समन्वय विधि अंतरिक्ष में स्टीरियोमेट्रिक वस्तुओं के बीच किसी भी कोण या दूरी को खोजने का एक बहुत प्रभावी और बहुमुखी तरीका है। यदि आपका गणित का शिक्षक अत्यधिक योग्य है, तो उसे यह पता होना चाहिए। अन्यथा, मैं आपको "सी" भाग के लिए ट्यूटर बदलने की सलाह दूंगा। गणित C1-C6 में परीक्षा के लिए मेरी तैयारी में आमतौर पर नीचे वर्णित बुनियादी एल्गोरिदम और सूत्रों का विश्लेषण शामिल होता है।

सीधी रेखाओं a और b . के बीच का कोण

अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर किसी भी प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के बीच का कोण होता है। यह कोण इन सीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है (या इसे 180 डिग्री तक पूरक करता है)।

गणित का शिक्षक कोण खोजने के लिए किस एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है?

1) कोई भी वेक्टर चुनें और, सीधी रेखाओं a और b (उनके समानांतर) की दिशाएँ रखते हुए।
2) वैक्टर के निर्देशांक और उनकी शुरुआत और अंत के संबंधित निर्देशांक द्वारा निर्धारित करें (शुरुआत के निर्देशांक वेक्टर के अंत के निर्देशांक से घटाए जाने चाहिए)।
3) प्राप्त निर्देशांक को सूत्र में बदलें:
... कोण को स्वयं खोजने के लिए, आपको परिणाम की प्रतिलोम कोज्या ज्ञात करनी होगी।

विमान के लिए सामान्य

इस तल के लंबवत किसी भी सदिश को समतल का अभिलंब कहा जाता है।
सामान्य कैसे खोजें?अभिलंब के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किसी दिए गए तल में स्थित किन्हीं तीन बिंदुओं M, N और K के निर्देशांक ज्ञात करना पर्याप्त है। इन निर्देशांकों का उपयोग करके, हम वैक्टर के निर्देशांक ढूंढते हैं और शर्तों की पूर्ति की आवश्यकता होती है और। वैक्टर के स्केलर उत्पाद को शून्य के बराबर करते हुए, हम तीन चर के साथ समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, जिससे सामान्य के निर्देशांक पाए जा सकते हैं।

गणित शिक्षक का नोट : सिस्टम को पूरी तरह से हल करना बिल्कुल भी जरूरी नहीं है, क्योंकि कम से कम एक सामान्य चुनने के लिए पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप इसके किसी भी अज्ञात निर्देशांक के बजाय किसी भी संख्या (उदाहरण के लिए, एक) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और शेष दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं। यदि इसका कोई समाधान नहीं है, तो इसका मतलब है कि मानदंडों के परिवार में ऐसा कोई नहीं है जिसके पास चयनित चर के लिए एक है। फिर एक को दूसरे वेरिएबल (दूसरे कोऑर्डिनेट) से बदलें और एक नई प्रणाली को हल करें। यदि आप फिर से चूक जाते हैं, तो आपके सामान्य में अंतिम समन्वय में एक होगा, और यह स्वयं कुछ समन्वय विमान के समानांतर हो जाएगा (इस मामले में, इसे सिस्टम के बिना ढूंढना आसान है)।

मान लीजिए कि हमें दिशा वेक्टर और सामान्य के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा और एक विमान दिया जाता है
एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

मान लीजिए और दिए गए तलों के कोई दो अभिलंब हैं। तब तलों के बीच के कोण का कोज्या, अभिलंबों के बीच के कोण के कोज्या के मापांक के बराबर होता है:

अंतरिक्ष में समतल का समीकरण

समानता को संतुष्ट करने वाले बिंदु सामान्य के साथ एक विमान बनाते हैं। गुणांक एक ही निर्दिष्ट सामान्य के साथ दो विमानों के बीच विचलन (समानांतर बदलाव) की मात्रा के लिए जिम्मेदार है। विमान के समीकरण को लिखने के लिए, आपको पहले इसके सामान्य (जैसा कि ऊपर वर्णित है) खोजने की जरूरत है, और फिर समीकरण में पाए गए सामान्य के निर्देशांक के साथ विमान पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक को समीकरण में बदलें और गुणांक खोजें।

निर्देशांक विधि का उपयोग करने के लिए, आपको सूत्रों को अच्छी तरह से जानना होगा। उनमें से तीन हैं:

पहली नज़र में, यह खतरनाक लगता है, लेकिन बस थोड़ा सा अभ्यास और सब कुछ बढ़िया काम करेगा।

कार्य। सदिश a = (4; 3; 0) और b = (0; 12; 5) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि सदिशों के निर्देशांक हमें दिए गए हैं, इसलिए हम उन्हें पहले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

कार्य। बिंदुओं M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण बनाइए, यदि यह ज्ञात हो कि यह इससे नहीं गुजरता है। मूल।

समाधान। विमान का सामान्य समीकरण: कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0, लेकिन चूंकि वांछित विमान निर्देशांक की उत्पत्ति से नहीं गुजरता है - बिंदु (0; 0; 0) - तो हम डी = 1 डालते हैं। चूंकि यह विमान बिंदु एम, एन और के के माध्यम से गुजरता है, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलना चाहिए।

बिंदु M = (2; 0; 1) के निर्देशांक x, y और z के स्थान पर रखें। हमारे पास है:
ए 2 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 2 ए + सी + 1 = 0;

इसी तरह, अंक N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) के लिए हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
ए 0 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 बी + सी + 1 = 0;
ए 2 + बी 1 + सी 0 + 1 = 0 2ए + बी + 1 = 0;

तो, हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं। आइए समीकरणों की प्रणाली को लिखें और हल करें:

हमने पाया कि समतल के समीकरण का रूप है: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0।

कार्य। यह तल समीकरण 7x - 2y + 4z + 1 = 0 द्वारा दिया गया है। दिए गए तल के लंबवत सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। तीसरे सूत्र का उपयोग करते हुए, हम n = (7; - 2; 4) प्राप्त करते हैं - बस!

वैक्टर के निर्देशांक की गणना

लेकिन क्या होगा अगर समस्या में कोई वैक्टर नहीं हैं - केवल सीधी रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं, और आपको इन सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है? यह आसान है: बिंदुओं के निर्देशांक जानना - वेक्टर की शुरुआत और अंत - आप स्वयं वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं।

एक वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए, इसके अंत के निर्देशांक से शुरुआत के निर्देशांक घटाएं।

यह प्रमेय समतल और अन्तरिक्ष दोनों में समान रूप से कार्य करता है। अभिव्यक्ति "घटाना निर्देशांक" का अर्थ है कि दूसरे के x निर्देशांक को एक बिंदु के x निर्देशांक से घटाया जाता है, फिर वही y और z निर्देशांक के साथ किया जाना चाहिए। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

कार्य। अंतरिक्ष में तीन बिंदु हैं, जो उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं: ए = (1; 6; 3), बी = (3; - 1; 7) और सी = (- 4; 3; - 2)। सदिश AB, AC और BC के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

एक वेक्टर एबी पर विचार करें: इसका मूल बिंदु ए पर है, और इसका अंत बिंदु बी पर है। इसलिए, इसके निर्देशांक खोजने के लिए, बिंदु ए के निर्देशांक को बिंदु बी के निर्देशांक से घटाना आवश्यक है:
एबी = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4)।

इसी तरह, वेक्टर एसी की शुरुआत अभी भी वही बिंदु ए है, लेकिन अंत बिंदु सी है। इसलिए, हमारे पास है:
एसी = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5)।

अंत में, वेक्टर बीसी के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको बिंदु बी के निर्देशांक को बिंदु सी के निर्देशांक से घटाना होगा:
बीसी = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9)।

उत्तर: एबी = (2; - 7; 4); एसी = (- 5; - 3; - 5); ईसा पूर्व = (- 7; 4; - 9)

पिछले बीसी वेक्टर के निर्देशांक की गणना पर ध्यान दें: साथ काम करते समय बहुत से लोग गलतियां करते हैं ऋणात्मक संख्या... यह चर y से संबंधित है: बिंदु B में y = -1 है, और बिंदु C y = 3 है। हमें ठीक 3 - (- 1) = 4 मिलता है, न कि 3-1, जैसा कि कई लोग मानते हैं। ऐसी मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करें!

सीधी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों की गणना

यदि आप समस्या C2 को ध्यान से पढ़ें, तो आपको यह जानकर आश्चर्य होगा कि वहां कोई वैक्टर नहीं हैं। केवल सीधी रेखाएँ और समतल हैं।

आइए सीधी रेखाओं से शुरू करते हैं। यहां सब कुछ सरल है: किसी भी सीधी रेखा पर कम से कम दो अलग-अलग बिंदु होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं ...

क्या किसी को समझ में आता है कि पिछले पैराग्राफ में क्या लिखा गया है? मैंने इसे स्वयं नहीं समझा, इसलिए मैं इसे आसान तरीके से समझाता हूँ: समस्या C2 में, सीधी रेखाएँ हमेशा बिंदुओं के एक जोड़े द्वारा दी जाती हैं। यदि हम एक समन्वय प्रणाली शुरू करते हैं और इन बिंदुओं पर शुरुआत और अंत के साथ एक वेक्टर पर विचार करते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा के लिए तथाकथित दिशा वेक्टर मिलता है:

इस वेक्टर की आवश्यकता क्यों है? बात यह है कि दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है। इस प्रकार, हम समझ से बाहर सीधी रेखाओं से विशिष्ट वैक्टर तक जाते हैं, जिनके निर्देशांक की गणना करना आसान है। कितना आसान है? उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

कार्य। घन में ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 रेखाएँ AC और BD 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूंकि क्यूब के किनारों की लंबाई इस स्थिति में निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम एबी = 1 सेट करते हैं। हम बिंदु ए पर मूल के साथ एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं और अक्ष एक्स, वाई, जेड लाइनों एबी, एडी और एए 1 के साथ निर्देशित होते हैं। क्रमश। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अब हम रेखा AC के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक ज्ञात करेंगे। हमें दो बिंदुओं की आवश्यकता है: ए = (0; 0; 0) और सी = (1; 1; 0)। यहाँ से हमें सदिश AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) के निर्देशांक प्राप्त होते हैं - यह दिशा सदिश है।

अब आइए सीधी रेखा BD 1 से निपटें। इसके भी दो बिंदु हैं: बी = (1; 0; 0) और डी 1 = (0; 1; 1)। हमें दिशा सदिश BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1) प्राप्त होता है।

उत्तर: एसी = (1; 1; 0); बीडी 1 = (- 1; 1; 1)

कार्य। एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाएँ AB 1 और AC 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

आइए समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु ए पर है, एक्स-अक्ष एबी के साथ मेल खाता है, जेड-अक्ष एए 1 के साथ मेल खाता है, वाई-अक्ष एक्स-अक्ष के साथ ओएक्सवाई विमान बनाता है, जो एबीसी विमान के साथ मेल खाता है .

सबसे पहले, आइए सीधी रेखा AB 1 से निपटें। यहां सब कुछ सरल है: हमारे पास अंक ए = (0; 0; 0) और बी 1 = (1; 0; 1) हैं। हम दिशा सदिश AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) प्राप्त करते हैं।

अब हम AC 1 के लिए दिशा सदिश ज्ञात करेंगे। सभी समान - अंतर केवल इतना है कि बिंदु C 1 में अपरिमेय निर्देशांक हैं। तो, ए = (0; 0; 0), तो हमारे पास है:

उत्तर: एबी 1 = (1; 0; 1);

अंतिम उदाहरण के बारे में एक छोटा लेकिन बहुत महत्वपूर्ण नोट। यदि वेक्टर की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, तो गणना बहुत सरल हो जाती है: वेक्टर के निर्देशांक अंत के निर्देशांक के बराबर होते हैं। दुर्भाग्य से, यह केवल वैक्टर के लिए सच है। उदाहरण के लिए, विमानों के साथ काम करते समय, उन पर मूल की उपस्थिति केवल गणना को जटिल बनाती है।

विमानों के लिए सामान्य वैक्टर की गणना

सामान्य वैक्टर ऐसे वैक्टर नहीं हैं जो अच्छा करते हैं या अच्छा करते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर (सामान्य) उस विमान के लंबवत एक वेक्टर है।

दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए विमान में किसी भी वेक्टर के लिए लंबवत एक सामान्य वेक्टर होता है। निश्चित रूप से आप ऐसी परिभाषा से मिले हैं - हालाँकि, हम वैक्टर के बजाय सीधी रेखाओं के बारे में बात कर रहे थे। हालाँकि, इसके ठीक ऊपर दिखाया गया था कि समस्या C2 में आप किसी भी सुविधाजनक वस्तु के साथ काम कर सकते हैं - यहाँ तक कि एक सीधी रेखा, यहाँ तक कि एक वेक्टर भी।

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि अंतरिक्ष में किसी भी तल को समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां A, B, C और D कुछ गुणांक हैं। समाधान की व्यापकता के नुकसान के बिना, हम डी = 1 मान सकते हैं यदि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, या डी = 0 यदि ऐसा होता है। किसी भी स्थिति में, इस तल के अभिलंब सदिश के निर्देशांक n = (A; B; C) हैं।

तो, विमान को एक वेक्टर द्वारा भी सफलतापूर्वक बदला जा सकता है - वही सामान्य। अंतरिक्ष में किसी भी विमान को तीन बिंदुओं से परिभाषित किया जाता है। समतल का समीकरण कैसे ज्ञात करें (और इसलिए सामान्य), हम पहले ही लेख की शुरुआत में चर्चा कर चुके हैं। हालाँकि, यह प्रक्रिया कई लोगों के लिए समस्याएँ पैदा करती है, इसलिए मैं कुछ और उदाहरण दूंगा:

कार्य। एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 क्यूब में सेक्शन ए 1 बीसी 1 खींचा गया है। इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि मूल बिंदु A पर है, और x, y, और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ मेल खाते हैं।

चूँकि तल मूल बिन्दु से नहीं गुजरता है, इसका समीकरण इस प्रकार है: Ax + By + Cz + 1 = 0, अर्थात। गुणांक डी = 1. चूंकि यह विमान बिंदु ए 1, बी और सी 1 से गुजरता है, इसलिए इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

ए 0 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ सी + 1 = 0 ⇒ सी = - 1;

इसी तरह, अंक बी = (1; 0; 0) और सी 1 = (1; 1; 1) के लिए हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
ए 1 + बी 0 + सी 0 + 1 = 0 ए + 1 = 0 ⇒ ए = - 1;
ए 1 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ए + बी + सी + 1 = 0;

लेकिन हम पहले से ही गुणांक ए = - 1 और सी = - 1 जानते हैं, इसलिए यह गुणांक बी को खोजने के लिए बनी हुई है:
बी = - 1 - ए - सी = - 1 + 1 + 1 = 1।

हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता है: - A + B - C + 1 = 0, इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (- 1; 1; - 1) के बराबर होते हैं।

कार्य। खंड एए 1 सी 1 सी क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में खींचा गया है। इस खंड के विमान के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि मूल बिंदु ए पर है, और एक्स, वाई, और जेड अक्ष के साथ मेल खाते हैं किनारों एबी, एडी और एए 1 क्रमशः।

इस मामले में, विमान मूल के माध्यम से गुजरता है, इसलिए गुणांक डी = 0, और विमान समीकरण इस तरह दिखता है: एक्स + बाय + सीजेड = 0। चूंकि विमान ए 1 और सी बिंदुओं से गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक समतल समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलें।

बिंदु A 1 = (0; 0; 1) के निर्देशांक x, y और z के स्थान पर रखें। हमारे पास है:
ए 0 + बी 0 + सी 1 = 0 ⇒ सी = 0;

इसी तरह, बिंदु C = (1; 1; 0) के लिए हमें समीकरण मिलता है:
ए 1 + बी 1 + सी 0 = 0 ⇒ ए + बी = 0 ⇒ ए = - बी;

हम बी = 1 डालते हैं। फिर ए = - बी = -1, और पूरे विमान के समीकरण का रूप है: - ए + बी = 0, इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (- 1; 1; 0)।

सामान्यतया, उपरोक्त समस्याओं में समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करना और उसे हल करना आवश्यक है। तीन समीकरण और तीन चर होंगे, लेकिन दूसरे मामले में उनमें से एक मुक्त होगा, अर्थात। मनमाना मूल्य लें। इसलिए हमारे पास समाधान की व्यापकता और उत्तर की शुद्धता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना B = 1 लगाने का अधिकार है।

बहुत बार C2 समस्या में उन बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है जो खंड को आधे में विभाजित करते हैं। ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों।

तो, खंड को इसके सिरों से परिभाषित किया जाए - बिंदु ए = (एक्स ए; वाई ए; जेड ए) और बी = (एक्स बी; वाई बी; जेड बी)। फिर खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक - हम इसे बिंदु एच द्वारा निरूपित करते हैं - सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

कार्य। इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता हो। बिंदु K किनारे A 1 B one का मध्यबिंदु है। इस बिंदु के निर्देशांक खोजें।

चूंकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्यबिंदु है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

कार्य। इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता हो। खोजें बिंदु L के निर्देशांक जहां वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

प्लानिमेट्री कोर्स से यह ज्ञात होता है कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्यबिंदु है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)

कक्षा 11 . में ज्यामिति का पाठ

विषय: "अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि "।

लक्ष्य: वेक्टर, वेक्टर-समन्वय विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने में इस ज्ञान को लागू करने के लिए छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान, उनके कौशल और क्षमताओं की जांच करना।

कार्य:

1 ज्ञान और कौशल को आत्मसात करने के लिए नियंत्रण (आत्म-नियंत्रण, आपसी नियंत्रण) के लिए स्थितियां बनाएं।

2. गणितीय सोच, भाषण, ध्यान विकसित करें।

3. छात्रों की गतिविधि, गतिशीलता, संचार कौशल, सामान्य संस्कृति को बढ़ावा देना।

संचालन का रूप: समूहों में काम।

उपकरण और सूचना स्रोत: स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, ज्ञान लेखा तालिका, क्रेडिट कार्ड, परीक्षण।

कक्षाओं के दौरान

1 गतिशील क्षण.

सीएसआर का उपयोग कर सबक; छात्रों को 3 गतिशील समूहों में बांटा गया है, जिसमें स्वीकार्य, इष्टतम और उन्नत स्तर वाले छात्र हैं। प्रत्येक समूह में एक समन्वयक का चयन किया जाता है जो पूरे समूह के कार्य का नेतृत्व करता है।

2 ... प्रत्याशा के आधार पर छात्रों का आत्मनिर्णय।

कार्य:योजना के अनुसार लक्ष्य निर्धारण: याद रखना - सीखना - सक्षम होना।

प्रवेश परीक्षा - रिक्त स्थान भरें (प्रिंटआउट में)

प्रवेश परीक्षा

अंतराल को भरने…

1.अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं।

चुने गए हैं, उनमें से प्रत्येक पर खंडों की माप की दिशा और इकाई का चयन किया जाता है,

तब वे कहते हैं कि यह सेट है ……………. अंतरिक्ष में।

2. सीधी रेखाओं को चुनी हुई दिशाओं को …………… .., कहा जाता है।

और उनका उभयनिष्ठ बिंदु ……….. ...

3. एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु M एक त्रिक संख्याओं से जुड़ा होता है जो इसे ……………… .. कहते हैं।

4. अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक ……………… .. कहलाते हैं।

5. जिस सदिश की लंबाई एक के बराबर होती है उसे ……….. कहा जाता है।

6. वैक्टर मैंआपककहा जाता है …………।

7. बाधाएं एक्सआपजेडअपघटन में ए= एक्समैं + आपजे + जेडकबुलाया

…………… वैक्टर ए .

8. दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक ……….. के बराबर होता है।

9. दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक ……………… के बराबर होता है।

10. एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक ……………….. के बराबर होता है।

11. सदिश का प्रत्येक निर्देशांक …………… के बराबर होता है।

12. खंड के मध्यबिंदु का प्रत्येक निर्देशांक ……………… के बराबर होता है।

13. वेक्टर लंबाई ए { एक्सआपजेड) सूत्र द्वारा गणना की जाती है ………………

14. बिंदुओं के बीच की दूरी 1 (एक्स 1 ; आप 1; जेड 1) और एम 2 (एक्स 2; आप 2 ; जेड2) सूत्र द्वारा परिकलित …………………

15. दो सदिशों के अदिश गुणनफल को …………….. कहते हैं।

16. शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य के बराबर होता है ………………..

17. वैक्टर का डॉट उत्पादए{ एक्स 1; आप 1; जेड 1} बी { एक्स 2 ; आप 2 ; जेड 2) में सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है …………………

इनपुट टेस्ट का क्रॉस चेक। स्क्रीन पर कार्यों का परीक्षण करने के उत्तर।

मूल्यांकन के मानदंड:

1-2 त्रुटियां - "5"

3-4 त्रुटियां - "4"

5-6 त्रुटियां - "3"

अन्य मामलों में - "2"

3. कार्य का निष्पादन। (कार्ड द्वारा)।

प्रत्येक कार्ड में दो कार्य होते हैं: नंबर 1 - प्रमाण के साथ सैद्धांतिक, नंबर 2 में कार्य शामिल हैं।

कार्य में शामिल कार्यों की जटिलता के स्तर की व्याख्या करें। समूह एक कार्य करता है, लेकिन उसके 2 भाग होते हैं। एक समूह समन्वयक पूरे समूह के काम का नेतृत्व करता है। कई भागीदारों के साथ एक जानकारी की चर्चा न केवल अपनी सफलताओं के लिए, बल्कि सामूहिक कार्य के परिणामों के लिए भी जिम्मेदारी बढ़ाती है, जिसका टीम में माइक्रॉक्लाइमेट पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है।

कार्ड # 1

1. किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांकों को उसके सिरों के निर्देशांकों के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

2.समस्या: 1) दिए गए बिंदु A (-3; 1; 2) और B (1; -1; 2)

पाना:

ए) खंड एबी के मध्य के निर्देशांक

बी) वेक्टर एबी के निर्देशांक और लंबाई

2) एक घन दिया गया है ABSDA1 B1 C1 D1। निर्देशांक विधि का प्रयोग करके कोण ज्ञात कीजिए

सीधी रेखाओं AB1 और A1 D के बीच।

कार्ड # 2

किसी सदिश की लंबाई को उसके निर्देशांकों द्वारा परिकलित करने के लिए सूत्र को आउटपुट करें।

समस्या: 1) दिए गए बिंदु M (-4; 7; 0),एन(0; -1; 2)। खण्ड M . के मूल बिन्दु से मध्य बिन्दु तक की दूरी ज्ञात कीजिएएन.

→ → → → →

2) दिए गए सदिश एतथा बी... पाना बी (ए + बी),अगर ए (-2; 3; 6), बी = 6i-8k

कार्ड # 3

दिए गए निर्देशांक के साथ बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र आउटपुट करें।

समस्या: 1) दिए गए बिंदु A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4)।

सिद्ध कीजिए कि ABC समद्विबाहु है और पार्श्व भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले त्रिभुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2) सीधी रेखाओं AB और SD के बीच के कोण की गणना करें, यदि A (1; 1; 0),

बी (3; -1; 2), डी (0; 1; 0)।

कार्ड # 4

दिए गए निर्देशांकों के साथ शून्येतर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के लिए सूत्रों को आउटपुट करें।

समस्या: 1) AVSD समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं:

ए (-6; -; 4; 0), बी (6; -6; 2), सी (10; 0; 4)। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2) सीधी रेखाओं AB और SD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, यदि A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

कार्ड # 5

मुझे बताएं कि इन रेखाओं के दिशा सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें। →→

समस्या: 1) सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात कीजिएएतथा बी, अगर:

→ → → ^ →

क) | ए| =4; | बी| =√3 (एबी)=30◦

बी) ए {2 ;-3; 1}, बी = 3 मैं +2 क

2) अंक ए (0; 4; 0), बी (2; 0; 0), सी (4; 0; 4) और डी (2; 4; 4) दिए गए हैं। सिद्ध कीजिए कि AVSD एक समचतुर्भुज है।

4. कार्ड द्वारा गतिशील समूहों के काम की जाँच करना.

हम समूहों के प्रतिनिधियों के प्रदर्शन को सुनते हैं। समूहों के काम का मूल्यांकन शिक्षक द्वारा छात्रों की भागीदारी से किया जाता है।

5. प्रतिबिंब। ऑफसेट के लिए ग्रेड।

अंतिम बहुविकल्पीय परीक्षा (प्रिंटआउट)।

1) दिए गए सदिश ए {2 ;-4 ;3} बी(-3; ; 1)। वेक्टर के निर्देशांक खोजें

→ 2

सी = ए+ बी

ए) (-5; 3 -; 4); बी) (-1; -3.5; 4) सी) (5; -4 -; 2) डी) (-1; 3.5; -4)

2) दिए गए सदिश ए(4; -3; 5) और बी(-3; 1; 2)। वेक्टर के निर्देशांक खोजें

सी=2 ए – 3 बी

ए) (7; -2; 3); बी) (11; -7; 8); ग) (17; -9; 4); घ) (-1; -3; 4)।

→ → → → → →

3) वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करेंएमतथा एन, अगर एम = ए + 2 बी- सी

→ → → → →^ → → → → →

एन= 2 ए - बीअगर | ए|=2 , ‌| बी |=3, (एबी‌) = 60 °, सी ┴ ए , सी ┴ बी.

ए) -1; बी) -27; पहले में; घ) 35.

4) वेक्टर लंबाई ए { एक्सआपजेड) 5 के बराबर है। सदिश a, if . के निर्देशांक ज्ञात कीजिएएक्स=2, जेड=-√5

क) 16; बी) 4 या -4; 9 पर; घ) 3 या -3।

5) ABS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि A (1; -1; 3); बी (3; -1; 1) और सी (-1; 1; -3)।

क) 4√3; बी) 3; ग) 2√3; डी) 8।

परीक्षण का क्रॉस-चेक। स्क्रीन पर परीक्षण मदों के लिए उत्तर कोड: 1 (बी); 2 (सी);

3 (ए); 4 (बी); 5 (सी)।

मूल्यांकन के मानदंड:

सब कुछ सही है- "5"

1 त्रुटि - "4"

2 त्रुटियां - "3"

अन्य मामलों में - "2"

छात्र ज्ञान तालिका

पर काम

पत्ते

अंतिम

परीक्षण

पास के लिए स्कोर

कार्य

सिद्धांत

अभ्यास

पहला समूह

दूसरा समूह

समूह 3

क्रेडिट के लिए छात्र की तैयारी का आकलन।

प्रस्तुतियों के पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, स्वयं एक Google खाता (खाता) बनाएं और उसमें लॉग इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली। वेक्टर निर्देशांक।

आयताकार समन्वय प्रणाली

यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत सीधी रेखाएं खींची जाती हैं, उनमें से प्रत्येक पर एक दिशा चुनी जाती है और खंडों की माप की एक इकाई चुनी जाती है, तो वे कहते हैं कि अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है

उन पर चुनी गई दिशाओं वाली सीधी रेखाएं निर्देशांक अक्ष कहलाती हैं, और उनका उभयनिष्ठ बिंदु मूल बिंदु होता है। इसे आमतौर पर ओ अक्षर से दर्शाया जाता है। समन्वय अक्षों को निम्नानुसार नामित किया जाता है: ऑक्स, ओए, ओ जेड - और नाम हैं: एब्सिसा अक्ष, समन्वय अक्ष, अनुप्रयुक्त अक्ष।

संपूर्ण समन्वय प्रणाली को ऑक्सी z द्वारा निरूपित किया जाता है। निर्देशांक अक्षों ऑक्स और ओए, ओए और ओ जेड, ओ जेड और ऑक्स से गुजरने वाले विमानों को क्रमशः समन्वय विमान कहा जाता है और ऑक्सी, ओए जेड, ओ जेड एक्स द्वारा दर्शाया जाता है।

बिंदु O प्रत्येक निर्देशांक अक्ष को दो किरणों में विभाजित करता है। एक किरण जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है, धनात्मक अर्ध-अक्ष कहलाती है, और दूसरी किरण ऋणात्मक अर्ध-अक्ष कहलाती है।

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु M तीन संख्याओं से जुड़ा होता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है।

यह आंकड़ा छह अंक ए (9; 5; 10), बी (4; -3; 6), सी (9; 0; 0), डी (4; 0; 5), ई (0; 3; 0) दिखाता है। , एफ (0; 0; -3)।

वेक्टर निर्देशांक

किसी भी सदिश को निर्देशांक सदिशों में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात्, उस रूप में निरूपित किया जाता है जहां विस्तार गुणांक x, y, z विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।

निर्देशांक सदिशों में सदिश के प्रसार में गुणांक x, y और z दिए गए निर्देशांक तंत्र में सदिश के निर्देशांक कहलाते हैं।

उन नियमों पर विचार करें जो इन वैक्टरों के निर्देशांक द्वारा उनके योग और अंतर के निर्देशांक, साथ ही किसी दिए गए वेक्टर के उत्पाद के निर्देशांक को किसी दिए गए नंबर से खोजने की अनुमति देते हैं।

10. दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2, y 2, z 2) ये सदिश हैं, तो सदिश a + b के निर्देशांक हैं (x 1 + x 2, y 1 + वाई 2, जेड 1 + जेड 2)।

बीस। दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2 y 2; z 2) ये सदिश हैं, तो सदिश a-b के निर्देशांक हैं (x 1 - x 2, y 1 - y 2, जेड 1 - जेड 2)।

तीस । किसी संख्या बटा सदिश के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक इस संख्या द्वारा सदिश के संगत निर्देशांक के गुणनफल के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x; y; x) एक दिया गया वेक्टर है, α एक दी गई संख्या है, तो वेक्टर α a में निर्देशांक (αх; αу; α z) होते हैं।

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

डिडक्टिक हैंडआउट "विषय पर छात्रों के लिए सार का एक सेट" अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि "व्याख्यान के रूप में पाठ आयोजित करने के लिए। ज्यामिति 10-11 ग्रेड ....

पाठ का उद्देश्य: "परीक्षा के कार्यों C2 को हल करने के लिए अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि का उपयोग करना" विषय पर छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की जांच करना। नियोजित शैक्षिक परिणाम: छात्र प्रदर्शित करते हैं: ...