Koordinatna metoda je vrlo efikasan i svestran način pronalaženja bilo kakvih uglova ili udaljenosti između stereometrijskih objekata u prostoru. Ako je vaš nastavnik matematike visoko kvalifikovan, onda bi to trebao znati. U suprotnom, savjetovao bih vam da promijenite tutora za "C" dio. Moja priprema za ispit iz matematike C1-C6 obično uključuje analizu osnovnih algoritama i formula opisanih u nastavku.

Ugao između pravih a i b

Ugao između pravih linija u prostoru je ugao između bilo kojih ravnih linija koje se seku paralelne njima. Ovaj ugao je jednak uglu između vektora pravca ovih pravih linija (ili ga nadopunjuje do 180 stepeni).

Koji algoritam koristi nastavnik matematike da pronađe ugao?

1) Odaberite bilo koji vektor i imaju smjerove pravih a i b (paralelnih s njima).
2) Odredite koordinate vektora i po odgovarajućim koordinatama njihovih početaka i krajeva (koordinate početka moraju se oduzeti od koordinata kraja vektora).
3) Zamijenite pronađene koordinate u formulu:
... Da biste pronašli sam ugao, morate pronaći inverzni kosinus rezultata.

Normalno na ravan

Svaki vektor okomit na ovu ravan naziva se normalan na ravan.
Kako pronaći normalno? Da biste pronašli koordinate normale, dovoljno je pronaći koordinate bilo koje tri tačke M, N i K koje leže u datoj ravni. Koristeći ove koordinate, nalazimo koordinate vektora i i zahtijevaju ispunjenje uslova i. Izjednačavajući skalarni proizvod vektora sa nulom, sastavljamo sistem jednačina sa tri varijable, iz kojih se mogu naći koordinate normale.

Bilješka nastavnika matematike : Uopšte nije potrebno rješavati sistem u potpunosti, jer je dovoljno odabrati barem jedan normalan. Da biste to učinili, možete zamijeniti bilo koji broj (na primjer, jedan) umjesto bilo koje njegove nepoznate koordinate i riješiti sistem od dvije jednadžbe sa preostale dvije nepoznate. Ako nema rješenja, to znači da u porodici normala nema nijednog koji ga ima za odabranu varijablu. Zatim zamijenite jednu drugom promjenljivom (drugom koordinatom) i riješite novi sistem. Ako opet promašite, onda će vaša normala imati jednu u posljednjoj koordinati, a sama će se ispostaviti da je paralelna s nekom koordinatnom ravninom (u ovom slučaju je lako pronaći bez sistema).

Pretpostavimo da su nam koordinatama vektora pravca i normale data prava linija i ravan
Ugao između prave i ravnine izračunava se pomoću sljedeće formule:

Neka su i bilo koje dvije normale na date ravnine. Tada je kosinus ugla između ravnina jednak modulu kosinusa ugla između normala:

Jednačina ravni u prostoru

Tačke koje zadovoljavaju jednakost čine ravan s normalom. Koeficijent je odgovoran za iznos odstupanja (paralelni pomak) između dvije ravnine sa istom navedenom normalom. Da biste napisali jednadžbu ravnine, prvo morate pronaći njenu normalu (kao što je gore opisano), a zatim zamijeniti koordinate bilo koje tačke na ravni zajedno s koordinatama pronađene normale u jednadžbu i pronaći koeficijent.

Da biste koristili koordinatni metod, morate dobro poznavati formule. postoje tri od njih:

Na prvi pogled izgleda prijeteće, ali samo malo vježbe i sve će funkcionirati odlično.

Zadatak. Pronađite kosinus ugla između vektora a = (4; 3; 0) i b = (0; 12; 5).

Rješenje. Pošto su nam koordinate vektora date, zamjenjujemo ih u prvoj formuli:

Zadatak. Napravite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) i K = (2; 1; 0), ako je poznato da ne prolazi kroz porijeklo.

Rješenje. Opšta jednadžba ravni: Ax + By + Cz + D = 0, ali pošto željena ravan ne prolazi kroz ishodište koordinata - tačku (0; 0; 0) - onda stavljamo D = 1. Pošto je ovo ravan prolazi kroz tačke M, N i K, tada koordinate ovih tačaka treba da pretvore jednačinu u tačnu numeričku jednakost.

Zamijenite umjesto x, y i z koordinate tačke M = (2; 0; 1). Imamo:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Slično, za tačke N = (0; 1; 1) i K = (2; 1; 0) dobijamo jednačine:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Dakle, imamo tri jednačine i tri nepoznanice. Sastavimo i riješimo sistem jednačina:

Dobili smo da jednačina ravni ima oblik: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Zadatak. Ravan je data jednačinom 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Odredite koordinate vektora okomitog na datu ravan.

Rješenje. Koristeći treću formulu, dobijamo n = (7; - 2; 4) - to je sve!

Izračunavanje koordinata vektora

Ali šta ako u problemu nema vektora - postoje samo tačke koje leže na pravim linijama, a vi morate izračunati ugao između ovih pravih linija? Jednostavno je: znajući koordinate tačaka - početak i kraj vektora - možete izračunati koordinate samog vektora.

Da biste pronašli koordinate vektora, oduzmite koordinate početka od koordinata njegovog kraja.

Ova teorema djeluje na isti način i na ravni iu prostoru. Izraz "oduzmi koordinate" znači da se x koordinate druge tačke oduzimaju od x koordinate jedne tačke, a zatim se isto mora učiniti sa koordinatama y i z. Evo nekoliko primjera:

Zadatak. Postoje tri tačke u prostoru, date njihovim koordinatama: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) i C = (- 4; 3; - 2). Pronađite koordinate vektora AB, AC i BC.

Posmatrajmo vektor AB: njegovo ishodište je u tački A, a kraj u tački B. Dakle, da bismo pronašli njegove koordinate, potrebno je oduzeti koordinate tačke A od koordinata tačke B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Slično, početak vektora AC je i dalje ista tačka A, ali kraj je tačka C. Dakle, imamo:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Konačno, da biste pronašli koordinate vektora BC, morate oduzeti koordinate tačke B od koordinata tačke C:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Odgovor: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Obratite pažnju na izračun koordinata posljednjeg BC vektora: mnogi ljudi griješe kada rade s njima negativni brojevi... Ovo se tiče varijable y: tačka B ima y = - 1, a tačka C y = 3. Dobijamo tačno 3 - (- 1) = 4, a ne 3 - 1, kako mnogi veruju. Ne pravite tako glupe greške!

Proračun vektora smjera za prave linije

Ako pažljivo pročitate Problem C2, bićete iznenađeni kada vidite da tamo nema vektora. Postoje samo prave linije i ravni.

Počnimo s pravim linijama. Ovdje je sve jednostavno: na bilo kojoj pravoj liniji postoje najmanje dvije različite točke i, obrnuto, bilo koje dvije različite točke definiraju jednu pravu liniju ...

Da li neko razume šta piše u prethodnom pasusu? Ni sam to nisam razumio, pa ću lakše objasniti: u zadatku C2, prave su uvijek date sa par tačaka. Ako uvedemo koordinatni sistem i razmotrimo vektor sa početkom i krajem u ovim tačkama, dobićemo takozvani vektor pravca za pravu liniju:

Zašto je potreban ovaj vektor? Poenta je da je ugao između dve prave ugao između njihovih vektora pravca. Dakle, prelazimo s nerazumljivih pravih na određene vektore čije je koordinate lako izračunati. Koliko je to lako? Pogledajte primjere:

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtane su prave AC i BD 1. Pronađite koordinate vektora smjera ovih linija.

Pošto dužina ivica kocke nije navedena u uslovu, postavljamo AB = 1. Uvodimo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A i osama x, y, z usmerenim duž pravih AB, AD i AA 1, respektivno. Jedinični segment je jednak AB = 1.

Sada ćemo pronaći koordinate vektora pravca za pravu AC. Potrebne su nam dvije tačke: A = (0; 0; 0) i C = (1; 1; 0). Odavde dobijamo koordinate vektora AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - ovo je vektor pravca.

Sada se pozabavimo pravom linijom BD 1. Takođe ima dve tačke: B = (1; 0; 0) i D 1 = (0; 1; 1). Dobijamo vektor smjera BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Odgovor: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Zadatak. U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čije su sve ivice jednake 1, povučene su prave AB 1 i AC 1. Pronađite koordinate vektora smjera ovih linija.

Hajde da uvedemo koordinatni sistem: ishodište je u tački A, x-osa se poklapa sa AB, z-osa se poklapa sa AA 1, y-osa formira ravan OXY sa x-osom, koja se poklapa sa ravninom ABC .

Prvo, pozabavimo se pravom linijom AB 1. Ovdje je sve jednostavno: imamo tačke A = (0; 0; 0) i B 1 = (1; 0; 1). Dobijamo vektor smjera AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Sada ćemo pronaći vektor smjera za AC 1. Svejedno - jedina razlika je u tome što tačka C 1 ima iracionalne koordinate. Dakle, A = (0; 0; 0), tako da imamo:

Odgovor: AB 1 = (1; 0; 1);

Mala, ali vrlo važna napomena o posljednjem primjeru. Ako se ishodište vektora poklapa sa ishodištem, proračuni su uvelike pojednostavljeni: koordinate vektora su jednostavno jednake koordinatama kraja. Nažalost, ovo važi samo za vektore. Na primjer, kada radite s avionima, prisutnost ishodišta na njima samo komplikuje proračune.

Izračunavanje normalnih vektora za ravnine

Normalni vektori nisu vektori koji rade ili rade dobro. Po definiciji, normalni vektor (normal) na ravan je vektor okomit na tu ravan.

Drugim riječima, normala je vektor okomit na bilo koji vektor u datoj ravni. Sigurno ste se susreli s takvom definicijom - međutim, umjesto vektora, govorili smo o pravim linijama. Međutim, malo iznad je pokazano da u zadatku C2 možete raditi sa bilo kojim pogodnim objektom - čak i pravom linijom, čak i vektorom.

Da vas još jednom podsjetim da je bilo koja ravan definirana u prostoru jednačinom Ax + By + Cz + D = 0, gdje su A, B, C i D neki koeficijenti. Bez gubitka općenitosti rješenja, možemo pretpostaviti da je D = 1 ako ravan ne prolazi kroz početak, ili D = 0 ako prolazi. U svakom slučaju, koordinate vektora normale na ovu ravan su n = (A; B; C).

Dakle, ravan se također može uspješno zamijeniti vektorom - istom normalom. Svaka ravan je definisana u prostoru sa tri tačke. Kako pronaći jednadžbu ravnine (a samim tim i normalu), već smo raspravljali na samom početku članka. Međutim, ovaj proces mnogima stvara probleme, pa ću navesti još par primjera:

Zadatak. Odsjek A 1 BC 1 nacrtan je u kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Pronađite vektor normale za ravan ovog preseka ako je ishodište u tački A, a ose x, y i z poklapaju sa ivicama AB, AD i AA 1, respektivno.

Kako ravan ne prolazi kroz ishodište, njena jednadžba izgleda ovako: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. koeficijent D = 1. Pošto ova ravan prolazi kroz tačke A 1, B i C 1, koordinate ovih tačaka pretvaraju jednačinu ravni u tačnu numeričku jednakost.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Slično, za tačke B = (1; 0; 0) i C 1 = (1; 1; 1) dobijamo jednačine:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ali već znamo koeficijente A = - 1 i C = - 1, tako da ostaje da pronađemo koeficijent B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Dobijamo jednačinu ravnine: - A + B - C + 1 = 0, Dakle, koordinate vektora normale su jednake n = (- 1; 1; - 1).

Zadatak. Presjek AA 1 C 1 C nacrtan je u kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Pronađite vektor normale za ravan ovog presjeka ako je ishodište u tački A, a ose x, y i z poklapaju sa ivice AB, AD i AA 1 respektivno.

U ovom slučaju ravan prolazi kroz ishodište, pa je koeficijent D = 0, a jednačina ravni izgleda ovako: Ax + By + Cz = 0. Kako ravan prolazi kroz tačke A1 i C, koordinate ovih tačaka pretvoriti jednadžbu ravnine u ispravnu numeričku jednakost.

Zamijenite umjesto x, y i z koordinate tačke A 1 = (0; 0; 1). Imamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Slično, za tačku C = (1; 1; 0) dobijamo jednačinu:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Stavljamo B = 1. Tada je A = - B = - 1, a jednadžba cijele ravni ima oblik: - A + B = 0. Dakle, koordinate vektora normale su jednake n = (- 1; 1; 0).

Uopšteno govoreći, u navedenim problemima potrebno je sastaviti sistem jednačina i riješiti ga. Biće tri jednačine i tri varijable, ali će u drugom slučaju jedna od njih biti slobodna, tj. uzimaju proizvoljne vrijednosti. Zato imamo pravo staviti B = 1 - ne dovodeći u pitanje općenitost rješenja i tačnost odgovora.

Vrlo često u zadatku C2 potrebno je raditi sa tačkama koje dijele segment na pola. Koordinate takvih tačaka lako se izračunavaju ako su poznate koordinate krajeva segmenta.

Dakle, neka je segment definisan njegovim krajevima - tačkama A = (x a; y a; z a) i B = (x b; y b; z b). Tada se koordinate sredine segmenta - označavamo točkom H - mogu naći po formuli:

Drugim riječima, koordinate sredine segmenta su aritmetička sredina koordinata njegovih krajeva.

Zadatak. Jedinična kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 postavljena je u koordinatni sistem tako da su ose x, y i z usmerene duž ivica AB, AD i AA 1, respektivno, a ishodište se poklapa sa tačkom A. Tačka K je sredina ruba A 1 B jedan . Pronađite koordinate ove tačke.

Kako je tačka K središte segmenta A 1 B 1, njene koordinate su jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Zapišimo koordinate krajeva: A 1 = (0; 0; 1) i B 1 = (1; 0; 1). Sada pronađimo koordinate tačke K:

Zadatak. Jedinična kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 postavljena je u koordinatni sistem tako da su ose x, y i z usmerene duž ivica AB, AD i AA 1, redom, a ishodište se poklapa sa tačkom A. Pronađite koordinate tačke L u kojoj sijeku dijagonale kvadrata A 1 B 1 C 1 D 1.

Iz kursa planimetrije je poznato da je presjek dijagonala kvadrata jednako udaljen od svih njegovih vrhova. Konkretno, A 1 L = C 1 L, tj. tačka L je središte segmenta A 1 C 1. Ali A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), tako da imamo:

Odgovor: L = (0,5; 0,5; 1)

Čas geometrije u 11. razredu

Tema: " Metoda koordinata u prostoru".

Cilj: Provjeriti teorijska znanja učenika, njihove vještine i sposobnosti primjene ovih znanja u rješavanju zadataka vektorskim, vektorsko-koordinatnim metodama.

Zadaci:

1 .Stvoriti uslove za kontrolu (samokontrolu, međusobnu kontrolu) za usvajanje znanja i vještina.

2. Razvijati matematičko mišljenje, govor, pažnju.

3. Promovirati aktivnost, mobilnost, komunikacijske vještine, opću kulturu učenika.

Oblik vođenja: rad u grupama.

Oprema i izvori informacija: platno, multimedijalni projektor, tabela za obračun znanja, kreditne kartice, testovi.

Tokom nastave

1 mobilizacijski trenutak.

Lekcija o CSR-u; studenti su podijeljeni u 3 dinamičke grupe, u kojima su učenici sa prihvatljivim, optimalnim i naprednim nivoima. U svakoj grupi se bira koordinator koji vodi rad cijele grupe.

2 ... Samoopredjeljenje učenika na osnovu anticipacije.

Zadatak:postavljanje ciljeva prema shemi: zapamtite - naučite - budite sposobni.

Prijemni test - Popunite praznine (u ispisima)

Prijemni test

Popuni praznine…

1. Tri uparene okomite linije povučene su kroz tačku u prostoru.

su odabrani, na svakom od njih se bira smjer i jedinica mjerenja segmenata,

onda kažu da je postavljeno …………. u svemiru.

2. Prave sa odabranim pravcima na njima se nazivaju …………… ..,

a njihova zajednička tačka je …………. ...

3. U pravougaonom koordinatnom sistemu, svaka tačka M u prostoru povezana je sa trojkom brojeva koji je nazivaju ……………… ..

4. Koordinate tačke u prostoru nazivaju se ……………… ..

5. Vektor čija je dužina jednaka jedan naziva se ………… ..

6. Vektori iyksu pozvani ………….

7. Šanse xyz u raspadanju a= xi + yj + zk pozvao

…………… vektori a .

8. Svaka koordinata zbira dva ili više vektora jednaka je …………… ..

9. Svaka koordinata razlike dva vektora jednaka je ……………….

10. Svaka koordinata proizvoda vektora i broja jednaka je ……………… ..

11.Svaka koordinata vektora je jednaka …………….

12. Svaka koordinata sredine segmenta jednaka je ……………….

13. Dužina vektora a { xyz) se izračunava po formuli ……………………

14. Udaljenost između tačaka M 1 (x 1 ; y 1; z 1) i M 2 (x 2; y 2 ; z2) izračunato po formuli …………………

15. Skalarni proizvod dva vektora naziva se …………… ..

16. Skalarni proizvod vektora koji nisu nula jednak je nuli ……………… ..

17. Tačkasti proizvod vektoraa{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) u izražava se formulom …………………

Unakrsna provjera ulaznog testa. Odgovori na testne zadatke na ekranu.

Kriterijumi ocjenjivanja:

1-2 greške - "5"

3-4 greške - "4"

5-6 grešaka - "3"

U ostalim slučajevima - "2"

3. Izvođenje radova. (kartama).

Svaka kartica sadrži dva zadatka: br. 1 - teoretski sa dokazom, br. 2 uključuje zadatke.

Objasnite nivo složenosti zadataka uključenih u rad. Grupa obavlja jedan zadatak, ali ima 2 dijela. Koordinator grupe vodi rad cijele grupe. Rasprava o jednoj informaciji sa više partnera povećava odgovornost ne samo za sopstvene uspjehe, već i za rezultate kolektivnog rada, što pozitivno utiče na mikroklimu u timu.

KARTICA #1

1. Izvesti formule koje izražavaju koordinate sredine segmenta u smislu koordinata njegovih krajeva.

2.Zadatak: 1) Date bodove A (-3; 1; 2) i B (1; -1; 2)

Nađi:

a) koordinate sredine segmenta AB

b) koordinate i dužina vektora AB

2) Zadana je kocka ABSDA1 B1 C1 D1. Koristeći koordinatnu metodu pronađite ugao

između pravih AB1 i A1 D.

KARTICA #2

Iznesite formulu za izračunavanje dužine vektora po njegovim koordinatama.

Problem: 1) Dati bodovi M (-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Pronađite rastojanje od početka do sredine segmenta MN.

→ → → → →

2) Zadati vektori a i b... Nađi b (a + b), ako a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KARTICA #3

Iznesite formulu za izračunavanje udaljenosti između tačaka sa datim koordinatama.

Zadatak: 1) Date bodove A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4).

Dokažite da je ∆ABC jednakokračan i pronađite dužinu središnje linije trokuta koja spaja sredine bočnih stranica.

2) Izračunajte ugao između pravih AB i SD, ako je A (1; 1; 0),

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0).

KARTICA #4

Iznesite formule za kosinus ugla između vektora koji nisu nula sa datim koordinatama.

Problem: 1) Date su koordinate tri vrha AVSD paralelograma:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4). Pronađite koordinate tačke D.

2) Pronađite ugao između pravih AB i SD, ako je A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KARTICA #5

Reci mi kako da izračunam ugao između dve prave u prostoru koristeći vektore pravca ovih linija. →→

Problem: 1) Naći tačkasti proizvod vektoraa i b, ako:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Date su tačke A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) i D (2; 4; 4). Dokazati da je AVSD romb.

4. Provjera rada dinamičkih grupa po karticama.

Slušamo nastup predstavnika grupa. Rad grupa ocjenjuje nastavnik uz učešće učenika.

5. Refleksija. Ocjene za ofset.

Završni test višestrukog izbora (ispisi).

1) Zadati vektori a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─; 1). Pronađite koordinate vektora

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Zadati vektori a(4; -3; 5) i b(-3; 1; 2). Pronađite koordinate vektora

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Izračunajte dot proizvod vektoram i n, ako m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b ako | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌) = 60 °, c ┴ a , c ┴ b.

a) -1; b) -27; u 1; d) 35.

4) Dužina vektora a { xyz) je jednako 5. Pronađite koordinate vektora a, akox=2, z=-√5

a) 16; b) 4 ili -4; u 9; d) 3 ili -3.

5) Naći površinu ∆ABS, ako je A (1; -1; 3); B (3; -1; 1) i C (-1; 1; -3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Unakrsna provjera testa. Kodovi odgovora za ispitne stavke na ekranu: 1 (b); 2 (c);

3 (a); 4 (b); 5 (c).

Kriterijumi ocjenjivanja:

Sve je tačno - "5"

1 greška - "4"

2 greške - "3"

U ostalim slučajevima - "2"

Tabela znanja učenika

Raditi na

kartice

Finale

test

Rezultat za prolaz

Zadaci

teorija

praksa

1. grupa

2. grupa

Grupa 3

Procjena pripremljenosti studenata za kredit.

Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte sebi Google račun (nalog) i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru. Vektorske koordinate.

Pravougaoni koordinatni sistem

Ako se kroz tačku u prostoru povuku tri uparene okomite prave, na svakoj od njih se izabere smjer i odabere jedinica mjere segmenata, onda kažu da je zadan pravokutni koordinatni sistem u prostoru

Prave linije sa odabranim pravcima na njima se nazivaju koordinatne ose, a njihova zajednička tačka je ishodište. Obično se označava slovom O. Koordinatne ose su označene na sljedeći način: Ox, Oy, O z - i imaju nazive: osa apscisa, osa ordinata, osa primjene.

Cijeli koordinatni sistem je označen sa Oxy z. Ravnine koje prolaze kroz koordinatne ose Ox i Oy, Oy i O z, O z i Ox, respektivno, nazivaju se koordinatne ravnine i označavaju se sa Oxy, Oy z, O z x.

Tačka O dijeli svaku od koordinatnih ose na dvije zrake. Zraka čiji se smjer poklapa sa smjerom ose naziva se pozitivna poluosa, a druga zraka negativna poluos.

U pravougaonom koordinatnom sistemu, svaka tačka M u prostoru povezana je sa trojkom brojeva, koji se nazivaju njene koordinate.

Na slici je prikazano šest bodova A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Vektorske koordinate

Bilo koji vektor se može proširiti u koordinatne vektore, odnosno predstaviti u obliku u kojem su koeficijenti proširenja x, y, z jednoznačno određeni.

Koeficijenti x, y i z u proširenju vektora u koordinatne vektore nazivaju se koordinatama vektora u datom koordinatnom sistemu.

Razmotrimo pravila koja omogućavaju pronalaženje koordinata njihovog zbira i razlike, kao i koordinata proizvoda datog vektora na dati broj, po koordinatama ovih vektora.

10 . Svaka koordinata zbira dva ili više vektora jednaka je zbiru odgovarajućih koordinata ovih vektora. Drugim riječima, ako su a (x 1, y 1, z 1) i b (x 2, y 2, z 2) ovi vektori, tada vektor a + b ima koordinate (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2).

dvadeset . Svaka koordinata razlike dva vektora jednaka je razlici odgovarajućih koordinata ovih vektora. Drugim riječima, ako su a (x 1, y 1, z 1) i b (x 2 y 2; z 2) ovi vektori, tada vektor a - b ima koordinate (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

trideset . Svaka koordinata proizvoda vektora brojem jednaka je proizvodu odgovarajuće koordinate vektora ovim brojem. Drugim riječima, ako je a (x; y; x) dati vektor, α je dati broj, tada vektor α a ima koordinate (αh; αu; α z).

Na temu: metodološki razvoji, prezentacije i bilješke

Didaktički materijal "Komplet sažetaka za učenike na temu "Metoda koordinata u prostoru" za izvođenje nastave u vidu predavanja. Geometrija 10-11 razred....

Svrha časa: Provjera znanja, vještina i sposobnosti učenika na temu "Korišćenje metode koordinata u prostoru za rješavanje ispitnih zadataka C2". Planirani nastavni rezultati: Učenici demonstriraju: ...