Hvis vi følger definisjonen, så er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for forholdet mellom inkrementet til funksjonen Δ y til økningen av argumentet Δ x:

Alt ser ut til å være klart. Men prøv å regne ut ved å bruke denne formelen, for eksempel den deriverte av en funksjon f(x) = x 2 + (2x+ 3) e x Synd x... Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.

Til å begynne med merker vi at de såkalte elementære funksjonene kan skilles fra hele spekteret av funksjoner. Dette er relativt enkle uttrykk, hvis deriverte lenge har blitt beregnet og lagt inn i tabellen. Slike funksjoner er enkle å huske - sammen med deres derivater.

Derivater av elementære funksjoner

Elementære funksjoner er alt oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det ikke vanskelig å huske dem i det hele tatt - det er derfor de er elementære.

Så, derivatene av elementære funksjoner:

Navn	Funksjon	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Rasjonell karakter	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	- synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1 / cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	- 1 / synd 2 x
Naturlig logaritme	f(x) = ln x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = logg en x	1/(x Ln en)
Eksponentiell funksjon	f(x) = e x	e x(ingenting endret seg)

Hvis den elementære funksjonen multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes den deriverte av den nye funksjonen også enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter flyttes utenfor tegnet til den deriverte. For eksempel:

(2x 3) '= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles – og mye mer. Dermed vil det dukke opp nye funksjoner, som ikke lenger er spesielt elementære, men også differensierbare etter visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.

Derivert av sum og differanse

La funksjoner f(x) og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen til disse funksjonene:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et begrep om "negativt element". Derfor forskjellen f − g kan skrives om som sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksjon f(x) Er summen av to elementære funksjoner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2) ’+ (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonnerer tilsvarende for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Avledet av et verk

Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av summen er lik summen av de deriverte, så er den deriverte av produktet streik"> er lik produktet av derivater. Men fikner deg! Den derivative av produktet beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formelen er enkel, men ofte oversett. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x- 7) e x .

Funksjon f(x) er produktet av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- synd x) = x 2 (3cos x − x Synd x)

Funksjonen g(x) den første faktoren er litt mer komplisert, men den generelle ordningen endrer seg ikke fra dette. Åpenbart, den første faktoren til funksjonen g(x) er et polynom, og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) e x)’ = (x 2 + 7x- 7) ' e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) e x + (x 2 + 7x- 7) e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x Synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) e x .

Merk at i det siste trinnet blir den deriverte faktorisert. Formelt sett trenger du ikke å gjøre dette, men de fleste derivater beregnes ikke av seg selv, men for å undersøke funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt med null, dens fortegn vil bli avklart, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å ha et faktorisert uttrykk.

Hvis det er to funksjoner f(x) og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet av interesse for oss, kan vi definere en ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne en derivert:

Ikke svak, hva? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Men sånn! Dette er en av de vanskeligste formlene - du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det med spesifikke eksempler.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:

Telleren og nevneren for hver brøk inneholder elementære funksjoner, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:

Tradisjonen tro vil det å faktorisere telleren i faktorer i stor grad forenkle svaret:

En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x la oss si på x 2 + ln x... Det vil vise seg f(x) = synd ( x 2 + ln x) - Det er det det er kompleks funksjon... Den har også et derivat, men det vil ikke fungere å finne det i henhold til reglene diskutert ovenfor.

Hvordan være? I slike tilfeller hjelper variabelerstatning og formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x erstattes av t(x).

Som regel, med forståelsen av denne formelen, er situasjonen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det med spesifikke eksempler, med en detaljert beskrivelse av hvert trinn.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykket 2 x+ 3 vil være enkelt x, så får vi en elementær funksjon f(x) = e x... Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t... Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon med formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nå - oppmerksomhet! Vi utfører omvendt utskifting: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

La oss nå ta for oss funksjonen g(x). Selvfølgelig må du bytte ut x 2 + ln x = t... Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’= (Synd t)’ · t’= Cos t · t ’

Omvendt erstatning: t = x 2 + ln x... Deretter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '= Cos ( x 2 + ln x) (2 x + 1/x).

Det er alt! Som du kan se av det siste uttrykket, ble hele oppgaven redusert til å beregne den utledede summen.

Svar:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) Fordi ( x 2 + ln x).

Svært ofte i timene mine bruker jeg ordet "slag" i stedet for begrepet "derivat". For eksempel er primtall av summen lik summen av strekene. Er det klarere? Vel, det er bra.

Dermed kommer beregning av den deriverte ned på å bli kvitt disse akkurat i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som et siste eksempel, la oss gå tilbake til den deriverte av eksponenten med den rasjonelle eksponenten:

(x n)’ = n · x n − 1

Få vet hvilken rolle n kan godt være et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Men hva om det er noe fancy ved roten? Igjen vil en kompleks funksjon vise seg - de liker å gi slike konstruksjoner på prøver og eksamener.

Oppgave. Finn den deriverte av en funksjon:

Først, la oss omskrive roten som en potens med en rasjonell eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nå gjør vi en erstatning: la x 2 + 8x − 7 = t... Vi finner den deriverte ved formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) ' t'= 0,5 t−0,5 t ’.

Vi gjør omvendt erstatning: t = x 2 + 8x- 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0,5 x 2 + 8x- 7) '= 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til slutt, tilbake til røttene:

Derivat

Å beregne den deriverte av en matematisk funksjon (differensiering) er en svært vanlig oppgave for å løse høyere matematikk. For enkle (elementære) matematiske funksjoner er dette en ganske enkel sak, siden tabeller med deriverte for elementære funksjoner lenge har vært kompilert og lett tilgjengelig. Å finne den deriverte av en kompleks matematisk funksjon er imidlertid ikke en triviell oppgave og krever ofte betydelig innsats og tid.

Finn et derivat på nettet

Vår nettjeneste lar deg bli kvitt meningsløse lange beregninger og finne derivater på nettet på et øyeblikk. Dessuten bruker tjenesten vår på nettstedet www.nettsted, kan du beregne derivat på nettet både fra en elementær funksjon og fra en svært kompleks en som ikke har en løsning i analytisk form. De viktigste fordelene med nettstedet vårt sammenlignet med andre er: 1) det er ingen strenge krav til metoden for å angi en matematisk funksjon for å beregne den deriverte (for eksempel når du skriver inn sinus x-funksjonen, kan du skrive den inn som sin x eller sin (x) eller sin [x], etc. etc.); 2) beregningen av den deriverte online skjer umiddelbart i modusen på nett og absolutt er gratis; 3) vi tillater å finne den deriverte av funksjonen hvilken som helst ordre, er det veldig enkelt og forståelig å endre rekkefølgen på den deriverte; 4) vi lar deg finne avledet av nesten hvilken som helst matematisk funksjon på nettet, selv en svært kompleks, utilgjengelig for løsning av andre tjenester. Det returnerte svaret er alltid nøyaktig og kan ikke inneholde feil.

Ved å bruke serveren vår kan du 1) beregne den deriverte på nettet for deg, og spare deg for tidkrevende og kjedelige beregninger, hvor du kan gjøre en feil eller skrivefeil; 2) hvis du selv beregner den deriverte av en matematisk funksjon, så gir vi deg muligheten til å sammenligne resultatet med beregningene av tjenesten vår og forsikre deg om at løsningen er riktig eller finne feilen som har sneket seg inn; 3) bruk vår tjeneste i stedet for å bruke tabeller med avledede funksjoner, hvor det ofte tar tid å finne ønsket funksjon.

Alt som kreves av deg finne derivater på nettet er å bruke tjenesten vår på

Beregner den deriverte er en av de viktigste operasjonene i differensialregning. Nedenfor er en tabell for å finne deriverte av enkle funksjoner. For mer komplekse regler for differensiering, se andre leksjoner:

• Derivativ tabell over eksponentielle og logaritmiske funksjoner

Bruk formlene nedenfor som referanseverdier. De vil hjelpe til med å løse differensialligninger og problemer. På bildet, i tabellen over derivater av enkle funksjoner, er det et "jukseark" med hovedtilfellene for å finne en derivat i en form som er forståelig for bruk, sammen med forklaringer for hvert tilfelle.

Derivater av enkle funksjoner

1. Den deriverte av et tall er lik null
s´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den deriverte viser hastigheten med hvilken verdien av funksjonen endres når argumentet endres. Siden tallet ikke endres på noen måte under noen forhold, er endringshastigheten alltid null.

2. Variabel derivat lik en
x´ = 1

Forklaring:
For hver økning av argumentet (x) med én, økes verdien av funksjonen (resultatet av beregninger) med samme beløp. Dermed er endringshastigheten for verdien av funksjonen y = x nøyaktig lik endringshastigheten til verdien av argumentet.

3. Den deriverte av variabelen og faktoren er lik denne faktoren
sx´ = s
Eksempel:
(3x) ´ = 3
(2x) ´ = 2
Forklaring:
I dette tilfellet, hver gang argumentet til funksjonen ( X) verdien (y) øker i Med en gang. Dermed er endringshastigheten for verdien av funksjonen i forhold til endringshastigheten til argumentet nøyaktig lik verdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b) "= c
det vil si at differensialen til den lineære funksjonen y = kx + b er lik helningen til helningen til den rette linjen (k).

4. Modulo-derivert av en variabel er lik kvotienten til denne variabelen til dens modul
| x | "= x / | x | forutsatt at x ≠ 0
Forklaring:
Siden den deriverte av variabelen (se formel 2) er lik én, skiller den deriverte av modulen seg bare ved at verdien av endringshastigheten til funksjonen endres til det motsatte når du krysser opprinnelsespunktet (prøv å tegne en graf av funksjonen y = | x | og se selv. verdi og returnerer uttrykket x / | x |. Når x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil si at med negative verdier av variabelen x, med hver økning i endringen i argumentet, synker verdien av funksjonen med nøyaktig samme verdi, og med positive verdier, tvert imot, øker den, men med nøyaktig samme verdi.

5. Derivat av en variabel i makt er lik produktet av antallet av denne graden og variabelen i graden, redusert med én
(x c) "= cx c-1, forutsatt at x c og cx c-1 er definert og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2) "= 2x
(x 3) "= 3x 2
For å huske formelen:
Utfør kraften til variabelen "ned" som en faktor, og reduser deretter selve kraften med én. For eksempel, for x 2 - de to var foran x, og så ga den reduserte graden (2-1 = 1) oss bare 2x. Det samme skjedde for x 3 - vi "flytter ned" de tre, reduserer den med én og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil si 3x 2. Litt "uvitenskapelig" men veldig lett å huske.

6.Derivat av en brøk 1 / x
(1 / x) "= - 1 / x 2
Eksempel:
Siden en brøkdel kan betraktes som å heve til en negativ makt
(1 / x) "= (x -1)", så kan du bruke formelen fra regel 5 i tabellen med derivater
(x -1) "= -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat av en brøk med variabel av vilkårlig grad i nevneren
(1 / x c) "= - c / x c + 1
Eksempel:
(1 / x 2) "= - 2 / x 3

8. Derivat av roten(deriverten av variabelen under kvadratrot)
(√x) "= 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x) "= (x 1/2)" betyr at du kan bruke formelen fra regel 5
(x 1/2) "= 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivert av en variabel under en vilkårlig rot
(n √x) "= 1 / (n n √x n-1)

Det er veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, vi vil umiddelbart vurdere invers funksjon... Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen et tall:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med grunntall) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: skriv i stedet.

Hva er lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Eksponenten og den naturlige logaritmen er unikt enkle funksjoner sett fra den deriverte. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Differensieringsregler

Reglene for hva? Igjen en ny periode, igjen?! ...

Differensiering er prosessen med å finne en derivat.

Det er alt. Hvordan ellers kalle denne prosessen med ett ord? Ikke en avledning ... Matematikkens differensial kalles samme inkrement av en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten flyttes utenfor det deriverte tegnet.

Hvis er et konstant tall (konstant), da.

Åpenbart fungerer denne regelen også for forskjellen:.

La oss bevise det. La, eller lettere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

1. på punktet;
2. på punktet;
3. på punktet;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Avledet av et verk

Alt er det samme her: vi introduserer en ny funksjon og finner dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn de deriverte av funksjonene og;
2. Finn den deriverte av funksjonen i punktet.

Løsninger:

Derivert av eksponentialfunksjonen

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, ikke bare eksponenten (har du glemt hva det er?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å kaste funksjonen vår til en ny radix:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel:. Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er vanskelig.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av eksponenten: Som den var, gjenstår det, bare en multiplikator dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives på en enklere form. Derfor lar vi det i svaret være i denne formen.

Merk at her er kvotienten til to funksjoner, så vi bruker den tilsvarende differensieringsregelen:

I dette eksemplet er produktet av to funksjoner:

Derivert av en logaritmisk funksjon

Her er det likt: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig en av logaritmen med en annen base, for eksempel:

Du må bringe denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til logaritmen? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå, i stedet for vil vi skrive:

Nevneren er bare en konstant (konstant tall, ingen variabel). Den deriverte er veldig enkel:

Derivatene av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i eksamen, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om logaritmen virker vanskelig for deg, les emnet "Logarithms" og alt vil passere), men fra et matematikksynspunkt betyr ikke ordet "vanskelig" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør en slags handling med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Det viser seg en slik sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først finner vi cosinus til et tall, og deretter kvadrerer vi det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firkanter du det jeg har (du knytter det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi for å finne verdien gjør den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en annen handling med resultatet av den første.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For vårt eksempel,.

Vi kan godt gjøre de samme handlingene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet:. Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. En viktig funksjon ved komplekse funksjoner: Når du endrer rekkefølgen på handlinger, endres funksjonen.

Andre eksempel: (samme). ...

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "Ekstern" funksjon, og handlingen som ble tatt først - hhv "Intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare materialet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

1. Hva er den første handlingen å ta? Først vil vi beregne sinusen, og først da vil vi heve den til en terning. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning:.
2. Innvendig:; utvendig:.
   Eksamen:.
3. Innvendig:; utvendig:.
   Eksamen:.
4. Innvendig:; utvendig:.
   Eksamen:.
5. Innvendig:; utvendig:.
   Eksamen:.

vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladebaren vår - se etter et derivat. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere en offisiell regel:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Alt ser ut til å være enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Intern:;

Utvendig:;

2) Intern:;

(bare ikke prøv å redusere nå! Ingenting kan tas ut under kosinus, husker du?)

3) Intern:;

Utvendig:;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og fra den trekker vi også ut roten, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (vi legger en sjokoladeplate i en innpakning og legg den i en koffert med et bånd). Men det er ingen grunn til å være redd: uansett vil vi "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi alt dette.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere trinnene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss ta et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger - som før:

Her er hekking generelt 4-nivå. La oss definere en handlingsforløp.

1. Et radikalt uttrykk. ...

2. Rot. ...

3. Sinus. ...

4. Firkantet. ...

5. Sette alt sammen:

DERIVAT. KORT OM HOVEDET

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet med en uendelig liten økning av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Differensieringsregler:

Konstanten flyttes utenfor det deriverte tegnet:

Avledet av beløpet:

Avledning av verket:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen, vi finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen, vi finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.