Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функцияz=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z (x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.
Без доказательства.
Можно предложить следующий план нахождения M
и m
.
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D
и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D
.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M
и наименьшее m
значения.
Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D , ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .
1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху .
Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .
Граница Г области D состоит из трёх частей:
2. Найдём стационарные точки внутри области D :
3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :
4. Вычисляем шесть значений:
Примеры
Пример 1.
Данная функция определена при всех значениях переменных x и y , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.
Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.
Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.
Пример 2.
Исследовать на непрерывность функцию z=tg (x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π /2 , т.е. исключая точки, где
При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).
Пример 3.
Найти частные производные функции u=z -xy , z > 0 .
Пример 4.
Показать, что функция
удовлетворяет тождеству:
– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z) , кроме точки М 0 (a;b;c) .
Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z" x =f" x (х,у) и z" y =f" y (х,у) .
В этом случае уравнение z=f (х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const . В сечении этой плоскостью поверхности z=f (х,у) получится некоторая линия l 1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z .
Частная производная z" x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L 1 к кривой l 1 , получающейся в сечении поверхности z=f (х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgα .
В сечении же поверхности z=f (х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l 2 , вдоль которой изменяются лишь величины у и z . Тогда частная производная z" y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу , касательной L 2 к указанной линии l 2 пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgβ .
Пример 5.
Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:
в точке М(2,4,5) ?
Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у ):
Пример 6.
Согласно (1.31):
Пример 7.
Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z" x , z" y .
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
Пример 8.
Исследовать на экстремум:
1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):
то есть найдены четыре стационарные точки.
2.
по теореме 1.4 в точке – минимум.
Причём
4. Вычисляем шесть значений:
Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Список литературы:
ü Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.
ü Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
ü Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
ü Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.
И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые
) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:
Эту же область можно задать и линейными неравенствами
: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой
.
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие
.
А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
Пример 1
В ограниченной замкнутой области
Решение
: прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:
Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных
:
Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:
– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .
Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.
II) Исследуем границу области.
Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:
Как вариант, можно оформить и так:
Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением )
«высекает» из поверхности
«пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится
:
– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже)
функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:
Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже)
:
Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :
2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:
Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.
Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:
– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :
Исследуем второй конец отрезка :
Используя функцию , выполним контрольную проверку:
3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:
Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.
Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :
– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :
Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.
И заключительный шаг
: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:
из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ
запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
:
На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .
В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .
Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .
Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
Пример 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .
Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:
Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)
Решение
, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:
Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
I) Найдём стационарные точки:
Система-мечта идиота:)
Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.
А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
1) Если , то
Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :
Контроль:
Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:
Решаем квадратное уравнение
, помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:
Вычислим значения функции в найденных точках:
Проверку по функции проведите самостоятельно.
Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ
:
Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
Для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области
Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение
: изобразим область на чертеже:
§ Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных - страница №1/1
§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.
1. Экстремумы функций нескольких переменных.
плоскости
,
– точка этой области.
Точка
называется точкой максимума
функции
, если для любой точки
выполняется неравенство
.
Аналогично точка
называется точкой минимума
функции
, если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
.
Замечания
. 1) По смыслу определений функция
должна быть определена в некоторой окрестности точки
. Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции
могут быть только внутренние точки области
.
2) Если существует окрестность точки
, в которой для любой точки
отличной от
выполняется неравенство
(
), то точку
называют точкой строгого максимума
(соответственно точкой строгого минимума
) функции
. В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума . Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами , или, короче, экстремумами этой функции.
Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке
сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.
Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
– точка максимума функции
. Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки
такая, что
для любой точки
из этой окрестности. В частности,
(1)
где
,
, и
(2)
где
,
. Но (1) означает, что функция одной переменной
имеет в точке максимум или является на интервале
постоянной. Следовательно,
или
– не существует,
⇒
или
– не существует.
Аналогично из (2) получаем, что
или
– не существует.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.
Геометрически теорема 8.1 означает, что если
– точка экстремума функции
, то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости
, либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).
Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками
функции
. Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.
ПРИМЕР.
Рассмотрим функцию
. Точка
является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка
и
равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно,
, но в любой окрестности точки
есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.
Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть
– критическая точка функции
и в некоторой окрестности точки
функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим
,
,
.
Тогда 1) если
, то точка
не является точкой экстремума;
Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку
не удалось (т.е. если
или функция вообще не имеет в окрестности точки
непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке
экстремума даст знак приращения функции в этой точке.
Действительно, из определения следует, что если функция
имеет в точке
строгий максимум, то
для всех точек
из некоторой окрестности точки
, или, иначе
при всех достаточно малых
и
. Аналогично, если
– точка строгого минимума, то при всех достаточно малых
и
будет выполняться неравенство
.
Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых
и
оно будет сохранять знак, то в точке
функция имеет строгий экстремум (минимум, если
, и максимум, если
).
Замечание
. Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях
и
приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:
1)
; 2)
.
1) Функция
и
тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем две критические точки
и
.
Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:
,
,
.
Исследуем точку
:
,
,
,
;
.
Следовательно, в точке
данная функция имеет минимум, а именно
.
Исследуем критическую точку
:
,
,
,
.
Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.
2) Функция
определена всюду. Ее частные производные первого порядка
и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем единственную критическую точку
.
Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:
,
,
,
,
,
,
.
Установить наличие или отсутствие экстремума в точке
с помощью теоремы 8.2 не удалось.
Исследуем знак приращения функции в точке
:
Если
, то
;
если
, то
.
Поскольку
не сохраняет знак в окрестности точки
, то в этой точке функция не имеет экстремума.
Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции (
) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек в этом случае мы будем по знаку приращения функции.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция двух переменныхопределена в некоторой области
плоскости
,
,
– точки этой области. Значение функции в точке
называется наибольшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство
.
Аналогично значение функции в точке
называется наименьшим
, если для любой точки
из области
выполняется неравенство
.
Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область
– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки
и
могут лежать как внутри области
, так и на ее границе. Если точка
(или
) лежит внутри области
, то это будет точка максимума (минимума) функции
, т.е. критическая точка функции внутри области
. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
в области
нужно:
.
Наибольшее и наименьшее значения
Функция, ограниченная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции необходимо:
1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить в них значение функции.
2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области.
3. Сравнить все полученные значения функции: самые большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.
Пример 2 . Найти наибольшее (наименьшее) значение функции: в круге .
Решение .
точка стационарная; .
2 .Границей данной замкнутой области является окружность или , где .
Функция на границе области становится функцией одной переменной: , где . Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции.
При x=0 ; (0,-3) и (0,3)- критические точки.
Вычислим значения функции на концах отрезка
3 . Сравнивая между собой значения получаем,
В точках Aи B.
В точках C и D.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенством:
Решение . Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=1.
1. Находим стационарные точки внутри области:
; ; у = - 1/ 8 ; х = 1/ 8.
Стационарная точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение z в ней не вычисляем.
2 .Исследуем функцию на границе. Так как граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то исследуем функцию на каждом участке отдельно:
а ) на участке 0A: y=0- уравнение 0A, тогда ; из уравнения видно, что функция возрастает на 0A от 0 до 1. Значит .
б ) на участке 0B: x=0 - уравнение 0B, тогда ; –6y+1=0; - критическая точка.
в ) на прямой x+y = 1: y=1-x, тогда получим функцию
Вычислим значение функции z в точке B(0,1).
3 .Сравнивая числа получаем, что
На прямой AB.
В точке B.
Тесты для самоконтроля знаний.
1 . Экстремум функции - это
а) ее производные первого порядка
б) ее уравнение
в) ее график
г) ее максимум или минимум
2. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться:
а) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка больше нуля
б) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка меньше нуля
в) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
г) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка равны нулю
3. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений:
а) в стационарных точках
б) или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области
в) в точках, лежащих на границе области
г) во всех точках
4. Стационарными точками для функции нескольких переменных называются точки:
а) в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
б) в которых все частные производные первого порядка больше нуля
в) в которых все частные производные первого порядка равны нулю
г) в которых все частные производные первого порядка меньше нуля