн үндэстэй болсон. Гэсэн хэдий ч, жишээнүүд болон тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритм руу шууд орохын өмнө дараахь асуултанд анхаарлаа хандуулах нь ашигтай байх болно гэж би бодож байна: яг яаж тодорхой дүрсийн координатын системийг сонгох.Эцсийн эцэст энэ бол сонголт юм харьцангуй байрлалСансар огторгуй дахь координатын систем, хэлбэрүүд нь эцсийн дүндээ тооцоолол хэр төвөгтэй болохыг тодорхойлох болно.

Энэ хэсэгт бид дараах тоон үзүүлэлтүүдийг авч үзэхийг сануулъя.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Шулуун призм (гурвалжин, зургаан өнцөгт ...)
3. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин)
4. Тетраэдр (гурвалжин пирамидтай ижил)

Тэгш өнцөгт параллелепипед эсвэл шоо дөрвөлжин хэлбэртэй хэлбэрийн хувьд би танд дараахь зүйлийг хийхийг зөвлөж байна.

Өөрөөр хэлбэл, би дүрсийг "буланд" байрлуулна. Шоо болон параллелепипед бол маш сайн дүрс юм. Тэдний хувьд та түүний оройн координатыг үргэлж хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв (зураг дээр үзүүлсэн шиг)

Дараа нь оройнуудын координатууд дараах байдалтай байна.

Мэдээжийн хэрэг та үүнийг санах шаардлагагүй, гэхдээ шоо эсвэл тэгш өнцөгт параллелепипедийг хэрхэн хамгийн сайн байрлуулахаа санах нь зүйтэй.

Шулуун призм

Призм бол илүү хор хөнөөлтэй дүрс юм. Орон зайд янз бүрийн аргаар байрлуулж болно. Гэсэн хэдий ч дараахь сонголт надад хамгийн тохиромжтой гэж бодож байна.

Гурвалжин призм:

Өөрөөр хэлбэл, бид гурвалжны нэг талыг бүхэлд нь тэнхлэг дээр байрлуулж, нэг орой нь координатын эхлэлтэй давхцдаг.

Зургаан өнцөгт призм:

Өөрөөр хэлбэл, оройн аль нэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь тэнхлэг дээр байрладаг.

Дөрвөн ба зургаан өнцөгт пирамид:

Нөхцөл байдал нь шоотой төстэй: бид суурийн хоёр талыг координатын тэнхлэгүүдтэй уялдуулж, оройн аль нэгийг нь координатын гарал үүсэлтэй тэгшлэнэ. Цорын ганц бэрхшээл бол цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын хувьд - зургаан өнцөгт призмтэй адил. Гол ажил бол оройн координатыг олох явдал юм.

Тетраэдр (гурвалжин пирамид)

Нөхцөл байдал нь гурвалжин призмийн хувьд миний өгсөнтэй маш төстэй юм: нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

За, одоо та бид хоёр асуудлыг шийдэж эхлэхэд ойрхон байна. Өгүүллийн эхэнд миний хэлсэн зүйлээс та дараах дүгнэлтийг хийж болно: С2 бодлогуудын ихэнх нь өнцгийн бодлого, зайны бодлого гэсэн 2 ангилалд хуваагддаг. Эхлээд бид өнцгийг олох асуудлыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь эргээд дараахь ангилалд хуваагдана (төвөгтэй байдал нэмэгдэх тусам):

Өнцөг олох асуудал

1. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох
2. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

Эдгээр бодлогуудыг дараалан авч үзье: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох замаар эхэлье. За, санаж байна уу, та бид хоёр шийдээгүй гэж үү? ижил төстэй жишээнүүдэрт? Та санаж байна уу, бидэнд аль хэдийн ижил төстэй зүйл байсан ... Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Хэрэв хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамаарлаас олохыг танд сануулъя.

Одоо бидний зорилго бол хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох явдал юм. "Хавтгай зураг" -ыг харцгаая:

Хоёр шулуун огтлолцоход бид хэдэн өнцөгтэй болсон бэ? Хэдхэн зүйл. Үнэн бол тэдгээрийн зөвхөн хоёр нь тэнцүү биш, бусад нь босоо байрлалтай (тиймээс тэдэнтэй давхцдаг). Тэгэхээр бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг аль өнцгөөр тооцох ёстой вэ: эсвэл? Энд дүрэм нь: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь үргэлж градусаас ихгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр өнцгөөс хамгийн бага хэмжигдэхүүнтэй өнцгийг сонгох болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ зураг дээр хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг тэнцүү байна. Хоёр өнцгийн хамгийн жижигийг олох гэж төвөг удахгүйн тулд зальтай математикчид модуль ашиглахыг санал болгов. Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Анхааралтай уншигчийн хувьд танд өнцгийн косинусыг тооцоолоход шаардлагатай эдгээр тоонуудыг яг хаанаас авах вэ гэсэн асуулт гарч ирэх ёстой байв. Хариулт: Бид тэдгээрийг шугамын чиглэлийн векторуудаас авах болно! Ийнхүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид 1-р томъёог ашигладаг.

Эсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

1. Бид эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
2. Бид хоёр дахь шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
3. Бид тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний модулийг тооцоолно
4. Бид эхний векторын уртыг хайж байна
5. Бид хоёр дахь векторын уртыг хайж байна
6. 4-р цэгийн үр дүнг 5-р цэгийн үр дүнгээр үржүүлнэ
7. Бид 3-р цэгийн үр дүнг 6-р цэгийн үр дүнд хуваана. Шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг бид авна.
8. Хэрэв энэ үр дүнөнцгийг нарийн тооцоолох, хайх боломжийг танд олгоно
9. Үгүй бол бид нуман косинусаар бичдэг

За, одоо асуудал руу шилжих цаг боллоо: Би эхний хоёрын шийдлийг нарийвчлан харуулах болно, би өөр нэг шийдлийг танилцуулах болно. Товчхондоо, мөн сүүлийн хоёр асуудалд би зөвхөн хариулт өгөх болно; та тэдгээрийн бүх тооцоог өөрөө хийх ёстой.

Даалгаварууд:

1. Баруун тэт-ра-эд-рэ-д тет-ра-эд-рагийн өндөр ба дунд талын хоорондох өнцгийг ол.

2. Баруун гар талын зургаан өнцөгт пи-ра-ми-дэ, зуун ос-но-ва-ниас тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү, ба шугамын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун дөрвөн нүүрсний пи-ра-ми-дын бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол, хэрвээ зүсэлтээс авсан бол - та өгөгдсөн пи-ра-ми-ди-тэй байгаа бол цэг нь түүний бо-ко- хоёр дахь хавирга дээр се-ре-ди-байна.

4. Шоо дөрвөлжин ирмэг дээр шулуун ба хоорондын өнцгийг олох цэг байдаг

5. Цэг - шоо ирмэг дээр Шулуун ба хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Би даалгавруудыг ийм дарааллаар зохион байгуулсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Та координатын аргыг хараахан удирдаж эхлээгүй байгаа ч би өөрөө хамгийн "асуудалтай" тоонуудыг задлан шинжилж, хамгийн энгийн шоотой ажиллахыг танд үлдээх болно! Аажмаар та бүх тоонуудтай хэрхэн ажиллахаа сурах хэрэгтэй болно; Би сэдвээс сэдэв рүү даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх болно.

Асуудлыг шийдэж эхэлцгээе:

1. Миний түрүүн санал болгосны дагуу тетраэдр зураад координатын системд байрлуул. Тетраэдр нь тогтмол байдаг тул түүний бүх нүүр (суурийг оруулаад) байдаг тогтмол гурвалжин. Бидэнд талын уртыг өгөөгүй тул би үүнийг тэнцүү гэж үзэж болно. Энэ өнцөг нь манай тетраэдр хэр их “суналтаас” хамаарахгүй гэдгийг та ойлгож байна гэж бодож байна уу? Би мөн тетраэдр дэх өндөр ба медианыг зурах болно. Замдаа би түүний суурийг зурах болно (энэ нь бидэнд бас хэрэгтэй болно).

Би хоёрын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байна. Бид юу мэдэх вэ? Бид зөвхөн цэгийн координатыг л мэднэ. Энэ нь бид цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Одоо бид бодож байна: цэг нь гурвалжны өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиан) огтлолцох цэг юм. Мөн цэг бол өргөгдсөн цэг юм. Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид эцэст нь олох хэрэгтэй: цэгүүдийн координат: .

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе: цэгийн координат. Зургийг харна уу: Цэгийн хэрэглээ нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна (цэг нь хавтгай дээр байрладаг). Ординат нь тэнцүү байна (энэ нь медиан учраас). Түүний абсциссыг олох нь илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнийг Пифагорын теорем дээр үндэслэн хялбархан хийж болно: Гурвалжинг авч үзье. Түүний гипотенуз нь тэнцүү ба нэг хөл нь тэнцүү Дараа нь:

Эцэст нь бидэнд: .

Одоо цэгийн координатыг олъё. Түүний хэрэглүүр дахин тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой бөгөөд ординат нь тухайн цэгийнхтэй ижил байна, өөрөөр хэлбэл. Түүний абсциссыг олцгооё. Хэрэв та үүнийг санаж байвал энэ нь маш энгийн зүйл юм тэгш талт гурвалжны өндрийг огтлолцох цэгээр нь хуваана, дээрээс нь тоолж байна. Учир нь: , тэгвэл сегментийн урттай тэнцүү цэгийн шаардлагатай абсцисса нь: -тэй тэнцүү байна. Тиймээс цэгийн координатууд нь:

Цэгийн координатыг олъё. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Мөн өргөдөл нь сегментийн урттай тэнцүү байна. - энэ бол гурвалжны хөлүүдийн нэг юм. Гурвалжны гипотенуз нь сегмент - хөл юм. Үүнийг тодоор тэмдэглэсэн шалтгааны улмаас хайж байна.

Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог санах хэрэгтэй.

Ингээд л бид чиглэлийн векторуудын координатыг хайж болно.

За, бүх зүйл бэлэн боллоо: бид бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Тиймээс,

Хариулт:

Ийм "аймшигтай" хариултаас та айх ёсгүй: C2 даалгаврын хувьд энэ нь нийтлэг практик юм. Энэ хэсэгт байгаа "сайхан" хариултыг хараад гайхах нь дээр. Таны анзаарсанчлан би Пифагорын теорем ба тэгш талт гурвалжны өндрийн шинж чанараас өөр зүйлд хандаагүй. Өөрөөр хэлбэл, стереометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд би хамгийн бага стереометрийг ашигласан. Үүний ашиг нь нэлээд төвөгтэй тооцооллоор хэсэгчлэн "унтарсан". Гэхдээ тэд маш алгоритмтай!

2. Ердийн зургаан өнцөгт пирамидыг координатын систем, мөн суурийнх нь хамт дүрсэлцгээе.

Бид ба шугамын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Тиймээс бидний даалгавар бол цэгүүдийн координатыг олох явдал юм. Бид сүүлийн гурвын координатыг жижиг зураг ашиглан олох бөгөөд цэгийн координатаар оройн координатыг олох болно. Хийх ажил их байгаа ч бид эхлэх хэрэгтэй!

a) Координат: түүний хэрэглээний болон ординат нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна. Абсциссыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Харамсалтай нь бид зөвхөн гипотенузыг мэддэг бөгөөд энэ нь тэнцүү юм. Бид хөлөө олохыг хичээх болно (учир нь хөлний урт нь хоёр дахин их байх нь бидэнд цэгийн абсцисса өгөх нь тодорхой юм). Бид үүнийг яаж хайх вэ? Пирамидын ёроолд ямар дүрс байгааг санацгаая? Энэ бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүх талууд ба бүх өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг юм. Бид нэг ийм өнцгийг олох хэрэгтэй. Ямар нэгэн санаа байна уу? Маш олон санаа байдаг, гэхдээ томъёо байдаг:

Энгийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь .

Тиймээс өнцгүүдийн нийлбэр ердийн зургаан өнцөгтградустай тэнцүү. Дараа нь өнцөг бүр нь тэнцүү байна:

Зургийг дахин харцгаая. Сегмент нь өнцгийн биссектрис гэдэг нь тодорхой байна. Дараа нь өнцөг нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь:

Тэгээд хаанаас.

Тиймээс координатууд байна

б) Одоо бид цэгийн координатыг хялбархан олох боломжтой: .

в) Цэгийн координатыг ол. Түүний абсцисса нь сегментийн урттай давхцаж байгаа тул энэ нь тэнцүү байна. Ординатыг олох нь бас тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв бид цэгүүдийг холбож, шугамын огтлолцлын цэгийг жишээлбэл, . (энэ нь өөрөө энгийн барилгын ажил). Тэгвэл В цэгийн ординат нь хэрчмүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг дахин харцгаая. Дараа нь

Тэр цагаас хойш цэг нь координаттай болсон

d) Одоо цэгийн координатыг олъё. Тэгш өнцөгтийг авч үзээд цэгийн координатууд нь:

д) Оройн координатыг олоход л үлддэг. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Програмаа олцгооё. Түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын нөхцлийн дагуу хажуугийн ирмэг. Энэ бол миний гурвалжны гипотенуз юм. Дараа нь пирамидын өндөр нь хөл юм.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

За ингээд л болоо, миний сонирхсон бүх цэгийн координат надад байна. Би шулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын координатыг хайж байна.

Бид эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийг хайж байна.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд, энэ асуудлыг шийдэхдээ би ердийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томьёо, мөн тэгш өнцөгт гурвалжны косинус, синусын тодорхойлолтоос өөр нарийн төвөгтэй аргыг ашиглаагүй.

3. Пирамидын ирмэгийн уртыг бидэнд дахин өгөөгүй тул би тэдгээрийг нэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. Тиймээс, зөвхөн хажуугийн ирмэгүүд биш, БҮХ ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү тул пирамидын ёроолд бид дөрвөлжин, хажуугийн нүүрнүүд нь ердийн гурвалжин хэлбэртэй байна. Асуудлын текстэд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэж, ийм пирамид, түүний суурийг хавтгай дээр зурцгаая.

Бид хоёрын хоорондох өнцгийг хайж байна. Би цэгүүдийн координатыг хайхдаа маш товч тооцоолол хийх болно. Та тэдгээрийг "тайлах" хэрэгтэй болно:

б) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд:

в) Би гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно. Би үүнийг гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан олж чадна.

Координат:

d) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд нь

e) Вектор координат

f) Вектор координат

g) Өнцөг хайх:

Шоо бол хамгийн энгийн дүрс юм. Та үүнийг өөрөө шийднэ гэдэгт итгэлтэй байна. 4 ба 5-р асуудлын хариултууд дараах байдалтай байна.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох

За, энгийн оньсого хийх цаг дууслаа! Одоо жишээнүүд нь бүр ч төвөгтэй байх болно. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулна
   ,
   Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашиглан.
2. Хоёр цэгийг ашиглан бид шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг хайж байна.
3. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар энэ томьёо нь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олоход ашигладаг томъёотой маш төстэй юм. Баруун талын бүтэц нь зүгээр л адилхан бөгөөд зүүн талд бид өмнөх шигээ косинус биш харин синусыг хайж байна. За, нэг муухай үйлдэл нэмсэн - онгоцны тэгшитгэлийг хайх.

Хойшлуулахаа больё шийдлийн жишээ:

1. Үндсэн-гэхдээ-ва-ни-эм шууд призм-бид ядуутай тэнцүү гурвалжин юм. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол

2. Баруун талаас тэгш өнцөгт хэлбэртэй par-ral-le-le-pi-pe-de-д Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

4. Мэдэгдэж байгаа хавирганы ос-но-ва-ни-эм бүхий баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ-д Саарал өнгөтөөр дамжин өнгөрч буй булангийн, ob-ra-zo-van - хавтгай суурь ба шулуун, тэгш өнцөгтийг ол. хавирга ба

5. Оройтой зөв дөрвөлжин пи-ра-ми-дигийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Хэрэв цэг нь пи-ра-ми-дигийн ирмэг дээр байгаа бол шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Дахин хэлэхэд би эхний хоёр асуудлыг нэг бүрчлэн, гурав дахь асуудлыг товч, харин сүүлийн хоёрыг та өөрөө шийдэхийг үлдээе. Үүнээс гадна, та гурвалжин ба дөрвөлжин пирамидуудтай аль хэдийн харьцах ёстой байсан, гэхдээ призмтэй хараахан болоогүй байна.

Шийдэл:

1. Призм болон түүний суурийг дүрсэлцгээе. Үүнийг координатын системтэй нэгтгэж, асуудлын мэдэгдэлд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэе.

Пропорцийг дагаж мөрдөөгүйд хүлцэл өчье, гэхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ нь үнэндээ тийм ч чухал биш юм. Онгоц бол зүгээр л миний призмийн "арын хана" юм. Ийм хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж таахад хангалттай.

Гэсэн хэдий ч үүнийг шууд харуулж болно:

Энэ хавтгай дээрх дурын гурван цэгийг сонгоцгооё: жишээлбэл, .

Хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя:

Танд зориулсан дасгал: энэ тодорхойлогчийг өөрөө тооцоол. Та амжилтанд хүрсэн үү? Дараа нь онгоцны тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Эсвэл зүгээр л

Тиймээс,

Жишээг шийдэхийн тулд шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг олох хэрэгтэй. Цэг нь координатын эхлэлтэй давхцаж байгаа тул векторын координат нь тухайн цэгийн координаттай зүгээр л давхцах болно.Үүний тулд эхлээд цэгийн координатыг олно.

Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинг анхаарч үзээрэй. Оройноос өндрийг (мөн медиан ба биссектрис гэж нэрлэдэг) зуръя. Учир нь цэгийн ординат нь тэнцүү байна. Энэ цэгийн абсциссыг олохын тулд сегментийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Пифагорын теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Цэг нь "босгосон" цэг юм:

Дараа нь вектор координатууд нь:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү зүйл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, призм гэх мэт дүрсийн "шулуун байдал" нь процессыг арай хялбаршуулдаг. Одоо дараагийн жишээ рүү шилжье:

2. Параллелепипед зурж, дотор нь хавтгай ба шулуун шугамыг зурж, мөн түүний доод суурийг тусад нь зур.

Эхлээд бид хавтгайн тэгшитгэлийг олно: Түүнд байрлах гурван цэгийн координатууд:

(эхний хоёр координатыг тодорхой аргаар олж авсан бөгөөд та хамгийн сүүлийн координатыг зурган дээрээс хялбархан олох боломжтой). Дараа нь бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид тооцоолно:

Бид чиглүүлэгч векторын координатыг хайж байна: Түүний координат нь тухайн цэгийн координаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна, тийм үү? Координатыг хэрхэн олох вэ? Эдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгийн дагуу нэгээр өргөгдсөн цэгийн координатууд юм! . Дараа нь бид хүссэн өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

3. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид зурж, дараа нь хавтгай ба шулуун шугамыг зур.

Энэ асуудлыг шийдэх нь битгий хэл онгоц зурах нь ч хэцүү байдаг, гэхдээ координатын арга нь хамаагүй! Түүний олон талт байдал нь түүний гол давуу тал юм!

Онгоц гурван цэгийг дайран өнгөрдөг: . Бид тэдгээрийн координатыг хайж байна:

1) . Сүүлийн хоёр цэгийн координатыг өөрөө олж мэдээрэй. Үүний тулд та зургаан өнцөгт пирамидын асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно!

2) Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Бид векторын координатыг хайж байна: . (Гурвалжин пирамидын асуудлыг дахин үзнэ үү!)

3) Өнцөг хайх:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар эдгээр ажилд ер бусын хэцүү зүйл байдаггүй. Та зүгээр л үндэстэй маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Би зөвхөн сүүлийн хоёр асуудалд хариулт өгөх болно:

Таны харж байгаагаар асуудлыг шийдэх техник нь хаа сайгүй ижил байдаг: гол ажил бол оройн координатыг олж, тэдгээрийг тодорхой томъёонд орлуулах явдал юм. Бид өнцгийг тооцоолох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй, тухайлбал:

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох

Шийдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид эхний хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
2. Бусад гурван цэгийг ашиглан бид хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
3. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Таны харж байгаагаар томьёо нь өмнөх хоёр томьёотой маш төстэй бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид шулуун шугам, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг хайсан. Тиймээс үүнийг санах нь танд хэцүү биш байх болно. Даалгавруудын дүн шинжилгээ рүү шилжье:

1. Баруун гурвалжин призмийн суурийн тал тэнцүү, хажуугийн нүүрний диагональ тэнцүү байна. Призмийн тэнхлэгийн хавтгай ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

2. Баруун дөрвөн өнцөгт пи-ра-ми-дэ, бүх ирмэг нь тэнцүү, хавтгай ба хавтгай ясны хоорондох өнцгийн синусыг ол per-pen-di-ku- цэгээр дамжин өнгөрнө. лай - гэхдээ шулуун.

3. Энгийн дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Ирмэг дээр цэг байдаг нь-me-che-on тийм болохоор. ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол

4. Баруун дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Цэгээс ирмэг дээр цэг байдаг тул хавтгай хоорондын өнцгийг олох ба.

5. Шоо дөрвөлжинд ба хавтгайнуудын хоорондох өнцгийн ко-си нусыг ол

Асуудлын шийдэл:

1. Би ердийн (суурь дээр нь тэгш талт гурвалжин) гурвалжин призмийг зурж, түүн дээр асуудлын тайлбарт харагдах хавтгайг тэмдэглэв.

Бид хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй: Суурийн тэгшитгэл нь өчүүхэн: та гурван цэгийг ашиглан харгалзах тодорхойлогчийг зохиож болно, гэхдээ би тэр даруй тэгшитгэлийг зохиох болно.

Одоо тэгшитгэлийг олцгооё Цэг нь координаттай Цэг - Гурвалжны дундаж ба өндөр нь гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан амархан олно. Тэгвэл цэг нь координаттай байна: Цэгийн хэрэглээний хэсгийг олъё.Ингэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье.

Дараа нь бид дараах координатуудыг авна: Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолно.

Хариулт:

2. Зураг зурах:

Хамгийн хэцүү зүйл бол энэ цэгээр перпендикуляр дамждаг ямар нууцлаг онгоц болохыг ойлгох явдал юм. За, гол нь юу вэ? Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм! Үнэн хэрэгтээ шугам нь перпендикуляр юм. Шулуун шугам нь мөн перпендикуляр байна. Дараа нь эдгээр хоёр шугамыг дайран өнгөрөх онгоц нь шулуунтай перпендикуляр байх бөгөөд дашрамд хэлэхэд, цэгийг дайран өнгөрнө. Энэ онгоц мөн пирамидын оройгоор дамжин өнгөрдөг. Дараа нь хүссэн онгоц - Тэгээд онгоцыг бидэнд аль хэдийн өгсөн. Бид цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Бид цэгээр дамжин тухайн цэгийн координатыг олно. Бяцхан зургаас тухайн цэгийн координатууд дараах байдалтай байна гэсэн дүгнэлт хийхэд хялбар байдаг: Пирамидын оройн координатыг олохын тулд одоо юу үлдэх вэ? Та мөн түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг Пифагорын ижил теорем ашиглан хийдэг: эхлээд үүнийг нотлох (суурь дээр квадрат үүсгэдэг жижиг гурвалжнуудаас). Нөхцөлөөр бид:

Одоо бүх зүйл бэлэн боллоо: оройн координатууд:

Бид онгоцны тэгшитгэлийг бүтээдэг:

Та аль хэдийн тодорхойлогчийг тооцоолох мэргэжилтэн болсон. Та ямар ч хүндрэлгүйгээр хүлээн авах болно:

Эсвэл өөрөөр (хэрэв бид хоёр талыг хоёрын үндэсээр үржүүлбэл)

Одоо онгоцны тэгшитгэлийг олъё:

(Бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн олж авдагийг та мартаагүй байна, тийм ээ? Хэрэв та энэ хасах нь хаанаас ирснийг ойлгохгүй байгаа бол онгоцны тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу буцаж ор! Миний онгоц координатын гарал үүсэлтэй байсан!)

Бид тодорхойлогчийг тооцоолно:

(Онцгойн тэгшитгэл нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлтэй давхцаж байгааг та анзаарч магадгүй! Яагаад гэдгийг бодоорой!)

Одоо өнцгийг тооцоолъё:

Бид синусыг олох хэрэгтэй:

Хариулт:

3. Залхуу асуулт: тэгш өнцөгт призм гэж юу гэж бодож байна вэ? Энэ бол зүгээр л таны сайн мэдэх параллелепипед юм! Тэр даруй зураг зурцгаая! Та суурийг тусад нь дүрслэх шаардлагагүй, энд ашиг багатай:

Онгоцыг бид өмнө нь тэмдэглэснээр тэгшитгэл хэлбэрээр бичсэн болно.

Одоо онгоц бүтээцгээе

Бид нэн даруй онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэнэ.

Өнцөг хайж байна:

Одоо сүүлийн хоёр асуудлын хариултууд:

За, одоо жаахан завсарлага авах цаг нь болсон, учир нь та бид хоёр гайхалтай бөгөөд маш сайн ажил хийсэн!

Координат ба векторууд. Ахисан түвшин

Энэ нийтлэлд бид тантай координатын аргыг ашиглан шийдэж болох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх болно: зайны тооцооллын асуудлууд. Тухайлбал, бид дараах тохиолдлуудыг авч үзэх болно.

1. огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох.

Би эдгээр даалгаврыг улам хүндрүүлэхийн тулд захиалсан. Энэ нь олоход хамгийн хялбар юм цэгээс хавтгай хүртэлх зай, хамгийн хэцүү зүйл бол олох явдал юм огтлолцох шугам хоорондын зай. Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг боломжгүй зүйл гэж байдаггүй! Хойшлуулахгүй, нэн даруй эхний ангиллын асуудлыг авч үзье.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Цэгийн координат

Тиймээс, шаардлагатай бүх өгөгдлийг хүлээн авмагц бид дараах томъёог хэрэглэнэ.

Миний сүүлийн хэсэгт ярилцсан өмнөх асуудлуудаас бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн яаж байгуулдгийг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой. Даалгаврууддаа шууд орцгооё. Схем нь дараах байдалтай байна: 1, 2 - Би танд шийдвэр гаргахад тусална, зарим талаараа 3, 4 - зөвхөн хариулт, та шийдлийг өөрөө хийж, харьцуулна. Эхэлцгээе!

Даалгаварууд:

1. Шоо өгөгдсөн. Кубын ирмэгийн урт нь тэнцүү байна. Се-ре-ди-нагаас зүсэлтээс хавтгай хүртэлх зайг ол

2. Баруун дөрвөн нүүрсний pi-ra-mi-yes өгөгдсөн бол хажуугийн тал нь суурьтай тэнцүү байна. Се-re-di-on ирмэг дээр байгаа цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

3. Ос-но-ва-ни-эмтэй баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү, os-no-vania-н зуун-ро-он нь тэнцүү байна. Дээд талаас хавтгай хүртэлх зайг ол.

4. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Нэг ирмэгтэй шоо зурж, хэрчим ба хавтгайг барьж, сегментийн дунд хэсгийг үсгээр тэмдэглэ.

.

Эхлээд энгийн зүйлээс эхэлье: цэгийн координатыг олоорой. Түүнээс хойш (сегментийн дунд хэсгийн координатыг санаарай!)

Одоо бид гурван цэгийг ашиглан онгоцны тэгшитгэлийг зохио

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(массив)) \баруун| = 0\]

Одоо би зайг хайж эхэлж болно:

2. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн зургаар дахин эхэлдэг!

Пирамидын хувьд түүний суурийг тусад нь зурах нь ашигтай байх болно.

Би сарвуугаараа тахиа шиг зурсан нь ч энэ асуудлыг хялбархан шийдвэрлэхэд саад болохгүй!

Одоо цэгийн координатыг олоход хялбар боллоо

Тухайн цэгийн координатаас хойш

2. a цэгийн координатууд нь хэрчмийн дунд байдаг тул

Ямар ч асуудалгүйгээр бид хавтгай дээрх хоёр цэгийн координатыг олж чадна.Бид хавтгайд тэгшитгэл үүсгэж, хялбаршуулна.

\[\зүүн| (\left| (\begin(массив)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\төгсгөл(массив)) \баруун|) \баруун| = 0\]

Цэг нь координаттай тул зайг тооцоолно:

Хариулт (маш ховор!):

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Миний бодлоор энд бүх зүйл өмнөх хэсэгт авч үзсэн жишээнүүдийн адил техникийн шинж чанартай юм шиг санагдаж байна. Тиймээс хэрэв та тэр материалыг эзэмшсэн бол үлдсэн хоёр асуудлыг шийдэхэд танд хэцүү байх болно гэдэгт би итгэлтэй байна. Би танд зөвхөн хариултуудыг өгөх болно:

Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга. Шулуун ба хавтгай хоёрыг бие биенээсээ хэрхэн байрлуулах вэ? Тэд огтлолцох, эсвэл шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байх цорын ганц боломжуудтай. Шулуун шугамаас энэ шулуун огтлолцох хавтгай хүртэлх зай хэд гэж та бодож байна вэ? Ийм зай тэгтэй тэнцэх нь энд ойлгомжтой юм шиг надад санагдаж байна. Сонирхолгүй хэрэг.

Хоёр дахь тохиолдол нь илүү төвөгтэй юм: энд зай аль хэдийн тэг биш байна. Гэсэн хэдий ч шугам нь хавтгайтай параллель байх тул шугамын цэг бүр энэ хавтгайгаас ижил зайд байна.

Тиймээс:

Энэ нь миний даалгавар өмнөх ажил руу буурсан гэсэн үг юм: бид шулуун шугамын аль ч цэгийн координатыг хайж, хавтгайн тэгшитгэлийг хайж, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолж байна. Үнэндээ ийм даалгавар Улсын нэгдсэн шалгалтад маш ховор байдаг. Би зөвхөн нэг асуудлыг олж чадсан бөгөөд үүн доторх өгөгдөл нь координатын арга нь тийм ч тохиромжтой биш байсан!

Одоо өөр, илүү чухал ангиллын асуудал руу шилжье:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолох

Бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Бидний зайг хайж буй цэгийн координатууд:

2. Шулуун дээр байрлах аливаа цэгийн координат

3. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатууд

Бид ямар томъёог ашигладаг вэ?

Энэ бутархайн хуваагч нь юу гэсэн үг вэ гэдэг нь танд ойлгомжтой байх ёстой: энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх векторын урт юм. Энэ бол маш төвөгтэй тоологч юм! Илэрхийлэл нь векторуудын вектор үржвэрийн модуль (урт) гэсэн үг бөгөөд вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох талаар бид ажлын өмнөх хэсэгт судалсан. Мэдлэгээ сэргээ, бидэнд энэ нь одоо маш их хэрэгтэй болно!

Тиймээс асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бид зайг хайж буй цэгийн координатыг хайж байна.

2. Бид зайг хайж буй шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг хайж байна.

3. Векторыг байгуул

4. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг байгуул

5. Вектор үржвэрийг тооцоол

6. Бид үүссэн векторын уртыг хайна:

7. Зайг тооцоол:

Бидэнд хийх ажил маш их байгаа бөгөөд жишээнүүд нь нэлээд төвөгтэй байх болно! Тиймээс одоо бүх анхаарлаа төвлөрүүл!

1. Дээд тал нь зөв гурвалжин пи-ра-ми-да өгөгдсөн. Пи-ра-ми-ды үндсэн дээр зуун-ро- тэнцүү байна, та тэнцүү байна. Саарал ирмэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг олох ба энд цэгүүд нь саарал ирмэг ба мал эмнэлгийн цэг юм.

2. Хавирганы урт ба шулуун өнцөг-но-го par-ral-le-le-pi-pe-da нь тэнцүү бөгөөд дээд талаас шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү, цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн цэвэрхэн зураг зурдаг.

Бидэнд хийх ажил их байна! Юуны өмнө би юуг эрэлхийлж, ямар дарааллаар эрэлхийлэхээ үгээр тайлбарлахыг хүсч байна.

1. Цэгүүдийн координат ба

2. Цэгийн координат

3. Цэгүүдийн координат ба

4. Векторуудын координат ба

5. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүн

6. Векторын урт

7. Вектор үржвэрийн урт

8. хүртэлх зай

За, биднийг маш их ажил хүлээж байна! Ханцуй шамлан орцгооё!

1. Пирамидын өндрийн координатыг олохын тулд тухайн цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.Түүний хэрэглүүр нь тэг, ординат нь абсциссатай тэнцүү бол хэрчмийн урттай тэнцүү.Учир нь өндөр нь тэгш талт гурвалжин, энэ нь оройноос эхлэн тоолох харьцаагаар хуваагдана. Эцэст нь бид координатуудыг олж авлаа:

Цэгийн координат

2. - сегментийн дунд хэсэг

3. - сегментийн дунд хэсэг

Сегментийн дунд цэг

4. Координат

Вектор координат

5. Вектор үржвэрийг тооцоол:

6. Векторын урт: солих хамгийн хялбар арга бол сегмент нь гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь суурийн хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгэхээр.

7. Вектор үржвэрийн уртыг тооцоол.

8. Эцэст нь бид зайг олно:

Өө, тэгээд л болоо! Би танд шударгаар хэлье: уламжлалт аргаар (барилга угсралтын замаар) энэ асуудлыг шийдэх нь илүү хурдан байх болно. Гэхдээ энд би бүх зүйлийг бэлэн алгоритм болгон бууруулсан! Шийдлийн алгоритм танд ойлгомжтой гэж бодож байна уу? Тиймээс үлдсэн хоёр асуудлаа өөрсдөө шийдээч гэж хэлье. Хариултуудыг харьцуулж үзье?

Дахин хэлэхэд би давтан хэлье: координатын аргыг ашиглахаас илүүтэйгээр эдгээр асуудлыг барилга байгууламжаар шийдвэрлэх нь илүү хялбар (илүү хурдан) юм. Би зөвхөн "юу ч барьж дуусгахгүй" гэсэн бүх нийтийн аргыг харуулахын тулд энэхүү шийдлийн аргыг харуулсан.

Эцэст нь, асуудлын сүүлийн ангиллыг авч үзье.

огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох

Энд асуудлыг шийдэх алгоритм нь өмнөхтэй төстэй байх болно. Бидэнд байгаа зүйл:

3. Нэг ба хоёрдугаар шугамын цэгүүдийг холбосон дурын вектор:

Шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тоолуур нь холимог үржвэрийн модуль (бид өмнөх хэсэгт танилцуулсан), хуваагч нь өмнөх томьёоны адил (шулуун шугамын чиглэлийн векторуудын вектор үржвэрийн модуль, тэдгээрийн хоорондох зай) юм. хайж байна).

Би танд сануулъя

Дараа нь зайны томъёог дахин бичиж болно:

Энэ нь тодорхойлогчоор хуваагдсан тодорхойлогч юм! Үнэнийг хэлэхэд надад энд хошигнох цаг алга! Энэ томъёо нь үнэндээ маш төвөгтэй бөгөөд нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг. Хэрэв би чиний оронд байсан бол эцсийн арга хэмжээ болгон л үүнийг хийх байсан!

Дээрх аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

1. Бүх ирмэг нь тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин призмд ба шулуунуудын хоорондох зайг ол.

2. Тэгш өнцөгт гурвалжин призм өгвөл суурийн бүх ирмэгүүд нь биеийн хавиргаар дамжин өнгөрөх хэсэгтэй тэнцүү бөгөөд се-ре-ди-худаг хавирга нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. ба шулуун шугамын хоорондох зайг ол

Би эхнийхийг нь шийднэ, үүний үндсэн дээр та хоёрыг шийднэ!

1. Би призм зурж, шулуун ба тэмдэглэнэ

С цэгийн координат: тэгвэл

Цэгийн координат

Вектор координат

Цэгийн координат

Вектор координат

Вектор координат

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(массив)(*(20)(l))(\begin(массив)(*(20)(c))0&1&0\төгсгөл(массив))\\(\begin(массив)(*(20) (c))0&0&1\төгсгөл(массив))\\(\эхлэх(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\төгсгөл(массив))\төгс(массив)) \баруун| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Бид векторуудын хоорондох вектор үржвэрийг тооцоолно

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(массив)(l)\begin(массив)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(массив)\\\begin(массив) )(*(20)(c))0&0&1\төгсгөл(массив)\\\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\төгсгөл(массив)\төгс(массив) \баруун| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Одоо бид түүний уртыг тооцоолно:

Хариулт:

Одоо хоёр дахь даалгавраа анхааралтай хийж үзээрэй. Үүний хариулт нь: .

Координат ба векторууд. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм. - векторын эхлэл, - векторын төгсгөл.
Векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэвектор - векторыг илэрхийлэх сегментийн урт. гэж тэмдэглэсэн.

Вектор координатууд:

,
векторын төгсгөлүүд хаана байна \displaystyle a .

Векторуудын нийлбэр: .

Векторуудын бүтээгдэхүүн:

Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн:

Векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна үнэмлэхүй утгуудтэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар:

ҮЛДСЭН 2/3 НИЙТЛЭЛИЙГ ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ОЮУТНУУД ТАНД ХИЙХ БОЛОМЖТОЙ!

YouClever оюутан болох,

Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд "сард нэг аяга кофе" -ны үнээр бэлдээрэй.

Мөн "YouClever" сурах бичиг, "100gia" Бэлтгэл хөтөлбөр (ажлын дэвтэр) -ийг хязгааргүй авах боломжтой. шүүх Улсын нэгдсэн шалгалтболон OGE, шийдэл болон бусад үйлчилгээ YouClever болон 100gia дүн шинжилгээ хийх 6000 асуудал.

Координатын арга (цэг ба хавтгай хоорондын зай, шулуун шугамын хоорондох зай)

Цэг ба хавтгай хоорондын зай.

Цэг ба шугамын хоорондох зай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох зай.

Мэдэх хэрэгтэй хамгийн эхний зүйл бол цэгээс хавтгай хүртэлх зайг хэрхэн олох явдал юм.

A, B, C, D утгууд - хавтгай коэффициент

x, y, z - цэгийн координат

Даалгавар. А = (3; 7; −2) цэг ба 4x + 3y + 13z - 20 = 0 хавтгай хоорондын зайг ол.

Бүх зүйл өгөгдсөн тул та утгыг тэгшитгэлд нэн даруй орлуулж болно.

Даалгавар. K = (1; −2; 7) цэгээс V = (8; 6; −13) ба T = (−1; −6; 7) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун хүртэлх зайг ол.

1. Шулуун векторыг ол.
2. Бид хүссэн цэг болон шугамын дурын цэгээр дамжин өнгөрөх векторыг тооцоолно.
   
3. Бид матрицыг тогтоож, 1 ба 2-р догол мөрөнд үүссэн хоёр вектороос тодорхойлогчийг олно.
4. Бид зайг хэзээ авдаг Квадрат язгуурматрицын коэффициентүүдийн квадратуудын нийлбэрээс шулуун шугамыг тодорхойлох векторын уртад хуваана.(Энэ нь тодорхойгүй байна гэж бодож байна, тиймээс тодорхой жишээ рүү шилжье).

1) ТВ = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Бид K ба T цэгүүдээр дамжуулан векторыг олох болно, гэхдээ энэ нь K ба V эсвэл өгөгдсөн шугамын бусад цэгээр дамжин байж болно.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Та D коэффициентгүй матрицыг авах болно (энд шийдэлд энэ нь шаардлагагүй):

4) Хавтгайг A = 80, B = 40, C = 12 коэффициентээр авсан.

x, y, z - шугамын векторын координатууд, энэ тохиолдолд вектор ТВ нь координатуудтай (9; 12; −20)

Даалгавар. E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун ба M = (4; −1; 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамын хоорондох зайг ол. L = ( -2; 3; 0).

1. Бид хоёр шугамын векторуудыг тохируулна.
2. Шугам бүрээс нэг цэг авч векторыг олно.
3. Бид 3 векторын матрицыг (1-р цэгээс хоёр мөр, 2-оос нэг мөр) бичиж, тоон тодорхойлогчийг олно.
4. Бид эхний хоёр векторын матрицыг тогтоосон (1-р алхамд). Бид эхний мөрийг x, y, z гэж тохируулсан.
5. 3-р цэгийн модулийн үр дүнгийн утгыг 4-р цэгийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуурт хуваах үед бид зайг авна.

Тоонууд руугаа явцгаая.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь тухайн цэгээс шулуун хүртэл татсан перпендикулярын урт юм. Дүрслэх геометрийн хувьд доор өгөгдсөн алгоритмыг ашиглан графикаар тодорхойлно.

Алгоритм

1. Шулуун шугамыг аливаа проекцын хавтгайтай параллель байх байрлалд шилжүүлнэ. Энэ зорилгоор ортогональ проекцийг хувиргах аргыг ашигладаг.
2. Нэг цэгээс шулуун руу перпендикуляр татагдана. Энэхүү бүтээн байгуулалт нь зөв өнцгийн проекцын тухай теорем дээр суурилдаг.
3. Перпендикулярын уртыг проекцийг хувиргах эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжны аргыг ашиглан тодорхойлно.

Дараах зурагт CD сегментээр тодорхойлогдсон М цэг ба b шугамын нийлмэл зургийг үзүүлэв. Та тэдгээрийн хоорондох зайг олох хэрэгтэй.

Бидний алгоритмын дагуу хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол шугамыг проекцын хавтгайтай параллель байрлал руу шилжүүлэх явдал юм. Өөрчлөлтийг хийсний дараа цэг ба шугамын хоорондох бодит зай өөрчлөгдөх ёсгүй гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Тийм ч учраас сансарт хөдөлж буй дүрсийг оролцуулдаггүй онгоцыг солих аргыг ашиглах нь тохиромжтой.

Барилгын эхний шатны үр дүнг доор харуулав. Зураг дээр b-тэй зэрэгцээ нэмэлт урд талын P 4 хавтгайг хэрхэн нэвтрүүлж байгааг харуулж байна. IN шинэ систем(P 1, P 4) C"" 1, D"" 1, M"" 1 цэгүүд нь X тэнхлэгээс 1-ээс C"", D"", M"" X тэнхлэгээс ижил зайд байна.

Алгоритмын хоёр дахь хэсгийг гүйцэтгэснээр M"" 1-ээс бид перпендикуляр M"" 1 N"" 1-ийг b"" 1 шулуун руу буулгана, учир нь b ба MN хоорондох MND зөв өнцгийг P хавтгайд тусгасан болно. 4 бүрэн хэмжээтэй. Холбооны шугамыг ашиглан бид N" цэгийн байрлалыг тодорхойлж, MN сегментийн M"N" проекцийг гүйцэтгэнэ.

Эцсийн шатанд та MN сегментийн хэмжээг M"N" ба M"" 1 N"" 1 проекцуудаас тодорхойлох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид M"" 1 N"" 1 N 0 тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна, түүний хөл N"" 1 N 0 нь M" ба N" цэгүүдийн зайны зөрүүтэй (Y M 1 – Y N 1) тэнцүү байна. X 1 тэнхлэгээс. M"" 1 N"" 1 N 0 гурвалжны M"" 1 N 0 гипотенузын урт нь M-ээс b хүртэлх хүссэн зайтай тохирч байна.

Хоёр дахь шийдэл

• CD-тэй зэрэгцэн бид шинэ урд талын P 4 онгоцыг танилцуулж байна. Энэ нь X 1 тэнхлэгийн дагуу P 1, X 1 ∥C"D"-тэй огтлолцоно. Хавтгайг солих аргын дагуу бид зурагт үзүүлсэн шиг C"" 1, D"" 1 ба M"" 1 цэгүүдийн төсөөллийг тодорхойлно.
• C"" 1 D"" 1 перпендикуляраар бид нэмэлт хэвтээ P 5 хавтгайг барьж, түүн дээр b шулуун C" 2 = b" 2 цэг рүү чиглэнэ.
• М цэг ба b шугамын хоорондох зайг улаанаар тэмдэглэсэн M" 2 C" 2 сегментийн уртаар тодорхойлно.

Үүнтэй төстэй ажлууд:

Төрөл бүрийн геометрийн объектуудын хоорондын зайг олох чадвар нь хэлбэрийн гадаргуугийн талбай, тэдгээрийн эзэлхүүнийг тооцоолоход чухал юм. Энэ нийтлэлд бид орон зай ба хавтгай дээрх цэгээс шулуун хүртэлх зайг хэрхэн олох тухай асуултыг авч үзэх болно.

Шугамын математик тайлбар

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг хэрхэн олохыг ойлгохын тулд эдгээр геометрийн объектуудын математик тодорхойлолтын асуултыг ойлгох хэрэгтэй.

Цэгтэй бүх зүйл энгийн бөгөөд үүнийг координатын багцаар дүрсэлсэн бөгөөд тэдгээрийн тоо нь орон зайн хэмжээстэй тохирч байна. Жишээлбэл, хавтгай дээр эдгээр нь хоёр координат, гурван хэмжээст орон зайд гурван байна.

Нэг хэмжээст объект - шулуун шугамын хувьд үүнийг дүрслэхийн тулд хэд хэдэн төрлийн тэгшитгэлийг ашигладаг. Тэдгээрийн зөвхөн хоёрыг л авч үзье.

Эхний төрлийг вектор тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Гурван хэмжээст ба хоёр хэмжээст орон зай дахь шугамуудын илэрхийлэлийг доор харуулав.

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Эдгээр илэрхийлэлд тэг индекстэй координатууд нь өгөгдсөн шугамын дайран өнгөрөх цэгийг дүрсэлдэг, координатын багц (a; b; c) ба (a; b) нь харгалзах шулууны чиглэлийн векторууд гэж нэрлэгддэг, α нь a ямар ч бодит утгыг авч болох параметр.

Вектор тэгшитгэл нь янз бүрийн геометрийн объектуудын параллелизм эсвэл перпендикуляр байдлын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох шугамын чиглэлийн векторыг тодорхой агуулж байгаа тул тохиромжтой байдаг, жишээлбэл, хоёр шулуун шугам.

Шугамын хувьд бидний авч үзэх хоёр дахь төрлийн тэгшитгэлийг ерөнхий гэж нэрлэдэг. Орон зайд энэ төрлийг өгдөг ерөнхий тэгшитгэлхоёр онгоц. Онгоцонд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

A × x + B × y + C = 0

График зурахдаа ихэвчлэн X/Y-ийн хамаарлаар бичдэг, өөрөөр хэлбэл:

y = -A / B × x +(-C / B)

Энд чөлөөт нэр томъёо -C / B нь шугамын y тэнхлэгтэй огтлолцох координаттай тохирч, -A / B коэффициент нь шугамын х тэнхлэгт налуу өнцөгтэй холбоотой байна.

Шугаман ба цэгийн хоорондох зайны тухай ойлголт

Тэгшитгэлүүдийг авч үзсэний дараа та цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд шууд хариулж болно. 7-р ангид сургуулиуд зохих үнэ цэнийг тодорхойлох замаар энэ асуудлыг авч үзэж эхэлдэг.

Шугам ба цэгийн хоорондох зай нь тухайн цэгээс хасагдсан энэ шулуунтай перпендикуляр хэрчмийн урт юм. Доорх зурагт шулуун шугам r ба А цэгийг харуулав. Шулуун шугаманд перпендикуляр хэрчмийг цэнхэр өнгөөр ​​үзүүлэв. Түүний урт нь шаардлагатай зай юм.

Гэсэн хэдий ч хоёр хэмжээст хэргийг энд дүрсэлсэн болно энэ тодорхойлолтзай нь гурван хэмжээст бодлогод мөн хүчинтэй.

Шаардлагатай томъёо

Шугамын тэгшитгэлийг ямар хэлбэрээр бичиж, ямар орон зайд асуудлыг шийдэж байгаагаас хамааран шугам ба цэгийн хоорондох зайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулах үндсэн хоёр томьёог гаргаж болно.

Мэдэгдэж буй цэгийг P 2 тэмдгээр тэмдэглэе. Хэрэв шулуун шугамын тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр өгсөн бол авч үзэж буй объектуудын хоорондох зай d-ийн хувьд дараах томъёо хүчинтэй байна.

d = || / |v¯|

Өөрөөр хэлбэл d-г тодорхойлохын тулд та шулуун шугамын v¯ вектор ба P 1 P 2 ¯ векторын чиглүүлэгчийн вектор үржвэрийн модулийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд эхлэл нь шулуун шугамын дурын P 1 цэг дээр байрладаг. , ба төгсгөл нь P 2 цэг дээр байвал энэ модулийг v ¯ уртаар хуваана. Энэ томъёо нь хавтгай ба гурван хэмжээст орон зай.

Хэрэв асуудлыг xy координатын систем дэх хавтгай дээр авч үзвэл шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өгсөн бол шулуунаас цэг хүртэлх зайг дараах томъёогоор олох боломжийг танд олгоно.

Шулуун шугам: A × x + B × y + C = 0;

Цэг: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Зай: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Дээрх томъёо нь маш энгийн боловч түүний хэрэглээ нь дээр дурдсан нөхцлөөр хязгаарлагддаг.

Шулуун шугам дээрх цэгийн проекцын координат ба зай

Мөн цэгээс шулуун хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад өгөгдсөн томьёог цээжлэхгүйгээр өөр аргаар хариулж болно. Энэ арга нь анхны цэгийн проекц болох шулуун дээрх цэгийг тодорхойлох явдал юм.

М цэг ба r шулуун байна гэж бодъё. М цэгийн r дээрх проекц нь тодорхой M 1 цэгтэй тохирч байна. M-ээс r хүртэлх зай нь MM 1 ¯ векторын урттай тэнцүү байна.

M 1-ийн координатыг хэрхэн олох вэ? Маш энгийн. Шугамын вектор v¯ нь MM 1¯-д перпендикуляр байх болно, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн скаляр үржвэр байх ёстой гэдгийг санахад хангалттай. тэгтэй тэнцүү. Энэ нөхцөл дээр M 1 координатууд нь r шугамын тэгшитгэлийг хангасан байх ёстойг нэмж, энгийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна. Үүний шийдлийн үр дүнд М цэгийн r дээр проекцын координатуудыг олж авна.

Шугамаас цэг хүртэлх зайг олохын тулд энэ догол мөрөнд тайлбарласан техникийг хавтгай болон орон зайд ашиглаж болно, гэхдээ үүнийг ашиглах нь шулууны вектор тэгшитгэлийн талаархи мэдлэгийг шаарддаг.

Онгоцны асуудал

Одоо танилцуулсан математикийн төхөөрөмжийг бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг харуулах цаг болжээ. Хавтгай дээр M(-4; 5) цэг өгөгдсөн гэж үзье. М цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг олох шаардлагатай бөгөөд үүнийг ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно.

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Өөрөөр хэлбэл, М нь шугаман дээр хэвтдэггүй.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өгөөгүй тул харгалзах томъёог ашиглахын тулд бид үүнийг ийм хэлбэрт оруулав.

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

Одоо та мэдэгдэж буй тоонуудыг d-ийн томъёонд орлуулж болно:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

Сансарт асуудал

Одоо сансарт тохиолдсон тохиолдлыг авч үзье. Шулуун шугамыг дараах тэгшитгэлээр тодорхойл.

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Үүнээс M(0; 2; -3) цэг хүртэлх зай ямар байх вэ?

Түүнчлэн дотор өмнөх тохиолдол, M нь өгөгдсөн мөрөнд хамаарах эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудыг тэгшитгэлд орлуулж, тодорхой дахин бичнэ.

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

Янз бүрийн α параметрүүдийг олж авсан тул M нь энэ мөрөнд хэвтэхгүй. Одоо түүнээс шулуун шугам хүртэлх зайг тооцоолъё.

d-ийн томьёог ашиглахын тулд шулуун дээрх дурын цэгийг авч, жишээ нь P(1; -1; 0), дараа нь:

PM¯ ба v¯ шугамын хоорондох вектор үржвэрийг тооцоолъё. Бид авах:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Одоо бид олсон вектор ба v векторын модулиудыг d-ийн томъёонд орлуулж, бид дараахийг авна.

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

Энэ хариултыг дээр дурдсан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга техникийг ашиглан олж авч болно. Энэ болон өмнөх асуудлуудад шулуун шугамаас цэг хүртэлх зайны тооцоолсон утгыг холбогдох координатын системийн нэгжээр үзүүлэв.