Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Pošto prava prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 -x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna sa ordinatnom osom. Njegova jednadžba ima oblik x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, onda se jednačina prave može zapisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna sa apscisnom osom.

Jednačina prave linije u segmentima

Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a; 0), a os Oy - u tački M 2 (0; b). Jednačina će imati oblik:
one.
... Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, pošto brojevi a i b označavaju koji su segmenti odsječeni pravom linijom na koordinatnoj osi.

Jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku Mo (x O; y o) okomito na dati vektor različit od nule n = (A; B).

Uzmite proizvoljnu tačku M (x; y) na pravoj liniji i razmotrite vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je nula: tj.

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n = (A; B), okomit na pravu liniju, naziva se normalnim normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ah o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave linije(vidi sliku 2).

Slika 1 Slika 2

Kanonske jednadžbe prave linije

,

Gdje
- koordinate tačke kroz koju prolazi prava linija, i
je vektor smjera.

Krug krivulja drugog reda

Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice polumjera R centriran u tački
:

Konkretno, ako se centar udjela poklapa sa ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke i , koji se nazivaju fokusi, imaju konstantu
veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina velike poluose; b - dužina male poluose (slika 2).

Odnos između parametara elipse
i izraženo omjerom:

(4)

Elipsa ekscentricitetanaziva se omjerom međufokalne udaljenosti2cdo glavne ose2a:

Direktorice elipse se nazivaju prave linije paralelne osi Oy, koje su udaljene od ove ose. Jednadžbe Directrix:
.

Ako je u jednadžbi elipse
, tada su fokusi elipse na Oy osi.

dakle,

Dato dva boda M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2)... Zapisujemo jednačinu prave u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od tačke M 2 pripada datoj pravoj liniji, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (5):. Izražavajući iz ovoga i zamjenom u jednačinu (5), dobijamo traženu jednačinu:

Ako ova jednačina se može prepisati u obliku koji je pogodniji za pamćenje:

(6)

Primjer. Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1.2) i M 2 (-2.3)

Rješenje. ... Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobijamo opštu jednačinu prave:

Ugao između dvije prave linije

Razmotrite dvije linije l 1 i l 2:

l 1: , , i

l 2: , ,

φ je ugao između njih (). Slika 4 pokazuje:.

Odavde , ili

Pomoću formule (7) može se odrediti jedan od uglova između pravih. Drugi ugao je.

Primjer... Dvije prave su date jednadžbama y = 2x + 3 i y = -3x + 2. pronađite ugao između ovih linija.

Rješenje... Iz jednačina se može vidjeti da je k 1 = 2, a k 2 = -3. zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7) nalazimo

... Dakle, ugao između ovih linija je jednak.

Uslovi za paralelnost i okomitost dvije prave

Ako je ravno l 1 i l 2 onda su paralelne φ=0 i tgφ = 0... iz formule (7) proizlazi da, odakle k 2 = k 1... Dakle, uvjet za paralelnost dvije prave je jednakost njihovih nagiba.

Ako je ravno l 1 i l 2 su onda okomite φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... Dakle, uslov okomitosti dvije prave je da su njihovi nagibi recipročni po veličini i suprotni po predznaku.

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M (x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Vy + C = 0 određuje kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je udaljenost između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Nalazimo jednačinu stranice AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k =. Tada je y =. Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno:.

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Udaljenost od tačke do prave linije određena je dužinom okomice spuštene iz tačke na pravu liniju.

Ako je prava paralelna sa ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od tačke A na ravno h potrebno je spustiti okomicu iz tačke A na horizontali h.

Razmotrimo složeniji primjer, kada prava linija zauzima opći položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od tačke M na ravno a opšti položaj.

Zadatak utvrđivanja rastojanje između paralelnih linija riješen slično kao i prethodni. Tačka se uzima na jednoj pravoj liniji, okomica se spušta s nje na drugu pravu liniju. Dužina okomice jednaka je udaljenosti između paralelnih linija.

Kriva drugog reda se naziva linija određena jednadžbom drugog stepena u odnosu na trenutne kartezijanske koordinate. Općenito, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Krug

Centar kruga- ovo je mjesto tačaka u ravni jednako udaljenoj od tačke ravni C (a, b).

Krug je dan sljedećom jednačinom:

Gdje su x, y koordinate proizvoljne tačke kruga, R je polumjer kružnice.

Jednačina obima

1. Ne postoji termin sa x, y

2. Jednaki koeficijenti kod x 2 i y 2

Elipsa

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto tačaka u ravni, a zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni naziva se žarište (konstantna vrijednost).

Kanonska jednadžba elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a - velika poluosa elipse

b - mala osa elipse

Elipsa ima 2 ose simetrije OX i OY. Osi simetrije elipse su njene ose, tačka njihovog preseka je centar elipse. Osa na kojoj se nalaze fokusi se naziva fokusna osa... Tačka preseka elipse sa osama je vrh elipse.

Omjer kompresije (istezanja): ε = s / a- ekscentricitet (karakterizira oblik elipse), što je manji, to će se elipsa manje protezati duž žižne ose.

Ako centri elipse nisu u centru C (α, β)

Hiperbola

Hiperbola se naziva lokus tačaka u ravni, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost različita od nule.

Kanonička hiperbola jednadžba

Hiperbola ima 2 ose simetrije:

a je realna poluosa simetrije

b - imaginarna poluosa simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola se naziva lokus tačaka u ravni jednako udaljenih od date tačke F, koja se zove fokus i date prave linije, koja se naziva direktrisa.

Jednadžba kanonske parabole:

Y 2 = 2px, gdje je p udaljenost od fokusa do direktrise (parabola parametar)

Ako je vrh parabole C (α, β), onda je jednadžba parabole (y-β) 2 = 2p (x-α)

Ako se fokalna os uzme kao ordinatna os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 = 2qu

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Možete nacrtati beskonačno mnogo pravih linija kroz bilo koju tačku.

Jedna ravna linija može se povući kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju.

Dvije neusklađene prave linije na ravni se ili seku u jednoj tački, ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dvije prave linije:

• prave se seku;

• ravne linije su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija... Bilo koja prava linija na ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

sa konstantom A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove često

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i WITH mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- prava prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠ 0- prava linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠ 0- prava linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima, u zavisnosti od bilo koje date

početni uslovi.

Jednadžba prave duž tačke i vektora normale.

Definicija... U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu liniju datu jednadžbom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer... Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A (1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Rješenje... Kod A = 3 i B = -1 sastavljamo jednačinu prave linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C

zamijenimo koordinate date tačke A u rezultirajući izraz. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednačina: 3x - y - 1 = 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M2 (x 2, y 2, z 2), onda jednačina prave linije,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba izjednačiti sa nulom. Na

ravni, jednadžba gore napisane prave je pojednostavljena:

ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao nagib ravno.

Primjer... Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A (1, 2) i B (3, 4).

Rješenje... Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednačina prave po tački i nagibu.

Ako je opšta jednačina prave Ax + Wu + C = 0 dovesti do forme:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednadžba prave duž tačke i vektora pravca.

Po analogiji sa paragrafom koji razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.

Definicija... Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2)čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Vα 2 = 0 pozvao usmjeravajući vektor prave linije.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer... Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A (1, 2).

Rješenje... Jednačina tražene prave će se tražiti u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju ispunjavati uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x = 1, y = 2 dobijamo C / A = -3, tj. tražena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, onda, dijeljenjem sa -C, dobijamo:

ili gde

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osom Oh, a b- koordinata tačke preseka prave sa osom OU.

Primjer... Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako obje strane jednačine Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave.

Znak ± faktora normalizacije treba odabrati tako da μ * C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave linije,

a φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer... Daje se opšta jednačina prave linije 12x - 5y - 65 = 0... Potrebno za pisanje različitih vrsta jednačina

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave u segmentima:

Jednadžba ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave linije:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između pravih linija na ravni.

Definicija... Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2... Dvije prave su okomite,

ako k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, V 1 = λV... Ako takođe S 1 = λS, tada se prave poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku okomita na datu pravu liniju.

Definicija... Linija kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

je predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do linije.

Teorema... Ako je dat poen M (x 0, y 0), udaljenost do prave linije Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz... Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

duž. Zatim udaljenost između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i u 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na

datu pravu liniju. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Dato dva boda M(X 1 ,Imati 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.

Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

Imati – Y 1 = K(X - x 1),

Gdje K- nepoznat nagib.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, pa prema tome, njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Odavde možete pronaći nagib ove prave linije:

,

Ili nakon konverzije

(1.14)

Formula (1.14) određuje Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).

U posebnom slučaju, kada su bodovi M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) poprima jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15) pozvao Jednacinom prave u segmentima, ovdje A i B označavamo segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Izjednačite pravu liniju kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14), jednačina tražene prave ima oblik

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo traženu jednačinu

3X + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Izjednačite pravu liniju kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Koordinate tačke preseka pravih nalazimo zajedničkim rešavanjem datih jednačina

Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle. Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu, nalazimo vrijednost ordinate Imati:

Sada pišemo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke (2, 1) i:

ili .

Dakle, ili –5 ( Y – 1) = X – 2.

Konačno, dobijamo jednačinu željene prave linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M(2,1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14), dobijamo jednačinu

To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz iskaza problema se vidi da apscise obje tačke imaju istu vrijednost. Dakle, tražena prava je paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe prave linije prema formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, onda se željena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Razmotrite druge načine definiranja prave linije na ravni.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj liniji (slika 1.7).

Slika 1.7

Označavamo M(X, Y) proizvoljna tačka na pravoj L... Vektori i Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti za ove vektore, dobijamo bilo koje A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 okomito na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na ravno L... Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao

Oh + Vau + WITH= 0, gdje WITH = –(AX 0 + By 0), (1.16),

Gdje A i V- koordinate vektora normale.

Hajde da dobijemo opštu jednačinu prave u parametarskom obliku.

2. Prava linija na ravni može se odrediti na sljedeći način: neka vektor različit od nule bude paralelan datoj pravoj liniji L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj liniji. Uzmimo opet proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearno.

Zapišimo uslov kolinearnosti za ove vektore:, gdje T- proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Pravo... Iz ovih jednačina izuzimamo parametar T:

Ove jednačine se inače mogu napisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba prave linije... Vektor se zove Vektor smjera prave linije .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor, jer, tj.

Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 (1, 1) paralelno pravoj liniji 3 X + 2Imati– 8 = 0.

Rješenje . Vektor je vektor normale na date i željene prave linije. Koristićemo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3 ( X –1) + 2(Imati- 1) = 0 ili 3 X + 2g- 5 = 0. Dobijena jednačina željene prave linije.

Pogledajmo kako sastaviti jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz dvije tačke, koristeći primjere.

Primjer 1.

Napravite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A (-3; 9) i B (2; -1).

Metoda 1 - sastaviti jednačinu prave linije sa nagibom.

Jednačina prave linije sa nagibom ima oblik. Zamjenom koordinata tačaka A i B u jednadžbu prave (x = -3 i y = 9 - u prvom slučaju, x = 2 i y = -1 - u drugom), dobijamo sistem jednačina iz kojih nalazimo vrijednosti k i b:

Sabiranjem 1. i 2. jednačine član po član, dobijamo: -10 = 5k, odakle je k = -2. Zamjenom k ​​= -2 u drugu jednačinu, nalazimo b: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.

Dakle, y = -2x + 3 je željena jednačina.

Metoda 2 - sastaviti opštu jednačinu prave.

Opća jednačina prave linije ima oblik. Zamjenom koordinata tačaka A i B u jednačinu dobijamo sistem:

Pošto je broj nepoznanica veći od broja jednačina, sistem nije rješiv. Ali možete izraziti sve varijable kroz jednu. Na primjer, kroz b.

Množenjem prve jednačine sistema sa -1 i dodavanjem člana po član sa drugom:

dobijamo: 5a-10b = 0. Dakle, a = 2b.

Zamijenite rezultirajući izraz u drugu jednačinu: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
Zamijenite a = 2b, c = -3b u jednačinu ax + by + c = 0:

2bx + by-3b = 0. Ostaje podijeliti oba dijela sa b:

Opća jednadžba ravne linije lako se svodi na jednadžbu ravne linije s nagibom:

Metoda 3 - sastaviti jednačinu prave linije koja prolazi kroz 2 tačke.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije tačke ima:

Zamijenite u ovu jednačinu koordinate tačaka A (-3; 9) i B (2; -1)

(to jest, x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

i pojednostavi:

odakle je 2x + y-3 = 0.

U školskom kursu najčešće se koristi jednačina prave linije sa nagibom. Ali najlakši način je izvesti i koristiti formulu za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke.

Komentar.

Ako se, prilikom zamjene koordinata datih tačaka, jedan od nazivnika jednačine

ispada da je jednaka nuli, onda se željena jednačina dobija izjednačavanjem sa nulom odgovarajućeg brojnika.

Primjer 2.

Napravite jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke C (5; -2) i D (7; -2).

Zamijenite u jednačinu pravu liniju koja prolazi kroz 2 tačke, koordinate tačaka C i D.