Ovaj članak je posvećen tehnikama rješavanja različitih jednadžbi i nejednačina koje sadrže
varijabla ispod znaka modula.

Ako na ispitu naiđete na jednadžbu ili nejednačinu sa modulom, možete je riješiti na taj način
bez poznavanja bilo kakvih posebnih metoda i korištenja samo definicije modula. istina,
može potrajati sat i po dragocjenog vremena ispita.

Stoga vam želimo reći o tehnikama koje pojednostavljuju rješavanje takvih problema.

Prije svega, zapamtite to

Razmotrite različite vrste jednačine sa modulom... (Kasnije ćemo prijeći na nejednakosti.)

Na lijevoj strani je modul, na desnoj strani je broj

Ovo je najjednostavniji slučaj. Hajde da riješimo jednačinu

Postoje samo dva broja čiji su moduli jednaki četiri. To su 4 i −4. Dakle, jednačina
je ekvivalentno kombinaciji dva jednostavna:

Druga jednačina nema rješenja. Rješenja prvog: x = 0 i x = 5.

Odgovor: 0; 5.

Varijabilno i ispod modula i izvan modula

Ovdje morate proširiti modul po definiciji. ... ... ili razmišljati!

Jednačina se dijeli na dva slučaja, ovisno o predznaku izraza pod modulom.
Drugim riječima, to je jednako kombinaciji dva sistema:

Rješenje prvog sistema:. Drugi sistem nema rješenja.
Odgovor: 1.

Prvi slučaj: x ≥ 3. Uklonite modul:

Broj, budući da je negativan, ne zadovoljava uvjet x ≥ 3 i stoga nije korijen originalne jednadžbe.

Hajde da saznamo da li broj zadovoljava ovaj uslov. Da biste to učinili, sastavite razliku i odredite njen znak:

Dakle, to je više od tri i stoga je korijen originalne jednadžbe

Drugi slučaj: x< 3. Снимаем модуль:

Broj . veći od i stoga ne zadovoljava uslov x< 3. Проверим :

Znači,. je korijen originalne jednadžbe.

Ukloniti modul po definiciji? Strašno je i pomisliti na to, jer diskriminanta nije potpuni kvadrat. Bolje iskoristimo sljedeće razmatranje: jednačina oblika | A | = B je ekvivalentno kombinaciji dva sistema:

Isto, ali malo drugačije:

Drugim riječima, rješavamo dvije jednačine, A = B i A = −B, a zatim biramo korijene koji zadovoljavaju uvjet B ≥ 0.

Hajde da počnemo. Prvo rješavamo prvu jednačinu:

Zatim rješavamo drugu jednačinu:

Sada, u svakom slučaju, provjeravamo znak desne strane:

Stoga su samo i prikladni.

Kvadratne jednadžbe sa zamjenom | x | = t

Rešimo jednačinu:

Budući da je zgodno izvršiti zamjenu | x | = t. Dobijamo:

Odgovor: ± 1.

Modul je jednak modulu

Govorimo o jednadžbama oblika | A | = | B |. Ovo je dar sudbine. Nema otkrivanja modula po definiciji! jednostavno je:

Na primjer, razmotrite jednačinu:. To je jednako sljedećem agregatu:

Ostaje riješiti svaku od jednadžbi skupa i zapisati odgovor.

Dva ili više modula

Rešimo jednačinu:

Nemojmo se zamarati svakim modulom posebno i proširiti ga po definiciji - biće previše opcija. Postoji racionalniji način - metoda intervala.

Izrazi modula nestaju u tačkama x = 1, x = 2 i x = 3. Ove tačke dijele brojevnu pravu na četiri intervala (intervale). Ove tačke označavamo na brojevnoj pravoj i raspoređujemo predznake za svaki od izraza ispod modula u dobijenim intervalima. (Red predznaka je isti kao i redosled odgovarajućih modula u jednačini.)

Dakle, moramo razmotriti četiri slučaja - kada je x u svakom od intervala.

Slučaj 1: x ≥ 3. Svi moduli se uklanjaju "sa plusom":

Rezultirajuća vrijednost x = 5 zadovoljava uvjet x ≥ 3 i stoga je korijen originalne jednadžbe.

Slučaj 2: 2 ≤ x ≤ 3. Posljednji modul je sada uklonjen "sa minusom":

Rezultirajuća vrijednost x je također dobra - pripada intervalu koji se razmatra.

Slučaj 3: 1 ≤ x ≤ 2. Drugi i treći modul se uklanjaju "sa minusom":

Dobili smo tačnu numeričku jednakost za bilo koje x iz razmatranog intervala koji služe kao rješenja ove jednačine.

Slučaj 4: x ≤ 1 ≤ 1. Drugi i treći modul se uklanjaju "sa minusom":

Ništa novo. Već znamo da je x = 1 rješenje.

Odgovor: ∪ (5).

Modul u modulu

Rešimo jednačinu:

Počinjemo s proširenjem internog modula.

1) x ≤ 3. Dobijamo:

Izraz pod modulom nestaje na. Ova tačka spada u razmatrane
interval. Stoga moramo analizirati dva podslučaja.

1.1) U ovom slučaju dobijamo:

Ova vrijednost x nije važeća jer ne pripada intervalu koji se razmatra.

1.2). onda:

Ova vrijednost x također nije važeća.

Dakle, za x ≤ 3 nema rješenja. Pređimo na drugi slučaj.

2) x ≥ 3. Imamo:

Ovdje imamo sreće: izraz x + 2 je pozitivan u intervalu koji se razmatra! Stoga više neće biti podslučaja: modul se uklanja "sa plusom":

Ova vrijednost x je u razmatranom intervalu i stoga je korijen originalne jednadžbe.

Ovako se rješavaju svi zadaci ovog tipa - otvaramo ugniježđene module jedan po jedan, počevši od internog.

MBOU Srednja škola br. 17 Ivanov

« Jednačine sa modulom"
Metodički razvoj

Sastavio

nastavnik matematike

N.V. Lebedeva

20010 g.

Objašnjenje

Poglavlje 1. Uvod

Odjeljak 2. Osnovna svojstva Odjeljak 3. Geometrijska interpretacija pojma modula broja Odjeljak 4. Grafikon funkcije y = |x | Odjeljak 5. Konvencije

Poglavlje 2. Rješavanje jednačina koje sadrže modul

Odjeljak 1. Jednačine oblika |F (x) | = m (najjednostavniji) Odjeljak 2. Jednačine oblika F (| x |) = m Odjeljak 3. Jednačine oblika |F (x) | = G (x) Odjeljak 4. Jednačine oblika |F (x) | = ± F (x) (prelijepo) Odjeljak 5. Jednačine oblika |F (x) | = |G (x) | Odjeljak 6. Primjeri rješavanja nestandardnih jednačina Odjeljak 7. Jednačine oblika |F (x) | + |G (x) | = 0 Odjeljak 8. Jednačine oblika |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± b 2 | ±… |a n x ± u n | = m Odjeljak 9. Jednačine koje sadrže više modula

Poglavlje 3. Primjeri rješavanja različitih jednačina sa modulom.

Odjeljak 1. Trigonometrijske jednadžbe Odjeljak 2. Eksponencijalne jednadžbe Odjeljak 3. Logaritamske jednadžbe Odjeljak 4. Iracionalne jednadžbe Odjeljak 5. Zadaci povećane složenosti Odgovori na vježbe Bibliografija

Objašnjenje.

Koncept apsolutne vrijednosti (modula) realnog broja jedna je od njegovih bitnih karakteristika. Ovaj koncept je raširen u različitim granama fizičkih, matematičkih i tehničkih nauka. U praksi nastave matematike u srednjoj školi u skladu s Programom Ministarstva odbrane Ruske Federacije, koncept "apsolutne vrijednosti broja" se pojavljuje više puta: u 6. razredu, definicija modula, uvodi se njegovo geometrijsko značenje; u 8. razredu se formira pojam apsolutne greške, razmatraju se rješenja najjednostavnijih jednačina i nejednačina koje sadrže modul, proučavaju se svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena; u 11. razredu koncept se nalazi u odeljku „Koren n-. stepen“. Iskustvo u nastavi pokazuje da se učenici često susreću sa poteškoćama u rješavanju zadataka koji zahtijevaju poznavanje ovog gradiva, te često preskaču prije nego počnu sa izradom. U tekstovima ispitnih zadataka za 9. i 11. razred nalaze se i slični zadaci. Osim toga, zahtjevi koje univerziteti postavljaju maturantima razlikuju se, naime, na višem nivou od zahtjeva školskog kurikuluma. Za život u savremenom društvu veoma je važno formiranje matematičkog stila razmišljanja koji se manifestuje u određenim mentalnim veštinama. U procesu rješavanja problema sa modulima potrebna je sposobnost primjene tehnika kao što su generalizacija i konkretizacija, analiza, klasifikacija i sistematizacija, analogija. Rješenje takvih zadataka omogućava vam da provjerite znanje glavnih dijelova školskog kursa, nivo logičkog razmišljanja, početne vještine istraživačkih aktivnosti. Ovaj rad je posvećen jednom od odjeljaka - rješavanju jednačina koje sadrže modul. Sastoji se od tri poglavlja. Prvo poglavlje uvodi osnovne pojmove i najvažnije teorijske proračune. U drugom poglavlju je predloženo devet osnovnih tipova jednadžbi koje sadrže modul, razmotrene su metode za njihovo rješavanje, analizirani primjeri različitih nivoa složenosti. Treće poglavlje nudi složenije i nestandardne jednačine (trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske i iracionalne). Svaka vrsta jednadžbe ima vježbe za samostalno rješavanje (odgovori i upute su u prilogu). Osnovna svrha ovog rada je pružanje metodičke pomoći nastavnicima u pripremi za nastavu i organizovanju fakultativnih kurseva. Materijal se može koristiti i kao nastavno pomagalo za srednjoškolce. Zadaci koji se nude u radu su zanimljivi i nisu uvijek laki za rješavanje, što omogućava osvješćivanje obrazovne motivacije učenika, provjeru njihovih sposobnosti i poboljšanje nivoa pripremljenosti maturanata za upis na fakultete. Diferenciran izbor predloženih vežbi podrazumeva prelazak sa reproduktivnog nivoa savladavanja gradiva na kreativni, kao i mogućnost da naučite kako da svoje znanje primenite u rešavanju nestandardnih problema.

Poglavlje 1. Uvod.

Odjeljak 1. Određivanje apsolutne vrijednosti .

Definicija : Apsolutna vrijednost (modul) realnog broja a nenegativan broj se zove: a ili -a. Oznaka: │ a │ Zapis se čita na sljedeći način: "modul broja a" ili "apsolutna vrijednost broja a"

│ a, ako je a> 0

│a│ = │ 0 ako je a = 0 (1)

│ - a, ako a
primjeri: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Proširite ekspresijski modul:

a) │x - 8│, ako je x> 12 b) │2x + 3│, ako je x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Odjeljak 2. Osnovna svojstva.

Razmotrimo glavna svojstva apsolutne vrijednosti. Nekretnina br. 1: Suprotni brojevi imaju jednake module, tj. │a│ = │- a│ Pokažimo da je jednakost tačna. Napišimo definiciju broja - a : │- a│= (2) Uporedimo kolekcije (1) i (2). Očigledno, definicije apsolutnih vrijednosti brojeva a i - a podudaraju se. dakle, │a│ = │- a│
Kada razmatramo sljedeća svojstva, ograničavamo se na njihovu formulaciju, budući da je njihov dokaz dat Nekretnina br. 2: Apsolutna vrijednost zbira konačnog broja realnih brojeva ne prelazi zbir apsolutnih vrijednosti članova: │a 1 + a 2 + ... + a n │ ≤│a 1 │ + │a 2 │ + ... + │a n │ Nekretnina broj 3: Apsolutna vrijednost razlike između dva realna broja ne prelazi zbir njihovih apsolutnih vrijednosti: │a - v│ ≤│a│ + │v│ Nekretnina br. 4: Apsolutna vrijednost proizvoda konačnog broja realnih brojeva jednaka je proizvodu apsolutnih vrijednosti faktora: Nekretnina br. 5: Apsolutna vrijednost količnika realnih brojeva jednaka je količniku njihovih apsolutnih vrijednosti:

Odjeljak 3. Geometrijska interpretacija pojma modula broja.

Svaki realan broj može biti povezan sa tačkom na brojevnoj liniji, koja će biti geometrijska slika datog realnog broja. Svaka tačka na brojevnoj pravoj odgovara njenoj udaljenosti od početka, tj. dužina segmenta od početka do date tačke. Ova udaljenost se uvijek smatra nenegativnom vrijednošću. Stoga će dužina odgovarajućeg segmenta biti geometrijska interpretacija apsolutne vrijednosti datog realnog broja

Prikazana geometrijska ilustracija jasno potvrđuje svojstvo br. 1, tj. moduli suprotnih brojeva su jednaki. Dakle, valjanost jednakosti je lako razumljiva: │x - a│ = │a - x│. Također, rješenje jednačine │h│ = m, gdje je m ≥ 0, odnosno h 1,2 = ± m, postaje očiglednije. primjeri: 1) │h│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │h - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

Odjeljak 4. Grafikon funkcije y = │h│

Opseg ove funkcije su svi realni brojevi.

Odjeljak 5. Konvencije.

U budućnosti, kada se razmatraju primjeri rješavanja jednačina, koristit će se sljedeće konvencije: (- znak sistema [- znak totaliteta Prilikom rješavanja sistema jednačina (nejednačina) nalazi se presjek rješenja uključenih u sistem jednačina (nejednačina). Prilikom rješavanja skupa jednačina (nejednačina) nalazi se unija rješenja uključenih u skup jednačina (nejednačina).

Poglavlje 2. Rješavanje jednačina koje sadrže modul.

U ovom poglavlju ćemo pogledati algebarske načine rješavanja jednadžbi koje sadrže jedan ili više modula.

Odjeljak 1. Jednačine oblika │F (x) │ = m

Jednačina ovog tipa naziva se najjednostavnija. Ima rješenje ako i samo ako je m ≥ 0. Po definiciji modula, originalna jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dvije jednačine: │ F(x) │ =m
primjeri:
№1. Riješite jednačinu: │7x - 2│ = 9


Odgovor: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Odgovor: zbir korijena je - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 označavamo x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - obje vrijednosti zadovoljavaju uslov m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Odgovor: broj korijena jednačine je 7. vježbe:
№1. Riješite jednačinu i označite zbir korijena: │h - 5│ = 3 №2 ... Riješite jednačinu i označite manji korijen: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Riješite jednačinu i označite veći korijen: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Riješi jednačinu i naznači cijeli korijen: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Riješi jednačinu i naznači broj korijena: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Odjeljak 2. Jednačine oblika F (│h│) = m

Argument funkcije na lijevoj strani je ispod predznaka modula, a desna strana je nezavisna od varijable. Razmotrimo dva načina rješavanja jednadžbi ovog tipa. Metoda 1: Po definiciji apsolutne vrijednosti, originalna jednačina je ekvivalentna kombinaciji dva sistema. U svakom od njih uslov je nametnut izrazu podmodula. F(│h│) =m
Kako je funkcija F (│h│) parna na cijeloj domeni definicije, korijeni jednadžbi F (x) = m i F (- x) = m su parovi suprotnih brojeva. Dakle, dovoljno je riješiti jedan od sistema (kada se na ovaj način razmatraju primjeri, dat će se rješenje jednog sistema). Metoda 2: Primjena metode uvođenja nove varijable. U ovom slučaju se uvodi oznaka │h│ = a, gdje je a ≥ 0. Ova metoda je manje obimna u dizajnu.
primjeri: №1 ... Riješite jednačinu: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Koristimo uvođenje nove varijable. Označavamo │x│ = a, gdje je a ≥ 0. Dobijamo jednačinu 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Vraćajući se na prvobitnu varijablu: │x │ = 1 i │h│ = 1/3. Svaka jednadžba ima dva korijena. Odgovor: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Riješite jednačinu: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Nađimo rješenje prvog sistema skupa: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Imajte na umu da x 2 nije zadovoljiti uslov x ≥ 0. Rješenje drugi sistem će biti suprotan od x 1. Odgovor: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Riješite jednačinu: h 4 - │h│ = 0 Označavamo │h│ = a, gdje je a ≥ 0. Dobijamo jednačinu a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Vratite se na originalnu varijablu: │h│ = 0 i │h│ = 1 h = 0; ± 1 Odgovor: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
vježbe: №6. Riješite jednačinu: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite broj korijena: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite cijela rješenja: x 4 + │x│ - 2 = 0

Odjeljak 3. Jednačine oblika │F (x) │ = G (x)

Desna strana jednadžbe ovog oblika ovisi o promjenljivoj i stoga ima rješenje ako i samo ako je desna strana funkcija G (x) ≥ 0. Originalna jednadžba se može riješiti na dva načina : Metoda 1: Standard, zasniva se na otkrivanju modula na osnovu njegove definicije i sastoji se od ekvivalentnog prelaska na kombinaciju dva sistema. │ F(x) │ =G(X)

Ovu metodu je racionalno koristiti u slučaju kompleksnog izraza za funkciju G (x) i manje složenog - za funkciju F (x), jer se pretpostavlja rješenje nejednačina sa funkcijom F (x). Metoda 2: Sastoji se u prelasku na ekvivalentni sistem u kojem je uslov nametnut na desnoj strani. │ F(x)│= G(x)

Ovu metodu je pogodnije koristiti ako je izraz za funkciju G (x) manje komplikovan nego za funkciju F (x), jer se pretpostavlja da je nejednakost G (x) ≥ 0. Osim toga, u slučaju nekoliko modula, ova metoda se preporučuje za primjenu druge opcije. primjeri: №1. Riješite jednačinu: │x + 2│ = 6 -2x
(1 način) Odgovor: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 smjera) Odgovor: Umnožak korijena je 3.
№3. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Odgovor: zbir korijena je 4.
vježbe: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite broj rješenja: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite proizvod korijena: │h + 3│ = h 2 + h - 6

Odjeljak 4. Jednačine oblika │F (x) │ = F (x) i │F (x) │ = - F (x)

Jednačine ove vrste ponekad se nazivaju "najljepšima". Budući da desna strana jednadžbi ovisi o varijabli, rješenja postoje ako i samo ako je desna strana nenegativna. Prema tome, originalne jednačine su ekvivalentne nejednačinama:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 i │F (x) │ = - F (x) F (x) primjeri: №1 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite manji cijeli korijen: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Odgovor: x = 1№2. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite dužinu jaza: │h 2 - 9│ = 9 - h 2 h 2 - 9 ≤ 0 (h - 3) (h + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Odgovor: Dužina jaza je 6.№3 . Riješite jednačinu, u odgovoru navedite broj cjelobrojnih rješenja: │2 + h - h 2 │ = 2 + h - h 2 2 + h - h 2 ≥ 0 h 2 - h - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Odgovor: 4 cijela rješenja.№4 . Riješite jednačinu, u odgovoru navedite najveći korijen:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Odgovor: x = 3.

vježbe: №12. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite cijeli korijen: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite broj cjelobrojnih rješenja: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Riješite jednačinu, u odgovoru upišite cijeli broj koji nije korijen jednačine:

Odjeljak 5. Jednačine oblika │F (x) │ = │G (x) │

Pošto su obje strane jednadžbe nenegativne, rješenje uključuje razmatranje dva slučaja: izrazi podmodula su jednaki ili suprotni po predznaku. Prema tome, originalna jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dvije jednadžbe: │ F(x)│= │ G(x)│
primjeri: №1. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite cijeli korijen: │x + 3│ = │2x - 1│
Odgovor: cijeli korijen x = 4.№2. Riješite jednačinu: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Odgovor: x = 2.№3 . Riješite jednačinu, u odgovoru navedite proizvod korijena:




Korijeni jednadžbe 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Odgovor: proizvod korijena je jednak - 0,25. vježbe: №15 ... Riješite jednačinu, upišite cijelo rješenje u svoj odgovor: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite manji korijen: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena:

Odjeljak 6. Primjeri rješavanja nestandardnih jednačina

U ovom dijelu ćemo razmotriti primjere nestandardnih jednačina, pri rješavanju kojih se definicijom otkriva apsolutna vrijednost izraza. primjeri:

№1. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena: x │x│- 5x - 6 = 0
Odgovor: zbir korijena je 1 №2. . Riješite jednačinu, u odgovoru navedite manji korijen: x 2 - 4x
- 5 = 0
Odgovor: manji korijen x = - 5. №3. Riješite jednačinu:

Odgovor: x = -1. vježbe: №18. Riješite jednačinu i naznačite zbir korijena: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Riješite jednačinu: x 2 - 3x =

№20. Riješite jednačinu:

Odjeljak 7. Jednačine oblika │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Lako je vidjeti da je na lijevoj strani jednadžbe ovog tipa zbir nenegativnih vrijednosti. Prema tome, originalna jednadžba ima rješenje ako i samo ako su oba člana istovremeno jednaka nuli. Jednačina je ekvivalentna sistemu jednačina: │ F(x)│+│ G(x)│=0
primjeri: №1 ... Riješite jednačinu:
Odgovor: x = 2. №2. Riješite jednačinu: Odgovor: x = 1. vježbe: №21. Riješite jednačinu: №22 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena: №23 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite broj rješenja:

Odjeljak 8. Jednačine oblika │a 1 h + v 1 │ ± │a 2 h + v 2 │ ± ... │a n h + v n │ = m

Za rješavanje jednadžbi ovog tipa koristi se metoda intervala. Ako to riješimo sekvencijalnim širenjem modula, onda ćemo dobiti n skupova sistema, što je veoma glomazno i ​​nezgodno. Razmotrimo algoritam metode intervala: 1). Pronađite varijabilne vrijednosti X pri čemu je svaki modul jednak nuli (nule izraza podmodula):
2). Označite pronađene vrijednosti na brojevnoj pravoj, koja je podijeljena na intervale (broj intervala je n+1 ) 3). Odredite znak kojim se svaki modul otkriva u svakom od dobijenih intervala (prilikom izrade rješenja možete koristiti brojevnu pravu označavajući znakove na njoj) 4). Originalna jednadžba je ekvivalentna ukupnosti n+1 sistema, od kojih svaki ukazuje na pripadnost varijable X jedan od intervala. primjeri: №1 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite najveći korijen:
jedan). Pronađite nule izraza podmodula: x = 2; x = -3 2). Označimo pronađene vrijednosti na brojevnoj liniji i odredimo znak kojim se svaki modul proširuje na dobivenim intervalima:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- nema rješenja Jednačina ima dva korijena. Odgovor: najveći korijen x = 2. №2. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite cijeli korijen:
jedan). Naći nule izraza podmodula: x = 1,5; x = - 1 2). Označimo pronađene vrijednosti na brojevnoj pravoj i odredimo kojim se predznakom svaki modul otkriva na dobijenim intervalima: h + 1 h + 1 h + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Posljednji sistem nema rješenja, dakle, jednačina ima dva korijena. Prilikom rješavanja jednačine treba obratiti pažnju na znak "-" ispred drugog modula. Odgovor: cijeli korijen x = 7. №3. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena: 1). Pronađite nule izraza podmodula: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Označimo pronađene vrijednosti na brojevnoj liniji i odredimo s kojim se predznakom svaki modul otkriva na dobijenim intervalima: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Jednačina ima dva korijena x = 0 i 2. Odgovor: zbir korijena je 2. №4 . Riješite jednačinu: 1). Pronađite nule izraza podmodula: x = 1; x = 2; x = 3,2). Odredimo znak kojim se svaki modul otkriva na dobijenim intervalima. 3).
Kombinirajmo rješenja prva tri sistema. Odgovor: ; x = 5.
vježbe: №24. Riješite jednačinu:
№25. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena: №26. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite manji korijen: №27. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite veći korijen:

Odjeljak 9. Jednačine koje sadrže više modula

Jednačine koje sadrže više modula pretpostavljaju apsolutne vrijednosti u izrazima podmodula. Glavni princip za rješavanje jednačina ovog tipa je sekvencijalno otkrivanje modula, počevši od onog "vanjskog". U toku rješenja koriste se tehnike o kojima se govori u odjeljcima №1, №3.

primjeri: №1. Riješite jednačinu:
Odgovor: x = 1; - jedanaest. №2. Riješite jednačinu:
Odgovor: x = 0; 4; - 4. №3. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite proizvod korijena:
Odgovor: proizvod korijena je - 8. №4. Riješite jednačinu:
Označimo jednačine skupa (1) i (2) i razmotrite rješenje svakog od njih zasebno radi praktičnosti dizajna. Budući da obje jednačine sadrže više od jednog modula, pogodnije je izvršiti ekvivalentan prijelaz na skupove sistema. (1)

(2)


odgovor:
vježbe: №36. Riješite jednačinu, u odgovoru napišite zbir korijena: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Riješite jednačinu, ako ima više od jednog korijena, u odgovoru navedite zbir korijena: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Riješite jednačinu: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Riješite jednačinu, u odgovoru označite broj korijena sa: 2 │ sin h│ = √2 №40 ... Riješite jednačinu, u odgovoru navedite broj korijena:

Odjeljak 3. Logaritamske jednadžbe.

Prije rješavanja sljedećih jednačina potrebno je ponoviti svojstva logaritama i logaritamske funkcije. primjeri: №1. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite proizvod korijena: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 slučaj: ako je x ≥ - 1, onda je log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - zadovoljava uslov h ≥ - 1 2 slučaj: ako je h log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - zadovoljava uslov x - 1
Odgovor: proizvod korijena je - 15.
№2. Riješite jednačinu, u odgovoru navedite zbir korijena: lg
O.D.Z.

Odgovor: zbir korijena je 0,5.
№3. Riješite jednačinu: log 5
O.D.Z.

Odgovor: x = 9. №4. Riješite jednačinu: │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Koristimo formulu za prelazak na drugu bazu. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Naći nule izraza podmodula: x = 25; x = Ovi brojevi dijele raspon dozvoljenih vrijednosti u tri intervala, tako da je jednadžba ekvivalentna kombinaciji tri sistema.
Odgovor: )