रेखा y = 3x + 2 फलन y = -12x ^ 2 + bx-10 के आलेख की स्पर्श रेखा है। बी खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

समाधान दिखाएं

समाधान

मान लीजिए x_0 फलन y = -12x ^ 2 + bx-10 के ग्राफ पर बिंदु का भुज है, जिससे होकर इस ग्राफ की स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर अवकलज का मान स्पर्शरेखा की प्रवणता के बराबर होता है, अर्थात् y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फलन के दोनों ग्राफ से संबंधित होता है। और स्पर्शरेखा, अर्थात् -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. हमें समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है। \ start (केस) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ अंत (मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0 ^ 2 = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0 = -1, या x_0 = 1। शर्त के अनुसार, स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम होता है, इसलिए x_0 = -1, फिर b = 3 + 24x_0 = -21।

उत्तर

स्थिति

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है (जो तीन सीधी रेखा खंडों से बनी एक टूटी हुई रेखा है)। आकृति का उपयोग करते हुए, F (9) -F (5) की गणना करें, जहां F (x) f (x) के प्रतिअवकलजों में से एक है।

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समाधान

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के अनुसार, अंतर F (9) -F (5), जहां F (x) फ़ंक्शन f (x) के प्रतिअवकलन में से एक है, वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है फलन y = f (x) के ग्राफ द्वारा, सरल रेखाओं द्वारा y = 0 , x = 9 और x = 5 द्वारा। ग्राफ के अनुसार, हम निर्धारित करते हैं कि संकेतित घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब है जिसका आधार 4 और 3 के बराबर है और ऊंचाई 3 है।

इसका क्षेत्रफल है \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10.5।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

स्थिति

चित्र y = f "(x) का ग्राफ दिखाता है - अंतराल (-4; 10) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। फ़ंक्शन f (x) की कमी के अंतराल खोजें। में उत्तर, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई को इंगित करें।

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समाधान

जैसा कि आप जानते हैं, फलन f (x) उन अंतरालों पर घटता है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न f "(x) शून्य से कम होता है। यह ध्यान में रखते हुए कि उनमें से सबसे बड़े की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, तीन ऐसे अंतराल स्वाभाविक रूप से आकृति से अलग होते हैं: (-4; -2); (0; 3); (5; 9)।

उनमें से सबसे बड़े की लंबाई - (5; 9) 4 के बराबर है।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

स्थिति

चित्र y = f "(x) का ग्राफ दिखाता है - अंतराल (-8; 7) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। फ़ंक्शन f (x) से संबंधित अधिकतम बिंदुओं की संख्या पाएं अंतराल [-6; -2]।

समाधान दिखाएं

समाधान

ग्राफ से पता चलता है कि फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न f "(x) संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है (यह ऐसे बिंदुओं पर है जहां अधिकतम होगा) ठीक एक बिंदु पर (-5 और -4 के बीच) अंतराल [-6; -2]। इसलिए, अंतराल पर ठीक एक अधिकतम बिंदु है [-6; -2]।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न 0 है।

समाधान दिखाएं

समाधान

एक बिंदु पर व्युत्पन्न के शून्य की समानता का अर्थ है कि इस बिंदु पर खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा, ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु) होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 5 चरम बिंदु हैं।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

स्थिति

रेखा y = -3x + 4 फलन y = -x ^ 2 + 5x-7 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्श बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

फ़ंक्शन y = -x ^ 2 + 5x-7 के एक मनमाना बिंदु पर सीधी रेखा का ढलान x_0 y "(x_0) के बराबर है। लेकिन y" = - 2x + 5, इसलिए y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. स्थिति में निर्दिष्ट रेखा y = -3x + 4 का कोणीय गुणांक -3 के बराबर है। समानांतर रेखाओं का ढलान समान है। इसलिए, हम x_0 का मान इस प्रकार पाते हैं कि = -2x_0 + 5 = -3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

स्थिति

यह चित्र फलन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है और भुज अक्ष पर अंक -6, -1, 1, 4 अंकित हैं। इनमें से किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे छोटा है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

गणित में मास्टर क्लास

कक्षा 11 . में

इस विषय पर

"डेरिवेटिव फंक्शन

उपयोग के कार्यों में "

गणित शिक्षक

मार्टीनेंको ई.एन.

2017-2018 शैक्षणिक वर्ष

गुरु का उद्देश्य - वर्ग: छात्रों के कौशल का विकासएकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं को हल करने के लिए "कार्य के व्युत्पन्न" विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान का अनुप्रयोग।

कार्य

शैक्षिक:विषय पर छात्रों के ज्ञान को सारांशित और व्यवस्थित करने के लिए

"एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न", इस विषय पर यूएसई समस्याओं के प्रोटोटाइप पर विचार करें, छात्रों को स्वयं समस्याओं को हल करते समय अपने ज्ञान का परीक्षण करने का अवसर प्रदान करें।

विकसित होना: स्मृति, ध्यान, आत्म-सम्मान और आत्म-नियंत्रण कौशल के विकास को बढ़ावा देना; बुनियादी प्रमुख दक्षताओं का गठन (तुलना, जुड़ाव, वस्तुओं का वर्गीकरण, निर्दिष्ट एल्गोरिदम के आधार पर एक शैक्षिक समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त तरीकों का निर्धारण, अनिश्चितता की स्थिति में स्वतंत्र रूप से कार्य करने की क्षमता, उनकी गतिविधियों को नियंत्रित करने और मूल्यांकन करने, खोजने के लिए और उत्पन्न होने वाली कठिनाइयों के कारणों को समाप्त करना)।

शैक्षिक: को बढ़ावा देना:

छात्रों के बीच सीखने के प्रति एक जिम्मेदार दृष्टिकोण का गठन;

गणित में निरंतर रुचि विकसित करना;

गणित का अध्ययन करने के लिए एक सकारात्मक आंतरिक प्रेरणा पैदा करना।

प्रौद्योगिकी: व्यक्तिगत रूप से विभेदित शिक्षा, आईसीटी।

शिक्षण विधियों : मौखिक, दृश्य, व्यावहारिक, समस्याग्रस्त।

काम के रूप: व्यक्तिगत, ललाट, जोड़े में।

पाठ के लिए उपकरण और सामग्री:प्रोजेक्टर, स्क्रीन, पीसी, सिम्युलेटर(परिशिष्ट 1), पाठ के लिए प्रस्तुति(परिशिष्ट 2), व्यक्तिगत रूप से - जोड़े में स्वतंत्र कार्य के लिए विभेदित कार्ड(परिशिष्ट संख्या 3), इंटरनेट साइटों की सूची, व्यक्तिगत रूप से विभेदित गृहकार्य(परिशिष्ट # 4)।

मास्टर क्लास के लिए स्पष्टीकरण।

यह मास्टर क्लास यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी के लिए 11वीं कक्षा में आयोजित की जाती है। परीक्षा की समस्याओं को हल करने में "फ़ंक्शन का व्युत्पन्न" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री के अनुप्रयोग का लक्ष्य।

मास्टर क्लास की अवधि- 20 मिनट।

मास्टर वर्ग संरचना

I. संगठनात्मक क्षण -1 मिनट।

II विषय का संचार, मास्टर वर्ग के लक्ष्य, शैक्षिक गतिविधियों की प्रेरणा - 1 मिनट।

III. सामने का काम। प्रशिक्षण "कार्य संख्या 14 आधार, एकीकृत राज्य परीक्षा की संख्या 7 प्रोफाइल"। सिम्युलेटर के साथ काम का विश्लेषण - 7 मिनट।

IV.व्यक्तिगत रूप से - जोड़े में विभेदित कार्य। समस्याओं का स्वतंत्र समाधान संख्या 12. (प्रोफाइल) आपसी जाँच - 9 मिनट। ऑन लाइन परीक्षण (आधार) परीक्षा परिणामों का विश्लेषण - 8 मिनट

V. व्यक्तिगत गृहकार्य की जाँच करना। -1 मिनट।

वी.आई. व्यक्तिगत रूप से - विभेदित गृहकार्य -1 मिनट।

vii. नियंत्रण परीक्षण 20 मिनट (4 विकल्प)

मास्टर वर्ग की प्रगति

मैं समय का आयोजन।

द्वितीय विषय का संचार, मास्टर-क्लास के लक्ष्य, शैक्षिक गतिविधियों की प्रेरणा।

(स्लाइड 1-2, परिशिष्ट # 2)

हमारे पाठ का विषय "परीक्षा के कार्यों में एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न" है। हर कोई "छोटा स्पूल लेकिन प्रिय" कहावत जानता है। गणित में ऐसे "स्पूल" में से एक व्युत्पन्न है। व्युत्पन्न का उपयोग गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और अन्य विषयों में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है। यह आपको समस्याओं को आसानी से, खूबसूरती से और दिलचस्प तरीके से हल करने की अनुमति देता है।

"व्युत्पन्न" विषय को बुनियादी स्तर के कार्य संख्या 14 में और प्रोफ़ाइल स्तर संख्या 7,12, 18 और एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्यों में प्रस्तुत किया गया है।

आपने गणित 2018 में एकीकृत राज्य परीक्षा की नियंत्रण माप सामग्री की संरचना और सामग्री को विनियमित करने वाले दस्तावेजों के साथ काम किया। "व्युत्पन्न" विषय पर यूएसई समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आपको किस ज्ञान और कौशल की आवश्यकता है, इसके बारे में निष्कर्ष निकालें।

(स्लाइड्स 3-4, परिशिष्ट # 2)

क्या आपने सीखा "एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए नियंत्रण माप सामग्री की तैयारी के लिए गणित में सामग्री के तत्वों का कोडिफायर",

"स्नातकों के प्रशिक्षण के स्तर के लिए आवश्यकताओं का कोडिफायर", "नियंत्रण माप सामग्री की विशिष्टता", "एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की नियंत्रण माप सामग्री का प्रदर्शन संस्करण" औरपता चला "व्युत्पन्न" विषय पर समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के बारे में क्या ज्ञान और कौशल की आवश्यकता है।

ज़रूरी

• जानना

व्युत्पन्न गणना नियम;

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न;

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ;
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण;
व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अध्ययन।

• करने में सक्षम हों

कार्यों के साथ कार्य करें (ग्राफ के अनुसार किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करें, इसके उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करें)।

• उपयोग

अभ्यास और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल हासिल किया।

आपको व्युत्पन्न विषय का सैद्धांतिक ज्ञान है। आज हम करेंगेउपयोग की समस्याओं को हल करने के लिए व्युत्पन्न कार्य के बारे में ज्ञान लागू करना सीखें।(स्लाइड 4, परिशिष्ट संख्या 2)

यह व्यर्थ नहीं है अरस्तु ने कहा था कि"मन केवल ज्ञान में नहीं है, बल्कि अभ्यास में ज्ञान को लागू करने की क्षमता में भी है"(स्लाइड 5, परिशिष्ट संख्या 2)

पाठ के अंत में, हम अपने पाठ के लक्ष्य पर लौटेंगे और पता लगाएंगे कि क्या हमने इसे हासिल कर लिया है?

तृतीय ... सामने का काम।प्रशिक्षण "कार्य संख्या 14 आधार संख्या 7 एकीकृत राज्य परीक्षा का प्रोफाइल" (परिशिष्ट संख्या 1)। सिम्युलेटर के साथ काम का विश्लेषण।

सुझाए गए चार में से सही उत्तर चुनें।

आपकी राय में, कार्य # 7 को पूरा करने में क्या कठिनाई है?

आपको क्या लगता है, इस समस्या को हल करते समय स्नातक परीक्षा में कौन सी सामान्य गलतियाँ करते हैं?

कार्य संख्या 14 आधार और संख्या 7 प्रोफाइल के प्रश्नों का उत्तर देते समय, आपको व्युत्पन्न के ग्राफ से और फ़ंक्शन के ग्राफ़ से फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए - व्यवहार और गुण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। और इसके लिए निम्नलिखित विषयों पर अच्छे सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता है: "व्युत्पन्न का ज्यामितीय और यांत्रिक अर्थ। फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा। कार्यों के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग ”।

विश्लेषण करें कि किन कार्यों के कारण आपको कठिनाई हुई?

आपको कौन से सैद्धांतिक प्रश्न जानने की आवश्यकता है?

चतुर्थ। n - असाइनमेंट पर लाइन परीक्षण 14 (आधार)परीक्षण के परिणामों का विश्लेषण।

पाठ में परीक्षण के लिए साइट:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

किसने गलतियाँ नहीं की हैं?

परीक्षण में कठिनाई का अनुभव किसने किया? क्यों?

किन कार्यों में की गई गलतियाँ?

समाप्त करें, आपको किन सैद्धांतिक प्रश्नों को जानने की आवश्यकता है?

व्यक्तिगत रूप से - जोड़े में विभेदित कार्य। समस्याओं का स्वतंत्र समाधान 12. (प्रोफ़ाइल)आपसी सत्यापन।(परिशिष्ट # 3)

चरम बिंदुओं को खोजने के लिए परीक्षा के 12 की समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम याद रखें, एक फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा, व्युत्पन्न का उपयोग करके अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

व्युत्पन्न के साथ समस्याओं को हल करें

छात्रों को हो रही है परेशानी :

"सोचो, क्या व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना कुछ समस्याओं # 12 को अलग तरीके से हल करना संभव है?"

1 जोड़ी

2 जोड़ी

3 जोड़ी

4 जोड़ी

(छात्र चॉकबोर्ड पर समस्याओं को हल करने के मुख्य चरणों को लिखकर अपने समाधान का बचाव करते हैं। छात्र समस्या को हल करने के दो तरीके प्रदान करते हैं # 2)।

एक समस्या का समाधान। छात्रों के लिए निष्कर्ष:

"किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए परीक्षा की कुछ समस्याएं नंबर 12 को व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, फ़ंक्शन के गुणों पर निर्भर करता है।"

विश्लेषण करें कि आपने कार्य में क्या गलती की?

आपको किन सैद्धांतिक प्रश्नों को दोहराने की आवश्यकता है?

V. व्यक्तिगत गृहकार्य की जाँच करना। (स्लाइड्स 7-8, परिशिष्ट संख्या 2)

वेगेलमैन वी। को व्यक्तिगत होमवर्क दिया गया था: परीक्षा संख्या 18 की तैयारी के लिए नियमावली से।

(छात्र समस्या का समाधान देता है, कार्यात्मक-ग्राफिक विधि पर भरोसा करता है, परीक्षा की समस्या संख्या 18 को हल करने के तरीकों में से एक के रूप में और इस पद्धति का संक्षिप्त विवरण देता है)।

vii. व्यक्तिगत रूप से - विभेदित गृहकार्य

(स्लाइड 9, परिशिष्ट संख्या 2), (परिशिष्ट # 4)।

मैंने परीक्षा की तैयारी के लिए इंटरनेट साइटों की एक सूची तैयार की है। आप इन साइटों पर ऑनलाइन परीक्षण भी कर सकते हैं। अगले पाठ के लिए, आपको चाहिए: 1) "फ़ंक्शन का व्युत्पन्न" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री की समीक्षा करें;

2) साइट पर "गणित में कार्यों का खुला बैंक" (http://mathege.ru/ ) कार्य संख्या 14 आधार और संख्या 7 और 12 प्रोफाइल के प्रोटोटाइप खोजें और कम से कम 10 समस्याओं को हल करें;

3) वी. वेगेलमैन, मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करें (परिशिष्ट 4)। कार्य 1-8 (विकल्प 1)।का एक बुनियादी स्तर

आठवीं। सबक ग्रेड।

आप अपने आप को एक पाठ के लिए कैसे आंकेंगे?

क्या आपको लगता है कि आप पाठ में बेहतर कर सकते थे?

IX. सबक सारांश। प्रतिबिंब

आइए हमारे काम को सारांशित करें। पाठ का उद्देश्य क्या था? क्या आपको लगता है कि यह हासिल किया गया है?

बोर्ड को देखें और एक वाक्य में, वाक्यांश की शुरुआत चुनते हुए, उस वाक्य के साथ जारी रखें जो आपको सबसे अच्छा लगता है।

मुझे लगा…

मैंने सीखा…

मैने संभाल लिया …

मैं कर सका ...

मै कोशिश करुॅगा …

मुझे आश्चर्य हुआ कि …

मैं चाहता था…

क्या आप कह सकते हैं कि पाठ के दौरान आपके ज्ञान के भंडार में वृद्धि हुई थी?

तो, आपने फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बारे में सैद्धांतिक प्रश्नों को दोहराया, USE कार्यों के प्रोटोटाइप को हल करने में अपने ज्ञान को लागू किया (नंबर 14 बेसिक लेवल नंबर 7,12 प्रोफाइल लेवल), और वी। वेगेलमैन ने टास्क नंबर 18 को पूरा किया। एक पैरामीटर के साथ, जो एक बढ़ी हुई डिग्री कठिनाइयों का कार्य है।

आपके साथ काम करना मेरे लिए खुशी की बात थी, और मुझे आशा है कि आप न केवल यूनिफाइड स्टेट परीक्षा पास करते समय, बल्कि अपनी आगे की पढ़ाई में भी गणित के पाठों में प्राप्त ज्ञान को सफलतापूर्वक लागू करने में सक्षम होंगे।

मैं एक इतालवी दार्शनिक के शब्दों के साथ पाठ समाप्त करना चाहूंगाथॉमस एक्विनास"ज्ञान इतनी कीमती चीज है कि इसे किसी भी स्रोत से प्राप्त करना शर्मनाक नहीं है।"(स्लाइड 10, परिशिष्ट # 2)।

मैं आपको परीक्षा की तैयारी में सफलता की कामना करता हूं!

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स्लाइड कैप्शन:

परीक्षा की तैयारी "व्युत्पन्न" विषय पर सिमुलेटर कार्य संख्या 14 मूल स्तर, संख्या 7, 12 प्रोफ़ाइल स्तर

f (x) f / (x) x यह आंकड़ा अंतराल (- 8; 8) पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन y = f (x) के व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। आइए ग्राफ के गुणों का पता लगाएं और हम फ़ंक्शन के गुणों के बारे में कई सवालों के जवाब देने में सक्षम होंगे, हालांकि फ़ंक्शन का ग्राफ स्वयं प्रस्तुत नहीं किया गया है! वाई = एफ / (एक्स) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 अंक खोजें जहाँ f / (x) = 0 (ये फलन के शून्यक हैं)। + - - + +

सत्रीय कार्य संख्या 14 गणित का बुनियादी स्तर

चित्र में फलन y = f (x) का ग्राफ दिखाया गया है और ऑक्स अक्ष पर बिंदु A, B, C और D अंकित हैं। ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, प्रत्येक बिंदु को फ़ंक्शन की विशेषताओं और उसके व्युत्पन्न को असाइन करें। एबीसीडी 1) बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ऋणात्मक है, और बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान सकारात्मक है 2) बिंदु पर फ़ंक्शन का मान सकारात्मक है, और फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान बिंदु पर ऋणात्मक है 3) बिंदु पर फलन का मान ऋणात्मक है, और बिंदु पर फलन के अवकलज का मान ऋणात्मक है 4) बिंदु पर फलन का मान धनात्मक है, और का मान बिंदु पर फलन का अवकलज धनात्मक होता है

1 आकृति फलन y = f (x) का ग्राफ दिखाती है और ऑक्स अक्ष पर अंक A, B, C और D अंकित करती है। ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, प्रत्येक बिंदु को फ़ंक्शन की विशेषताओं और उसके व्युत्पन्न को असाइन करें। 1) बिंदु पर फ़ंक्शन का मान सकारात्मक है, और बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है 2) बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ऋणात्मक है, और फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान बिंदु ऋणात्मक है 3) बिंदु पर फलन का मान धनात्मक है, और बिंदु पर फलन के अवकलज का मान धनात्मक है 4) बिंदु पर फलन का मान ऋणात्मक है, और अवकलज का मान बिंदु पर फलन का मान धनात्मक ABCD है

यह आंकड़ा फंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। अंक ए, बी, सी, डी, और ई ऑक्स अक्ष पर अंतराल को परिभाषित करते हैं। ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, प्रत्येक अंतराल को फ़ंक्शन की विशेषता या उसके व्युत्पन्न को असाइन करें। ए) (ए; बी) बी) (बी; सी) सी) (सी; डी) डी) (डी; ई) 1) फ़ंक्शन के मान अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक हैं 2) मान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर ऋणात्मक होते हैं 3) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मान अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक होते हैं 4) फ़ंक्शन के मान अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर नकारात्मक होते हैं

यह आंकड़ा फंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। संख्याएं ए, बी, सी, डी और ई ऑक्स अक्ष पर अंतराल को परिभाषित करती हैं। ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, प्रत्येक अंतराल को फ़ंक्शन की विशेषता या उसके व्युत्पन्न को असाइन करें। ए) (ए; बी) बी) (बी; सी) सी) (सी; डी) डी) (डी; ई) 1) फ़ंक्शन के मान अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक हैं 2) मान फ़ंक्शन के अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर ऋणात्मक होते हैं 3) व्युत्पन्न कार्यों के मान अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर ऋणात्मक होते हैं 4) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक होते हैं

आकृति ए, बी, सी और डी एब्सिसास वाले बिंदुओं पर एक फ़ंक्शन और उस पर खींची गई स्पर्शरेखा का एक ग्राफ दिखाती है। ए बी सी डी 1) - 1.5 2) 0.5 3) 2 4) - 0.3

आकृति ए, बी, सी और डी एब्सिसास वाले बिंदुओं पर एक फ़ंक्शन और उस पर खींची गई स्पर्शरेखा का एक ग्राफ दिखाती है। ए बी सी डी 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

सत्रीय कार्य संख्या 7 गणित प्रोफ़ाइल स्तर

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के लिए समस्याएं

1) यह आंकड़ा फलन y = f (x) का ग्राफ और भुज x 0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है। बिंदु x 0 पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। -2 -0.5 2 0.5 सोचो! सोचना! सही! सोचना! x 0 व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: k = tg α बैल अक्ष के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण अधिक है, इसलिए k

5 11 8 2) सतत फलन y = f (x) अंतराल (-6; 7) पर सेट है। आंकड़ा उसका ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा सीधी रेखा y = 6 के समानांतर होती है। y = f (x) y x 3 की जाँच करना सोचो! सोचना! सोचना! सही! - 6 7 y = 6. ब्रेकपॉइंट। व्युत्पन्न इस बिंदु पर मौजूद नहीं है! -4 3 5 1, 5

किसी फ़ंक्शन की विशेषताओं को उसके व्युत्पन्न के ग्राफ़ से निर्धारित करने के लिए कार्य

3) यह आंकड़ा अंतराल (- 6; 8) पर दिए गए फ़ंक्शन y = f / (x) के व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। एक्सट्रीम के लिए फंक्शन y = f (x) की जांच करें और इसके एक्सट्रीम पॉइंट्स की संख्या बताएं। 2 1 4 5 गलत! सच नहीं! सही! सच नहीं! चेक (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + न्यूनतम अधिकतम

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) यह आंकड़ा अंतराल [-5; 5] में निर्दिष्ट फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। एकरसता के लिए फलन का परीक्षण करें और सबसे बड़ा अधिकतम बिंदु इंगित करें। 3 2 4 5 सोचो! सोचना! सही! सोचना! y = f / (x) + + + - - - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 अधिकतम दो बिंदुओं में से सबसे बड़ा x अधिकतम = 3 अधिकतम अधिकतम आप

7) यह आंकड़ा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। इस फलन के बढ़ते अंतराल की लंबाई ज्ञात कीजिए। चेक ओ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 सोचो! + सोचो! अधिकार! सोच! वाई एक्स 3 वाई = एफ / (एक्स)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) यह आंकड़ा अंतराल [-5; 5] में सेट किए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। एकरसता के लिए फलन y = f (x) का परीक्षण कीजिए और ह्रास के अंतरालों की संख्या बताइए। 3 2 4 1 सोचो! सोचना! सही! सोचना! वाई = एफ / (एक्स) एफ (एक्स) -4 -2 0 4 एफ / (एक्स) - + - + - + + - - - वाई

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ व्युत्पन्न की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए कार्य।

यह आंकड़ा अवकलनीय फलन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। भुज पर नौ बिंदु अंकित हैं: x 1, x 2, ..., x 9. उन सभी चिह्नित बिंदुओं को खोजें जिन पर फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है। उत्तर में, इन बिंदुओं की संख्या बताएं।

यह आंकड़ा अंतराल (ए; बी) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है। ए) बी) अपने लिए तय करें! समाधान। अगर यह बढ़ता है। के लिए संपूर्ण समाधान: x = -2; एक्स = -1; एक्स = 5; एक्स = 6. उनकी संख्या 4 है। इसके लिए संपूर्ण समाधान: x = 2; एक्स = 3; एक्स = 4; एक्स = 10; एक्स = 11. इनकी संख्या 5 है। उत्तर : 4. उत्तर : 5.

व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ के लिए समस्याएं

उत्तर: 3 उत्तर: 14

सत्रीय कार्य संख्या 12 गणित प्रोफ़ाइल स्तर

जोड़े में स्वतंत्र कार्य कार्य संख्या 12 प्रोफ़ाइल स्तर

पूर्वावलोकन:

परिशिष्ट 3 व्यक्तिगत कार्ड संख्या 12

1. फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु खोजें1 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें

2. फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु खोजें2फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें

लिनिक डी. वोवनेंको आई

1. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें1. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करेंखंड पर

खंड पर

वेगेलमैन वी.

ए।

1. फलन का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए1. फलन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए

2. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें2. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करेंखंड पर

खंड पर

लियोन्टीवा ए। इसेंको के।

आउट-ऑफ-ऑडिट अभ्यास 2

फ़ंक्शन ग्राफ़ कनवर्ट करें।

लक्ष्य

विभिन्न परिवर्तनों का उपयोग करके कार्यों के रेखांकन बनाएं, समस्या के प्रश्न का उत्तर दें।

कार्य पूर्ण करना

विधिवत निर्देश

काम 10 वेरिएंट के लिए डिज़ाइन किया गया है, वेरिएंट नंबर सूची में सीरियल नंबर के अंतिम अंक के साथ मेल खाता है। उदाहरण के लिए, 1, 11, 21, 31 ... 1 विकल्प, 2,12, 22 ... - 2 विकल्प, आदि करें।

कार्य में दो भाग होते हैं: कार्य का पहला भाग 1 - 5, ये ऐसे कार्य हैं जिन्हें क्रेडिट प्राप्त करने के लिए पूरा किया जाना चाहिए, यदि इन कार्यों को एक त्रुटि के साथ पूरा किया जाता है, तो उन्हें ठीक किया जाना चाहिए और कार्य प्रस्तुत किया जाना चाहिए फिर से सत्यापन के लिए। दूसरे भाग में कार्य शामिल हैं, जिन्हें पूरा करके आप एक अतिरिक्त ग्रेड अर्जित कर सकते हैं: मुख्य भाग +2 कार्य - "4", मुख्य भाग +3 कार्य - "5"।

कार्य 1. एक रेखीय फलन का आलेख एक सीधी रेखा है, इसे आलेखित करने के लिए दो बिंदु पर्याप्त हैं। (हम तर्क x के मान मनमाने ढंग से लेते हैं, और फ़ंक्शन y का मान, हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करके गिनते हैं)।

यह जांचने के लिए कि क्या फ़ंक्शन का ग्राफ निर्दिष्ट बिंदु से गुजरता है, आपको x और y के बजाय बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, यदि आपको सही समानता मिलती है, तो सीधी रेखा निर्दिष्ट बिंदु से गुजरती है, अन्यथा यह नहीं है .

कार्य 2, 3, 4। निर्दिष्ट कार्यों के रेखांकन कार्यों के रेखांकन से प्राप्त होते हैं , एक्स या वाई अक्ष के साथ एक बदलाव का उपयोग करना।

, पहले हम फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं या , फिर इसे "ए" इकाइयों द्वारा दाएं या बाएं (+ ए - बाएं, - और दाएं) में स्थानांतरित करें, फिर इसे "बी" इकाइयों द्वारा ऊपर या नीचे स्थानांतरित करें (+ बी - अप, -बी - डाउन )

इसी तरह अन्य कार्यों के साथ:

टास्क 5 एक फंक्शन ग्राफ तैयार करने के लिए: , आपको यह करने की आवश्यकता है: 1) फ़ंक्शन को प्लॉट करें , 2) ग्राफ़ के उस भाग को छोड़ दें जो x-अक्ष से ऊपर है, 3) ग्राफ़ के उस भाग को प्रतिबिंबित करता है जो x-अक्ष के नीचे है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

अनिवार्य हिस्सा

कार्य 1. एक रेखीय फलन का आलेख आलेखित करें, निर्धारित करें कि क्या फलन का आलेख निर्दिष्ट बिंदु से गुजरता है:

कार्य 2. द्विघात फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट करें, इस फ़ंक्शन के लिए मानों का सेट निर्दिष्ट करें।

कार्य 3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं, निर्धारित करें कि निर्दिष्ट फ़ंक्शन बढ़ता है या घटता है।

कार्य 4. फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं, समस्या के प्रश्न का उत्तर दें।

कार्य 5. मापांक चिह्न वाले फलन का आलेख आलेखित करें।

अतिरिक्त मूल्यांकन के लिए कार्य।

टास्क 6. दिए गए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्लॉट करें, निर्धारित करें कि क्या इस फ़ंक्शन के लिए कोई ब्रेक पॉइंट है:

कार्य 7. निर्धारित करें कि समीकरणों की प्रणाली के कितने समाधान हैं, इसका उत्तर औचित्य देना है। प्रश्नों के उत्तर देकर निष्कर्ष निकालें।

इस कार्य में आपने कौन से कार्य निर्धारित किए हैं?

एक रेखीय फलन के ग्राफ का नाम क्या है?

द्विघात फलन के ग्राफ का नाम क्या है?

आप कौन से ग्राफ रूपांतरण जानते हैं?

किसी सम फलन का आलेख निर्देशांक तंत्र में किस प्रकार स्थित होता है? विषम कार्य ग्राफ?

किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन $ y = f (x) $ का व्युत्पन्न $ x_0 $ फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा इसके तर्क के संबंधित वृद्धि के लिए है, बशर्ते कि बाद वाला शून्य हो:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

विभेदीकरण एक व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है।

कुछ प्राथमिक कार्यों की व्युत्पन्न तालिका

समारोह	यौगिक
$ सी $	$0$
$ x $	$1$
$ एक्स ^ एन $	$ एनएक्स ^ (एन -1) $
$ (1) / (एक्स) $	$ - (1) / (एक्स ^ 2) $
$ x $	$ (1) / (2√x) $
$ ई ^ एक्स $	$ ई ^ एक्स $
$ एलएनएक्स $	$ (1) / (एक्स) $
$ sinx $	$cosx $
$cosx $	$ -sinx $
$ टीजीएक्स $	$ (1) / (क्योंकि ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (पाप ^ 2x) $

भेदभाव के लिए बुनियादी नियम

1. योग का व्युत्पन्न (अंतर) डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है

$ (एफ (एक्स) ± जी (एक्स)) "= एफ" (एक्स) ± जी "(एक्स) $

फलन का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

योग (अंतर) का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है।

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. कार्य का व्युत्पन्न

$ (एफ (एक्स) जी (एक्स)) "= एफ" (एक्स) जी (एक्स) + एफ (एक्स) जी (एक्स) "$

व्युत्पन्न $ f (x) = 4x cosx $ . खोजें

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. भागफल का व्युत्पन्न

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

व्युत्पन्न $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $ . खोजें

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 ई ^ एक्स) / ((ई ^ एक्स) ^ 2) $

4. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न द्वारा बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है

$ एफ (जी (एक्स)) "= एफ" (जी (एक्स)) जी "(एक्स) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

यदि कोई भौतिक बिंदु सीधा चलता है और उसका समन्वय समय के आधार पर कानून $ x (t) $ के अनुसार बदलता है, तो इस बिंदु की तात्कालिक गति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होती है।

बिंदु $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $ के कानून के अनुसार समन्वय रेखा के साथ चलता है, जहां $ x (t) $ समय $ t $ पर समन्वय होता है। किस समय बिंदु की गति $12$ के बराबर होगी?

1. वेग $ x (t) $ का व्युत्पन्न है, इसलिए हम दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं

$ वी (टी) = एक्स "(टी) = 1.5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. यह पता लगाने के लिए कि किस समय $ t $ गति $ 12 $ के बराबर थी, समीकरण लिखें और हल करें:

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

याद कीजिए कि एक सीधी रेखा का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर नहीं है, $ y = kx + b $ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $ k $ सीधी रेखा का ढलान है। गुणांक $ k $ सीधी रेखा और $ ऑक्स $ अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $ f (x) $ बिंदु पर $ x_0 $ इस बिंदु पर ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान $ k $ के बराबर है:

इसलिए, हम एक सामान्य समानता तैयार कर सकते हैं:

$ f "(x_0) = k = tgα $

आकृति में, फ़ंक्शन $ f (x) $ की स्पर्शरेखा बढ़ जाती है, इसलिए, गुणांक $ k> 0 $। चूंकि $ k> 0 $, फिर $ f "(x_0) = tgα> 0 $। स्पर्शरेखा और सकारात्मक दिशा $ ऑक्स $ के बीच कोण $ α $ न्यून है।

आकृति में, फ़ंक्शन $ f (x) $ की स्पर्शरेखा घट जाती है; इसलिए, गुणांक $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

आकृति में, फ़ंक्शन $ f (x) $ की स्पर्शरेखा $ ऑक्स $ अक्ष के समानांतर है, इसलिए, गुणांक $ k = 0 $, इसलिए, $ f "(x_0) = tan α = 0 $। बिंदु $ x_0 $ जिस पर $ f "(x_0) = 0 $, कहा जाता है चरम.

यह आंकड़ा फ़ंक्शन $ y = f (x) $ का ग्राफ और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को दिखाता है, जो बिंदु पर एब्सिसा $ x_0 $ के साथ खींचा जाता है। फ़ंक्शन $ f (x) $ के व्युत्पन्न का मान $ x_0 $ पर ज्ञात करें।

ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बढ़ जाती है, इसलिए $ f "(x_0) = tg α> 0 $

$ f "(x_0) $ को खोजने के लिए, $ox $ अक्ष की स्पर्शरेखा और धनात्मक दिशा के बीच झुकाव कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, त्रिभुज $ ABC $ में स्पर्शरेखा जोड़ें।

कोण $BAC $ की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए। (एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात है।)

$ टीजी बीएसी = (बीसी) / (एसी) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0.25 $

$ f "(x_0) = टीजी बीएसी = 0.25 $

उत्तर: $ 0.25

व्युत्पन्न का उपयोग बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल को खोजने के लिए भी किया जाता है:

यदि अंतराल में $ f "(x)> 0 $, तो इस अंतराल में फलन $ f (x) $ बढ़ जाता है।

अगर $ एफ "(एक्स)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

यह आंकड़ा फ़ंक्शन $ y = f (x) $ का ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं में से $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ खोजें, जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।

उत्तर में दिए गए अंकों की संख्या लिखिए।

बुनियादी स्तर के गणित में यूएसई के कार्य संख्या 13 में, आपको किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की अवधारणाओं में से एक के कौशल और ज्ञान का प्रदर्शन करना होगा: एक बिंदु पर डेरिवेटिव या वृद्धि या कमी की दर। इस कार्य में सिद्धांत को थोड़ी देर बाद जोड़ा जाएगा, लेकिन यह हमें कई विशिष्ट विकल्पों का विस्तार से विश्लेषण करने से नहीं रोकता है।

बुनियादी स्तर के गणित में यूएसई के कार्यों संख्या 14 के लिए विशिष्ट विकल्पों का विश्लेषण

विकल्प 14MB1

ग्राफ एक यात्री कार के इंजन को गर्म करने के दौरान समय पर तापमान की निर्भरता को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष इंजन की शुरुआत के बाद से बीता हुआ मिनटों में समय दिखाता है; ऊर्ध्वाधर अक्ष डिग्री सेल्सियस में इंजन का तापमान है।

ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, प्रत्येक समय अंतराल को इस अंतराल में इंजन वार्मिंग प्रक्रिया की विशेषता निर्दिष्ट करें।

तालिका में, प्रत्येक अक्षर के नीचे, संबंधित संख्या को इंगित करें।

निष्पादन एल्गोरिदम:

1. उस समय अंतराल का चयन करें जिसके दौरान तापमान गिरा।
2. एक रूलर को 30 डिग्री सेल्सियस पर लागू करें और उस समय अंतराल को निर्धारित करें जिसके दौरान तापमान 30 डिग्री सेल्सियस से नीचे था।

समाधान:

आइए हम उस समय अंतराल को चुनें जिसके दौरान तापमान में गिरावट आई है। यह क्षेत्र नग्न आंखों से दिखाई देता है, यह इंजन चालू होने के 8 मिनट बाद शुरू होता है।

एक रूलर को 30 डिग्री सेल्सियस पर लागू करें और उस समय अंतराल को निर्धारित करें जिस पर तापमान 30 डिग्री सेल्सियस से नीचे था।

रूलर के नीचे 0 - 1 मिनट के समय अंतराल के अनुरूप एक खंड होगा।

एक पेंसिल और एक शासक का उपयोग करके, हम पाएंगे कि तापमान किस समय अंतराल में 40 ° से 80 ° के बीच था।

आइए हम 40 ° और 80 ° С से संबंधित बिंदुओं से लंबों को ग्राफ पर छोड़ दें, और प्राप्त बिंदुओं से हम समय अक्ष के लंबवत को छोड़ देंगे।

हम देखते हैं कि यह तापमान अंतराल 3 - 6.5 मिनट के समय अंतराल से मेल खाता है। यानी 3 - 6 मिनट की स्थिति में दिए गए से।

लुप्त उत्तर का चयन करने के लिए हम विलोपन विधि का उपयोग करते हैं।

विकल्प 14MB2

समाधान:

आइए फ़ंक्शन ए के ग्राफ का विश्लेषण करें। यदि फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक है और इसके विपरीत। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न चरम बिंदुओं पर शून्य के बराबर है।

सबसे पहले, फ़ंक्शन A बढ़ता है, अर्थात। व्युत्पन्न सकारात्मक है। यह व्युत्पन्न 2 और 3 के ग्राफ़ के अनुरूप है। फ़ंक्शन x = -2 के अधिकतम बिंदु पर, यानी इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य होना चाहिए। यह शर्त ग्राफ संख्या 3 से पूरी होती है।

सबसे पहले, फ़ंक्शन B घटता है, अर्थात। व्युत्पन्न ऋणात्मक है। यह व्युत्पन्न 1 और 4 के ग्राफ़ के अनुरूप है। फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु x = -2 है, अर्थात इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए। यह शर्त ग्राफ संख्या 4 से पूरी होती है।

सबसे पहले, फ़ंक्शन B बढ़ता है, अर्थात। व्युत्पन्न सकारात्मक है। यह व्युत्पन्न 2 और 3 के ग्राफ़ के अनुरूप है। फ़ंक्शन x = 1 का अधिकतम बिंदु, यानी इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए। यह शर्त ग्राफ संख्या 2 से पूरी होती है।

उन्मूलन की विधि से, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ नंबर 1 पर व्युत्पन्न के ग्राफ से मेल खाता है।

उत्तर: 3421।

विकल्प 14MB3

प्रत्येक कार्य के लिए निष्पादन का एल्गोरिदम:

1. बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल निर्धारित करें।
2. कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु निर्धारित करें।
3. निष्कर्ष निकालें, प्रस्तावित अनुसूचियों को पंक्तिबद्ध करें।

समाधान:

आइए फ़ंक्शन ए के ग्राफ का विश्लेषण करें।

यदि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक है और इसके विपरीत। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न चरम बिंदुओं पर शून्य के बराबर है।

चरम बिंदु वह बिंदु है जिस पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान पहुंच जाता है।

सबसे पहले, फ़ंक्शन A बढ़ता है, अर्थात। व्युत्पन्न सकारात्मक है। यह व्युत्पन्न 3 और 4 के ग्राफ से मेल खाता है। फ़ंक्शन x = 0 के अधिकतम बिंदु पर, यानी इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए। यह शर्त ग्राफ संख्या 4 से पूरी होती है।

आइए हम फलन B के ग्राफ का विश्लेषण करें।

सबसे पहले, फ़ंक्शन B घटता है, अर्थात। व्युत्पन्न ऋणात्मक है। यह व्युत्पन्न 1 और 2 के ग्राफ़ के अनुरूप है। फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु x = -1 है, अर्थात इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए। यह शर्त ग्राफ संख्या 2 से पूरी होती है।

आइए फ़ंक्शन बी के ग्राफ का विश्लेषण करें।

सबसे पहले, फ़ंक्शन B घटता है, अर्थात। व्युत्पन्न ऋणात्मक है। यह व्युत्पन्न 1 और 2 के ग्राफ़ के अनुरूप है। फ़ंक्शन x = 0 का न्यूनतम बिंदु, यानी इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए। यह शर्त ग्राफ संख्या 1 से पूरी होती है।

उन्मूलन की विधि से, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ नंबर 3 पर व्युत्पन्न के ग्राफ से मेल खाता है।

उत्तर : 4213.

विकल्प 14MB4

आकृति ए, बी, सी और डी एब्सिसास वाले बिंदुओं पर एक फ़ंक्शन और उस पर खींची गई स्पर्शरेखा का एक ग्राफ दिखाती है।दायां कॉलम अंक ए, बी, सी और डी पर व्युत्पन्न के मूल्यों को दिखाता है। ग्राफ का उपयोग करके, प्रत्येक बिंदु को फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान को असाइन करें।

अंक
ए
वी
साथ
डी

व्युत्पन्न के मूल्य
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

आइए याद करें कि व्युत्पन्न का क्या अर्थ है, अर्थात्, बिंदु पर इसका मूल्य - एक बिंदु पर व्युत्पन्न फलन का मान स्पर्शरेखा के ढलान (गुणांक) की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

प्रतिक्रियाओं में, हमारे पास दो सकारात्मक और दो नकारात्मक विकल्प हैं। जैसा कि हमें याद है, यदि एक सीधी रेखा का गुणांक (ग्राफिक्स .) वाई = केएक्स + बी) धनात्मक होता है तो सीधी रेखा बढ़ती है, यदि ऋणात्मक हो तो सीधी रेखा घटती है।

हमारे पास दो आरोही सीधी रेखाएँ हैं - बिंदु A और D पर। अब आइए याद करें कि गुणांक k का मान क्या है?

गुणांक k दर्शाता है कि फलन कितनी तेजी से बढ़ता या घटता है (वास्तव में, गुणांक k स्वयं फलन y = kx + b का व्युत्पन्न है)।

इसलिए, k = 2/3 एक चापलूसी रेखा - D से मेल खाती है, और k = 3 - A।

इसी तरह, ऋणात्मक मानों के मामले में: बिंदु B, k = - 4, और बिंदु C - -1/2 के साथ एक सीधी सीधी रेखा से मेल खाता है।

विकल्प 14MB5

चित्र में, डॉट्स घरेलू उपकरण स्टोर में हीटर की मासिक बिक्री दिखाते हैं। महीनों को क्षैतिज रूप से दिखाया गया है, और लंबवत रूप से बेचे जाने वाले हीटरों की संख्या। स्पष्टता के लिए, बिंदु एक रेखा से जुड़े हुए हैं।

आकृति का उपयोग करते हुए, हीटर की बिक्री विशेषता के साथ प्रत्येक संकेतित समयावधि का मिलान करें.

निष्पादन एल्गोरिदम

हम विभिन्न मौसमों के अनुरूप ग्राफ के भागों का विश्लेषण करते हैं। हम चार्ट पर प्रदर्शित स्थितियों को तैयार करते हैं। हम उनके लिए सबसे उपयुक्त उत्तर विकल्प ढूंढते हैं।

समाधान:

सर्दियों में, बिक्री की संख्या 120 पीसी / माह से अधिक हो गई, और यह लगातार बढ़ रहा था। यह स्थिति उत्तर संख्या 3 से मेल खाती है। वे। हम पाते हैं: ए - 3.

वसंत ऋतु में, बिक्री धीरे-धीरे 120 हीटर प्रति माह से गिरकर 50 हो गई। विकल्प 2 इस शब्द के सबसे करीब है। हमारे पास है: बी - 2.

गर्मियों में, बिक्री की संख्या नहीं बदली और न्यूनतम थी। इस शब्द का दूसरा भाग उत्तरों में परिलक्षित नहीं होता है, और केवल # 4 पहले के लिए उपयुक्त है। इसलिए हमारे पास है: 4 पर.

गिरावट में, बिक्री बढ़ी, लेकिन किसी भी महीने में उनकी संख्या 100 इकाइयों से अधिक नहीं हुई। यह स्थिति विकल्प # 1 में वर्णित है। हम पाते हैं: जी - 1.

विकल्प 14MB6

ग्राफ समय पर एक नियमित बस की गति की निर्भरता को दर्शाता है। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बस की गति क्षैतिज अक्ष पर किमी / घंटा में चिह्नित की जाती है - बस की गति की शुरुआत के बाद से मिनटों में समय।

ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, प्रत्येक समय अंतराल को इस अंतराल में बस की गति की विशेषता निर्दिष्ट करें।

निष्पादन एल्गोरिदम

1. क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर पैमाने पर विभाजन मूल्य निर्धारित करें।
2. हम दाएं कॉलम ("विशेषताएं") से प्रस्तावित कथन 1–4 का बारी-बारी से विश्लेषण करते हैं। हम तालिका के बाएं कॉलम से समय अंतराल के साथ उनकी तुलना करते हैं, हमें उत्तर के लिए "अक्षर-संख्या" जोड़े मिलते हैं।

समाधान:

क्षैतिज पैमाने पर विभाजन 1 s है, और ऊर्ध्वाधर पैमाना 20 किमी / घंटा है।

1. जब बस रुकती है, तो उसकी गति 0 होती है। बस की गति केवल 9वें से 11वें मिनट तक लगातार 2 मिनट तक शून्य रही। यह समय 8-12 मिनट के अंतराल में आता है। तो, हमारे पास उत्तर के लिए एक जोड़ी है: बी - 1.
2. बस की गति कई समय के अंतराल में 20 किमी/घंटा और अधिक थी। इसके अलावा, विकल्प ए यहां उपयुक्त नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, 7 वें मिनट में गति 60 किमी / घंटा थी, विकल्प बी - क्योंकि यह पहले ही लागू हो चुका है, विकल्प डी - क्योंकि अंतराल की शुरुआत और अंत में बस शून्य गति थी ... इस मामले में, विकल्प बी उपयुक्त है (12-16 मिनट); इस अंतराल पर, बस 40 किमी/घंटा की गति से चलना शुरू करती है, फिर 100 किमी/मी तक गति करती है और फिर धीरे-धीरे गति को 20 किमी/घंटा तक कम कर देती है। तो हमारे पास: मे 2.
3. यहां गति सीमा निर्धारित है। उसी समय, हम विकल्प बी और सी पर विचार नहीं करते हैं। शेष अंतराल ए और डी दोनों उपयुक्त हैं। इसलिए, पहले चौथे विकल्प पर विचार करना और फिर तीसरे विकल्प पर लौटना सही होगा।
4. शेष दो अंतरालों में से केवल 4-8 मिनट विशेषता संख्या 4 के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि इस अंतराल पर (6वें मिनट पर) एक पड़ाव था। 18-22 मिनट के अंतराल में कोई स्टॉप नहीं था। हम पाते हैं: ए - 4... इसलिए यह इस प्रकार है कि विशेषता संख्या 3 के लिए अंतराल Г लेना आवश्यक है, अर्थात। यह एक युगल निकला जी - 3.

विकल्प 14MB7

बिंदीदार आंकड़ा 2004 से 2013 तक चीन की जनसंख्या में वृद्धि को दर्शाता है। क्षैतिज रूप से वर्ष को इंगित करता है, लंबवत - प्रतिशत के रूप में जनसंख्या वृद्धि (पिछले वर्ष की तुलना में जनसंख्या में वृद्धि)। स्पष्टता के लिए, बिंदु एक रेखा से जुड़े हुए हैं।

आकृति का उपयोग करते हुए, इस अवधि के दौरान चीन की जनसंख्या की वृद्धि की विशेषताओं के साथ प्रत्येक संकेतित अवधि का मिलान करें।.

निष्पादन एल्गोरिदम

1. चित्र के ऊर्ध्वाधर पैमाने के विभाजन की कीमत निर्धारित करें। यह आसन्न पैमाने के मूल्यों की एक जोड़ी के बीच अंतर के रूप में पाया जाता है, जिसे 2 से विभाजित किया जाता है (क्योंकि दो आसन्न मूल्यों के बीच 2 विभाजन होते हैं)।
2. हम स्थिति (बाएं टेबल कॉलम) में दी गई 1-4 विशेषताओं का क्रमिक रूप से विश्लेषण करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक की तुलना एक विशिष्ट समयावधि (दाएं तालिका स्तंभ) से करते हैं।

समाधान:

वर्टिकल स्केल डिवीजन 0.01% है।

1. विकास में गिरावट 2004 से 2010 तक लगातार जारी रही। 2010-2011 में, विकास काफी कम था, और 2012 से यह बढ़ना शुरू हुआ। वे। 2010 में विकास रुक गया। यह वर्ष 2009-2011 की अवधि में है। तदनुसार, हमारे पास है: पहले में.
2. आंकड़े में चार्ट की "सबसे तेज" गिरने वाली रेखा को विकास में सबसे बड़ी गिरावट माना जाना चाहिए। यह 2006-2007 की अवधि पर पड़ता है। और 0.04% प्रति वर्ष (0.59-0.56 = 2006 में 0.04% और 2007 में 0.56-0.52 = 0.04%) है। यहाँ से हमें मिलता है: ए - 2.
3. विशेषता संख्या 3 में इंगित वृद्धि 2007 में शुरू हुई, 2008 में जारी रही और 2009 में समाप्त हुई। यह समय अवधि बी से मेल खाती है, यानी। अपने पास: बी - 3.
4. जनसंख्या वृद्धि 2011 के बाद बढ़ने लगी, यानी। 2012-2013 में इसलिए, हमें मिलता है: जी-4.

विकल्प 14MB8

आकृति ए, बी, सी और डी एब्सिसास वाले बिंदुओं पर एक फ़ंक्शन और उस पर खींची गई स्पर्शरेखा का एक ग्राफ दिखाती है।

दायां कॉलम ए, बी, सी और डी बिंदुओं पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान दिखाता है। ग्राफ़ का उपयोग करके, प्रत्येक बिंदु को फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान को असाइन करें।

निष्पादन एल्गोरिदम

1. भुज अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण वाली स्पर्श रेखाओं के एक युग्म पर विचार करें। हम उनकी तुलना करते हैं, डेरिवेटिव के संबंधित मूल्यों की जोड़ी के बीच एक मैच पाते हैं।
2. एब्सिस्सा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाने वाली स्पर्शरेखाओं की एक जोड़ी पर विचार करें। हम उनकी तुलना निरपेक्ष मूल्य में करते हैं, उनके पत्राचार को सही कॉलम में शेष दो के बीच डेरिवेटिव के मूल्यों के लिए निर्धारित करते हैं।

समाधान:

भुज अक्ष की धनात्मक दिशा वाला एक न्यून कोण बिंदु B और बिंदु C पर अवकलजों द्वारा बनता है। इन डेरिवेटिव के सकारात्मक मूल्य हैं। इसलिए, यहां आपको मान संख्या 1 और 3 के बीच चयन करना चाहिए। इस नियम को लागू करते हुए कि यदि कोण 45 0 से कम है, तो व्युत्पन्न 1 से कम है, और यदि अधिक है, तो 1 से अधिक है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: बिंदु बी में, मापांक में व्युत्पन्न 1 से अधिक है, बिंदु सी में - 1 से कम है। इसका मतलब है कि आप उत्तर के लिए जोड़े बना सकते हैं: 3 बजेतथा - 1.

बिंदु A और बिंदु D में अवकलज भुज की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाते हैं। और यहां हम उसी नियम को लागू करते हैं, इसे थोड़ा सा समझाते हुए: बिंदु पर स्पर्शरेखा को एब्सिसा लाइन (इसकी नकारात्मक दिशा में) के लिए "दबाया" जाता है, जितना अधिक यह निरपेक्ष मूल्य में होता है। तब हम प्राप्त करते हैं: बिंदु A में अवकलज, बिंदु D के अवकलज से निरपेक्ष मान में कम है। इसलिए हमारे पास उत्तर के लिए जोड़े हैं: ए - 2तथा डी - 4.

विकल्प 14MB9

आंकड़े में, डॉट्स जनवरी 2011 में मॉस्को में औसत दैनिक हवा का तापमान दिखाते हैं। क्षैतिज रूप से महीने के दिन को इंगित करता है, लंबवत - डिग्री सेल्सियस में तापमान। स्पष्टता के लिए, बिंदु एक रेखा से जुड़े हुए हैं।

आकृति का उपयोग करते हुए, तापमान परिवर्तन की विशेषता के साथ प्रत्येक संकेतित अवधि का मिलान करें.

निष्पादन एल्गोरिदम

हम आकृति में ग्राफ का उपयोग करके क्रमिक रूप से विशेषताओं 1-4 (दाएं स्तंभ) का विश्लेषण करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक को एक विशिष्ट समय अवधि (बाएं कॉलम) के साथ पत्राचार में रखते हैं।

समाधान:

1. तापमान में वृद्धि केवल 22-28 जनवरी की अवधि के अंत में देखी गई थी। यहां 27 और 28 को क्रमश: 1 और 2 डिग्री की वृद्धि हुई। 1-7 जनवरी की अवधि के अंत में, तापमान स्थिर (-10 डिग्री) था, जनवरी 8-14 और 15-21 के अंत में, यह घट गया (-1 से -2 और -11 से - क्रमशः 12 डिग्री)। इसलिए, हमें मिलता है: जी - 1.
2. चूंकि प्रत्येक समयावधि में 7 दिन होते हैं, इसलिए प्रत्येक अवधि के चौथे दिन से तापमान का विश्लेषण करने की आवश्यकता होती है। सिर्फ 4 से 7 जनवरी के बीच 3-4 दिन तापमान में कोई बदलाव नहीं आया। इसलिए, हमें उत्तर मिलता है: ए - 2.
3. मासिक न्यूनतम तापमान 17 जनवरी को दर्ज किया गया था। यह संख्या 15-21 जनवरी की अवधि की है। यहाँ से हमारे पास एक जोड़ी है: 3 बजे.
4. अधिकतम तापमान 10 जनवरी को गिर गया और +1 डिग्री हो गया। यह तिथि 8-14 जनवरी के बीच पड़ती है। इसलिए, हमारे पास है: बी 4।

विकल्प 14MB10

निष्पादन एल्गोरिदम

1. किसी बिंदु पर फलन का मान धनात्मक होता है यदि यह बिंदु ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित हो।
2. एक बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य से अधिक होता है यदि इस बिंदु पर स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है।

समाधान:

बिंदु ए। यह ऑक्स अक्ष के नीचे है, जिसका अर्थ है कि इसमें फ़ंक्शन का मान ऋणात्मक है। यदि आप इसमें एक स्पर्श रेखा खींचते हैं, तो इसके और सकारात्मक दिशा ऑक्स के बीच का कोण लगभग 90 0 होगा, अर्थात। एक तीव्र कोण बनाता है। तो, इस मामले में, विशेषता संख्या 3 उपयुक्त है। वे। अपने पास: ए - 3.

बिंदु बी। यह ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है, अर्थात। बिंदु का एक सकारात्मक कार्य मान है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा भुज अक्ष के काफी करीब होगी, इसकी सकारात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण (180 0 से थोड़ा कम) का निर्माण होगा। तदनुसार, इस बिंदु पर व्युत्पन्न ऋणात्मक है। इस प्रकार, विशेषता 1 यहाँ उपयुक्त है। हमें उत्तर मिलता है: पहले में.

बिंदु सी। बिंदु ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित है, इसमें स्पर्शरेखा एब्सिसा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक बड़ा अधिक कोण बनाती है। वे। बिंदु C में, फ़ंक्शन और व्युत्पन्न दोनों का मान ऋणात्मक है, जो विशेषता संख्या 2 से मेल खाता है। उत्तर: सी - 2.

बिंदु डी। बिंदु ऑक्स अक्ष के ऊपर है, और इसमें स्पर्शरेखा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है। इससे पता चलता है कि फ़ंक्शन का मान और व्युत्पन्न का मान दोनों यहां शून्य से अधिक हैं। उत्तर: डी - 4.

विकल्प 14MB11

चित्र में, डॉट्स घरेलू उपकरण स्टोर में रेफ्रिजरेटर की मासिक बिक्री दिखाते हैं। महीनों को क्षैतिज रूप से प्रदर्शित किया जाता है, और रेफ्रिजरेटर की संख्या लंबवत रूप से बेची जाती है। स्पष्टता के लिए, बिंदु एक रेखा से जुड़े हुए हैं।

आकृति का उपयोग करते हुए, रेफ्रिजरेटर की बिक्री विशेषता के साथ प्रत्येक संकेतित समयावधि का मिलान करें।.