Chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y-y 1 = ko'rinishga ega k (x - x 1), (10.6)
qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.
To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtadan o'tganligi uchun bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qanoatlantirishi kerak: y 2 -y 1 = k (x 2 -x 1).
Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k
(10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz: 
Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.
Agar x 1 = x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi shaklga ega x = x 1 .
Agar y 2 = y I bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini y = y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq abscissa o'qiga parallel.
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi
Toʻgʻri chiziq Oʻq oʻqini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy oʻqi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi: 
bular. 
... Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari qaysi segmentlar koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilganligini ko'rsatadi.
Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi
Berilgan nolga teng bo‘lmagan vektorga perpendikulyar Mo (x O; y o) nuqtadan o‘tuvchi n = (A; B) to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.
To'g'ri chiziqning ixtiyoriy M (x; y) nuqtasini oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlar perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni,
A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)
(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .
To'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan n = (A; B) vektor normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .
(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ax + Wu + C = 0 , (10.9)
bu yerda A va B normal vektorning koordinatalari, C = -Ax o - Vu o - erkin muddat. Tenglama (10.9) to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi(2-rasmga qarang).
1-rasm 2-rasm
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari
,
Qayerda 
- to'g'ri chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari, va 
yo'nalish vektoridir.
Ikkinchi tartibli egri chiziqli doira
Aylana - bu ma'lum bir nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.
Radiusli aylananing kanonik tenglamasi
R nuqtada markazlashtirilgan 
:
Xususan, agar qoziqning markazi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: 
Ellips
Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi.
va 
fokuslar deb ataladigan , doimiy qiymatga ega 
fokuslar orasidagi masofadan kattaroqdir 
.
Fokuslari Ox o'qida joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi va fokuslar orasidagi o'rtadagi koordinatalarning kelib chiqishi shaklga ega. 
G 
de a yarim katta o'qning uzunligi; b - yarim kichik o'qning uzunligi (2-rasm).
Ellips parametrlari o'rtasidagi bog'liqlik
va 
nisbat bilan ifodalanadi:
(4)
Eksantriklik ellipsiinterfokal masofaning nisbati deyiladi2casosiy o'qga2a:
Direktorlar
ellipslar bu o'qdan uzoqda joylashgan Oy o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar deyiladi. Directrix tenglamalari: 
.
Agar ellips tenglamasida bo'lsa 
, u holda ellipsning o'choqlari Oy o'qida bo'ladi.
Shunday qilib, 
Ikki ball berilgan M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2)... To'g'ri chiziq tenglamasini (5) ko'rinishda yozamiz, bu erda k hali noma'lum koeffitsient:
Gap shundaki M 2 berilgan to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa, uning koordinatalari (5) tenglamani qanoatlantiradi. Bundan ifodalab, (5) tenglamaga almashtirib, kerakli tenglamani olamiz:
Agar 
bu tenglamani yodlash uchun qulayroq shaklda qayta yozish mumkin:
(6)
Misol. M 1 (1.2) va M 2 (-2.3) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing.
Yechim. 
... Proportsional xususiyatdan foydalanib, kerakli o'zgartirishlarni amalga oshirib, biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olamiz:
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak
Ikki qatorni ko'rib chiqing l 1 va l 2:
l 1: , , va
l 2: , ,
ph - ular orasidagi burchak (). 4-rasmda ko'rsatilgan:.
 |
Bu yerdan 
, yoki
(7) formuladan foydalanib, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklardan birini aniqlash mumkin. Ikkinchi burchak.
Misol... Ikki toʻgʻri chiziq y = 2x + 3 va y = -3x + 2 tenglamalari bilan berilgan. bu chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Yechim... Tenglamalardan k 1 = 2 va k 2 = -3 ekanligini ko'rish mumkin. bu qiymatlarni (7) formulaga almashtirib, topamiz
... Shunday qilib, bu chiziqlar orasidagi burchak tengdir.
Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari
To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 u holda parallel bo'ladi φ=0 va tgph = 0... (7) formuladan kelib chiqadiki, qaerdan k 2 = k 1... Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq parallelligining sharti ularning qiyaliklarining tengligidir.
To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 perpendikulyar bo'lsa ph = p / 2, a 2 = p / 2 + a 1. 
... Demak, ikkita toʻgʻri chiziqning perpendikulyarlik sharti shundaki, ularning qiyaliklari kattaligi boʻyicha oʻzaro va ishorasi boʻyicha qarama-qarshidir.
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa
Teorema. Agar M (x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.
Isbot. M nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo‘lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:
X 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:
Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.
Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,
keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:
Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
Teorema isbotlangan.
Misol. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.
Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 to'g'ri chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.
Biz topamiz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, shuning uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
Misol. Uchburchakning A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.
AB tomonining tenglamasini topamiz:; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b.
k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, u holda uning koordinatalari bu tenglikni qanoatlantiradi: bu erdan b = 17. Jami:.
Javob: 3x + 2y - 34 = 0.
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofa nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi bilan aniqlanadi.
Agar chiziq proyeksiya tekisligiga parallel bo'lsa (h | | P 1), keyin nuqtadan masofani aniqlash uchun A to'g'riga h nuqtadan perpendikulyarni tushirish kerak A gorizontalda h.
To'g'ri chiziq umumiy pozitsiyani egallaganida, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik. Nuqtadan masofani aniqlash zarur bo'lsin M to'g'riga a umumiy pozitsiya.
Aniqlash vazifasi parallel chiziqlar orasidagi masofa oldingisiga o'xshash tarzda hal qilinadi. Bir to'g'ri chiziqda nuqta olinadi, undan boshqa to'g'ri chiziqqa perpendikulyar tushiriladi. Perpendikulyarning uzunligi parallel chiziqlar orasidagi masofaga teng.
Ikkinchi tartibli egri chiziq joriy Dekart koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali tenglama bilan aniqlangan chiziq deyiladi. Umuman olganda, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
bu yerda A, B, C, D, E, F haqiqiy sonlar va A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 raqamlaridan kamida bittasi.
Doira
Doira markazi- bu C (a, b) tekislik nuqtasidan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi.
Doira quyidagi tenglama bilan berilgan:
Bu yerda x, y aylananing ixtiyoriy nuqtasining koordinatalari, R aylananing radiusi.
Aylana tenglamasi
1. X, y bilan atama mavjud emas
2. x 2 va y 2 da teng koeffitsientlar
Ellips
Ellips tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi, ularning har birining shu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan masofalari yig'indisi fokuslar (doimiy qiymat) deb ataladi.
Kanonik ellips tenglamasi:
X va y ellipsga tegishli.
a - ellipsning yarim katta o'qi
b - ellipsning yarim kichik o'qi
Ellips 2 simmetriya o'qiga ega OX va OY. Ellipsning simmetriya o'qlari uning o'qlari, ularning kesishish nuqtasi ellipsning markazidir. Fokuslar joylashgan o'q deyiladi fokus o'qi... Ellipsning o'qlari bilan kesishish nuqtasi ellipsning cho'qqisidir.
Siqish (cho'zish) nisbati: e = s / a- ekssentriklik (ellips shaklini xarakterlaydi), u qanchalik kichik bo'lsa, ellips fokus o'qi bo'ylab kamroq cho'ziladi.
Agar ellips markazlari C markazida bo'lmasa (a, b)
Giperbola
Giperbola tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi, masofalar farqining mutlaq qiymati, bu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan, fokuslar deb ataladigan har biri noldan boshqa doimiy qiymatdir.
Kanonik giperbola tenglamasi
Giperbolaning ikkita simmetriya o'qi bor:
a - simmetriyaning haqiqiy yarim o'qi
b - simmetriyaning xayoliy yarim o'qi
Giperbola assimptotalari:
Parabola
Parabola ma'lum F nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi, fokus deb ataladi va berilgan to'g'ri chiziq direktrisa deb ataladi.
Kanonik parabola tenglamasi:
Y 2 = 2px, bu erda p - fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa (parabola parametri)
Agar parabolaning tepasi C (a, b), u holda parabolaning tenglamasi (y-b) 2 = 2p (x-a) bo'lsa.
Agar ordinata o'qi sifatida fokus o'qi olinsa, parabola tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x 2 = 2qu
Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.
Istalgan nuqta orqali cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar o'tkazishingiz mumkin.
Bir-biriga to'g'ri kelmaydigan ikkita nuqta orqali bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.
Tekislikdagi ikkita mos kelmaydigan to'g'ri chiziq yo bir nuqtada kesishadi yoki bo'ladi
parallel (avvalgisidan keyin).
Uch o'lchovli fazoda ikkita to'g'ri chiziqning nisbiy joylashuvi uchun uchta variant mavjud:
- to'g'ri chiziqlar kesishadi;
- to'g'ri chiziqlar parallel;
- to'g'ri chiziqlar kesishadi.
Streyt chiziq- birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimida to'g'ri chiziq
tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.
Ta'rif... Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin
Ax + Wu + C = 0,
doimiy bilan A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy
to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B va BILAN quyidagi maxsus holatlar mumkin:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- to'g'ri chiziq koordinata nuqtasi orqali o'tadi
. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq OU
. B = C = 0, A ≠ 0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi OU
. A = C = 0, B ≠ 0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh
To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday berilganga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin
boshlang'ich sharoitlar.
Nuqta va normal vektor bo'ylab to'g'ri chiziq tenglamasi.
Ta'rif... Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.
tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar
Ax + Wu + C = 0.
Misol... Nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping A (1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).
Yechim... A = 3 va B = -1 da to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C = 0. C koeffitsientini topish uchun
berilgan A nuqtaning koordinatalarini hosil bo‘lgan ifodaga qo‘ying: 3 - 2 + C = 0, shuning uchun hosil bo‘ladi.
C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 = 0.
Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1, y 1, z 1) va M2 (x 2, y 2, z 2), keyin to'g'ri chiziq tenglamasi,
Ushbu nuqtalardan o'tish:
Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan pay nolga tenglashtirilishi kerak. Ustida
tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:
agar x 1 ≠ x 2 va x = x 1, agar x 1 = x 2 .
Fraksiya = k chaqirdi qiyalik Streyt.
Misol... A (1, 2) va B (3, 4) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.
Yechim... Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik bo'yicha tenglamasi.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'lsa Ax + Wu + C = 0 shaklga olib keladi:
va belgilang 
, keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi
qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.
Nuqta va yo'nalish vektori bo'ylab to'g'ri chiziq tenglamasi.
Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini hisobga olgan holda, paragrafga o'xshab, siz vazifani kiritishingiz mumkin
nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori.
Ta'rif... Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1, a 2) uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi
Aa 1 + Va 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.
Ax + Wu + C = 0.
Misol... Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A (1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.
Yechim... Kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi shaklda izlanadi: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,
Koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:
1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.
Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.
da x = 1, y = 2 olamiz C / A = -3, ya'ni. zarur tenglama:
x + y - 3 = 0
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 bo'lsa, u holda -C ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:
yoki qayerda
Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi shundaki, a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi
eksa bilan to'g'ri Oh, a b- to'g'ri chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.
Misol... To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.
C = 1, a = -1, b = 1.
To'g'ri chiziqning normal tenglamasi.
Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ax + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi 
qaysi deyiladi
normallashtiruvchi omil, keyin olamiz
xcosph + ysinph - p = 0 -chiziqning normal tenglamasi.
Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m * C< 0.
R- boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;
a φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.
Misol... To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0... Har xil turdagi tenglamalarni yozish uchun talab qilinadi
bu to'g'ri chiziq.
Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:
Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'ling)
To'g'ri chiziq tenglamasi:
cos ph = 12/13; sin ph = -5/13; p = 5.
Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,
o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.
Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.
Ta'rif... Ikki qator berilgan bo'lsa y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, keyin bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak
sifatida belgilanadi
Ikki chiziq parallel bo'lsa k 1 = k 2... Ikki to'g'ri chiziq perpendikulyar,
agar k 1 = -1 / k 2 .
Teorema.
To'g'ridan-to'g'ri Ax + Wu + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel bo'ladi
A 1 = lA, V 1 = lV... Agar ham S 1 = l, keyin to'g'ri chiziqlar mos tushadi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari
bu to'g'ri chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.
Berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi.
Ta'rif... Chiziq orqali nuqta M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b
tenglama bilan ifodalanadi:
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Teorema... Agar ball berilsa M (x 0, y 0), to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa Ax + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:
Isbot... Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyar asosi M berilgan uchun
to'g'ri chiziq. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M va M 1:
(1)
Koordinatalar x 1 va 1 da tenglamalar sistemasiga yechim sifatida topish mumkin:
Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan M 0 nuqtadan perpendikulyar oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.
berilgan to'g'ri chiziq. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,
keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:
Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
Teorema isbotlangan.
Ikki ball berilgan M(X 1 ,bor 1) va N(X 2,y 2). Shu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini topamiz.
Chunki bu chiziq nuqtadan o'tadi M, keyin (1.13) formulaga muvofiq uning tenglamasi shaklga ega
bor – Y 1 = K(X - x 1),
Qayerda K- noma'lum nishab.
Ushbu koeffitsientning qiymati kerakli to'g'ri chiziq nuqtadan o'tishi sharti bilan aniqlanadi N, va demak, uning koordinatalari (1.13) tenglamani qanoatlantiradi.
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Bu yerdan siz ushbu to'g'ri chiziqning qiyaligini topishingiz mumkin:
,
Yoki konvertatsiya qilinganidan keyin
(1.14)
Formula (1.14) aniqlaydi Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi M(X 1, Y 1) va N(X 2, Y 2).
Maxsus holatda, nuqtalar bo'lganda M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, koordinata o'qlarida yotadi, (1.14) tenglama oddiyroq shaklni oladi
Tenglama (1.15) chaqirdi Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bo'yicha, Bu yerga A va B o'qlarda to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarni belgilang (1.6-rasm).
1.6-rasm
1.10-misol. Nuqtalardan o‘tgan to‘g‘ri chiziqni tenglashtiring M(1, 2) va B(3, –1).
. (1.14) ga ko'ra, qidirilayotgan chiziq tenglamasi ko'rinishga ega
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Barcha shartlarni chap tomonga o'tkazib, biz nihoyat kerakli tenglamani olamiz
3X + 2Y – 7 = 0.
1.11-misol. Nuqta orqali o‘tgan to‘g‘ri chiziqni tenglashtiring M(2, 1) va chiziqlarning kesishish nuqtasi X+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Berilgan tenglamalarni birgalikda yechish orqali to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topamiz
Agar bu tenglamalarni had bo'yicha qo'shsak, biz 2 ni olamiz X+ 1 = 0, qaerdan. Topilgan qiymatni istalgan tenglamaga almashtirib, ordinataning qiymatini topamiz bor:
Endi (2, 1) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz va:
yoki .
Demak, yoki -5 ( Y – 1) = X – 2.
Nihoyat, biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini shaklda olamiz X + 5Y – 7 = 0.
1.12-misol. Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping M(2,1) va N(2,3).
(1.14) formuladan foydalanib, biz tenglamani olamiz
Bu mantiqiy emas, chunki ikkinchi maxraj nolga teng. Masala bayonidan ko’rinadiki, ikkala nuqtaning abssissalari bir xil qiymatga ega. Demak, qidirilayotgan chiziq o'qga parallel OY va uning tenglamasi: x = 2.
Izoh . Agar (1.14) formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini yozishda maxrajlardan biri nolga teng bo'lib chiqsa, unda mos keladigan payni nolga tenglashtirish orqali kerakli tenglamani olish mumkin.
Tekislikda to'g'ri chiziqni aniqlashning boshqa usullarini ko'rib chiqing.
1. Nolga teng bo'lmagan vektor berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsin L va nuqta M 0(X 0, Y 0) shu toʻgʻri chiziqda yotadi (1.7-rasm).
1.7-rasm
belgilaymiz M(X, Y) chiziqdagi ixtiyoriy nuqta L... Vektorlar va 
Ortogonal. Ushbu vektorlar uchun ortogonallik shartlaridan foydalanib, biz ikkalasini ham olamiz A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Biz nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini oldik M 0 vektorga perpendikulyar. Bu vektor deyiladi Oddiy vektor to'g'riga L... Olingan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin
Oh + Vou + BILAN= 0, bu erda BILAN = –(AX 0 + tomonidan 0), (1.16),
Qayerda A va V- normal vektorning koordinatalari.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini parametrik shaklda olamiz.
2. Tekislikdagi to'g'ri chiziqni quyidagicha ko'rsatish mumkin: nolga teng bo'lmagan vektor berilgan to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsin. L va nuqta M 0(X 0, Y 0) bu toʻgʻri chiziqda yotadi. Keling, yana bir ixtiyoriy nuqtani olaylik M(X, y) to‘g‘ri chiziqda (1.8-rasm).
1.8-rasm
Vektorlar va 
kollinear.
Bu vektorlar uchun kollinearlik shartini yozamiz:, qayerda T- parametr deb ataladigan ixtiyoriy raqam. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz:
Bu tenglamalar deyiladi Parametrik tenglamalar Streyt... Ushbu tenglamalardan parametrni chiqarib tashlaymiz T:
Bu tenglamalar boshqa shaklda yozilishi mumkin
. (1.18)
Olingan tenglama deyiladi To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi... Vektor deyiladi To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori .
Izoh . If chiziqning normal vektori ekanligini ko'rish oson L, keyin uning yo'nalishi vektori vektor bo'lishi mumkin, chunki, ya'ni.
1.13-misol. Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini yozing M 0 (1, 1) 3 to'g'ri chiziqqa parallel X + 2bor– 8 = 0.
Yechim . Vektor berilgan va kerakli to'g'ri chiziqlarning normal vektoridir. Nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanamiz M 0 berilgan normal vektor 3 ( X –1) + 2(bor- 1) = 0 yoki 3 X + 2y- 5 = 0. Kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi olindi.
Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanday tuzishni misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.
1-misol.
A (-3; 9) va B (2; -1) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
1-usul – qiyalikli to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega. A va B nuqtalarning koordinatalarini to‘g‘ri chiziq tenglamasiga (x = -3 va y = 9 - birinchi holatda, x = 2 va y = -1 - ikkinchi) almashtirib, tenglamalar tizimini olamiz. undan k va b qiymatlarini topamiz:
1 va 2 tenglamalarni hadlar bo'yicha qo'shib, biz quyidagilarni olamiz: -10 = 5k, bundan k = -2. Ikkinchi tenglamaga k = -2 ni qo‘yib, b ni topamiz: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.
Shunday qilib, y = -2x + 3 kerakli tenglamadir.
2-usul - to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzing.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega. A va B nuqtalarning koordinatalarini tenglamaga qo'yib, biz tizimni olamiz:
Noma'lumlar soni tenglamalar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim echilishi mumkin emas. Lekin siz barcha o'zgaruvchilarni bitta orqali ifodalashingiz mumkin. Masalan, b orqali.
Tizimning birinchi tenglamasini -1 ga ko'paytirish va ikkinchisiga hadlarni qo'shish:
Biz olamiz: 5a-10b = 0. Demak, a = 2b.
Olingan ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiring: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
ax + ga + c = 0 tenglamasiga a = 2b, c = -3b ni almashtiring:
2bx + by-3b = 0. Ikkala qismni b ga bo'lish qoladi:
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasiga osongina keltirish mumkin:
3-usul - 2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.
Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi:
Ushbu tenglamaga A (-3; 9) va B (2; -1) nuqtalarning koordinatalarini qo'ying.
(ya'ni, x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):
va soddalashtiring:
bundan 2x + y-3 = 0.
Maktab kursida ko'pincha to'g'ri chiziqning qiyalik bilan tenglamasi qo'llaniladi. Lekin eng oson yo'li ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi formulasini olish va ishlatishdir.
Izoh.
Agar berilgan nuqtalarning koordinatalarini almashtirganda tenglamaning maxrajlaridan biri
nolga teng bo'lib chiqadi, keyin kerakli tenglama mos keladigan numeratorni nolga tenglashtirish orqali olinadi.
2-misol.
Ikkita C (5; -2) va D (7; -2) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.
Tenglamaga 2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni C va D nuqtalarning koordinatalarini almashtiring.
