Muammo raqami 1
Mantiq oddiy: biz avvalgidek harakat qilamiz, garchi endi trigonometrik funksiyalar murakkabroq argumentga ega bo'lsa ham!
Agar biz shakldagi tenglamani yechsak:
Keyin quyidagi javobni yozamiz:
Yoki (bundan buyon)
Ammo endi bizning rolimizda quyidagi ibora mavjud:
Keyin yozishingiz mumkin:
Siz bilan bizning maqsadimiz - chap tomonni hech qanday "nopokliklar"siz sodda qilib turishdir!
Keling, ularni asta-sekin yo'q qilaylik!
Birinchidan, biz maxrajni olib tashlaymiz: buning uchun biz tengligimizni ko'paytiramiz:
Endi ikkala qismni unga bo'lish orqali undan xalos bo'laylik:
Endi sakkiztadan xalos bo'laylik:
Olingan ifodani 2 seriyali yechim sifatida yozish mumkin (kvadrat tenglamaga o'xshash, bu erda biz diskriminantni qo'shamiz yoki ayitamiz)
Biz eng katta salbiy ildizni topishimiz kerak! Buni tartibga solish kerakligi aniq.
Avval birinchi seriyani ko'rib chiqing:
Agar biz olsak, natijada ijobiy raqamlarga ega bo'lishimiz aniq va ular bizni qiziqtirmaydi.
Shuning uchun siz uni salbiy qabul qilishingiz kerak. Mayli.
Ildiz allaqachon bo'lganda:
Va biz eng katta salbiyni topishimiz kerak !! Bu endi salbiy tomonga borishning ma'nosi yo'qligini anglatadi. Va bu seriya uchun eng katta salbiy ildiz bo'ladi.
Endi ikkinchi seriyani ko'rib chiqamiz:
Va yana o'rniga:, keyin:
Qiziqtirmaydi!
Keyin ko'paytirishning ma'nosi yo'q! Biz kamaytiramiz! Keling, unda:
Mos keladi!
Mayli. Keyin
Keyin - eng katta salbiy ildiz!
Javob:
Muammo raqami 2
Yana murakkab kosinus argumentidan qat'i nazar, biz hal qilamiz:
Endi biz yana chapga ifodalaymiz:
Biz ikkala tomonni ko'paytiramiz
Biz ikkala tomonni ikkiga ajratamiz
Qolgan narsa - uni o'ngga siljitish, uning belgisini minusdan ortiqchagacha o'zgartirish.
Bizda yana ikkita ildiz seriyasi bor, biri bilan, ikkinchisi esa.
Biz eng katta salbiy ildizni topishimiz kerak. Birinchi seriyani ko'rib chiqing:
Biz birinchi salbiy ildizni olishimiz aniq, u 1 qatordagi eng katta salbiy ildizga teng bo'ladi va bo'ladi.
Ikkinchi seriya uchun
Birinchi salbiy ildiz ham da olinadi va unga teng bo'ladi. Chunki u tenglamaning eng katta manfiy ildizidir.
Javob: .
Muammo raqami 3
Murakkab tangens argumentidan qat'iy nazar yeching.
Bu hech qanday murakkab narsa emasga o'xshaydi, to'g'rimi?
Avvalgidek, biz chap tomonda ifodalaymiz:
Xo'sh, bu ajoyib, bu erda faqat bir qator ildizlar bor! Yana eng katta salbiyni toping.
Agar qo'ysak, bu aniq bo'ladi. Va bu ildiz tengdir.
Javob:
Endi quyidagi muammolarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling.
Mustaqil hal qilish uchun uy vazifasi yoki 3 ta vazifa.
- Qarorlar-shi-te tenglamasi.
- Qarorlar-shi-te tenglamasi.
Ot-ve-o'sha na-pi-shi-te, eng kichik po-li-tel-root. - Qarorlar-shi-te tenglamasi.
Ot-ve-o'sha na-pi-shi-te, eng kichik po-li-tel-root.
Tayyormisiz? Tekshirish. Men butun yechim algoritmini batafsil tasvirlab bermayman, menimcha, yuqorida unga etarlicha e'tibor qaratilgan.
Xo'sh, hammasi to'g'rimi? Oh, bu yomon sinuslar, ular bilan doimo muammolar bor!
Xo'sh, endi siz eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echishingiz mumkin!
Yechim va javoblarni tekshiring:
Muammo raqami 1
Keling, ifoda qilaylik
Eng kichik musbat ildiz, agar, beri, keyin qo'ysak olinadi
Javob:
Muammo raqami 2
Eng kichik musbat ildiz qachon olinadi.
Bu teng bo'ladi.
Javob: .
Muammo raqami 3
Qachon olamiz, qachon olamiz.
Javob: .
Ushbu bilim sizga imtihonda duch keladigan ko'plab muammolarni hal qilishga yordam beradi.
Agar siz "5" bahosiga ariza topshirayotgan bo'lsangiz, unda siz shunchaki maqolani o'qishga o'tishingiz kerak o'rta daraja, murakkabroq trigonometrik tenglamalarni echishga bag'ishlangan bo'ladi (topshiriq C1).
O'RTACHA DARAJASI
Ushbu maqolada men tasvirlab beraman murakkabroq turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish va ularning ildizlarini qanday tanlash kerak. Bu erda men quyidagi mavzular bo'yicha quraman:
- Kirish darajasi uchun trigonometrik tenglamalar (yuqoriga qarang).
Murakkabroq trigonometrik tenglamalar murakkabroq masalalarning asosi hisoblanadi. Ularda tenglamaning o'zini umumiy shaklda yechish ham, ma'lum bir belgilangan intervalga tegishli bu tenglamaning ildizlarini topish ham talab qilinadi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish ikkita kichik vazifani bajaradi:
- Tenglama yechimi
- Ildizlarni tanlash
Shuni ta'kidlash kerakki, ikkinchisi har doim ham talab qilinmaydi, lekin ko'pchilik misollarda hali ham tanlov talab qilinadi. Va agar bu talab qilinmasa, unda siz hamdardlik bildirishingiz mumkin - bu tenglamaning o'zi juda murakkab ekanligini anglatadi.
C1 vazifalarini tahlil qilish tajribam shuni ko'rsatadiki, ular odatda ushbu toifalarga bo'linadi.
To'rtta murakkablikdagi vazifalar (ilgari C1)
- Faktorlarga ajratuvchi tenglamalar.
- Shaklga keltiruvchi tenglamalar.
- O'zgaruvchilarning o'zgarishi bilan yechilgan tenglamalar.
- Irratsionallik yoki maxraj tufayli ildizlarni qo'shimcha tanlashni talab qiluvchi tenglamalar.
Oddiy qilib aytganda: agar duch kelsangiz birinchi uch turdagi tenglamalardan biri keyin o'zingizni omadli deb hisoblang. Ular uchun, qoida tariqasida, siz qo'shimcha ravishda ma'lum bir intervalga tegishli ildizlarni olishingiz kerak.
Agar siz 4-turdagi tenglamaga duch kelsangiz, unda siz kamroq omadlisiz: siz u bilan biroz uzoqroq va yaqinroq o'ylashingiz kerak, lekin ko'pincha unda ildizlarni qo'shimcha tanlash kerak emas. Shunga qaramay, men keyingi maqolada ushbu turdagi tenglamalarni tahlil qilaman va bu birinchi uch turdagi tenglamalarni echishga bag'ishlanadi.
Faktoring tenglamalari
Ushbu turdagi tenglamalarni echish uchun eslash kerak bo'lgan eng muhim narsa
Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qoida tariqasida, bu bilim etarli. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol. Kamaytirish formulalari va ikki burchakli sinus yordamida koeffitsientga qisqartirish.
- Res-shi-te tenglamasi
- Nay-di-te bu tenglamaning barcha ildizlarini
Bu erda, men va'da qilganimdek, quyish formulalari ishlaydi:
Keyin mening tenglamam quyidagicha ko'rinadi:
Keyin mening tenglamam quyidagi shaklni oladi:
Qisqani ko'rmaydigan talaba aytishi mumkin: va endi men ikkala qismni qisqartiraman, eng oddiy tenglamani topaman va hayotdan zavqlanaman! Va bu qattiq xato bo'ladi!
| ESDA OLING: TRIGONOMETRİK TENGLAMANING Ikkala QISMINI HECH QACHON NOMA’lum FUNKSIYA BILAN KISHAYTIRMANG! SHUNCHA SIZ ILDIZLARNI YO'qotasiz! |
Xo'sh, nima qilasiz? Ha, hamma narsa oddiy, hamma narsani bir yo'nalishda harakatlantiring va umumiy omilni chiqarib tashlang:
Xo'sh, biz buni omillarga bog'laymiz, shoshiling! Endi biz qaror qilamiz:
Birinchi tenglamaning ildizlari bor:
Va ikkinchisi:
Bu muammoning birinchi qismini yakunlaydi. Endi biz ildizlarni tanlashimiz kerak:
Bo'shliq quyidagicha:
Yoki shunday yozilishi ham mumkin:
Keling, ildizlarni olaylik:
Birinchidan, birinchi seriya bilan ishlaylik (va bu osonroq, nima deyishimiz mumkin!)
Bizning intervalimiz butunlay salbiy bo'lganligi sababli, salbiy bo'lmaganlarni olishning hojati yo'q, baribir ular salbiy bo'lmagan ildizlarni beradi.
Keling, olaylik, keyin - bir oz ko'p, mos kelmaydi.
Mayli, keyin - yana urmadi.
Yana bir urinish - keyin - bor, uring! Birinchi ildiz topildi!
Yana otaman: keyin - yana urdim!
Xo'sh, yana bir bor:: - bu allaqachon parvoz.
Shunday qilib, birinchi qatordan 2 ta ildiz intervalga tegishli:.
Biz ikkinchi seriya bilan ishlayapmiz (biz qurmoqdamiz qoidaga muvofiq darajada):
Pastga oling!
Yana pastga tushing!
Yana pastga tushing!
Tushundim!
Parvoz!
Shunday qilib, quyidagi ildizlar mening spanga tegishli:
Aynan shu algoritm yordamida biz boshqa barcha misollarni hal qilamiz. Keling, yana bir misol bilan birga mashq qilaylik.
2-misol. Kamaytirish formulalari yordamida faktorizatsiyaga keltiruvchi tenglama
- Tenglamani yeching
Yechim:
Yana mashhur kasting formulalari:
Shunga qaramay, kamaytirishga urinmang!
Birinchi tenglamaning ildizlari bor:
Va ikkinchisi:
Endi ildizlarni yana qidiring.
Men ikkinchi seriyadan boshlayman, men bu haqda hamma narsani oldingi misoldan bilaman! Qarang va bo'shliqqa tegishli ildizlar quyidagicha ekanligiga ishonch hosil qiling:
Endi birinchi qism va u oddiyroq:
Agar - mos keladi
Agar - ham yaxshi
Agar - allaqachon parvoz.
Keyin ildizlar quyidagicha bo'ladi:
Mustaqil ish. 3 ta tenglama.
Xo'sh, texnika sizga tushunarlimi? Trigonometrik tenglamalarni yechish endi unchalik qiyin emasdek tuyuladimi? Keyin quyidagi masalalarni tezda o'zingiz hal qiling, keyin siz va men boshqa misollarni hal qilamiz:
- Tenglamani yeching
Nay-di-bu tenglamaning barcha ildizlari intervalga biriktirilgan. - Res-shi-te tenglamasi
Tenglamaning ildizlarini ko'rsating - Res-shi-te tenglamasi
Nay-di-bu tenglamaning barcha ildizlari-non-niy, biriktirilgan-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Tenglama 1.
Va yana quyish formulasi:
Ildizlarning birinchi seriyasi:
Ildizlarning ikkinchi seriyasi:
Bo'shliq uchun tanlovni boshlash
Javob: , .
Tenglama 2. Mustaqil ishlarni tekshirish.
Faktorlarga juda qiyin guruhlash (men ikki burchakli sinus formulasidan foydalanaman):
keyin yoki
Bu umumiy yechim. Endi biz ildizlarni tanlashimiz kerak. Muammo shundaki, biz burchakning aniq qiymatini ayta olmaymiz, uning kosinasi to'rtdan biriga teng. Shuning uchun men arkkosindan qutulolmayman - bu juda sharmandalik!
Men nima qila olaman, keyin nima va qanday qilib tushunaman.
Keling, jadval tuzamiz: interval:
Og'riqli qidiruvlar natijasida biz ko'rsatilgan oraliqda tenglamamiz bitta ildizga ega degan umidsizlikka keldik: \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi
Tenglama 3. Mustaqil ishlarni tekshirish.
Qo'rqinchli tenglama. Biroq, buni ikki burchakli sinus formulasini qo'llash orqali juda oddiy hal qilish mumkin:
2 ga kamaytiring:
Keling, birinchi atamani ikkinchi, uchinchisini to'rtinchi bilan guruhlaymiz va umumiy omillarni chiqaramiz:
Birinchi tenglamaning ildizlari yo'qligi aniq va endi ikkinchisini ko'rib chiqing:
Umuman olganda, men bunday tenglamalarni echish haqida biroz keyinroq to'xtalib o'tmoqchi edim, lekin u paydo bo'lganligi sababli, unda hech narsa yo'q, hal qilish kerak ...
Shaklning tenglamalari:
Ushbu tenglama ikkala qismni quyidagilarga bo'lish orqali hal qilinadi:
Shunday qilib, bizning tenglama bir qator ildizlarga ega:
Ulardan intervalga tegishli bo'lganlarini topish kerak:.
Keling, avvalgidek, yana jadval tuzamiz:
Javob: .
Shaklga keltiruvchi tenglamalar:
Xo'sh, endi tenglamalarning ikkinchi to'plamiga o'tish vaqti keldi, ayniqsa men yangi turdagi trigonometrik tenglamalarning yechimi nimadan iboratligini allaqachon aytib o'tganim uchun. Ammo bu shakldagi tenglamani takrorlash ortiqcha bo'lmaydi
U ikkala qismni kosinusga bo'lish yo'li bilan hal qilinadi:
- Res-shi-te tenglamasi
Tenglamaning ildizlarini ko'rsating-nia emas, qachon-o'ta-yotuvchi-dan-kesish. - Res-shi-te tenglamasi
Tenglamaning ildizlarini ko'rsating-not-nia, when-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
1-misol.
Birinchisi juda oddiy. O'ngga siljiting va ikki burchakli kosinus formulasini qo'llang:
Aha! Shakl tenglamasi:. Men ikkala qismni ham ajrataman
Biz ildizlarni elakdan o'tkazamiz:
Bo'shliq:
Javob:
2-misol.
Hammasi ham juda ahamiyatsiz: keling, o'ngdagi qavslarni kengaytiramiz:
Asosiy trigonometrik identifikatsiya:
Ikki burchakli sinus:
Biz nihoyat olamiz:
Ildiz tushishi: bo'shliq.
Javob: .
Xo'sh, texnikani qanday yoqtirasiz, bu juda murakkab emasmi? Umid qilamanki, yo'q. Biz darhol rezervlashimiz mumkin: ularning sof shaklida, darhol tangens uchun tenglamaga tushadigan tenglamalar juda kam uchraydi. Odatda, bu o'tish (kosinus bo'yicha bo'linish) yanada murakkab muammoning faqat bir qismidir. Mana sizga mashq qilish uchun bir misol:
- Res-shi-te tenglamasi
- Nay-di-bu tenglamaning barcha ildizlari - nia emas, le-zha-shi-ku bilan biriktirilgan.
Keling, tekshiramiz:
Tenglama darhol yechiladi, ikkala qismni quyidagilarga bo'lish kifoya:
Ildiz tushishi:
Javob: .
Qanday bo'lmasin, biz hozir tahlil qilgan tenglamalarga duch kelmadik. Biroq, yaxlitlash uchun hali erta: biz tahlil qilmagan yana bir “qatlam” tenglama bor. Shunday qilib:
O'zgaruvchini o'zgartirish orqali trigonometrik tenglamalarni yechish
Bu erda hamma narsa shaffof: biz tenglamaga diqqat bilan qaraymiz, uni iloji boricha soddalashtiramiz, almashtirishni amalga oshiramiz, hal qilamiz, teskari almashtirishni qilamiz! Bir so'z bilan aytganda, hamma narsa juda oson. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:
Misol.
- Tenglamani yeching:.
- Nay-di-bu tenglamaning barcha ildizlari - nia emas, le-zha-shi-ku bilan biriktirilgan.
Xo'sh, bu erda almashtirishning o'zi bizning qo'limizda bo'lishini iltimos qiladi!
Keyin bizning tenglamamiz shunday bo'ladi:
Birinchi tenglamaning ildizlari bor:
Ikkinchisi esa quyidagilar:
Endi biz intervalga tegishli ildizlarni topamiz
Javob: .
Keling, biroz murakkabroq misolni birgalikda ko'rib chiqaylik:
- Res-shi-te tenglamasi
- Berilgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating-non-niy, when-over-le-za-shi-n-e-zhut-ku.
Bu erda almashtirish darhol ko'rinmaydi, bundan tashqari, bu juda aniq emas. Avval o'ylab ko'raylik: nima qilishimiz mumkin?
Masalan, biz tasavvur qila olamiz
Va ayni paytda
Keyin mening tenglamam quyidagi shaklni oladi:
Endi diqqat, diqqat:
Tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:
To'satdan siz va men uchun kvadrat tenglama paydo bo'ldi! Keling, almashtiramiz, keyin biz olamiz:
Tenglama quyidagi ildizlarga ega:
Yomon ikkinchi ildizlar seriyasi, lekin unga yordam berish mumkin emas! Intervalda ildizlarni tanlaymiz.
Buni ham hisobga olishimiz kerak
O'shandan beri va keyin
Javob:
Birlashtirish uchun, muammolarni o'zingiz hal qilishdan oldin, siz uchun yana bir mashq:
- Res-shi-te tenglamasi
- Nay-di-bu tenglamaning barcha ildizlari-non-niy, biriktirilgan-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Bu erda siz ko'zingizni ochiq tutishingiz kerak: endi bizda nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan denominatorlar mavjud! Shuning uchun, ayniqsa, ildizlarga ehtiyot bo'lishingiz kerak!
Avvalo, mos almashtirishni amalga oshirishim uchun tenglamani o'zgartirishim kerak. Men hozir sinus va kosinus bo'yicha tangensni qayta yozishdan ko'ra yaxshiroq narsani o'ylay olmayman:
Endi men asosiy trigonometrik identifikatsiya orqali kosinusdan sinusga o'taman:
Va nihoyat, men hamma narsani umumiy maxrajga keltiraman:
Endi men tenglamaga o'tishim mumkin:
Lekin da (ya'ni, at).
Endi hamma narsa almashtirishga tayyor:
Keyin ham
Biroq, shuni yodda tutingki, agar, keyin bir vaqtning o'zida!
Bundan kim azob chekadi? Tangens bilan bog'liq muammo, kosinus nolga teng bo'lganda (nolga bo'linish) aniqlanmaydi.
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari quyidagicha:
Endi biz oraliqda ildizlarni elakdan o'tkazamiz:
| - mos keladi | |
| - qo'pol kuch |
Shunday qilib, bizning tenglamamiz oraliqda bitta ildizga ega va u ga teng.
Ko'ryapsizmi: denominatorning ko'rinishi (shuningdek, tangens, ildizlar bilan muayyan qiyinchiliklarga olib keladi! Bu erda siz ko'proq ehtiyot bo'lishingiz kerak!).
Xo'sh, siz va men trigonometrik tenglamalarni tahlil qilishni deyarli tugatdik, juda oz qoldi - ikkita masalani mustaqil hal qilish. Mana ular.
- Tenglamani yeching
Nay-di-bu tenglamaning barcha ildizlari - nia emas, le-zha-shi-ku bilan biriktirilgan. - Res-shi-te tenglamasi
Kesimga biriktirilgan bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating.
Qaror qildingizmi? Juda qiyin emasmi? Keling, tekshiramiz:
- Biz kamaytirish formulalari bo'yicha ishlaymiz:
Tenglamaga almashtiring:
O'zgartirishni qulayroq qilish uchun keling, hamma narsani kosinuslar bo'yicha qayta yozamiz:
Endi almashtirishni amalga oshirish oson:
Bu begona ildiz ekanligi aniq, chunki tenglamaning yechimlari yo'q. Keyin:
Biz intervalda kerakli ildizlarni qidiramiz
Javob: .
Bu erda almashtirish darhol ko'rinadi:Keyin ham
- mos keladi! - mos keladi! - mos keladi! - mos keladi! - ko'p! - juda ko'p! Javob:
Xo'sh, endi hammasi! Ammo trigonometrik tenglamalarni hal qilish shu bilan tugamaydi, biz eng qiyin holatlar bilan qolamiz: tenglamalarda irratsionallik yoki turli xil "murakkab maxrajlar" mavjud bo'lganda. Ilg'or darajadagi maqolada bunday vazifalarni qanday hal qilishni ko'rib chiqamiz.
ILG'IY DARAJA
Oldingi ikki maqolada muhokama qilingan trigonometrik tenglamalarga qo'shimcha ravishda, biz yanada sinchkovlik bilan tahlil qilishni talab qiladigan boshqa tenglamalar sinfini ko'rib chiqamiz. Ushbu trigonometrik misollar irratsionallik yoki maxrajni o'z ichiga oladi, bu ularni tahlil qilishni qiyinlashtiradi.... Biroq, siz ushbu tenglamalarni imtihon qog'ozining C qismida uchratishingiz mumkin. Biroq, kumush astar mavjud: bunday tenglamalar uchun, qoida tariqasida, uning ildizlaridan qaysi biri ma'lum bir intervalga tegishli ekanligi haqidagi savol tug'ilmaydi. Keling, tupni aylanib o'tmaylik, faqat trigonometrik misollar.
1-misol.
Tenglamani yeching va segmentga tegishli ildizlarni toping.
Yechim:
Bizda nol bo'lmasligi kerak bo'lgan maxraj bor! U holda bu tenglamani yechish sistemani yechish bilan bir xil bo'ladi
Keling, har bir tenglamani hal qilaylik:
Va endi ikkinchisi:
Endi seriyani ko'rib chiqamiz:
Variant bizga mos kelmasligi aniq, chunki bu holda maxraj nolga teng (ikkinchi tenglamaning ildizlari formulasiga qarang)
Agar, ammo, hamma narsa tartibda bo'lsa va maxraj nolga teng emas! U holda tenglamaning ildizlari quyidagicha bo'ladi:,.
Endi biz intervalga tegishli ildizlarni tanlaymiz.
| - tog'ri kelmaydi | - mos keladi | |
| - mos keladi | - mos keladi | |
| qo'pol kuch | qo'pol kuch |
Keyin ildizlar quyidagicha bo'ladi:
Ko'ryapsizmi, hatto maxraj ko'rinishidagi kichik shovqinning paydo bo'lishi ham tenglamaning yechimiga sezilarli ta'sir ko'rsatdi: biz maxrajni nolga tenglashtiradigan bir qator ildizlarni tashladik. Agar siz irratsionallikka ega bo'lgan trigonometrik misollarga duch kelsangiz, vaziyat yanada qiyinlashishi mumkin.
2-misol.
Tenglamani yeching:
Yechim:
Xo'sh, hech bo'lmaganda ildizlarni tanlashning hojati yo'q va bu yaxshi! Keling, birinchi navbatda, irratsionallikdan qat'i nazar, tenglamani yechamiz:
Hammasi shumi? Yo'q, afsuski, bu juda oson bo'lardi! Shuni esda tutish kerakki, faqat manfiy bo'lmagan raqamlar ildiz ostida bo'lishi mumkin. Keyin:
Ushbu tengsizlikning yechimi:
Endi birinchi tenglamaning ba'zi ildizlari tasodifan tengsizlik qondirilmagan joyga kelgan yoki yo'qligini aniqlash kerak.
Buning uchun siz yana jadvaldan foydalanishingiz mumkin:
| : , lekin | Yo'q! | |
| Ha! | ||
| Ha! |
Shunday qilib, ildizlardan biri mendan "tushib ketdi"! Agar siz qo'ysangiz, chiqadi. Keyin javobni quyidagicha yozish mumkin:
Javob:
Ko'ryapsizmi, ildiz yanada yaqinroq e'tibor talab qiladi! Vaziyatni murakkablashtirish uchun: endi ildiz ostida trigonometrik funktsiyaga ega bo'lsin.
3-misol.
Avvalgidek: avval har birini alohida hal qilamiz, keyin nima qilganimiz haqida o‘ylaymiz.
Endi ikkinchi tenglama:
Endi eng qiyin narsa, agar u erda birinchi tenglamaning ildizlarini almashtirsak, arifmetik ildiz ostidagi manfiy qiymatlar olinadimi yoki yo'qligini aniqlashdir:
Raqamni radian deb tushunish kerak. Radianlar gradusga yaqin bo'lganligi sababli, radianlar taxminan darajaga teng. Bu ikkinchi chorakning burchagi. Ikkinchi chorak kosinusning belgisi nima? Minus. Va sinus? Plyus. Shunday qilib, ifoda haqida nima deyish mumkin:
Bu noldan kam!
Bu tenglamaning ildizi emasligini anglatadi.
Endi navbat.
Keling, bu raqamni nol bilan taqqoslaylik.
Kotangent - 1 chorakda kamayuvchi funktsiya (argument qanchalik kichik bo'lsa, kotangens shunchalik katta bo'ladi). radianlar taxminan daraja. Xuddi shu vaqtda
shundan beri, keyin va shu sababli
,
Javob: .
Bundan ham qiyinroq bo'lishi mumkinmi? Arzimaydi! Agar trigonometrik funktsiya hali ham ildiz ostida bo'lsa va tenglamaning ikkinchi qismi yana trigonometrik funktsiya bo'lsa, qiyinroq bo'ladi.
Trigonometrik misollar qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha yaxshi bo'ladi, batafsilroq qarang:
4-misol.
Ildiz cheklangan kosinus tufayli mos emas
Endi ikkinchisi:
Shu bilan birga, ildizning ta'rifi bo'yicha:
Biz birlik doirasini esga olishimiz kerak: ya'ni sinus noldan kichik bo'lgan choraklar. Ular qaysi chorak? Uchinchi va to'rtinchi. Keyin biz uchinchi yoki to'rtinchi chorakda joylashgan birinchi tenglamaning echimlari bilan qiziqamiz.
Birinchi seriya uchinchi va to'rtinchi choraklarning kesishmasida ildizlarni hosil qiladi. Bunga diametrik ravishda qarama-qarshi bo'lgan ikkinchi seriya birinchi va ikkinchi chorak chegarasida yotgan ildizlarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun bu seriya bizga mos kelmaydi.
Javob: ,
Va yana "qiyin irratsionallik" bilan trigonometrik misollar... Bizda trigonometrik funktsiya yana ildiz ostida emas, balki endi u maxrajda ham bor!
5-misol.
Xo'sh, hech narsa qilish mumkin emas - biz avvalgidek harakat qilamiz.
Endi biz maxraj bilan ishlaymiz:
Men trigonometrik tengsizlikni yechmoqchi emasman va shuning uchun men ayyorlik bilan harakat qilaman: ildizlar qatorimni tengsizlikka almashtiraman:
Agar - juft bo'lsa, bizda:
beri, keyin ko'rinishning barcha burchaklari to'rtinchi chorakda yotadi. Va yana muqaddas savol: to'rtinchi chorakda sinus belgisi nima? Salbiy. Keyin tengsizlik
Agar g'alati bo'lsa, unda:
Burchak qaysi chorakda joylashgan? Bu ikkinchi chorakning burchagi. Keyin barcha burchaklar yana ikkinchi chorakning burchaklaridir. U erda sinus ijobiy. Sizga kerak bo'lgan narsa! Shunday qilib, seriya:
Mos keladi!
Ildizlarning ikkinchi seriyasi bilan xuddi shu tarzda ishlang:
Biz tengsizlikni almashtiramiz:
Agar - hatto, keyin
Birinchi chorak burchaklari. U erda sinus ijobiy, shuning uchun seriya mos keladi. Endi agar - g'alati bo'lsa, unda:
ham mos keladi!
Xo'sh, endi javobni yozamiz!
Javob:
Xo'sh, bu, ehtimol, eng ko'p vaqt talab qiladigan ish edi. Endi men sizga o'z yechimingiz uchun muammolarni taklif qilaman.
Ishlab chiqish; mashqa qilish
- Tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini yeching va toping.
Yechimlar:
Birinchi tenglama:
yoki
ODZ ildizi:Ikkinchi tenglama:
Bo'shliqqa tegishli ildizlarni tanlash
Javob:
Yoki
yoki
Lekin
O'ylab ko'ring:. Agar - hatto, keyin
- tog'ri kelmaydi!
Agar - g'alati,: - mos keladi!
Bu bizning tenglamamiz quyidagi ildiz qatoriga ega ekanligini anglatadi:
yoki
Intervalda ildizlarni tanlash:
| - tog'ri kelmaydi | - mos keladi | |
| - mos keladi | - ko'p | |
| - mos keladi | ko'p |
Javob: , .
Yoki
Tangens aniqlanmagan paytdan beri. Biz bu ildizlar seriyasini darhol tashlaymiz!
Ikkinchi qism:
Shu bilan birga, ODZ ma'lumotlariga ko'ra, bu talab qilinadi
Birinchi tenglamada topilgan ildizlarni tekshiramiz:
Agar belgi bo'lsa:
Tangens musbat bo'lgan birinchi chorak burchaklar. Tog'ri kelmaydi!
Agar belgi bo'lsa:
To'rtinchi chorak burchak. U erda tangens manfiy. Mos keladi. Javobni yozamiz:
Javob: , .
Biz ushbu maqolada murakkab trigonometrik misollarni birgalikda ko'rib chiqdik, ammo siz tenglamalarni o'zingiz hal qilishingiz kerak.
XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR
Trigonometrik tenglama - bu noma'lum trigonometrik funktsiya belgisi ostida bo'lgan tenglama.
Trigonometrik tenglamalarni yechishning ikkita usuli mavjud:
Birinchi usul - formulalardan foydalanish.
Ikkinchi yo'l trigonometrik doiradan o'tadi.
Burchaklarni o'lchash, ularning sinuslarini, kosinuslarini va boshqalarni topish imkonini beradi.
Matematikadan yagona davlat imtihonining profil darajasiga tayyorgarlik. Trigonometriya bo'yicha foydali materiallar, katta nazariy video ma'ruzalar, muammolarning video tahlillari va o'tgan yillardagi topshiriqlar tanlovi.
Foydali materiallar
Video tanlovlari va onlayn kurslar
Trigonometrik formulalar
Trigonometrik formulalarning geometrik tasviri
Ark funktsiyalari. Eng oddiy trigonometrik tenglamalar
Trigonometrik tenglamalar
- Muammolarni hal qilish uchun zarur nazariya.
- a) $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $. - a) $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-3 \ pi oraliqlariga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ pi \ o'ngga] $. - $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $ tenglamasini yeching.
- a) $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ pi” oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. - a) $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $ tenglamasini yeching.
- $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $ tenglamasini yeching.
- $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ pi \ o'ng) $.- a) $ \ cos 2x = \ sin \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ o'ng) $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. - a) $ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ o'ng) = \ sqrt3 \ cos x $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; -2 \ pi \ o'ngga] $.
Video vazifalarni tahlil qilish
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ sqrt (3) segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ sqrt (20) \ o'ngga] $.
b) $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -3 \ pi \ o'ngga] $.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ sqrt (3) segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ sqrt (30) \ o'ng] $.
a) $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ o'ng) $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ pi \ o'ng) $.
a) $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng) = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; 4 \ pi \ o'ngga] $.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ log_5 2 oraliqlariga tegishli barcha ildizlarini toping; \ log_5 20 \ o'ngga] $.
a) $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ o'ng) = 9 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ pi \ o'ngga] $.
a) $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ pi oraliqlariga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $.
a) $ \ left (\ dfrac (1) (49) \ right) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; 3 \ pi \ o'ngga] $.
a) $ \ sin x + \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ o'ng) \ chap (\ cos \ dfrac (x) (2) tenglamasini yeching. + \ sin \ dfrac (x) (2) \ o'ng) = 0 $.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ pi oraliqlariga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $.
a) $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-4 \ pi oraliqlariga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $.
O'tgan yillardagi topshiriqlar tanlovi
- a) $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -3 \ pi \ o'ngga] $. (USE-2018. Erta to'lqin) - a) $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ sqrt (3) segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ sqrt (30) \ o'ng] $. (USE-2018. Erta to'lqin, zahira kuni) - a) $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ o'ng) = \ cos x $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-2 \ pi segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ dfrac (\ pi) (2) \ o'ng] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ o'ng) $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [3 \ pi” segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (9 \ pi) (2) \ o'ng] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ o'ng) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -2 \ pi \ o'ngga] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ o'ng) $ tenglamasini yeching.
b) Bu tenglamaning $ \ left [-4 \ pi” segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ o'ng) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $ tenglamasini yeching.
- a) $ 2 \ sqrt3 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ o'ng) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [2 \ pi” segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (7 \ pi) (2) \ o'ng] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ o'ng) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; 4 \ pi \ o'ngga] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ \ sqrt2 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ right) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (7 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; 5 \ pi \ o'ngga] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ \ sqrt2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ o'ng) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; - \ pi \ o'ngga] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin) - a) $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ o'ng) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-3 \ pi” segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin)
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ pi segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. (FOYDALANISH-2018. Asosiy to‘lqin)- a) $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ o'ng) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ pi segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -2 \ pi \ o'ngga] $. (USE-2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -3 \ pi \ o'ngga] $. (USE-2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 2 \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ o'ng) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-3 \ pi” segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ sqrt (3) segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; \ sqrt (20) \ o'ngga] $. (USE-2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (\ pi) (2); \ \ pi \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ log_2 0 (,) 2; \ \ log_2 5 \ o'ng] $ segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ log_2 0 (,) 1; \ 12 \ sqrt (5) \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 0 (,) 4 ^ (\ sin x) + 2 (,) 5 ^ (\ sin x) = 2 $ tenglamani yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin) - a) $ \ log_8 \ left (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ right) = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin) - a) $ \ log_4 \ left (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ right) = x $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin) - a) $ 2 \ log_2 ^ 2 \ chap (\ sin x \ o'ng) - 5 \ log_2 \ chap (\ sin x \ o'ng) - 3 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- 3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin) - a) $ 81 ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- 4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin) - a) $ 8 ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ o'ng] $ segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, erta to'lqin) - a) $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [\ sqrt (10); \ \ sqrt (99) \ right] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 6 \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [2; \ 2 (,) 5 \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng) + 1 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin, zahira kuni) - a) $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ o'ng) $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin) - a) $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [-2 \ pi; \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin) - a) $ 8 ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ o'ng] $ segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, erta to'lqin) - a) $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ o'ng) = 0,25 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, erta to'lqin) - a) $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, erta to'lqin) - a) $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ left (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ o'ng)) = \ sqrt (2) $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin) - a) $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [- \ pi; \ 0 \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin) - a) $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin) - a) $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin) - a) $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, erta to'lqin) - a) $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ o'ng] $ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, erta to'lqin) - a) $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \ 4 \ pi \ o'ngga] $. (USE-2014, asosiy to'lqin) - a) $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ o'ng) - \ sin 2x = 0 $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \ 3 \ pi \ o'ngga] $. (USE-2014, asosiy to'lqin) - a) $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ o'ng) + 1 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-3 \ pi segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2014, asosiy to'lqin) - a) $ - \ sqrt (2) \ sin \ left (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ right) \ cdot \ sin x = \ cos x $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [\ dfrac (9 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \ 6 \ pi \ o'ngga] $. (USE-2014, erta to'lqin) - a) $ \ sin 2x = \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ o'ng) $ tenglamasini yeching.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2013, asosiy to'lqin) - a) $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ o'ng) - 2 = 0 $ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $ \ left [-5 \ pi segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating; \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2012, ikkinchi to'lqin)
Darsning maqsadi:
a) eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyatini mustahkamlash;
b) berilgan oraliqdan trigonometrik tenglamalarning ildizlarini tanlashga o‘rgatish
Darslar davomida.
1. Bilimlarni dolzarblashtirish.
a) Uy vazifasini tekshirish: sinfga taxminiy uy vazifasi berildi - tenglamani yechish va berilgan oraliqdan ildizlarni tanlash usulini topish.
1) cos x= -0,5, bu erda xI [-]. Javob:.
2) gunoh x=, bu erda xI. Javob: ; ...
3) cos 2 x= -, bu erda xI. Javob:
O‘quvchilar yechimni doskaga yozadilar, kimdir grafikdan, kimdir tanlash usulidan foydalanadi.
Bu vaqtda sinf og'zaki ishlaydi.
Ifodaning ma'nosini toping:
a) tg - sin + cos + sin. Javob: 1.
b) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Javob: ?
v) arksin + arksin. Javob:.
d) 5 arktan (-) - arkkos (-). Javob: -.
- Keling, uy vazifangizni tekshiramiz, uy daftarlarini ochamiz.
Ba'zilaringiz mos usulda, ba'zilaringiz esa grafik orqali yechim topdingiz.
2. Bu vazifalarni yechish usullari va muammoli bayon, ya’ni mavzu xabari va dars maqsadi haqida xulosa.
- a) Katta oraliq berilsa, tanlash yordamida hal qilish qiyin.
- b) Grafik usul aniq natija bermaydi, tekshirishni talab qiladi va ko'p vaqtni oladi.
- Shuning uchun, yana kamida bitta usul bo'lishi kerak, eng universali - uni topishga harakat qilaylik. Xo'sh, bugun darsda nima qilamiz? (Trigonometrik tenglamaning ildizlarini ma'lum oraliqda tanlashni o'rganing.)
- 1-misol (Talaba doskaga chiqadi)
cos x= -0,5, bu erda xI [-].
Savol: Bu topshiriqning javobi nimaga bog'liq? (Tenglamaning umumiy yechimidan. Yechimini umumiy shaklda yozamiz). Qaror doskaga yoziladi
x = + 2? k, bu erda k R.
- Ushbu yechimni to'plam shaklida yozamiz:
- Nima deb o'ylaysiz, yechimning qaysi yozuvi uchun intervalda ildizlarni tanlash qulay? (ikkinchi yozuvdan). Ammo bu yana tanlov usuli. To'g'ri javob olish uchun nimani bilishimiz kerak? (Siz k ning qiymatlarini bilishingiz kerak).
(K ni topish uchun matematik model tuzamiz).
chunki kI Z, keyin k = 0, demak X= = |
bu tengsizlik k ning butun son qiymatlari yo'qligini ko'rsatadi. |
Xulosa: Trigonometrik tenglamani yechishda berilgan oraliqdan ildizlarni tanlash uchun quyidagilar zarur:
- shakldagi tenglamani yechish sin x = a, cos x = a tenglamaning ildizlarini ikki qator ildiz sifatida yozish qulayroq.
- shakldagi tenglamalarni yechish tg x = a, ctg x = a ildizlarning umumiy formulasini yozing.
- har bir yechim uchun qo’sh tengsizlik ko’rinishidagi matematik model tuzing va k yoki n parametrining butun qiymatini toping.
- bu qiymatlarni ildiz formulasiga almashtiring va ularni hisoblang.
Olingan algoritm yordamida uy vazifasidan 2 va 3-misollarni yeching. Bir vaqtning o'zida ikkita o'quvchi doskada ishlaydi, keyin esa ishni tekshiradi.
Ushbu maqolada men 2 yo'lni tushuntirishga harakat qilaman trigonometrik tenglamada ildizlarni tanlash: tengsizliklardan foydalanish va trigonometrik doiradan foydalanish. Keling, to'g'ridan-to'g'ri tasviriy misolga o'tamiz va ishni ko'rib chiqamiz.
A) sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x) tenglamasini yeching.
b) Bu tenglamaning [-7Pi / 2 oraliqlariga tegishli barcha ildizlarini toping; -2Pi]
Keling, a nuqtani hal qilaylik.
Biz sinus sin (Pi / 2 + x) = cos (x) uchun kamaytirish formulasidan foydalanamiz.
Sqrt (2) cos ^ 2x = cosx
Sqrt (2) cos ^ 2x - cosx = 0
Cosx (sqrt (2) cosx - 1) = 0
X1 = Pi / 2 + Pin, n ∈ Z
Sqrt (2) cosx - 1 = 0
Cosx = 1 / sqrt (2)
Cosx = sqrt (2) / 2
X2 = arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
X2 = Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
b nuqtasini hal qilaylik.
1) Tengsizliklar yordamida ildizlarni tanlash
Bu erda hamma narsa oddiygina amalga oshiriladi, biz olingan ildizlarni berilgan oraliqda almashtiramiz [-7Pi / 2; -2Pi], n uchun butun son qiymatlarini toping.
7Pi / 2 Pi dan kam yoki unga teng / 2 + Pin -2Pi dan kichik yoki teng
Bir vaqtning o'zida hamma narsani Pi ga bo'ling
7/2 1/2 dan kichik yoki teng + n -2 dan kichik yoki teng
7/2 - 1/2 dan kichik yoki n dan kichik yoki teng -2 - 1/2
4 dan kichik yoki teng n -5/2 dan kichik yoki teng
Bu diapazondagi n butun soni -4 va -3 ga teng. Shunday qilib, bu intervalga tegishli ildizlar Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2, Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2 bo'ladi.
Xuddi shunday, biz yana ikkita tengsizlik qilamiz
7Pi / 2 Pi dan kam yoki unga teng / 4 + 2Pin -2Pi dan kam yoki teng
-15/8 dan kichik yoki teng n -9/8 dan kichik yoki teng
Bu oraliqda n butun soni mavjud emas
7Pi / 2 -Pi dan kam yoki unga teng / 4 + 2Pin -2Pi dan kichik yoki teng
-13/8 dan kichik yoki teng n -7/8 dan kichik yoki teng
Bu oraliqdagi bitta n butun son -1 ga teng. Shunday qilib, ushbu intervalda tanlangan ildiz -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4.
Shunday qilib, b nuqtadagi javob: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4
2) Trigonometrik doira yordamida ildizlarni tanlash
Ushbu usuldan foydalanish uchun siz ushbu doira qanday ishlashini tushunishingiz kerak. Buni qanday tushunganimni sodda tilda tushuntirishga harakat qilaman. O'ylaymanki, maktablarda algebra darslarida bu mavzu o'qituvchining aqlli so'zlari, darsliklardagi murakkab formulalar bilan ko'p marta tushuntirilgan. Shaxsan men buni sinus va kosinus funksiyalari davriy bo‘lganligi sababli cheksiz ko‘p marta aylanib o‘tiladigan aylana sifatida tushunaman.
Keling, bir marta soat miliga teskari yo'nalishda boraylik
Keling, soat miliga teskari 2 marta aylanaylik
Keling, soat yo'nalishi bo'yicha 1 marta aylanamiz (qiymatlar salbiy bo'ladi)
Keling, savolimizga qaytaylik, biz [-7Pi / 2 oraliqda ildizlarni tanlashimiz kerak; -2Pi]
-7Pi / 2 va -2Pi raqamlariga o'tish uchun siz aylana bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda ikki marta aylanishingiz kerak. Ushbu oraliqda tenglamaning ildizlarini topish uchun uni taxmin qilish va almashtirish kerak.
X = Pi / 2 + Pinni ko'rib chiqing. Bu oraliqda x ning qiymati qanday bo'lishi uchun n ning taxminiy qiymati qanday bo'lishi kerak? O'rniga, aytaylik -2, biz Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2 ni olamiz, aniqki, bu bizning intervalimizga kiritilmagan, shuning uchun biz -3 dan kam, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2 ni olamiz, u mos keladi, yana -4 ni sinab ko'raylik, Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 ham mos keladi.
Pi / 4 + 2Pin va -Pi / 4 + 2Pin uchun xuddi shunday fikr yuritsak, biz boshqa ildiz -9Pi / 4 ni topamiz.
Ikki usulni taqqoslash.
Birinchi usul (tengsizliklardan foydalangan holda) ancha ishonchli va tushunish osonroq, ammo agar siz trigonometrik doira va ikkinchi tanlash usuli bilan jiddiy shug'ullansangiz, unda ildizlarni tanlash ancha tezroq bo'ladi, siz taxminan 15 daqiqani tejashingiz mumkin. imtihon.
a) tenglamani yeching:.
b) Bu tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini toping.
Muammoning yechimi
Ushbu darsda trigonometrik tenglamani yechish misoli ko'rib chiqiladi, undan matematikadan imtihonga tayyorgarlik ko'rishda C1 tipidagi masalalarni echish uchun misol sifatida foydalanish mumkin.
Avvalo, funktsiya doirasi aniqlanadi - argumentning barcha ruxsat etilgan qiymatlari. Keyin eritma jarayonida trigonometrik sinus funksiyasi kamaytirish formulasi yordamida kosinusga aylanadi. Keyinchalik, tenglamaning barcha shartlari uning chap tomoniga o'tkaziladi, bu erda umumiy omil qavslardan chiqariladi. Har bir omil nolga tenglashtiriladi, bu esa tenglamaning ildizlarini aniqlash imkonini beradi. Keyin berilgan segmentga tegishli ildizlar burilishlar usuli bilan aniqlanadi. Buning uchun qurilgan birlik doirasiga belgilangan segmentning chap chegarasidan o'ngga qarab pastadir belgilanadi. Bundan tashqari, birlik doiradagi topilgan ildizlar uning markazi bilan segmentlar bilan bog'lanadi va bu segmentlarning halqa bilan kesishgan nuqtalari aniqlanadi. Ushbu kesishish nuqtalari muammoning ikkinchi qismiga kerakli javobdir.
