Тригонометрийн тойрог. Нэгж тойрог. Тооны тойрог. Энэ юу вэ?

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Маш олон удаа нэр томъёо тригонометрийн тойрог, нэгж тойрог, тооны тойрогоюутнуудад муу ойлгогддог. Тэгээд бүрэн дэмий хоосон. Эдгээр ойлголтууд нь тригонометрийн бүх салбарт хүчирхэг, бүх нийтийн туслах юм. Үнэндээ энэ бол хууль ёсны хуурамч хуудас юм! Би тригонометрийн тойрог зураад тэр даруй хариултуудыг харлаа! Сонирхолтой юу? Тэгэхээр сурцгаая, ийм зүйл хэрэглэхгүй бол гэм болно. Түүнээс гадна энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Учир нь амжилттай ажилТригонометрийн тойрогтой бол та зөвхөн гурван зүйлийг мэдэх хэрэгтэй.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Ерөнхийдөө энэ асуудалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй, гэхдээ энд бүх зүйл энгийн: градусын өнцгөөр синус ба косинус хоёулаа эерэг байна (зураг харна уу), дараа нь бид "нэмэх" тэмдгийг авна.

Одоо дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн өнцгүүдийн синус ба косинусыг олохыг хичээ: ба

Та хуурч болно: ялангуяа градусын өнцгийн хувьд. Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг өнцөг нь градустай тэнцүү бол хоёр дахь нь градустай тэнцүү байна. Одоо танил томъёонууд хүчин төгөлдөр болж байна:

Дараа нь, тэрнээс хойш, тэгээд. Түүнээс хойш, түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг өнцөг нь градустай тэнцүү бол нөгөө нь градустай тэнцүү байх бөгөөд энэ нь гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм.

Энэ нь түүний хөл нь тэнцүү гэсэн үг юм. Энэ нь түүний синус ба косинус тэнцүү гэсэн үг юм.

Одоо шинэ тодорхойлолтыг ашиглан (X ба Y! ашиглан) өнцгийн синус ба косинусыг градус, градусаар олоорой. Та энд ямар ч гурвалжин зурах боломжгүй! Тэд хэтэрхий хавтгай байх болно!

Та авах ёстой байсан:

Та дараах томъёог ашиглан тангенс ба котангенсыг өөрөө олж болно.

Та тэгээр хувааж болохгүй гэдгийг анхаарна уу!!

Одоо бүх олж авсан тоонуудыг хүснэгтэд гаргаж болно:

Энд өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд байна 1-р улирал. Тохиромжтой болгох үүднээс өнцгийг градус ба радианаар хоёуланг нь өгдөг (гэхдээ одоо та тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг мэдэж байна!). Хүснэгтийн 2 зураасанд анхаарлаа хандуулаарай: тэг котангенс ба градусын тангенс. Энэ бол санамсаргүй зүйл биш!

Тухайлбал:

Одоо синус ба косинусын тухай ойлголтыг бүрэн дурын өнцгөөр ерөнхийд нь авч үзье. Би энд хоёр тохиолдлыг авч үзэх болно:

1. Өнцөг нь градусаас градус хүртэл хэлбэлздэг
2. градусаас их өнцөг

Ерөнхийдөө би "бараг бүх" өнцгийн талаар ярихдаа зүрх сэтгэлээ бага зэрэг мушгисан. Тэд бас сөрөг байж болно! Гэхдээ бид энэ хэргийг өөр нийтлэлд авч үзэх болно. Эхлээд эхний тохиолдлыг харцгаая.

Хэрэв өнцөг нь 1-р улиралд орвол бүх зүйл тодорхой байна, бид энэ хэргийг аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд хүснэгтүүдийг зурсан.

Одоо бидний өнцөг градусаас их, түүнээс их биш байг. Энэ нь 2, 3, 4-р улиралд байрладаг гэсэн үг юм.

Бид юу хийх вэ? Тийм ээ, яг адилхан!

Ингээд харцгаая ийм зүйлийн оронд ...

...үүн шиг:

Өөрөөр хэлбэл, хоёрдугаар улиралд хэвтэж буй өнцгийг анхаарч үзээрэй. Түүний талаар бид юу хэлж чадах вэ?

Цацраг ба тойргийн огтлолцлын цэг нь 2 координаттай хэвээр байна (ер бусын зүйл биш, тийм ээ?). Эдгээр нь координат ба.

Түүнээс гадна эхний координат нь сөрөг, хоёр дахь нь эерэг байна! Энэ нь тийм гэсэн үг хоёрдугаар улирлын буланд косинус сөрөг, синус эерэг байна!

Гайхалтай, тийм үү? Үүнээс өмнө бид сөрөг косинустай хэзээ ч тулгарч байгаагүй.

Бид тригонометрийн функцийг гурвалжны талуудын харьцаа гэж үзэхэд зарчмын хувьд ийм байж болохгүй. Дашрамд хэлэхэд, аль өнцөг нь ижил косинустай байдаг талаар бодож үзээрэй? Аль нь ижил синустай вэ?

Үүнтэй адилаар та бусад бүх хэсэгт өнцгийг авч үзэж болно. Өнцгийг цагийн зүүний эсрэг тоолж байгааг сануулъя! (сүүлийн зурагт үзүүлсэн шиг!).

Мэдээжийн хэрэг, та өөр чиглэлд тоолж болно, гэхдээ ийм өнцөгт хандах хандлага нь арай өөр байх болно.

Дээрх үндэслэлүүд дээр үндэслэн бид дөрвөн улиралд синус, косинус, тангенс (синусыг косинусаар хуваасан) ба котангенсын (косинусыг синусаар хуваасан байдлаар) тэмдгүүдийг цэгцэлж болно.

Гэхдээ дахиад л энэ зургийг цээжлэх нь утгагүй юм. Таны мэдэх ёстой бүх зүйл:

Чамтай жаахан дасгал хийцгээе. Маш энгийн даалгаварууд:

Дараах хэмжигдэхүүнүүдэд ямар тэмдэг байгааг олж мэд.

Бид шалгах уу?

1. градус гэдэг нь том ба бага өнцөг бөгөөд энэ нь дөрөвний 3 хэсэгт байрлана гэсэн үг. 3-р улиралд дурын буланг зурж, ямар тоглогч байгааг хараарай. Энэ нь сөрөг болж хувирах болно. Дараа нь.
   градус - дөрөвний 2 өнцөг. Тэндхийн синус эерэг, косинус сөрөг байна. Дээрээс нь хасах нь хасахтай тэнцүү. гэсэн үг.
   градус - өнцөг, их, бага. Энэ нь 4-р улиралд оршдог гэсэн үг юм. Дөрөвдүгээр улирлын аль ч өнцгийн хувьд "x" эерэг байх болно, энэ нь гэсэн үг юм
2. Бид радиануудтай ижил аргаар ажилладаг: энэ нь хоёрдугаар улирлын өнцөг (ба оноос хойш. Хоёрдугаар улирлын синус эерэг байна.
   .
   , энэ бол дөрөвдүгээр улирлын булан юм. Тэнд косинус эерэг байна.
   - Дөрөвдүгээр улирлын булан дахин. Тэнд косинус эерэг, синус сөрөг байна. Дараа нь тангенс тэгээс бага байх болно:

Радиан дахь дөрөвний нэгийг тодорхойлоход танд хэцүү байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та үргэлж зэрэгтэй явж болно. Хариулт нь мэдээжийн хэрэг яг адилхан байх болно.

Одоо би өөр нэг зүйл дээр маш товчхон дурдмаар байна. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг дахин санацгаая.

Би аль хэдийн хэлсэнчлэн, үүнээс бид синусыг косинусаар эсвэл эсрэгээр илэрхийлж болно.

Тэмдгийг сонгоход зөвхөн бидний альфа өнцөг байрладаг дөрөвний нэг нь нөлөөлнө. Улсын нэгдсэн шалгалтын сүүлийн хоёр томъёонд маш олон асуудал тулгардаг, жишээлбэл:

Даалгавар

болон бол олох.

Үнэндээ энэ бол дөрөвний нэг даалгавар! Үүнийг хэрхэн шийдэж байгааг хараарай:

Шийдэл

Тэгэхээр энд утгыг орлуулъя. Одоо хийх цорын ганц зүйл бол тэмдэгтэй харьцах явдал юм. Үүнд бидэнд юу хэрэгтэй вэ? Манай булан аль хэсэгт байгааг мэдээрэй. Асуудлын нөхцлийн дагуу: . Энэ хэдэн улирал вэ? Дөрөвдүгээрт. Дөрөвдүгээр улиралд косинусын тэмдэг юу вэ? Дөрөвдүгээр улирлын косинус эерэг байна. Дараа нь бидний хийх ёстой зүйл бол урд талын нэмэх тэмдгийг сонгох явдал юм. , Дараа нь.

Би одоо ийм ажлуудын талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй, гэхдээ тэдгээр нь нарийвчилсан шинжилгээТа "" нийтлэлээс олж болно. Улирлаас хамааран энэ эсвэл тэр тригонометрийн функц ямар тэмдэг авахын ач холбогдлыг би танд хэлэхийг хүссэн юм.

градусаас их өнцөг

Энэ нийтлэлд миний хэлэхийг хүсч буй хамгийн сүүлийн зүйл бол градусаас их өнцөгтэй бол яах вэ?

Энэ нь юу вэ, амьсгал боогдохгүйн тулд юу идэж болох вэ? Өнцгийг градусаар (радиан) аваад түүнээс цагийн зүүний эсрэг явцгаая...

Зураг дээр би спираль зурсан боловч үнэндээ бидэнд ямар ч спираль байхгүй гэдгийг та ойлгож байна: бидэнд зөвхөн тойрог бий.

Тэгэхээр бид тодорхой өнцгөөс эхлээд бүхэл бүтэн тойрог (градус эсвэл радиан) алхвал хаана хүрэх вэ?

Бид хаашаа явах вэ? Тэгээд бид нэг буланд ирэх болно!

Мэдээжийн хэрэг, бусад өнцгийн хувьд ч мөн адил:

Дурын өнцгийг аваад бүхэл бүтэн тойргийг тойрон алхвал бид ижил өнцөг рүү буцна.

Энэ нь бидэнд юу өгөх вэ? Энд юу вэ: хэрэв, тэгвэл

Эцэст нь бид хаанаас авах вэ:

Аливаа бүхэл бүтэн хувьд. Энэ нь тийм гэсэн үг Синус ба косинус нь үетэй үечилсэн функцууд юм.

Тиймээс одоо дурын өнцгийн тэмдгийг олоход ямар ч асуудал байхгүй: бидний өнцөгт тохирох бүх "бүтэн тойрог" -ыг хаяж, үлдсэн өнцөг нь аль хэсэгт байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, тэмдгийг ол:

Бид шалгаж байна:

1. Хэмжээ нь градусаар (зэрэг) тохирно:
   градус үлдсэн. Энэ нь дөрөвний дөрөвний өнцөг юм. Тэнд синус сөрөг байна гэсэн үг
2. . градус. Энэ нь дөрөвний 3 өнцөг юм. Тэнд косинус сөрөг байна. Дараа нь
3. . . Түүнээс хойш - эхний улирлын өнцөг. Тэнд косинус эерэг байна. Дараа нь cos
4. . . Учир нь бидний өнцөг нь синус эерэг байх хоёрдугаар улиралд оршдог.

Бид тангенс ба котангенсийн хувьд ижил зүйлийг хийж чадна. Гэсэн хэдий ч үнэн хэрэгтээ тэдгээр нь илүү хялбар байдаг: тэдгээр нь бас үечилсэн функцууд бөгөөд зөвхөн тэдний хугацаа 2 дахин бага байдаг.

Тиймээс та тригонометрийн тойрог гэж юу болох, юунд хэрэгтэйг ойлгож байна.

Гэхдээ бидэнд маш олон асуулт байна:

1. Сөрөг өнцөг гэж юу вэ?
2. Хэрхэн утгыг тооцоолох вэ тригонометрийн функцуудэдгээр булангуудад
3. 1-р улирлын тригонометрийн функцүүдийн мэдэгдэж буй утгыг бусад улирлын функцүүдийн утгыг хайхын тулд хэрхэн ашиглах вэ (хүснэгтийг чихэх шаардлагатай юу?!)
4. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг хялбарчлахын тулд тойргийг хэрхэн ашиглах вэ?

ДУНДАЖ ТҮВШИН

За, энэ нийтлэлд бид тригонометрийн тойргийн судалгааг үргэлжлүүлж, дараахь зүйлийг хэлэлцэх болно.

1. Сөрөг өнцөг гэж юу вэ?
2. Эдгээр өнцгөөр тригонометрийн функцүүдийн утгыг хэрхэн тооцоолох вэ?
3. Бусад улирлын функцүүдийн утгыг хайхын тулд 1 улирлын тригонометрийн функцүүдийн мэдэгдэж буй утгыг хэрхэн ашиглах вэ?
4. Шүргэх тэнхлэг ба котангенс тэнхлэг гэж юу вэ?

Нэгж тойрогтой ажиллах үндсэн ур чадвараас өөр нэмэлт мэдлэг бидэнд хэрэггүй (өмнөх нийтлэл). За, эхний асуулт руу орцгооё: сөрөг өнцөг гэж юу вэ?

Сөрөг өнцөг

Тригонометрийн сөрөг өнцөгтригонометрийн тойрог дээр эхнээс нь доош, цагийн зүүний дагуу хөдөлгөөний дагуу зурсан болно.

Бид өмнө нь тригонометрийн тойрог дээр өнцгийг хэрхэн зурж байсныг санацгаая: Бид тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эхэлсэн. цагийн зүүний эсрэг:

Дараа нь бидний зурган дээр -тэй тэнцүү өнцөг үүсгэсэн. Бид бүх булангуудыг ижил аргаар барьсан.

Гэсэн хэдий ч тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс шилжихэд юу ч саад болохгүй цагийн зүүний дагуу.

Бид бас өөр өөр өнцгүүдийг авах болно, гэхдээ тэдгээр нь сөрөг байх болно:

Дараах зураг нь үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү, гэхдээ тэмдгээр нь эсрэг хоёр өнцгийг харуулж байна.

Ерөнхийдөө дүрмийг дараах байдлаар томъёолж болно.

• Бид цагийн зүүний эсрэг явдаг - бид эерэг өнцгүүдийг авдаг
• Бид цагийн зүүний дагуу явдаг - бид сөрөг өнцөг авдаг

Дүрмийг энэ зурагт схемээр үзүүлэв.

Та надаас бүрэн үндэслэлтэй асуулт асууж болно: синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг хэмжихийн тулд бидэнд өнцөг хэрэгтэй.

Тэгэхээр бидний өнцөг эерэг, сөрөг байх үед ялгаа бий юу? Би танд хариулах болно: дүрмээр бол байдаг.

Гэсэн хэдий ч та тригонометрийн функцийн тооцоог сөрөг өнцгөөс өнцөг дэх функцийг тооцоолох хүртэл бууруулж болно.эерэг.

Дараах зургийг харна уу.

Би хоёр өнцөг барьсан, тэдгээр нь үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү боловч эсрэг тэмдэгтэй байна. Өнцөг бүрийн хувьд түүний синус ба косинусыг тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ.

Бид юу харж байна вэ? Энд юу вэ:

• Синусууд нь өнцгөөр байрладаг бөгөөд тэмдгээр нь эсрэг байдаг! Дараа нь бол
• Өнцгийн косинусууд давхцаж байна! Дараа нь бол
• Түүнээс хойш:
• Түүнээс хойш:

Тиймээс бид ямар ч тригонометрийн функцийн доторх сөрөг тэмдгийг ямагт арилгаж чадна: косинустай адил үүнийг арилгах эсвэл синус, тангенс, котангенс гэх мэт функцийн өмнө байрлуулах замаар.

Дашрамд хэлэхэд, ямар нэгэн хүчинтэй утгыг гүйцэтгэх функцын нэрийг санаарай: ?

Ийм функцийг сондгой гэж нэрлэдэг.

Гэхдээ хэрэв зөвшөөрөгдөх аль нэг нь дараах үнэн бол: ? Дараа нь энэ тохиолдолд функцийг тэгш гэж нэрлэдэг.

Тэгэхээр та бид хоёр сая үүнийг харууллаа.

Синус, тангенс, котангенс нь сондгой функц, косинус нь тэгш функц юм.

Тиймээс, таны ойлгож байгаагаар бид эерэг өнцгийн синус эсвэл сөрөг өнцгийн синусыг хайж байгаа нь хамаагүй: хасахтай харьцах нь маш энгийн зүйл юм. Тиймээс сөрөг өнцгийн хувьд хүснэгтүүдийг тусад нь хэрэггүй.

Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн эхний улирлын өнцгийн тригонометрийн функцийг мэддэг тул үлдсэн улирлын ижил төстэй функцүүдийг тооцоолох нь маш тохиромжтой байх болно гэдэгтэй та санал нийлэх ёстой. Үүнийг хийх боломжтой юу? Мэдээж та чадна! Танд дор хаяж 2 арга бий: эхнийх нь гурвалжин байгуулж, Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлэх (энэ нь та бид эхний улирлын гол өнцгүүдийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг олсон юм), мөн Хоёр дахь нь эхний улирлын өнцгийн функцүүдийн утгыг санаж, бусад бүх улирлын тригонометрийн функцийг тооцоолох боломжтой энгийн дүрмийг санах явдал юм.Хоёрдахь арга нь гурвалжин ба Пифагорын талаар маш их шуугиан дэгдээхээс зайлсхийх болно, тиймээс би үүнийг илүү ирээдүйтэй гэж харж байна:

Тиймээс энэ аргыг (эсвэл дүрмийг) бууруулах томъёо гэж нэрлэдэг.

Бууруулах томъёо

Товчоор хэлбэл, эдгээр томьёо нь энэ хүснэгтийг санахгүй байхад тусална (дашрамд хэлэхэд энэ нь 98 тоо агуулсан!):

Хэрэв та үүнийг санаж байвал (ердөө 20 тоо):

Өөрөөр хэлбэл, та шаардлагагүй 78 тоогоор өөрийгөө зовоож чадахгүй! Жишээлбэл, бид тооцоолох хэрэгтэй. Жижигхэн ширээн дээр ийм зүйл байхгүй нь ойлгомжтой. Бид юу хийх вэ? Энд юу вэ:

Юуны өмнө бидэнд дараахь мэдлэг хэрэгтэй болно.

1. Синус ба косинус нь үетэй (градус), өөрөөр хэлбэл

   Тангенс (котангенс) нь үетэй (градус)

   Аливаа бүхэл тоо

2. Синус ба тангенс нь сондгой функц, косинус нь тэгш функц юм.

Бид эхний мэдэгдлийг тантай аль хэдийн нотолсон бөгөөд хоёр дахь нь саяхан батлагдсан.

Бодит цутгах дүрэм дараах байдалтай байна.

1. Хэрэв бид тригонометрийн функцийн утгыг сөрөг өнцгөөс тооцвол (2) бүлэг томъёог ашиглан эерэг болгоно. Жишээлбэл:
2. Бид түүний үеийг синус ба косинусын хувьд хасдаг: (градусаар), шүргэгчийн хувьд - (градусаар). Жишээлбэл:
3. Хэрэв үлдсэн "булан" нь градусаас бага байвал асуудал шийдэгдэнэ: бид үүнийг "жижиг хүснэгт" дээрээс хайж байна.
4. Үгүй бол манай булан аль улиралд байгааг хайж байна: энэ нь 2, 3, 4-р улирал байх болно. Квадрант дахь шаардлагатай функцийн тэмдгийг харцгаая. Энэ тэмдгийг санаарай!!!
5. Бид өнцгийг дараах хэлбэрүүдийн аль нэгээр илэрхийлнэ.

   (хоёрдугаар улиралд бол)
   (хоёрдугаар улиралд бол)
   (хэрэв гуравдугаар улиралд)
   (хэрэв гуравдугаар улиралд)
   
   (хэрэв дөрөвдүгээр улиралд)

   Ингэснээр үлдсэн өнцөг нь тэгээс их, градусаас бага байна. Жишээлбэл:

   Зарчмын хувьд улирал бүрийн хоёр хувилбарын аль нь өнцгийг төлөөлөх нь хамаагүй. Асаалттай эцсийн үр дүнэнэ нь ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй.

6. Одоо бид юу олж авсныг харцгаая: хэрэв та ямар нэг зүйлийг хасах эсвэл градусаар бичихээр сонгосон бол функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй: та зүгээр л хасаж эсвэл үлдсэн өнцгийн синус, косинус эсвэл тангенсыг бичнэ. Хэрэв та тэмдэглэгээг градусаар сонгосон бол синусыг косинус руу, косиныг синус руу, тангенсыг котангенс руу, котангенсыг тангенс руу соль.
7. Бид үүссэн илэрхийллийн өмнө 4-р цэгийн тэмдгийг тавьдаг.

Дээрх бүх зүйлийг жишээгээр харуулъя:

1. Тооцоол
2. Тооцоол
3. Өөрийн утгыг ол:

Дарааллаар нь эхэлцгээе:

1. Бид өөрсдийн алгоритмын дагуу ажилладаг. Бүхэл тооны тойргийг сонгоно уу:

   Ерөнхийдөө бид бүхэл бүтэн буланг 5 удаа таарч байна гэж дүгнэж байна, гэхдээ хэр их үлдсэн бэ? Зүүн. Дараа нь

   За, бид илүүдлийг нь хаячихлаа. Одоо тэмдгийг харцгаая. 4-р улиралд оршдог. Дөрөвдүгээр улирлын синус нь хасах тэмдэгтэй бөгөөд би үүнийг хариултанд оруулахаа мартаж болохгүй. Дараа нь бид бууруулах дүрмийн 5-р зүйлийн хоёр томьёоны аль нэгийг үзүүлэв. Би сонгох болно:

   Одоо юу болсныг харцгаая: бидэнд градустай тохиолдол байгаа бөгөөд дараа нь бид үүнийг хаяж, синусыг косинус болгон өөрчилнө. Тэгээд бид урд нь хасах тэмдэг тавьсан!

   градус - эхний улирлын өнцөг. Үүний утгыг бид мэднэ (та надад жижиг ширээ сурна гэж амласан шүү дээ!!)

   Дараа нь бид эцсийн хариултыг авна:

   Хариулт:

2. бүх зүйл адилхан, гэхдээ градусын оронд - радианууд. Зүгээр дээ. Хамгийн гол нь үүнийг санаж байх хэрэгтэй

   Гэхдээ та радианыг градусаар солих шаардлагагүй. Энэ бол таны амтанд хамаарах асуудал юм. Би юу ч өөрчлөхгүй. Би бүх тойргийг устгаснаар дахин эхэлнэ:

   Хаяцгаая - эдгээр нь бүхэл бүтэн хоёр тойрог юм. Зөвхөн тооцоолох л үлдлээ. Энэ өнцөг нь гуравдугаар улиралд байна. Гуравдугаар улирлын косинус сөрөг байна. Хариултанд хасах тэмдэг тавихаа бүү мартаарай. яаж болохыг та төсөөлж болно. Дүрмийг дахин санацгаая: бидэнд "бүхэл" тоо (эсвэл) байгаа тохиолдолд функц өөрчлөгдөхгүй:

   Дараа нь.
   Хариулт: .

3. . Та ижил зүйлийг хийх хэрэгтэй, гэхдээ хоёр функцтэй. Би бага зэрэг товч хэлье: ба градус - хоёрдугаар улирлын өнцөг. Хоёрдугаар улирлын косинус нь хасах тэмдэгтэй, синус нь нэмэх тэмдэгтэй. байдлаар төлөөлж болно: , мөн яаж, дараа нь

   Энэ хоёр тохиолдол нь "бүхэл бүтэн тал" юм. Дараа нь синус нь косинус болж, косинус нь синус болж өөрчлөгдөнө. Түүнээс гадна косинусын өмнө хасах тэмдэг байна:

Хариулт: .

Одоо дараах жишээнүүдийг ашиглан бие даан дасгал хий.

Мөн энд шийдлүүд байна:

1. 
   Эхлээд синусын урд байрлуулж хасахыг арилгая (синус нь сондгой функц учраас!!!). Дараа нь өнцгүүдийг харцгаая:

   Бид бүхэл тооны тойргийг хаядаг, өөрөөр хэлбэл гурван тойрог ().
   Үүнийг тооцоолоход л үлддэг: .
   Бид хоёр дахь булантай ижил зүйлийг хийдэг.

   Бид бүхэл тооны тойргийг устгана - 3 тойрог () дараа нь:

   Одоо бид бодож байна: үлдсэн өнцөг нь аль улиралд байрладаг вэ? Тэр бүх зүйлд "дутдаг". Тэгвэл хэдэн улирал вэ? Дөрөвдүгээрт. Дөрөвдүгээр улирлын косинусын тэмдэг юу вэ? Эерэг. Одоо төсөөлөөд үз дээ. Бид бүхэл хэмжигдэхүүнээс хасч байгаа тул косинусын тэмдгийг өөрчлөхгүй.

   Бид олж авсан бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

   Хариулт: .

2. 
   Стандарт: үүнийг ашиглан косинусаас хасахыг хас.
   Зөвхөн градусын косинусыг тооцоолоход л үлддэг. Бүх тойргийг хасъя: . Дараа нь

   Дараа нь.
   Хариулт: .

3. Бид өмнөх жишээн дээрх шиг үргэлжлүүлнэ.

   Шүргэгчийн үе нь (эсвэл) косинус эсвэл синусаас ялгаатай гэдгийг санаж байгаа тул энэ нь 2 дахин их байгаа тул бид бүхэл тоог хасах болно.

   градус - хоёрдугаар улирлын өнцөг. Хоёрдугаар улирлын шүргэгч сөрөг байна, тэгвэл эцэст нь "хасах" тухай мартаж болохгүй! гэж бичиж болно. Тангенс котангенс болж өөрчлөгдөнө. Эцэст нь бид:

   Дараа нь.
   Хариулт: .

За, бага зэрэг үлдлээ!

Тангенсийн тэнхлэг ба котангентын тэнхлэг

Энд миний хамгийн сүүлд хөндөхийг хүсч буй зүйл бол нэмэлт хоёр тэнхлэг юм. Бид аль хэдийн ярилцсанчлан бид хоёр тэнхлэгтэй байна:

1. Тэнхлэг - косинусын тэнхлэг
2. Тэнхлэг - синусын тэнхлэг

Үнэндээ бид координатын тэнхлэгээ дуусгасан, тийм үү? Харин шүргэгч ба котангентын талаар юу хэлэх вэ?

Тэдний хувьд график тайлбар үнэхээр байдаггүй гэж үү?

Үнэн хэрэгтээ энэ нь байдаг, та үүнийг энэ зурган дээрээс харж болно.

Ялангуяа эдгээр зургуудаас бид дараахь зүйлийг хэлж чадна.

1. Тангенс ба котангенс нь дөрөвний нэг тэмдэгтэй байна
2. Тэд 1, 3-р улиралд эерэг байна
3. Тэд 2, 4-р улиралд сөрөг байна
4. Тангенс нь өнцгөөр тодорхойлогддоггүй
5. Буланд тодорхойлогдоогүй котангенс

Эдгээр зургууд өөр юунд зориулагдсан бэ? Та ахисан түвшинд суралцах бөгөөд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хялбарчлахын тулд тригонометрийн тойргийг хэрхэн ашиглахыг танд хэлэх болно!

АХИСАН ТҮВШИН

Энэ нийтлэлд би яаж хийхийг тайлбарлах болно нэгж тойрог (тригонометрийн тойрог)тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

Энэ нь ашигтай байж болох хоёр тохиолдлыг би бодож байна:

1. Хариултанд бид "сайхан" өнцгийг олж авдаггүй, гэхдээ бид үндсийг нь сонгох хэрэгтэй.
2. Хариулт нь хэт олон цуврал үндэс агуулсан

Танд сэдвийн талаарх мэдлэгээс өөр тодорхой мэдлэг хэрэггүй:

Сэдэв " тригонометрийн тэгшитгэл“Би дугуйланд оролцохгүйгээр бичих гэж оролдсон. Олон хүн намайг ийм хандлагыг магтахгүй байх.

Гэхдээ би томъёог илүүд үздэг тул би юу хийж чадах вэ? Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд хангалттай томьёо байдаггүй. Дараах жишээ намайг энэ нийтлэлийг бичихэд түлхэц болсон.

Тэгшитгэлийг шийд:

Тэгэхээр дараа нь. Тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

Урвуу солих:

Тиймээс бидний анхны тэгшитгэл нь дөрвөн энгийн тэгшитгэлтэй тэнцэх болно! Бид үнэхээр 4 цуврал үндэс бичих хэрэгтэй байна уу:

Зарчмын хувьд бид тэнд зогсох боломжтой. Гэхдээ энэ нийтлэлийн уншигчдын хувьд биш, ямар нэгэн "нарийн төвөгтэй байдал" гэж мэдэгддэг!

Эхлээд үндэсийн эхний цувралыг харцгаая. Тиймээс, бид нэгж тойргийг авч, одоо эдгээр үндэсийг тойрогт хэрэглэцгээе (тус тусад нь болон төлөө):

Анхаар: булангуудын хооронд ямар өнцөг байна вэ? Энэ бол булан. Одоо цувралын хувьд ижил зүйлийг хийцгээе: .

Тэгшитгэлийн үндэс хоорондын өнцөг дахин . Одоо эдгээр хоёр зургийг нэгтгэж үзье:

Бид юу харж байна вэ? Үгүй бол бидний үндэс хоорондын бүх өнцөг тэнцүү байна. Энэ нь юу гэсэн үг вэ?

Хэрэв бид булангаас эхэлж, ижил өнцгийг (ямар ч бүхэл тооны хувьд) авбал дээд тойрог дээрх дөрвөн цэгийн аль нэгэнд хүрэх болно! Тиймээс 2 цуврал үндэс:

Нэг болгон нэгтгэж болно:

Харамсалтай нь, эх цувралын хувьд:

Эдгээр аргументууд цаашид хүчингүй болно. Зураг зураад яагаад ийм байдгийг ойлгоорой. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг дараах байдлаар нэгтгэж болно.

Дараа нь анхны тэгшитгэл нь үндэстэй байна:

Энэ нь нэлээд товч бөгөөд товч хариулт юм. Товч ба товчлол гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Таны математикийн мэдлэгийн түвшний талаар.

Энэ нь тригонометрийн тойргийг ашигласнаар ашигтай үр дүнд хүрсэн анхны жишээ юм.

Хоёр дахь жишээ нь "муухай үндэстэй" тэгшитгэлүүд юм.

Жишээлбэл:

1. Тэгшитгэлийг шийд.
2. Цоорхойд хамаарах үндсийг нь ол.

Эхний хэсэг нь тийм ч хэцүү биш юм.

Та энэ сэдвийг аль хэдийн мэддэг болсон тул би мэдэгдэлдээ товчхон байхыг зөвшөөрнө.

дараа нь эсвэл

Ингэж бид тэгшитгэлийнхээ үндсийг олсон. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Нумын косинусыг хасах дөрөвний нэгийг яг юу болохыг мэдэхгүй бол даалгаврын хоёр дахь хэсгийг шийдэх нь илүү хэцүү байдаг (энэ нь хүснэгтийн утга биш).

Гэсэн хэдий ч бид нэгж тойрог дээр олсон цуврал үндэсийг дүрсэлж болно.

Бид юу харж байна вэ? Нэгдүгээрт, энэ зураг нь нумын косинус ямар хязгаарт багтаж байгааг бидэнд тодорхой болгосон.

Энэхүү харааны тайлбар нь үндсийг олоход тусална. сегментэд хамаарах: .

Нэгдүгээрт, тоо нь өөрөө унадаг, дараа нь (зураг харна уу).

мөн сегментэд хамаарна.

Тиймээс нэгж тойрог нь "муухай" өнцөг хаана унахыг тодорхойлоход тусална.

Танд дор хаяж нэг асуулт байх ёстой: Гэхдээ шүргэгч ба котангенсыг яах ёстой вэ?

Үнэндээ тэд бас өөрийн гэсэн тэнхлэгтэй байдаг, гэхдээ тэдгээр нь бага зэрэг өвөрмөц дүр төрхтэй байдаг.

Үгүй бол тэдгээрийг зохицуулах арга нь синус ба косинустай адил байх болно.

Жишээ

Тэгшитгэл өгөгдсөн.

• Энэ тэгшитгэлийг шийд.
• Энэ тэгшитгэлийн интервалд хамаарах язгуурыг заана уу.

Шийдэл:

Бид нэгж тойрог зурж, түүн дээр шийдлүүдээ тэмдэглэнэ.

Зургаас та дараахь зүйлийг ойлгож болно.

Эсвэл бүр илүү: тэр цагаас хойш

Дараа нь бид сегментэд хамаарах үндсийг олно.

, (учир нь)

Манай тэгшитгэл интервалд хамаарах өөр язгуур байхгүй гэдгийг өөрөө батлахыг танд үлдээж байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Тригонометрийн гол хэрэгсэл бол тригонометрийн тойрог,Энэ нь өнцгийг хэмжих, тэдгээрийн синус, косинус гэх мэтийг олох боломжийг олгодог.

Өнцгийг хэмжих хоёр арга бий.

1. Зэрэглэлээр
2. Радиануудаар дамжин

Мөн эсрэгээр: радианаас градус хүртэл:

Өнцгийн синус ба косинусыг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. Төв нь өнцгийн оройтой давхцаж байгаа нэгж тойрог зур.
2. Энэ өнцгийн тойрогтой огтлолцох цэгийг ол.
3. Түүний "X" координат нь хүссэн өнцгийн косинус юм.
4. Түүний "тоглоомын" координат нь хүссэн өнцгийн синус юм.

Бууруулах томъёо

Эдгээр нь тригонометрийн функцийн нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах боломжийг олгодог томьёо юм.

Эдгээр томьёо нь энэ хүснэгтийг санахгүй байхад тусална.

Дүгнэж байна

Та тригонометр ашиглан бүх нийтийн шпор хийхийг сурсан.

Та асуудлыг илүү хялбар, хурдан шийдэж сурсан, хамгийн чухал нь алдаагүй.

Та ямар ч ширээ чихэх шаардлагагүй, юу ч чихэх шаардлагагүй гэдгийг ойлгосон!

Одоо би чамайг сонсохыг хүсч байна!

Та энэ нарийн төвөгтэй сэдвийг ойлгож чадсан уу?

Танд юу таалагдсан бэ? Юу нь таалагдаагүй вэ?

Магадгүй та алдаа олсон уу?

Сэтгэгдэл дээр бичээрэй!

Мөн шалгалтанд нь амжилт хүсье!

Координатууд xтойрог дээр байрлах цэгүүд нь cos(θ) ба координатуудтай тэнцүү байна y sin(θ)-д харгалзах бөгөөд энд θ нь өнцгийн хэмжээ юм.

• Хэрэв та энэ дүрмийг санахад хэцүү байвал (cos; sin) хосын хувьд "синус хамгийн сүүлд ирдэг" гэдгийг санаарай.
• Энэ дүрмийг харгалзан үзэх замаар гаргаж болно зөв гурвалжинба эдгээр тригонометрийн функцуудыг тодорхойлох (өнцгийн синус нь эсрэг талын уртын харьцаа, косинус нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаатай тэнцүү).

Тойрог дээрх дөрвөн цэгийн координатыг бич."Нэгж тойрог" нь радиус нь ижил тойрог юм нэгтэй тэнцүү. Үүнийг координатыг тодорхойлохдоо ашиглана уу xТэгээд yкоординатын тэнхлэгүүдийн тойрогтой огтлолцох дөрвөн цэг дээр. Дээр дурдсан зүйлийг тодруулахын тулд бид эдгээр цэгүүдийг "зүүн", "хойд", "баруун", "өмнөд" гэж нэрлэсэн боловч тэдгээрт тодорхой нэр байхгүй.

• "Зүүн" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (1; 0) .
• "Хойд" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (0; 1) .
• "Баруун" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (-1; 0) .
• "Өмнөд" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (0; -1) .
• Энэ нь ердийн графиктай төстэй тул эдгээр утгыг цээжлэх шаардлагагүй, үндсэн зарчмыг санахад хангалттай.

Эхний квадрат дахь цэгүүдийн координатыг санаарай.Эхний квадрат нь тойргийн баруун дээд хэсэгт, координатууд байрладаг xТэгээд yэерэг утгыг авах. Эдгээр нь таны санах ёстой цорын ганц координат юм:

Шулуун шугамыг зурж, тойрогтой огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно.Хэрэв та нэг квадратын цэгүүдээс шулуун хэвтээ ба босоо шугам татах юм бол эдгээр шугамын тойрогтой огтлолцох хоёр дахь цэг нь координаттай болно. xТэгээд yижил үнэмлэхүй утгатай боловч өөр өөр шинж тэмдэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, та эхний квадрантын цэгүүдээс хэвтээ ба босоо шугам зурж, ижил координаттай тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэж болно, гэхдээ тэр үед зүүн талд зөв тэмдэг ("+") үлдээж болно. эсвэл "-").

Координатын тэмдгийг тодорхойлохын тулд тэгш хэмийн дүрмийг ашиглана."-" тэмдгийг хаана байрлуулахаа тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг:

• Ердийн графикуудын үндсэн дүрмийг санаарай. Тэнхлэг xзүүн талд сөрөг, баруун талд эерэг байна. Тэнхлэг yдоороос сөрөг, дээрээс эерэг;
• эхний квадратаас эхэлж, бусад цэгүүд рүү шугам тат. Хэрэв шугам нь тэнхлэгийг гаталж байвал y, координат xтэмдгийг өөрчлөх болно. Хэрэв шугам нь тэнхлэгийг гаталж байвал x, координатын тэмдэг өөрчлөгдөнө y;
• эхний квадратад бүх функц эерэг, хоёр дахь квадратад зөвхөн синус эерэг, гурав дахь квадратад зөвхөн шүргэгч эерэг, дөрөв дэх квадратад зөвхөн косинус эерэг байна гэдгийг санаарай;
• Аль ч аргыг хэрэглэвэл эхний квадратад (+,+), хоёрдугаарт (-,+), гуравдугаарт (-,-), дөрөвдүгээрт (+,-) авах ёстой.

Алдаа гаргасан эсэхээ шалгаарай.Доор байна бүрэн жагсаалтХэрэв та нэгж тойргийн дагуу цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байвал "тусгай" цэгүүдийн координатууд (координатын тэнхлэг дээрх дөрвөн цэгээс бусад). Эдгээр бүх утгыг тодорхойлохын тулд зөвхөн эхний квадрат дахь цэгүүдийн координатыг санах нь хангалттай гэдгийг санаарай.

• эхний квадрат: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• хоёр дахь квадрат: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• Гурав дахь квадрат: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• дөрөв дэх квадрат: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))).

Хэд хэдэн онцлог үр дүнг гаргах боломжийг танд олгоно - синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанарууд. Энэ нийтлэлд бид гурван үндсэн шинж чанарыг авч үзэх болно. Тэдгээрийн эхнийх нь координатын дөрөвний нэг нь α байхаас хамаарч α өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдгүүдийг заана. Дараа нь бид энэ өнцөг бүхэл тооны эргэлтээр өөрчлөгдөхөд α өнцгийн синус, косинус, тангенс ба котангенсийн утгуудын үл өөрчлөгдөх байдлыг тогтоодог үечилсэн шинж чанарыг авч үзэх болно. Гурав дахь шинж чанар нь эсрэг талын α ба -α өнцгийн синус, косинус, тангенс ба котангенсийн утгуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг.

Хэрэв та синус, косинус, тангенс, котангенсийн функцүүдийн шинж чанарыг сонирхож байгаа бол тэдгээрийг өгүүллийн холбогдох хэсэгт судалж болно.

Хуудасны навигаци.

Синус, косинус, тангенс, котангенсын дөрөвний нэгээр тэмдэглэнэ

Энэ хэсгийн доор "I, II, III, IV координатын улирлын өнцөг" гэсэн хэллэг гарч ирнэ. Эдгээр өнцөг гэж юу болохыг тайлбарлая.

Нэгж тойргийг авч, түүн дээр A(1, 0) эхлэлийн цэгийг тэмдэглээд О цэгийг тойрон α өнцгөөр эргүүлэхэд бид А 1 (x, y) цэгт хүрнэ гэж үзье.

Тэд ингэж хэлдэг өнцөг α нь I, II, III, IV координатын квадратын өнцөг юм, хэрэв А 1 цэг нь I, II, III, IV улиралд тус тус оршдог бол; Хэрэв α өнцөг нь А 1 цэг нь Ox эсвэл Oy координатын аль нэг шулуун дээр байрладаг бол энэ өнцөг нь дөрөвний дөрөвний аль нэгэнд хамаарахгүй.

Тодорхой болгохын тулд энд график дүрслэл байна. Доорх зурган дээр I, II, III, IV координатын дөрөвний өнцөг болох 30, −210, 585, −45 градусын эргэлтийн өнцгийг харуулав.

Өнцөг 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …градус нь координатын аль ч хэсэгт хамаарахгүй.

Одоо аль квадрат өнцөг α байхаас хамаарч α эргэлтийн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд ямар тэмдэгт байгааг олж мэдье.

Синус болон косинусын хувьд үүнийг хийхэд хялбар байдаг.

Тодорхойлолтоор α өнцгийн синус нь А 1 цэгийн ординат юм. Мэдээжийн хэрэг, I, II координатын улиралд эерэг, III, IV улиралд сөрөг байна. Тиймээс α өнцгийн синус нь 1, 2-р улиралд нэмэх тэмдэгтэй, 3, 6-р улиралд хасах тэмдэгтэй байна.

Хариуд нь α өнцгийн косинус нь А 1 цэгийн абсцисса юм. I, IV улиралд эерэг, II, III улиралд сөрөг байна. Тиймээс I ба IV улиралд α өнцгийн косинусын утгууд эерэг, II ба III улиралд сөрөг байна.

Тангенс ба котангенсийн дөрөвний тэмдгийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй: шүргэгч нь А 1 цэгийн ординатын абсцисс, котангенс нь А 1 цэгийн абсцисса ба ординаттай харьцуулсан харьцаа юм. Дараа нь тоо хуваах дүрэмижил ба өөр тэмдэгтэй бол A 1 цэгийн абсцисса ба ординатын тэмдэг ижил байвал тангенс ба котангенс нэмэх тэмдэгтэй, А 1 цэгийн абсцисса ба ординатын тэмдэг өөр байвал хасах тэмдэгтэй байна. Иймээс өнцгийн тангенс ба котангенс нь координатын I ба III хэсэгт + тэмдэгтэй, II ба IV хэсэгт хасах тэмдэгтэй байна.

Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, эхний улиралд А 1 цэгийн абсцисса х ба ординат у хоёулаа эерэг, дараа нь x/y хэсэг ба у/х хэсэг хоёулаа эерэг байна, тиймээс шүргэгч ба котангенс нь + тэмдэгтэй байна. Хоёрдугаар улиралд абсцисса х сөрөг, у ординат эерэг тул x/y ба y/x хоёулаа сөрөг байна, тиймээс шүргэгч ба котангенс нь хасах тэмдэгтэй байна.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн дараагийн шинж чанарт шилжье.

Тогтмол шинж чанар

Одоо бид өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хамгийн тод шинж чанарыг авч үзэх болно. Энэ нь дараах байдалтай байна: өнцөг нь бүхэл бүтэн эргэлтийн тоогоор өөрчлөгдөхөд энэ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утга өөрчлөгдөхгүй.

Энэ нь ойлгомжтой: өнцөг нь бүхэл тооны эргэлтээр өөрчлөгдөхөд бид нэгж тойрог дээрх A цэгээс A 1 цэг хүртэл үргэлжилдэг тул синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна. А 1 цэгийн координат өөрчлөгдөөгүй тул.

Томъёо ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенсийн авч үзсэн шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+) 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , энд α нь радианаар эргэх өнцөг, z нь дурын , үнэмлэхүй үнэ цэнэЭнэ нь α өнцөг өөрчлөгдөх бүрэн эргэлтийн тоог, z тооны тэмдэг нь эргэлтийн чиглэлийг заана.

Хэрэв α эргэлтийн өнцгийг градусаар зааж өгсөн бол заасан томьёог sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα гэж дахин бичнэ. , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Энэ өмчийг ашиглах жишээг өгье. Жишээлбэл, , учир нь , А . Өөр нэг жишээ энд байна: эсвэл .

Энэхүү шинж чанарыг багасгах томъёоны хамт "том" өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг тооцоолоход ихэвчлэн ашигладаг.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанарыг заримдаа үечилсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг.

Эсрэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанарууд

Анхны A(1, 0) цэгийг О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан цэгийг A 1, харин А цэгийг α өнцгийн эсрэг −α өнцгөөр эргүүлсний үр дүнд А 2 цэг гэж үзье.

Эсрэг өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанар нь нэлээд тодорхой баримт дээр суурилдаг: дээр дурдсан A 1 ба А 2 цэгүүд нь Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад (ат) давхцдаг эсвэл тэгш хэмтэй байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, А 1 цэг координаттай (x, y) байвал А 2 цэг нь координаттай (x, −y) байна. Эндээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг ашиглан тэнцүү ба .
Тэдгээрийг харьцуулж үзвэл бид хэлбэрийн α ба −α эсрэг өнцөгтийн синус, косинус, тангенс, котангентын хоорондын хамаарлыг олж харна.
Энэ бол томъёоны хэлбэрээр авч үзэж буй өмч юм.

Энэ өмчийг ашиглах жишээг өгье. Жишээлбэл, тэгш байдал ба .

Эсрэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанарыг өмнөх шинж чанаруудын нэгэн адил ихэвчлэн синус, косинус, тангенс, котангенсын утгыг тооцоолоход ашигладаг бөгөөд сөрөг байдлаас бүрэн зайлсхийх боломжийг олгодог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. өнцөг.

Ном зүй.

• Алгебр:Сурах бичиг 9-р ангийн хувьд. дундаж сургууль/Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. С.А.Теляковский.- М.: Боловсрол, 1990. - 272 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-002727-7
• Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov. - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-013651-3.
• Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Хичээл №1

Аливаа аргументын тригонометрийн функцууд.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, шинж чанарууд.

Радиан өнцгийн хэмжүүр.

Координатын эхлэлээс Ox тэнхлэг дээр А цэгийг тэмдэглэж, төв нь О цэг дээр байх тойрог зуръя. Бид радиусыг OA гэж нэрлэнэ. анхны радиус.

Өнцөг P (OM; OE) нь OM-ийн анхны байрлалаас эцсийн OE байрлал хүртэлх эх үүсвэр нь О цэгтэй цацрагийн эхийг тойруулан эргэсний үр дүнд үүссэн гэж тодорхойлж болно. Энэ эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг эсвэл цагийн зүүний дагуу тохиолдож болно, мөн

a) хэсэгчилсэн эргэлтээр,

б) аль нэг бүтэн эргэлтийн бүхэл тоогоор;

в) бүтэн эргэлтийн бүхэл тоо ба хэсэгчилсэн эргэлтийн аль нэгээр.

Цагийн зүүний эсрэг чиглэсэн өнцгийн хэмжүүрийг эерэг, цагийн зүүний дагуу чиглэсэн хэмжүүрийг сөрөг гэж үзнэ.

Анхны туяа нь ямар нэгэн байдлаар нийлсэн үед эцсийн цацрагууд нь нэгдэж, эхний туяанаас эцсийн туяа хүртэлх хөдөлгөөнийг ижил тооны ижил чиглэлд хийдэг өнцгүүдийг бид тэнцүү өнцгүүдийг авч үзэх болно. О цэгийн эргэн тойронд бүрэн ба бүрэн бус эргэлтүүд.

Тэг өнцгийг тэнцүү гэж үзнэ.

Өнцгийн хэмжүүрийн шинж чанарууд:

Хэмжигдэхүүн нь 1-тэй тэнцүү өнцөг байдаг - өнцгийг хэмжих нэгж. Тэнцүү өнцөг нь ижил хэмжигдэхүүнтэй байна. Хоёр өнцгийн нийлбэрийн хэмжүүр нь өнцгийн хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Тэг өнцгийн хэмжүүр нь тэг байна.

Өнцгийн хамгийн түгээмэл хэмжигдэхүүн бол градус ба радиан юм.

Өнцөг хэмжигдэхүүнийг хэмжсэн нэгж нь нэг градусын өнцөг юм - задарсан өнцгийн 1/180. Геометрийн хичээлээс бид өнцгийн хэмжигдэхүүнийг градусаар 01/01/01-ээс эхлэн тоогоор илэрхийлдэг гэдгийг бид мэднэ. Эргэлтийн өнцгийн хувьд ямар ч байдлаар градусаар илэрхийлж болно бодит тоо-∞-аас + ∞ хүртэл.

Гарал үүсэл дээр төвтэй тойрог болгон бид нэгж радиустай тойргийг авч, координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлно. A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). OA туяаг авч үзэж буй өнцгүүдийн анхны өнцгөөр авна.

Абсцисса ба ординатын координатын тэнхлэгүүд нь харилцан перпендикуляр бөгөөд хавтгайг дөрвөн координатын хэсэгт хуваана. I, II, III, IV (зураг харна уу).

OM радиус нь координатын аль улиралд байгаагаас хамаарч өнцөгα мөн энэ улирлын өнцөг байх болно.

Тэгэхээр 00 бол< α <900 , то угол α - эхний улирлын өнцөг;

Хэрэв 900< α <1800 , то угол α - хоёрдугаар улирлын өнцөг;

Хэрэв 1800< α <2700 , то угол α - гуравдугаар улирлын өнцөг;

2700 бол< α <3600 , то угол α - дөрөвний дөрөвний өнцөг.

Мэдээжийн хэрэг, бүхэл тооны эргэлтийг өнцөгт нэмэхэд ижил улирлын өнцгийг олж авна.

Жишээлбэл, 4300 өнцөг нь өнцөг юм I – өө улирал, 4300 = 3600 + 700 = 700 тул;

9200 өнцөг нь өнцөг юм III -р улирал, 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000 оноос хойш

(өөрөөр хэлбэл бүхэл бүтэн хувьсгалын тоог үл тоомсорлож болно!)

Өнцөг 00, ± 900, ± 1800, ± 2700, ± 3600 - аль ч улиралд хамаарахгүй .

Аль квадратын өнцөг нь өнцөг болохыг тодорхойлъёα хэрэв:

α =2830 (IV) α = 1900 (III) α =1000 (II) α = -200 (IV) h - сөрөг чиглэл)

Тэгээд одоо өөртөө:

α = 1790 α = 3250 α =8000 α = -1200

Геометрийн хичээл дээр α өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлсон

00 ≤ α ≤ 1800 . Одоо бид дурын α өнцгийн хувьд эдгээр тодорхойлолтуудыг авч үзэх болно.

font-size:12.0pt;line-height:115%">О цэгийн ойролцоо өнцгөөр эргэх үед зөвшөөрөхα OA анхны радиус нь OM радиус болно.

Өнцгийн синусα М цэгийн ординатыг радиусын урттай харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг, i.e.

Өнцгийн косинусα М цэгийн абсциссыг радиусын урттай харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.

Өнцгийн тангенсα М цэгийн ординатыг түүний абсцисстай харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.

Өнцгийн котангенс α М цэгийн абсциссыг ординаттай харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.

Зарим өнцгийн утгын хүснэгтийг ашиглан тригонометрийн функцийг тооцоолох жишээг авч үзье. Илэрхийлэл нь утгагүй үед зураас зурдаг.

α (мөндөр)	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
(баяртай)	0					π		2π
гэм α
cos α
бор α
ctg α

Жишээ №1. sin300 олох; cos450; 600 төгрөг.

Шийдэл: a) хүснэгтийн баганаас ол sinα 300-р мөрөнд багана ба шугамын огтлолцол дээр бид утгыг олнонүгэл 300 бол тоо. Тэд ингэж бичдэг:нүгэл 300 =

б) хүснэгтийн баганаас олох cosα 450-р мөрөнд багана ба шугамын огтлолцол дээр бид утгыг олно cos 450 бол тоо. Тэд ингэж бичдэг: cos 450 =

в) хүснэгтийн баганаас олох tgα 600-р мөрөнд багана ба шугамын огтлолцол дээр бид утгыг олнотг 600 гэдэг нь EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg тоо юм.600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Жишээ №2

Тооцоол a) 2c os 600 + EN-US" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">cos300 = 2 үсгийн хэмжээ:12.0pt;мөрийн өндөр:115%"> b)3 450 тг 600 = 3 1 https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" өргөн "24" өндөр "24 src=">

Та өөрөө тооцоол : a) 5 син 300 - ctg 450 b) 2 син 300 + 6 cos 600 – 4 tg 450

в) 4тг 600 син 600 в) 2коссин 900 + 5тг 1800

Тригонометрийн функцүүдийн зарим шинж чанарыг авч үзье.

Координатын хэсэг бүрт синус, косинус, тангенс, котангенс ямар тэмдэг байгааг олж мэдье.

OA радиусыг эргүүлэх үед тэнцүү байг R, α өнцгөөр , А цэг нь х ба у координаттай М цэг рүү шилжсэн. Учир нь(R = 1), дараа нь тэмдэг y тэмдэгтээс хамаарна.

I ба II-д y>0 улиралд, мөн онд II ба IV улирал - at<0.

Гарын үсэг зурах учир нь x-ээс хамаарна, дараа нь 1 ба 4-р улирлын өнцгийн хувьд – x >0, мөн in

II ба III улирал x<0.

Учир нь ; , дараа нь 1, 3-р улиралд болон "+" тэмдэгтэй байх ба оруулна уу II ба IV улиралд тэд хасах тэмдэгтэй байна.