Problema numeris 1
Logika paprasta: elgsimės taip, kaip darėme anksčiau, nepaisant to, kad dabar trigonometrinės funkcijos turi sudėtingesnį argumentą!
Jei išspręstume formos lygtį:
Tada surašytume tokį atsakymą:
Arba (nuo)
Tačiau dabar mūsų vaidmuo yra toks:
Tada galite parašyti:
Mūsų tikslas su jumis, kad kairysis stovas būtų paprastas, be jokių "priemaišų"!
Atsikratykime jų palaipsniui!
Pirmiausia pašaliname vardiklį: tam padauginame savo lygybę iš:
Dabar atsikratykime jo, padalindami abi dalis į jį:
Dabar atsikratykime aštuonių:
Gautą išraišką galima parašyti kaip 2 sprendinių serijas (pagal analogiją su kvadratine lygtimi, kur diskriminantą pridedame arba atimame)
Turime rasti didžiausią neigiamą šaknį! Aišku, kad reikia susitvarkyti.
Pirmiausia apsvarstykite pirmąją seriją:
Aišku, kad jei imsime, tai dėl to gausime teigiamus skaičius, o jie mums neįdomūs.
Taigi reikia vertinti neigiamai. Leisti.
Kai šaknis jau yra:
Ir mes turime rasti didžiausią neigiamą! Tai reiškia, kad nebėra prasmės eiti neigiama kryptimi. Ir bus didžiausia šios serijos neigiama šaknis.
Dabar pažvelkime į antrąją seriją:
Ir vėl pakeičiame:, tada:
Nesudomintas!
Tada nebėra prasmės didinti! Sumažinsime! Leisk tada:
Tinka!
Leisti. Tada
Tada – didžiausia neigiama šaknis!
Atsakymas:
Problema numeris 2
Vėlgi, nepaisant sudėtingo kosinuso argumento, išsprendžiame:
Dabar vėl išreiškiame į kairę:
Abi puses padauginame iš
Abi puses padaliname į
Belieka jį perkelti į dešinę, keičiant jo ženklą iš minuso į pliusą.
Mes vėl turime 2 šaknų serijas, viena su ir kita su.
Turime rasti didžiausią neigiamą šaknį. Apsvarstykite pirmąją seriją:
Aišku, kad pirmąją neigiamą šaknį gausime ties, ji bus lygi ir bus didžiausia neigiama šaknis 1 serijoje.
Antrajai serijai
Pirmoji neigiama šaknis taip pat bus gauta ir bus lygi. Kadangi tada yra didžiausia neigiama lygties šaknis.
Atsakymas: .
Problema numeris 3
Išspręskite neatsižvelgdami į sudėtingą liestinės argumentą.
Atrodo, kad tai nieko sudėtingo, tiesa?
Kaip ir anksčiau, kairėje pusėje išreiškiame:
Na, tai puiku, čia tik viena šaknų serija! Dar kartą raskite didžiausią neigiamą.
Aišku, kad išeina, jei įdėsime. Ir ši šaknis yra lygi.
Atsakymas:
Dabar pabandykite patys išspręsti šias problemas.
Namų darbai arba 3 užduotys savarankiškam sprendimui.
- Sprendimai-shi-te lygtis.
- Sprendimai-shi-te lygtis.
Ot-ve-tuose na-pi-shi-te, mažiausia po-li-tel-šaknis. - Sprendimai-shi-te lygtis.
Ot-ve-tuose na-pi-shi-te, mažiausia po-li-tel-šaknis.
Pasiruošę? Tikrinama. Viso sprendimo algoritmo smulkiai neaprašysiu, man atrodo, kad aukščiau jam jau buvo skirta pakankamai dėmesio.
Na, ar viskas teisingai? O, tie bjaurūs sinusai, su jais visada būna kokių nors bėdų!
Na, dabar galite išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis!
Patikrinkite sprendimus ir atsakymus:
Problema numeris 1
Išreikškime
Mažiausia teigiama šaknis gaunama, jei įdedame, nuo tada
Atsakymas:
Problema numeris 2
Mažiausia teigiama šaknis gaunama, kai.
Jis bus lygus.
Atsakymas: .
Problema numeris 3
Kai gauname, kai gauname.
Atsakymas: .
Šios žinios padės išspręsti daugelį problemų, su kuriomis susidursite per egzaminą.
Jei pretenduojate į „5“ pažymį, tereikia perskaityti straipsnį vidutinio lygio, kuri bus skirta sudėtingesnėms trigonometrinėms lygtims spręsti (C1 užduotis).
VIDUTINIS LYGIS
Šiame straipsnyje aprašysiu sprendžiant sudėtingesnio tipo trigonometrines lygtis ir kaip atrinkti jų šaknis. Čia aš remsiuosi šiomis temomis:
- Trigonometrinės lygtys pradiniam lygiui (žr. aukščiau).
Sudėtingesnės trigonometrinės lygtys yra sudėtingesnių problemų pagrindas. Juose reikia ir pačią lygtį išspręsti bendra forma, ir rasti šios lygties šaknis, priklausančias tam tikram nurodytam intervalui.
Trigonometrinių lygčių sprendimas susideda iš dviejų dalių:
- Lygties sprendimas
- Šaknų pasirinkimas
Reikėtų pažymėti, kad pastarasis ne visada reikalingas, tačiau vis tiek daugumoje pavyzdžių reikia pasirinkti. Ir jei to nereikia, galite užjausti - tai reiškia, kad lygtis savaime yra gana sudėtinga.
Mano patirtis analizuojant C1 užduotis rodo, kad jos dažniausiai skirstomos į šias kategorijas.
Keturios padidinto sudėtingumo užduočių kategorijos (anksčiau C1)
- Lygtys, redukuojančios į faktorizaciją.
- Lygtys redukuojamos į formą.
- Kintamojo keitimu išspręstos lygtys.
- Lygtys, kurioms būtina papildomai parinkti šaknis dėl neracionalumo ar vardiklio.
Paprasčiau tariant: jei susidursite viena iš pirmųjų trijų lygčių tipų tada laikyk save laimingu. Jiems, kaip taisyklė, papildomai reikia pasiimti šaknis, priklausančias tam tikram intervalui.
Jei susidursite su 4 tipo lygtimi, jums pasisekė mažiau: reikia šiek tiek ilgiau ir atidžiau padirbėti su ja, tačiau gana dažnai tai nereikalauja papildomo šaknų pasirinkimo. Nepaisant to, šio tipo lygtis panagrinėsiu kitame straipsnyje, o šis bus skirtas pirmųjų trijų tipų lygtims spręsti.
Faktoringo lygtys
Svarbiausias dalykas, kurį reikia atsiminti norint išspręsti tokio tipo lygtis, yra
Kaip rodo praktika, paprastai šių žinių pakanka. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:
1 pavyzdys. Redukavimo iki faktorizavimo lygtis naudojant redukcijos formules ir dvigubo kampo sinusus
- Res-shi-te lygtis
- Nay-di-te visas šios lygties šaknis
Čia, kaip ir žadėjau, liejimo formulės veikia:
Tada mano lygtis atrodys taip:
Tada mano lygtis bus tokia:
Trumparegis studentas gali pasakyti: o dabar sutrumpinsiu abi dalis, gaunu paprasčiausią lygtį ir džiaukiuosi gyvenimu! Ir tai bus skaudžiai klysta!
| ATMINKITE: NIEKADA NESUMAŽINKITE ABI TRIGONOMETRINĖS LYGTIES DALIŲ FUNKCIJA, KURIOJE YRA NEŽINOMO! TAIGI TU PRARASI ŠAKNŲ! |
Tai ką darai? Taip, viskas paprasta, perkelkite viską viena kryptimi ir pašalinkite bendrą veiksnį:
Na, mes įtraukiame tai į veiksnius, hurra! Dabar mes nusprendžiame:
Pirmoji lygtis turi šaknis:
Ir antrasis:
Tai užbaigia pirmąją problemos dalį. Dabar turime pasirinkti šaknis:
Tarpas yra toks:
Arba taip pat galima parašyti taip:
Na, paimkime šaknis:
Pirma, dirbkime su pirmąja serija (ir tai lengviau, ką galime pasakyti!)
Kadangi mūsų intervalas yra visiškai neigiamas, nereikia imti neneigiamų, vis tiek jie duos neneigiamas šaknis.
Imkime, tada – kiek per daug, netelpa.
Tegu, tada – daugiau nepataikė.
Dar vienas bandymas – tada – yra, pataikyk! Pirma šaknis rasta!
Vėl šauju: tada – vėl pataikiau!
Na, dar kartą:: - tai jau skrydis.
Taigi iš pirmosios serijos 2 šaknys priklauso intervalui:.
Dirbame su antrąja serija (statome iki laipsnio pagal taisyklę):
Nepakanka!
Dar kartą nušauti!
Ir vėl nepakankamai!
Supratau!
Skrydis!
Taigi mano sričiai priklauso šios šaknys:
Būtent pagal šį algoritmą išspręsime visus kitus pavyzdžius. Praktikuokime kartu su dar vienu pavyzdžiu.
2 pavyzdys. Lygtis, kuri redukuoja iki faktorizavimo naudojant redukcijos formules
- Išspręskite lygtį
Sprendimas:
Vėl liūdnai pagarsėjusios liejimo formulės:
Vėlgi, nebandykite sumažinti!
Pirmoji lygtis turi šaknis:
Ir antrasis:
Dabar vėl ieškokite šaknų.
Pradėsiu nuo antros serijos, apie ją jau viską žinau iš ankstesnio pavyzdžio! Pažiūrėkite ir įsitikinkite, kad tarpai priklausančios šaknys yra tokios:
Dabar pirmas epizodas ir viskas paprasčiau:
Jei - tinka
Jei – taip pat gerai
Jei – jau skrydis.
Tada šaknys bus tokios:
Savarankiškas darbas. 3 lygtys.
Na, ar jums aiški technika? Išspręsti trigonometrines lygtis nebeatrodo taip sunku? Tada greitai patys išspręskite šias problemas, o tada jūs ir aš spręsime kitus pavyzdžius:
- Išspręskite lygtį
Ne-di-tai yra visos šios lygties šaknys, prijungtos prie intervalo. - Res-shi-te lygtis
Nurodykite lygties šaknis - Res-shi-te lygtis
Ne-di-tai yra visos šios lygties-non-niy, pridedamos prie-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku, šaknys.
1 lygtis.
Ir vėl liejimo formulė:
Pirmoji šaknų serija:
Antroji šaknų serija:
Prasideda atranka į tarpą
Atsakymas: ,.
2 lygtis. Savarankiško darbo tikrinimas.
Gana sudėtingas suskirstymas į veiksnius (naudosiu dvigubo kampo sinuso formulę):
tada arba
Tai yra bendras sprendimas. Dabar turime pasirinkti šaknis. Bėda ta, kad negalime pasakyti tikslios kampo, kurio kosinusas lygus vienam ketvirčiui, reikšmės. Todėl aš negaliu tiesiog atsikratyti arkosino - tai labai gėda!
Ką galiu padaryti, tai išsiaiškinti, kas ir kaip.
Padarykime lentelę: intervalas:
Na, o per skausmingas paieškas priėjome apgailėtiną išvadą, kad mūsų lygtis turi vieną šaknį nurodytame intervale: \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi
3 lygtis. Savarankiško darbo tikrinimas.
Bauginanti lygtis. Tačiau ją galima išspręsti gana paprastai, taikant dvigubo kampo sinuso formulę:
Sumažinti 2:
Sugrupuokime pirmąjį terminą su antruoju, o trečiąjį su ketvirtuoju ir išimkime bendruosius veiksnius:
Akivaizdu, kad pirmoji lygtis neturi šaknų, o dabar apsvarstykite antrąją:
Apskritai, aš ketinau šiek tiek vėliau pasilikti prie tokių lygčių sprendimo, bet kadangi taip pasirodė, tai nėra ką veikti, reikia išspręsti ...
Formos lygtys:
Ši lygtis išspręsta padalijus abi dalis iš:
Taigi mūsų lygtis turi vieną šaknų seką:
Būtina rasti tuos iš jų, kurie priklauso intervalui:.
Dar kartą pastatykime lentelę, kaip dariau anksčiau:
Atsakymas:.
Lygtys, redukuojančios į formą:
Na, o dabar pats laikas pereiti prie antrosios lygčių partijos, juolab, kad aš jau paplepėjau, iš ko susideda naujo tipo trigonometrinių lygčių sprendimas. Tačiau nebus nereikalinga kartoti tą formos lygtį
Jis išspręstas padalijus abi dalis iš kosinuso:
- Res-shi-te lygtis
Nurodykite lygties-not-nia, kada-per-guli-nuo-pjovimo, šaknis. - Res-shi-te lygtis
Nurodykite lygties-not-nia, kada-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku šaknis.
1 pavyzdys.
Pirmasis yra labai paprastas. Pereikite į dešinę ir pritaikykite dvigubo kampo kosinuso formulę:
Aha! Formos lygtis:. Abi dalis padalinu į
Atliekame šaknų sijojimą:
Tarpas:
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Viskas taip pat gana nereikšminga: išplėskime skliaustus dešinėje:
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė:
Dvigubo kampo sinusas:
Pagaliau gauname:
Šaknų iškritimas: tarpas.
Atsakymas:.
Na, kaip jums patinka technika, ar ji nėra pernelyg sudėtinga? Tikiuosi, kad ne. Iš karto galime padaryti išlygą: gryna forma lygtys, kurios iš karto redukuojasi į liestinės lygtį, yra gana retos. Paprastai šis perėjimas (dalijimas iš kosinuso) yra tik dalis sudėtingesnės problemos. Pateikiame jums praktikos pavyzdį:
- Res-shi-te lygtis
- Ne-di-tai yra visos šios lygties-not-nia, pridedamos prie-le-zha-shi-ku, šaknys.
Patikrinkime:
Lygtis išspręsta iš karto, pakanka padalyti abi dalis į:
Iškritimas iš šaknų:
Atsakymas:.
Vienaip ar kitaip, mes dar turime susidurti su tokiomis lygtimis, kurias ką tik išanalizavome. Tačiau mums dar per anksti apvalinti: yra dar vienas lygčių „sluoksnis“, kurio neanalizavome. Taigi:
Trigonometrinių lygčių sprendimas keičiant kintamąjį
Čia viskas aišku: atidžiai žiūrime į lygtį, kiek įmanoma ją supaprastiname, atliekame keitimą, išsprendžiame, keičiame atvirkščiai! Žodžiu, viskas labai paprasta. Pažiūrėkime kaip veikia:
Pavyzdys.
- Išspręskite lygtį:.
- Ne-di-tai yra visos šios lygties-not-nia, pridedamos prie-le-zha-shi-ku, šaknys.
Na, čia pats pakeitimas prašosi būti mūsų rankose!
Tada mūsų lygtis pavirs tokia:
Pirmoji lygtis turi šaknis:
O antrasis yra šie:
Dabar rasime intervalui priklausančias šaknis
Atsakymas:.
Kartu panagrinėkime šiek tiek sudėtingesnį pavyzdį:
- Res-shi-te lygtis
- Nurodykite pateiktos lygties-non-niy, kada-over-le-za-shi-n-e-zhut-ku, šaknis.
Čia pakeitimas nėra matomas iš karto, be to, jis nėra labai akivaizdus. Pirmiausia pagalvokime: ką galime padaryti?
Pavyzdžiui, galime įsivaizduoti
Ir tuo pačiu
Tada mano lygtis bus tokia:
Dabar dėmesio, dėmesio:
Padalinkime abi lygties puses iš:
Staiga jūs ir aš gavome kvadratinę lygtį! Pakeiskime, tada gausime:
Lygtis turi šias šaknis:
Bjauri antroji šaknų serija, bet to negalima padėti! Mes pasirenkame šaknis intervale.
Mes taip pat turime tai apsvarstyti
Nuo tada ir tada
Atsakymas:
Norėdami konsoliduoti, prieš patys spręsdami problemas, atlikite kitą pratimą:
- Res-shi-te lygtis
- Ne-di-tai yra visos šios lygties-non-niy, pridedamos prie-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku, šaknys.
Čia reikia neatmerkti akių: dabar turime vardiklius, kurie gali būti nulis! Todėl reikia būti ypač atidiems šaknims!
Visų pirma, turiu transformuoti lygtį, kad galėčiau atlikti tinkamą pakaitalą. Šiuo metu nesugalvoju nieko geresnio, kaip perrašyti liestinę sinuso ir kosinuso terminais:
Dabar aš pereisiu nuo kosinuso prie sinuso pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę:
Ir galiausiai viską sujungsiu į bendrą vardiklį:
Dabar galiu pereiti prie lygties:
Bet prie (tai yra, prie).
Dabar viskas paruošta pakeitimui:
Tada arba
Tačiau atkreipkite dėmesį, kad jei, tada tuo pačiu metu!
Kas nuo to kenčia? Bėda su liestine, ji neapibrėžta, kai kosinusas yra nulis (dalijimas iš nulio).
Taigi, lygties šaknys yra tokios:
Dabar mes išsijojame šaknis intervale:
| - tinka | |
| - brutali jėga |
Taigi mūsų lygtis turi vieną šaknį intervale ir yra lygi.
Matote: vardiklio atsiradimas (kaip ir liestinė sukelia tam tikrų sunkumų su šaknimis! Čia reikia būti atsargesniam!).
Na, jūs ir aš beveik baigėme trigonometrinių lygčių analizę, liko labai mažai - savarankiškai išspręsti dvi problemas. Jie yra čia.
- Išspręskite lygtį
Ne-di-tai yra visos šios lygties-not-nia, pridedamos prie-le-zha-shi-ku, šaknys. - Res-shi-te lygtis
Nurodykite šios lygties šaknis, pritvirtintas prie pjūvio.
Nusprendėte? Nelabai sunku? Patikrinkime:
- Dirbame pagal redukcijos formules:
Pakeiskite lygtį:
Perrašykime viską kosinusais, kad būtų patogiau atlikti pakeitimą:
Dabar lengva pakeisti:
Akivaizdu, kad tai yra pašalinė šaknis, nes lygtis neturi sprendinių. Tada:
Intervale ieškome mums reikalingų šaknų
Atsakymas:.
Čia iškart matomas pakeitimas:Tada arba
- tinka! - tinka! - tinka! - tinka! - daug! - irgi daug! Atsakymas:
Na, dabar tiek! Bet tuo trigonometrinių lygčių sprendimas nesibaigia, mums belieka patys sunkiausi atvejai: kai lygtyse yra neracionalumo ar visokių „sudėtingų vardiklių“. Mes apsvarstysime, kaip išspręsti tokias užduotis aukštesniojo lygio straipsnyje.
PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Be ankstesniuose dviejuose straipsniuose aptartų trigonometrinių lygčių, mes apsvarstysime dar vieną lygčių klasę, kurią reikia dar kruopštesnės analizės. Šiuose trigonometriniuose pavyzdžiuose yra neracionalumo arba vardiklio, todėl juos sunkiau analizuoti.... Tačiau galite susidurti su šiomis lygtimis egzamino darbo C dalyje. Tačiau yra sidabrinis pamušalas: tokioms lygtims paprastai nekeliamas klausimas, kuri iš jos šaknų priklauso tam tikram intervalui. Neplakime, o tik trigonometrinius pavyzdžius.
1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį ir suraskite segmentui priklausančias šaknis.
Sprendimas:
Mes turime vardiklį, kuris neturėtų būti nulis! Tada šios lygties sprendimas yra tas pats, kas sistemos sprendimas
Išspręskime kiekvieną iš lygčių:
O dabar antrasis:
Dabar pažvelkime į seriją:
Akivaizdu, kad parinktis mums netinka, nes šiuo atveju vardiklis yra nulinis (žr. antrosios lygties šaknų formulę)
Jei vis dėlto, tada viskas tvarkoje, o vardiklis nėra nulis! Tada lygties šaknys yra tokios:,.
Dabar pasirenkame intervalui priklausančias šaknis.
| - netinka | - tinka | |
| - tinka | - tinka | |
| brutali jėga | brutali jėga |
Tada šaknys yra tokios:
Matote, net ir nedidelio triukšmo atsiradimas vardiklio pavidalu reikšmingai paveikė lygties sprendimą: mes išmetėme eilę šaknų, kurios nulinės vardiklį. Situacija gali būti dar sunkesnė, jei susidursite su trigonometriniais pavyzdžiais, kuriuose yra neracionalumo.
2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį:
Sprendimas:
Na, bent jau šaknų atrinkti nereikia ir tai gerai! Pirmiausia išspręskime lygtį, nepaisant neracionalumo:
Ar tai viskas? Ne, deja, tai būtų per lengva! Reikia atsiminti, kad po šaknimi gali būti tik neneigiami skaičiai. Tada:
Šios nelygybės sprendimas:
Dabar belieka išsiaiškinti, ar kai kurios pirmosios lygties šaknys netyčia pateko ten, kur nelygybė netenkinama.
Norėdami tai padaryti, vėl galite naudoti lentelę:
| : , bet | Ne! | |
| Taip! | ||
| Taip! |
Taip nuo manęs „iškrito“ viena iš šaknų! Pasirodo, jei įdėsite. Tada atsakymą galima parašyti taip:
Atsakymas:
Matote, šaknis reikalauja dar atidesnio dėmesio! Kad viskas būtų sudėtinga: dabar leiskite man turėti trigonometrinę funkciją po šaknimi.
3 pavyzdys.
Kaip ir anksčiau: iš pradžių spręsime kiekvieną atskirai, o tada galvosime, ką padarėme.
Dabar antroji lygtis:
Dabar sunkiausia išsiaiškinti, ar gaunamos neigiamos reikšmės pagal aritmetinę šaknį, jei ten pakeičiame šaknis iš pirmosios lygties:
Skaičius turėtų būti suprantamas kaip radianai. Kadangi radianai yra apie laipsnius, radianai yra apie laipsnius. Tai antrojo ketvirčio kampinis. Koks yra antrojo ketvirčio kosinuso ženklas? Minusas. O sinusas? Pliusas. Taigi, ką galima pasakyti apie posakį:
Tai mažiau nei nulis!
Tai reiškia, kad tai nėra lygties šaknis.
Dabar atėjo eilė.
Palyginkime šį skaičių su nuliu.
Kotangentas yra funkcija, mažėjanti per 1 ketvirtį (kuo mažesnis argumentas, tuo didesnis kotangentas). radianai yra maždaug laipsniai. Tuo pačiu metu
nuo tada ir tada
,
Atsakymas:.
Ar gali būti dar sunkiau? Sveiki atvykę! Bus sunkiau, jei trigonometrinė funkcija vis dar yra po šaknimi, o antroji lygties dalis vėl yra trigonometrinė funkcija.
Kuo daugiau trigonometrinių pavyzdžių, tuo geriau, žr.
4 pavyzdys.
Šaknis netinka dėl riboto kosinuso
Dabar antrasis:
Tuo pačiu metu pagal šaknies apibrėžimą:
Turime prisiminti vieneto apskritimą: būtent tuos ketvirčius, kurių sinusas yra mažesnis už nulį. Kokie jie kvartalai? Trečias ir ketvirtas. Tada mus domina tie pirmosios lygties sprendiniai, kurie yra trečiame ar ketvirtame ketvirtyje.
Pirmoji serija sukuria šaknis trečiojo ir ketvirtojo ketvirčių sankirtoje. Antroji serija, kuri yra diametraliai priešinga jai, sukelia šaknis, gulinčias ant pirmojo ir antrojo ketvirčių ribos. Todėl ši serija mums netinka.
Atsakymas: ,
Ir vėl trigonometriniai pavyzdžiai su „sunkiu neracionalumu“... Mes ne tik turime trigonometrinę funkciją po šaknimi, bet dabar ji yra ir vardiklyje!
5 pavyzdys.
Na, nieko negalima padaryti – elgiamės kaip anksčiau.
Dabar dirbame su vardikliu:
Nenoriu spręsti trigonometrinės nelygybės, todėl pasielgsiu gudriai: paimsiu ir pakeisiu savo šaknų eilutę į nelygybę:
Jei - net, tada mes turime:
nuo tada visi vaizdo kampai yra ketvirtajame ketvirtyje. Ir vėl šventas klausimas: kas yra sinuso ženklas ketvirtajame ketvirtyje? Neigiamas. Tada nelygybė
Jei keista, tada:
Kuriame kvartale yra kampas? Tai antrojo ketvirčio kampinis. Tada visi kampiniai vėl yra antrojo ketvirčio kampiniai. Ten sinusas teigiamas. Kaip tik tai, ko tau reikia! Taigi, serija:
Tinka!
Su antrąja šaknų serija elkitės taip pat:
Savo nelygybe pakeičiame:
Jei - net, tada
Pirmojo ketvirčio kampiniai. Ten sinusas teigiamas, tad serija tinka. Jei dabar - nelyginis, tada:
taip pat tinka!
Na, dabar mes užrašome atsakymą!
Atsakymas:
Na, tai buvo bene daugiausiai laiko atimantis atvejis. Dabar aš siūlau jums problemas, kurias galite išspręsti patys.
Sportuoti
- Išspręskite ir suraskite visas atkarpai priklausančias lygties šaknis.
Sprendimai:
Pirmoji lygtis:
arba
ODZ šaknis:Antroji lygtis:
Šaknų, priklausančių tarpui, pasirinkimas
Atsakymas:
Arba
arba
Bet
Apsvarstykite:. Jei - net, tada
- netinka!
Jei - nelyginis,: - tinka!
Tai reiškia, kad mūsų lygtis turi šias šaknų serijas:
arba
Šaknų pasirinkimas intervale:
| - netinka | - tinka | |
| - tinka | - daug | |
| - tinka | daug |
Atsakymas: ,.
Arba
Nuo tada, kai liestinė nėra apibrėžta. Mes iš karto atmetame šią šaknų seriją!
Antra dalis:
Tuo pačiu, anot ODZ, to reikalaujama
Mes patikriname pirmoje lygtyje rastas šaknis:
Jei ženklas yra:
Pirmojo ketvirčio kampai, kurių liestinė yra teigiama. Netinka!
Jei ženklas yra:
Ketvirto ketvirčio kampas. Ten liestinė yra neigiama. Tinka. Užrašome atsakymą:
Atsakymas: ,.
Šiame straipsnyje kartu apžvelgėme sudėtingus trigonometrinius pavyzdžius, tačiau lygtis turėtumėte išspręsti patys.
SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS
Trigonometrinė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra griežtai po trigonometrinės funkcijos ženklu.
Yra du būdai, kaip išspręsti trigonometrines lygtis:
Pirmasis būdas yra naudoti formules.
Antrasis būdas yra per trigonometrinį apskritimą.
Leidžia išmatuoti kampus, rasti jų sinusus, kosinusus ir kt.
Pasirengimas matematikos vieningo valstybinio egzamino profilio lygiui. Naudinga medžiaga apie trigonometriją, didelės teorinės video paskaitos, vaizdo problemų analizė ir praėjusių metų užduočių pasirinkimas.
Naudingos medžiagos
Vaizdo įrašų pasirinkimas ir internetiniai kursai
Trigonometrinės formulės
Geometrinė trigonometrinių formulių iliustracija
Lanko funkcijos. Paprasčiausios trigonometrinės lygtys
Trigonometrinės lygtys
- Reikalinga teorija problemoms spręsti.
- a) Išspręskite lygtį $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ dešinėje] $. - a) Išspręskite lygtį $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [-3 \ pi; - \ pi \ right] $. - Išspręskite lygtį $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $.
- a) Išspręskite lygtį $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [- \ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $. - a) Išspręskite lygtį $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $.
- Išspręskite lygtį $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $.
- Išspręskite lygtį $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right) $.- a) Išspręskite lygtį $ \ cos 2x = \ sin \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $. - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) = \ sqrt3 \ cos x $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ right] $.
Užduočių vaizdo analizė
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ sqrt (3); \ kvadratas (20) \ dešinėn] $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ right] $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ sqrt (3); \ kvadratas (30) \ dešinėn] $.
a) Išspręskite lygtį $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ right) $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right) $.
a) Išspręskite lygtį $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right) = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ dešinėje] $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [\ log_5 2; \ log_5 20 \ right] $.
a) Išspręskite lygtį $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) = 9 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right] $.
a) Išspręskite lygtį $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $.
a) Išspręskite lygtį $ \ left (\ dfrac (1) (49) \ right) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ right] $.
a) Išspręskite lygtį $ \ sin x + \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ dešinė) \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) + \ sin \ dfrac (x) (2) \ dešinė) = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $.
a) Išspręskite lygtį $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui $ \ left [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $.
Praėjusių metų užduočių pasirinkimas
- a) Išspręskite lygtį $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ right] $. (USE-2018. Ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ sqrt (3); \ kvadratas (30) \ dešinėn] $. (USE-2018. Ankstyvoji banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ dešinė) = \ cos x $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-2 \ pi; - \ dfrac (\ pi) (2) \ dešinėje] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [3 \ pi; \ dfrac (9 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ right] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $.
- a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sqrt3 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [2 \ pi; \ dfrac (7 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ dešinėje] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sqrt2 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ right) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ right] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sqrt2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right] $. (USE-2018. Pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ dešinėje] $. (USE-2018. Pagrindinė banga)
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2018. Pagrindinė banga)- a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2018. Pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ right] $. (USE-2018. Pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ right] $. (USE-2018. Pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ dešinėje] $. (USE-2018. Pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $.
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ sqrt (3); \ kvadratas (20) \ dešinėn] $. (USE-2018. Pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (\ pi) (2); \ \ pi \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ log_2 0 (,) 2; \ \ log_2 5 \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ log_2 0 (,) 1; \ 12 \ sqrt (5) \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 0 (,) 4 ^ (\ sin x) + 2 (,) 5 ^ (\ sin x) = 2 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ log_8 \ left (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ right) = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ log_4 \ left (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ dešinė) = x $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ log_2 ^ 2 \ kairė (\ sin x \ dešinė) - 5 \ log_2 \ kairė (\ sin x \ dešinė) - 3 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- 3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 81 ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- 4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 8 ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ right] $. (USE-2017, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ sqrt (10); \ \ sqrt (99) \ right] $. (USE-2016, pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 6 \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [2; \ 2 (,) 5 \ right] $. (USE-2016, pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right) + 1 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, pagrindinė banga, rezervo diena) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2016, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-2 \ pi; \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 8 ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ right] $. (USE-2016, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) = 0,25 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ left (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ right)) = \ sqrt (2) $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left $. (USE-2015, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ pi; \ 0 \ right] $. (USE-2015, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ right] $. (USE-2014, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) - \ sin 2x = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2014, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) + 1 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2014, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ - \ sqrt (2) \ sin \ left (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ dešinė) \ cdot \ sin x = \ cos x $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [\ dfrac (9 \ pi) (2); \ 6 \ pi \ right] $. (USE-2014, ankstyvoji banga) - a) Išspręskite lygtį $ \ sin 2x = \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2013, pagrindinė banga) - a) Išspręskite lygtį $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ kairėje (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ dešinėje) - 2 = 0 $.
b) Nurodykite šios lygties šaknis, priklausančias segmentui $ \ left [-5 \ pi; \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ dešinėn] $. (USE-2012, antroji banga)
Pamokos tikslas:
a) įtvirtinti gebėjimą spręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis;
b) mokyti pasirinkti trigonometrinių lygčių šaknis iš nurodyto intervalo
Per užsiėmimus.
1. Žinių aktualizavimas.
a) Namų darbų tikrinimas: klasei buvo duotas išankstinis namų darbas – išspręsti lygtį ir rasti būdą, kaip pasirinkti šaknis iš duoto intervalo.
1) cos x= -0,5, kur xI [-]. Atsakymas:.
2) nuodėmė x=, kur xI. Atsakymas: ; ...
3) cos 2 x= -, kur хI. Atsakymas:
Mokiniai rašo sprendimą lentoje, kažkas naudodamiesi grafiku, kažkas pasirinkimo būdu.
Šiuo metu klasė veikia žodžiu.
Raskite posakio prasmę:
a) tg - sin + cos + sin. Atsakymas: 1.
b) 2 lankai 0 + 3 lankai 1. Atsakymas: ?
c) arcsin + arcsin. Atsakymas:.
d) 5 arctan (-) - arccos (-). Atsakymas:-.
– Patikrinkime namų darbus, atsiverskime namų darbų sąsiuvinius.
Kai kurie iš jūsų rado sprendimą taikydami tinkamumo metodą, o kiti - pagal grafiką.
2. Išvada, kaip spręsti šias užduotis ir problemos išdėstymas, ty temos žinutė ir pamokos tikslas.
- a) Sunku išspręsti atrankos pagalba, jei duotas didelis intervalas.
- b) Grafinis metodas neduoda tikslių rezultatų, reikalauja patikrinimo ir užima daug laiko.
– Todėl turi būti dar bent vienas metodas, universaliausias – pabandykime jį surasti. Taigi, ką mes šiandien veiksim klasėje? (Išmokite pasirinkti trigonometrinės lygties šaknis tam tikru intervalu.)
- 1 pavyzdys (mokinys eina prie lentos)
cos x= -0,5, kur xI [-].
Klausimas: nuo ko priklauso šios užduoties atsakymas? (Iš lygties bendrojo sprendinio. Parašykime sprendinį bendra forma). Sprendimas užrašomas lentoje
х = + 2? k, kur k R.
- Parašykime šį sprendimą rinkinio forma:
– Kaip manote, kokiam sprendimo įrašui patogu rinktis šaknis intervale? (iš antrojo įrašo). Bet tai vėlgi atrankos metodas. Ką turime žinoti, kad gautume teisingą atsakymą? (Jūs turite žinoti k reikšmes).
(Sukurkime matematinį modelį, kad rastume k).
kadangi kI Z, tada k = 0, vadinasi X= = |
ši nelygybė rodo, kad sveikųjų k reikšmių nėra. |
Išvada: Norėdami pasirinkti šaknis iš nurodyto intervalo sprendžiant trigonometrinę lygtį, turite:
- kad išspręstume formos lygtį sin x = a, cos x = a patogiau lygties šaknis rašyti kaip dvi šaknų eiles.
- formos lygtims išspręsti tg x = a, ctg x = a užrašykite bendrą šaknų formulę.
- sudaryti kiekvieno sprendinio matematinį modelį dvigubos nelygybės pavidalu ir rasti sveikąjį parametro k arba n reikšmę.
- pakeiskite šias reikšmes į šaknies formulę ir apskaičiuokite jas.
Naudodami gautą algoritmą išspręskite 2 ir 3 pavyzdžius iš namų darbų. Tuo pačiu metu prie lentos dirba du mokiniai, o paskui tikrina darbą.
Šiame straipsnyje pabandysiu paaiškinti 2 būdus šaknų pasirinkimas trigonometrinėje lygtyje: naudojant nelygybes ir naudojant trigonometrinį apskritimą. Pereikime tiesiai prie iliustruojamojo pavyzdžio ir spręskime bylą.
A) Išspręskite lygtį sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x)
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui [-7Pi / 2; -2Pi]
Išspręskime tašką a.
Naudojame sinusinės nuodėmės redukcijos formulę (Pi / 2 + x) = cos (x)
Sqrt (2) cos ^ 2x = cosx
Sqrt (2) cos ^ 2x - cosx = 0
Cosx (sqrt (2) cosx - 1) = 0
X1 = Pi / 2 + kaištis, n ∈ Z
Sqrt (2) cosx – 1 = 0
Cosx = 1 / kvadratas (2)
Cosx = kvadratas (2) / 2
X2 = lankai (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
X2 = Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
Išspręskime tašką b.
1) Šaknų parinkimas naudojant nelygybes
Čia viskas daroma paprastai, gautas šaknis pakeičiame duotame intervale [-7Pi / 2; -2Pi], raskite sveikųjų skaičių n.
7Pi / 2 mažesnis arba lygus Pi / 2 + Pin mažesnis arba lygus -2Pi
Viską iš karto padalinkite į Pi
7/2 yra mažesnis arba lygus 1/2 + n yra mažesnis arba lygus -2
7/2 - 1/2 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -2 - 1/2
4 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -5/2
Visas n šiame diapazone yra -4 ir -3. Taigi šiam intervalui priklausančios šaknys bus Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2, Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2
Panašiai darome dar dvi nelygybes
7Pi/2 mažesnis arba lygus Pi/4 + 2Pin mažesnis arba lygus -2Pi
-15/8 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -9/8
Šiame intervale nėra sveikųjų skaičių n
7Pi / 2 mažesnis arba lygus -Pi / 4 + 2Pin mažesnis arba lygus -2Pi
-13/8 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -7/8
Vienas sveikasis skaičius n šiame intervale yra -1. Taigi pasirinkta šaknis šiame intervale yra -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4.
Taigi atsakymas b punkte: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4
2) Šaknų parinkimas naudojant trigonometrinį apskritimą
Norėdami naudoti šį metodą, turite suprasti, kaip veikia šis ratas. Pabandysiu paprasta kalba paaiškinti, kaip aš tai suprantu. Manau, kad mokyklose algebros pamokose ši tema daug kartų buvo aiškinama sumaniais mokytojo žodžiais, sudėtingomis formuluotėmis vadovėliuose. Asmeniškai aš tai suprantu kaip apskritimą, kurį galima apvažiuoti be galo daug kartų, dėl to, kad sinuso ir kosinuso funkcijos yra periodinės.
Eikime vieną kartą prieš laikrodžio rodyklę
Apeikime 2 kartus prieš laikrodžio rodyklę
Apeikime 1 kartą pagal laikrodžio rodyklę (reikšmės bus neigiamos)
Grįžkime prie mūsų klausimo, turime pasirinkti šaknis intervale [-7Pi / 2; -2Pi]
Norėdami pasiekti skaičius -7Pi / 2 ir -2Pi, turite du kartus apeiti ratą prieš laikrodžio rodyklę. Norint rasti lygties šaknis šiame intervale, būtina įvertinti ir pakeisti.
Apsvarstykite x = Pi / 2 + Pin. Kokia yra apytikslė n reikšmė, kad x reikšmė būtų kažkur šiame intervale? Pakeisdami, tarkim -2, gauname Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, akivaizdu, kad tai nėra įtraukta į mūsų intervalą, todėl imame mažiau nei -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, tai tinka, pabandykime dar kartą -4 , Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 taip pat tinka.
Panašiai samprotaujant Pi / 4 + 2Pin ir -Pi / 4 + 2Pin, randame kitą šaknį -9Pi / 4.
Dviejų metodų palyginimas.
Pirmasis metodas (naudojant nelygybes) yra daug patikimesnis ir daug lengviau suprantamas, tačiau jei tikrai rimtai užsiimsite trigonometriniu apskritimu ir antruoju atrankos metodu, tada šaknų pasirinkimas bus daug greitesnis, galite sutaupyti apie 15 minučių. egzaminas.
a) Išspręskite lygtį:.
b) Raskite visas atkarpai priklausančias šios lygties šaknis.
Problemos sprendimas
Šioje pamokoje nagrinėjamas trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdys, kuris gali būti naudojamas kaip pavyzdys sprendžiant C1 tipo uždavinius ruošiantis matematikos egzaminui.
Visų pirma, nustatoma funkcijos apimtis – visos leistinos argumento reikšmės. Tada sprendimo metu trigonometrinė sinuso funkcija paverčiama kosinusu, naudojant redukcijos formulę. Be to, visi lygties nariai perkeliami į kairę pusę, kur bendras koeficientas išimamas iš skliaustų. Kiekvienas koeficientas yra lygus nuliui, o tai leidžia nustatyti lygties šaknis. Tada posūkių metodu nustatomos duotam segmentui priklausančios šaknys. Norėdami tai padaryti, ant sukonstruoto vieneto apskritimo nuo kairiosios nurodyto segmento ribos į dešinę pažymima kilpa. Be to, vienetiniame apskritime rastos šaknys sujungiamos atkarpomis su jo centru ir nustatomi taškai, kuriuose šie segmentai kerta kilpą. Šie susikirtimo taškai yra norimas atsakymas į antrąją problemos dalį.
