घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम ...")

क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक में होते हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

ध्यान दें! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्या... वी संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्तियों की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, एक संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक x दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह पहले से ही मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। हम अभी उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों को हल करकेअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, यहाँ तक कि शुद्ध घातांकीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और होना चाहिए। हम इन प्रकारों पर विचार करेंगे।

सरलतम घातांकीय समीकरणों का हल।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी से शुरू करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, एक साधारण चयन से यह स्पष्ट हो जाता है कि x = 2. और नहीं, है ना!? कोई अन्य x मान रोल नहीं। आइए अब इस धूर्त घातांकीय समीकरण के हल के रिकॉर्ड पर एक नज़र डालते हैं:

हमने क्या किया है? हमने, वास्तव में, बस उन्हीं ठिकानों (तीनों) को फेंक दिया। उन्होंने इसे पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

वास्तव में, यदि बाएँ और दाएँ घातांकीय समीकरण में शामिल है वहीकिसी भी घात में संख्याएँ, इन संख्याओं को हटाया जा सकता है और घातांक की बराबरी की जा सकती है। गणित अनुमति देता है। यह एक बहुत ही सरल समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है। बढ़िया, है ना?)

हालाँकि, आइए इसे विडंबना से याद रखें: आप आधारों को केवल तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x + 1 = 2 3, या

ड्यूस को हटाया नहीं जा सकता!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज में महारत हासिल कर ली है। बुराई घातांकीय अभिव्यक्तियों से सरल समीकरणों तक कैसे जाएं।

"ये समय हैं!" - आप बताओ। "परीक्षा और परीक्षा में ऐसा आदिम कौन देगा !?"

मुझे सहमत होना है। कोई नहीं देगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहाँ प्रयास करना चाहिए। जब वही आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो, तो उसे फॉर्म में लाना आवश्यक है। तब सब कुछ आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित की क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदल देते हैं। हममन। गणित के नियमों से, बिल्कुल।

आइए उन उदाहरणों को देखें जिन्हें सरलतम तक लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों को हल करना। उदाहरण।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं - डिग्री के साथ कार्रवाई।इन क्रियाओं के ज्ञान के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा।

व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को डिग्री के साथ कार्यों में जोड़ा जाना चाहिए। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें उदाहरण में स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए एक उदाहरण दिया जाए:

2 2x - 8x + 1 = 0

पहली उत्सुक नज़र पर है मैदान।वे ... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

यदि आप शक्तियों के साथ क्रियाओं का सूत्र याद करते हैं:

(ए एन) एम = एक एनएम,

सामान्य तौर पर यह बहुत अच्छा निकला:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स + 1)दाईं ओर (गणित की प्राथमिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x = 2 3 (x + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। हम आधार हटाते हैं:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में एक एन्क्रिप्टेड दो है। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों को एन्क्रिप्ट करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत ही लोकप्रिय तकनीक है! और लघुगणक में भी। संख्या में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 से पांचवीं शक्ति बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन तालिका जानते हैं तो 243 काम करेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, एक शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि इसके विपरीत बहुत अधिक आवश्यक है ... किस नंबर से किस डिग्री तकसंख्या 243 के पीछे छिपा है, या कहें, 343 ... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी सहायता नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, हाँ ... अभ्यास करते हैं?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (अव्यवस्था में, स्वाभाविक रूप से!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीबोगरीब तथ्य नजर आएगा। कार्यों की तुलना में काफी अधिक उत्तर हैं! खैर, ऐसा होता है ... उदाहरण के लिए, 2 6, 4 3, 8 2 सभी 64 हैं।

मान लीजिए कि आपने संख्याओं के साथ परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम उपयोग करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। इनमें जूनियर-मध्यम वर्ग के लोग शामिल हैं। आप तुरंत हाई स्कूल नहीं गए, है ना?)

उदाहरण के लिए, घातीय समीकरणों को हल करते समय, यह अक्सर सामान्य कारक को कोष्ठक के बाहर रखने में मदद करता है (हैलो, 7 वीं कक्षा!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र में - नींव पर! डिग्री के आधार अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही हों। खैर, इस मामले में, इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री से निपटने के लिए समान नियमों का पालन करना:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हम उदाहरण को उसी आधार पर लेकर आए हैं। तो, आगे क्या है!? थ्री को फेंका नहीं जाना चाहिए ... मृत अंत?

बिल्कुल नहीं। सबसे बहुमुखी और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना के सभीगणित के कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या आवश्यक है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बन जाएगा)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकते हैंकरना? हाँ, बाईं ओर, यह सीधे कोष्ठक के लिए पूछ रहा है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड इस ओर स्पष्ट संकेत करता है। आइए कोशिश करते हैं, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है!

याद रखें कि आधार को खत्म करने के लिए, हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 का नंबर हमारे रास्ते में आ जाता है। तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

उफ़! सब कुछ काम कर गया!

यह अंतिम उत्तर है।

हालांकि, ऐसा होता है कि एक ही आधार पर टैक्सी प्राप्त की जाती है, लेकिन उनका उन्मूलन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार में महारत हासिल करें।

घातांकीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहले, हमेशा की तरह। एक नींव पर आगे बढ़ना। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम फ्रीज करेंगे। पिछली तकनीकें काम नहीं करेंगी, चाहे कितनी भी अच्छी क्यों न हों। हमें एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके के शस्त्रागार से बाहर निकलना होगा। यह कहा जाता है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन के बजाय (हमारे मामले में - 2 x), हम दूसरा लिखते हैं, सरल (उदाहरण के लिए - टी)। ऐसा प्रतीत होता है कि मूर्खतापूर्ण प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) यह सिर्फ इतना है कि सब कुछ स्पष्ट और समझ में आता है!

तो चलो

तब 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

हमारे समीकरण में t के साथ सभी घातों को x से बदलें:

अच्छा, अब हो गया?) क्या आप अभी तक द्विघात समीकरणों को भूल गए हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

यहां, मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक जवाब नहीं है, हमें एक्स की जरूरत है, टी नहीं। हम Xs पर लौटते हैं, अर्थात। हम एक वापसी प्रतिस्थापन करते हैं। टी 1 के लिए पहला:

अर्थात्,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम ... बायां 2 x, दायां 1 ... कोई समस्या? बिल्कुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (शक्तियों वाले कार्यों से, हाँ ...) कि एक है कोईसंख्या शून्य डिग्री तक। कोई भी। जो जरूरी होगा हम देंगे। हमें एक ड्यूस चाहिए। माध्यम:

अब बस। हमें 2 जड़ें मिलीं:

यही उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाकभी-कभी हम कुछ अजीब अभिव्यक्ति के साथ समाप्त होते हैं। प्रकार:

सात से दो, एक प्राइम डिग्री के माध्यम से काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं ... यहाँ कैसे हो? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लॉगरिदम क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल थोड़ा मुस्कुराता है और एक दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखता है:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। वहां, एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य बात पर प्रकाश डालें।

प्रायोगिक उपकरण:

1. सबसे पहले, हम देखते हैं नींवडिग्री। हम विचार करते हैं कि क्या उन्हें बनाना संभव है वही।हम सक्रिय रूप से उपयोग करके ऐसा करने का प्रयास करते हैं डिग्री के साथ कार्रवाई।यह मत भूलो कि x के बिना संख्याओं को भी घातों में बदला जा सकता है!

2. हम बाएँ और दाएँ होने पर घातांकीय समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास करते हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्या। हम उपयोग करते हैं डिग्री के साथ कार्रवाईतथा गुणनखंडनसंख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरा टिप काम नहीं करता है, तो हम परिवर्तनशील प्रतिस्थापन लागू करने का प्रयास करते हैं। अंतिम परिणाम एक समीकरण है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। ज्यादातर यह चौकोर होता है। या भिन्नात्मक, जो घट कर वर्गाकार भी हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको "दृष्टि से" कुछ संख्याओं की शक्तियों को जानना होगा।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपसे थोड़ा निर्णय लेने के लिए कहा जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातांकीय समीकरणों को हल करें:

ज्यादा कठिन:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-एक्स + 2 एक्स = 9

हो गई?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (हल, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x + 1 + 2 0.5x + 1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई के लिए काफी आकर्षित। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सभी गणित की समस्याओं को हल करने के लिए सरलता और सबसे सार्वभौमिक नियम बचा है।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

आराम के लिए एक उदाहरण आसान है):

9 2 x - 4 3 x = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन पर विचार किया जाना चाहिए, उन्हें हल किया जाना चाहिए!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, समझदार की जरूरत है ... और सातवीं कक्षा आपकी मदद कर सकती है (यह एक संकेत है!)।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम अलग):

एक; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ ठीक है? जुर्माना।

वहाँ एक समस्या है? कोई दिक्कत नहीं है! विशेष धारा 555 में, इन सभी घातांक समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इतना ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस ट्यूटोरियल में, हमने घातांकीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है, वैसे ...

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पाठ प्रकार

: "घातीय समीकरण और उन्हें हल करने के तरीके" विषय पर ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के सामान्यीकरण और जटिल अनुप्रयोगों में एक पाठ।

पाठ मकसद।

शैक्षिक:

"घातीय समीकरण, उनके समाधान" विषय की मुख्य सामग्री को दोहराने और व्यवस्थित करने के लिए; विभिन्न प्रकार के घातीय समीकरणों को हल करते समय उपयुक्त एल्गोरिदम का उपयोग करने की क्षमता को समेकित करना; परीक्षा की तैयारी।

विकसित होना:

छात्रों की तार्किक और सहयोगी सोच विकसित करना; ज्ञान के स्वतंत्र अनुप्रयोग के कौशल के विकास में योगदान करना।

शैक्षिक:

समीकरणों को हल करने में उद्देश्यपूर्णता, ध्यान और सटीकता को शिक्षित करना।

उपकरण:

कंप्यूटर और मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।

सबक का उपयोग करता है सूचान प्रौद्योगिकी : पाठ के लिए पद्धति संबंधी समर्थन - माइक्रोसॉफ्ट पावर प्वाइंट कार्यक्रम में प्रस्तुति।

कक्षाओं के दौरान

हर हुनर ​​श्रम से दिया जाता है

मैं। पाठ लक्ष्य निर्धारण(स्लाइड नंबर 2 )

इस पाठ में, हम "घातीय समीकरण, उनके समाधान" विषय का सारांश और सामान्यीकरण करेंगे। आइए इस विषय पर विभिन्न वर्षों के विशिष्ट USE असाइनमेंट से परिचित हों।

परीक्षा कार्यों के किसी भी भाग में घातांकीय समीकरणों को हल करने में समस्याएँ पाई जा सकती हैं। भाग में " वी " आमतौर पर वे सबसे सरल घातीय समीकरणों को हल करने की पेशकश करते हैं। भाग में " साथ " आप अधिक जटिल घातीय समीकरण पा सकते हैं, जिसका समाधान आमतौर पर कार्य के चरणों में से एक होता है।

उदाहरण के लिए ( स्लाइड नंबर 3 ).

• एकीकृत राज्य परीक्षा - 2007

Q 4 - सबसे बड़ा व्यंजक मान ज्ञात कीजिए एक्स वाई, कहाँ पे ( एक्स; पर) - सिस्टम समाधान:

• एकीकृत राज्य परीक्षा - 2008

बी 1 - समीकरण हल करें:

ए) एक्स 6 3एक्स – 36 6 3एक्स = 0;

बी 4 एक्स +1 + 8 4एक्स= 3.

• एकीकृत राज्य परीक्षा - 2009

क्यू 4 - अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें एक्स + वाई, कहाँ पे ( एक्स; पर) - सिस्टम समाधान:

• एकीकृत राज्य परीक्षा - 2010

– समीकरण हल करें: 7 एक्स– 2 = 49. - समीकरण की जड़ें खोजें: 4 एक्स 2 + 3एक्स – 2 - 0,5 2x2 + 2एक्स – 1 = 0. - समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना। दुहराव

(स्लाइड नंबर 4 - 6 पाठ के लिए प्रस्तुतियाँ)

स्क्रीन दिखाता है सैद्धांतिक सामग्री का मूल सार इस विषय पर।

निम्नलिखित मुद्दों पर चर्चा की जाती है:

1. समीकरण किसे कहते हैं सांकेतिक?
2. इन्हें हल करने के प्रमुख तरीकों के नाम लिखिए। उनके प्रकारों के उदाहरण दीजिए ( स्लाइड नंबर 4 )

(प्रत्येक विधि के लिए प्रस्तावित समीकरणों को स्वतंत्र रूप से हल करें और स्लाइड का उपयोग करके स्व-परीक्षण करें)

3. फॉर्म के सबसे सरल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए किस प्रमेय का उपयोग किया जाता है: और एफ (एक्स) = ए जी (एक्स)?
4. घातीय समीकरणों को हल करने के लिए और कौन से तरीके हैं? ( स्लाइड नंबर 5 )

• फैक्टरिंग विधि
(डिग्री के गुणों के आधार पर वही आधार, प्रवेश: सबसे छोटे घातांक के साथ डिग्री को कोष्ठक से बाहर निकाला जाता है)।
• सजातीय घातांक समीकरणों को हल करते समय, शून्य के अलावा एक घातीय अभिव्यक्ति द्वारा विभाजन (गुणा) का स्वागत
.

• सलाह:

घातीय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण के दोनों पक्षों में समान आधारों के साथ प्राप्त करने वाले परिवर्तनों को पहले करना उपयोगी होता है।

1. टिप्पणियों के बाद अंतिम दो विधियों के साथ समीकरणों को हल करना

(स्लाइड नंबर 6 ).

. 4 एक्स+ 1 – 2 4 एक्स– 2 = 124, 4 एक्स– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 एक्स– 2 62 = 124,

4 एक्स– 2 = 2, 4 एक्स– 2 = 4 0,5 , एक्स– 2 = 0,5, एक्स = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 एक्स 5एक्स - 5 5 2एक्स= 0¦: 5 2 एक्स 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) एक्स - 5 = 0,

टी = (2/5) एक्स, टी > 0, 2टी 2 - 3टी - 5 = 0,टी= -1(?...), टी = 5/2; 5/2 = (2/5) x, एक्स= ?...

III. परीक्षा 2010 के कार्यों को हल करना

छात्र स्लाइड नंबर 3 पर पाठ की शुरुआत में प्रस्तावित कार्यों को स्वतंत्र रूप से हल करते हैं, समाधान के निर्देशों का उपयोग करते हुए, समाधान के अपने पाठ्यक्रम की जांच करते हैं और प्रस्तुति का उपयोग करके उनके उत्तर की जांच करते हैं ( स्लाइड नंबर 7) काम के दौरान, समाधान के विकल्पों और तरीकों पर चर्चा की जाती है, समाधान में संभावित त्रुटियों पर ध्यान आकर्षित किया जाता है।

: ए) 7 एक्स- 2 = 49, ख) (1/6) 12 - 7 x = 36. उत्तर: ए) एक्स= 4, बी) एक्स = 2. : 4 एक्स 2 + 3एक्स – 2 - 0,5 2x2 + 2एक्स- 1 = 0. (आप 0.5 = 4 - 0.5 की जगह ले सकते हैं)

समाधान. ,

एक्स 2 + 3एक्स – 2 = -एक्स 2 - 4एक्स + 0,5 …

उत्तर: एक्स= -5/2, एक्स = 1/2.

: 5 5 टीजी आप+ 4 = 5 -टीजी आप, कोसो पर आप< 0.

समाधान के लिए संकेत

... 5 5 टीजी आप+ 4 = 5 -टीजी आप 5 टीजी आप 0,

5 5 2जी आप+ 4 5 टीजी वाई - 1 = 0. चलो एक्स= 5 टीजी आप , …

5 टीजी आप = -1 (?...), 5 टीजी वाई = 1/5.

चूंकि टीजी आप= -1 और cos आप< 0, तब परद्वितीय समन्वय तिमाही

उत्तर: पर= 3/4 + 2क, क एन.

चतुर्थ। ब्लैकबोर्ड पर सहयोग करें

उच्च स्तरीय प्रशिक्षण का कार्य माना जाता है - स्लाइड संख्या 8... इस स्लाइड की मदद से शिक्षक और छात्रों के बीच संवाद होता है, जो समाधान के विकास में योगदान देता है।

- किस पैरामीटर पर ए समीकरण 2 2 एक्स – 3 2 एक्स + ए 2 – 4ए= 0 की दो जड़ें हैं?

होने देना टी= 2 एक्स, कहाँ पे टी > 0 ... हम पाते हैं टी 2 – 3टी + (ए 2 – 4ए) = 0 .

एक)। चूँकि समीकरण के दो मूल हैं, D> 0;

2))। चूंकि टी 1,2> 0, तब टी 1 टी 2> 0, अर्थात् ए 2 – 4ए> 0 (?...).

उत्तर: ए(- 0.5; 0) या (4; 4.5)।

वी. सत्यापन कार्य

(स्लाइड नंबर 9 )

छात्र प्रदर्शन करते हैं सत्यापन कार्यकागज के टुकड़ों पर, विषय की पुष्टि करते हुए एक प्रस्तुति की मदद से किए गए कार्य के आत्म-नियंत्रण और आत्म-मूल्यांकन का अभ्यास करना। वे स्वतंत्र रूप से अपने लिए कार्यपुस्तिकाओं में की गई गलतियों के आधार पर ज्ञान को विनियमित करने और सुधारने के लिए एक कार्यक्रम निर्धारित करते हैं। पूर्ण स्वतंत्र कार्य वाली शीट सत्यापन के लिए शिक्षक को सौंप दी जाती है।

रेखांकित संख्याएँ - मूल स्तर, तारक के साथ - बढ़ी हुई कठिनाई।

समाधान और उत्तर.

0,3 2एक्स + 1 = 0,3 – 2 , 2एक्स + 1 = -2, एक्स= -1,5.

(1; 1).

3. 2 एक्स– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 एक्स– 1 76 = 19, 2 एक्स– 1 = 1/4, 2 एक्स– 1 = 2 – 2 , एक्स– 1 = -2,

एक्स = -1.

4 * .3 9 x = 2 3 एक्स 5एक्स+ 5 25 एक्स | : 25 एक्स ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) एक्स+ 5,

3 (9/27) एक्स = 2 (3/5) एक्स + 5 = 0,

3 (3/5) 2एक्स – 2 (3/5) एक्स - 5 = 0,…, (3/5) एक्स = -1 (योग्य नहीं),

(3/5) एक्स = 5, एक्स = -1.

वी.आई. होम वर्क

(स्लाइड नंबर 10 )

• दोहराएँ 11, 12.
• यूनिफाइड स्टेट परीक्षा 2008 - 2010 की सामग्री से, विषय पर कार्यों का चयन करें और उन्हें हल करें।
• गृह परीक्षण कार्य
:

मेरे शब्दों से डरो मत, जब आप बहुपदों का अध्ययन करते हैं, तो आप पहले से ही 7 वीं कक्षा में इस पद्धति के बारे में जानते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आपको आवश्यकता है:

आइए समूह बनाएं: पहला और तीसरा पद, साथ ही दूसरा और चौथा।

यह स्पष्ट है कि पहले और तीसरे वर्ग के अंतर हैं:

और दूसरे और चौथे में तीन का एक सामान्य कारक है:

तब मूल अभिव्यक्ति इसके बराबर है:

जहां सामान्य कारक निकालना अब मुश्किल नहीं है:

इसलिये,

यह लगभग है कि हम घातीय समीकरणों को हल करते समय कैसे कार्य करेंगे: शर्तों के बीच "समानता" की तलाश करें और इसे कोष्ठक के बाहर रखें, ठीक है - जो भी हो, मुझे विश्वास है कि हम भाग्यशाली होंगे =))

उदाहरण संख्या 14

दाईं ओर सात की डिग्री से बहुत दूर है (मैंने इसे चेक किया!) और बाईं ओर - ज्यादा बेहतर नहीं ...

बेशक, आप पहले कार्यकाल से दूसरे से कारक ए को "काट" सकते हैं, और फिर परिणाम से निपट सकते हैं, लेकिन चलिए इसे आपके साथ और अधिक विवेकपूर्ण तरीके से करते हैं।

मैं उन अंशों से निपटना नहीं चाहता जो अनिवार्य रूप से "हाइलाइटिंग" से आते हैं, तो क्या मेरे लिए सहन करना बेहतर नहीं होगा?

तब मेरे पास अंश नहीं होंगे: जैसा कि वे कहते हैं, भेड़ियों को खिलाया जाता है और भेड़ें सुरक्षित हैं:

कोष्ठक में व्यंजक गिनें।

एक जादुई, जादुई तरीके से, यह पता चला है कि (आश्चर्यजनक, हालांकि हम और क्या उम्मीद कर सकते हैं?)

फिर हम इस कारक द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों को रद्द कर देंगे। हमें मिलता है:, कहाँ से।

यहाँ एक अधिक जटिल उदाहरण है (काफी थोड़ा, वास्तव में):

क्या परेशानी है! हमारे यहाँ एक समान आधार नहीं है!

अभी क्या करना है यह पूरी तरह स्पष्ट नहीं है।

आइए हम वह करें जो हम कर सकते हैं: सबसे पहले, "चौकों" को एक तरफ और "फाइव्स" को दूसरी तरफ ले जाएं:

अब "आम" को बाएँ और दाएँ ले जाएँ:

तो अब क्या?

ऐसे मूर्ख समूह का क्या फायदा? पहली नज़र में, यह बिल्कुल भी दिखाई नहीं देता है, लेकिन आइए गहराई से देखें:

खैर, अब इसे बनाते हैं ताकि बाईं ओर हमारे पास केवल अभिव्यक्ति हो, और दाईं ओर - बाकी सब कुछ।

हम इसे कैसे करते हैं?

और यहां बताया गया है: पहले समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें (इस तरह हम दाईं ओर की डिग्री से छुटकारा पाते हैं), और फिर दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं (इस तरह हम बाईं ओर संख्यात्मक कारक से छुटकारा पाते हैं)।

हम अंत में प्राप्त करते हैं:

अविश्वसनीय!

बाईं ओर हमारे पास एक अभिव्यक्ति है, और दाईं ओर हमारे पास एक सरल है।

तब हम तुरंत यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

उदाहरण संख्या 15

मैं उसका संक्षिप्त समाधान दूंगा (स्पष्टीकरण के साथ बहुत अधिक परेशान किए बिना), समाधान की सभी "सूक्ष्मताओं" को स्वयं समझने का प्रयास करें।

अब पारित सामग्री का अंतिम समेकन।

निम्नलिखित 7 समस्याओं को स्वयं हल करना (उत्तरों के साथ)

1. आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:
2. हम रूप में पहली अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं: दोनों भागों को विभाजित करें और प्राप्त करें
3. , फिर मूल समीकरण को रूप में बदल दिया जाता है: खैर, अब एक संकेत - देखो कि आपने और मैंने इस समीकरण को पहले ही कहाँ हल कर लिया है!
4. कल्पना कीजिए कि कैसे, कैसे, और, ठीक है, फिर दोनों भागों को विभाजित करें, ताकि आपको सबसे सरल घातीय समीकरण मिल जाए।
5. कोष्ठक से बाहर निकालो।
6. कोष्ठक से बाहर निकालो।

खोजपूर्ण समीकरण। औसत स्तर

मुझे लगता है कि पहला लेख पढ़ने के बाद मैंने कहा घातीय समीकरण क्या हैं और उन्हें कैसे हल करें, आपने सरलतम उदाहरणों को हल करने के लिए आवश्यक आवश्यक न्यूनतम ज्ञान में महारत हासिल कर ली है।

अब मैं घातांकीय समीकरणों को हल करने के लिए एक अन्य विधि का विश्लेषण करूँगा, यह ...

एक नया चर (या प्रतिस्थापन) शुरू करने की विधि

वह घातीय समीकरणों (और न केवल समीकरण) के विषय पर अधिकांश "कठिन" समस्याओं को हल करता है।

यह विधि इनमें से एक है सबसे अधिक बार व्यवहार में उपयोग किया जाता है।सबसे पहले, मेरा सुझाव है कि आप इस विषय से खुद को परिचित कर लें।

जैसा कि आप पहले ही नाम से समझ चुके हैं, इस पद्धति का सार चर के इस तरह के परिवर्तन को पेश करना है कि आपका घातीय समीकरण चमत्कारिक रूप से एक में बदल जाता है जिसे आप पहले से ही आसानी से हल कर सकते हैं।

इस "सरलीकृत समीकरण" को हल करने के बाद आपके लिए जो कुछ बचा है, वह है "रिवर्स रिप्लेसमेंट" बनाना: यानी बदले हुए से बदले हुए पर वापस जाना।

आइए एक बहुत ही सरल उदाहरण के साथ स्पष्ट करें कि हमने अभी क्या कहा:

उदाहरण 16. सरल प्रतिस्थापन विधि

यह समीकरण का उपयोग करके हल किया जाता है "सरल प्रतिस्थापन", जैसा कि गणितज्ञ तिरस्कारपूर्वक कहते हैं।

वास्तव में, यहाँ प्रतिस्थापन सबसे स्पष्ट है। बस यही देखना है

तब मूल समीकरण इसमें बदल जाता है:

अगर आप भी कल्पना करें कि कैसे, तो यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि क्या बदला जाना चाहिए ...

बेशक, ।

तब मूल समीकरण क्या बनेगा? और यहाँ क्या है:

आप इसकी जड़ों को आसानी से अपने दम पर ढूंढ सकते हैं:।

अब हमें क्या करना चाहिए?

मूल चर पर वापस जाने का समय आ गया है।

मैं क्या बताना भूल गया?

अर्थात्: एक निश्चित डिग्री को एक नए चर के साथ बदलते समय (यानी, एक दृश्य बदलते समय), मुझे इसमें दिलचस्पी होगी केवल सकारात्मक जड़ें!

आप स्वयं आसानी से इसका उत्तर दे सकते हैं कि क्यों।

इस प्रकार, आप और मुझे कोई दिलचस्पी नहीं है, लेकिन दूसरी जड़ हमारे लिए काफी उपयुक्त है:

फिर कहाँ।

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले उदाहरण में, प्रतिस्थापन हमारे हाथ मांग रहा था। दुर्भाग्य से ऐसा हमेशा नहीं होता है।

हालांकि, आइए सीधे उदास पर न जाएं, बल्कि एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें जो काफी सरल प्रतिस्थापन के साथ है

उदाहरण 17 सरल प्रतिस्थापन विधि

यह स्पष्ट है कि सबसे अधिक संभावना है कि इसे बदलना आवश्यक होगा (यह हमारे समीकरण में शामिल सबसे छोटी डिग्री है)।

हालांकि, प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, हमारे समीकरण को इसके लिए "तैयार" किया जाना चाहिए, अर्थात्:।

तब आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप मुझे निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

ओह हॉरर: इसके समाधान के लिए पूरी तरह से खौफनाक फ़ार्मुलों वाला एक घन समीकरण (ठीक है, सामान्य शब्दों में बोलना)।

लेकिन आइए तुरंत निराश न हों, बल्कि सोचें कि क्या करना है।

मैं धोखा देने का प्रस्ताव दूंगा: हम जानते हैं कि "अच्छा" उत्तर पाने के लिए, हमें इसे ट्रिपलेट की कुछ शक्ति के रूप में प्राप्त करने की आवश्यकता है (ऐसा क्यों होगा, एह?)

आइए हमारे समीकरण के कम से कम एक मूल का अनुमान लगाने का प्रयास करें (मैं तीन की शक्तियों के साथ अनुमान लगाना शुरू करूंगा)।

पहली धारणा। यह जड़ नहीं है। काश और आह ...

.
बाईं ओर बराबर है।
दाहिना हिस्सा:!

यहां है! आपने पहली जड़ का अनुमान लगा लिया है। अब चीजें आसान होंगी!

क्या आप "कोने" विभाजन योजना के बारे में जानते हैं? बेशक आप जानते हैं कि आप इसका उपयोग तब करते हैं जब आप एक संख्या को दूसरे से विभाजित करते हैं।

लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि बहुपदों के साथ भी ऐसा ही किया जा सकता है।

एक महान प्रमेय है:

मेरी स्थिति के लिए लागू, यह मुझे बताता है कि किससे विभाज्य है।

विभाजन कैसे किया जाता है? कि कैसे:

मैं देखता हूं कि प्राप्त करने के लिए मुझे कौन-सा एकपदी गुणा करना होगा

यह स्पष्ट है कि तब:

परिणामी व्यंजक को इससे घटाएं, प्राप्त करें:

अब मुझे प्राप्त करने के लिए किससे गुणा करने की आवश्यकता है?

यह स्पष्ट है कि इसके बाद, मुझे मिलेगा:

और फिर से परिणामी व्यंजक को शेष व्यंजक से घटाएँ:

खैर, अंतिम चरण, मैं इससे गुणा करूंगा, और शेष व्यंजक से घटाऊंगा:

हुर्रे, विभाजन समाप्त हो गया है! हमने अकेले में क्या बचाया है?

अपने आप: ।

तब हमें मूल बहुपद का निम्न अपघटन प्राप्त होता है:

आइए दूसरा समीकरण हल करें:

इसकी जड़ें हैं:

फिर मूल समीकरण:

तीन जड़ें हैं:

बेशक, हम अंतिम जड़ को त्याग देंगे, क्योंकि यह शून्य से कम है।

और रिवर्स रिप्लेसमेंट के बाद पहले दो हमें दो जड़ें देंगे:

उत्तर: ..

मैं आपको इस उदाहरण से डराना नहीं चाहता था!

बल्कि, इसके विपरीत, मेरा लक्ष्य यह दिखाना था कि यद्यपि हमारे पास काफी सरल प्रतिस्थापन था, फिर भी इसने एक जटिल समीकरण को जन्म दिया, जिसके समाधान के लिए हमसे कुछ विशेष कौशल की आवश्यकता थी।

खैर, इससे कोई अछूता नहीं है। लेकिन इस मामले में प्रतिस्थापन बहुत स्पष्ट था।

उदाहरण # 18 (कम स्पष्ट प्रतिस्थापन के साथ)

यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि हमें क्या करना चाहिए: समस्या यह है कि हमारे समीकरण में दो अलग-अलग आधार हैं और किसी भी (उचित, स्वाभाविक रूप से) डिग्री को बढ़ाकर एक आधार दूसरे से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

हालाँकि, हम क्या देखते हैं?

दोनों आधार केवल चिन्ह में भिन्न हैं, और उनका गुणनफल एक के बराबर वर्गों का अंतर है:

परिभाषा:

इस प्रकार, संख्याएं जो हमारे उदाहरण में आधार हैं, संयुग्म हैं।

इस मामले में, एक स्मार्ट कदम होगा समीकरण के दोनों पक्षों को संयुग्म संख्या से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, पर, फिर समीकरण का बायां पक्ष बराबर हो जाता है, और दायां पक्ष।

यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो हमारा मूल समीकरण इस प्रकार हो जाएगा:

इसकी जड़ें, तब, और उसे याद करते हुए, हमें वह मिलता है।

उत्तर: , ।

एक नियम के रूप में, प्रतिस्थापन विधि अधिकांश "स्कूल" घातीय समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त है।

जटिलता के बढ़े हुए स्तर के निम्नलिखित कार्य परीक्षा के संस्करणों से लिए गए हैं।

परीक्षा के विकल्पों से बढ़ी जटिलता के तीन कार्य

आप पहले से ही इन उदाहरणों को स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए पर्याप्त रूप से सक्षम हैं। मैं केवल आवश्यक प्रतिस्थापन दूंगा।

1. प्रश्न हल करें:
2. समीकरण की जड़ें खोजें:
3. प्रश्न हल करें:। इस समीकरण के सभी मूल ज्ञात कीजिए जो इस खंड से संबंधित हैं:

और अब, संक्षिप्त स्पष्टीकरण और उत्तर:

उदाहरण संख्या 19

यहां हमारे लिए यह नोट करना पर्याप्त है कि और।

तब मूल समीकरण इसके बराबर होगा:

इस समीकरण को प्रतिस्थापित करके हल किया जाता है

आगे की गणना स्वयं करें।

अंत में, आपका कार्य सरलतम त्रिकोणमितीय (साइन या कोसाइन के आधार पर) को हल करने के लिए कम हो जाएगा। हम अन्य वर्गों में ऐसे उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण संख्या 20

यहां आप बिना प्रतिस्थापन के भी कर सकते हैं ...

यह घटाए गए को दाईं ओर ले जाने के लिए पर्याप्त है और दो की शक्तियों के माध्यम से दोनों आधारों का प्रतिनिधित्व करता है: और फिर सीधे द्विघात समीकरण पर जाएं।

उदाहरण संख्या 21

इसे काफी मानक तरीके से भी हल किया जाता है: कल्पना कीजिए कि कैसे।

फिर, प्रतिस्थापित करने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: तब,

क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक क्या है? नहीं? फिर तत्काल विषय को पढ़ें!

पहली जड़, जाहिर है, खंड से संबंधित नहीं है, और दूसरी समझ से बाहर है!

लेकिन हम बहुत जल्द पता लगा लेंगे!

तब से, (यह लघुगणक की एक संपत्ति है!)

दोनों भागों से घटाएं, तो हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर का प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जा सकता है:

दोनों भागों को इससे गुणा करें:

से गुणा किया जा सकता है, तब

तो चलिए तुलना करते हैं:

तब से:

फिर दूसरी जड़ अभीष्ट अंतराल की है

उत्तर:

जैसा कि आप देख रहे हैं, घातांकीय समीकरणों की जड़ों के चयन के लिए लघुगणक के गुणों के पर्याप्त गहन ज्ञान की आवश्यकता होती हैइसलिए मैं आपको घातांकीय समीकरणों को हल करते समय यथासंभव सावधान रहने की सलाह देता हूं।

जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, गणित में, सब कुछ आपस में जुड़ा हुआ है!

जैसा कि मेरे गणित के शिक्षक कहते थे: "गणित, इतिहास की तरह, आप रातों-रात नहीं पढ़ सकते।"

एक नियम के रूप में, सभी जटिलता के बढ़े हुए स्तर की समस्याओं को हल करने में कठिनाई ठीक समीकरण की जड़ों का चयन है।

प्रशिक्षण के लिए एक और उदाहरण ...

उदाहरण 22

यह स्पष्ट है कि समीकरण ही हल करने के लिए काफी सरल है।

प्रतिस्थापन करके, हम अपने मूल समीकरण को निम्न में घटा देंगे:

सबसे पहले, आइए विचार करें पहली जड़।

तुलना करें और: तब से। (लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की संपत्ति, पर)।

तब यह स्पष्ट होता है कि पहला मूल हमारे अंतराल का भी नहीं है।

अब दूसरी जड़:. यह स्पष्ट है कि (चूंकि पर फ़ंक्शन बढ़ रहा है)।

यह तुलना करना बाकी है और।

तब से, उसी समय से।

इस तरह मैं और के बीच "एक खूंटी चला सकता हूं"।

यह खूंटी एक संख्या है।

पहली अभिव्यक्ति छोटी है और दूसरी बड़ी है।

तब दूसरा व्यंजक पहले से बड़ा होता है और मूल अंतराल का होता है।

उत्तर: ।

समाप्त करने के लिए, आइए एक समीकरण का एक और उदाहरण देखें जहां प्रतिस्थापन काफी गैर-मानक है।

उदाहरण # 23 (गैर-मानक प्रतिस्थापन के साथ समीकरण!)

आइए तुरंत शुरू करें कि आप क्या कर सकते हैं, और क्या - सिद्धांत रूप में, आप कर सकते हैं, लेकिन इसे न करना बेहतर है।

आप कर सकते हैं - तीन, दो और छह की शक्तियों के माध्यम से सब कुछ का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यह कहाँ ले जाता है?

हां, इससे कुछ नहीं होगा: डिग्री का एक हौज, और उनमें से कुछ से छुटकारा पाना काफी मुश्किल होगा।

फिर क्या चाहिए?

आइए ध्यान दें कि एक

और यह हमें क्या देगा?

और तथ्य यह है कि हम इस उदाहरण के समाधान को काफी सरल घातीय समीकरण के समाधान में कम कर सकते हैं!

सबसे पहले, आइए अपने समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

अब हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

यूरेका! अब हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हमें मिलता है:

खैर, अब प्रदर्शन समस्याओं को हल करने की आपकी बारी है, और मैं उन्हें केवल संक्षिप्त टिप्पणियाँ दूंगा ताकि आप भटक न जाएँ! आपको कामयाबी मिले!

उदाहरण संख्या 24

सबसे कठिन!

यहाँ एक प्रतिस्थापन खोजना आसान नहीं है! लेकिन फिर भी, इस उदाहरण का उपयोग करके पूरी तरह से हल किया जा सकता है एक पूर्ण वर्ग का चयन.

इसे हल करने के लिए, यह ध्यान देने योग्य है कि:

फिर यहाँ आपके लिए एक प्रतिस्थापन है:

(कृपया ध्यान दें कि यहां, हमारे प्रतिस्थापन के दौरान, हम नकारात्मक जड़ को नहीं छोड़ सकते !!! और आपको क्यों लगता है?)

अब, उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दो समीकरणों को हल करना होगा:

उन दोनों को "मानक प्रतिस्थापन" द्वारा हल किया जाता है (लेकिन एक उदाहरण में दूसरा!)

उदाहरण संख्या 25

2. ध्यान दें और एक प्रतिस्थापन करें।

उदाहरण संख्या 26

3. संख्या को सहअभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और परिणामी व्यंजक को सरल बनाएं।

उदाहरण संख्या 27

4. भिन्न के अंश और हर को (या, यदि आप चाहें) से विभाजित करें और या को प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण संख्या 28

5. ध्यान दें कि संख्याएँ और संयुग्म हैं।

लघुगणक विधि द्वारा व्यक्त समीकरणों का समाधान। उन्नत स्तर, उच्च स्तर

इसके अलावा, आइए एक और तरीके पर विचार करें - लघुगणक विधि द्वारा घातीय समीकरणों का समाधान.

मैं यह नहीं कह सकता कि इस विधि द्वारा घातीय समीकरणों का समाधान बहुत लोकप्रिय है, लेकिन कुछ मामलों में ही यह हमें हमारे समीकरण के सही समाधान तक ले जाने में सक्षम है।

यह तथाकथित "को हल करने के लिए विशेष रूप से अक्सर प्रयोग किया जाता है" मिश्रित समीकरण": अर्थात् वे जहाँ भिन्न-भिन्न प्रकार के फलन मिलते हैं।

उदाहरण संख्या 29

सामान्य स्थिति में, इसे केवल दोनों पक्षों का लघुगणक (उदाहरण के लिए, आधार द्वारा) लेकर हल किया जा सकता है, जिसमें मूल समीकरण निम्नलिखित में बदल जाता है:

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर एक नज़र डालें:

यह स्पष्ट है कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ODZ के अनुसार, हम केवल इसमें रुचि रखते हैं।

हालाँकि, यह न केवल लघुगणक के ODZ से, बल्कि किसी अन्य कारण से भी अनुसरण करता है।

मुझे लगता है कि आपके लिए यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं होगा कि कौन सा है।

आइए हमारे समीकरण के दोनों पक्षों को आधार पर लॉग करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मूल समीकरण के लघुगणक को शीघ्रता से लेने से हमें सही (और सुंदर!) उत्तर मिला।

आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें।

उदाहरण संख्या 30

यहां भी, चिंता की कोई बात नहीं है: हम आधार द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों को लघुगणक करते हैं, फिर हम प्राप्त करते हैं:

आइए एक प्रतिस्थापन करें:

हालाँकि, हम कुछ याद कर रहे हैं! क्या आपने देखा है कि मैं कहाँ गलत हो गया? आखिर तब:

जो आवश्यकता को पूरा नहीं करता है (सोचें कि यह कहाँ से आया है!)

उत्तर:

नीचे दिए गए घातांकीय समीकरणों के हल को स्वयं लिखने का प्रयास करें:

अब इसके खिलाफ अपना समाधान जांचें:

उदाहरण संख्या 31

आधार पर दोनों पक्षों का लघुगणक, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि:

(प्रतिस्थापन के कारण दूसरी जड़ हमें शोभा नहीं देती)

उदाहरण संख्या 32

लघुगणक आधार:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को निम्न रूप में बदलें:

खोजपूर्ण समीकरण। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

घातीय समीकरण

फॉर्म का समीकरण:

बुलाया सबसे सरल घातीय समीकरण।

शक्ति गुण

समाधान के लिए दृष्टिकोण

• एक ही आधार पर जबरदस्ती
• एक ही घातांक में रूपांतरण
• परिवर्तनीय प्रतिस्थापन
• उपरोक्त में से किसी एक की अभिव्यक्ति और अनुप्रयोग का सरलीकरण।