Sa 15 eksponencijalnih jednadžbi. Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe. možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama

Rješenje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš ..."
I za one koji su "veoma ujednačeni...")

Šta se desilo eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.

Tu ste primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi... V indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa x. Ako se odjednom pojavi x u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će već biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanjem eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.

U stvari, čak ni čiste eksponencijalne jednačine nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednačina koje se mogu i trebaju riješiti. Razmotrićemo ove vrste.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:

Čak i bez ikakvih teorija, jasno je iz jednostavnog odabira da je x = 2. Nema više, zar ne!? Nema drugih bacanja x vrijednosti. Sada pogledajmo zapis rješenja ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Šta smo uradili? Mi smo, naime, samo izbacili iste baze (trojke). Potpuno su ga izbacili. I, šta je drago, pogodite metu!

Zaista, ako eksponencijalna jednadžba s lijeve i desne strane sadrži isto brojevi u bilo kojem stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i eksponenti izjednačiti. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Sjajno, zar ne?)

Međutim, prisjetimo se toga ironično: baze možete ukloniti samo kada su brojevi baza lijevo i desno u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih komšija i koeficijenata. Recimo u jednačinama:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ili

dvojke se ne mogu ukloniti!

Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako preći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

"Ova su vremena!" - ti kažeš. "Ko će dati takav primitiv na testovima i ispitima!?"

Moram da se složim. Niko neće dati. Ali sada znate čemu treba težiti kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno ga je dovesti u formu kada je isti osnovni broj lijevo - desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasika matematike. Uzimamo originalni primjer i transformiramo ga u željeni. US um. Po pravilima matematike, naravno.

Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su: akcije sa stepenom. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.

Lično zapažanje i domišljatost moraju se dodati akcijama sa stepenom. Da li su nam potrebni isti osnovni brojevi? Stoga ih u primjeru tražimo u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Neka nam se da primjer:

2 2x - 8x + 1 = 0

Prvi oštar pogled je na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo

Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće zapisati:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Ako se prisjetite formule iz radnji s moćima:

(a n) m = a nm,

generalno ispada odlično:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Originalni primjer sada izgleda ovako:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Mi prenosimo 2 3 (x + 1) desno (niko nije otkazao elementarne radnje matematike!), dobijamo:

2 2x = 2 3 (x + 1)

To je praktično sve. Uklanjamo baze:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je tačan odgovor.

U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osmici je šifrovana dvojka. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih baza pod različitim brojevima) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednačinama! I u logaritmima. Čovek mora biti u stanju da prepozna u brojevima stepene drugih brojeva. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Činjenica je da podizanje bilo kojeg broja na bilo koji stepen nije problem. Pomnožite, čak i na komadu papira, i to je sve. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će raditi ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo je češće potrebno ne podići na stepen, već naprotiv... koji broj do kog stepena se krije iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nijedan kalkulator neće pomoći.

Morate znati moći nekih brojeva iz vida, da... Hajde da vježbamo?

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (u neredu, naravno!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako bolje pogledate, možete vidjeti jednu čudnu činjenicu. Odgovora je znatno više nego zadataka! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6, 4 3, 8 2 su sve 64.

Pretpostavimo da ste primili k znanju informacije o poznavanju brojeva.) Dozvolite mi da vas podsjetim da za rješavanje eksponencijalnih jednačina koristimo cjelina zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz mlađih i srednjih razreda. Nisi odmah krenuo u srednju školu, zar ne?)

Na primjer, kada se rješavaju eksponencijalne jednačine, često pomaže stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada (zdravo, 7. razred!). Pogledajmo primjer:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

I opet, na prvi pogled - na temeljima! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju, želja je sasvim izvodljiva!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Slijedite ista pravila za postupanje sa diplomama:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Odlično, možete napisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Doveli smo primjer na istu osnovu. Dakle, šta je sljedeće!? Trojke se ne smeju bacati... Slepa ulica?

Ne sve. Zapamtite najsvestranije i najmoćnije pravilo odlučivanja od svega matematički zadaci:

Ako ne znate šta je potrebno, uradite šta možete!

Vidite, sve će se formirati).

Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini mogu učiniti? Da, na lijevoj strani se direktno traži zagrada! Zajednički faktor 3 2x to jasno nagovještava. Hajde da probamo, pa cemo videti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Zapamtite da nam je za eliminaciju osnova potreban čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Broj 70 nam stoji na putu. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:

Ups! Sve je uspjelo!

Ovo je konačan odgovor.

Dešava se, međutim, da se dobije taksiranje po istim osnovama, ali ne i njihovo otklanjanje. Ovo se dešava u eksponencijalnim jednačinama drugog tipa. Savladajmo ovu vrstu.

Promjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Rešimo jednačinu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo, kao i obično. Prelazimo na jednu osnovu. Za dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobijamo jednačinu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje ćemo se smrznuti. Prethodne tehnike neće raditi, ma koliko cool. Morat ćemo se izvući iz arsenala još jednog moćnog i svestranog načina. To se zove varijabilna zamjena.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju - 2 x), pišemo drugu, jednostavniju (na primjer - t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerovatnih rezultata!) Samo sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Zamijenite sve potencije sa x u našoj jednadžbi sa t:

Pa, svanulo je?) Jeste li već zaboravili kvadratne jednačine? Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:

Ovdje je glavna stvar ne stati, kako to biva... Ovo još nije odgovor, treba nam X, a ne t. Vraćamo se na Xs, tj. vršimo povratnu zamjenu. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen jedan korijen. Tražimo drugu, od t 2:

Hm ... lijevo 2 x, desno 1 ... Problem? Ne sve! Dovoljno je zapamtiti (iz radnji sa moćima, da...) da je bilo koji broj na nulti stepen. Bilo ko. Isporučićemo ono što je potrebno. Treba nam dvojka. znači:

To je to. Imamo 2 korijena:

Ovo je odgovor.

At rješavanje eksponencijalnih jednačina ponekad završimo sa nekim čudnim izrazom lica. Vrsta:

Od sedam, dva do osnovnog stepena ne ide. Nisu rođaci... Kako biti ovdje? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je pročitala na ovoj stranici temu "Šta je logaritam?" , samo se štedljivo smješka i čvrstom rukom zapisuje apsolutno tačan odgovor:

Takvog odgovora ne može biti u zadacima "B" na ispitu. Tamo je potreban određeni broj. Ali u zadacima "C" - lako.

Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavnu stvar.

Praktični savjeti:

1. Prije svega, pogledamo temeljima stepeni. Razmatramo da li ih je moguće napraviti isto. Pokušavamo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa stepenom. Ne zaboravite da se brojevi bez x također mogu pretvoriti u stepene!

2. Pokušavamo svesti eksponencijalnu jednačinu na oblik kada su lijevo i desno isto brojevi u bilo kom stepenu. Koristimo akcije sa stepenom i faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima – brojimo.

3. Ako drugi savjet nije uspio, pokušavamo primijeniti zamjenu varijable. Krajnji rezultat je jednačina koja se može lako riješiti. Najčešće je kvadratna. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednadžbi potrebno je znati potencije nekih brojeva "iz viđenja".

Kao i obično, na kraju lekcije od vas se traži da malo odlučite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Pronađite proizvod korijena:

2 3-x + 2 x = 9

Desilo se?

Pa, onda najkompliciraniji primjer (riješen, međutim, u mislima...):

7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3

Šta je zanimljivije? Onda evo lošeg primjera za vas. Prilično privučen povećanom težinom. Nagovijestit ću da u ovom primjeru štede domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih zadataka.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Primjer je jednostavniji, za odmor):

9 2 x - 4 3 x = 0

I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je mješovita jednačina! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. A da ih treba uzeti u obzir, moraju se riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednačine. Pa pamet je potrebna... I neka ti pomogne sedmi razred (ovo je nagoveštaj!).

Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):

jedan; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Da li je sve uredu? U redu.

Postoji problem? Nema problema! U Posebnom odeljku 555, sve ove eksponencijalne jednačine su rešene sa detaljnim objašnjenjima. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo ove.)

Posljednje smiješno pitanje za razmatranje. U ovom tutorijalu radili smo s eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednadžbama je ovo vrlo važna stvar, inače...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Trenutno validacijsko testiranje. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

U fazi pripreme za završni test učenici viših razreda treba da usavrše svoja znanja na temu „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci izazivaju određene poteškoće kod školaraca. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen osposobljenosti, moraju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose sa ovom vrstom problema, maturanti će moći da računaju na visoke rezultate prilikom polaganja ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!

Prilikom pregleda obrađenog materijala mnogi učenici se suočavaju sa problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal "Školkovo" poziva studente da koriste našu bazu znanja. Implementiramo potpuno novu metodu pripreme za finalno testiranje. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju upravo na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Učitelji u Školkovu su prikupili, sistematizovali i predstavili sav materijal potreban za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.

Glavne definicije i formule predstavljene su u odjeljku "Teorijske reference".

Za bolju asimilaciju gradiva preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjem predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga nastavite sa zadacima u odjeljku "Direktoriji". Možete početi s najlakšim problemima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili. Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u omiljene. Na taj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim instruktorom.

Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!

Nazad naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve opcije prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije

: čas generalizacije i složene primjene znanja, vještina i sposobnosti na temu „Eksponencijalne jednačine i načini njihovog rješavanja“.

Ciljevi lekcije.

edukativni:
ponoviti i sistematizovati glavni materijal teme “Eksponencijalne jednačine, njihova rješenja”; konsolidovati sposobnost korišćenja odgovarajućih algoritama pri rešavanju eksponencijalnih jednačina različitih tipova; priprema za ispit.
u razvoju:
razvijati logičko i asocijativno mišljenje učenika; doprinose razvoju veštine samostalne primene znanja.
edukativni:
odgojiti svrsishodnost, pažnju i tačnost u rješavanju jednačina.

Oprema:

kompjuter i multimedijalni projektor.

Lekcija koristi informacione tehnologije : metodička podrška nastavnom času - prezentacija u programu Microsoft Power Point.

Tokom nastave

Svaku vještinu daje rad

I. Postavljanje ciljeva lekcije(Slajd broj 2 )

U ovoj lekciji ćemo rezimirati i generalizirati temu “Eksponencijalne jednadžbe, njihova rješenja”. Upoznajmo se sa tipičnim USE zadacima iz različitih godina na ovu temu.

Zadaci za rješavanje eksponencijalnih jednačina mogu se naći u bilo kojem dijelu ispitnih zadataka. U dijelu “ V " obično nude rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi. U dijelu “ SA " možete pronaći složenije eksponencijalne jednadžbe čije je rješenje obično jedna od faza zadatka.

Na primjer ( Slajd broj 3 ).

Jedinstveni državni ispit - 2007

Q 4 - Pronađite najveću vrijednost izraza x y, gdje ( X; at) - sistemsko rješenje:

Jedinstveni državni ispit - 2008

B 1 - Riješite jednačine:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

Jedinstveni državni ispit - 2009

P 4 - Pronađite značenje izraza x + y, gdje ( X; at) - sistemsko rješenje:

Jedinstveni državni ispit - 2010

– Riješite jednačinu: 7 X– 2 = 49. - Pronađite korijene jednačine: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - Riješi sistem jednačina:

II. Ažuriranje osnovnih znanja. Ponavljanje

(Slajdovi broj 4 - 6 prezentacije za lekciju)

Na ekranu se prikazuje osnovni sažetak teorijskog materijala na ovu temu.

Raspravlja se o sljedećim pitanjima:

Kako se jednačine nazivaju indikativno?
Navedite glavne načine za njihovo rješavanje. Navedite primjere njihovih vrsta ( Slajd broj 4 )

(Rješite predložene jednadžbe za svaku metodu nezavisno i izvršite samotestiranje pomoću slajda)

Koja se teorema koristi za rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi oblika: i f (x) = a g (x)?
Koje druge metode za rješavanje eksponencijalnih jednačina postoje? ( Slajd broj 5 )

Metoda faktoringa

Prijem dijeljenja (množenja) eksponencijalnim izrazom koji nije nula, pri rješavanju homogenih eksponencijalnih jednačina

savjet:

pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi, korisno je prvo izvršiti transformacije, dobivajući u obje strane jednačine potencije sa istim bazama.

Rješavanje jednadžbi zadnje dvije metode praćeno komentarima

(Slajd broj 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t - 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Rješavanje ispitnih zadataka 2010

Učenici samostalno rješavaju zadatke predložene na početku časa na slajdu broj 3, koristeći upute za rješenje, provjeravaju tok rješenja i odgovore na njih pomoću prezentacije ( Slajd broj 7). U toku rada se razmatraju opcije i metode rješavanja, skreće se pažnja na moguće greške u rješenju.

: a) 7 X- 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. odgovor: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 = 0. (Možete zamijeniti 0,5 = 4 - 0,5)

Rješenje. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

odgovor: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, na cos y< 0.

Indikacija za rješenje

... 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. Neka X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Od tg y= -1 i cos y< 0, onda at II koordinatni kvartal

odgovor: at= 3/4 + 2k, k N.

IV. Sarađujte na tabli

Zadatkom visokog nivoa obuke smatra se - Slajd broj 8... Uz pomoć ovog slajda odvija se dijalog između nastavnika i učenika koji doprinosi razvoju rješenja.

- Na kom parametru a jednačina 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 ima dva korijena?

Neka t= 2 X, gdje t > 0 ... Dobijamo t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

jedan). Pošto jednačina ima dva korijena, onda je D> 0;

2). Jer t 1,2> 0, onda t 1 t 2> 0, tj a 2 – 4a> 0 (?...).

odgovor: a(- 0,5; 0) ili (4; 4,5).

V. Verifikacija

(Slajd broj 9 )

Učenici nastupaju rad na verifikaciji na papirima, samokontrolu i samoprocjenu obavljenog rada uz pomoć prezentacije, potvrđujući temu. Sami sebi određuju program za regulisanje i ispravljanje znanja na osnovu grešaka u radnim sveskama. Listovi sa urađenim samostalnim radom predaju se nastavniku na ovjeru.

Podvučeni brojevi - osnovni nivo, sa zvjezdicom - povećana težina.

Rješenje i odgovori.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 * .3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (ne odgovara),

(3/5) X = 5, x = -1.

Vi. Zadaća
(Slajd broj 10 )

Ponovite § 11, 12.
Iz materijala Jedinstvenog državnog ispita 2008. - 2010. odaberite zadatke na temu i riješite ih.

Kućni testni rad

Nemojte da vas zastraše moje riječi, na ovu metodu ste se već susreli u 7. razredu, kada ste učili polinome.

Na primjer, ako vam je potrebno:

Grupirajmo: prvi i treći termin, kao i drugi i četvrti.

Jasno je da su prvi i treći razlika kvadrata:

a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:

Tada je originalni izraz ekvivalentan ovome:

Gdje izvaditi zajednički faktor više nije teško:

dakle,

Otprilike ovako ćemo postupiti pri rješavanju eksponencijalnih jednačina: potražiti "zajedništvo" među pojmovima i staviti to van zagrada, pa - šta bude, vjerujem da ćemo imati sreće =))

Primjer br. 14

Desno je daleko od stepena sedam (provjerio sam!) A lijevo - nije mnogo bolje...

Možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz drugog iz prvog mandata, pa se onda baviti rezultatom, ali hajde da to učinimo opreznije s vama.

Ne želim da se bavim razlomcima koji neizbežno nastaju iz „isticanja“, pa zar ne bi bilo bolje da izdržim?

Onda neću imati razlomke: kako se kaže, vukovi su nahranjeni i ovce su sigurne:

Izbrojite izraz u zagradama.

Na čaroban, magičan način, to se ispostavilo (iznenađujuće, mada šta drugo možemo očekivati?).

Tada ćemo poništiti obje strane jednačine ovim faktorom. Dobijamo:, odakle.

Evo kompliciranijeg primjera (zaista pomalo):

Kakva nevolja! Ovdje nemamo nijednu zajedničku osnovu!

Nije sasvim jasno šta sada činiti.

Učinimo što možemo: prvo pomjerimo "četvorke" na jednu stranu, a "petice" na drugu:

Sada pomjerimo "zajedničko" lijevo i desno:

Pa, šta sad?

Koja je korist od tako glupe grupe? Na prvi pogled se uopšte ne vidi, ali pogledajmo dublje:

E, sad napravimo tako da na lijevoj strani imamo samo izraz sa, a na desnoj - sve ostalo.

Kako da ovo uradimo?

A evo kako: prvo podijelite obje strane jednačine sa (na ovaj način se riješimo stepena na desnoj strani), a zatim obje strane podijelite sa (na ovaj način se riješimo brojčanog faktora s lijeve strane).

Konačno dobijamo:

Nevjerovatno!

Na lijevoj strani imamo izraz, a na desnoj jednostavno.

Onda to odmah zaključujemo

Primjer br. 15

Daću njegovo kratko rešenje (bez da se previše zamaram objašnjenjima), pokušajte da sami odgonetnete sve "suptilnosti" rešenja.

Sada konačna konsolidacija pređenog materijala.

Sam rješavam sljedećih 7 zadataka (sa odgovorima)

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:
Prvi izraz predstavljamo u obliku:, podijelimo oba dijela i dobijemo to
, onda se originalna jednačina pretvara u oblik: Pa, sad nagovještaj - pogledajte gdje smo ti i ja već riješili ovu jednačinu!
Zamislite kako, kako i, dobro, onda podijelite oba dijela sa, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
Izvadite iz zagrada.
Izvadite iz zagrada.

EKSPLORATIVNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Pretpostavljam da sam pročitao prvi članak koji govori šta su eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti, savladali ste neophodni minimum znanja potrebnih za rješavanje najjednostavnijih primjera.

Sada ću analizirati drugu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednačina, ovo ...

Metoda uvođenja nove varijable (ili zamjene)

On rješava većinu "teških" problema na temu eksponencijalnih jednačina (i ne samo jednačina).

Ova metoda je jedna od najčešće se koriste u praksi. Prvo, preporučujem da se upoznate s temom.

Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da se vaša eksponencijalna jednačina čudesno transformira u onu koju već možete lako riješiti.

Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove „pojednostavljene jednačine“ je da napravite „obrnutu zamjenu“: odnosno da se vratite sa zamijenjenog na zamijenjenu.

Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

Primjer 16. Metoda jednostavne zamjene

Ova jednačina se rješava pomoću "Jednostavna zamjena", kako to matematičari prezrivo nazivaju.

Zaista, zamjena ovdje je najočitija. To treba samo vidjeti

Tada se originalna jednadžba pretvara u ovo:

Ako dodatno zamislite kako, onda je potpuno jasno šta treba zamijeniti...

Naravno, .

U šta će se onda originalna jednačina pretvoriti? A evo šta:

Njegove korijene možete lako pronaći sami:.

Šta da radimo sada?

Vrijeme je da se vratimo na originalnu varijablu.

Šta sam zaboravio da naznačim?

Naime: prilikom zamjene određenog stepena novom promjenljivom (tj. prilikom promjene pogleda) zanimat će me samo pozitivni koreni!

I sami možete lako odgovoriti zašto.

Dakle, vi i ja nismo zainteresirani, ali drugi korijen je sasvim prikladan za nas:

Onda gde.

odgovor:

Kao što vidite, u prethodnom primjeru, zamjena je tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj.

Međutim, ne idemo odmah na tužno, već vježbajte s još jednim primjerom s prilično jednostavnom zamjenom

Primjer 17 Metoda jednostavne zamjene

Jasno je da će najvjerovatnije biti potrebno zamijeniti (ovo je najmanji od stupnjeva uključenih u našu jednačinu).

Međutim, prije uvođenja zamjene, naša jednačina mora biti "pripremljena" za nju, odnosno:,.

Tada možete zamijeniti, kao rezultat dobijam sljedeći izraz:

Oh, užas: kubična jednadžba sa potpuno jezivim formulama za njeno rješenje (pa, govoreći općenito).

Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo šta da radimo.

Predložit ću varanje: znamo da da bismo dobili "lijep" odgovor, moramo ga dobiti u obliku neke snage trojke (zašto bi to bilo, a?).

Pokušajmo pogoditi barem jedan korijen naše jednadžbe (počeću nagađanje sa stepenom tri).

Prva pretpostavka. To nije korijen. ajme i ah...

.
Lijeva strana je jednaka.
Desni dio: !

Tu je! Pogodili ste prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!

Znate li za shemu podjele "ugao"? Naravno da znate da ga koristite kada dijelite jedan broj drugim.

Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti s polinomima.

Postoji jedna sjajna teorema:

Primijenjeno na moju situaciju, ovo mi govori čime je djeljivo.

Kako se vrši podjela? Tako:

Gledam koji monom moram pomnožiti da bih dobio

Jasno je da na, tada:

Oduzmite rezultirajući izraz od, dobijete:

Sada sa čim trebam pomnožiti da dobijem?

Jasno je da na, onda ću dobiti:

i ponovo oduzmite rezultirajući izraz od preostalog:

Pa, posljednji korak, pomnožit ću sa i oduzeti od preostalog izraza:

Ura, podjela je gotova! Šta smo privatno uštedjeli?

Samo po sebi: .

Tada smo dobili sljedeću dekompoziciju originalnog polinoma:

Rešimo drugu jednačinu:

Ima korijene:

Tada je originalna jednadžba:

ima tri korijena:

Mi ćemo, naravno, odbaciti posljednji korijen, jer je manji od nule.

A prva dva nakon obrnute zamjene će nam dati dva korijena:

Odgovor: ..

Nisam te htio uplašiti ovim primjerom!

Naprotiv, moj cilj je bio da pokažem da, iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ona je ipak vodila do prilično složene jednačine, čije je rješenje od nas zahtijevalo neke posebne vještine.

Pa, niko nije imun od ovoga. Ali zamjena je u ovom slučaju bila prilično očigledna.

Primjer #18 (sa manje očiglednom zamjenom)

Uopšte nije jasno šta bi trebalo da radimo: problem je što u našoj jednačini postoje dve različite baze i jedna baza se ne može dobiti od druge podizanjem na bilo koji (razuman, prirodan) stepen.

Međutim, šta vidimo?

Obje baze se razlikuju samo po predznaku, a njihov proizvod je razlika kvadrata, jednaka jedan:

definicija:

Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.

U ovom slučaju bi bio pametan potez pomnožite obje strane jednačine konjugiranim brojem.

Na primjer, na, tada lijeva strana jednačine postaje jednaka, a desna strana.

Ako izvršimo zamjenu, onda će naša originalna jednadžba postati ovakva:

njegove korene, dakle, i sećajući se toga, dobijamo to.

Odgovor: , .

Po pravilu, metoda zamjene je dovoljna za rješavanje većine "školskih" eksponencijalnih jednačina.

Sljedeći zadaci povećanog nivoa složenosti preuzeti su iz verzija ispita.

Tri zadatka povećane složenosti iz opcija ispita

Već ste dovoljno kompetentni da samostalno riješite ove primjere. Dat ću samo potrebnu zamjenu.

Riješite jednačinu:
Pronađite korijene jednačine:
Riješite jednačinu:. Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:

A sada kratka objašnjenja i odgovori:

Primjer br. 19

Ovdje nam je dovoljno napomenuti da i.

Tada će originalna jednačina biti ekvivalentna ovoj:

Ova jednačina se rješava zamjenom

Uradite dalje proračune sami.

Na kraju, vaš zadatak će se svesti na rješavanje najjednostavnije trigonometrije (ovisno o sinusima ili kosinusima). Rješenja takvih primjera analizirat ćemo u drugim odjeljcima.

Primjer br. 20

Ovdje možete čak i bez zamjene...

Dovoljno je pomeriti oduzeto udesno i predstaviti obe baze kroz stepene dva:, a zatim preći direktno na kvadratnu jednačinu.

Primjer br. 21

To je također riješeno na prilično standardan način: zamislite kako.

Zatim, zamjenom dobijamo kvadratnu jednačinu: tada,

Da li već znate šta je logaritam? Ne? Onda hitno procitaj temu!

Prvi korijen, očigledno, ne pripada segmentu, a drugi je neshvatljiv!

Ali saznaćemo vrlo brzo!

Budući da je (ovo je svojstvo logaritma!)

Oduzmimo od oba dijela, onda dobijemo:

Lijeva strana se može predstaviti kao:

pomnoži oba dijela sa:

onda se može pomnožiti sa

Onda uporedimo:

od tada:

Tada drugi korijen pripada traženom intervalu

odgovor:

Kao što vidiš, izbor korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva dovoljno duboko poznavanje svojstava logaritama pa vam savjetujem da budete što je moguće pažljiviji pri rješavanju eksponencijalnih jednačina.

Kao što možete zamisliti, u matematici je sve međusobno povezano!

Kao što je moj profesor matematike govorio: "matematika, kao i istorija, ne možeš čitati preko noći."

Po pravilu, sve teškoća u rješavanju problema povećane složenosti je upravo odabir korijena jednačine.

Još jedan primjer za obuku...

Primjer 22

Jasno je da je sama jednačina prilično jednostavna za rješavanje.

Izvođenjem zamjene, našu originalnu jednačinu ćemo svesti na sljedeće:

Prvo, razmotrimo prvi korijen.

Uporedite i: od tada. (svojstvo logaritamske funkcije, at).

Tada je jasno da ni prvi korijen ne pripada našem intervalu.

Sada drugi korijen:. Jasno je da (pošto funkcija at raste).

Ostaje da uporedimo i.

od tada, u isto vreme.

Na ovaj način mogu "zabiti klin" između i.

Ovaj klin je broj.

Prvi izraz je manji, a drugi veći.

Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.

Odgovor: .

Da završimo, pogledajmo još jedan primjer jednačine gdje je zamjena prilično nestandardna.

Primjer # 23 (Jednačina sa nestandardnom zamjenom!)

Krenimo odmah od toga šta možete, a šta – u principu možete, ali bolje je ne raditi.

Možete - sve predstaviti kroz stepene tri, dva i šest.

Gdje to vodi?

Da, to neće dovesti do ničega: hrpa stupnjeva, a nekih od njih će se biti prilično teško riješiti.

Šta je onda potrebno?

Napomenimo da a

I šta će nam to dati?

I činjenica da rješenje ovog primjera možemo svesti na rješenje prilično jednostavne eksponencijalne jednadžbe!

Prvo, prepišimo našu jednačinu kao:

Sada dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa:

Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobijamo:

E, sad je na vama red da rješavate demonstracione probleme, a ja ću ih samo ukratko komentirati da ne zalutate! Sretno!

Primjer br. 24

Najteže!

Ovdje nije lako pronaći zamjenu! Ali ipak, ovaj primjer se može u potpunosti riješiti korištenjem izbor punog kvadrata.

Da biste ga riješili, dovoljno je napomenuti da:

Onda evo zamjene za vas:

(Imajte na umu da ovdje, tokom naše zamjene, ne možemo ispustiti negativni korijen !!! A zašto mislite?)

Sada, da biste riješili primjer, morate riješiti dvije jednadžbe:

Oba su riješena "standardnom zamjenom" (ali druga u jednom primjeru!)

Primjer br. 25

2. Zabilježite to i napravite zamjenu.

Primjer br. 26

3. Dekomponujte broj na koprime faktore i pojednostavite rezultujući izraz.

Primjer br. 27

4. Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa (ili, ako želite) i zamijenite ili.

Primjer br. 28

5. Imajte na umu da su brojevi i konjugirani.

RJEŠAVANJE EKSPREZNIH JEDNAČINA METODOM LOGARIFINGA. NAPREDNI NIVO

Uz to, razmotrimo još jedan način - rješenje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma.

Ne mogu reći da je rješenje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom vrlo popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravnog rješenja naše jednadžbe.

Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mješovite jednačine": To jest, one u kojima se susreću funkcije različitih tipova.

Primjer br. 29

u općem slučaju, može se riješiti samo uzimanjem logaritma obje strane (na primjer, po osnovici), u kojem se originalna jednadžba pretvara u sljedeću:

Pogledajmo sljedeći primjer:

Jasno je da nas prema ODZ-u logaritamske funkcije samo zanima.

Međutim, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, već iz drugog razloga.

Mislim da vam neće biti teško pogoditi koji.

Zapišimo obje strane naše jednadžbe na bazu:

Kao što vidite, uzimanje logaritma naše originalne jednadžbe dovoljno brzo nas je dovelo do tačnog (i lijepog!) odgovora.

Vježbajmo sa još jednim primjerom.