Ενότητες: Μαθηματικά

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικά: διδάσκουν να λύνουν συστήματα εκθετικών εξισώσεων. για την εδραίωση των δεξιοτήτων επίλυσης εξισώσεων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα συστήματα

Εκπαιδευτικό: εκπαιδεύστε την τακτοποίηση.

Ανάπτυξη: ανάπτυξη κουλτούρας γραφής και ομιλίας.

Εξοπλισμός:υπολογιστή; προβολέας πολυμέσων.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Οργάνωση χρόνου

Δάσκαλος. Σήμερα θα συνεχίσουμε τη μελέτη μας για το κεφάλαιο Εκθετική συνάρτηση. Θα διατυπώσουμε το θέμα του μαθήματος λίγο αργότερα. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα συμπληρώσετε τις φόρμες απαντήσεων που υπάρχουν στους πίνακές σας ( εκ. Παράρτημα Νο. 1 ). Οι απαντήσεις θα συνοψιστούν.

Ενημέρωση γνώσης.

Οι μαθητές απαντούν σε ερωτήσεις:

• Τι μορφή έχει η εκθετική συνάρτηση;

Προφορική εργασία. Εργαστείτε στις διαφάνειες 1 έως 5.

• Ποια εξίσωση ονομάζεται εκθετική;
• Ποιες μεθόδους λύσης γνωρίζετε;

Προφορική εργασία στις διαφάνειες 6 έως 10.

• Ποια ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης χρησιμοποιείται για την επίλυση της εκθετικής ανισότητας;

Προφορική εργασία στις διαφάνειες 11 έως 15.

Ασκηση. Καταγράψτε τις απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις στη φόρμα απαντήσεων #1. ( εκ. Παράρτημα Νο. 1 ). (διαφάνειες 16 έως 31)

Έλεγχος εργασιών για το σπίτι

.

Ελέγχουμε την εργασία μας ως εξής.

Αντικαταστήστε τις ρίζες των εξισώσεων με το αντίστοιχο γράμμα και μαντέψτε τη λέξη.

Οι μαθητές εξετάζουν τη φόρμα απαντήσεων # 2 ( Παράρτημα 1) ... Ο δάσκαλος επιδεικνύει τη διαφάνεια 33

(Οι μαθητές ονομάζουν μια λέξη (διαφάνεια 34)).

• Ποια φαινόμενα προχωρούν σύμφωνα με τους νόμους αυτής της λειτουργίας;

Οι μαθητές καλούνται να λύσουν εργασίες από την εξέταση Β12 (διαφάνεια 35) και να σημειώσουν τη λύση στη φόρμα απάντησης Νο. 3 ( Παράρτημα 1).

Κατά τη διάρκεια του ελέγχου της εργασίας και της επίλυσης του προβλήματος Β12, θα επαναλάβουμε τις μεθόδους για την επίλυση των εκθετικών εξισώσεων.

Οι μαθητές βρίσκουν ότι η επίλυση μιας εξίσωσης σε δύο μεταβλητές απαιτεί μια άλλη εξίσωση.

Στη συνέχεια διατυπώνεται το θέμα του μαθήματος (αριθμός διαφάνειας 37).

Το σύστημα καταγράφεται σε σημειωματάρια (αριθμός διαφάνειας 38).

Για να λύσουμε αυτό το σύστημα, επαναλαμβάνουμε τη μέθοδο αντικατάστασης (διαφάνεια 39).

Η μέθοδος προσθήκης επαναλαμβάνεται κατά την επίλυση του συστήματος (διαφάνεια 38 έως 39).

Πρωτογενής εμπέδωση του υλικού που μελετήθηκε

:

Οι μαθητές λύνουν ανεξάρτητα συστήματα εξισώσεων στις απαντήσεις Νο. 4 ( Παράρτημα 1 ), λαμβάνοντας ατομικές συμβουλές από έναν δάσκαλο.

Συνοψίζοντας. Αντανάκλαση.

Συνεχίστε φράσεις.

• Σήμερα στο μάθημα επανέλαβα...
• Σήμερα στο μάθημα διόρθωσα...
• Σήμερα στο μάθημα έμαθα...
• Σήμερα στο μάθημα έμαθα...

Στο τέλος του μαθήματος, οι μαθητές σημειώνουν την εργασία τους, παραδίδουν τα φύλλα απαντήσεων

Εργασία στο σπίτι:

Νο 59 (ζυγό) και Νο 62 (ζυγό).

Βιβλιογραφία

1. Όλες οι εργασίες της ομάδας Unified State Exam 3000 προβλήματα - Εκδοτικός Οίκος "Exam" Μόσχα, 2011. Επιμέλεια A.L. Σεμένοβα, Ι. Β. Γιασχένκο.
2. ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ. Shestakov, P.I. Zakharov EGE 2010 πρόβλημα μαθηματικών C1 επιμέλεια A.L. Σεμένοβα, Ι. Β. Yashchenko Moscow εκδοτικός οίκος "MCNMO".
3. Φροντιστήριο Άλγεβρα και η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης, τάξη 10 Yu.M. Kolyagin Moscow "Εκπαίδευση", 2008.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Εκθετικές εξισώσεις και εκθετικές ανισώσεις"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 11η τάξη
Διαδραστικό μάθημα για τις τάξεις 9-11 "Τριγωνομετρία"
Διαδραστικό μάθημα για τις τάξεις 10-11 "Λογάριθμοι"

Προσδιορισμός εκθετικών εξισώσεων

Παιδιά, μελετήσαμε εκθετικές συναρτήσεις, μάθαμε τις ιδιότητές τους και φτιάξαμε γραφήματα, αναλύσαμε παραδείγματα εξισώσεων στις οποίες συναντήθηκαν εκθετικές συναρτήσεις. Σήμερα θα μελετήσουμε τις εκθετικές εξισώσεις και τις ανισώσεις.

Ορισμός. Οι εξισώσεις της μορφής: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, όπου $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ ονομάζονται εκθετικές εξισώσεις.

Υπενθυμίζοντας τα θεωρήματα που μελετήσαμε στο θέμα "Εκθετική συνάρτηση", μπορούμε να εισαγάγουμε ένα νέο θεώρημα:
Θεώρημα. Η εκθετική εξίσωση $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, όπου $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, είναι ισοδύναμη με την εξίσωση $ f (x) = g (x ) $.

Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων

Παράδειγμα.
Λύστε εξισώσεις:
α) 3 $ ^ (3x-3) = 27 $.
β) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
γ) 5 $ ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Λύση.
α) Γνωρίζουμε καλά ότι 27 $ = 3 ^ 3 $.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα, παίρνουμε ότι η εξίσωσή μας ανάγεται στην εξίσωση $ 3x-3 = 3 $, λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε $ x = 2 $.
Απάντηση: $ x = 2 $.

Β) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Τότε η εξίσωσή μας μπορεί να ξαναγραφτεί: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Απάντηση: $ x = 0 $.

Γ) Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ και $ x_2 = -3 $.
Απάντηση: $ x_1 = 6 $ και $ x_2 = -3 $.

Παράδειγμα.
Λύστε την εξίσωση: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Λύση:
Θα εκτελέσουμε διαδοχικά μια σειρά ενεργειών και θα φέρουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσής μας στις ίδιες βάσεις.
Ας εκτελέσουμε μια σειρά λειτουργιών στην αριστερή πλευρά:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Ας προχωρήσουμε στη δεξιά πλευρά:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 $ * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ φράκ (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Απάντηση: $ x = 0 $.

Παράδειγμα.
Λύστε την εξίσωση: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Λύση:
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Ας κάνουμε την αλλαγή των μεταβλητών, έστω $ a = 3 ^ x $.
Σε νέες μεταβλητές, η εξίσωση θα έχει τη μορφή: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ και $ a_2 = 3 $.
Ας εκτελέσουμε την αντίστροφη αλλαγή των μεταβλητών: $ 3 ^ x = -12 $ και $ 3 ^ x = 3 $.
Στο τελευταίο μάθημα, μάθαμε ότι οι εκθετικές εκφράσεις μπορούν να λάβουν μόνο θετικές τιμές, θυμηθείτε το γράφημα. Ως εκ τούτου, η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύσεις, η δεύτερη εξίσωση έχει μία λύση: $ x = 1 $.
Απάντηση: $ x = 1 $.

Ας συγκεντρώσουμε μια λίστα ελέγχου τρόπων επίλυσης εκθετικών εξισώσεων:
1. Γραφική μέθοδος.Αντιπροσωπεύουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη μορφή συναρτήσεων και κατασκευάζουμε τα γραφήματα τους, βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφημάτων. (Αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιήσαμε στο τελευταίο μάθημα).
2. Η αρχή της ισότητας των δεικτών.Η αρχή βασίζεται στο γεγονός ότι δύο εκφράσεις με τις ίδιες βάσεις είναι ίσες εάν και μόνο εάν οι μοίρες (δείκτες) αυτών των βάσεων είναι ίσοι. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης.Αυτή η μέθοδος θα πρέπει να χρησιμοποιείται εάν η εξίσωση, όταν αλλάζει μεταβλητές, απλοποιεί τη μορφή της και είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί.

Παράδειγμα.
Λύστε το σύστημα των εξισώσεων: $ \ αρχή (περίπτωση) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ τέλος (περιπτώσεις) $.
Λύση.
Εξετάστε και τις δύο εξισώσεις του συστήματος χωριστά:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητών, έστω $ y = 2 ^ (x + y) $.
Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ και $ y_2 = -3 $.
Προχωρώντας στις αρχικές μεταβλητές, από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε $ x + y = 2 $. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει λύσεις. Τότε το αρχικό μας σύστημα εξισώσεων είναι ισοδύναμο με το σύστημα: $ \ αρχή (περιπτώσεις) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ τέλος (περιπτώσεις) $.
Αφαιρώντας το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε: $ \ αρχή (περίπτωση) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ τέλος (περιπτώσεις) $.
$ \ αρχή (περιπτώσεις) y = -1, \\ x = 3. \ τέλος (περιπτώσεις) $.
Απάντηση: $ (3; -1) $.

Εκθετικές ανισότητες

Ας περάσουμε στις ανισότητες. Κατά την επίλυση ανισοτήτων, είναι απαραίτητο να προσέχετε τη βάση του πτυχίου. Υπάρχουν δύο πιθανά σενάρια για την εξέλιξη των γεγονότων κατά την επίλυση ανισοτήτων.

Θεώρημα. Αν $ a> 1 $, τότε η εκθετική ανισότητα $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $ f (x)> g (x) $.
Εάν 0 $ a ^ (g (x)) $ ισοδυναμεί με την ανισότητα $ f (x)

Παράδειγμα.
Λύστε ανισότητες:
α) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
β) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) γ) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Λύση.
α) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Η ανισότητα μας είναι ισοδύναμη με την ανισότητα:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

Β) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Στην εξίσωσή μας, η βάση είναι μικρότερη από 1 , τότε κατά την αντικατάσταση μιας ανισότητας με μια ισοδύναμη, το πρόσημο πρέπει να αλλάξει.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

Γ) Η ανισότητα μας είναι ισοδύναμη με την ανισότητα:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της διαλειμματικής λύσης:
Απάντηση: $ (- ∞; -5] U)