Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο σε τεχνικές για την επίλυση διαφόρων εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν
μεταβλητή κάτω από το σύμβολο της ενότητας.

Εάν συναντήσετε μια εξίσωση ή ανισότητα με συντελεστή στην εξέταση, μπορείτε να την λύσετε με
χωρίς να γνωρίζω καθόλου ειδικές μεθόδους και χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της ενότητας. Αλήθεια,
μπορεί να πάρει μιάμιση ώρα από τον πολύτιμο χρόνο των εξετάσεων.

Επομένως, θέλουμε να σας πούμε για τις τεχνικές που απλοποιούν τη λύση τέτοιων προβλημάτων.

Πρώτα απ 'όλα, να το θυμάστε αυτό

Εξετάστε τους διαφορετικούς τύπους εξισώσεις με συντελεστή... (Θα προχωρήσουμε στις ανισότητες αργότερα.)

Στα αριστερά είναι η ενότητα, στα δεξιά είναι ο αριθμός

Αυτή είναι η πιο απλή περίπτωση. Ας λύσουμε την εξίσωση

Υπάρχουν μόνο δύο αριθμοί των οποίων οι ενότητες είναι ίσες με τέσσερις. Αυτά είναι τα 4 και −4. Επομένως, η εξίσωση
ισοδυναμεί με συνδυασμό δύο απλών:

Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει λύσεις. Λύσεις στο πρώτο: x = 0 και x = 5.

Απάντηση: 0; 5.

Μεταβλητή τόσο κάτω από τη μονάδα όσο και εκτός της ενότητας

Εδώ πρέπει να επεκτείνετε την ενότητα εξ ορισμού. ... ... ή να σκεφτείς!

Η εξίσωση εμπίπτει σε δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το πρόσημο της έκφρασης κάτω από το μέτρο.
Με άλλα λόγια, ισοδυναμεί με συνδυασμό δύο συστημάτων:

Λύση του πρώτου συστήματος:. Το δεύτερο σύστημα δεν έχει λύσεις.
Απάντηση: 1.

Πρώτη περίπτωση: x ≥ 3. Αφαιρέστε τη μονάδα:

Ο αριθμός, όντας αρνητικός, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη x ≥ 3 και επομένως δεν είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Ας μάθουμε αν ο αριθμός ικανοποιεί αυτήν την προϋπόθεση. Για να το κάνετε αυτό, συνθέστε τη διαφορά και προσδιορίστε το πρόσημό της:

Ως εκ τούτου, είναι περισσότερο από τρεις και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης

Δεύτερη περίπτωση: x< 3. Снимаем модуль:

Αριθμός . μεγαλύτερο από, και επομένως δεν ικανοποιεί την συνθήκη x< 3. Проверим :

Που σημαίνει, . είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Κατάργηση της μονάδας εξ ορισμού; Είναι τρομακτικό ακόμη και να το σκεφτείς, γιατί η διάκριση δεν είναι ένα πλήρες τετράγωνο. Ας χρησιμοποιήσουμε καλύτερα την ακόλουθη θεώρηση: μια εξίσωση της μορφής | A | = B είναι ισοδύναμο με τον συνδυασμό δύο συστημάτων:

Το ίδιο, αλλά λίγο διαφορετικό:

Με άλλα λόγια, λύνουμε δύο εξισώσεις, A = B και A = −B, και στη συνέχεια επιλέγουμε ρίζες που ικανοποιούν τη συνθήκη B ≥ 0.

Ας αρχίσουμε. Αρχικά, λύνουμε την πρώτη εξίσωση:

Στη συνέχεια λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση:

Τώρα, σε κάθε περίπτωση, ελέγχουμε το σημάδι της δεξιάς πλευράς:

Επομένως, μόνο και είναι κατάλληλα.

Τετραγωνικές εξισώσεις με την αντικατάσταση | x | = t

Ας λύσουμε την εξίσωση:

Επειδή, είναι βολικό να γίνει η αντικατάσταση | x | = t. Παίρνουμε:

Απάντηση: ± 1.

Η ενότητα είναι ίση με την ενότητα

Μιλάμε για εξισώσεις της μορφής | A | = | Β |. Αυτό είναι ένα δώρο της μοίρας. Δεν υπάρχουν αποκαλύψεις ενότητας εξ ορισμού! Είναι απλό:

Για παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση:. Ισοδυναμεί με το ακόλουθο άθροισμα:

Απομένει να λύσουμε καθεμία από τις εξισώσεις του συνόλου και να γράψουμε την απάντηση.

Δύο ή περισσότερες ενότητες

Ας λύσουμε την εξίσωση:

Ας μην ασχολούμαστε με κάθε ενότητα ξεχωριστά και ας την επεκτείνουμε εξ ορισμού - θα υπάρχουν πάρα πολλές επιλογές. Υπάρχει ένας πιο ορθολογικός τρόπος - η μέθοδος των διαστημάτων.

Οι εκφράσεις του συντελεστή εξαφανίζονται στα σημεία x = 1, x = 2 και x = 3. Αυτά τα σημεία διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε τέσσερα διαστήματα (διαστήματα). Σημειώνουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή και τακτοποιούμε τα σημάδια για κάθε μία από τις εκφράσεις κάτω από τις ενότητες στα διαστήματα που λαμβάνονται. (Η σειρά των σημείων είναι ίδια με τη σειρά των αντίστοιχων μονάδων στην εξίσωση.)

Επομένως, πρέπει να εξετάσουμε τέσσερις περιπτώσεις - όταν το x βρίσκεται σε καθένα από τα διαστήματα.

Περίπτωση 1: x ≥ 3. Όλες οι ενότητες αφαιρούνται "με ένα συν":

Η προκύπτουσα τιμή x = 5 ικανοποιεί τη συνθήκη x ≥ 3 και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Περίπτωση 2: 2 ≤ x ≤ 3. Η τελευταία ενότητα αφαιρείται τώρα "με ένα μείον":

Η προκύπτουσα τιμή του x είναι επίσης καλή - ανήκει στο υπό εξέταση διάστημα.

Περίπτωση 3: 1 ≤ x ≤ 2. Η δεύτερη και η τρίτη ενότητα αφαιρούνται "με ένα μείον":

Πήραμε τη σωστή αριθμητική ισότητα για οποιοδήποτε x από το εξεταζόμενο διάστημα χρησιμεύουν ως λύσεις αυτής της εξίσωσης.

Περίπτωση 4: x ≤ 1 ≤ 1. Η δεύτερη και η τρίτη ενότητα αφαιρούνται "με ένα μείον":

Τίποτα καινούργιο. Γνωρίζουμε ήδη ότι το x = 1 είναι λύση.

Απάντηση: ∪ (5).

Ενότητα σε ενότητα

Ας λύσουμε την εξίσωση:

Ξεκινάμε επεκτείνοντας την εσωτερική μονάδα.

1) x ≤ 3. Παίρνουμε:

Η έκφραση κάτω από το μέτρο εξαφανίζεται στο. Αυτό το σημείο ανήκει στο εξεταζόμενο
διάστημα. Επομένως, πρέπει να αναλύσουμε δύο υποπεριπτώσεις.

1.1) Παίρνουμε σε αυτή την περίπτωση:

Αυτή η τιμή του x δεν είναι έγκυρη γιατί δεν ανήκει στο διάστημα που εξετάζουμε.

1.2). Τότε:

Αυτή η τιμή x δεν είναι επίσης έγκυρη.

Άρα, για x ≤ 3 δεν υπάρχουν λύσεις. Ας περάσουμε στη δεύτερη περίπτωση.

2) x ≥ 3. Έχουμε:

Εδώ είμαστε τυχεροί: η έκφραση x + 2 είναι θετική στο διάστημα που εξετάζουμε! Επομένως, δεν θα υπάρχουν άλλες υποπεριπτώσεις: η ενότητα αφαιρείται "με ένα συν":

Αυτή η τιμή του x βρίσκεται στο εξεταζόμενο διάστημα και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Έτσι επιλύονται όλες οι εργασίες αυτού του τύπου - ανοίγουμε τις ένθετες ενότητες μία προς μία, ξεκινώντας από την εσωτερική.

MBOU Γυμνάσιο Νο. 17 Ivanov

« Εξισώσεις με μέτρο "
Μεθοδική ανάπτυξη

Συντάχθηκε από

μαθηματικός

Ν.Β. Λεμπέντεβα

20010 g.

Επεξηγηματικό σημείωμα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ενότητα 2. Βασικές ιδιότητες Ενότητα 3. Γεωμετρική ερμηνεία της έννοιας του συντελεστή ενός αριθμού Ενότητα 4. Γράφημα της συνάρτησης y = | x | Ενότητα 5. Συμβάσεις

Κεφάλαιο 2. Επίλυση εξισώσεων που περιέχουν μια ενότητα

Ενότητα 1. Εξισώσεις της μορφής | F (x) | = m (απλότερο) Ενότητα 2. Εξισώσεις της μορφής F (| x |) = m Ενότητα 3. Εξισώσεις της μορφής | F (x) | = G (x) Ενότητα 4. Εξισώσεις της μορφής | F (x) | = ± F (x) (όμορφο) Ενότητα 5. Εξισώσεις της μορφής | F (x) | = | G (x) | Ενότητα 6. Παραδείγματα επίλυσης μη τυπικών εξισώσεων Ενότητα 7. Εξισώσεις της μορφής | F (x) | + | G (x) | = 0 Ενότητα 8. Εξισώσεις της μορφής | a 1 x ± b 1 | ± | a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± σε n | = m Ενότητα 9. Εξισώσεις που περιέχουν πολλαπλές ενότητες

Κεφάλαιο 3. Παραδείγματα επίλυσης διαφόρων εξισώσεων με μια ενότητα.

Ενότητα 1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις Ενότητα 2. Εκθετικές εξισώσεις Ενότητα 3. Λογαριθμικές εξισώσεις Ενότητα 4. Ανορθολογικές εξισώσεις Ενότητα 5. Καθήκοντα αυξημένης πολυπλοκότητας Απαντήσεις σε ασκήσεις Βιβλιογραφία

Επεξηγηματικό σημείωμα.

Η έννοια της απόλυτης τιμής (μέτρο) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένα από τα ουσιαστικά χαρακτηριστικά του. Αυτή η έννοια είναι ευρέως διαδεδομένη σε διάφορους κλάδους των φυσικών, μαθηματικών και τεχνικών επιστημών. Στην πρακτική της διδασκαλίας ενός μαθήματος μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση σύμφωνα με το Πρόγραμμα του Υπουργείου Άμυνας της Ρωσικής Ομοσπονδίας, η έννοια της "απόλυτης τιμής ενός αριθμού" εμφανίζεται επανειλημμένα: στην 6η τάξη, ο ορισμός μιας ενότητας, εισάγεται η γεωμετρική του σημασία. στην 8η τάξη σχηματίζεται η έννοια του απόλυτου σφάλματος, εξετάζεται η λύση των απλούστερων εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν τη μονάδα, μελετώνται οι ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας. στην 11η τάξη, η έννοια βρίσκεται στην ενότητα «Ρίζα n-ο βαθμός».Η διδακτική εμπειρία δείχνει ότι οι μαθητές συχνά αντιμετωπίζουν δυσκολίες στην επίλυση εργασιών που απαιτούν γνώση αυτού του υλικού και συχνά παραλείπουν πριν ξεκινήσουν να ολοκληρώνουν. Στα κείμενα των εργασιών εξέτασης για το μάθημα της 9ης και 11ης τάξης περιλαμβάνονται και παρόμοιες εργασίες. Επιπλέον, οι απαιτήσεις που θέτουν τα πανεπιστήμια στους αποφοίτους σχολείων διαφέρουν, δηλαδή σε υψηλότερο επίπεδο από τις απαιτήσεις του σχολικού προγράμματος σπουδών. Για τη ζωή στη σύγχρονη κοινωνία, είναι πολύ σημαντικό να διαμορφωθεί ένα μαθηματικό στυλ σκέψης, που εκδηλώνεται σε ορισμένες νοητικές δεξιότητες. Στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων με ενότητες, απαιτείται η ικανότητα εφαρμογής τεχνικών όπως η γενίκευση και η συγκεκριμενοποίηση, η ανάλυση, η ταξινόμηση και η συστηματοποίηση, η αναλογία. Η λύση τέτοιων εργασιών σας επιτρέπει να ελέγξετε τις γνώσεις των κύριων τμημάτων του σχολικού μαθήματος, το επίπεδο λογικής σκέψης, τις αρχικές δεξιότητες της ερευνητικής δραστηριότητας. Αυτή η εργασία είναι αφιερωμένη σε μία από τις ενότητες - επίλυση εξισώσεων που περιέχει μια ενότητα. Αποτελείται από τρία κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο εισάγει τις βασικές έννοιες και τους σημαντικότερους θεωρητικούς υπολογισμούς. Στο δεύτερο κεφάλαιο προτείνονται εννέα βασικοί τύποι εξισώσεων που περιέχουν μια ενότητα, εξετάζονται μέθοδοι επίλυσής τους, αναλύονται παραδείγματα διαφορετικών επιπέδων πολυπλοκότητας. Το τρίτο κεφάλαιο προσφέρει πιο σύνθετες και μη τυπικές εξισώσεις (τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές και παράλογες). Κάθε τύπος εξίσωσης έχει ασκήσεις για ανεξάρτητη λύση (επισυνάπτονται απαντήσεις και οδηγίες). Ο κύριος σκοπός αυτής της εργασίας είναι η παροχή μεθοδολογικής βοήθειας στους εκπαιδευτικούς στην προετοιμασία για τα μαθήματα και στην οργάνωση προαιρετικών μαθημάτων. Το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως εκπαιδευτικό βοήθημα για μαθητές Λυκείου. Οι εργασίες που προσφέρονται στην εργασία είναι ενδιαφέρουσες και δεν είναι πάντα εύκολο να επιλυθούν, γεγονός που καθιστά δυνατό να καταστήσει το εκπαιδευτικό κίνητρο των μαθητών πιο συνειδητό, να δοκιμάσει τις ικανότητές τους και να βελτιώσει το επίπεδο προετοιμασίας των αποφοίτων σχολείου για εισαγωγή στα πανεπιστήμια. Η διαφοροποιημένη επιλογή των προτεινόμενων ασκήσεων περιλαμβάνει τη μετάβαση από το αναπαραγωγικό επίπεδο της κατάκτησης του υλικού στο δημιουργικό, καθώς και την ευκαιρία να διδάξετε πώς να εφαρμόζετε τις γνώσεις σας στην επίλυση μη τυπικών προβλημάτων.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή.

Ενότητα 1. Προσδιορισμός της απόλυτης τιμής .

Ορισμός : Η απόλυτη τιμή (μέτρο) ενός πραγματικού αριθμού έναένας μη αρνητικός αριθμός ονομάζεται: έναή -ένα. Ονομασία: │ ένα │ Η εγγραφή διαβάζεται ως εξής: "η ενότητα του αριθμού α" ή "η απόλυτη τιμή του αριθμού α"

│ α, αν a> 0

│a│ = │ 0 εάν a = 0 (1)

│ - α, αν α
Παραδείγματα: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Αναπτύξτε τη μονάδα έκφρασης:

α) │x - 8│, εάν x> 12 β) │2x + 3│, εάν x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Ενότητα 2. Βασικές ιδιότητες.

Ας εξετάσουμε τις κύριες ιδιότητες της απόλυτης τιμής. Ιδιοκτησία # 1: Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες ενότητες, δηλ. │а│ = │- a│Ας δείξουμε ότι η ισότητα είναι σωστή. Ας γράψουμε τον ορισμό του αριθμού - ένα : │- α│= (2) Ας συγκρίνουμε τις συλλογές (1) και (2). Προφανώς, οι ορισμοί των απόλυτων τιμών των αριθμών ένακαι - έναταιριάξει. Ως εκ τούτου, │а│ = │- a│
Όταν εξετάζουμε τις ακόλουθες ιδιότητες, περιοριζόμαστε στη διατύπωσή τους, αφού η απόδειξή τους παρέχεται Ιδιοκτησία # 2: Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού πραγματικών αριθμών δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών των όρων: │а 1 + а 2 + ... + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ + ... + │а n │ Αριθμός ακινήτου 3: Η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών τους: │а - в│ ≤│а│ + │в│ Ιδιοκτησία # 4: Η απόλυτη τιμή του γινομένου ενός πεπερασμένου αριθμού πραγματικών αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των απόλυτων τιμών των παραγόντων: Ιδιοκτησία # 5: Η απόλυτη τιμή του πηλίκου των πραγματικών αριθμών είναι ίση με το πηλίκο των απόλυτων τιμών τους:

Ενότητα 3. Γεωμετρική ερμηνεία της έννοιας του συντελεστή ενός αριθμού.

Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με ένα σημείο στην αριθμητική γραμμή, το οποίο θα είναι η γεωμετρική εικόνα του δεδομένου πραγματικού αριθμού. Κάθε σημείο της αριθμογραμμής αντιστοιχεί στην απόστασή του από την αρχή, δηλ. το μήκος του τμήματος από την αρχή έως το δεδομένο σημείο. Αυτή η απόσταση θεωρείται πάντα ως μη αρνητική τιμή. Επομένως, το μήκος του αντίστοιχου τμήματος θα είναι η γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής του δεδομένου πραγματικού αριθμού

Η παρουσιαζόμενη γεωμετρική απεικόνιση επιβεβαιώνει ξεκάθαρα την ιδιότητα Νο. 1, δηλ. οι μονάδες με αντίθετους αριθμούς είναι ίσες. Ως εκ τούτου, η εγκυρότητα της ισότητας είναι εύκολα κατανοητή: │x - a│ = │a - x│. Επίσης, η λύση της εξίσωσης │х│ = m, όπου m ≥ 0, δηλαδή х 1,2 = ± m, γίνεται πιο εμφανής. Παραδείγματα: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

Ενότητα 4. Γράφημα της συνάρτησης y = │х│

Το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.

Ενότητα 5. Συμβάσεις.

Στο μέλλον, κατά την εξέταση παραδειγμάτων επίλυσης εξισώσεων, θα χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθες συμβάσεις: (- σημάδι του συστήματος [- σημάδι του συνόλου Κατά την επίλυση του συστήματος εξισώσεων (ανισώσεις), βρίσκεται η τομή των λύσεων που περιλαμβάνονται στο σύστημα εξισώσεων (ανισώσεις). Κατά την επίλυση ενός συνόλου εξισώσεων (ανισώσεις), βρίσκεται η ένωση των λύσεων που περιλαμβάνονται στο σύνολο των εξισώσεων (ανισώσεις).

Κεφάλαιο 2. Επίλυση εξισώσεων που περιέχουν μια ενότητα.

Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξετάσουμε αλγεβρικούς τρόπους επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν μία ή περισσότερες ενότητες.

Ενότητα 1. Εξισώσεις της μορφής │F (x) │ = m

Μια εξίσωση αυτού του τύπου ονομάζεται απλούστερη. Έχει λύση αν και μόνο αν m ≥ 0. Με τον ορισμό του συντελεστή, η αρχική εξίσωση ισοδυναμεί με συνδυασμό δύο εξισώσεων: │ φά(x) │ =Μ
Παραδείγματα:
№1. Λύστε την εξίσωση: │7x - 2│ = 9


Απάντηση: x 1 = - 1; Χ 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Απάντηση: το άθροισμα των ριζών είναι - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 συμβολίζουμε x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - και οι δύο τιμές ικανοποιούν την συνθήκη m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Απάντηση: ο αριθμός των ριζών της εξίσωσης είναι 7. Γυμνάσια:
№1. Λύστε την εξίσωση και υποδείξτε το άθροισμα των ριζών: │х - 5│ = 3 №2 ... Λύστε την εξίσωση και υποδείξτε τη μικρότερη ρίζα: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Λύστε την εξίσωση και υποδείξτε τη μεγαλύτερη ρίζα: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Λύστε την εξίσωση και υποδείξτε ολόκληρη τη ρίζα: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Λύστε την εξίσωση και υποδείξτε τον αριθμό των ριζών: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Ενότητα 2. Εξισώσεις της μορφής F (│х│) = m

Το όρισμα συνάρτησης στην αριστερή πλευρά βρίσκεται κάτω από το σύμβολο συντελεστή και η δεξιά πλευρά είναι ανεξάρτητη από τη μεταβλητή. Εξετάστε δύο τρόπους επίλυσης εξισώσεων αυτού του τύπου. Μέθοδος 1:Εξ ορισμού της απόλυτης τιμής, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με τον συνδυασμό δύο συστημάτων. Σε καθένα από τα οποία επιβάλλεται μια συνθήκη σε μια έκφραση υπομονάδας. φά(│х│) =Μ
Εφόσον η συνάρτηση F (│х│) είναι άρτια σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, οι ρίζες των εξισώσεων F (x) = m και F (- x) = m είναι ζεύγη αντίθετων αριθμών. Επομένως, αρκεί να λύσουμε ένα από τα συστήματα (όταν εξετάζουμε παραδείγματα με αυτόν τον τρόπο, θα δοθεί η λύση ενός συστήματος). Μέθοδος 2:Εφαρμογή της μεθόδου εισαγωγής νέας μεταβλητής. Σε αυτή την περίπτωση, εισάγεται ο χαρακτηρισμός │х│ = a, όπου a ≥ 0. Αυτή η μέθοδος είναι λιγότερο ογκώδης στο σχεδιασμό.
Παραδείγματα: №1 ... Λύστε την εξίσωση: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Ας χρησιμοποιήσουμε την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής. Συμβολίζουμε │x│ = a, όπου a ≥ 0. Λαμβάνουμε την εξίσωση 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή: │x │ = 1 και │х│ = 1/3. Κάθε εξίσωση έχει δύο ρίζες. Απάντηση: x 1 = 1; Χ 2 = - 1; Χ 3 = 1 / 3 ; Χ 4 = - 1 / 3 . №2. Λύστε την εξίσωση: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Ας βρούμε τη λύση του πρώτου συστήματος του συνόλου: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Σημειώστε ότι το x 2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη x ≥ 0. Λύση το δεύτερο σύστημα θα είναι το αντίθετο του x 1. Απάντηση: x 1 = -5+√57 / 8 ; Χ 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Λύστε την εξίσωση: x 4 - │х│ = 0 Σημειώστε │х│ = a, όπου a ≥ 0. Λαμβάνουμε την εξίσωση a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή: │х│ = 0 και │х│ = 1 х = 0; ± 1 Απάντηση: x 1 = 0; Χ 2 = 1; Χ 3 = - 1.
Γυμνάσια: №6. Λύστε την εξίσωση: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τον αριθμό των ριζών: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση δώστε τις ολόκληρες λύσεις: x 4 + │x│ - 2 = 0

Ενότητα 3. Εξισώσεις της μορφής │F (x) │ = G (x)

Η δεξιά πλευρά μιας εξίσωσης αυτής της μορφής εξαρτάται από τη μεταβλητή και, επομένως, έχει μια λύση εάν και μόνο εάν η δεξιά πλευρά είναι μια συνάρτηση G (x) ≥ 0. Η αρχική εξίσωση μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους : Μέθοδος 1:Πρότυπο, βασίζεται στην αποκάλυψη μιας ενότητας με βάση τον ορισμό της και συνίσταται σε μια ισοδύναμη μετάβαση σε συνδυασμό δύο συστημάτων. │ φά(x) │ =σολ(Χ)

Είναι λογικό να χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος στην περίπτωση μιας μιγαδικής έκφρασης για τη συνάρτηση G (x) και λιγότερο μιγαδική - για τη συνάρτηση F (x), δεδομένου ότι η λύση των ανισώσεων με τη συνάρτηση F (x) θεωρείται. Μέθοδος 2:Συνίσταται στη μετάβαση σε ένα ισοδύναμο σύστημα στο οποίο επιβάλλεται μια συνθήκη στη δεξιά πλευρά. │ φά(Χ)│= σολ(Χ)

Αυτή η μέθοδος είναι πιο βολική στη χρήση εάν η έκφραση για τη συνάρτηση G (x) είναι λιγότερο περίπλοκη από τη συνάρτηση F (x), δεδομένου ότι θεωρείται ότι η ανισότητα G (x) ≥ 0. Επιπλέον, στην περίπτωση αρκετές ενότητες, αυτή η μέθοδος συνιστάται για την εφαρμογή της δεύτερης επιλογής. Παραδείγματα: №1. Λύστε την εξίσωση: │x + 2│ = 6 -2x
(1 τρόπος) Απάντηση: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 τρόπος) Απάντηση: Το γινόμενο των ριζών είναι 3.
№3. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Απάντηση: το άθροισμα των ριζών είναι 4.
Γυμνάσια: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση δώστε τον αριθμό των λύσεων: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση δείξτε το γινόμενο των ριζών: │х + 3│ = х 2 + х - 6

Ενότητα 4. Εξισώσεις της μορφής │F (x) │ = F (x) και │F (x) │ = - F (x)

Οι εξισώσεις αυτού του είδους μερικές φορές αποκαλούνται «ομορφότερες». Δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά των εξισώσεων εξαρτάται από μια μεταβλητή, υπάρχουν λύσεις εάν και μόνο εάν η δεξιά πλευρά είναι μη αρνητική. Επομένως, οι αρχικές εξισώσεις είναι ισοδύναμες με τις ανισώσεις:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 και │F (x) │ = - F (x) F (x) Παραδείγματα: №1 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μικρότερη ακέραια ρίζα: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Απάντηση: x = 1№2. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε το μήκος του κενού: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Απάντηση: Το μήκος του κενού είναι 6.№3 . Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τον αριθμό των ακέραιων λύσεων: │2 + х - х 2 │ = 2 + х - х 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - х - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Απάντηση: 4 ολόκληρες λύσεις.№4 . Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μεγαλύτερη ρίζα:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Απάντηση: x = 3.

Γυμνάσια: №12. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε ολόκληρη τη ρίζα: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τον αριθμό των ακέραιων λύσεων: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση γράψτε έναν ακέραιο που δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης:

Ενότητα 5. Εξισώσεις της μορφής │F (x) │ = │G (x) │

Εφόσον και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι μη αρνητικές, η λύση περιλαμβάνει την εξέταση δύο περιπτώσεων: οι εκφράσεις των υπομονάδων είναι ίσες ή αντίθετες σε πρόσημο. Επομένως, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με συνδυασμό δύο εξισώσεων: │ φά(Χ)│= │ σολ(Χ)│
Παραδείγματα: №1. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε ολόκληρη τη ρίζα: │x + 3│ = │2x - 1│
Απάντηση: Ολόκληρη ρίζα x = 4.№2. Λύστε την εξίσωση: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Απάντηση: x = 2.№3 . Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το γινόμενο των ριζών:




Ρίζες εξίσωσης 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Απάντηση: το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με - 0,25. Γυμνάσια: №15 ... Λύστε την εξίσωση, γράψτε ολόκληρη τη λύση στην απάντησή σας: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μικρότερη ρίζα: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών:

Ενότητα 6. Παραδείγματα επίλυσης μη τυπικών εξισώσεων

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε παραδείγματα μη τυπικών εξισώσεων, κατά την επίλυση των οποίων η απόλυτη τιμή μιας παράστασης αποκαλύπτεται εξ ορισμού. Παραδείγματα:

№1. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση δώστε το άθροισμα των ριζών: x │x│- 5x - 6 = 0
Απάντηση: το άθροισμα των ριζών είναι 1 №2. . Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μικρότερη ρίζα: x 2 - 4x
- 5 = 0
Απάντηση: μικρότερη ρίζα x = - 5. №3. Λύστε την εξίσωση:

Απάντηση: x = -1. Γυμνάσια: №18. Λύστε την εξίσωση και υποδείξτε το άθροισμα των ριζών: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Λύστε την εξίσωση: x 2 - 3x =

№20. Λύστε την εξίσωση:

Ενότητα 7. Εξισώσεις της μορφής │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Είναι εύκολο να δούμε ότι στην αριστερή πλευρά μιας εξίσωσης αυτού του τύπου βρίσκεται το άθροισμα των μη αρνητικών τιμών. Κατά συνέπεια, η αρχική εξίσωση έχει λύση εάν και μόνο εάν και οι δύο όροι είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα εξισώσεων: │ φά(Χ)│+│ σολ(Χ)│=0
Παραδείγματα: №1 ... Λύστε την εξίσωση:
Απάντηση: x = 2. №2. Λύστε την εξίσωση: Απάντηση: x = 1. Γυμνάσια: №21. Λύστε την εξίσωση: №22 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών: №23 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε τον αριθμό των λύσεων:

Ενότητα 8. Εξισώσεις της μορφής │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

Για την επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου χρησιμοποιείται η μέθοδος των διαστημάτων. Αν το λύσουμε με διαδοχική επέκταση μονάδων, τότε παίρνουμε nσύνολα συστημάτων, τα οποία είναι πολύ δυσκίνητα και άβολα. Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου των διαστημάτων: 1). Βρείτε τιμές μεταβλητών Χστην οποία κάθε ενότητα είναι ίση με μηδέν (μηδενικές παραστάσεις υπομονάδας):
2). Σημειώστε τις τιμές που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή, η οποία χωρίζεται σε διαστήματα (ο αριθμός των διαστημάτων, αντίστοιχα, είναι n+1 ) 3). Προσδιορίστε το σύμβολο με το οποίο αποκαλύπτεται κάθε ενότητα σε καθένα από τα διαστήματα που λαμβάνονται (όταν δημιουργείτε μια λύση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμητική γραμμή σημειώνοντας σημάδια σε αυτήν) 4). Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύνολο n+1 συστήματα, καθένα από τα οποία υποδηλώνει ότι ανήκει σε μια μεταβλητή Χένα από τα διαστήματα. Παραδείγματα: №1 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μεγαλύτερη ρίζα:
ένας). Βρείτε τα μηδενικά των παραστάσεων της υπομονάδας: x = 2; x = -3 2). Ας σημειώσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή και ας προσδιορίσουμε το πρόσημο με το οποίο επεκτείνεται κάθε ενότητα στα ληφθέντα διαστήματα:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- δεν υπάρχουν λύσεις Η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Απάντηση: η μεγαλύτερη ρίζα x = 2. №2. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε ολόκληρη τη ρίζα:
ένας). Βρείτε τα μηδενικά των παραστάσεων της υπομονάδας: x = 1,5; x = - 1 2). Ας σημειώσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή και ας προσδιορίσουμε με ποιο πρόσημο αποκαλύπτεται κάθε ενότητα στα ληφθέντα διαστήματα: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Το τελευταίο σύστημα δεν έχει λύσεις, επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Κατά την επίλυση της εξίσωσης, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στο σύμβολο "-" μπροστά από τη δεύτερη ενότητα. Απάντηση: Ολόκληρη ρίζα x = 7. №3. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών: 1). Βρείτε τα μηδενικά των παραστάσεων της υπομονάδας: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Ας επισημάνουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή και ας προσδιορίσουμε με ποιο πρόσημο αποκαλύπτεται κάθε ενότητα στα ληφθέντα διαστήματα: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Η εξίσωση έχει δύο ρίζες x = 0 και 2. Απάντηση: το άθροισμα των ριζών είναι 2. №4 . Λύστε την εξίσωση: 1). Βρείτε τα μηδενικά των παραστάσεων της υπομονάδας: x = 1; x = 2; x = 3,2). Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο με το οποίο αποκαλύπτεται κάθε ενότητα στα ληφθέντα διαστήματα. 3).
Ας συνδυάσουμε τις λύσεις των τριών πρώτων συστημάτων. Απάντηση: ; x = 5.
Γυμνάσια: №24. Λύστε την εξίσωση:
№25. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών: №26. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μικρότερη ρίζα: №27. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τη μεγαλύτερη ρίζα:

Ενότητα 9. Εξισώσεις που περιέχουν πολλαπλές ενότητες

Οι εξισώσεις που περιέχουν πολλαπλές ενότητες λαμβάνουν απόλυτες τιμές σε εκφράσεις υπομονάδας. Η κύρια αρχή για την επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου είναι η διαδοχική αποκάλυψη των μονάδων, ξεκινώντας από την "εξωτερική". Κατά τη διάρκεια της λύσης, χρησιμοποιούνται οι τεχνικές που αναφέρονται στις ενότητες №1, №3.

Παραδείγματα: №1. Λύστε την εξίσωση:
Απάντηση: x = 1; - έντεκα. №2. Λύστε την εξίσωση:
Απάντηση: x = 0; 4; - 4. №3. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το γινόμενο των ριζών:
Απάντηση: το γινόμενο των ριζών είναι - 8. №4. Λύστε την εξίσωση:
Ας συμβολίσουμε τις εξισώσεις του συνόλου (1) και (2) και εξετάστε τη λύση καθενός από αυτά ξεχωριστά για την ευκολία του σχεδιασμού. Δεδομένου ότι και οι δύο εξισώσεις περιέχουν περισσότερες από μία μονάδες, είναι πιο βολικό να πραγματοποιηθεί μια ισοδύναμη μετάβαση σε σύνολα συστημάτων. (1)

(2)


Απάντηση:
Γυμνάσια: №36. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση γράψτε το άθροισμα των ριζών: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Λύστε την εξίσωση, αν υπάρχουν περισσότερες από μία ρίζες, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Λύστε την εξίσωση: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τον αριθμό των ριζών με: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε τον αριθμό των ριζών:

Ενότητα 3. Λογαριθμικές εξισώσεις.

Πριν λύσουμε τις παρακάτω εξισώσεις, είναι απαραίτητο να επαναλάβουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και τη λογαριθμική συνάρτηση. Παραδείγματα: №1. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση υποδείξτε το γινόμενο των ριζών: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 περίπτωση: αν x ≥ - 1, τότε log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - ικανοποιεί τη συνθήκη х ≥ - 1 2 περίπτωση: αν х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - ικανοποιεί την συνθήκη x - 1
Απάντηση: το γινόμενο των ριζών είναι - 15.
№2. Λύστε την εξίσωση, στην απάντηση να αναφέρετε το άθροισμα των ριζών: lg
Ο Ο.Δ.Ζ.

Απάντηση: το άθροισμα των ριζών είναι 0,5.
№3. Λύστε την εξίσωση: log 5
Ο Ο.Δ.Ζ.

Απάντηση: x = 9. №4. Λύστε την εξίσωση: │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ Ο.Δ.Ζ. x> 0 Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για μετάβαση σε άλλη βάση. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Βρείτε τα μηδενικά των παραστάσεων της υπομονάδας: x = 25; x = Αυτοί οι αριθμοί διαιρούν το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών σε τρία διαστήματα, επομένως η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τον συνδυασμό τριών συστημάτων.
Απάντηση :)