Koordinata usuli kosmosdagi stereometrik ob'ektlar orasidagi har qanday burchak yoki masofani topishning juda samarali va ko'p qirrali usulidir. Agar sizning matematika o'qituvchingiz yuqori malakali bo'lsa, u buni bilishi kerak. Aks holda, men sizga repetitorni "C" qismiga almashtirishni maslahat beraman. C1-C6 matematika bo'yicha imtihonga tayyorgarligim odatda quyida tavsiflangan asosiy algoritmlar va formulalar tahlilini o'z ichiga oladi.

a va b to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ularga parallel bo'lgan har qanday kesishuvchi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakdir. Bu burchak bu to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng (yoki uni 180 gradusgacha to'ldiradi).

Matematika o'qituvchisi burchakni topish uchun qanday algoritmdan foydalanadi?

1) Istalgan vektorni tanlang va a va b to'g'ri chiziqlarning yo'nalishlariga ega bo'lish (ularga parallel).
2) Vektorlarning koordinatalarini va ularning boshlanishi va oxirlarining tegishli koordinatalarini aniqlang (boshlanish koordinatalarini vektor oxiri koordinatalaridan ayirish kerak).
3) Topilgan koordinatalarni formulaga almashtiring:
... Burchakning o'zini topish uchun natijaning teskari kosinusini topish kerak.

Oddiy samolyot

Bu tekislikka perpendikulyar har qanday vektor tekislikka normal deyiladi.
Oddiylikni qanday topish mumkin? Normalning koordinatalarini topish uchun berilgan tekislikda yotgan har qanday uchta M, N va K nuqtalarning koordinatalarini topish kifoya. Ushbu koordinatalardan foydalanib, vektorlarning koordinatalarini topamiz va shartlarning bajarilishini talab qilamiz va. Vektorlarning skalyar ko'paytmasini nolga tenglashtirib, biz uchta o'zgaruvchili tenglamalar tizimini tuzamiz, undan normalning koordinatalarini topish mumkin.

Matematika o'qituvchisi eslatmasi : Tizimni to'liq hal qilish uchun umuman kerak emas, chunki kamida bitta normalni tanlash kifoya. Buning uchun uning istalgan noma'lum koordinatalari o'rniga istalgan sonni (masalan, bitta) almashtirish va qolgan ikkita noma'lum bilan ikkita tenglama tizimini yechish mumkin. Agar uning yechimlari bo'lmasa, bu normalar oilasida tanlangan o'zgaruvchiga ega bo'lgan hech kim yo'qligini anglatadi. Keyin birini boshqa o'zgaruvchiga (boshqa koordinata) almashtiring va yangi tizimni yeching. Agar siz yana o'tkazib yuborsangiz, sizning normangiz oxirgi koordinatada bitta bo'ladi va u qandaydir koordinata tekisligiga parallel bo'lib chiqadi (bu holda uni tizimsiz topish oson).

Faraz qilaylik, bizga yo‘nalish vektori va normal koordinatalari bo‘yicha to‘g‘ri chiziq va tekislik berilgan
To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Berilgan tekisliklarga har qanday ikkita normal bo‘lsin va bo‘lsin. U holda tekisliklar orasidagi burchakning kosinusu normallar orasidagi burchak kosinusining moduliga teng bo'ladi:

Kosmosdagi tekislik tenglamasi

Tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalar normal bilan tekislik hosil qiladi. Koeffitsient bir xil belgilangan normaga ega bo'lgan ikkita tekislik orasidagi og'ish (parallel siljish) miqdori uchun javobgardir. Tekislik tenglamasini yozish uchun avvalo uning normalini topish kerak (yuqorida aytib o'tilganidek), so'ngra tekislikdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini topilgan normalning koordinatalari bilan birga tenglamaga almashtirib, koeffitsientni toping.

Koordinata usulidan foydalanish uchun formulalarni yaxshi bilish kerak. Ulardan uchtasi bor:

Bir qarashda, bu qo'rqinchli ko'rinadi, lekin ozgina mashq qilsangiz, hamma narsa ajoyib ishlaydi.

Vazifa. a = (4; 3; 0) va b = (0; 12; 5) vektorlari orasidagi burchakning kosinusini toping.

Yechim. Vektorlarning koordinatalari bizga berilganligi sababli ularni birinchi formulada almashtiramiz:

Vazifa. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) va K = (2; 1; 0) nuqtalardan o'tmasligi ma'lum bo'lsa, tekislik uchun tenglama tuzing. kelib chiqishi.

Yechim. Tekislikning umumiy tenglamasi: Ax + By + Cz + D = 0, lekin kerakli tekislik koordinatalar - nuqta (0; 0; 0) - nuqtadan o'tmagani uchun D = 1 ni qo'yamiz. tekislik M, N va K nuqtalaridan o'tadi, keyin bu nuqtalarning koordinatalari tenglamani to'g'ri sonli tenglikka aylantirishi kerak.

M = (2; 0; 1) nuqtaning x, y va z koordinatalari o'rniga almashtiring. Bizda ... bor:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Xuddi shunday N = (0; 1; 1) va K = (2; 1; 0) nuqtalar uchun tenglamalarni olamiz:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Shunday qilib, bizda uchta tenglama va uchta noma'lum mavjud. Keling, tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz:

Biz tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega ekanligini oldik: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Vazifa. Tekislik 7x - 2y + 4z + 1 = 0 tenglama bilan berilgan. Berilgan tekislikka perpendikulyar vektorning koordinatalarini toping.

Yechim. Uchinchi formuladan foydalanib, biz n = (7; - 2; 4) ni olamiz - bu hammasi!

Vektorlarning koordinatalarini hisoblash

Ammo muammoda vektorlar bo'lmasa-chi - faqat to'g'ri chiziqlarda yotgan nuqtalar mavjud va bu to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblashingiz kerakmi? Hammasi oddiy: nuqtalarning koordinatalarini bilish - vektorning boshi va oxiri - vektorning o'zi koordinatalarini hisoblashingiz mumkin.

Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxiri koordinatalaridan boshining koordinatalarini ayirish kerak.

Bu teorema tekislikda ham, fazoda ham xuddi shunday ishlaydi. "Koordinatalarni ayirish" iborasi boshqa nuqtaning x koordinatasi bir nuqtaning x koordinatasidan ayirilishini anglatadi, keyin y va z koordinatalari bilan ham xuddi shunday qilish kerak. Mana bir nechta misollar:

Vazifa. Fazoda ularning koordinatalari bilan berilgan uchta nuqta mavjud: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) va C = (- 4; 3; - 2). AB, AC va BC vektorlarining koordinatalarini toping.

AB vektorini ko'rib chiqaylik: uning kelib chiqishi A nuqtada, oxiri esa B nuqtada. Shuning uchun uning koordinatalarini topish uchun B nuqtaning koordinatalaridan A nuqtaning koordinatalarini ayirish kerak:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Xuddi shunday, AC vektorining boshlanishi hali ham bir xil A nuqta, lekin oxiri C nuqtadir. Shuning uchun bizda:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Nihoyat, BC vektorining koordinatalarini topish uchun C nuqtaning koordinatalaridan B nuqtaning koordinatalarini ayirish kerak:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Javob: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Oxirgi miloddan avvalgi vektorning koordinatalarini hisoblashga e'tibor bering: ko'p odamlar bilan ishlashda xatolarga yo'l qo'yiladi. manfiy raqamlar... Bu y o'zgaruvchisiga taalluqlidir: B nuqtasida y = - 1, C nuqtasi esa y = 3. Biz ko'pchilik ishonganidek, 3 - 1 emas, aynan 3 - (- 1) = 4 ni olamiz. Bunday ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymang!

To'g'ri chiziqlar uchun yo'nalish vektorlarini hisoblash

Agar siz C2 muammosini diqqat bilan o'qib chiqsangiz, u erda vektorlar yo'qligini bilib hayron qolasiz. Faqat to'g'ri chiziqlar va tekisliklar mavjud.

Keling, to'g'ri chiziqlardan boshlaylik. Bu erda hamma narsa oddiy: har qanday to'g'ri chiziqda kamida ikkita turli nuqta mavjud va aksincha, har qanday ikki xil nuqta bitta to'g'ri chiziqni belgilaydi ...

Oldingi paragrafda nima yozilganini kimdir tushunadimi? Men buni o'zim tushunmadim, shuning uchun men buni osonroq tushuntiraman: C2 muammosida to'g'ri chiziqlar har doim bir juft nuqta bilan beriladi. Agar biz koordinatalar tizimini kiritsak va bu nuqtalarda boshi va oxiri bo'lgan vektorni ko'rib chiqsak, to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektori deb ataladigan narsani olamiz:

Nima uchun bu vektor kerak? Gap shundaki, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak ularning yo'nalishi vektorlari orasidagi burchakdir. Shunday qilib, biz tushunarsiz to'g'ri chiziqlardan koordinatalarini hisoblash oson bo'lgan aniq vektorlarga o'tamiz. Bu qanchalik oson? Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida AC va BD 1 chiziqlar chizilgan. Bu chiziqlarning yo‘nalish vektorlarining koordinatalarini toping.

Shartda kub qirralarining uzunligi ko'rsatilmaganligi sababli, biz AB = 1 ni o'rnatamiz. Koordinata tizimini A nuqtada koordinatalar tizimiga kiritamiz va x, y, z o'qlari AB, AD va AA 1 chiziqlar bo'ylab yo'naltirilgan, mos ravishda. Birlik segmenti AB = 1 ga teng.

Endi AC chizig'i uchun yo'nalish vektorining koordinatalarini topamiz. Bizga ikkita nuqta kerak: A = (0; 0; 0) va C = (1; 1; 0). Bu yerdan AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) vektorining koordinatalarini olamiz - bu yo'nalish vektori.

Endi BD 1 to'g'ri chiziq bilan shug'ullanamiz. Uning ikkita nuqtasi ham bor: B = (1; 0; 0) va D 1 = (0; 1; 1). BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1) yo'nalish vektorini olamiz.

Javob: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Vazifa. Muntazam uchburchak prizmasida ABCA 1 B 1 C 1, barcha qirralari 1 ga teng, AB 1 va AC 1 chiziqlar chiziladi. Bu chiziqlarning yo‘nalish vektorlarining koordinatalarini toping.

Koordinatalar sistemasini kiritamiz: bosh nuqta A nuqtada, x o‘qi AB bilan, z o‘qi AA 1 bilan to‘g‘ri keladi, y o‘qi x o‘qi bilan OXY tekisligini hosil qiladi, bu ABC tekisligiga to‘g‘ri keladi. .

Birinchidan, AB 1 to'g'ri chiziq bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: bizda A = (0; 0; 0) va B 1 = (1; 0; 1) nuqtalari mavjud. AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) yo'nalish vektorini olamiz.

Endi biz AC 1 uchun yo'nalish vektorini topamiz. Hammasi bir xil - yagona farq shundaki, C 1 nuqtasi irratsional koordinatalarga ega. Shunday qilib, A = (0; 0; 0), shuning uchun bizda:

Javob: AB 1 = (1; 0; 1);

Oxirgi misol haqida kichik, ammo juda muhim eslatma. Agar vektorning kelib chiqishi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, hisob-kitoblar juda soddalashtirilgan: vektorning koordinatalari oddiygina oxiri koordinatalariga teng. Afsuski, bu faqat vektorlar uchun amal qiladi. Misol uchun, samolyotlar bilan ishlaganda, ulardagi kelib chiqishning mavjudligi faqat hisob-kitoblarni murakkablashtiradi.

Samolyotlar uchun normal vektorlarni hisoblash

Oddiy vektorlar yaxshi ishlaydigan yoki ishlaydigan vektorlar emas. Ta'rifga ko'ra, tekislikka normal vektor (normal) bu tekislikka perpendikulyar vektordir.

Boshqacha qilib aytganda, normal - berilgan tekislikdagi har qanday vektorga perpendikulyar vektor. Albatta, siz bunday ta'rifni uchratdingiz - ammo vektorlar o'rniga biz to'g'ri chiziqlar haqida gapirgan edik. Biroq, yuqorida C2 muammosida istalgan qulay ob'ekt bilan - hatto to'g'ri chiziq bilan, hatto vektor bilan ishlashingiz mumkinligi ko'rsatilgan.

Yana bir bor eslatib o'tamanki, har qanday tekislik fazoda Ax + By + Cz + D = 0 tenglamasi bilan aniqlanadi, bu erda A, B, C va D ba'zi koeffitsientlardir. Yechimning umumiyligini yo‘qotmagan holda, agar tekislik koordinata boshidan o‘tmasa, D = 1, o‘tgan bo‘lsa, D = 0 bo‘lishi mumkin. Har holda, normal vektorning bu tekislikka koordinatalari n = (A; B; C).

Shunday qilib, samolyot ham vektor bilan muvaffaqiyatli almashtirilishi mumkin - bir xil normal. Har qanday tekislik fazoda uch nuqta bilan aniqlanadi. Samolyotning tenglamasini (va shuning uchun normal) qanday topish mumkin, biz maqolaning boshida muhokama qildik. Biroq, bu jarayon ko'pchilik uchun muammo tug'diradi, shuning uchun men yana bir nechta misol keltiraman:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida A 1 BC 1 kesma chizilgan. Ushbu kesma tekisligining normal vektorini toping, agar koordinata A nuqtada bo'lsa va x, y va z o'qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 qirralariga to'g'ri kelsa.

Samolyot koordinata boshidan o'tmaganligi sababli, uning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: Ax + By + Cz + 1 = 0, ya'ni. koeffitsient D = 1. Bu tekislik A 1, B va C 1 nuqtalardan o'tganligi sababli, bu nuqtalarning koordinatalari tekislik tenglamasini to'g'ri sonli tenglikka aylantiradi.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Xuddi shunday, B = (1; 0; 0) va C 1 = (1; 1; 1) nuqtalari uchun biz tenglamalarni olamiz:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ammo biz A = - 1 va C = - 1 koeffitsientlarini allaqachon bilamiz, shuning uchun B koeffitsientini topish qoladi:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Tekislik tenglamasini olamiz: - A + B - C + 1 = 0, Demak, normal vektorning koordinatalari n = (- 1; 1; - 1) ga teng.

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D kubiga AA 1 C 1 C kesma chizilgan. Bu kesma tekisligining normal vektorini toping, agar koordinata A nuqtada bo‘lsa va x, y va z o‘qlari qirralar bilan mos tushsa. AB, AD va AA 1 mos ravishda.

Bunda tekislik koordinata boshi orqali o'tadi, shuning uchun D = 0 koeffitsienti va tekislik tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: Ax + By + Cz = 0. Tekislik A1 va C nuqtalardan o'tganligi sababli, bu nuqtalarning koordinatalari. tekislik tenglamasini to'g'ri sonli tenglikka aylantiring.

A nuqtaning x, y va z koordinatalari o'rniga 1 = (0; 0; 1) almashtiring. Bizda ... bor:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Xuddi shunday, C = (1; 1; 0) nuqtasi uchun biz tenglamani olamiz:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

B = 1 ni qo'yamiz. Keyin A = - B = - 1 va butun tekislikning tenglamasi ko'rinishga ega: - A + B = 0, Demak, normal vektorning koordinatalari n = (- 1; 1; 0).

Umuman olganda, yuqoridagi masalalarda tenglamalar tizimini tuzish va uni yechish kerak. Uchta tenglama va uchta o'zgaruvchi bo'ladi, lekin ikkinchi holatda ulardan biri bepul bo'ladi, ya'ni. ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiling. Shuning uchun biz B = 1 qo'yish huquqiga egamiz - yechimning umumiyligiga va javobning to'g'riligiga zarar etkazmasdan.

Ko'pincha C2 muammosida segmentni yarmiga bo'ladigan nuqtalar bilan ishlash talab qilinadi. Bunday nuqtalarning koordinatalari, agar segment uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa, osongina hisoblanadi.

Demak, segment uchlari - A = (x a; y a; z a) va B = (x b; y b; z b) nuqtalari bilan aniqlansin. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini - biz uni H nuqtasi bilan belgilaymiz - formula bilan topish mumkin:

Boshqacha qilib aytganda, segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uning uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatidir.

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 birlik kubi koordinatalar tizimiga shunday joylashtirilganki, x, y va z o‘qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 qirralari bo‘ylab yo‘naltirilgan bo‘lib, koordinata boshi A nuqtaga to‘g‘ri keladi. K nuqta. A 1 B bir chetining o'rta nuqtasidir. Ushbu nuqtaning koordinatalarini toping.

K nuqta A 1 B 1 segmentining o'rta nuqtasi bo'lgani uchun uning koordinatalari uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. Uchlari koordinatalarini yozamiz: A 1 = (0; 0; 1) va B 1 = (1; 0; 1). Endi K nuqtaning koordinatalarini topamiz:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 birlik kubi koordinatalar tizimiga shunday joylashtirilganki, x, y va z o‘qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 qirralari bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lib, koordinata boshi A nuqtaga to‘g‘ri keladi. A 1 B 1 C 1 D 1 kvadratning diagonallarini kesishgan L nuqtaning koordinatalari.

Planimetriya kursidan ma'lumki, kvadrat diagonallarining kesishish nuqtasi uning barcha uchlaridan teng masofada joylashgan. Xususan, A 1 L = C 1 L, ya'ni. L nuqta - A 1 C 1 segmentining o'rta nuqtasi. Ammo A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), shuning uchun bizda:

Javob: L = (0,5; 0,5; 1)

11-sinf uchun geometriya dars

Mavzu: " Kosmosdagi koordinatalar usuli.

Maqsad: Talabalarning nazariy bilimlarini, bu bilimlarni vektor, vektor-koordinata usullari yordamida masalalar yechishda qo‘llash ko‘nikma va malakalarini tekshirish.

Vazifalar:

1 .Bilim va ko'nikmalarni o'zlashtirish uchun nazorat qilish (o'z-o'zini nazorat qilish, o'zaro nazorat) uchun sharoit yaratish.

2. Matematik fikrlashni, nutqni, e'tiborni rivojlantirish.

3. Talabalarning faolligini, harakatchanligini, muloqot qobiliyatlarini, umumiy madaniyatini oshirish.

O'tkazish shakli: guruhlarda ishlash.

Uskunalar va axborot manbalari: ekran, multimedia proyektori, bilimlarni hisobga olish jadvali, kredit kartalari, testlar.

Darslar davomida

1 safarbarlik momenti.

CSR yordamida dars; talabalar 3 ta dinamik guruhga bo'lingan bo'lib, ularda maqbul, optimal va ilg'or darajadagi talabalar mavjud. Har bir guruhda butun guruh ishiga rahbarlik qiladigan koordinator tanlanadi.

2 ... O'quvchilarning oldindan ko'rishga asoslangan o'zini o'zi belgilashi.

Vazifa:sxema bo'yicha maqsadni belgilash: esda tutish - o'rganish - qodir.

Kirish testi - bo'sh joylarni to'ldiring (chop etishda)

Kirish testi

Bo'shliqlarni to'ldiring ...

1. Fazodagi nuqta orqali uchta juft perpendikulyar chiziq o'tkaziladi.

tanlanadi, ularning har birida segmentlarning yo'nalishi va o'lchov birligi tanlanadi,

keyin ular o'rnatilgan deb aytishadi …………. kosmosda.

2. Yo‘nalishlari tanlangan to‘g‘ri chiziqlar …………… .., deyiladi.

va ularning umumiy nuqtasi …………. ...

3. To‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasida fazodagi har bir M nuqta uni ……………… .. deb ataydigan sonlar uchligi bilan bog‘lanadi.

4. Fazodagi nuqtaning koordinatalari ……………… .. deyiladi.

5. Uzunligi birga teng vektor ………… .. deyiladi.

6. Vektorlar iyk………… deyiladi.

7. Koeffitsientlar xyz parchalanishda a= xi + yj + zk chaqirdi

…………… vektorlar a .

8. Ikki yoki undan ortiq vektorlar yig‘indisining har bir koordinatasi …………… .. ga teng.

9. Ikki vektor ayirmasining har bir koordinatasi ……………… ga teng.

10. Vektor va son ko‘paytmasining har bir koordinatasi ……………… .. ga teng.

11.Vektorning har bir koordinatasi …………… ga teng.

12. Segment o'rta nuqtasining har bir koordinatasi ……………… ga teng.

13. Vektor uzunligi a { xyz) ………………… formulasi bilan hisoblanadi.

14. M 1 nuqtalar orasidagi masofa (x 1 ; y 1; z 1) va M 2 (x 2; y 2 ; z2) ………………… formula bo‘yicha hisoblanadi.

15. Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi …………… .. deyiladi.

16. Nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi nolga teng ……………… ..

17. Vektorlarning nuqta mahsulotia{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) ichida ……………… formulasi bilan ifodalanadi.

Kirish testini o'zaro tekshirish. Ekrandagi test topshiriqlariga javoblar.

Baholash mezonlari:

1-2 xato - "5"

3-4 xato - "4"

5-6 xato - "3"

Boshqa hollarda - "2"

3. Ishning bajarilishi. (kartalar bo'yicha).

Har bir karta ikkita vazifani o'z ichiga oladi: 1-son - isbot bilan nazariy, 2-sonli vazifalar.

Ishga kiritilgan vazifalarning murakkablik darajasini tushuntiring. Guruh bitta vazifani bajaradi, lekin 2 qismdan iborat. Guruh koordinatori butun guruh ishiga rahbarlik qiladi. Bitta ma'lumotni bir nechta sheriklar bilan muhokama qilish nafaqat o'z muvaffaqiyatlari uchun, balki jamoadagi mikroiqlimga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan jamoaviy ish natijalari uchun mas'uliyatni oshiradi.

№1 KARTA

1. Segmentning o‘rta nuqtasining koordinatalarini uning uchlari koordinatalari bo‘yicha ifodalovchi formulalar hosil qiling.

2. Muammo: 1) A (-3; 1; 2) va B (1; -1; 2) nuqtalari berilgan.

Toping:

a) AB segmentining o'rtasi koordinatalari

b) AB vektorining koordinatalari va uzunligi

2) ABSDA1 B1 C1 D1 kubi berilgan. Koordinata usuli yordamida burchakni toping

AB1 va A1 D to'g'ri chiziqlar o'rtasida.

KARTA № 2

Vektor uzunligini uning koordinatalari bo‘yicha hisoblash formulasini chiqaring.

Masala: 1) Berilgan M nuqtalar (-4; 7; 0),N(0; -1; 2). M segmentning bosh nuqtasidan o‘rtasigacha bo‘lgan masofani topingN.

→ → → → →

2) Berilgan vektorlar a va b... Toping b (a + b), agar a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KARTA № 3

Berilgan koordinatali nuqtalar orasidagi masofani hisoblash formulasini chiqaring.

Masala: 1) A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4) nuqtalar berilgan.

∆ABC teng yon tomonli ekanligini isbotlang va uchburchakning yon tomonlarining oʻrta nuqtalarini tutashtiruvchi oʻrta chizigʻining uzunligini toping.

2) AB va SD toʻgʻri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang, agar A (1; 1; 0),

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0).

KARTA № 4

Berilgan koordinatali nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchakning kosinuslari formulalarini chiqaring.

Masala: 1) AVSD parallelogrammasining uchta uchining koordinatalari berilgan:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4). D nuqtaning koordinatalarini toping.

2) A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) bo'lsa, AB va SD to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. .

KARTA № 5

Ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlari yordamida fazoda ikkita chiziq orasidagi burchakni qanday hisoblashni ayting. →→

Masala: 1) Vektorlarning nuqta mahsulotini topinga va b, agar:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) va D (2; 4; 4) nuqtalar berilgan. AVSD ning romb ekanligini isbotlang.

4. Dinamik guruhlar ishini kartalar orqali tekshirish.

Guruhlar vakillarining chiqishlarini tinglaymiz. Guruhlar ishi talabalar ishtirokida o‘qituvchi tomonidan baholanadi.

5. Reflektsiya. Ofset uchun baholar.

Yakuniy bir nechta tanlov testi (chop etish).

1) Berilgan vektorlar a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─; 1). Vektorning koordinatalarini toping

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Berilgan vektorlar a(4; -3; 5) va b(-3; 1; 2). Vektorning koordinatalarini toping

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Vektorlarning nuqta ko‘paytmasini hisoblangm va n, agar m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b agar | a|=2 , ‌| b |=3, (ab) = 60 °, c ┴ a , c ┴ b.

a) -1; b) -27; 1 da; d) 35.

4) Vektor uzunligi a { xyz) 5 ga teng. a vektorning koordinatalarini toping, agarx=2, z=-√5

a) 16; b) 4 yoki -4; 9 da; d) 3 yoki -3.

5) A (1; -1; 3) bo'lsa, ∆ABS maydonini toping; B (3; -1; 1) va C (-1; 1; -3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Sinovni o'zaro tekshirish. Ekrandagi test topshiriqlarining javob kodlari: 1 (b); 2 (c);

3 (a); 4 (b); 5 (c).

Baholash mezonlari:

Hammasi to'g'ri - "5"

1 xato - "4"

2 ta xato - "3"

Boshqa hollarda - "2"

Talabalar bilimi jadvali

Ishlash

kartalar

Final

sinov

O'tish uchun ball

Vazifalar

nazariya

amaliyot

1-guruh

2-guruh

3-guruh

Talabalarning kreditga tayyorgarligini baholash.

Taqdimotlarni oldindan ko'rishdan foydalanish uchun o'zingizga Google hisobini (hisob qaydnomasi) yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Kosmosdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. Vektor koordinatalari.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi

Agar fazodagi nuqta orqali uchta juft perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazilsa, ularning har birida yo'nalish tanlansa va segmentlarning o'lchov birligi tanlansa, ular fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi berilganligini aytadilar.

Yo'nalishlari tanlangan to'g'ri chiziqlar koordinata o'qlari deb ataladi va ularning umumiy nuqtasi boshdir. Odatda O harfi bilan belgilanadi. Koordinata o'qlari quyidagicha belgilanadi: Ox, Oy, O z - va nomlari bor: abscissa o'qi, ordinat o'qi, qo'llaniladigan o'q.

Butun koordinatalar tizimi Oxy z bilan belgilanadi. Ox va Oy, Oy va O z, O z va Ox koordinata o'qlaridan o'tuvchi tekisliklar mos ravishda koordinata tekisliklari deyiladi va Oxy, Oy z, O z x bilan belgilanadi.

O nuqta koordinata o'qlarining har birini ikkita nurga ajratadi. Yo'nalishi o'qning yo'nalishiga to'g'ri keladigan nur musbat yarim o'q, ikkinchisi esa manfiy yarim o'q deb ataladi.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar tizimida fazodagi har bir M nuqta sonlar uchligi bilan bog'langan bo'lib, ular uning koordinatalari deb ataladi.

Rasmda oltita nuqta A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) ko'rsatilgan. , F (0; 0; -3).

Vektor koordinatalari

Har qanday vektor koordinata vektorlarida kengaytirilishi mumkin, ya'ni x, y, z kengayish koeffitsientlari yagona aniqlangan shaklda ifodalanadi.

Koordinata vektorlarida vektorning kengayishidagi x, y va z koeffitsientlari berilgan koordinatalar sistemasidagi vektorning koordinatalari deyiladi.

Ushbu vektorlarning koordinatalari bo'yicha ularning yig'indisi va ayirmasining koordinatalarini, shuningdek, berilgan son bo'yicha berilgan vektor mahsulotining koordinatalarini topishga imkon beradigan qoidalarni ko'rib chiqing.

10 . Ikki yoki undan ortiq vektorlar yig'indisining har bir koordinatasi ushbu vektorlarning tegishli koordinatalari yig'indisiga teng. Boshqacha qilib aytganda, agar a (x 1, y 1, z 1) va b (x 2, y 2, z 2) bu vektorlar bo'lsa, a + b vektor koordinatalariga ega (x 1 + x 2, y 1 +) y 2 , z 1 + z 2).

yigirma. Ikki vektor ayirmasining har bir koordinatasi ushbu vektorlarning mos keladigan koordinatalari ayirmasiga teng. Boshqacha qilib aytganda, agar a (x 1, y 1, z 1) va b (x 2 y 2; z 2) bu vektorlar bo‘lsa, a - b vektor koordinatalariga (x 1 - x 2, y 1 - y) ega bo‘ladi. 2, z 1 - z 2).

o'ttiz. Vektorning raqam bo'yicha ko'paytmasining har bir koordinatasi vektorning tegishli koordinatasining ushbu raqamga ko'paytmasiga teng. Boshqacha qilib aytganda, a (x; y; x) berilgan vektor, a berilgan son bo‘lsa, a a vektor koordinatalariga (ax; au; a z) ega bo‘ladi.

Mavzu bo'yicha: uslubiy ishlanmalar, taqdimotlar va eslatmalar

Ma'ruza shaklida dars o'tkazish uchun "Fazoda koordinatalar usuli" mavzusi bo'yicha talabalar uchun konspektlar to'plami. Geometriya 10-11 sinf ....

Darsning maqsadi: “Imtihonning C2 topshiriqlarini yechishda fazoda koordinatalar usulidan foydalanish” mavzusi bo‘yicha talabalarning bilim, ko‘nikma va malakalarini tekshirish.Rejalashtirilgan ta’lim natijalari: Talabalar ko‘rsatadilar: ...