मान लीजिए कि रेखा बिंदु M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का रूप y-y 1 = . है क (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ पे क - अभी भी अज्ञात गुणांक।

चूंकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, इस बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण (10.6) को पूरा करना चाहिए: y 2 -y 1 = क (एक्स 2-एक्स 1)।

यहाँ से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए पाते हैं क समीकरण (10.6) में, हम बिंदु M 1 और M 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 x 2, y 1 y 2

यदि x 1 = x 2, तो बिंदुओं M 1 (x 1, y I) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर होती है। इसके समीकरण का रूप है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 = y I, तो सरल रेखा के समीकरण को y = y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 भुज अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लें कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a; 0) पर और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0; b) पर काटती है। समीकरण रूप लेगा:
वे।
... इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करते हैं कि कौन से खंड समन्वय अक्षों पर एक सीधी रेखा से काटे जाते हैं.

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

आइए हम दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत है।

एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु M (x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य है: अर्थात्,

ए (एक्स - एक्सओ) + बी (वाई - यो) = 0। (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण .

सदिश n = (A; B), सीधी रेखा के लम्बवत, अभिलम्ब कहलाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को फिर से लिखा जा सकता है कुल्हाड़ी + वू + सी = 0 , (10.9)

जहाँ A और B प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक हैं, C = -Aх о - у о - मुक्त पद। समीकरण (10.9) सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है(अंजीर देखें। 2)।

अंजीर। 1 अंजीर। 2

सीधी रेखा के विहित समीकरण

,

कहां
- उस बिंदु के निर्देशांक जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है, और
दिशा वेक्टर है।

दूसरे क्रम के कर्व्स सर्कल

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या के एक वृत्त का विहित समीकरण आर बिंदु पर केंद्रित
:

विशेष रूप से, यदि हिस्सेदारी का केंद्र मूल के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिसमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग होता है तथा , जिसे foci कहा जाता है, का एक स्थिर मान होता है
foci . के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण, जिसका फॉसी ऑक्स अक्ष पर स्थित है, और फॉसी के बीच में निर्देशांक की उत्पत्ति का रूप है
जी डेए अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई;बी - अर्ध-मामूली अक्ष की लंबाई (चित्र 2)।

अंडाकार पैरामीटर के बीच संबंध
तथा अनुपात द्वारा व्यक्त किया गया:

(4)

विलक्षणता दीर्घवृत्तइंटरफोकल दूरी का अनुपात कहा जाता है2सीप्रमुख धुरी के लिए2ए:

प्रधानाध्यापिका अंडाकार ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएं कहलाती हैं, जो इस अक्ष से कुछ दूरी पर होती हैं। डायरेक्ट्रिक्स समीकरण:
.

यदि दीर्घवृत्त समीकरण में
, तो दीर्घवृत्त की नाभियाँ Oy अक्ष पर होती हैं।

इसलिए,

दो अंक दिए गए एम 1 (एक्स 1, वाई 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2)... हम सरल रेखा के समीकरण को (5) के रूप में लिखते हैं, जहाँ कअभी भी अज्ञात गुणांक:

बिंदु के बाद से एम 2दी गई सीधी रेखा के अंतर्गत आता है, तो इसके निर्देशांक समीकरण (5): को संतुष्ट करते हैं। इसे व्यक्त करने और इसे समीकरण (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं:

अगर इस समीकरण को याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

(6)

उदाहरण।बिंदुओं M 1 (1.2) और M 2 (-2.3) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान. ... अनुपात की संपत्ति का उपयोग करके, और आवश्यक परिवर्तन करते हुए, हम सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं:

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

दो पंक्तियों पर विचार करें एल 1तथा एल 2:

एल 1: , , तथा

एल 2: , ,

φ उनके बीच का कोण है ()। चित्रा 4 दिखाता है:।

यहां से , या

सूत्र (7) का उपयोग करके, सीधी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक को निर्धारित किया जा सकता है। दूसरा कोण है।

उदाहरण... दो सीधी रेखाएँ समीकरण y = 2x + 3 और y = -3x + 2 द्वारा दी गई हैं। इन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान... समीकरणों से यह देखा जा सकता है कि k 1 = 2, और k 2 = -3। इन मानों को सूत्र (7) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

... अत: इन रेखाओं के बीच का कोण बराबर होता है।

दो सीधी रेखाओं की समांतरता और लंबवतता के लिए शर्तें

अगर सीधे एल 1तथा एल 2समानांतर हैं, तो φ=0 तथा टीजीφ = 0... यह सूत्र (7) से इस प्रकार है कि, जहां से कश्मीर 2 = कश्मीर 1... इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के समानांतर होने की शर्त उनके ढलानों की समानता है।

अगर सीधे एल 1तथा एल 2लंबवत हैं, तो = / 2, α 2 = / 2 + α 1. ... इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत होते हैं।

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय। यदि एक बिंदु M (x 0, y 0) दिया जाता है, तो सीधी रेखा Ax + Vy + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है

सबूत। मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) किसी दी गई सीधी रेखा पर बिंदु M से गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

निर्देशांक x 1 और y 1 को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध होता है।

उदाहरण।सीधी रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3x + 7; वाई = 2x + 1।

कश्मीर 1 = -3; के 2 = 2 टीजीजे =; जे = पी / 4।

उदाहरण।दिखाएँ कि सीधी रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, इसलिए सीधी रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण।त्रिभुज A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम भुजा AB का समीकरण ज्ञात करते हैं:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

आवश्यक ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी।

कश्मीर =. फिर वाई =। चूंकि ऊंचाई बिंदु सी से गुजरती है, फिर इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17। कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर गिराए गए लंब की लंबाई से निर्धारित होती है।

यदि रेखा प्रक्षेपण तल के समानांतर है (एच | | पी 1), तो बिंदु से दूरी निर्धारित करने के लिए एसीधे करने के लिए एचबिंदु से लंबवत को कम करना आवश्यक है एक्षैतिज पर एच.

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें, जब सीधी रेखा एक सामान्य स्थिति में होती है। मान लीजिए कि बिंदु से दूरी निर्धारित करना आवश्यक है एमसीधे करने के लिए एसामान्य स्थिति।

निर्धारित करने का कार्य समानांतर रेखाओं के बीच की दूरीपिछले एक के समान हल किया। एक बिंदु को एक सीधी रेखा पर लिया जाता है, एक लंब को उससे दूसरी सीधी रेखा पर उतारा जाता है। लंबवत की लंबाई समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है।

दूसरे क्रम का वक्रवर्तमान कार्टेशियन निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरण द्वारा निर्धारित एक रेखा को कहा जाता है। सामान्य तौर पर, कुल्हाड़ी 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

जहाँ A, B, C, D, E, F वास्तविक संख्याएँ हैं और इनमें से कम से कम एक संख्या A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 है।

वृत्त

मंडल केंद्र- यह समतल C (a, b) के बिंदु से समदूरस्थ तल में बिंदुओं का स्थान है।

वृत्त निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:

जहाँ x, y वृत्त के एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक हैं, R वृत्त की त्रिज्या है।

परिधि समीकरण

1. x, y . के साथ कोई पद नहीं है

2. x 2 और y 2 . पर समान गुणांक

अंडाकार

अंडाकारएक तल में बिन्दुओं का बिन्दुपथ कहलाता है, जिनमें से प्रत्येक की इस तल के दो दिए गए बिन्दुओं से दूरियों का योग फोकस (स्थिर मान) कहलाता है।

विहित दीर्घवृत्त समीकरण:

X और y एक दीर्घवृत्त से संबंधित हैं।

a - दीर्घवृत्त की अर्ध-प्रमुख धुरी

बी - अंडाकार की अर्ध-मामूली धुरी

दीर्घवृत्त में समरूपता OX और OY के 2 अक्ष होते हैं। दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ इसकी कुल्हाड़ियाँ हैं, उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र है। वह अक्ष जिस पर फोकस अवस्थित होता है, कहलाता है फोकल अक्ष... कुल्हाड़ियों के साथ दीर्घवृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त का शीर्ष है।

संपीड़न (खींच) अनुपात: = एस / ए- विलक्षणता (दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता है), यह जितना छोटा होगा, दीर्घवृत्त उतना ही कम फोकल अक्ष के साथ खिंचेगा।

यदि दीर्घवृत्त के केंद्र C (α, β) के केंद्र में नहीं हैं

अतिशयोक्ति

अतिशयोक्तितल में बिंदुओं का बिंदुपथ कहलाता है, दूरियों में अंतर का निरपेक्ष मान, जिनमें से प्रत्येक इस तल के दो दिए गए बिंदुओं में से, जिसे फ़ॉसी कहा जाता है, शून्य के अलावा एक स्थिर मान है।

विहित अतिपरवलय समीकरण

हाइपरबोला में समरूपता के 2 अक्ष होते हैं:

a समरूपता का वास्तविक अर्ध-अक्ष है

बी - समरूपता का काल्पनिक अर्धचालक

हाइपरबोला स्पर्शोन्मुख:

परवलय

परवलयकिसी दिए गए बिंदु F से समदूरस्थ तल में बिंदुओं का बिंदुपथ कहलाता है, जिसे फ़ोकस कहा जाता है और एक दी गई सीधी रेखा, जिसे नियता कहा जाता है।

विहित परवलय समीकरण:

वाई 2 = 2 पीएक्स, जहां पी फोकस से डायरेक्ट्रिक्स (पैराबोला पैरामीटर) की दूरी है

यदि परवलय C (α, β) का शीर्ष, तो परवलय का समीकरण (y-β) 2 = 2p (x-α)

यदि फोकल अक्ष को कोटि अक्ष के रूप में लिया जाता है, तो परवलय समीकरण का रूप लेगा: x 2 = 2qу

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

आप किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

एक समतल पर दो बेमेल सीधी रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- पहले क्रम का बीजीय वक्र: कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, एक सीधी रेखा

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा... समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0,

स्थिरांक के साथ ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है सामान्य

एक सीधी रेखा का समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीतथा साथनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- सीधी रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी ≠ 0- सीधी रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी दिए गए के आधार पर विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा... एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण... एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए (1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान... A = 3 और B = -1 पर, हम सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करें

सी = -1। कुल: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 = 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),फिर एक सीधी रेखा का समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर एक्स 1 एक्स 2तथा एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुलाया ढाल सीधा.

उदाहरण... बिंदु A (1, 2) और B (3, 4) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान... उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बिंदु और ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कुल्हाड़ी + वू + सी = 0प्रपत्र के लिए नेतृत्व करें:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले पैराग्राफ के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक दिशा वेक्टर।

परिभाषा... प्रत्येक शून्येतर सदिश (α 1, α 2)जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

α 1 + α 2 = 0बुलाया एक सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर।

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण... एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें एक दिशा सदिश (1, -1) है और बिंदु A (1, 2) से गुजरती है।

समाधान... आवश्यक सीधी रेखा का समीकरण फॉर्म में मांगा जाएगा: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी / ए = -3, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 के सामान्य समीकरण में, -C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

अक्ष के साथ सीधा ओह,ए बी- अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण... सरल रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।खण्डों में इस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी = 1, ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष कुल्हाड़ी + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें इससे कहते है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का ± चिन्ह चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से सीधी रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

ए φ - अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ इस लंबवत द्वारा बनाया गया कोण ओह।

उदाहरण... सीधी रेखा का एक सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0... विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने के लिए आवश्यक

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

इस रेखा का ढलान के साथ समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा... यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई = के 1 एक्स + बी 1, वाई = के 2 एक्स + बी 2, तो इन रेखाओं के बीच एक न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2... दो सीधी रेखाएँ लंबवत हैं,

अगर के 1 = -1 / के 2 .

प्रमेय.

सीधे कुल्हाड़ी + वू + सी = 0तथा ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0समानांतर हैं जब गुणांक आनुपातिक हैं

1 = , 1 =... अगर भी 1 =, तो सीधी रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन सीधी रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा... बिंदु के माध्यम से रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी।

प्रमेय... यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),सीधी रेखा की दूरी कुल्हाड़ी + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित किया गया है:

सबूत... बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

सीधी रेखा। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमतथा एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1तथा 1 परसमीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

प्रणाली का दूसरा समीकरण दिए गए बिंदु M 0 से लम्बवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

एक दी गई सीधी रेखा। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध होता है।

दो अंक दिए गए एम(एक्स 1 ,पास होना 1) और एन(एक्स 2,आप 2))। आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

चूँकि यह रेखा बिंदु . से होकर गुजरती है एम, तो सूत्र (1.13) के अनुसार इसके समीकरण का रूप है

पास होना – यू 1 = क(एक्स - एक्स 1),

कहां क- अज्ञात ढलान।

इस गुणांक का मान इस शर्त से निर्धारित होता है कि वांछित सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है एन, और इसलिए, इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं (1.13)

यू 2 – यू 1 = क(एक्स 2 – एक्स 1),

यहाँ से आप इस सीधी रेखा का ढाल ज्ञात कर सकते हैं:

,

या रूपांतरण के बाद

(1.14)

सूत्र (1.14) निर्धारित करता है दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एम(एक्स 1, यू 1) और एन(एक्स 2, यू 2).

विशेष मामले में, जब अंक एम(ए, 0), एन(0, बी), ए ¹ 0, बी 0, निर्देशांक अक्षों पर स्थित है, समीकरण (1.14) एक सरल रूप लेता है

समीकरण (1.15)बुलाया खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा, यहां एतथा बीअक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों को निरूपित करें (चित्र 1.6)।

चित्र 1.6

उदाहरण 1.10. बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा की बराबरी करें एम(1, 2) और बी(3, –1).

. (1.14) के अनुसार, मांगी गई रेखा के समीकरण का रूप है

2(यू – 2) = -3(एक्स – 1).

सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने पर, हम अंततः आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं

3एक्स + 2यू – 7 = 0.

उदाहरण 1.11. एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा को समान करें एम(2, 1) और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स+ वाई - 1 = 0, एक्स - वाई+ 2 = 0.

. हम दिए गए समीकरणों को एक साथ हल करके सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं

यदि हम इन समीकरणों को पद दर पदों में जोड़ते हैं, तो हमें 2 . प्राप्त होता है एक्स+ 1 = 0, कहाँ से। पाए गए मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम कोटि का मान ज्ञात करते हैं पास होना:

अब हम बिंदुओं (2, 1) और से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण लिखते हैं:

या ।

इसलिए, या -5 ( यू – 1) = एक्स – 2.

अंत में, हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को रूप में प्राप्त करते हैं एक्स + 5यू – 7 = 0.

उदाहरण 1.12. बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए एम(2,1) और एन(2,3).

सूत्र (1.14) का उपयोग करके, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि दूसरा हर शून्य है। समस्या कथन से यह देखा जा सकता है कि दोनों बिंदुओं के भुजों का मान समान है। अत: मांगी गई रेखा अक्ष के समांतर होती है ओएऔर इसका समीकरण है: एक्स = 2.

टिप्पणी . यदि, सूत्र (1.14) के अनुसार एक सीधी रेखा का समीकरण लिखते समय, हर में से एक शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर करके वांछित समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करने के अन्य तरीकों पर विचार करें।

1. मान लीजिए कि एक शून्येतर सदिश दी गई रेखा पर लंबवत है लीऔर बिंदु एम 0(एक्स 0, यू 0) इस सीधी रेखा पर स्थित है (चित्र 1.7)।

चित्र 1.7

हम निरूपित करते हैं एम(एक्स, यू) रेखा पर एक मनमाना बिंदु ली... वेक्टर और ओर्थोगोनल। इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनैलिटी शर्तों का उपयोग करते हुए, हम या तो प्राप्त करते हैं ए(एक्स – एक्स 0) + बी(यू – यू 0) = 0.

हमें एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त होता है एम 0 वेक्टर के लंबवत। इस वेक्टर को कहा जाता है सामान्य वेक्टर सीधे करने के लिए ली... परिणामी समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

ओह + वू + साथ= 0, जहां साथ = –(एएक्स 0 + द्वारा 0), (1.16),

कहां एतथा वी- सामान्य वेक्टर के निर्देशांक।

आइए पैरामीट्रिक रूप में सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करें।

2. एक समतल पर एक सीधी रेखा को निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जा सकता है: मान लीजिए कि एक शून्येतर सदिश दी गई सीधी रेखा के समानांतर है लीऔर बिंदु एम 0(एक्स 0, यू 0) इस सीधी रेखा पर स्थित है। आइए फिर से एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स, y) एक सीधी रेखा पर (चित्र 1.8)।

चित्र 1.8

वेक्टर और समरेख।

आइए हम इन सदिशों के लिए संरेखता की स्थिति को लिखें: जहां टी- एक मनमाना संख्या जिसे पैरामीटर कहा जाता है। आइए इस समानता को निर्देशांक में लिखें:

इन समीकरणों को कहा जाता है पैरामीट्रिक समीकरण सीधा... हम इन समीकरणों से बाहर करते हैं पैरामीटर टी:

इन समीकरणों को अन्यथा रूप में लिखा जा सकता है

. (1.18)

परिणामी समीकरण कहलाता है सीधी रेखा का विहित समीकरण... वेक्टर कहा जाता है सीधी रेखा की दिशा वेक्टर .

टिप्पणी . यह देखना आसान है कि यदि रेखा का सामान्य सदिश है ली, तो इसका दिशा सदिश एक सदिश हो सकता है, क्योंकि, अर्थात्।

उदाहरण 1.13. बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए एम 0 (1, 1) सीधी रेखा के समानांतर 3 एक्स + 2पास होना– 8 = 0.

समाधान . वेक्टर दी गई और वांछित सीधी रेखाओं का सामान्य वेक्टर है। हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करेंगे एम 0 दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ 3 ( एक्स –1) + 2(पास होना- 1) = 0 या 3 एक्स + 2 वर्ष- 5 = 0. वांछित सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

आइए देखें कि उदाहरणों का उपयोग करते हुए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे बनाया जाता है।

उदाहरण 1।

बिंदुओं A (-3; 9) और B (2; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाइए।

विधि 1 - एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें।

एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है। बिंदु ए और बी के निर्देशांक को सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करना (x = -3 और y = 9 - पहले मामले में, x = 2 और y = -1 - दूसरे में), हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं जिससे हम k और b के मान ज्ञात करते हैं:

पहले और दूसरे समीकरणों को पद से जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं: -10 = 5k, जहां से k = -2। दूसरे समीकरण में k = -2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम b: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3 पाते हैं।

अत: y = -2x + 3 वांछित समीकरण है।

विधि 2 - सरल रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें।

सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का रूप होता है। अंक ए और बी के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सिस्टम मिलता है:

चूंकि अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक है, सिस्टम हल करने योग्य नहीं है। लेकिन आप सभी चरों को एक के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, बी के माध्यम से।

सिस्टम के पहले समीकरण को -1 से गुणा करना और दूसरे के साथ शब्द को जोड़ना:

हमें मिलता है: 5a-10b = 0। इसलिए ए = 2 बी।

परिणामी व्यंजक को दूसरे समीकरण में रखें: 2 · 2b -b + c = 0; 3बी + सी = 0; सी = -3 बी।
a = 2b, c = -3b को समीकरण ax + by + c = 0 में रखें:

2बीएक्स + बाय-3बी = 0. यह दोनों भागों को b से विभाजित करने के लिए बनी हुई है:

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण एक ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में आसानी से कम हो जाता है:

विधि 3 - 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाइए।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण में है:

इस समीकरण में अंक A (-3; 9) और B (2; -1) के निर्देशांक रखें।

(अर्थात, x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

और सरल करें:

जहां से 2x + y-3 = 0.

स्कूल के पाठ्यक्रम में, ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है। लेकिन सबसे आसान तरीका यह है कि दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के लिए सूत्र प्राप्त किया जाए और उसका उपयोग किया जाए।

टिप्पणी।

यदि, दिए गए बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते समय, समीकरण के हरों में से एक

शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित अंश के शून्य के बराबर करके वांछित समीकरण प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 2।

दो बिंदुओं C (5; -2) और D (7; -2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाइए।

समीकरण में 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा, बिंदु C और D के निर्देशांक रखें।