क्या होगा अगर मॉड्यूल के सामने एक माइनस है। मॉड्यूल संख्या (किसी संख्या का निरपेक्ष मान), परिभाषाएँ, उदाहरण, गुण। दूरी के रूप में संख्या का मापांक

यह लेख विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने की तकनीकों के लिए समर्पित है जिसमें
मॉड्यूल साइन के तहत चर।

यदि आप परीक्षा में एक मापांक के साथ एक समीकरण या असमानता का सामना करते हैं, तो आप इसे द्वारा हल कर सकते हैं
बिना किसी विशेष विधि को जाने और केवल मॉड्यूल परिभाषा का उपयोग किए बिना। सत्य,
इसमें कीमती परीक्षा समय का डेढ़ घंटा लग सकता है।

इसलिए हम आपको उन तकनीकों के बारे में बताना चाहते हैं जो ऐसी समस्याओं के समाधान को सरल बनाती हैं।

सबसे पहले याद रखें कि

विभिन्न प्रकारों पर विचार करें मापांक के साथ समीकरण... (हम बाद में असमानताओं की ओर बढ़ेंगे।)

बाईं ओर मॉड्यूल है, दाईं ओर संख्या है

यह सबसे सरल मामला है। आइए समीकरण हल करें

केवल दो संख्याएँ हैं जिनके मॉड्यूल चार के बराबर हैं। ये 4 और -4 हैं। इसलिए, समीकरण
दो साधारण लोगों के संयोजन के बराबर है:

दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है। पहले के हल: x = 0 और x = 5।

उत्तर: 0; 5.

मॉड्यूल के तहत और मॉड्यूल के बाहर दोनों में परिवर्तनीय

यहां आपको परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार करना होगा। ... ... या सोचने के लिए!

मापांक के तहत अभिव्यक्ति के संकेत के आधार पर समीकरण दो मामलों में आता है।
दूसरे शब्दों में, यह दो प्रणालियों के संयोजन के समान है:

पहली प्रणाली का समाधान:। दूसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।
उत्तर 1।

पहला मामला: x 3. मॉड्यूल निकालें:

संख्या, ऋणात्मक होने के कारण, x 3 की स्थिति को संतुष्ट नहीं करती है और इसलिए मूल समीकरण का मूल नहीं है।

आइए जानें कि क्या संख्या इस शर्त को पूरा करती है। ऐसा करने के लिए, अंतर लिखें और उसका संकेत निर्धारित करें:

इसलिए, यह तीन से अधिक है और इसलिए मूल समीकरण का मूल है

दूसरा मामला: x< 3. Снимаем модуль:

संख्या । से अधिक है, और इसलिए शर्त x . को संतुष्ट नहीं करता है< 3. Проверим :

माध्यम, । मूल समीकरण का मूल है।

परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल निकालें? इसके बारे में सोचना भी डरावना है, क्योंकि विवेचक पूर्ण वर्ग नहीं है। आइए निम्नलिखित विचार का बेहतर उपयोग करें: फॉर्म का एक समीकरण | ए | = बी दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

वही, लेकिन थोड़ा अलग:

दूसरे शब्दों में, हम दो समीकरणों, A = B और A = -B को हल करते हैं, और फिर उन मूलों का चयन करते हैं जो B ≥ 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

आएँ शुरू करें। सबसे पहले, हम पहले समीकरण को हल करते हैं:

फिर हम दूसरा समीकरण हल करते हैं:

अब, प्रत्येक मामले में, हम दाईं ओर के चिह्न की जाँच करते हैं:

इसलिए, केवल और उपयुक्त हैं।

प्रतिस्थापन के साथ द्विघात समीकरण | x | = टी

आइए समीकरण को हल करें:

चूंकि, प्रतिस्थापन करना सुविधाजनक है | x | = टी. हम पाते हैं:

उत्तर: ± 1.

मॉड्यूल मॉड्यूल के बराबर है

हम फॉर्म के समीकरणों के बारे में बात कर रहे हैं | ए | = | बी |। यह भाग्य का उपहार है। परिभाषा के अनुसार कोई मॉड्यूल प्रकटीकरण नहीं! यह आसान है:

उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:। यह निम्नलिखित समुच्चय के समान है:

यह सेट के प्रत्येक समीकरण को हल करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है।

दो या अधिक मॉड्यूल

आइए समीकरण को हल करें:

आइए प्रत्येक मॉड्यूल को अलग से परेशान न करें और इसे परिभाषा के अनुसार विस्तारित करें - बहुत सारे विकल्प होंगे। एक अधिक तर्कसंगत तरीका है - अंतराल की विधि।

मापांक व्यंजक x = 1, x = 2 और x = 3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाते हैं। ये बिंदु संख्या रेखा को चार अंतरालों (अंतराल) में विभाजित करते हैं। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं और प्राप्त अंतरालों पर मॉड्यूल के अंतर्गत प्रत्येक व्यंजक के लिए चिह्नों को व्यवस्थित करते हैं। (संकेतों का क्रम समीकरण में संबंधित मॉड्यूल के क्रम के समान है।)

इस प्रकार, हमें चार मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है - जब x प्रत्येक अंतराल में हो।

केस 1: x 3. सभी मॉड्यूल "एक प्लस के साथ" हटा दिए जाते हैं:

परिणामी मान x = 5, x ≥ 3 की स्थिति को संतुष्ट करता है और इसलिए मूल समीकरण का मूल है।

केस 2: 2 x 3. अंतिम मॉड्यूल अब "माइनस के साथ" हटा दिया गया है:

x का परिणामी मान भी अच्छा है - यह विचाराधीन अंतराल के अंतर्गत आता है।

केस 3: 1 x ≤ 2. दूसरे और तीसरे मॉड्यूल को "माइनस के साथ" हटा दिया जाता है:

हमें इस समीकरण के समाधान के रूप में माने गए अंतराल से किसी भी x के लिए सही संख्यात्मक समानता मिली है।

केस 4: x 1 1. दूसरे और तीसरे मॉड्यूल को "माइनस के साथ" हटा दिया जाता है:

कोई नई बात नहीं। हम पहले से ही जानते हैं कि x = 1 एक हल है।

उत्तर : (5) ।

मॉड्यूल में मॉड्यूल

आइए समीकरण को हल करें:

हम आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करके शुरू करते हैं।

1) x 3. हम पाते हैं:

मापांक के तहत अभिव्यक्ति गायब हो जाती है। यह बिंदु माना जाता है
मध्यान्तर। इसलिए, हमें दो उपमाओं का विश्लेषण करना होगा।

1.1) हम इस मामले में प्राप्त करते हैं:

x का यह मान मान्य नहीं है क्योंकि यह विचाराधीन अंतराल से संबंधित नहीं है।

1.2)। फिर:

यह x मान भी मान्य नहीं है।

अत: x 3 के लिए कोई हल नहीं है। चलिए दूसरे मामले पर चलते हैं।

2) x 3. हमारे पास है:

यहाँ हम भाग्य में हैं: व्यंजक x + 2 विचाराधीन अंतराल में धनात्मक है! इसलिए, कोई और उप-मामले नहीं होंगे: मॉड्यूल को "एक प्लस के साथ" हटा दिया जाता है:

x का यह मान विचारित अंतराल में है और इसलिए मूल समीकरण का मूल है।

इस प्रकार इस प्रकार के सभी कार्यों को हल किया जाता है - हम नेस्टेड मॉड्यूल को एक-एक करके खोलते हैं, आंतरिक से शुरू करते हैं।

MBOU सेकेंडरी स्कूल नंबर 17 इवानोव्स

« मापांक के साथ समीकरण "
पद्धतिगत विकास

द्वारा संकलित

गणित शिक्षक

एन.वी. लेबेदेव

20010 ग्रा.

व्याख्यात्मक नोट

अध्याय 1 परिचय

धारा 2. मूल गुण धारा 3. किसी संख्या के मापांक की अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या भाग 4. फलन का आलेख y = | x | धारा 5. सम्मेलन

अध्याय 2. मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करना

अध्याय 3. मॉड्यूल के साथ विभिन्न समीकरणों को हल करने के उदाहरण।

धारा 1. त्रिकोणमितीय समीकरण धारा 2. घातीय समीकरण धारा 3. लघुगणक समीकरण धारा 4. अपरिमेय समीकरण धारा 5. बढ़ी हुई जटिलता के कार्य व्यायाम के उत्तर ग्रन्थसूची

व्याख्यात्मक नोट।

एक वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान (मापांक) की अवधारणा इसकी आवश्यक विशेषताओं में से एक है। यह अवधारणा भौतिक, गणितीय और तकनीकी विज्ञान की विभिन्न शाखाओं में व्यापक है। रूसी संघ के रक्षा मंत्रालय के कार्यक्रम के अनुसार माध्यमिक विद्यालय में गणित के पाठ्यक्रम को पढ़ाने के अभ्यास में, "एक संख्या के निरपेक्ष मूल्य" की अवधारणा बार-बार आती है: 6 वीं कक्षा में, एक मॉड्यूल की परिभाषा, इसका ज्यामितीय अर्थ पेश किया गया है; 8 वीं कक्षा में, पूर्ण त्रुटि की अवधारणा बनती है, सरलतम समीकरणों और मॉड्यूल वाले असमानताओं के समाधान पर विचार किया जाता है, अंकगणित वर्गमूल के गुणों का अध्ययन किया जाता है; 11 वीं कक्षा में, अवधारणा "रूट" खंड में पाई जाती है एन-वीं डिग्री"।शिक्षण अनुभव से पता चलता है कि छात्रों को अक्सर ऐसे कार्यों को हल करने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है जिनके लिए इस सामग्री के ज्ञान की आवश्यकता होती है, और अक्सर पूरा करने से पहले छोड़ देते हैं। 9वीं और 11वीं कक्षा के परीक्षा कार्यों के पाठों में इसी प्रकार के कार्यों को भी शामिल किया गया है। इसके अलावा, स्कूल स्नातकों पर विश्वविद्यालयों द्वारा रखी जाने वाली आवश्यकताएं स्कूल पाठ्यक्रम की आवश्यकताओं की तुलना में उच्च स्तर पर भिन्न होती हैं। आधुनिक समाज में जीवन के लिए, सोच की गणितीय शैली बनाना बहुत महत्वपूर्ण है, जो कुछ मानसिक कौशल में प्रकट होता है। मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, सामान्यीकरण और संक्षिप्तीकरण, विश्लेषण, वर्गीकरण और व्यवस्थितकरण, सादृश्य जैसी तकनीकों को लागू करने की क्षमता की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों का समाधान आपको स्कूल पाठ्यक्रम के मुख्य वर्गों के ज्ञान, तार्किक सोच के स्तर, अनुसंधान गतिविधि के प्रारंभिक कौशल की जांच करने की अनुमति देता है। यह काम एक खंड के लिए समर्पित है - एक मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करना। इसमें तीन अध्याय हैं। पहला अध्याय बुनियादी अवधारणाओं और सबसे महत्वपूर्ण सैद्धांतिक गणनाओं का परिचय देता है। दूसरे अध्याय में, मॉड्यूल वाले नौ बुनियादी प्रकार के समीकरण प्रस्तावित हैं, उनके समाधान के तरीकों पर विचार किया जाता है, जटिलता के विभिन्न स्तरों के उदाहरणों का विश्लेषण किया जाता है। तीसरा अध्याय अधिक जटिल और गैर-मानक समीकरण (त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक और अपरिमेय) प्रदान करता है। प्रत्येक प्रकार के समीकरण में स्वतंत्र समाधान के लिए अभ्यास हैं (उत्तर और निर्देश संलग्न हैं)। इस कार्य का मुख्य उद्देश्य शिक्षकों को पाठों की तैयारी और वैकल्पिक पाठ्यक्रमों के आयोजन में पद्धतिगत सहायता प्रदान करना है। सामग्री का उपयोग हाई स्कूल के छात्रों के लिए शिक्षण सहायता के रूप में भी किया जा सकता है। काम में पेश किए गए कार्य दिलचस्प हैं और हमेशा हल करना आसान नहीं होता है, जिससे छात्रों की शैक्षिक प्रेरणा को अधिक जागरूक बनाना, उनकी क्षमताओं का परीक्षण करना और विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए स्कूल के स्नातकों की तैयारी के स्तर में सुधार करना संभव हो जाता है। प्रस्तावित अभ्यासों के विभेदित चयन में सामग्री में महारत हासिल करने के प्रजनन स्तर से रचनात्मक एक में संक्रमण के साथ-साथ गैर-मानक समस्याओं को हल करने में अपने ज्ञान को लागू करने का तरीका सिखाने का अवसर शामिल है।

अध्याय 1 परिचय।

धारा 1. निरपेक्ष मूल्य का निर्धारण .

परिभाषा : वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान (मापांक) एएक ऋणात्मक संख्या कहलाती है: एया -ए। पद: │ ए │ रिकॉर्ड को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "संख्या का मॉड्यूल" या "संख्या का निरपेक्ष मान"

│ ए, अगर ए> 0

│a│ = 0 यदि a = 0 (1)

│ - ए, अगर ए
उदाहरण: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
एक्सप्रेशन मॉड्यूल का विस्तार करें:
a) x - 8│, यदि x> 12 b) │2x + 3│, यदि x -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3
धारा 2. मूल गुण।
आइए निरपेक्ष मूल्य के मुख्य गुणों पर विचार करें। संपत्ति # 1: विपरीत संख्याओं में समान मॉड्यूल होते हैं, अर्थात। а│ = │-आइए हम दिखाएं कि समानता सही है। आइए संख्या की परिभाषा लिखें - ए : │- एक= (2) आइए संग्रहों (1) और (2) की तुलना करें। जाहिर है, संख्याओं के निरपेक्ष मूल्यों की परिभाषाएँ एतथा - एमेल खाना। इसलिये, а│ = │-
निम्नलिखित गुणों पर विचार करते समय, हम स्वयं को उनके सूत्रीकरण तक ही सीमित रखते हैं, क्योंकि उनका प्रमाण निम्नलिखित में दिया गया है: संपत्ति # 2: वास्तविक संख्याओं की परिमित संख्या के योग का निरपेक्ष मान शर्तों के निरपेक्ष मानों के योग से अधिक नहीं होता है: а 1 + а 2 + ... + а n │ а 1 │ + │а 2 + ... + а n संपत्ति संख्या 3: दो वास्तविक संख्याओं के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान उनके निरपेक्ष मानों के योग से अधिक नहीं होता है: а - в│ а│ + в│ संपत्ति # 4: वास्तविक संख्याओं की एक परिमित संख्या के गुणनफल का निरपेक्ष मान कारकों के निरपेक्ष मूल्यों के गुणनफल के बराबर होता है: संपत्ति # 5: वास्तविक संख्याओं के भागफल का निरपेक्ष मान उनके निरपेक्ष मानों के भागफल के बराबर होता है:

धारा 3. किसी संख्या के मापांक की अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या।

प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर एक बिंदु से जोड़ा जा सकता है, जो दी गई वास्तविक संख्या की ज्यामितीय छवि होगी। संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु मूल बिंदु से अपनी दूरी के अनुरूप होता है, अर्थात। मूल से दिए गए बिंदु तक खंड की लंबाई। इस दूरी को हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मान माना जाता है। इसलिए, संबंधित खंड की लंबाई दी गई वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान की ज्यामितीय व्याख्या होगी

प्रस्तुत ज्यामितीय चित्रण स्पष्ट रूप से संपत्ति संख्या 1 की पुष्टि करता है, अर्थात। विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं। इसलिए, समानता की वैधता को आसानी से समझा जा सकता है: x - a│ = a - x│। साथ ही, समीकरण │х│ = m का हल, जहाँ m ≥ 0, अर्थात् 1,2 = ± m, अधिक स्पष्ट हो जाता है। उदाहरण: 1) = 4 x 1,2 = ± 4 2) - 3│ = 1

एक्स 1.2 = 2; 4

खंड 4. फलन y = . का आलेख

इस फ़ंक्शन का दायरा सभी वास्तविक संख्याएं हैं।

धारा 5. सम्मेलन।

भविष्य में, समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करते समय, निम्नलिखित सम्मेलनों का उपयोग किया जाएगा: (- प्रणाली का संकेत [- समग्रता का संकेत समीकरणों (असमानताओं) की प्रणाली को हल करते समय, समीकरणों (असमानताओं) की प्रणाली में शामिल समाधानों का प्रतिच्छेदन पाया जाता है। समीकरणों (असमानताओं) के एक सेट को हल करते समय, समीकरणों (असमानताओं) के सेट में शामिल समाधानों का संघ पाया जाता है।

अध्याय 2. मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय में, हम एक या अधिक मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के बीजीय तरीकों को देखेंगे।

खंड 1. F (x) = m . के रूप के समीकरण

इस प्रकार के समीकरण को सरलतम कहा जाता है। इसका एक हल है अगर और केवल अगर m 0। मापांक की परिभाषा के अनुसार, मूल समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है: एफ(एक्स) =एम

उदाहरण:
№1. समीकरण हल करें: 7x - 2│ = 9

उत्तर: x 1 = - 1; एक्स 2 = 1 4 / 7 №2
x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; एक्स 2 = -2 एक्स (एक्स + 3) = 0 एक्स 1 = 0; एक्स 2 = -3 उत्तर: जड़ों का योग है - 2.№3
x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 हम x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 को निरूपित करते हैं। ; ± 5 मीटर 2 - 5 मीटर + 4 = 0 मीटर = 1; 4 - दोनों मान एम ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं उत्तर: समीकरण के मूलों की संख्या 7 है। व्यायाम:
№1. समीकरण को हल करें और मूलों का योग इंगित करें: │х - 5│ = 3 №2 ... समीकरण को हल करें और छोटे मूल को इंगित करें: x 2 + x│ = 0 №3 ... समीकरण को हल करें और बड़ा मूल इंगित करें: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 समीकरण को हल करें और पूरे मूल को इंगित करें: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 समीकरण को हल करें और जड़ों की संख्या इंगित करें: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

खंड 2. फॉर्म एफ (│х│) = एम . के समीकरण

बाईं ओर फ़ंक्शन तर्क मापांक चिह्न के अंतर्गत है, और दाईं ओर चर से स्वतंत्र है। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के दो तरीकों पर विचार करें। विधि 1:निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार, मूल समीकरण दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है। जिनमें से प्रत्येक में एक सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन पर एक शर्त लगाई जाती है। एफ(│х│) =एम

चूँकि फलन F (│х│) परिभाषा के पूरे क्षेत्र में सम है, समीकरणों F (x) = m और F (- x) = m के मूल विपरीत संख्याओं के युग्म हैं। इसलिए, सिस्टम में से किसी एक को हल करने के लिए पर्याप्त है (इस तरह से उदाहरणों पर विचार करते समय, एक सिस्टम का समाधान दिया जाएगा)। विधि 2:एक नया चर शुरू करने की विधि को लागू करना। इस मामले में, पदनाम │х│ = ए पेश किया जाता है, जहां एक 0। यह विधि डिजाइन में कम चमकदार है।
उदाहरण: №1 ... समीकरण को हल करें: 3x 2 - 4│x│ = - 1 आइए एक नए चर के परिचय का उपयोग करें। हम │x│ = a को निरूपित करते हैं, जहां a 0. हम समीकरण 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 प्राप्त करते हैं: मूल चर पर लौटते हुए: x = 1 और = 1/3। प्रत्येक समीकरण की दो जड़ें होती हैं। उत्तर: x 1 = 1; एक्स 2 = - 1; एक्स 3 = 1 / 3 ; एक्स 4 = - 1 / 3 . №2. समीकरण हल करें: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2

आइए हम समुच्चय की पहली प्रणाली का हल खोजें: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 ध्यान दें कि x 2 नहीं है शर्त x 0 को संतुष्ट करें। हल दूसरी प्रणाली x 1 के विपरीत होगी। उत्तर: x 1 = -5+√57 / 8 ; एक्स 2 = 5-√57 / 8 .№3 . समीकरण को हल करें: х 4 - = 0 हम = а को निरूपित करते हैं, जहाँ а 0. हम समीकरण а 4 - а = 0 а · (а 3 - 1) = 0 а 1 = 0 प्राप्त करते हैं। 2 = 1 मूल चर पर लौटें: │х│ = 0 और │х│ = 1 х = 0; ± 1 उत्तर: x 1 = 0; एक्स 2 = 1; एक्स 3 = - 1.
व्यायाम: №6. समीकरण हल करें: 2│x│ - 4.5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों की संख्या इंगित करें: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण समाधान इंगित करें: x 4 + │x│ - 2 = 0

खंड 3. फॉर्म F (x) │ = G (x) के समीकरण

इस रूप के समीकरण का दाहिना हाथ चर पर निर्भर करता है और इसलिए, एक समाधान होता है यदि और केवल तभी जब दाहिनी ओर एक फ़ंक्शन G (x) 0 हो। मूल समीकरण को दो तरीकों से हल किया जा सकता है : विधि 1:मानक, इसकी परिभाषा के आधार पर एक मॉड्यूल के प्रकटीकरण पर आधारित है और इसमें दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर संक्रमण शामिल है। मैं एफ(एक्स) =जी(एक्स)

फ़ंक्शन G (x) के लिए एक जटिल अभिव्यक्ति के मामले में और कम जटिल - फ़ंक्शन F (x) के लिए इस पद्धति का उपयोग करना तर्कसंगत है, क्योंकि फ़ंक्शन F (x) के साथ असमानताओं का समाधान माना जाता है। विधि 2:इसमें एक समतुल्य प्रणाली में संक्रमण शामिल है जिसमें एक शर्त दायीं ओर लगाई जाती है। मैं एफ(एक्स)│= जी(एक्स)

यह विधि उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है यदि फ़ंक्शन G (x) के लिए अभिव्यक्ति फ़ंक्शन F (x) की तुलना में कम जटिल है, क्योंकि यह माना जाता है कि असमानता G (x) 0। इसके अलावा, के मामले में कई मॉड्यूल, दूसरे विकल्प को लागू करने के लिए इस विधि की सिफारिश की जाती है। उदाहरण: №1. समीकरण हल करें: │x + 2│ = 6 -2x

(1 रास्ता) उत्तर: एक्स = 1 1 / 3 №2.
x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)

(2 रास्ते) उत्तर: जड़ों का गुणनफल 3 है।
№3. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें:
x - 6│ = x 2 - 5x + 9

उत्तर : मूलों का योग 4 होता है।
व्यायाम: №9. x + 4│ = - 3x №10. समीकरण को हल करें, उत्तर में समाधानों की संख्या इंगित करें: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का गुणनफल इंगित करें: + 3│ = х 2 + - 6

खंड 4. F (x) │ = F (x) और F (x) = - F (x) के रूप के समीकरण

इस तरह के समीकरणों को कभी-कभी "सबसे सुंदर" कहा जाता है। चूंकि समीकरणों का दाहिना पक्ष एक चर पर निर्भर करता है, समाधान मौजूद होते हैं यदि और केवल तभी जब दायां पक्ष गैर-ऋणात्मक हो। इसलिए, मूल समीकरण असमानताओं के बराबर हैं:
F (x) │ = F (x) F (x) 0 और │F (x) │ = - F (x) F (x) उदाहरण: №1 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटे पूर्ण मूल को इंगित करें: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 उत्तर: एक्स = 1№2. समीकरण को हल करें, उत्तर में अंतराल की लंबाई इंगित करें: 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] उत्तर: गैप की लंबाई 6 है।№3 . समीकरण को हल करें, उत्तर में पूर्णांक समाधानों की संख्या इंगित करें: 2 + - х 2 │ = 2 + х - 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - - 2 ≤ 0 [- 1; 2] उत्तर: 4 संपूर्ण समाधान।№4 . समीकरण को हल करें, उत्तर में सबसे बड़ा मूल इंगित करें:
4 - एक्स -

= 4 - एक्स -

x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1.2 =

≈ 1,4

उत्तर: एक्स = 3.

व्यायाम: №12. समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण मूल इंगित करें: x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. समीकरण को हल करें, उत्तर में पूर्णांक समाधानों की संख्या इंगित करें: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. समीकरण को हल करें, उत्तर में एक पूर्णांक लिखें जो समीकरण का मूल नहीं है:

खंड 5. F (x) │ = G (x) . के रूप के समीकरण

चूंकि समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, समाधान में दो मामलों पर विचार करना शामिल है: सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन साइन में बराबर या विपरीत होते हैं। इसलिए, मूल समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है: एफ(एक्स)│= │ जी(एक्स)│

उदाहरण: №1. समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण मूल इंगित करें: x + 3│ = │2x - 1│

उत्तर: संपूर्ण मूल x = 4№2. प्रश्न हल करें: │ एक्स - एक्स 2 - 1│ = │2x - 3 - एक्स 2

उत्तर: एक्स = 2.№3 . समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों के उत्पाद को इंगित करें:

समीकरण मूल 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1.2 = - 1 ± 5 / 4 उत्तर: जड़ों का गुणनफल - 0.25 के बराबर होता है। व्यायाम: №15 ... समीकरण को हल करें, अपने उत्तर में पूरा हल लिखें: x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटे मूल को इंगित करें: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें:

धारा 6. गैर-मानक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

इस खंड में, हम गैर-मानक समीकरणों के उदाहरणों पर विचार करेंगे, जिन्हें हल करते समय एक अभिव्यक्ति का निरपेक्ष मान परिभाषा द्वारा प्रकट होता है। उदाहरण:

№1. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: x x│- 5x - 6 = 0
उत्तर: जड़ों का योग 1 . है №2. . समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटे मूल को इंगित करें: x 2 - 4x
- 5 = 0
उत्तर: छोटा मूल x=-5. №3. प्रश्न हल करें:

उत्तर: एक्स = -1। व्यायाम: №18. समीकरण को हल करें और मूलों का योग इंगित करें: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. समीकरण हल करें: x 2 - 3x =

№20. प्रश्न हल करें:

खंड 7. F (x) │ + │G (x) = 0 . के रूप के समीकरण

यह देखना आसान है कि इस प्रकार के समीकरण के बाईं ओर गैर-ऋणात्मक मानों का योग है। नतीजतन, मूल समीकरण का एक हल होता है यदि और केवल तभी जब दोनों पद एक साथ शून्य के बराबर हों। समीकरण समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है: एफ(एक्स)│+│ जी(एक्स)│=0
उदाहरण: №1 ... प्रश्न हल करें:

उत्तर: एक्स = 2. №2. प्रश्न हल करें: उत्तर: एक्स = 1। व्यायाम: №21. प्रश्न हल करें: №22 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: №23 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में समाधानों की संख्या इंगित करें:

धारा 8. फॉर्म के समीकरण а 1 + в 1 ± а 2 х + в 2 │ ± ... а n х + в n │ = m

इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग किया जाता है। यदि हम इसे मॉड्यूल के क्रमिक विस्तार द्वारा हल करते हैं, तो हमें मिलता है एनसिस्टम के सेट, जो बहुत बोझिल और असुविधाजनक है। आइए अंतराल की विधि के एल्गोरिथ्म पर विचार करें: 1)। परिवर्तनीय मान खोजें एक्सजिस पर प्रत्येक मॉड्यूल शून्य (सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य) के बराबर है:

2))। संख्या रेखा पर पाए गए मानों को चिह्नित करें, जो अंतराल में विभाजित है (क्रमशः अंतराल की संख्या, है एन+1 ) 3) । उस चिह्न का निर्धारण करें जिसके साथ प्रत्येक प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल प्रकट होता है (समाधान करते समय, आप उस पर चिह्नों को चिह्नित करके एक संख्या रेखा का उपयोग कर सकते हैं) 4)। मूल समीकरण समग्रता के बराबर है एन+1 सिस्टम, जिनमें से प्रत्येक एक चर के संबंधित को इंगित करता है एक्सअंतराल में से एक। उदाहरण: №1 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में सबसे बड़ा मूल इंगित करें:

एक)। सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात कीजिए: x = 2; एक्स = -3 2)। आइए हम पाए गए मानों को संख्या रेखा पर चिह्नित करें और उस संकेत को निर्धारित करें जिसके साथ प्रत्येक मॉड्यूल प्राप्त अंतराल पर विस्तारित होता है:
एक्स - 2 एक्स - 2 एक्स - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)

- कोई हल नहीं समीकरण के दो मूल हैं। उत्तर: सबसे बड़ा मूल x = 2। №2. समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण मूल इंगित करें:

एक)। सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात कीजिए: x = 1.5; एक्स = - 1 2)। आइए हम संख्या रेखा पर पाए गए मानों को चिह्नित करें और निर्धारित करें कि प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल किस संकेत से प्रकट होता है: + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1.5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).

अंतिम प्रणाली का कोई हल नहीं है, इसलिए समीकरण के दो मूल हैं। समीकरण को हल करने के दौरान, आपको दूसरे मॉड्यूल के सामने "-" चिह्न पर ध्यान देना चाहिए। उत्तर: संपूर्ण मूल x = 7. №3. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: 1)। सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात कीजिए: x = 5; एक्स = 1; एक्स = - 2 2)। आइए हम संख्या रेखा पर पाए गए मानों को चिह्नित करें और निर्धारित करें कि प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल किस संकेत से प्रकट होता है: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).

समीकरण के दो मूल x = 0 और 2 हैं। उत्तर : मूलों का योग 2 होता है। №4 . समीकरण हल करें: 1)। सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात कीजिए: x = 1; एक्स = 2; एक्स = 3.2)। आइए हम उस संकेत को निर्धारित करें जिसके साथ प्रत्येक मॉड्यूल प्राप्त अंतराल पर प्रकट होता है। 3))।

आइए पहले तीन प्रणालियों के समाधानों को मिलाएं। उत्तर: ; एक्स = 5.
व्यायाम: №24. प्रश्न हल करें:

№25. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: №26. समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटी जड़ को इंगित करें: №27. समीकरण को हल करें, उत्तर में बड़ा मूल इंगित करें:

धारा 9. कई मॉड्यूल वाले समीकरण

कई मॉड्यूल वाले समीकरण सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन में निरपेक्ष मान ग्रहण करते हैं। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का मुख्य सिद्धांत "बाहरी" से शुरू होने वाले मॉड्यूल का क्रमिक प्रकटीकरण है। समाधान के दौरान, खंड №1, 3 में चर्चा की गई तकनीकों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण: №1. प्रश्न हल करें:
उत्तर: एक्स = 1; - ग्यारह। №2. प्रश्न हल करें:
उत्तर: एक्स = 0; 4; - 4. №3. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों के उत्पाद को इंगित करें:
उत्तर: जड़ों का गुणनफल है - 8. №4. प्रश्न हल करें:
आइए हम समुच्चय के समीकरणों को निरूपित करें (1) तथा (2) और डिजाइन की सुविधा के लिए उनमें से प्रत्येक के समाधान पर अलग से विचार करें। चूंकि दोनों समीकरणों में एक से अधिक मॉड्यूल होते हैं, इसलिए सिस्टम के सेट के बराबर संक्रमण करना अधिक सुविधाजनक होता है। (1)

(2)

उत्तर:
व्यायाम: №36. समीकरण को हल करें, उत्तर में मूलों का योग लिखें: 5 │3x-5│ = 25 x №37. समीकरण को हल करें, यदि एक से अधिक मूल हैं, तो उत्तर में मूलों का योग इंगित करें: x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. समीकरण हल करें: 3 2x -4│ = 9 │x│ №39. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों की संख्या इंगित करें: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों की संख्या इंगित करें:

धारा 3. लघुगणक समीकरण।

निम्नलिखित समीकरणों को हल करने से पहले, लॉगरिदम और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के गुणों को दोहराना आवश्यक है। उदाहरण: №1. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों के उत्पाद को इंगित करें: लॉग 2 (x + 1) 2 + लॉग 2 │x + 1│ = 6 ODZ। एक्स + 1 0 एक्स ≠ - 1

1 स्थिति: यदि x - 1, तो लघुगणक 2 (x + 1) 2 + लघुगणक 2 (x + 1) = 6 लघुगणक 2 (x + 1) 3 = लघुगणक 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - - 1 2 स्थिति को संतुष्ट करता है: यदि х लॉग 2 (x + 1) 2 + लॉग 2 (-x-1) = 6 लॉग 2 (x + 1) 2 + लॉग 2 (- (x + 1)) = 6 लघुगणक 2 (- (x + 1) 3) = लघुगणक 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - शर्त को संतुष्ट करता है x - 1
उत्तर: जड़ों का गुणनफल है - 15.
№2. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: lg
ओ.डी.जेड.

उत्तर: जड़ों का योग 0.5 है।
№3. समीकरण हल करें: लॉग 5
ओ.डी.जेड.

उत्तर: एक्स = 9. №4. समीकरण हल करें: 2 + लॉग 0.2 x│ + 3 = │1 + लॉग 5 x│ O.D.Z. x> 0 आइए दूसरे आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करें। 2 - लॉग 5 x│ + 3 = │1 + लॉग 5 x│
2 - लॉग 5 x│- │1 + लॉग 5 x│ = - 3 सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य खोजें: x = 25; x = ये संख्याएँ अनुमेय मानों की श्रेणी को तीन अंतरालों में विभाजित करती हैं, इसलिए समीकरण तीन प्रणालियों के संयोजन के बराबर है।
उत्तर: )