Στόχοι:

1. Γενική εκπαίδευση: συστηματοποίηση, γενίκευση, διεύρυνση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που σχετίζονται με την εφαρμογή μεθόδων επίλυσης ανισοτήτων.
2. Αναπτυξιακή: ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να ακούν μια διάλεξη, γράφοντάς τη συνοπτικά σε ένα σημειωματάριο.
3. Εκπαιδευτικά: για τη διαμόρφωση γνωστικών κινήτρων για τη μελέτη των μαθηματικών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Εισαγωγική συνομιλία:

Τελειώσαμε το θέμα «Επίλυση παράλογων εξισώσεων» και σήμερα αρχίζουμε να μαθαίνουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες.

Αρχικά, ας θυμηθούμε ποιους τύπους ανισοτήτων μπορείτε να λύσετε και με ποιες μεθόδους;

Απάντηση: Γραμμικό, τετράγωνο, ορθολογικό, τριγωνομετρικό. Λύνουμε γραμμικές με βάση τις ιδιότητες των ανισώσεων, ανάγουμε τις τριγωνομετρικές στις απλούστερες τριγωνομετρικές, τις οποίες λύνουμε με τον τριγωνομετρικό κύκλο και τις υπόλοιπες, κυρίως, με τη μέθοδο των διαστημάτων.

Ερώτηση: Σε ποια δήλωση βασίζεται η μέθοδος διαστήματος;

Απάντηση: Σε ένα θεώρημα που υποστηρίζει ότι μια συνεχής συνάρτηση που δεν εξαφανίζεται σε κάποιο διάστημα διατηρεί το πρόσημό της σε αυτό το διάστημα.

II.Ας θεωρήσουμε μια παράλογη ανισότητα όπως>

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να εφαρμοστεί η μέθοδος των διαστημάτων για την επίλυσή του;

Απάντηση: Ναι, από τη λειτουργία y =- συνεχής ενεργοποίηση D (y).

Λύνουμε αυτήν την ανισότητα μέθοδος διαστήματος .

Συμπέρασμα: λύσαμε πολύ εύκολα αυτήν την παράλογη ανισότητα με τη μέθοδο των διαστημάτων, στην πραγματικότητα, μειώνοντάς την στην επίλυση μιας παράλογης εξίσωσης.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μια άλλη ανισότητα με αυτή τη μέθοδο.

3)f (x)συνεχής ενεργή Δ (στ)

4) Μηδενικά συνάρτησης:

• Μακρά αναζήτηση Δ (στ).
• Δύσκολος ο υπολογισμός των σημείων διακοπής.

Τίθεται το ερώτημα: «Δεν υπάρχουν άλλοι τρόποι να λυθεί αυτή η ανισότητα;».

Προφανώς, υπάρχει και τώρα θα τους γνωρίσουμε.

III.Ετσι, θέμα του σημερινού μάθημα: «Μέθοδοι επίλυσης παράλογων ανισοτήτων».

Το μάθημα θα διεξαχθεί σε μορφή διάλεξης, καθώς το σεμινάριο δεν παρέχει λεπτομερή ανάλυση όλων των μεθόδων. Επομένως, το σημαντικό μας καθήκον είναι να συνθέσουμε μια λεπτομερή περίληψη αυτής της διάλεξης.

IV.Έχουμε ήδη μιλήσει για την πρώτη μέθοδο επίλυσης παράλογων ανισοτήτων.

Αυτό - μέθοδος διαστήματος , μια καθολική μέθοδος για την επίλυση όλων των τύπων ανισοτήτων. Αλλά δεν οδηγεί πάντα στον στόχο με σύντομο και απλό τρόπο.

V.Κατά την επίλυση παράλογων ανισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ίδιες ιδέες όπως όταν λύνετε παράλογες εξισώσεις, αλλά επειδή η απλή επαλήθευση των λύσεων είναι αδύνατη (εξάλλου, οι λύσεις στις ανισώσεις είναι συνήθως ακέραια αριθμητικά διαστήματα), είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ισοδυναμία.

Παρουσιάζουμε σχήματα για την επίλυση των κύριων τύπων παράλογων ανισοτήτων μέθοδος ισοδύναμων μεταβάσεωναπό μια ανισότητα σε ένα σύστημα ανισοτήτων.

2. Μπορεί να αποδειχθεί ομοίως ότι

Ας γράψουμε αυτά τα διαγράμματα σε έναν πίνακα αναφοράς. Σκεφτείτε τις αποδείξεις των τύπων 3 και 4 στο σπίτι, θα τις συζητήσουμε στο επόμενο μάθημα.

Vi.Ας λύσουμε την ανισότητα με έναν νέο τρόπο.

Η αρχική ανισότητα ισοδυναμεί με ένα σύνολο συστημάτων.

Vii.Και υπάρχει μια τρίτη μέθοδος που συχνά βοηθά στην επίλυση πολύπλοκων παράλογων ανισοτήτων. Έχουμε ήδη μιλήσει για αυτό σε σχέση με ανισότητες με συντελεστή. Αυτό μέθοδος αντικατάστασης συνάρτησης (αντικατάσταση πολλαπλασιαστή)... Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης είναι ότι η διαφορά στις τιμές των μονότονων συναρτήσεων μπορεί να αντικατασταθεί από τη διαφορά στις τιμές των ορισμάτων τους.

Σκεφτείτε μια παράλογη ανισότητα της μορφής<,

αυτό είναι -< 0.

Με το θεώρημα, αν p (x)αυξάνεται σε κάποιο διάστημα στο οποίο το ένακαι σι, και ένα>σι, μετά οι ανισότητες p (a) - p (b)> 0 και α - β> 0 ισοδυναμούν με D (p), αυτό είναι

VIII.Ας λύσουμε την ανισότητα αντικαθιστώντας τους παράγοντες.

Επομένως, αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα

Έτσι, είδαμε ότι η εφαρμογή της μεθόδου ανταλλαγής παραγόντων για τη μείωση της λύσης μιας ανισότητας σε μια μέθοδο διαστήματος μειώνει σημαντικά την ποσότητα εργασίας.

IX.Τώρα που καλύψαμε τις τρεις κύριες μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων, ας το κάνουμε ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο.

Είναι απαραίτητο να εκτελέσετε τους ακόλουθους αριθμούς (σύμφωνα με το εγχειρίδιο του AM Mordkovich): 1790 (α) - λύστε_ με τη μέθοδο των_ ισοδύναμων μεταβάσεων, _ 1791 (α) - επίλυση με τη μέθοδο αντικατάστασης παραγόντων Για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, προτείνεται να χρησιμοποιηθούν οι μέθοδοι που αναλύθηκαν προηγουμένως κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων:

• αλλαγή μεταβλητών?
• χρήση LDZ.
• χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μονοτονίας των συναρτήσεων.

Η ολοκλήρωση της μελέτης του θέματος είναι το τεστ.

Η ανάλυση του τεστ δείχνει:

• τυπικά λάθη των αδύναμων μαθητών, εκτός από τα αριθμητικά και τα αλγεβρικά, είναι λανθασμένες ισοδύναμες μεταβάσεις σε ένα σύστημα ανισοτήτων.
• η μέθοδος αντικατάστασης πολλαπλασιαστή έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία μόνο από δυνατούς μαθητές.

Κάθε ανισότητα που περιλαμβάνει μια συνάρτηση κάτω από τη ρίζα ονομάζεται παράλογος... Υπάρχουν δύο τύποι τέτοιων ανισοτήτων:

Στην πρώτη περίπτωση, η ρίζα είναι μικρότερη από τη συνάρτηση g (x), στη δεύτερη, είναι μεγαλύτερη. Αν g (x) - συνεχής, η ανισότητα απλοποιείται δραστικά. Παρακαλώ σημειώστε: εξωτερικά, αυτές οι ανισότητες είναι πολύ παρόμοιες, αλλά τα σχήματα επίλυσής τους είναι θεμελιωδώς διαφορετικά.

Σήμερα θα μάθουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες του πρώτου τύπου - είναι οι πιο απλές και κατανοητές. Το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να είναι αυστηρό ή μη. Η ακόλουθη δήλωση ισχύει για αυτούς:

Θεώρημα. Κάθε παράλογη ανισότητα της μορφής

Ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτων:

Δεν είναι αδύναμο; Ας ρίξουμε μια ματιά από πού προέρχεται ένα τέτοιο σύστημα:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - όλα είναι ξεκάθαρα εδώ. Αυτή είναι η αρχική τετραγωνική ανισότητα.
2. f (x) ≥ 0 είναι το ODZ της ρίζας. Να σας θυμίσω: η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικόαριθμοί?
3. g (x) ≥ 0 είναι το εύρος της ρίζας. Τετραγωνίζοντας την ανισότητα, καίμε τα μειονεκτήματα. Ως αποτέλεσμα, μπορεί να προκύψουν επιπλέον ρίζες. Η ανισότητα g (x) ≥ 0 τα κόβει.

Πολλοί μαθητές «σταθεροποιούν» την πρώτη ανισότητα του συστήματος: f (x) ≤ g 2 (x) - και ξεχνάνε εντελώς τις άλλες δύο. Το αποτέλεσμα είναι προβλέψιμο: λάθος απόφαση, χαμένοι βαθμοί.

Δεδομένου ότι οι παράλογες ανισότητες είναι ένα αρκετά περίπλοκο θέμα, θα αναλύσουμε 4 παραδείγματα ταυτόχρονα. Από στοιχειώδες έως πραγματικά πολύπλοκο. Όλα τα προβλήματα λαμβάνονται από τις εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. M.V. Lomonosov.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Μπροστά μας είναι το κλασικό παράλογη ανισότητα: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 είναι σταθερά. Εχουμε:

Από τις τρεις ανισότητες, μόνο δύο απομένουν μέχρι το τέλος της λύσης. Επειδή η ανίσωση 2 ≥ 0 ισχύει πάντα. Τέμνουμε τις υπόλοιπες ανισότητες:

Άρα, x ∈ [−1,5; 0,5]. Όλες οι τελείες είναι γεμάτες γιατί οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Εφαρμόζουμε το θεώρημα:

Λύνουμε την πρώτη ανισότητα. Για να γίνει αυτό, ας ανοίξουμε το τετράγωνο της διαφοράς. Εχουμε:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα. Εκεί επίσης τετράγωνο τριώνυμο:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1] ∪∪∪∪)