1. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με παράμετρο
Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων με μια παράμετρο επιλύονται με τις ίδιες βασικές μεθόδους με τα συμβατικά συστήματα εξισώσεων: τη μέθοδο αντικατάστασης, τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων και τη γραφική μέθοδο. Η γνώση της γραφικής ερμηνείας των γραμμικών συστημάτων καθιστά εύκολη την απάντηση στο ερώτημα του αριθμού των ριζών και της ύπαρξής τους.
Παράδειγμα 1.
Βρείτε όλες τις τιμές για την παράμετρο a για την οποία το σύστημα εξισώσεων δεν έχει λύσεις.
(x + (a 2 - 3) y = a,
(x + y = 2.
Λύση.
Ας εξετάσουμε διάφορους τρόπους επίλυσης αυτής της εργασίας.
1 τρόπος.Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: το σύστημα δεν έχει λύσεις εάν η αναλογία των συντελεστών μπροστά από το x είναι ίση με την αναλογία των συντελεστών μπροστά από το y, αλλά όχι ίση με την αναλογία των ελεύθερων όρων (a / a 1 = b / b 1 ≠ c / c 1). Τότε έχουμε:
1/1 = (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ή σύστημα
(α 2 - 3 = 1,
(α ≠ 2.
Από την πρώτη εξίσωση a 2 = 4, λοιπόν, λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη ότι a ≠ 2, παίρνουμε την απάντηση.
Απάντηση: a = -2.
Μέθοδος 2.Λύνουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης.
(2 - y + (a 2 - 3) y = a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y = a - 2,
(x = 2 - y.
Αφού τοποθετήσουμε τον κοινό παράγοντα y στην πρώτη εξίσωση έξω από τις αγκύλες, παίρνουμε:
((a 2 - 4) y = a - 2,
(x = 2 - y.
Το σύστημα δεν έχει λύσεις αν η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύσεις, δηλαδή
(α 2 - 4 = 0,
(α - 2 ≠ 0.
Προφανώς, a = ± 2, αλλά λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη συνθήκη, η απάντηση είναι μόνο μια απάντηση με ένα μείον.
Απάντηση: a = -2.
Παράδειγμα 2.
Βρείτε όλες τις τιμές για την παράμετρο a για την οποία το σύστημα εξισώσεων έχει άπειρο σύνολο λύσεων.
(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.
Λύση.
Κατά ιδιότητα, εάν ο λόγος των συντελεστών στα x και y είναι ο ίδιος και ισούται με τον λόγο των ελεύθερων μελών του συστήματος, τότε έχει ένα άπειρο σύνολο λύσεων (δηλ. a / a 1 = b / b 1 = γ / γ 1). Επομένως 8 / a = a / 2 = 2/1. Επιλύοντας καθεμία από τις ληφθείσες εξισώσεις, βρίσκουμε ότι a = 4 - η απάντηση σε αυτό το παράδειγμα.
Απάντηση:α = 4.
2. Συστήματα ορθολογικών εξισώσεων με παράμετρο
Παράδειγμα 3.
(3 | x | + y = 2,
(| x | + 2y = α.
Λύση.
Ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος επί 2:
(6 | x | + 2y = 4,
(| x | + 2y = α.
Ας αφαιρέσουμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη, παίρνουμε 5 | x | = 4 - α. Αυτή η εξίσωση θα έχει μια μοναδική λύση για a = 4. Σε άλλες περιπτώσεις, αυτή η εξίσωση θα έχει δύο λύσεις (για ένα< 4) или ни одного (при а > 4).
Απάντηση: α = 4.
Παράδειγμα 4.
Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες το σύστημα εξισώσεων έχει μοναδική λύση.
(x + y = a,
(y - x 2 = 1.
Λύση.
Θα λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο. Άρα, η γραφική παράσταση της δεύτερης εξίσωσης του συστήματος είναι μια παραβολή, ανυψωμένη κατά μήκος του άξονα Oy κατά μία μονάδα τμήματος. Η πρώτη εξίσωση ορίζει ένα σύνολο ευθειών παράλληλων στην ευθεία y = -x (εικόνα 1)... Από το σχήμα φαίνεται καθαρά ότι το σύστημα έχει λύση εάν η ευθεία y = -x + a εφάπτεται στην παραβολή στο σημείο με συντεταγμένες (-0,5; 1,25). Αντικαθιστώντας αυτές τις συντεταγμένες στην εξίσωση με μια ευθεία γραμμή αντί για x και y, βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου a: 
1,25 = 0,5 + a;
Απάντηση: α = 0,75.
Παράδειγμα 5.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης, μάθετε σε ποια τιμή της παραμέτρου a, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
(ax - y = a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.
Λύση.
Από την πρώτη εξίσωση, εκφράζουμε το y και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη:
(y = τσεκούρι - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.
Ας φέρουμε τη δεύτερη εξίσωση στη μορφή kx = b, η οποία θα έχει μοναδική λύση για k ≠ 0. Έχουμε:
ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Το τετράγωνο τριώνυμο a 2 + 3a + 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο αγκύλων
(a + 2) (a + 1), και στα αριστερά βγάζουμε x έξω από τις αγκύλες:
(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).
Προφανώς, ένα 2 + 3a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, επομένως,
a 2 + 3a ≠ 0, a (a + 3) ≠ 0, και επομένως a ≠ 0 και ≠ -3.
Απάντηση: a ≠ 0; ≠ -3.
Παράδειγμα 6.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραφικής λύσης, καθορίστε σε ποια τιμή της παραμέτρου a, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
(x 2 + y 2 = 9,
(y - | x | = α.
Λύση.
Με βάση την συνθήκη, χτίζουμε έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή και ακτίνα 3 μονάδων τμημάτων, είναι αυτός που ορίζεται από την πρώτη εξίσωση του συστήματος
x 2 + y 2 = 9. Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος (y = | x | + a) είναι μια διακεκομμένη γραμμή. Μέσω Σχήμα 2εξετάζουμε όλες τις πιθανές περιπτώσεις θέσης του σε σχέση με τον κύκλο. Είναι εύκολο να δούμε ότι a = 3. 
Απάντηση: α = 3.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να λύσετε συστήματα εξισώσεων;
Για να λάβετε βοήθεια από καθηγητή - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
ΠΡΟΣ ΤΟ εργασίες με την παράμετρομπορεί να αποδοθεί, για παράδειγμα, η αναζήτηση λύσεων σε γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις σε γενική μορφή, η μελέτη της εξίσωσης για τον αριθμό των διαθέσιμων ριζών, ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου.
Χωρίς να δώσετε λεπτομερείς ορισμούς, θεωρήστε τις ακόλουθες εξισώσεις ως παραδείγματα:
y = kx, όπου x, y είναι μεταβλητές, k είναι μια παράμετρος.
y = kx + b, όπου x, y είναι μεταβλητές, k και b είναι μια παράμετρος.
ax 2 + bx + c = 0, όπου x είναι μεταβλητές, a, b και c είναι μια παράμετρος.
Για να λύσετε μια εξίσωση (ανισότητα, σύστημα) με μια παράμετρο σημαίνει, κατά κανόνα, να λύσετε ένα άπειρο σύνολο εξισώσεων (ανισώσεις, συστήματα).
Οι εργασίες με μια παράμετρο μπορούν να χωριστούν χονδρικά σε δύο τύπους:
ένα)η συνθήκη λέει: για να λύσετε μια εξίσωση (ανισότητα, σύστημα) - αυτό σημαίνει, για όλες τις τιμές της παραμέτρου, βρείτε όλες τις λύσεις. Εάν τουλάχιστον μία περίπτωση παραμένει ανεξερεύνητη, μια τέτοια λύση δεν μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική.
σι)απαιτείται η ένδειξη των πιθανών τιμών της παραμέτρου για την οποία η εξίσωση (ανισότητα, σύστημα) έχει ορισμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα, έχει μία λύση, δεν έχει λύσεις, έχει λύσεις που ανήκουν στο διάστημα κ.λπ. Σε τέτοιες εργασίες, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται σαφώς σε ποια τιμή της παραμέτρου ικανοποιείται η απαιτούμενη συνθήκη.
Η παράμετρος, επειδή είναι ένας άγνωστος σταθερός αριθμός, έχει, σαν να λέγαμε, μια ειδική δυαδικότητα. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η υποτιθέμενη φήμη υποδηλώνει ότι η παράμετρος πρέπει να εκληφθεί ως αριθμός. Δεύτερον, η ελευθερία χειρισμού μιας παραμέτρου περιορίζεται από το άγνωστό της. Έτσι, για παράδειγμα, οι πράξεις διαίρεσης με μια έκφραση στην οποία υπάρχει μια παράμετρος ή η εξαγωγή μιας άρτιας ρίζας από μια τέτοια έκφραση απαιτούν προκαταρκτική έρευνα. Επομένως, πρέπει να είστε προσεκτικοί όταν χειρίζεστε την παράμετρο.
Για παράδειγμα, για να συγκρίνετε δύο αριθμούς -6a και 3a, υπάρχουν τρεις περιπτώσεις που πρέπει να λάβετε υπόψη:
1) Το -6a θα είναι μεγαλύτερο από 3a εάν το a είναι αρνητικό.
2) -6a = 3a στην περίπτωση που a = 0;
3) Το -6a θα είναι μικρότερο από 3a εάν το a είναι θετικός αριθμός 0.
Η απόφαση θα είναι η απάντηση.
Έστω η εξίσωση kx = b. Αυτή η εξίσωση είναι συντομογραφία για έναν άπειρο αριθμό εξισώσεων μιας μεταβλητής.
Κατά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις:
1. Έστω k οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μη ίσος με μηδέν και b - οποιοσδήποτε αριθμός από το R, τότε x = b / k.
2. Έστω k = 0 και b ≠ 0, η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή 0 · x = b. Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
3. Έστω k και b αριθμοί ίσοι με μηδέν, τότε έχουμε την ισότητα 0 · x = 0. Η λύση του είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Ένας αλγόριθμος για την επίλυση αυτού του τύπου εξισώσεων:
1. Προσδιορίστε τις τιμές "ελέγχου" της παραμέτρου.
2. Λύστε την αρχική εξίσωση για το x στις τιμές της παραμέτρου που καθορίστηκαν στην πρώτη παράγραφο.
3. Λύστε την αρχική εξίσωση για το x με τιμές παραμέτρων διαφορετικές από αυτές που επιλέχθηκαν στην πρώτη παράγραφο.
4. Μπορείτε να γράψετε την απάντηση ως εξής:
1) για… (τιμή παραμέτρου), η εξίσωση έχει ρίζες….
2) στο… (τιμή παραμέτρου), δεν υπάρχουν ρίζες στην εξίσωση.
Παράδειγμα 1.
Λύστε την εξίσωση με την παράμετρο | 6 - x | = α.
Λύση.
Είναι εύκολο να δούμε ότι εδώ ένα ≥ 0.
Με τον κανόνα συντελεστή 6 - x = ± a, εκφράζουμε το x:
Απάντηση: x = 6 ± a, όπου a ≥ 0.
Παράδειγμα 2.
Λύστε την εξίσωση a (x - 1) + 2 (x - 1) = 0 ως προς τη μεταβλητή x.
Λύση.
Ας ανοίξουμε τις αγκύλες: ax - a + 2x - 2 = 0
Ας γράψουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: x (a + 2) = a + 2.
Εάν η παράσταση a + 2 δεν είναι μηδέν, δηλαδή εάν a ≠ -2, έχουμε τη λύση x = (a + 2) / (a · + 2), δηλαδή, x = 1.
Αν το a + 2 ισούται με μηδέν, δηλ. a = -2, τότε έχουμε τη σωστή ισότητα 0 x = 0, επομένως x είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απάντηση: x = 1 για a ≠ -2 και x € R για a = -2.
Παράδειγμα 3.
Λύστε την εξίσωση x / a + 1 = a + x για το x.
Λύση.
Αν a = 0, τότε μετατρέπουμε την εξίσωση στη μορφή a + x = a 2 + ax ή (a - 1) x = -a (a - 1). Η τελευταία εξίσωση για a = 1 έχει τη μορφή 0 x = 0, επομένως, x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.
Αν a ≠ 1, τότε η τελευταία εξίσωση θα πάρει τη μορφή x = -a.
Αυτή η λύση μπορεί να απεικονιστεί στη γραμμή συντεταγμένων (εικ. 1)
Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις για a = 0. x - οποιοσδήποτε αριθμός με a = 1; x = -a για ένα ≠ 0 και a ≠ 1.
Γραφική μέθοδος
Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης εξισώσεων με μια παράμετρο - γραφικό. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται αρκετά συχνά.
Παράδειγμα 4.
Πόσες ρίζες, ανάλογα με την παράμετρο a, έχει η εξίσωση || x | - 2 | = α;
Λύση.
Για να λύσουμε τη γραφική μέθοδο, κατασκευάζουμε γραφήματα των συναρτήσεων y = || x | - 2 | και y = α (εικ. 2).
Το σχέδιο δείχνει καθαρά τις πιθανές περιπτώσεις της θέσης της ευθείας y = a και τον αριθμό των ριζών σε καθεμία από αυτές.
Απάντηση: η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες αν α< 0; два корня будет в случае, если a >2 και a = 0; η εξίσωση θα έχει τρεις ρίζες στην περίπτωση a = 2. τέσσερις ρίζες - στο 0< a < 2.
Παράδειγμα 5.
Για το οποίο a είναι η εξίσωση 2 | x | + | x - 1 | = το α έχει μία μόνο ρίζα;
Λύση.
Ας σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2 | x | + | x - 1 | και y = α. Για y = 2 | x | + | x - 1 |, επεκτείνοντας τις ενότητες με τη μέθοδο των διαστημάτων, λαμβάνουμε:
(-3x + 1, για x< 0,
y = (x + 1, για 0 ≤ x ≤ 1,
(3x - 1, για x> 1.
Στο Εικόνα 3φαίνεται ξεκάθαρα ότι η εξίσωση θα έχει μία μόνο ρίζα μόνο για a = 1.
Απάντηση: α = 1.
Παράδειγμα 6.
Να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης | x + 1 | + | x + 2 | = a ανάλογα με την παράμετρο a;
Λύση.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = | x + 1 | + | x + 2 | θα είναι μια πολύγραμμη. Οι κορυφές του θα βρίσκονται στα σημεία (-2; 1) και (-1; 1) (εικόνα 4).
Απάντηση: εάν η παράμετρος a είναι μικρότερη από μία, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες. αν a = 1, τότε η λύση της εξίσωσης είναι ένα άπειρο σύνολο αριθμών από το τμήμα [-2; -ένας]; εάν οι τιμές της παραμέτρου a είναι περισσότερες από μία, τότε η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να λύσετε εξισώσεις με μια παράμετρο;
Για να λάβετε βοήθεια από καθηγητή - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
Για ποιες τιμές της παραμέτρου $ a $ έχει τουλάχιστον μία λύση η ανισότητα $ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1> 0 $;
Λύση
Ας μειώσουμε αυτήν την ανισότητα σε έναν θετικό συντελεστή για $ x ^ 2 $:
$ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1> 0 \ quad \ Αριστερό δεξιό βέλος \ τετραγωνίδιο x ^ 2 - (a + 2) x + 8a + 1< 0 .$
Ας υπολογίσουμε τη διάκριση: $ D = (a + 2) ^ 2 - 4 (8a + 1) = a ^ 2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a ^ 2 - 28a $. Για να έχει λύση αυτή η ανισότητα, είναι απαραίτητο τουλάχιστον ένα σημείο της παραβολής να βρίσκεται κάτω από τον άξονα $ x $. Εφόσον οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, γι' αυτό είναι απαραίτητο το τετράγωνο τριώνυμο στην αριστερή πλευρά της ανισότητας να έχει δύο ρίζες, δηλαδή η διάκρισή του να είναι θετική. Φτάνουμε στην ανάγκη να λύσουμε την τετραγωνική ανισότητα $ a ^ 2 - 28a> 0 $. Το τετράγωνο τριώνυμο $ a ^ 2 - 28a $ έχει δύο ρίζες: $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 28 $. Επομένως, η ανισότητα $ a ^ 2 - 28a> 0 $ ικανοποιείται από τα διαστήματα $ a \ in (- \ infty; 0) \ cup (28; + \ infty) $.
Απάντηση.$ a \ σε (- \ infty; 0) \ φλιτζάνι (28; + \ infty) $.
Για ποιες τιμές της παραμέτρου $ a $ έχει τουλάχιστον μία ρίζα η εξίσωση $ (a-2) x ^ 2-2ax + a + 3 = 0 $ και όλες οι ρίζες είναι θετικές;
Λύση
Έστω $ a = 2 $. Τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή $ () - 4x +5 = 0 $, από όπου παίρνουμε ότι $ x = \ dfrac (5) (4) $ είναι θετική ρίζα.
Τώρα ας $ a \ ne 2 $. Βγαίνει μια τετραγωνική εξίσωση. Ας προσδιορίσουμε πρώτα για ποιες τιμές της παραμέτρου $ a $ έχει ρίζες αυτή η εξίσωση. Είναι απαραίτητο η διάκρισή του να είναι μη αρνητική. Αυτό είναι:
$ D = 4a ^ 2 - 4 (a-2) (a + 3) = () -4a + 24 \ geqslant 0 \ Αριστερά δεξιά βέλος a \ leqslant 6. $
Κατά συνθήκη, οι ρίζες πρέπει να είναι θετικές, επομένως, από το θεώρημα του Vieta, λαμβάνουμε το σύστημα:
$ \ αρχή (περιπτώσεις) x_1 + x_2 = \ dfrac (2a) (a - 2)> 0, \\ x_1x_2 = \ dfrac (a + 3) (a - 2)> 0, \\ a \ leqslant 6 \ τέλος (περιπτώσεις) \ quad \ Leftright arrow \ quad \ start (περιπτώσεις) a \ in (- \ infty; 0) \ cup (2; + \ infty), \\ a \ in (- \ infty; -3) \ cup ( 2; + \ infty), \\ a \ in (- \ infty; 6] \ end (cases) \ quad \ Leftright arrow \ quad a \ in (- \ infty; -3) \ cup (2; 6]. $
Συνδυάζοντας τις απαντήσεις, παίρνουμε το απαιτούμενο σύνολο: $ a \ in (- \ infty; -3) \ cup $.
Απάντηση.$ a \ σε (- \ infty; -3) \ φλιτζάνι $.
Για ποιες τιμές της παραμέτρου $ a $ δεν έχει λύσεις η ανισότητα $ ax ^ 2 + 4ax + 5 \ leqslant 0 $;
Λύση
- Αν $ a = 0 $, τότε αυτή η ανισότητα εκφυλίζεται στην ανισότητα $ 5 \ leqslant 0 $, η οποία δεν έχει λύσεις. Επομένως, η τιμή $ a = 0 $ ικανοποιεί την κατάσταση του προβλήματος.
- Αν $ a> 0 $, τότε η γραφική παράσταση του τετραγωνικού τριωνύμου στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης είναι μια παραβολή με κλάδους στραμμένους προς τα πάνω. Υπολογίστε $ \ dfrac (D) (4) = 4a ^ 2 - 5a $. Η ανισότητα δεν έχει λύσεις εάν η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα της τετμημένης, δηλαδή όταν το τετράγωνο τριώνυμο δεν έχει ρίζες ($ D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Αν $ α< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Απάντηση.Το $ a \ in \ αριστερά $ βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες, επομένως πρέπει να υπάρχουν δύο ρίζες (άρα $ a \ ne 0 $). Εάν οι κλάδοι της παραβολής $ y = ax ^ 2 + (a + 3) x - 3a $ κατευθύνονται προς τα πάνω, τότε $ y (-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0 $ και $ y (1)> 0 $.
Περίπτωση Ι.Έστω $ a> 0 $. Τότε
$ \ αριστερά \ (\ αρχή (πίνακας) (l) y (-1) = a- (a + 3) -3a = -3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \ τέλος (πίνακας) \ δεξιά. \ quad \ Αριστερό βέλος \ τετράδεξι \ αριστερά \ (\ αρχή (πίνακας) (l) a> -1 \\ a> 3 \\ a> 0 \ τέλος (πίνακας) \ δεξιά. \ quad \ Αριστερό βέλος \ quad a> 3. $
Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, αποδεικνύεται ότι όλα τα $ a> 3 $ είναι κατάλληλα.
Περίπτωση II.Έστω $ a< 0$. Тогда
$ \ αριστερά \ (\ αρχή (πίνακας) (l) y (-1) = a- (a + 3) -3a = -3a-3> 0 \\ y (1) = a + (a + 3) - 3a = -a + 3> 0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, αποδεικνύεται ότι όλα τα $ a< -1$.
Απάντηση.$ a \ σε (- \ infty; -1) \ φλιτζάνι (3; + \ infty) $
Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $ a $, για καθεμία από τις οποίες το σύστημα εξισώσεων
$ \ αρχή (περιπτώσεις) x ^ 2 + y ^ 2 = 2a, \\ 2xy = 2a-1 \ τέλος (περιπτώσεις) $
έχει ακριβώς δύο λύσεις.
Λύση
Αφαιρέστε το δεύτερο από το πρώτο: $ (x-y) ^ 2 = 1 $. Τότε
$ \ αριστερά [\ αρχή (πίνακας) (l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \ τέλος (πίνακας) \ δεξιά. \ quad \ Αριστερό βέλος \ τετράδα \ αριστερά [\ αρχή (πίνακας) (l) x = y + 1, \\ x = y-1. \ τέλος (πίνακας) \ δεξιά. $
Αντικαθιστώντας τις ληφθείσες εκφράσεις στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, λαμβάνουμε δύο τετραγωνικές εξισώσεις: $ 2y ^ 2 + 2y - 2a + 1 = 0 $ και $ 2y ^ 2 - 2y - 2a + 1 = 0 $. Το διαχωριστικό καθενός από αυτά είναι $ D = 16a-4 $.
Σημειώστε ότι δεν μπορεί να συμβεί ένα ζεύγος ριζών της πρώτης από τις τετραγωνικές εξισώσεις να συμπίπτει με ένα ζεύγος ριζών της δεύτερης τετραγωνικής εξίσωσης, αφού το άθροισμα των ριζών της πρώτης είναι $ -1 $ και η δεύτερη είναι 1.
Αυτό σημαίνει ότι κάθε μία από αυτές τις εξισώσεις πρέπει να έχει μία ρίζα, τότε το αρχικό σύστημα θα έχει δύο λύσεις. Δηλαδή, $ D = 16a - 4 = 0 $.
Απάντηση.$ a = \ dfrac (1) (4) $
Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $ a $, για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση $ 4x- | 3x- | x + a || = 9 | x-3 | $ έχει δύο ρίζες.
Λύση
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής:
9 $ | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || = 0. $
Θεωρήστε τη συνάρτηση $ f (x) = 9 | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || $.
Για $ x \ geqslant 3 $, η πρώτη ενότητα επεκτείνεται με ένα σύμβολο συν και η συνάρτηση παίρνει τη μορφή: $ f (x) = 5x-27 + | 3x- | x + a || $. Προφανώς, οποιαδήποτε επέκταση των μονάδων θα έχει ως αποτέλεσμα μια γραμμική συνάρτηση με τον συντελεστή $ k \ geqslant 5-3-1 = 1> 0 $, δηλαδή, αυτή η συνάρτηση αυξάνεται επ 'αόριστον σε αυτό το διάστημα.
Θεωρήστε τώρα το διάστημα $ x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Έτσι, καταλάβαμε ότι το $ x = 3 $ είναι το ελάχιστο σημείο αυτής της συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι για να έχει δύο λύσεις η αρχική εξίσωση, η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο πρέπει να είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, η ανισότητα ισχύει: $ f (3)<0$.
$ 12- | 9- | 3 + a ||> 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad | 9- | 3 + a ||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$ \ Αριστερό βέλος \ τετραγωνικό | 3 + a |< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Απάντηση.$ a \ σε (-24; 18) $ Για ποιες τιμές της παραμέτρου $ a $ η εξίσωση $ 5 ^ (2x) -3 \ cdot 5 ^ x + a-1 = 0 $ έχει μια ρίζα; Ας κάνουμε την αλλαγή: $ t = 5 ^ x> 0 $. Τότε η αρχική εξίσωση παίρνει τη μορφή τετραγωνικής εξίσωσης: $ t ^ 2-3t + a-1 = 0 $. Η αρχική εξίσωση θα έχει μία μόνο ρίζα εάν αυτή η εξίσωση έχει μία θετική ρίζα ή δύο ρίζες, εκ των οποίων η μία είναι θετική και η άλλη αρνητική. Η διάκριση της εξίσωσης είναι: $ D = 13-4a $. Αυτή η εξίσωση θα έχει μία ρίζα εάν η προκύπτουσα διάκριση είναι ίση με μηδέν, δηλαδή για $ a = \ dfrac (13) (4) $. Σε αυτήν την περίπτωση, η ρίζα $ t = \ dfrac (3) (2)> 0 $, οπότε η δεδομένη τιμή $ a $ ταιριάζει. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, εκ των οποίων η μία είναι θετική και η άλλη μη θετική, τότε $ D = 13-4a> 0 $, $ x_1 + x_2 = 3> 0 $ και $ x_1x_2 = a - 1 \ leqslant 0 $. Δηλαδή, $ a \ σε (- \ infty; 1] $ Απάντηση.$ a \ σε (- \ infty; 1] \ φλιτζάνι \ αριστερά \ (\ dfrac (13) (4) \ δεξιά \) $ Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $ a $ για τις οποίες το σύστημα $ \ αρχή (περιπτώσεις) \ log_a y = (x ^ 2-2x) ^ 2, \\ x ^ 2 + y = 2x \ τέλος (περιπτώσεις) $ έχει ακριβώς δύο λύσεις. Μετατρέπουμε το σύστημα στην ακόλουθη μορφή: $ \ αρχή (περιπτώσεις) \ log_a y = (2x-x ^ 2) ^ 2, \\ y = 2x-x ^ 2. \ τέλος (περιπτώσεις) $ Εφόσον η παράμετρος $ a $ βρίσκεται στη βάση του λογαρίθμου, επιβάλλονται σε αυτήν οι ακόλουθοι περιορισμοί: $ a> 0 $, $ a \ ne 1 $. Εφόσον η μεταβλητή $ y $ είναι το όρισμα του λογαρίθμου, τότε $ y> 0 $. Συνδυάζοντας και τις δύο εξισώσεις του συστήματος, περνάμε στην εξίσωση: $ \ log_a y = y ^ 2 $. Ανάλογα με τις τιμές που παίρνει η παράμετρος $ a $, είναι δυνατές δύο περιπτώσεις: Απάντηση.$ a \ σε (0; 1) $ Εξετάστε την περίπτωση που $ a> 1 $. Εφόσον για μεγάλες τιμές modulo $ t $ το γράφημα της συνάρτησης $ f (t) = a ^ t $ βρίσκεται πάνω από την ευθεία $ g (t) = t $, το μόνο κοινό σημείο μπορεί να είναι μόνο ένα σημείο εφαπτομένη. Έστω $ t_0 $ το σημείο εφαπτομένης. Σε αυτό το σημείο, η παράγωγος σε $ f (t) = a ^ t $ είναι ίση με ένα (η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης), επιπλέον, οι τιμές και των δύο συναρτήσεων συμπίπτουν, δηλαδή η το σύστημα λαμβάνει χώρα: $ \ αρχή (περιπτώσεις) a ^ (t_0) \ ln a = 1, \\ a ^ (t_0) = t_0 \ τέλος (περιπτώσεις) \ quad \ Leftright arrow \ quad \ start (περιπτώσεις) a ^ (t_0) = \ dfrac (1) (\ ln a), \\ a ^ (\ tau) = \ tau \ τέλος (περιπτώσεις) $ Από όπου $ t_0 = \ dfrac (1) (\ ln a) $. $ a ^ (\ frac (1) (\ ln a)) \ ln a = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad a ^ (\ log_a e) = \ frac (1) (\ ln a) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a = e ^ (\ frac (1) (e)). $ Ταυτόχρονα, η ευθεία και η εκθετική συνάρτηση προφανώς δεν έχουν άλλα κοινά σημεία. Απάντηση.$ a \ σε (0; 1] \ φλιτζάνι \ αριστερά \ (e ^ (e ^ (- 1)) \ δεξιά \) $ Εξίσωση της φόρμας φά(Χ; ένα) = 0 καλείται μεταβλητή εξίσωση Χκαι παράμετρος ένα.
Επίλυση εξίσωσης με παράμετρο ένα- αυτό σημαίνει, για κάθε τιμή έναβρείτε αξίες Χικανοποιώντας αυτή την εξίσωση. Παράδειγμα 1. Ω= 0 Παράδειγμα 2. Ω = ένα Παράδειγμα 3.
x + 2 = αχ Αν 1 - ένα= 0, δηλ. ένα= 1, λοιπόν Χ 0 = -2 χωρίς ρίζες Αν 1 - ένα 0, δηλ. ένα 1, λοιπόν Χ = Παράδειγμα 4. (ένα 2 – 1) Χ = 2ένα 2 + ένα – 3 Αν ένα= 1 και μετά 0 Χ = 0 Αν ένα= -1, μετά 0 Χ = -2 Αν ένα 1, ένα-1, λοιπόν Χ= (μόνη λύση). Αυτό σημαίνει ότι κάθε έγκυρη τιμή έναταιριάζει με μία μόνο τιμή Χ. Για παράδειγμα: αν ένα= 5, λοιπόν Χ = = ; αν ένα= 0, λοιπόν Χ= 3, κ.λπ. 1. Ω = Χ + 3 2. 4 + Ω = 3Χ – 1 3. ένα = + στο ένα= 1 χωρίς ρίζες. στο ένα= 3 ρίζες αρ. στο ένα = 1 Χ- οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό, εκτός Χ = 1 στο ένα = -1, ένα= 0 δεν υπάρχουν λύσεις. στο ένα = 0, ένα= 2 χωρίς λύσεις. στο ένα = -3, ένα = 0, 5, ένα= -2 χωρίς λύσεις στο ένα = -Με, Με= 0 δεν υπάρχουν λύσεις. Παράδειγμα 1.Λύστε την εξίσωση (ένα – 1)Χ 2 = 2(2ένα + 1)Χ + 4ένα
+ 3 = 0 Στο ένα = 1 6Χ + 7 = 0 Πότε ένα 1 ας επιλέξουμε αυτές τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ρεεξαφανίζεται. D = (2 (2 ένα + 1)) 2 – 4(ένα – 1)(4ένα + 30 = 16ένα 2
+ 16ένα + 4 – 4(4ένα 2 + 3ένα – 4ένα – 3) = 16ένα 2
+ 16ένα + 4 – 16ένα 2 + 4ένα + 12 = 20ένα + 16 20ένα + 16 = 0 20ένα = -16 Αν ένα < -4/5, то ρε < 0, уравнение имеет
действительный корень. Αν ένα> -4/5 και ένα 1, λοιπόν ρε > 0, Χ = Αν ένα= 4/5, λοιπόν ρε = 0, Παράδειγμα 2.Για ποιες τιμές της παραμέτρου είναι η εξίσωση x 2 + 2 ( ένα + 1)Χ + 9ένα- Το 5 = 0 έχει 2 διαφορετικές αρνητικές ρίζες; D = 4 ( ένα + 1) 2 – 4(9ένα – 5) = 4ένα 2
– 28ένα + 24 = 4(ένα – 1)(ένα – 6) 4(ένα – 1)(ένα – 6) > 0 από τον σύντροφο Βιέτα: Χ 1 + Χ 2 = -2(ένα + 1) Κατά συνθήκη Χ 1 < 0, Χ 2 < 0 то
–2(ένα + 1) < 0 и 9ένα – 5 > 0 (Ρύζι. ένας) < ένα
< 1, либо ένα > 6 Παράδειγμα 3.Βρείτε τις τιμές έναγια το οποίο αυτή η εξίσωση έχει λύση. x 2 - 2 ( ένα – 1)Χ + 2ένα + 1 = 0 D = 4 ( ένα – 1) 2 – 4(2ένα + 10 = 4ένα 2
– 8ένα + 4 – 8ένα – 4 = 4ένα 2 – 16ένα 4ένα 2 – 16 0 4ένα(ένα – 4) 0 ένα( ένα – 4)) 0 ένα( ένα – 4) = 0 a = 0 ή ένα – 4 = 0 (Ρύζι. 2) Απάντηση: ένα 0 και ένα 4 1. Σε ποια τιμή ένατην εξίσωση Ω 2
– (ένα + 1) Χ + 2ένα- 1 = 0 έχει μία ρίζα; 2. Σε ποια τιμή έναη εξίσωση ( ένα + 2) Χ 2
+ 2(ένα + 2)Χ+ 2 = 0 έχει μία ρίζα; 3. Για ποιες τιμές της εξίσωσης ( ένα 2
– 6ένα + 8) Χ 2 + (ένα 2 – 4) Χ + (10
– 3ένα – ένα 2) = 0 έχει περισσότερες από δύο ρίζες; 4. Για ποιες τιμές μιας εξίσωσης 2 Χ 2 + Χ
– ένα= 0 έχει τουλάχιστον μία κοινή ρίζα με την εξίσωση 2 Χ 2 – 7Χ + 6 = 0? 5. Για ποιες τιμές του a οι εξισώσεις Χ 2 +Ω+ 1 = 0 και Χ 2 + Χ + ένα= 0 έχουν τουλάχιστον μία κοινή ρίζα; 1. Πότε ένα = - 1/7, ένα = 0, ένα = 1 2. Πότε ένα = 0 3. Πότε ένα = 2 4. Πότε ένα = 10 5. Πότε ένα = - 2 Παράδειγμα 1.Βρείτε όλες τις τιμές έναγια την οποία η εξίσωση 9 x - ( ένα+ 2) * 3 x-1 / x +2 ένα* 3 -2 / x = 0 (1) έχει ακριβώς δύο ρίζες. Λύση. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (1) με 3 2 / x, παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση 3 2 (x + 1 / x) - ( ένα+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 ένα = 0 (2) Έστω 3 x + 1 / x = στο, τότε η εξίσωση (2) παίρνει τη μορφή στο 2 – (ένα + 2)στο + 2ένα= 0, ή (στο – 2)(στο – ένα) = 0, εξ ου και στο 1 =2, στο 2
= ένα. Αν στο= 2, δηλ. 3 x + 1 / x = 2 τότε Χ + 1/Χ= ημερολόγιο 3 2, ή Χ 2 – Χημερολόγιο 3 2 + 1 = 0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, αφού ρε= ημερολόγιο 2 3 2 - 4< 0. Αν στο = ένα, δηλ. 3 x + 1 / x = ένατότε Χ +
1/Χ= ημερολόγιο 3 ένα, ή Χ 2 –Χ log 3 a + 1 = 0. (3) Η εξίσωση (3) έχει ακριβώς δύο ρίζες αν και μόνο αν D = log 2 3 2 - 4> 0, ή | log 3 a | > 2. Αν το αρχείο καταγραφής 3 a> 2, τότε ένα> 9, και αν το αρχείο καταγραφής 3 a< -2, то 0 < ένα < 1/9. Απάντηση: 0< ένα < 1/9, ένα > 9. Παράδειγμα 2... Σε ποιες τιμές του a είναι η εξίσωση 2 2x - ( ένα - 3) 2 x - 3 ένα= 0 έχει λύσεις; Για να έχει λύση μια δεδομένη εξίσωση, είναι απαραίτητο και αρκετό η εξίσωση t 2 – (ένα - 3) t – 3ένα= 0 είχε τουλάχιστον μία θετική ρίζα. Ας βρούμε τις ρίζες από το θεώρημα του Vieta: Χ 1 = -3, Χ 2
= ένα = > Το α είναι θετικός αριθμός. Απάντηση: στο ένα > 0 1. Βρείτε όλες τις τιμές του a για τις οποίες η εξίσωση 25 x - (2 ένα+ 5) * 5 x-1 / x + 10 ένα* 5 -2 / x = 0 έχει ακριβώς 2 λύσεις. 2. Για ποιες τιμές α η εξίσωση 2 (a-1) x? +2 (a + 3) x + a = 1/4 έχει μία ρίζα; 3. Για ποιες τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση 4 x - (5 ένα-3) 2 x +4 ένα 2 – 3ένα= 0 έχει τη μόνη λύση; Παράδειγμα 1.Βρείτε όλες τις τιμές έναγια την οποία η εξίσωση ημερολόγιο 4x (1 + Ω) = 1/2 (1) έχει μόνο μία λύση. Λύση. Η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 1 + Ω = 2Χστο Χ
> 0, Χ 1/4 (3) Χ = στο αι 2 - στο + 1 = 0 (4) Η προϋπόθεση (2) από (3) δεν ικανοποιείται. Αφήνω ένα 0, λοιπόν ay 2
– 2στο+ 1 = 0 έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν ρε = 4 – 4ένα 0, δηλ. στο ένα 1.Για να λύσουμε την ανισότητα (3), κατασκευάζουμε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I.Σε βάθος μελέτη του μαθήματος της άλγεβρας και της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ .: Εκπαίδευση, 1990Λύση
Λύση
x - ah = -2
x (1 - a) = -2
(ένα – 1)(ένα + 1)Χ = 2(ένα – 1)(ένα – 1,5)
(ένα – 1)(ένα + 1)Χ = (1ένα – 3)(ένα – 1)
Χ- οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό
Χωρίς ρίζες
Διδακτικό υλικό
Τετραγωνικές εξισώσεις με παράμετρο
Χ 1 Χ 2 = 9ένα – 5Τελικά
4(ένα – 1)(ένα – 6) > 0
- 2(ένα + 1) < 0
9ένα – 5 > 0
ένα < 1: а > 6
ένα > - 1
ένα > 5/9
ένα = 4
Διδακτικό υλικό
Εκθετικές εξισώσεις με παράμετρο
Διδακτικό υλικό
Λογαριθμικές εξισώσεις με παράμετρο
