Regn ut kvadratrøttene i Vieta. Vietas teorem: eksempler på bruk når du arbeider med andregradsligninger. Finn produktet av røtter


Mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske ligningen, i tillegg til rotformlene, er det andre nyttige relasjoner som settes Vietas teorem... I denne artikkelen vil vi gi formuleringen og beviset på Vietas teorem for en kvadratisk ligning. Deretter vurderer du et teorem i motsetning til Vietas teorem. Etter det vil vi analysere løsningene til de mest typiske eksemplene. Til slutt skriver vi ned Vietas formler som definerer sammenhengen mellom de virkelige røttene algebraisk ligning grad n og dens koeffisienter.

Sidenavigering.

Vietas teorem, formulering, bevis

Formlene for røttene til kvadratisk ligning a x 2 + b x + c = 0 av formen, der D = b 2 −4 a c, antyder relasjonene x 1 + x 2 = −b / a, x 1 x 2 = c / a. Disse resultatene er godkjent Vietas teorem:

Teorem.

Hvis x 1 og x 2 er røttene til andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0, da er summen av røttene lik forholdet mellom koeffisientene b og a, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røtter er lik forholdet mellom koeffisientene c og a, det vil si ...

Bevis.

Vi vil bevise Vietas teorem i henhold til følgende skjema: komponer summen og produktet av røttene til den kvadratiske ligningen ved å bruke de velkjente rotformlene, transformer deretter de oppnådde uttrykkene og sørg for at de er lik −b / a og c/a, henholdsvis.

La oss starte med summen av røttene, komponer den. Nå bringer vi brøkene til en fellesnevner, det har vi. I telleren til den resulterende brøken, hvoretter:. Endelig, etter 2, får vi. Dette beviser den første relasjonen til Vietas teorem for summen av røttene til en kvadratisk ligning. La oss gå videre til det andre.

Vi komponerer produktet av røttene til den kvadratiske ligningen:. I henhold til regelen for å multiplisere brøker kan det siste produktet skrives som. Nå multipliserer vi parentesen med parentesen i telleren, men det er raskere å kollapse dette produktet med formelen for forskjellen på kvadrater, Så . Så, husker vi, utfører vi neste overgang. Og siden diskriminanten til den kvadratiske ligningen tilsvarer formelen D = b 2 −4 · a · c, så kan man i siste brøk i stedet for D erstatte b 2 −4 · a · c, får vi. Etter å ha åpnet parentesene og redusert lignende termer, kommer vi til en brøk, og dens reduksjon med 4 · a gir. Dette beviser den andre relasjonen til Vietas teorem for produktet av røtter.

Hvis vi utelater forklaringene, får beviset på Vietas teorem en lakonisk form:
,
.

Det gjenstår bare å merke seg at når diskriminanten er lik null, har kvadratisk ligning én rot. Men hvis vi antar at ligningen i dette tilfellet har to identiske røtter, så holder også likhetene fra Vietas teorem. For D = 0 er roten av kvadratisk ligning lik, da og, og siden D = 0, det vil si b 2 −4 · a · c = 0, hvorav b 2 = 4 · a · c, da.

I praksis brukes Vietas teorem oftest i forhold til en redusert andregradsligning (med ledende koeffisient a lik 1) på formen x 2 + p x + q = 0. Noen ganger er det formulert for andregradsligninger av akkurat denne formen, noe som ikke begrenser generaliteten, siden enhver kvadratisk ligning kan erstattes med en ekvivalent ligning ved å dele begge deler med et tall som ikke er null. La oss gi den tilsvarende formuleringen av Vietas teorem:

Teorem.

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0 er lik koeffisienten ved x tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er frileddet, det vil si x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q.

Det motsatte av Vietas teorem

Den andre formuleringen av Vietas teorem, gitt i forrige avsnitt, indikerer at hvis x 1 og x 2 er røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0, så er relasjonene x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q. På den annen side, fra de skrevne relasjonene x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q følger det at x 1 og x 2 er røttene til den andregradsligningen x 2 + p x + q = 0. Med andre ord er det motsatte av Vietas teorem sant. La oss formulere det i form av et teorem og bevise det.

Teorem.

Hvis tallene x 1 og x 2 er slik at x 1 + x 2 = −p og x 1 x 2 = q, så er x 1 og x 2 røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + p x + q = 0.

Bevis.

Etter å ha erstattet koeffisientene p og q i ligningen x 2 + p x + q = 0, deres uttrykk i form av x 1 og x 2, transformeres den til en ekvivalent ligning.

Ved å erstatte tallet x 1 i den resulterende ligningen i stedet for x, har vi likheten x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0, som for enhver x 1 og x 2 er en sann numerisk likhet 0 = 0, siden x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0... Derfor er x 1 en rot av ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, som betyr at x 1 er en rot av ekvivalentligningen x 2 + p x + q = 0.

Hvis ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 erstatte x tallet x 2, så får vi likheten x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0... Dette er en gyldig likhet, siden x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 = 0... Derfor er x 2 også en rot av ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, og derav ligningene x 2 + p x + q = 0.

Dette fullfører beviset for teoremet. omvendt teorem Vieta.

Eksempler på bruk av Vietas teorem

Det er på tide å snakke om den praktiske anvendelsen av Vietas teorem og dens omvendte teorem. I dette avsnittet vil vi analysere løsningene til flere av de mest typiske eksemplene.

Vi begynner med å bruke et teorem omvendt til Vietas teorem. Det er praktisk å bruke det til å sjekke om de gitte to tallene er røttene til en gitt andregradsligning. I dette tilfellet beregnes summen og differansen deres, hvoretter gyldigheten av forholdene kontrolleres. Hvis begge disse relasjonene er oppfylt, konkluderes det i kraft av en teorem invers til Vietas teorem at disse tallene er røttene til ligningen. Hvis minst en av relasjonene ikke er oppfylt, er disse tallene ikke røttene til den kvadratiske ligningen. Denne tilnærmingen kan brukes når du løser kvadratiske ligninger for å sjekke røttene som er funnet.

Eksempel.

Hvilket av tallparene 1) x 1 = −5, x 2 = 3, eller 2), eller 3) er et røtterpar av kvadratisk ligning 4 x 2 −16 x + 9 = 0?

Løsning.

Koeffisientene til den gitte kvadratiske ligningen 4 x 2 −16 x + 9 = 0 er a = 4, b = −16, c = 9. I følge Vietas teorem skal summen av røttene til en kvadratisk ligning være lik −b / a, det vil si 16/4 = 4, og produktet av røttene skal være lik c / a, det vil si 9 /4.

La oss nå beregne summen og produktet av tallene i hvert av de tre gitte parene, og sammenligne dem med verdiene som nettopp er oppnådd.

I det første tilfellet har vi x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2. Den resulterende verdien er forskjellig fra 4, så ytterligere verifisering kan ikke utføres, og i henhold til teoremet invers til Vietas teorem, kan man umiddelbart konkludere med at det første tallparet ikke er et par røtter av en gitt kvadratisk ligning.

La oss gå videre til den andre saken. Her er det første betingelsen oppfylt. Vi sjekker den andre betingelsen: den resulterende verdien er forskjellig fra 9/4. Følgelig er det andre tallparet ikke et par røtter til en kvadratisk ligning.

Den siste saken gjenstår. Her og . Begge betingelsene er oppfylt, så disse tallene x 1 og x 2 er røttene til den gitte kvadratiske ligningen.

Svar:

Den inverse teoremet til Vietas teorem kan brukes i praksis for å finne røttene til en kvadratisk ligning. Vanligvis velges hele røttene til de reduserte kvadratiske ligningene med heltallskoeffisienter, siden det i andre tilfeller er ganske vanskelig å gjøre dette. I dette tilfellet bruker de det faktum at hvis summen av to tall er lik den andre koeffisienten til kvadratisk ligning, tatt med et minustegn, og produktet av disse tallene er lik frileddet, så er disse tallene røttene til denne andregradsligningen. La oss se på dette med et eksempel.

Ta den andregradsligningen x 2 −5 x + 6 = 0. For at tallene x 1 og x 2 skal være røttene til denne ligningen, må de to likhetene x 1 + x 2 = 5 og x 1 x 2 = 6 holde. Det gjenstår å finne slike tall. I dette tilfellet er det ganske enkelt å gjøre dette: slike tall er 2 og 3, siden 2 + 3 = 5 og 2 · 3 = 6. Dermed er 2 og 3 røttene til denne kvadratiske ligningen.

Den omvendte teoremet til Vietas teorem er spesielt praktisk å bruke for å finne den andre roten av en redusert kvadratisk ligning når en av røttene allerede er kjent eller åpenbar. I dette tilfellet er den andre roten funnet fra noen av relasjonene.

La oss for eksempel ta den andregradsligningen 512 x 2 −509 x − 3 = 0. Det er lett å se her at en er roten til ligningen, siden summen av koeffisientene til denne kvadratiske ligningen er null. Så x 1 = 1. Den andre roten x 2 kan for eksempel finnes fra relasjonen x 1 x 2 = c / a. Vi har 1 x 2 = −3 / 512, hvorav x 2 = −3 / 512. Slik bestemte vi begge røttene til kvadratisk ligning: 1 og −3/512.

Det er klart at valg av røtter er tilrådelig bare i de enkleste tilfellene. I andre tilfeller, for å finne røttene, kan du bruke formlene for røttene til den kvadratiske ligningen gjennom diskriminanten.

En annen praktisk anvendelse av teoremet invers til Vietas teorem er å komponere kvadratiske ligninger for gitte røtter x 1 og x 2. For å gjøre dette er det nok å beregne summen av røttene, som gir koeffisienten ved x med motsatt fortegn på den reduserte kvadratiske ligningen, og produktet av røttene, som gir frileddet.

Eksempel.

Skriv en andregradsligning med tallene −11 og 23 som røtter.

Løsning.

Vi setter x 1 = −11 og x 2 = 23. Vurder summen og produktet av disse tallene: x 1 + x 2 = 12 og x 1 x 2 = −253. Derfor er de indikerte tallene røttene til den reduserte kvadratiske ligningen med den andre koeffisienten −12 og et skjæringspunkt på −253. Det vil si at x 2 −12 x − 253 = 0 er den ønskede ligningen.

Svar:

x 2 −12 x − 253 = 0.

Vietas teorem brukes veldig ofte til å løse problemer knyttet til tegnene til røttene til kvadratiske ligninger. Hvordan er Vietas teorem relatert til fortegnene til røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + p x + q = 0? Her er to relevante utsagn:

  • Hvis skjæringspunktet q er et positivt tall, og hvis andregradsligningen har reelle røtter, er enten begge positive eller begge negative.
  • Hvis det frie leddet q er et negativt tall, og hvis kvadratisk ligning har reelle røtter, er fortegnene deres forskjellige, med andre ord, den ene roten er positiv og den andre negativ.

Disse utsagnene følger av formelen x 1 x 2 = q, samt reglene for multiplikasjon av positiv, negative tall og tall med forskjellige fortegn. La oss vurdere eksempler på deres anvendelse.

Eksempel.

R det er positivt. Ved å bruke diskriminantformelen finner vi D = (r + 2) 2 −4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8, verdien av uttrykket r 2 + 8 er positiv for enhver reell r, dermed D> 0 for enhver reell r. Derfor har den opprinnelige kvadratiske ligningen to røtter for eventuelle reelle verdier av parameteren r.

La oss nå finne ut når røttene har forskjellige tegn. Hvis fortegnene til røttene er forskjellige, er produktet deres negativt, og ifølge Vietas teorem er produktet av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen lik frileddet. Derfor er vi interessert i de verdiene av r der frileddet r − 1 er negativt. For å finne verdiene til r vi er interessert i, trenger vi derfor løse lineær ulikhet r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Svar:

ved r<1 .

Vieta formler

Ovenfor snakket vi om Vietas teorem for en kvadratisk ligning og analyserte relasjonene den hevder. Men det er formler som forbinder de virkelige røttene og koeffisientene til ikke bare kvadratiske ligninger, men også kubiske ligninger, firedoble ligninger og generelt, algebraiske ligninger grad n. De kalles Vieta formler.

La oss skrive Vietas formler for en algebraisk ligning av grad n av formen, i dette tilfellet antar vi at den har n reelle røtter x 1, x 2, ..., x n (blant dem kan det være sammenfallende):

Få Vietas formler tillater lineær faktoriseringsteorem, samt definisjonen av like polynomer gjennom likheten til alle deres tilsvarende koeffisienter. Så polynomet og dets faktorisering til lineære faktorer av formen er like. Ved å utvide parentesene i det siste produktet og likestille de tilsvarende koeffisientene, får vi Vietas formler.

Spesielt for n = 2 har vi Vieta-formlene for den kvadratiske ligningen som allerede er kjent for oss.

For den kubiske ligningen er Vietas formler

Det gjenstår bare å merke seg at på venstre side av Vietas formler er de såkalte elementære symmetriske polynomer.

Bibliografi.

  • Algebra: studere. for 8 cl. allmennutdanning. institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008 .-- 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • A. G. Mordkovich Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utgave, slettet. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 s .: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning. institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; utg. A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M .: Utdanning, 2010.- 368 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-022771-1.

I denne forelesningen skal vi bli kjent med de merkelige sammenhengene mellom røttene til en kvadratisk ligning og dens koeffisienter. Disse relasjonene ble først oppdaget av den franske matematikeren François Viet (1540-1603).

For eksempel, for ligningen Зx 2 - 8x - 6 = 0, uten å finne røttene, kan du ved å bruke Vietas teorem umiddelbart si at summen av røttene er lik, og produktet av røttene er
dvs. - 2. Og for ligningen x 2 - 6x + 8 = 0 konkluderer vi: summen av røttene er 6, produktet av røttene er 8; forresten, her er det ikke vanskelig å gjette hva røttene er lik: 4 og 2.
Bevis for Vietas teorem. Røttene x 1 og x 2 av den andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 finnes av formlene

Der D = b 2 - 4ac er diskriminanten til ligningen. Etter å ha brettet disse røttene,
få


Nå regner vi ut produktet av røttene x 1 og x 2 vi har

Det andre forholdet er bevist:
Kommentar. Vietas teorem er også gyldig i tilfellet når den andregradsligningen har én rot (dvs. når D = 0), det er bare det at i dette tilfellet anses det at ligningen har to identiske røtter, som relasjonene ovenfor brukes på.
De påviste forholdstallene for den reduserte kvadratiske ligningen x 2 + px + q = 0 har en spesielt enkel form. I dette tilfellet får vi:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
de. summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.
Ved å bruke Vietas teorem kan du få andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til kvadratisk ligning. La for eksempel x 1 og x 2 være røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0. Deretter

Hovedformålet med Vietas teorem er imidlertid ikke at det uttrykker noen relasjoner mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning. Mye viktigere er det faktum at ved å bruke Vietas teorem utledes en formel for faktorisering av et kvadrattrinomial, som vi ikke vil klare oss uten i det følgende.


Bevis. Vi har


Eksempel 1... Faktor det firkantede trinomium Зх 2 - 10x + 3.
Løsning. Etter å ha løst ligningen Zx 2 - 10x + 3 = 0, finner vi røttene til kvadrattrinomialet Zx 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 =.
Ved å bruke teorem 2 får vi

Det er fornuftig å skrive Zx - 1 i stedet for 1. Da får vi endelig Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Merk at et gitt kvadrattrinomial kan faktoriseres uten å bruke setning 2, ved å bruke grupperingsmetoden:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
= Zx (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (Zx - 1).

Men som du kan se, med denne metoden avhenger suksess av om vi kan finne en vellykket gruppering eller ikke, mens med den første metoden er suksess garantert.
Eksempel 1... Reduser fraksjon

Løsning. Fra ligningen 2x 2 + 5x + 2 = 0 finner vi x 1 = - 2,


Fra ligningen x2 - 4x - 12 = 0 finner vi x 1 = 6, x 2 = -2. Så
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
La oss nå avbryte den gitte brøken:

Eksempel 3... Faktoruttrykk:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x + -3
Løsning. A) Vi introduserer en ny variabel y = x 2. Dette vil tillate omskrivning av det gitte uttrykket i form av et kvadratisk trinomium med hensyn til variabelen y, nemlig i formen у 2 + by + 6.
Etter å ha løst likningen ved 2 + by + 6 = 0, finner vi røttene til kvadrattrinomialet ved 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Nå skal vi bruke setning 2; få

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Det gjenstår å huske at y = x 2, det vil si å gå tilbake til det gitte uttrykket. Så,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Introduser en ny variabel y =. Dette vil tillate omskrivning av det gitte uttrykket i form av et kvadratisk trinomium med hensyn til variabelen y, nemlig i formen 2y 2 + y - 3. Løse ligningen
2y 2 + y - 3 = 0, finner vi røttene til kvadrattrinomialet 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 =. Videre, ved å bruke teorem 2, får vi:

Det gjenstår å huske at y =, det vil si å gå tilbake til det gitte uttrykket. Så,

På slutten av avsnittet er det noen argumenter, igjen knyttet til Vietas teorem, eller mer presist med den omvendte uttalelsen:
hvis tallene x 1, x 2 er slik at x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, så er disse tallene røttene til ligningen
Ved å bruke denne setningen kan du løse mange andregradsligninger muntlig, uten å bruke tungvinte rotformler, og også lage andregradsligninger med gitte røtter. Her er noen eksempler.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Her er x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Det er lett å gjette at x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Her x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Det er lett å gjette at x 1 = -5, x 2 = -6.
Vennligst merk: hvis frileddet i ligningen er et positivt tall, så er begge røttene enten positive eller negative; dette er viktig å vurdere når du velger røtter.

3) x 2 + x - 12 = 0. Her x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Det er lett å gjette at x 1 = 3, x2 = -4.
Vær oppmerksom på: hvis ligningens frie ledd er et negativt tall, er røttene forskjellige i fortegn; dette er viktig å vurdere når du velger røtter.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Det er lett å se at x = 1 tilfredsstiller ligningen, dvs. x 1 = 1 - roten av ligningen. Siden x 1 x 2 = - og x 1 = 1, får vi at x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Her x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Hvis du legger merke til at 2830 = 283. 10, og 293 = 283 + 10, så blir det klart at x 1 = 283, x 2 = 10 (og forestill deg nå hvilke beregninger som må gjøres for å løse denne kvadratiske ligningen ved å bruke standardformler).

6) La oss komponere en andregradsligning slik at røttene er tallene x 1 = 8, x 2 = - 4. Vanligvis, i slike tilfeller, lages den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0.
Vi har x 1 + x 2 = -p, derfor 8 - 4 = -p, det vil si p = -4. Videre, x 1 x 2 = q, dvs. 8 «(- 4) = q, derfra får vi q = -32. Så, p = -4, q = -32, som betyr at den nødvendige kvadratiske ligningen har formen x 2 -4x-32 = 0.

Vietas teorem brukes ofte for å sjekke røtter som allerede er funnet. Hvis du finner røttene, kan du bruke formlene \ (\ begynne (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) for å beregne verdiene ​​\ (p \) og \ (q \ ). Og hvis de viser seg å være de samme som i den opprinnelige ligningen, ble røttene funnet riktig.

La oss for eksempel ved å bruke, løse ligningen \ (x ^ 2 + x-56 = 0 \) og få røttene: \ (x_1 = 7 \), \ (x_2 = -8 \). La oss sjekke om vi gjorde en feil i løsningsprosessen. I vårt tilfelle, \ (p = 1 \), og \ (q = -56 \). Ved Vietas teorem har vi:

\ (\ begynne (caser) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ slutt (caser) \) \ (\ Venstre-høyrepil \) \ (\ begynner (caser) 7 + (- 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = - 56 \ end (caser) \) \ (\ Venstre-høyrepil \) \ (\ begynne (caser) -1 = -1 \\ - 56 = -56 \ end (cases) \ )

Begge påstandene stemmer overens, noe som betyr at vi løste ligningen riktig.

Denne kontrollen kan gjøres muntlig. Det vil ta 5 sekunder og redde deg fra dumme feil.

Vietas omvendte teorem

Hvis \ (\ begynner (tilfeller) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ slutten (tilfeller) \), så er \ (x_1 \) og \ (x_2 \) røttene til kvadratisk ligning \ (x ^ 2 + px + q = 0 \).

Eller ganske enkelt: hvis du har en ligning av formen \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), så løser du systemet \ (\ begynner (tilfeller) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) vil du finne røttene.

Takket være denne teoremet kan du raskt finne røttene til kvadratisk ligning, spesielt hvis disse røttene er det. Denne ferdigheten er viktig siden den sparer mye tid.


Eksempel ... Løs ligningen \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \).

Løsning : Ved å bruke Vietas inverse teorem finner vi at røttene tilfredsstiller betingelsene: \ (\ begynne (tilfeller) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ slutt (tilfeller) \).
Se på den andre ligningen til \ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \) systemet. I hvilke to kan tallet \ (6 \) dekomponeres? På \ (2 \) og \ (3 \), \ (6 \) og \ (1 \) eller \ (- 2 \) og \ (- 3 \), og \ (- 6 \) og \ (- en\). Den første ligningen i systemet vil fortelle deg hvilket par du skal velge: \ (x_1 + x_2 = 5 \). \\ (2 \\) og \\ (3 \\) er like, siden \\ (2 + 3 \ u003d 5 \\).
Svar : \ (x_1 = 2 \), \ (x_2 = 3 \).


Eksempler av ... Bruk det inverse teoremet til Vietas teorem, finn røttene til den kvadratiske ligningen:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \); b) \ (x ^ 2 + 3x-4 = 0 \); c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \); d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \).

Løsning :
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \) - til hvilke faktorer dekomponerer \ (14 \)? \ (2 \) og \ (7 \), \ (- 2 \) og \ (- 7 \), \ (- 1 \) og \ (- 14 \), \ (1 \) og \ (14 \) ). Hvilke tallpar utgjør \ (15 \)? Svar: \ (1 \) og \ (14 \).

b) \ (x ^ 2 + 3x-4 \ u003d 0 \) - til hvilke faktorer brytes \ (- 4 \) ned? \ (- 2 \) og \ (2 \), \ (4 \) og \ (- 1 \), \ (1 \) og \ (- 4 \). Hvilke tallpar utgjør \ (- 3 \)? Svar: \ (1 \) og \ (- 4 \).

c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \) - til hvilke faktorer dekomponerer \ (20 \)? \ (4 \) og \ (5 \), \ (- 4 \) og \ (- 5 \), \ (2 \) og \ (10 ​​\), \ (- 2 \) og \ (- 10 \ ), \ (- 20 \) og \ (- 1 \), \ (20 \) og \ (1 \). Hvilke tallpar utgjør \ (- 9 \)? Svar: \ (- 4 \) og \ (- 5 \).

d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - til hvilke faktorer brytes \ (780 \) ned? \ (390 \) og \ (2 \). Vil de totalt \ (88 \)? Nei. Hvilke andre faktorer har \ (780 \)? \ (78 \) og \ (10 ​​\). Vil de totalt \ (88 \)? Ja. Svar: \ (78 \) og \ (10 ​​\).

Det er ikke nødvendig å dekomponere siste ledd i alle mulige faktorer (som i det siste eksemplet). Du kan umiddelbart sjekke om summen deres gir \ (- p \).


Viktig! Vietas setning og omvendt setning fungerer bare med, det vil si slik at koeffisienten foran \ (x ^ 2 \) er lik en. Hvis vi i utgangspunktet har en ikke-redusert ligning, kan vi gjøre den redusert ved ganske enkelt å dele på koeffisienten foran \ (x ^ 2 \).

for eksempel, la ligningen \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) gis og vi vil bruke en av Vietas teoremer. Men vi kan ikke, siden koeffisienten foran \ (x ^ 2 \) er \ (2 \). La oss bli kvitt det ved å dele hele ligningen med \ (2 \).

\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (x ^ 2-2x-3 = 0 \)

Klar. Nå kan du bruke begge teoremene.

Svar på vanlige spørsmål

Spørsmål: Ved Vietas teorem kan du løse noen?
Svar: Dessverre ikke. Hvis ligningen ikke er heltall eller ligningen ikke har noen røtter i det hele tatt, vil ikke Vietas teorem hjelpe. I dette tilfellet må du bruke diskriminerende ... Heldigvis har 80 % av ligningene i matematikk på videregående skoler hele løsninger.

Det er en rekke sammenhenger i kvadratiske ligninger. Hovedforholdet er mellom røtter og koeffisienter. Også i andregradsligninger fungerer en rekke forhold, som er satt av Vietas teorem.

I dette emnet presenterer vi selve Vieta-setningen og dens bevis for en kvadratisk ligning, en teorem invers til Vietas teorem, vi vil analysere en rekke eksempler på å løse problemer. I materialet vil vi være spesielt oppmerksomme på vurderingen av Vietas formler, som spesifiserer sammenhengen mellom de virkelige røttene til den algebraiske gradslikningen n og dens koeffisienter.

Formulering og bevis på Vietas teorem

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning a x 2 + b x + c = 0 x 1 = - b + D 2 a, x 2 = - b - D 2 a, hvor D = b 2 - 4 a c, etablerer relasjonene x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a... Vietas teorem bekrefter også dette.

Teorem 1

I en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor x 1 og x 2- røtter, vil summen av røttene være lik forholdet mellom koeffisientene b og en, som ble tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene vil være lik forholdet mellom koeffisientene c og en, dvs. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Bevis 1

Vi tilbyr deg følgende skjema for å utføre beviset: ta formelen for røttene, komponer summen og produktet av røttene til den kvadratiske ligningen, og transformer deretter de resulterende uttrykkene for å sikre at de er like - b a og c a hhv.

La oss komponere summen av røttene x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a. Bring brøkene til en fellesnevner - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a. La oss åpne parentesene i telleren til den resulterende brøken og gi lignende ledd: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a. Reduser brøken med: 2 - b a = - b a.

Så vi beviste den første relasjonen til Vietas teorem, som refererer til summen av røttene til en kvadratisk ligning.

La oss nå gå videre til det andre forholdet.

For å gjøre dette må vi komponere produktet av røttene til kvadratisk ligning: x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a.

Husk regelen for å multiplisere brøker og skriv det siste produktet som følger: - b + D · - b - D 4 · a 2.

La oss multiplisere parentesen med parentesen i telleren av brøken, eller bruke kvadratforskjellen formel for å transformere dette produktet raskere: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · en 2.

La oss bruke definisjonen av kvadratroten for å utføre følgende overgang: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formel D = b 2 - 4 a c tilsvarer diskriminanten til en kvadratisk ligning, derfor til en brøk i stedet for D kan erstattes b 2 - 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

La oss åpne parentesene, gi lignende termer og få: 4 · a · c 4 · a 2. Hvis du forkorter den med 4 a, så gjenstår det ca. Dette er hvordan vi beviste den andre relasjonen til Vietas teorem for produktet av røtter.

Registreringen av beviset for Vietas teorem kan ha en veldig lakonisk form, hvis vi utelater forklaringene:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - ba, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 ac = b 2 - b 2 - 4 ac 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = ca.

Med diskriminanten til en kvadratisk ligning lik null, vil ligningen bare ha én rot. For å kunne anvende Vietas teorem på en slik likning, kan vi anta at likningen med diskriminanten lik null har to like røtter. Faktisk for D = 0 roten til andregradsligningen er: - b 2 a, deretter x 1 + x 2 = - b 2 a + - b 2 a = - b + (- b) 2 a = - 2 b 2 a = - ba og x 1 x 2 = - b 2 a - b 2 a = - b - b 4 a 2 = b 2 4 a 2, og siden D = 0, det vil si b 2 - 4 ac = 0, hvorav b 2 = 4 ac , da b 2 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = ca.

Oftest, i praksis, brukes Vietas teorem i forhold til den reduserte kvadratiske ligningen til formen x 2 + p x + q = 0, der ledende koeffisient a er 1. I denne forbindelse er Vietas teorem formulert nøyaktig for ligninger av denne typen. Dette begrenser ikke generaliteten på grunn av det faktum at enhver kvadratisk ligning kan erstattes av en ekvivalent ligning. For å gjøre dette er det nødvendig å dele begge delene med et tall som ikke er null.

Her er en annen formulering av Vietas teorem.

Teorem 2

Summen av røttene i en gitt andregradsligning x 2 + p x + q = 0 vil være lik koeffisienten ved x, som tas med motsatt fortegn, vil produktet av røttene være lik frileddet, dvs. x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q.

Det motsatte av Vietas teorem

Hvis du ser nøye på den andre formuleringen av Vietas teorem, kan du se det for røttene x 1 og x 2 redusert andregradsligning x 2 + p x + q = 0 relasjonene x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q vil holde. Fra disse relasjonene x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q følger det at x 1 og x 2 Er røttene til andregradsligningen x 2 + p x + q = 0... Så vi kommer til et utsagn som er det motsatte av Vietas teorem.

Vi foreslår nå å formulere denne påstanden som et teorem og utføre beviset.

Teorem 3

Hvis tallene x 1 og x 2 er slik at x 1 + x 2 = - p og x 1 x 2 = q, deretter x 1 og x 2 er røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + p x + q = 0.

Bevis 2

Erstatter odds s og q til deres uttrykk gjennom x 1 og x 2 lar deg transformere ligningen x 2 + p x + q = 0 til tilsvarende .

Hvis du erstatter tallet i den resulterende ligningen x 1 i stedet for x, da får vi likestillingen x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0... Denne likestillingen for enhver x 1 og x 2 blir til sann numerisk likhet 0 = 0 , fordi x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0... Det betyr at x 1- roten av ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, og hva x 1 er også roten til ekvivalentligningen x 2 + p x + q = 0.

Likningssubstitusjon x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 tallene x 2 i stedet for x tillater å få likhet x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0... Denne likheten kan betraktes som sann, siden x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0... Det viser seg at x 2 er roten til ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, og derav ligningene x 2 + p x + q = 0.

Den omvendte teoremet til Vietas teorem er bevist.

Eksempler på bruk av Vietas teorem

La oss nå gå videre til analysen av de mest typiske eksemplene om emnet. La oss starte med en analyse av problemer som krever anvendelse av et teorem omvendt til Vietas teorem. Den kan brukes til å kontrollere tallene som er oppnådd i løpet av beregninger, om de er røttene til en gitt andregradsligning. For å gjøre dette må du beregne summen og differansen deres, og deretter sjekke gyldigheten av relasjonene x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Oppfyllelsen av begge forhold indikerer at tallene oppnådd under beregningene er røttene til ligningen. Hvis vi ser at minst en av betingelsene ikke er oppfylt, kan ikke disse tallene være røttene til kvadratisk ligning gitt i problemstillingen.

Eksempel 1

Hvilket av tallparene 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 eller 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, eller 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 er et par røtter til en andregradsligning 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

Løsning

Finn koeffisientene til den kvadratiske ligningen 4 x 2 - 16 x + 9 = 0. Dette er a = 4, b = - 16, c = 9. I følge Vietas teorem skal summen av røttene til kvadratisk ligning være lik - b a, det er, 16 4 = 4 , og produktet av røttene må være lik c a, det er, 9 4 .

La oss sjekke de oppnådde tallene ved å beregne summen og produktet av tallene fra de tre gitte parene og sammenligne dem med de oppnådde verdiene.

I det første tilfellet x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2... Denne verdien er forskjellig fra 4, derfor trenger ikke kontrollen fortsettes. I følge teoremet omvendt til Vietas teorem kan man umiddelbart konkludere med at det første tallparet ikke er røttene til en gitt kvadratisk ligning.

I det andre tilfellet er x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vi ser at det første vilkåret er oppfylt. Men den andre betingelsen er ikke: x 1 x 2 = 1 - 3 3 + 3 = 3 + 3 - 3 3 - 3 = - 2 3. Verdien vi fikk er forskjellig fra 9 4 ... Dette betyr at det andre tallparet ikke er røttene til en kvadratisk ligning.

La oss gå videre til å vurdere det tredje paret. Her x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 og x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Begge vilkårene er oppfylt, noe som betyr at x 1 og x 2 er røttene til en gitt andregradsligning.

Svar: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Vi kan også bruke inversen til Vietas teorem for å finne røttene til en kvadratisk ligning. Den enkleste måten er å velge hele røttene til de reduserte kvadratiske ligningene med heltallskoeffisienter. Andre alternativer kan vurderes. Men dette kan komplisere beregningene betydelig.

For å velge røttene bruker vi det faktum at hvis summen av to tall er lik den andre koeffisienten til kvadratisk ligning, tatt med et minustegn, og produktet av disse tallene er lik frileddet, så er disse tallene røttene til denne andregradsligningen.

Eksempel 2

Som et eksempel bruker vi den andregradsligningen x 2 - 5 x + 6 = 0... Tall x 1 og x 2 kan være røttene til denne ligningen hvis to likheter holder x 1 + x 2 = 5 og x 1 x 2 = 6... La oss velge slike tall. Dette er nummer 2 og 3, siden 2 + 3 = 5 og 2 3 = 6... Det viser seg at 2 og 3 er røttene til denne andregradsligningen.

Den omvendte teoremet til Vietas teorem kan brukes til å finne den andre roten når den første er kjent eller åpenbar. Til dette kan vi bruke relasjonene x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Eksempel 3

Tenk på den andregradsligningen 512 x 2 - 509 x - 3 = 0... Det er nødvendig å finne røttene til denne ligningen.

Løsning

Den første roten av ligningen er 1, siden summen av koeffisientene til denne kvadratiske ligningen er null. Det viser seg at x 1 = 1.

La oss nå finne den andre roten. For dette kan du bruke forholdet x 1 x 2 = c a... Det viser seg at 1 x 2 = - 3 512, hvor x 2 = - 3 512.

Svar: røttene til kvadratisk ligning gitt i tilstanden til problemet 1 og - 3 512 .

Det er mulig å velge røtter ved å bruke en teorem invers til Vietas teorem bare i enkle tilfeller. I andre tilfeller er det bedre å søke ved hjelp av formelen for røttene til den kvadratiske ligningen gjennom diskriminanten.

Takket være inversen til Vietas teorem kan vi også komponere kvadratiske ligninger fra de eksisterende røttene x 1 og x 2... For å gjøre dette må vi beregne summen av røttene, som gir koeffisienten på x med motsatt fortegn til den gitte andregradsligningen, og produktet av røttene, som gir frileddet.

Eksempel 4

Skriv en andregradsligning med tall som røtter − 11 og 23 .

Løsning

La oss anta det x 1 = - 11 og x 2 = 23... Summen og produktet av disse tallene vil være like: x 1 + x 2 = 12 og x 1 x 2 = - 253... Dette betyr at den andre koeffisienten er 12, frileddet − 253.

La oss lage ligningen: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Svar: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Vi kan bruke Vietas teorem til å løse problemer som er relatert til fortegnene til røttene til kvadratiske ligninger. Forbindelsen mellom Vietas teorem er forbundet med tegnene til røttene til den reduserte kvadratiske ligningen x 2 + p x + q = 0 på følgende måte:

  • hvis andregradsligningen har reelle røtter og hvis frileddet q er et positivt tall, vil disse røttene ha samme "+" eller "-"-tegnet;
  • hvis andregradsligningen har røtter og hvis frileddet q er et negativt tall, vil den ene roten være "+" og den andre "-".

Begge disse utsagnene er en konsekvens av formelen x 1 x 2 = q og reglene for å multiplisere positive og negative tall, samt tall med forskjellige fortegn.

Eksempel 5

Er de kvadratiske røttene x 2 - 64 x - 21 = 0 positivt?

Løsning

Ved Vietas teorem kan ikke røttene til denne ligningen være både positive, siden de må tilfredsstille likheten x 1 x 2 = - 21... Dette er umulig med positivt x 1 og x 2.

Svar: Ikke

Eksempel 6

Ved hvilke verdier av parameteren r kvadratisk ligning x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0 vil ha to gyldige røtter med forskjellige fortegn.

Løsning

La oss starte med å finne verdiene for hvilke r, som det vil være to røtter for i ligningen. La oss finne diskriminanten og se etter hva r det vil ta positive verdier. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8... Uttrykksverdi r 2 + 8 positiv for alle gyldige r, derfor vil diskriminanten være større enn null for en hvilken som helst reell r... Dette betyr at den opprinnelige kvadratiske ligningen vil ha to røtter for eventuelle reelle verdier av parameteren r.

La oss nå se når røttene vil ha forskjellige tegn. Dette er mulig hvis produktet deres er negativt. I følge Vietas teorem er produktet av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen lik frileddet. Dette betyr at den riktige avgjørelsen vil være disse verdiene r hvor frileddet r - 1 er negativt. Løs den lineære ulikheten r - 1< 0 , получаем r < 1 .

Svar: ved r< 1 .

Vieta formler

Det er en rekke formler som kan brukes for å utføre operasjoner med røtter og koeffisienter av ikke bare kvadrat, men også kubikk og andre typer ligninger. De kalles Vieta-formler.

For en algebraisk gradslikning n av formen a 0 x n + a 1 x n - 1 +. ... ... + a n - 1 x + a n = 0 det antas at ligningen har n ekte røtter x 1, x 2, ..., x n, blant hvilke det kan være samsvar:
x 1 + x 2 + x 3 +. ... ... + x n = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. ... ... + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +. ... ... + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0,. ... ... x 1 x 2 x 3 ... ... X n = (- 1) n a n a 0

Definisjon 1

Vi får hjelp til å skaffe Vietas formler:

  • teoremet om dekomponering av et polynom til lineære faktorer;
  • definisjon av like polynomer i form av likhet av alle deres tilsvarende koeffisienter.

Så, polynomet a 0 x n + a 1 x n - 1 +. ... ... + a n - 1 x + a n og dens dekomponering til lineære faktorer av formen a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... ... · (X - x n) er like.

Hvis vi åpner parentesene i det siste produktet og setter likhetstegn mellom de tilsvarende koeffisientene, får vi Vietas formler. Ved å ta n = 2, kan vi få Vietas formel for kvadratisk ligning: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 x 2 = a 2 a 0.

Definisjon 2

Vietas formel for kubikkligningen:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Venstre side av Vietas formler inneholder de såkalte elementære symmetriske polynomene.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

I matematikk er det spesielle teknikker som mange andregradsligninger løses med svært raskt og uten noen diskriminanter. Dessuten, med riktig trening, begynner mange å løse andregradsligninger muntlig, bokstavelig talt "ved første blikk."

Dessverre, i det moderne kurset i skolematematikk, blir slike teknologier nesten ikke studert. Men du må vite! Og i dag vil vi vurdere en av slike teknikker - Vietas teorem. Først, la oss introdusere en ny definisjon.

En andregradsligning på formen x 2 + bx + c = 0 kalles redusert. Vær oppmerksom på at koeffisienten for x 2 er 1. Det er ingen andre begrensninger på koeffisientene.

  1. x 2 + 7x + 12 = 0 er den reduserte andregradsligningen;
  2. x 2 - 5x + 6 = 0 - også gitt;
  3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - men dette vises ikke, siden koeffisienten ved x 2 er 2.

Selvfølgelig kan enhver annengradsligning av formen ax 2 + bx + c = 0 reduseres - det er nok å dele alle koeffisientene med tallet a. Vi kan alltid gjøre dette, siden det følger av definisjonen av en kvadratisk ligning at a ≠ 0.

Riktignok vil disse transformasjonene ikke alltid være nyttige for å finne røtter. Litt senere vil vi sørge for at dette bare skal gjøres når i den siste kvadratiske ligningen alle koeffisientene er heltall. For nå, vurder de enkleste eksemplene:

Oppgave. Konverter andregradsligningen til den reduserte:

  1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
  2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
  3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
  4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

Del hver ligning med koeffisienten til variabelen x 2. Vi får:

  1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - delt alt på 3;
  2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - delt på −4;
  3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - delt på 1,5, ble alle koeffisienter heltall;
  4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 = 0 - delt på 2. I dette tilfellet oppsto brøkkoeffisienter.

Som du kan se, kan de gitte kvadratiske ligningene ha heltallskoeffisienter selv i tilfellet når den opprinnelige ligningen inneholdt brøker.

Nå skal vi formulere hovedteoremet, som faktisk konseptet med en redusert kvadratisk ligning ble introdusert for:

Vietas teorem. Tenk på en redusert andregradsligning av formen x 2 + bx + c = 0. Anta at denne ligningen har reelle røtter x 1 og x 2. I dette tilfellet er følgende utsagn sanne:

  1. x 1 + x 2 = −b. Med andre ord er summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen lik koeffisienten til variabelen x, tatt med motsatt fortegn;
  2. x 1 x 2 = c. Produktet av røttene til en kvadratisk ligning er lik den frie koeffisienten.

Eksempler. For enkelhets skyld vil vi kun vurdere de reduserte kvadratiske ligningene som ikke krever ytterligere transformasjoner:

  1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; røtter: x 1 = 4; x 2 = 5;
  2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; røtter: x 1 = 3; x 2 = −5;
  3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; røtter: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietas teorem gir oss tilleggsinformasjon om røttene til en kvadratisk ligning. Ved første øyekast kan dette virke skremmende, men selv med minimal trening vil du lære å "se" røttene og bokstavelig talt gjette dem i løpet av sekunder.

Oppgave. Løs den andregradsligningen:

  1. x 2 - 9x + 14 = 0;
  2. x 2 - 12x + 27 = 0;
  3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
  4. −7x 2 + 77x - 210 = 0.

La oss prøve å skrive ut koeffisientene i henhold til Vietas teorem og "gjette" røttene:

  1. x 2 - 9x + 14 = 0 er den reduserte andregradsligningen.
    Ved Vietas teorem har vi: x 1 + x 2 = - (- 9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Det er lett å se at røttene er tall 2 og 7;
  2. x 2 - 12x + 27 = 0 - også gitt.
    Ved Vietas teorem: x 1 + x 2 = - (- 12) = 12; x 1 x 2 = 27. Derav røttene: 3 og 9;
  3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - denne ligningen er ikke redusert. Men vi skal nå korrigere dette ved å dele begge sider av ligningen med koeffisienten a = 3. Vi får: x 2 + 11x + 10 = 0.
    Løs ved Vietas teorem: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ røtter: −10 og −1;
  4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - igjen er koeffisienten ved x 2 ikke lik 1, dvs. ligning ikke gitt. Del alt med tallet a = −7. Vi får: x 2 - 11x + 30 = 0.
    Ved Vietas teorem: x 1 + x 2 = - (- 11) = 11; x 1 x 2 = 30; fra disse ligningene er det lett å gjette røttene: 5 og 6.

Fra resonnementet ovenfor kan man se hvordan Vietas teorem forenkler løsningen av andregradsligninger. Ingen kompliserte utregninger, ingen aritmetiske røtter og brøker. Og vi trengte ikke engang diskriminanten (se leksjonen "Løse andregradsligninger").

Selvfølgelig, i alle våre refleksjoner, gikk vi ut fra to viktige forutsetninger, som generelt sett ikke alltid er oppfylt i reelle problemer:

  1. Andregradsligningen reduseres, dvs. koeffisienten ved x 2 er 1;
  2. Ligningen har to forskjellige røtter. Fra et algebra-synspunkt, i dette tilfellet diskriminanten D> 0 - faktisk antar vi i utgangspunktet at denne ulikheten er sann.

Men i typiske matematiske problemer er disse betingelsene oppfylt. Hvis beregningene resulterer i en "dårlig" andregradsligning (koeffisienten ved x 2 er forskjellig fra 1), er det lett å fikse det - ta en titt på eksemplene helt i begynnelsen av leksjonen. Jeg er generelt stille om røttene: hva er dette problemet der det ikke er noe svar? Selvfølgelig vil det være røtter.

Dermed er det generelle opplegget for å løse kvadratiske ligninger ved å bruke Vietas teorem som følger:

  1. Reduser den andregradsligningen til den reduserte, hvis det ikke allerede er gjort i problemstillingen;
  2. Hvis koeffisientene i den gitte kvadratiske ligningen viste seg å være brøk, løser vi gjennom diskriminanten. Du kan til og med gå tilbake til den opprinnelige ligningen for å jobbe med mer "praktiske" tall;
  3. Når det gjelder heltallskoeffisienter, løser vi ligningen ved Vietas teorem;
  4. Hvis det i løpet av få sekunder ikke var mulig å gjette røttene, hamrer vi inn i Vietas teorem og løser gjennom diskriminanten.

Oppgave. Løs ligningen: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

Så foran oss er en ligning som ikke er redusert, fordi koeffisient a = 5. Del alt med 5, vi får: x 2 - 7x + 10 = 0.

Alle koeffisientene til den kvadratiske ligningen er heltall - la oss prøve å løse det med Vietas teorem. Vi har: x 1 + x 2 = - (- 7) = 7; x 1 · x 2 = 10. I dette tilfellet er røttene lett å gjette - disse er 2 og 5. Det er ikke nødvendig å telle gjennom diskriminanten.

Oppgave. Løs ligningen: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Se: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - denne ligningen er ikke redusert, vi deler begge sider med koeffisienten a = −5. Vi får: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - en likning med brøkkoeffisienter.

Det er bedre å gå tilbake til den opprinnelige ligningen og telle gjennom diskriminanten: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 = 0,4.

Oppgave. Løs ligningen: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

La oss først dele alt med koeffisienten a = 2. Vi får ligningen x 2 + 5x - 300 = 0.

Denne reduserte ligningen, ifølge Vietas teorem, har vi: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Det er vanskelig å gjette røttene til kvadratisk ligning i dette tilfellet - personlig "satte jeg meg fast" da jeg løste dette problemet.

Vi må lete etter røttene gjennom diskriminanten: D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2. Hvis du ikke husker roten til diskriminanten, vil jeg bare legge merke til at 1225: 25 = 49. Derfor er 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2.

Nå som roten til diskriminanten er kjent, vil det ikke være vanskelig å løse ligningen. Vi får: x 1 = 15; x 2 = −20.

LIGNENDE ARTIKLER