Hvordan løse en ligning med parenteser. Utvidende parentes: regler og eksempler (karakter 7) Hvordan løse likninger med parentes

Hovedfunksjonen til parenteser er å endre rekkefølgen på handlinger ved beregning av verdier. for eksempel, i det numeriske uttrykket \ (5 3 + 7 \), vil multiplikasjon beregnes først, og deretter addisjon: \ (5 3 + 7 = 15 + 7 = 22 \). Men i uttrykket \ (5

Eksempel. Utvid braketten: \ (- (4m + 3) \).
Løsning : \ (- (4m + 3) = - 4m-3 \).

Eksempel. Utvid parentesen og gi lignende ledd \ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \).
Løsning : \ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) = 5-3x-2 + 2 + 3x = 5 \).

Eksempel. Utvid parentesene \ (5 (3-x) \).
Løsning : I parentesen har vi \ (3 \) og \ (- x \), og foran parentesen er det en femmer. Derfor blir hvert medlem av parentesen multiplisert med \ (5 \) - jeg minner deg om det multiplikasjonstegnet mellom et tall og en parentes er ikke skrevet i matematikk for å redusere størrelsen på poster.

Eksempel. Utvid parentesene \ (- 2 (-3x + 5) \).
Løsning : Som i forrige eksempel multipliseres \ (- 3x \) og \ (5 \) med \ (- 2 \).

Eksempel. Forenkle uttrykk: \ (5 (x + y) -2 (x-y) \).
Løsning : \ (5 (x + y) -2 (x-y) = 5x + 5y-2x + 2y = 3x + 7y \).

Det gjenstår å vurdere den siste situasjonen.

Når du multipliserer en parentes med en parentes, multipliseres hvert medlem av den første parentesen med hvert medlem av den andre:

\ ((c + d) (a-b) = c (a-b) + d (a-b) = ca-cb + da-db \)

Eksempel. Utvid parentesene \ ((2-x) (3x-1) \).
Løsning : Vi har et produkt i parentes og det kan utvides umiddelbart ved å bruke formelen ovenfor. Men for ikke å bli forvirret, la oss gjøre alt i trinn.
Trinn 1. Fjern den første braketten - vi multipliserer hvert av medlemmene med den andre braketten:

Trinn 2. Utvid produktet av parentesen med faktoren som beskrevet ovenfor:
- først den første...

Så den andre.

Trinn 3. Nå multipliserer vi og gir lignende termer:

Det er slett ikke nødvendig å beskrive alle transformasjonene så detaljert, du kan umiddelbart multiplisere. Men hvis du bare lærer å åpne parenteser - skriv i detalj, det vil være mindre sjanse for å gjøre en feil.

En merknad til hele avsnittet. Faktisk trenger du ikke å huske alle fire reglene, det er nok å huske bare én, dette er: \ (c (a-b) = ca-cb \). Hvorfor? Fordi hvis du erstatter en i stedet for c i den, får du regelen \ ((a-b) = a-b \). Og hvis vi erstatter minus én, får vi regelen \ (- (a-b) = - a + b \). Vel, hvis du i stedet for c erstatter en annen parentes, kan du få den siste regelen.

Parentes i parentes

Noen ganger er det i praksis problemer med parenteser nestet innenfor andre parenteser. Her er et eksempel på en slik oppgave: forenkle uttrykket \ (7x + 2 (5- (3x + y)) \).

For å lykkes med å løse slike oppgaver, trenger du:
- forstå nøye hekkingen av parentes - hvilken er i hvilken;
- utvide parenteser sekvensielt, start for eksempel fra den innerste.

I dette tilfellet er det viktig når du åpner en av brakettene ikke rør resten av uttrykket ved ganske enkelt å omskrive det som det er.
La oss ta oppgaven ovenfor som et eksempel.

Eksempel. Utvid parentesene og gi lignende termer \ (7x + 2 (5- (3x + y)) \).
Løsning:

Eksempel. Utvid parentesene og gi lignende termer \ (- (x + 3 (2x-1 + (x-5)))) \).
Løsning :

\ (- (x + 3 (2x-1 \) \ (+ (x-5) \) \ ()) \)		Her er en trippel hekking av parenteser. Vi starter med den innerste (uthevet med grønt). Det er et pluss foran braketten, så den kan enkelt tas av.
\ (- (x + 3 (2x-1 \) \ (+ x-5 \) \ ()) \)		Nå må du utvide den andre parentesen, den mellomliggende. Men før det forenkler vi uttrykket med et spøkelse som ligner på begrepene i denne andre parentesen.
\ (= - (x \) \ (+ 3 (3x-6) \) \ () = \)		Nå åpner vi den andre parentesen (uthevet i blått). Det er en faktor foran parentesen - så hvert ledd i parentesen multipliseres med den.
\ (= - (x \) \ (+ 9x-18 \) \ () = \)
		Og vi åpner den siste parentesen. Før parentesen er det et minus - derfor er alle tegn snudd.

Å åpne parenteser er en grunnleggende ferdighet i matematikk. Uten denne ferdigheten er det umulig å ha karakter over tre i 8. og 9. klasse. Derfor anbefaler jeg at du forstår dette emnet godt.

Klammer brukes for å indikere rekkefølgen handlinger utføres i i numeriske, bokstavelige og variable uttrykk. Det er praktisk å gå fra et uttrykk med parentes til et identisk likt uttrykk uten parentes. Denne teknikken kalles utvidelse av parenteser.

Utvid parentes betyr å bli kvitt uttrykket fra disse parentesene.

Et punkt til fortjener spesiell oppmerksomhet, som gjelder særegenhetene ved å registrere avgjørelser når du åpner parenteser. Vi kan skrive startuttrykket med parenteser og resultatet oppnådd etter utvidelse av parentesene som likhet. For eksempel, etter å ha utvidet parentesene, i stedet for uttrykket
3− (5−7) får vi uttrykket 3−5 + 7. Vi kan skrive begge disse uttrykkene som likheten 3− (5−7) = 3−5 + 7.

Og enda et viktig poeng. I matematikk, for å forkorte poster, er det vanlig å ikke skrive et plusstegn hvis det står først i et uttrykk eller i parentes. For eksempel, hvis vi legger til to positive tall, for eksempel syv og tre, så skriver vi ikke + 7 + 3, men bare 7 + 3, til tross for at syv også er et positivt tall. På samme måte, hvis du for eksempel ser uttrykket (5 + x) - vet at det er et pluss foran parentesen, som ikke er skrevet, og foran de fem er det pluss + (+ 5 + x) .

Regelen for utvidelse av parenteser i tillegg

Ved utvidelse av parenteser, hvis det er et pluss foran parentesene, så er dette pluss utelatt sammen med parentesene.

Eksempel. Utvid parenteser i uttrykket 2 + (7 + 3) Før parentesene, pluss, slik at fortegnene foran tallene i parentes ikke endres.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regelen for utvidelse av parenteser ved subtrahering

Hvis det er minus foran parentesene, så er denne minus utelatt sammen med parentesene, men begrepene som sto i parentes endrer fortegn til motsatt. Fraværet av et tegn foran første ledd i parentes innebærer et +-tegn.

Eksempel. Utvid parenteser i uttrykk 2 - (7 + 3)

Det er et minus foran parentesene, som betyr at du må endre skiltene før tallene fra parentesene. Det er ikke noe tegn i parentes før tallet 7, dette betyr at sjueren er positiv, det anses at det er et +-tegn foran.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Når vi utvider brakettene, fjerner vi fra eksemplet minus som var foran brakettene, og selve brakettene 2 - (+ 7 + 3), og skiltene som var i parentesene er reversert.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Utvide parenteser i multiplikasjon

Hvis det er et multiplikasjonstegn foran parentesene, multipliseres hvert tall innenfor parentesene med faktoren foran parentesene. I dette tilfellet gir det å multiplisere en minus med en minus et pluss, og å multiplisere en minus med et pluss, samt å multiplisere et pluss med en minus, gir et minus.

Dermed utvides parentesene i verkene i samsvar med fordelingsegenskapen til multiplikasjon.

Eksempel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Når du multipliserer en parentes med en parentes, multipliseres hvert medlem av den første parentesen med hvert medlem av den andre parentesen.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Faktisk er det ikke nødvendig å huske alle reglene, det er nok å huske bare én ting, dette er: c (a-b) = ca-cb. Hvorfor? For hvis du erstatter en i den i stedet for c, får du regelen (a - b) = a - b. Og hvis vi erstatter minus én, får vi regelen - (a - b) = - a + b. Vel, hvis du i stedet for c erstatter en annen parentes, kan du få den siste regelen.

Utvide parenteser ved deling

Hvis det er et divisjonstegn etter parentesene, deles hvert tall innenfor parentesene med divisoren etter parentesene, og omvendt.

Eksempel. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

Hvordan utvide nestede parenteser

Hvis uttrykket inneholder nestede parenteser, utvides de i rekkefølge, og starter med de ytre eller indre.

Samtidig, når du åpner en av brakettene, er det viktig å ikke berøre resten av brakettene, bare omskrive dem som de er.

Eksempel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Ikke alle ligninger som inneholder parenteser løses på samme måte. Oftest trenger de selvfølgelig å åpne brakettene og gi lignende vilkår (mens metodene for å åpne brakettene er forskjellige). Men noen ganger trenger ikke parentesen utvides. La oss vurdere alle disse tilfellene med spesifikke eksempler:

5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2x - 3 (x + 5) = -12.
(x + 1) (7x - 21) = 0.

Løse ligninger ved å utvide parenteser

Denne metoden for å løse ligninger er den vanligste, men for all dens tilsynelatende universalitet er den delt inn i underarter avhengig av metoden for å åpne parentesene.

1) Løsning av ligning 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

I denne ligningen står minus- og plusstegn foran parentesen. For å utvide brakettene i det første tilfellet, hvor et minustegn er foran dem, bør alle skilt inne i brakettene snus. Før det andre paret med parenteser er det et plusstegn, som ikke vil påvirke tegnene i parentes med kallenavn, så de kan ganske enkelt utelates. Vi får:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Vi overfører begrepene med x til venstre side av ligningen, og resten til høyre (tegnene til de overførte begrepene vil endres til det motsatte):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Her er lignende termer:

For å finne den ukjente faktoren x, del produktet 18 med den kjente faktoren 6:

x = 18/6 = 3.

2) Løsningen til ligningen 2x - 3 (x + 5) = -12.

I denne ligningen må du også først åpne parentesene, men ved å bruke fordelingsegenskapen: for å multiplisere -3 med summen (x + 5), må du multiplisere -3 med hvert ledd i parentes og legge til de resulterende produktene:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Løse ligninger uten å utvide parenteser

Den tredje ligningen (x + 1) (7x - 21) = 0 kan også løses ved å åpne parentesene, men det er mye lettere i slike tilfeller å bruke egenskapen multiplikasjon: produktet er lik null når en av faktorene er null... Midler:

x + 1 = 0 eller 7x - 21 = 0.

En ligning med en ukjent, som, etter å ha åpnet parentesene og redusert lignende termer, har formen

ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tall, kalles lineær ligning med en ukjent. I dag skal vi finne ut hvordan vi løser disse lineære ligningene.

For eksempel, alle ligninger:

2x + 3 = 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 = 1/2 (x - 2) - lineær.

Verdien av det ukjente som gjør ligningen til en ekte likhet kalles beslutning eller roten til ligningen .

For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for den ukjente x erstatter tallet 2, får vi den riktige likheten 3 · 2 +7 = 13. Derfor er verdien x = 2 løsningen eller roten til ligningen.

Og verdien x = 3 gjør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sann likhet, siden 3 · 2 +7 ≠ 13. Derfor er ikke verdien x = 3 en løsning eller en rot av ligningen.

Løsningen av eventuelle lineære ligninger reduseres til løsningen av formens ligninger

ax + b = 0.

Vi overfører frileddet fra venstre side av ligningen til høyre, og endrer tegnet foran b til motsatt, får vi

Hvis a ≠ 0, så er x = - b / a .

Eksempel 1. Løs 3x + 2 = 11-ligningen.

Flytter 2 fra venstre side av ligningen til høyre, mens du endrer tegnet foran 2 til motsatt, får vi
3x = 11 - 2.

Trekk fra da
3x = 9.

For å finne x må du dele produktet med en kjent faktor, dvs.
x = 9:3.

Derfor er verdien x = 3 løsningen eller roten av ligningen.

Svar: x = 3.

Hvis a = 0 og b = 0, da får vi likningen 0x = 0. Denne likningen har uendelig mange løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b er også lik 0. Ethvert tall er en løsning på denne likningen.

Eksempel 2. Løs ligningen 5 (x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

La oss utvide parentesene:
5x - 15 + 2 = 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x = - 12 - 1 + 15 - 2.

Her er lignende termer:
0x = 0.

Svar: x - et hvilket som helst tall.

Hvis a = 0 og b ≠ 0, da får vi ligningen 0x = - b. Denne ligningen har ingen løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0, får vi 0, men b ≠ 0.

Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.

La oss gruppere medlemmene som inneholder ukjente til venstre, og gratis medlemmer til høyre:
x - x = 5 - 8.

Her er lignende termer:
0x = - 3.

Svar: det finnes ingen løsninger.

På bilde 1 viser skjemaet for å løse den lineære ligningen

La oss lage et generelt skjema for å løse likninger med én variabel. Tenk på løsningen til eksempel 4.

Eksempel 4. La ligningen løses

1) Multipliser alle leddene i ligningen med det minste felles multiplum av nevnerne, lik 12.

2) Etter reduksjon får vi
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) For å skille medlemmene som inneholder ukjente og gratis medlemmer, utvider vi parentesene:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) La oss gruppere i den ene delen medlemmene som inneholder ukjente, og i den andre - gratis medlemmer:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Her er lignende termer:
- 22x = - 154.

6) Del med - 22, vi får
x = 7.

Som du kan se, er roten av ligningen syv.

Generelt slik ligninger kan løses i henhold til følgende skjema:

a) bringe likningen til hele sin form;

b) åpne brakettene;

c) gruppere begrepene som inneholder det ukjente i den ene delen av ligningen, og frie begreper i den andre;

d) ta med lignende medlemmer;

e) løs en likning på formen ax = b, som ble oppnådd etter å ha tatt med lignende ledd.

Denne ordningen er imidlertid ikke nødvendig for hver ligning. Når man løser mange enklere ligninger, må man ikke begynne med den første, men med den andre ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. tretten) og til og med fra det femte trinnet, som i eksempel 5.

Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.

Finn den ukjente x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Vurder løsningen av noen lineære ligninger funnet i hovedtilstandseksamenen.

Eksempel 6. Løs ligningen 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Svar: - 0, 125

Eksempel 7. Løs ligningen - 6 (5 - 3x) = 8x - 7.

- 30 + 18x = 8x - 7

18x - 8x = - 7 +30

Svar: 2.3

Eksempel 8. Løs ligningen