Согласно учебной программе по математике дети должны научиться решать задачи на движение еще в начальной школе. Однако задачи такого вида часто вызывают у учащихся затруднение. Важно,чтоб ребенок понял, что такое собственная скорость , скорость течения, скорость по течению и скорость против течения. Только при этом условии школьник сможет легко решать задачи на движение.

Вам понадобится

• Калькулятор, ручка

Инструкция

Собственная скорость - это скорость катера или другого средства передвижения в неподвижной воде. Обозначьте ее - V собств.
Вода в реке находится в движении. Значит она имеет свою скорость , которая называется скорость ю течения (V теч.)
Скорость катера по течению реки обозначьте - V по теч., а скорость против течения - V пр. теч.

Теперь запомните формулы, необходимые для решения задач на движение:
V пр. теч.= V собств. - V теч.
V по теч.= V собств. + V теч.

Итак, исходя из этих формул, можно сделать следующие выводы.
Если катер движется против течения реки, то V собств. = V пр. теч. + V теч.
Если катер движется по течению, то V собств. = V по теч. - V теч.

Решим несколько задач на движение по реке.
Задача 1. Скорость катера против течения реки 12,1 км/ч. Найдите собственную скорость катера, зная, что скорость течения реки 2 км/ч.
Решение: 12,1 + 2 = 14, 1 (км/ч) - собственная скорость катера.
Задача 2. Скорость катера по течению реки 16,3 км/ч, скорость течения реки 1,9 км/ч. Сколько метров прошел бы это катер за 1 мин., если находился в стоячей воде?
Решение: 16,3 - 1,9 = 14,4 (км/ч) - собственная скорость катера. Переведем км/ч в м/мин: 14,4 / 0,06 = 240 (м/мин.). Значит, за 1 минуту катер прошел бы 240 м.
Задача 3. Два катера отправились одновременно навстречу друг другу из двух пунктов. Первый катер двигался по течению реки, а второй - против течения. Встретились они через три часа. За это время первый катер прошел 42 км, а второй - 39 км.Найдите собственную скорость каждого катера, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
Решение: 1) 42 / 3 = 14 (км/ч) - скорость движения по течению реки первого катера.
2) 39 / 3 = 13 (км/ч) - скорость движения против течения реки второго катера.
3) 14 - 2 = 12 (км/ч) - собственная скорость первого катера.
4) 13 + 2 = 15 (км/ч) - собственная скорость второго катера.

Данный материал представляет собой систему задач по теме “Движение”.

Цель: помочь учащимся более полно овладеть технологиями решения задач по данной теме.

Задачи на движение по воде.

Очень часто человеку приходится совершать движения по воде: реке, озеру, морю.

Сначала он это делал сам, потом появились плоты, лодки, парусные корабли. С развитием техники пароходы, теплоходы, атомоходы пришли на помощь человеку. И всегда его интересовали длина пути и время, затраченное на его преодоление.

Представим себе, что на улице весна. Солнце растопило снег. Появились лужицы и побежали ручьи. Сделаем два бумажных кораблика и пустим один из них в лужу, а второй - в ручей. Что же произойдет с каждым из корабликов?

В луже кораблик будет стоять на месте, а в ручейке - поплывет, так как вода в нем "бежит" к более низкому месту и несет его с собой. То же самое будет происходить с плотом или лодкой.

В озере они будут стоять на месте, а в реке – плыть.

Рассмотрим первый вариант: лужа и озеро. Вода в них не движется и называется стоячей .

Кораблик поплывет по луже только в том случае, если мы его подтолкнем или если подует ветер. А лодка начнет двигаться в озере при помощи весел или если она оснащена мотором, то есть за счет своей скорости. Такое движение называют движением в стоячей воде .

Отличается ли оно от движения по дороге? Ответ: нет. А это значит, что мы с вами знаем как действовать в этом случае.

Задача 1. Скорость катера по озеру равна 16 км/ч.

Какой путь пройдет катер за 3 часа?

Ответ: 48 км.

Следует запомнить, что скорость катера в стоячей воде называют собственной скоростью .

Задача 2. Моторная лодка за 4 часа проплыла по озеру 60 км.

Найдите собственную скорость моторной лодки.

Ответ: 15 км/ч.

Задача 3. Сколько времени потребуется лодке, собственная скорость которой

равна 28 км/ч, чтобы проплыть по озеру 84 км?

Ответ: 3 часа.

Итак, чтобы найти длину пройденного пути, необходимо скорость умножить на время.

Чтобы найти скорость, необходимо длину пути разделить на время.

Чтобы найти время, необходимо длину пути разделить на скорость.

Вспомним бумажный кораблик в ручье. Он плыл, потому что вода в нем движется.

Такое движение называют движением по течению . А в обратную сторону – движением против течения .

Итак, вода в реке движется, а значит имеет свою скорость. И называют ее скоростью течения реки . (Как ее измерить?)

Задача 4. Скорость течения реки равна 2 км/ч. На сколько километров река относит

любой предмет (щепку, плот, лодку) за 1час, за 4 часа?

Ответ: 2 км/ч, 8 км/ч.

Каждый из вас плавал в реке и помнит, что по течению плыть гораздо легче, чем против течения. Почему? Потому, что в одну сторону река "помогает" плыть, а в другую - "мешает".

Те же, кто не умеет плавать, могут представить себе ситуацию, когда дует сильный ветер. Рассмотрим два случая:

1) ветер дует в спину,

2) ветер дует в лицо.

И в том и в другом случае идти сложно. Ветер в спину заставляет бежать, а значит, скорость нашего движения увеличивается. Ветер в лицо сбивает нас, притормаживает. Скорость при этом уменьшается.

Остановимся на движении по течению реки. Мы уже говорили о бумажном кораблике в весеннем ручье. Вода понесет его вместе с собой. И лодка, спущенная на воду, поплывет со скоростью течения. Но если у нее есть собственная скорость, то она поплывет еще быстрее.

Следовательно, чтобы найти скорость движения по течению реки, необходимо сложить собственную скорость лодки и скорость течения.

Задача 5. Собственная скорость катера равна 21 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч. Найдите скорость катера по течению реки.

Ответ: 25км/ч.

Теперь представим себе, что лодка должна плыть против течения реки. Без мотора или хотя бы весел, течение отнесет ее в обратную сторону. Но, если придать лодке собственную скорость (завести мотор или посадить гребца), течение будет продолжать отталкивать ее назад и мешать двигаться вперед со своей скоростью.

Поэтому, чтобы найти скорость лодки против течения, необходимо из собственной скорости вычесть скорость течения.

Задача 6. Скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость катера 17 км/ч.

Найдите скорость катера против течения.

Ответ: 14 км/ч.

Задача 7. Собственная скорость теплохода равна 47,2 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения.

Ответ: 51,9 км/ч; 42,5 км/ч.

Задача 8. Скорость моторной лодки по течению равна12,4 км/ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2,8 км/ч.

Ответ: 9,6 км/ч.

Задача 9. Скорость катера против течения равна 10,6 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость по течению, если скорость течения реки 2,7 км/ч.

Ответ: 13,3 км/ч; 16 км/ч.

Введем следующие обозначения:

V с. - собственная скорость,

V теч. - скорость течения,

V по теч. - скорость по течению,

V пр.теч. - скорость против течения.

Тогда можно записать следующие формулы:

V no теч = V c + V теч;

V np. теч = V c - V теч.;

Попытаемся изобразить это графически:

Вывод: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения.

Vno теч - Vnp. теч = 2 Vтеч.

Vтеч = (V по теч - Vnp. теч): 2

1) Скорость катера против течения равна 23 км/ч, а скорость течения 4 км/ч.

Найдите скорость катера по течению.

Ответ: 31 км/ч.

2) Скорость моторной лодки по течению реки равна 14 км/ч/ а скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость лодки против течения

Ответ: 8 км/ч.

Задача 10. Определите скорости и заполните таблицу:

* - при решении п.6 смотри рис.2.

Ответ: 1) 15 и 9; 2) 2 и 21; 3) 4 и 28; 4) 13 и 9; 5)23 и 28; 6) 38 и 4.

Согласно учебной программе по математике дети обязаны обучиться решать задачи на движение еще в исходной школе. Впрочем задачи такого вида зачастую вызывают у учащихся затруднение. Значимо,чтоб ребенок осознал, что такое собственная скорость , скорость течения, скорость по течению и скорость вопреки течения. Только при этом условии школьник сумеет легко решать задачи на движение.

Вам понадобится

• Калькулятор, ручка

Инструкция

1. Собственная скорость – это скорость катера либо иного средства передвижения в статичной воде. Обозначьте ее – V собств.Вода в реке находится в движении. Значит она имеет свою скорость , которая именуется скорость ю течения (V теч.)Скорость катера по течению реки обозначьте – V по теч., а скорость супротив течения – V пр. теч.

2. Сейчас запомните формулы, нужные для решения задач на движение:V пр. теч.= V собств. – V теч.V по теч.= V собств. + V теч.

3. Выходит, исходя из этих формул, дозволено сделать следующие итоги.Если катер движется вопреки течения реки, то V собств. = V пр. теч. + V теч.Если катер движется по течению, то V собств. = V по теч. – V теч.

4. Решим несколько задач на движение по реке.Задача 1. Скорость катера вопреки течения реки 12,1 км/ч. Обнаружьте собственную скорость катера, зная, что скорость течения реки 2 км/ч.Решение: 12,1 + 2 = 14, 1 (км/ч) – собственная скорость катера.Задача 2. Скорость катера по течению реки 16,3 км/ч, скорость течения реки 1,9 км/ч. Сколько метров прошел бы это катер за 1 мин., если находился в стоячей воде?Решение: 16,3 – 1,9 = 14,4 (км/ч) – собственная скорость катера. Переведем км/ч в м/мин: 14,4 / 0,06 = 240 (м/мин.). Значит, за 1 минуту катер прошел бы 240 м.Задача 3. Два катера отправились единовременно насупротив друг другу из 2-х пунктов. 1-й катер двигался по течению реки, а 2-й – вопреки течения. Встретились они через три часа. За это время 1-й катер прошел 42 км, а 2-й – 39 км.Обнаружьте собственную скорость всякого катера, если вестимо, что скорость течения реки 2 км/ч.Решение: 1) 42 / 3 = 14 (км/ч) – скорость движения по течению реки первого катера. 2) 39 / 3 = 13 (км/ч) – скорость движения вопреки течения реки второго катера. 3) 14 – 2 = 12 (км/ч) – собственная скорость первого катера. 4) 13 + 2 = 15 (км/ч) – собственная скорость второго катера.

Задачи на движение кажутся трудными только на 1-й взор. Дабы обнаружить, скажем, скорость движения судна вопреки течения , довольно представить высказанную в задаче обстановку. Возьмите ребёнка в малое путешествие по реке, и школьник обучится “щелкать такие задачки, как орешки”.

Вам понадобится

• Калькулятор, ручка.

Инструкция

1. Согласно нынешней энциклопедии (dic.academic.ru), скорость – это колляция поступательного движения точки (тела), численно равная при равномерном движении отношению пройденного пути S к промежуточному времени t, т.е. V = S / t.

2. Для того дабы обнаружить скорость движения какого-нибудь судна супротив течения, надобно знать собственную скорость судна и скорость течения.Собственная скорость – это скорость движения судна в стоячей воде, скажем, в озере. Обозначим ее – V собств.Скорость течения определяется по тому, на какое расстояние река относит предмет за единицу времени. Обозначим ее – V теч.

3. Дабы обнаружить скорость движения судна супротив течения (V пр. теч.), надобно из собственной скорости судна вычесть скорость течения.Выходит, получили формулу: V пр. теч.= V собств. – V теч.

4. Обнаружим скорость движения судна вопреки течения реки, если знаменито, что собственная скорость судна равна 15,4 км/ч, а скорость течения реки – 3,2 км/ч.15,4 – 3,2 = 12,2 (км/ч) – скорость движения судна супротив течения реки.

5. В задачах на движение зачастую требуется перевести км/ч в м/с. Дабы это сделать, необходимо припомнить, что 1 км = 1000 м, 1 ч = 3600 с. Следственно, х км/ч = х * 1000 м / 3600 с = х / 3,6 м/с. Выходит, дабы перевести км/ч в м/с необходимо поделить на 3,6.Скажем, 72 км/ч = 72:3,6 = 20 м/с.Дабы перевести м/с в км/ч необходимо умножить на 3,6.Скажем, 30 м/с = 30 * 3,6 = 108 км/ч.

6. Переведем х км/ч в м/мин. Для этого припомним, что 1 км = 1000 м, 1 ч = 60 мин. Значит, х км/ч = 1000 м / 60 мин. = х / 0,06 м/мин. Следственно, дабы перевести км/ч в м/мин. необходимо поделить на 0,06.Скажем, 12 км/ч = 200 м/мин.Дабы перевести м/мин. в км/ч нужно умножить на 0,06.Скажем, 250 м/мин. = 15 км/ч

Полезный совет
Не забывайте о том, в каких единицах вы измеряете скорость.

Обратите внимание!
Не позабудьте о том, в каких единицах вы измеряете скорость.Дабы перевести км/ч в м/с необходимо поделить на 3,6.Дабы перевести м/с в км/ч надобно умножить на 3,6.Дабы перевести км/ч в м/мин. необходимо поделить на 0,06.Дабы перевести м/мин. в км/ч нужно умножить на 0,06.

Полезный совет
Решить задачу на движение помогает рисунок.

Решение задач на «движение по воде» многим дается с трудом. В них существует несколько видов скоростей, поэтому решающие начинаю путаться. Чтобы научиться решать задачи такого типа, надо знать определения и формулы. Умение составлять схемы очень облегчает понимание задачи, способствует правильному составлению уравнения. А правильно составленное уравнение - самое главное в решении любого типа задач.

Инструкция

В задачах «на движение по реке» присутствуют скорости: собственная скорость (Vс), скорость по течению (Vпо теч.), скорость против течения (Vпр. теч.), скорость течения (Vтеч.). Необходимо отметить, что собственная скорость водного суда – это скорость в стоячей воде. Чтобы найти скорость по течению, надо к скорости течения прибавить собственную. Для того чтобы найти скорость против течения, надо из собственной скорости вычесть скорость течения.

Первое, что необходимо выучить и знать "на зубок" - формулы. Запишите и запомните:

Vпо теч=Vс+Vтеч.

Vпр. теч.=Vс-Vтеч.

Vпр. теч=Vпо теч. - 2Vтеч.

Vпо теч.=Vпр. теч+2Vтеч.

Vтеч.=(Vпо теч. - Vпр. теч)/2

Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 или Vс=Vпо теч.+Vтеч.

На примере разберем, как находить собственную скорость и решать задачи такого типа.

Пример 1.Скорость лодки по течению 21,8км/ч, а против течения 17,2 км/ч. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение: Согласно формулам: Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 и Vтеч.=(Vпо теч. - Vпр. теч)/2, найдем:

Vтеч = (21,8 - 17,2)/2=4,62=2,3 (км/ч)

Vс = Vпр теч.+Vтеч=17,2+2,3=19,5 (км/ч)

Ответ: Vc=19,5 (км/ч), Vтеч=2,3 (км/ч).

Пример 2. Пароход прошел против течения 24 км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите его собственную скорость в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.

За Х примем собственную скорость парохода. Составим таблицу, куда занесем все данные.

Против теч. По течению

Расстояние 24 24

Скорость Х-3 Х+3

время 24/ (Х-3) 24/ (Х+3)

Зная, что на обратный путь пароход затратил на 20 минут времени меньше, чем на путь по течению, составим и решим уравнение.

20 мин=1/3 часа.

24/ (Х-3) – 24/ (Х+3) = 1/3

24*3(Х+3) – (24*3(Х-3)) – ((Х-3)(Х+3))=0

72Х+216-72Х+216-Х2+9=0

Х=21(км/ч) – собственная скорость парохода.

Ответ: 21 км/ч.

Обратите внимание

Скорость плота считается равной скорости водоема.