Méthode des coordonnées dans l'espace 11. Méthode des coordonnées dans l'espace : formules et commentaires du tuteur. Calcul des coordonnées des vecteurs

La méthode des coordonnées est un moyen très efficace et polyvalent de trouver des angles ou des distances entre des objets stéréométriques dans l'espace. Si votre professeur de mathématiques est hautement qualifié, il doit le savoir. Sinon, je vous conseillerais de changer de tuteur pour la partie "C". Ma préparation à l'examen de mathématiques C1-C6 comprend généralement une analyse des algorithmes de base et des formules décrites ci-dessous.

Angle entre les droites a et b

L'angle entre les lignes droites dans l'espace est l'angle entre toutes les lignes droites qui se croisent et qui leur sont parallèles. Cet angle est égal à l'angle entre les vecteurs directeurs de ces droites (ou le complète jusqu'à 180 degrés).

Quel algorithme un professeur de mathématiques utilise-t-il pour trouver un angle ?

1) Choisissez n'importe quel vecteur et ayant des directions de droites a et b (parallèles à elles).
2) Déterminer les coordonnées des vecteurs et par les coordonnées correspondantes de leurs débuts et fins (les coordonnées du début doivent être soustraites des coordonnées de la fin du vecteur).
3) Remplacez les coordonnées trouvées dans la formule :
... Pour trouver l'angle lui-même, vous devez trouver le cosinus inverse du résultat.

Normal au plan

Tout vecteur perpendiculaire à ce plan est appelé normal à un plan.
Comment retrouver la normale ? Pour trouver les coordonnées de la normale, il suffit de trouver les coordonnées de trois points quelconques M, N et K situés dans un plan donné. En utilisant ces coordonnées, nous trouvons les coordonnées des vecteurs et et exigeons la réalisation des conditions et. En égalant le produit scalaire des vecteurs à zéro, nous composons un système d'équations à trois variables, à partir duquel les coordonnées de la normale peuvent être trouvées.

Note du tuteur en mathématiques : Il n'est pas du tout nécessaire de résoudre complètement le système, car il suffit de choisir au moins une normale. Pour ce faire, vous pouvez substituer n'importe quel nombre (par exemple, un) au lieu de n'importe laquelle de ses coordonnées inconnues et résoudre le système de deux équations avec les deux inconnues restantes. S'il n'a pas de solutions, cela signifie que dans la famille des normales, il n'y a personne qui en a pour la variable sélectionnée. Ensuite, remplacez-en une par une autre variable (une autre coordonnée) et résolvez un nouveau système. Si vous manquez encore, votre normale en aura une dans la dernière coordonnée, et elle-même se révélera parallèle à un plan de coordonnées (dans ce cas, il est facile de la trouver sans système).

Supposons qu'on nous donne une droite et un plan par les coordonnées du vecteur directeur et de la normale
L'angle entre une droite et un plan est calculé à l'aide de la formule suivante :

Soit et deux normales aux plans donnés. Alors le cosinus de l'angle entre les plans est égal au module du cosinus de l'angle entre les normales :

Equation d'un avion dans l'espace

Les points satisfaisant l'égalité forment un plan avec la normale. Le coefficient est responsable de la quantité de déviation (décalage parallèle) entre deux plans avec la même normale spécifiée. Pour écrire l'équation du plan, vous devez d'abord trouver sa normale (comme décrit ci-dessus), puis substituer les coordonnées de n'importe quel point du plan avec les coordonnées de la normale trouvée dans l'équation et trouver le coefficient.

Pour utiliser la méthode des coordonnées, vous devez bien connaître les formules. Il y en a trois :

À première vue, cela semble menaçant, mais juste un peu d'entraînement et tout fonctionnera très bien.

Tâche. Trouvez le cosinus de l'angle entre les vecteurs a = (4; 3; 0) et b = (0; 12; 5).

Solution. Puisque les coordonnées des vecteurs nous sont données, nous les substituons dans la première formule :

Tâche. Faire une équation pour le plan passant par les points M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) et K = (2; 1; 0), si l'on sait qu'il ne passe pas par l'origine.

Solution. L'équation générale du plan : Ax + By + Cz + D = 0, mais comme le plan recherché ne passe pas par l'origine des coordonnées - le point (0; 0; 0) - alors on pose D = 1. Puisque cela l'avion passe par les points M, N et K, alors les coordonnées de ces points devraient transformer l'équation en une égalité numérique correcte.

Substituer à la place des coordonnées x, y et z du point M = (2; 0; 1). On a:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 2A + C + 1 = 0 ;

De même, pour les points N = (0 ; 1 ; 1) et K = (2 ; 1 ; 0) on obtient les équations :
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0 ;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 2A + B + 1 = 0 ;

Nous avons donc trois équations et trois inconnues. Composons et résolvons le système d'équations :

Nous avons obtenu que l'équation du plan a la forme : - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Tâche. Le plan est donné par l'équation 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Trouvez les coordonnées du vecteur perpendiculaire au plan donné.

Solution. En utilisant la troisième formule, nous obtenons n = (7 ; - 2 ; 4) - c'est tout !

Calcul des coordonnées des vecteurs

Mais que se passe-t-il s'il n'y a pas de vecteurs dans le problème - il n'y a que des points situés sur des lignes droites et vous devez calculer l'angle entre ces lignes droites ? C'est simple : connaissant les coordonnées des points - le début et la fin du vecteur - vous pouvez calculer les coordonnées du vecteur lui-même.

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, soustrayez les coordonnées du début des coordonnées de sa fin.

Ce théorème fonctionne de la même manière à la fois dans le plan et dans l'espace. L'expression « soustraire les coordonnées » signifie que la coordonnée x d'un autre est soustraite de la coordonnée x d'un point, alors la même chose doit être faite avec les coordonnées y et z. Voici quelques exemples:

Tâche. Il y a trois points dans l'espace, donnés par leurs coordonnées : A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) et C = (- 4; 3; - 2). Trouvez les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC.

Considérons un vecteur AB : son origine est au point A, et sa fin est au point B. Par conséquent, pour trouver ses coordonnées, il faut soustraire les coordonnées du point A aux coordonnées du point B :
AB = (3 - 1 ; - 1 - 6 ; 7 - 3) = (2 ; - 7 ; 4).

De même, le début du vecteur AC est toujours le même point A, mais la fin est le point C. On a donc :
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Enfin, pour trouver les coordonnées du vecteur BC, il faut soustraire les coordonnées du point B des coordonnées du point C :
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Réponse : AB = (2 ; - 7 ; 4) ; CA = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Faites attention au calcul des coordonnées du dernier vecteur BC : beaucoup de gens font des erreurs en travaillant avec nombres négatifs... Cela concerne la variable y : le point B a y = - 1, et le point C y = 3. On obtient exactement 3 - (- 1) = 4, et non 3 - 1, comme beaucoup le croient. Ne commettez pas d'erreurs aussi stupides !

Calcul des vecteurs de direction pour les lignes droites

Si vous lisez attentivement le problème C2, vous serez surpris de constater qu'il n'y a pas de vecteurs là-bas. Il n'y a que des lignes droites et des plans.

Commençons par les lignes droites. Tout est simple ici : sur toute droite il y a au moins deux points différents et, à l'inverse, tout deux points différents définissent une même droite...

Quelqu'un a-t-il compris ce qui est écrit dans le paragraphe précédent ? Je ne l'ai pas compris moi-même, alors je vais l'expliquer plus facilement : dans le problème C2, les droites sont toujours données par une paire de points. Si nous introduisons un système de coordonnées et considérons un vecteur avec un début et une fin en ces points, nous obtenons ce que l'on appelle le vecteur de direction pour une ligne droite :

Pourquoi ce vecteur est-il nécessaire ? Le fait est que l'angle entre deux droites est l'angle entre leurs vecteurs de direction. Ainsi, on passe de droites incompréhensibles à des vecteurs particuliers dont les coordonnées sont faciles à calculer. Est-ce facile ? Jetez un œil à des exemples :

Tâche. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 les lignes AC et BD 1 sont tracées. Trouvez les coordonnées des vecteurs directeurs de ces lignes.

Puisque la longueur des arêtes du cube n'est pas spécifiée dans la condition, nous fixons AB = 1. Nous introduisons un système de coordonnées avec l'origine au point A et les axes x, y, z dirigés le long des lignes AB, AD et AA 1, respectivement. Le segment unitaire est égal à AB = 1.

Nous allons maintenant trouver les coordonnées du vecteur direction pour la ligne AC. Nous avons besoin de deux points : A = (0; 0; 0) et C = (1; 1; 0). De là, nous obtenons les coordonnées du vecteur AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - c'est le vecteur de direction.

Intéressons-nous maintenant à la droite BD 1. Il a également deux points : B = (1 ; 0 ; 0) et D 1 = (0 ; 1 ; 1). On obtient le vecteur directeur BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Réponse : AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Tâche. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les lignes AB 1 et AC 1 sont tracées. Trouvez les coordonnées des vecteurs directeurs de ces lignes.

Introduisons le système de coordonnées : l'origine est au point A, l'axe x coïncide avec AB, l'axe z coïncide avec AA 1, l'axe y forme le plan OXY avec l'axe x, qui coïncide avec le plan ABC .

Commençons par traiter la droite AB 1. Tout est simple ici : nous avons les points A = (0 ; 0 ; 0) et B 1 = (1 ; 0 ; 1). On obtient le vecteur directeur AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Nous allons maintenant trouver le vecteur de direction pour AC 1. Tout de même - la seule différence est que le point C 1 a des coordonnées irrationnelles. Donc A = (0; 0; 0), on a donc :

Réponse : AB 1 = (1; 0; 1);

Une petite note mais très importante sur le dernier exemple. Si l'origine du vecteur coïncide avec l'origine, les calculs sont grandement simplifiés : les coordonnées du vecteur sont simplement égales aux coordonnées de la fin. Malheureusement, cela n'est vrai que pour les vecteurs. Par exemple, lorsque l'on travaille avec des plans, la présence de l'origine sur eux ne fait que compliquer les calculs.

Calcul des vecteurs normaux pour les plans

Les vecteurs normaux ne sont pas des vecteurs qui fonctionnent ou qui fonctionnent bien. Par définition, un vecteur normal (normal) à un plan est un vecteur perpendiculaire à ce plan.

En d'autres termes, une normale est un vecteur perpendiculaire à n'importe quel vecteur dans un plan donné. Vous avez sûrement rencontré une telle définition - cependant, au lieu de vecteurs, nous parlions de lignes droites. Cependant, juste au-dessus, il a été montré que dans le problème C2, vous pouvez opérer avec n'importe quel objet pratique - même une ligne droite, même un vecteur.

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que tout plan est défini dans l'espace par l'équation Ax + By + Cz + D = 0, où A, B, C et D sont des coefficients. Sans perte de généralité de la solution, on peut supposer D = 1 si le plan ne passe pas par l'origine, ou D = 0 s'il le fait. Dans tous les cas, les coordonnées du vecteur normal à ce plan sont n = (A; B; C).

Ainsi, le plan peut également être remplacé avec succès par un vecteur - la même normale. Tout plan est défini dans l'espace par trois points. Comment trouver l'équation du plan (et donc la normale), nous en avons déjà parlé au tout début de l'article. Cependant, ce processus pose des problèmes à beaucoup, je vais donc donner quelques exemples supplémentaires :

Tâche. La section A 1 BC 1 est dessinée dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trouvez le vecteur normal pour le plan de cette section si l'origine est au point A et que les axes x, y et z coïncident avec les arêtes AB, AD et AA 1, respectivement.

Comme l'avion ne passe pas par l'origine, son équation ressemble à ceci : Ax + By + Cz + 1 = 0, c'est-à-dire coefficient D = 1. Puisque ce plan passe par les points A 1, B et C 1, les coordonnées de ces points transforment l'équation du plan en une égalité numérique correcte.


A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 C + 1 = 0 C = - 1 ;

De même, pour les points B = (1; 0; 0) et C 1 = (1; 1; 1) on obtient les équations :
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 A + 1 = 0 A = - 1 ;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 A + B + C + 1 = 0 ;

Mais on connaît déjà les coefficients A = - 1 et C = - 1, il reste donc à trouver le coefficient B :
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

On obtient l'équation du plan : - A + B - C + 1 = 0, Par conséquent, les coordonnées du vecteur normal sont égales à n = (- 1; 1; - 1).

Tâche. La section AA 1 C 1 C est dessinée dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trouvez le vecteur normal pour le plan de cette section si l'origine est au point A et que les axes x, y et z coïncident avec les arêtes AB, AD et AA 1 respectivement.

Dans ce cas, le plan passe par l'origine, donc le coefficient D = 0, et l'équation du plan ressemble à ceci : Ax + By + Cz = 0. Puisque le plan passe par les points A1 et C, les coordonnées de ces points transformer l'équation du plan en l'égalité numérique correcte.

Substituer à la place des coordonnées x, y et z du point A 1 = (0; 0; 1). On a:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 C = 0 ;

De même, pour le point C = (1; 1; 0) on obtient l'équation :
A 1 + B 1 + C 0 = 0 A + B = 0 ⇒ A = - B ;

On pose B = 1. Alors A = - B = - 1, et l'équation de tout le plan a la forme : - A + B = 0, Par conséquent, les coordonnées du vecteur normal sont égales à n = (- 1 ; dix).

D'une manière générale, dans les problèmes ci-dessus, il est nécessaire de composer un système d'équations et de le résoudre. Il y aura trois équations et trois variables, mais dans le second cas l'une d'entre elles sera libre, c'est-à-dire prendre des valeurs arbitraires. C'est pourquoi nous avons le droit de mettre B = 1 - sans préjudice de la généralité de la solution et de la justesse de la réponse.

Très souvent dans le problème C2, il est nécessaire de travailler avec des points qui divisent le segment en deux. Les coordonnées de tels points sont facilement calculées si les coordonnées des extrémités du segment sont connues.

Donc, laissez le segment être défini par ses extrémités - les points A = (x a; y a; z a) et B = (x b; y b; z b). Ensuite, les coordonnées du milieu du segment - nous le désignons par le point H - peuvent être trouvées par la formule :

Autrement dit, les coordonnées du milieu d'un segment sont la moyenne arithmétique des coordonnées de ses extrémités.

Tâche. Le cube unité ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est placé dans le système de coordonnées de sorte que les axes x, y et z soient dirigés le long des arêtes AB, AD et AA 1, respectivement, et que l'origine coïncide avec le point A. Point K est le milieu de l'arête A 1 B one . Trouvez les coordonnées de ce point.

Le point K étant le milieu du segment A 1 B 1, ses coordonnées sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités. Notons les coordonnées des extrémités : A 1 = (0 ; 0 ; 1) et B 1 = (1 ; 0 ; 1). Trouvons maintenant les coordonnées du point K :

Tâche. Le cube unitaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est placé dans le système de coordonnées de sorte que les axes x, y et z soient dirigés le long des arêtes AB, AD et AA 1, respectivement, et que l'origine coïncide avec le point A. Trouvez le coordonnées du point L où elles coupent les diagonales du carré A 1 B 1 C 1 D 1.

On sait d'après le parcours de planimétrie que le point d'intersection des diagonales d'un carré est équidistant de tous ses sommets. En particulier, A 1 L = C 1 L, c'est-à-dire le point L est le milieu du segment A 1 C 1. Mais A 1 = (0 ; 0 ; 1), C 1 = (1 ; 1 ; 1), on a donc :

Réponse : L = (0,5 ; 0,5 ; 1)

Cours de géométrie en 11e année

Sujet: " Méthode de coordonnées dans l'espace".

Cibler: Vérifier les connaissances théoriques des étudiants, leurs compétences et leurs capacités à appliquer ces connaissances à la résolution de problèmes à l'aide de méthodes vectorielles et coordonnées vectorielles.

Tâches:

1 .Créer des conditions de contrôle (contrôle de soi, contrôle mutuel) pour l'assimilation des connaissances et des compétences.

2. Développer la pensée mathématique, la parole, l'attention.

3. Favoriser l'activité, la mobilité, les capacités de communication, la culture générale des étudiants.

Forme de conduite: travailler en groupe.

Matériel et sources d'information: écran, projecteur multimédia, table de comptabilité des connaissances, cartes de crédit, tests.

Pendant les cours

1 moment mobilisateur.

Leçon utilisant la RSE ; les étudiants sont divisés en 3 groupes dynamiques, dans lesquels les étudiants avec des niveaux acceptables, optimaux et avancés. Dans chaque groupe, un coordinateur est choisi qui dirige les travaux de l'ensemble du groupe.

2 ... Autodétermination des étudiants basée sur l'anticipation.

Tâche:fixation d'objectifs selon le schéma : mémoriser - apprendre - pouvoir.

Test d'entrée - Remplissez les blancs (sur les impressions)

Concours d'entrée

Combler les lacunes…

1. Trois lignes perpendiculaires par paires sont tracées à travers un point dans l'espace.

sont sélectionnés, sur chacun d'eux la direction et l'unité de mesure des segments sont sélectionnées,

alors ils disent qu'il est réglé …………. dans l'espace.

2. Les lignes droites avec des directions choisies sur elles sont appelées …………… ..,

et leur point commun est …………. ...

3. Dans un système de coordonnées rectangulaires, chaque point M de l'espace est associé à un triplet de nombres qui l'appellent ……………… ..

4. Les coordonnées d'un point dans l'espace s'appellent ……………… ..

5. Un vecteur dont la longueur est égale à un s'appelle ………… ..

6. Vecteurs jeouiksont appelés ………….

7. Cotes Xouiz en décomposition une= Xje + ouij + zk appelé

…………… vecteurs une .

8. Chaque coordonnée de la somme de deux ou plusieurs vecteurs est égale à …………… ..

9. Chaque coordonnée de la différence de deux vecteurs est égale à ……………….

10. Chaque coordonnée du produit d'un vecteur et d'un nombre est égale à ……………… ..

11.Chaque coordonnée du vecteur est égale à …………….

12. Chaque coordonnée du milieu du segment est égale à ……………….

13. Longueur du vecteur une { Xouiz) est calculé par la formule ……………………

14. Distance entre les points М 1 (X 1 ; oui 1; z 1) et M 2 (X 2; oui 2 ; z2) calculé par la formule …………………

15. Le produit scalaire de deux vecteurs s'appelle …………… ..

16. Le produit scalaire des vecteurs non nuls est égal à zéro ……………… ..

17. Produit scalaire de vecteursune{ X 1; oui 1; z 1} b { X 2 ; oui 2 ; z 2) dans est exprimé par la formule …………………

Contrôle croisé du test d'entrée. Réponses pour tester les tâches à l'écran.

Critère d'évaluation:

    1-2 erreurs - "5"

    3-4 erreurs - "4"

    5-6 erreurs - "3"

    Dans les autres cas - "2"

3. Exécution des travaux. (par cartes).

Chaque carte contient deux tâches : n°1 - théorique avec preuve, n°2 comprend les tâches.

Expliquez le niveau de complexité des tâches incluses dans le travail. Le groupe exécute une tâche, mais en 2 parties. Un coordinateur de groupe dirige le travail de l'ensemble du groupe. La discussion d'une information avec plusieurs partenaires augmente la responsabilité non seulement de leurs propres succès, mais aussi des résultats du travail collectif, ce qui a un effet positif sur le microclimat de l'équipe.

CARTE #1

1. Déduire des formules exprimant les coordonnées du milieu d'un segment en fonction des coordonnées de ses extrémités.

2.Problème : 1) Étant donné les points A (-3; 1; 2) et B (1; -1; 2)

Trouver:

a) coordonnées du milieu du segment AB

b) coordonnées et longueur du vecteur AB

2) Soit un cube ABSDA1 B1 C1 D1. En utilisant la méthode des coordonnées, trouvez l'angle

entre les droites AB1 et A1 D.

CARTE #2

    Sortez la formule pour calculer la longueur d'un vecteur par ses coordonnées.

    Problème : 1) Étant donné les points M (-4 ; 7 ; 0),N(0; -1; 2). Trouver la distance de l'origine au milieu du segment MN.

→ → → → →

2) Des vecteurs donnés une et b... Trouver b (a + b), si a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

CARTE #3

    Sortez une formule pour calculer la distance entre les points avec des coordonnées données.

    Problème : 1) Soit les points A (2 ; 1 ; -8), B (1 ; -5 ; 0), C (8 ; 1 ; -4).

Montrer que ∆ABC est isocèle et trouver la longueur de la ligne médiane du triangle reliant les milieux des côtés latéraux.

2) Calculer l'angle entre les droites AB et SD, si A (1; 1; 0),

B (3 ; -1 ; 2), D (0 ; 1 ; 0).

CARTE #4

    Sortez les formules pour le cosinus de l'angle entre les vecteurs non nuls avec les coordonnées données.

    Problème : 1) Les coordonnées des trois sommets du parallélogramme AVSD sont données :

A (-6 ; - ; 4 ; 0), B (6 ; -6 ; 2), C (10 ; 0 ; 4). Trouvez les coordonnées du point D.

2) Trouver l'angle entre les droites AB et SD, si A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

CARTE #5

    Dites-moi comment calculer l'angle entre deux lignes dans l'espace en utilisant les vecteurs de direction de ces lignes. →→

    Problème : 1) Trouver le produit scalaire de vecteursune et b, si:

→ → → ^ →

a) | une| =4; | b| =√3 (uneb)=30◦

b) une {2 ;-3; 1}, b = 3 je +2 k

2) Les points A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) et D (2; 4; 4) sont donnés. Prouver que AVSD est un losange.

4. Vérification du travail des groupes dynamiques par cartes.

Nous écoutons la performance des représentants des groupes. Le travail des groupes est évalué par l'enseignant avec la participation des élèves.

5. Réflexion. Nuances pour le décalage.

Test final à choix multiples (impressions).

1) Des vecteurs donnés une {2 ;-4 ;3} b(-3; ; 1). Trouver les coordonnées du vecteur

→ 2

c = une+ b

a) (-5 ; 3 - ; 4) ; b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Des vecteurs donnés une(4; -3; 5) et b(-3; 1; 2). Trouver les coordonnées du vecteur

C=2 une – 3 b

a) (7; -2; 3) ; b) (11; -7; 8); c) (17 ; -9 ; 4) ; d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Calculer le produit scalaire des vecteursm et m, si m = une + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

m= 2 une - b si | une|=2 , ‌| b |=3, (uneb) = 60°, c ┴ une , c ┴ b.

a) -1 ; b) -27 ; en 1; d) 35.

4) Longueur du vecteur une { Xouiz) est égal à 5. Trouvez les coordonnées du vecteur a, siX=2, z=-√5

a) 16 ; b) 4 ou -4 ; à 9h; d) 3 ou -3.

5) Trouver l'aire ∆ABS, si A (1; -1; 3); B (3; -1; 1) et C (-1; 1; -3).

a) 4√3 ; b) 3; c) 2√3 ; d) √8.

Recoupement du test. Codes de réponse pour les éléments de test à l'écran : 1 (b) ; 2 (c);

3 (a); 4 (b); 5 (c).

Critère d'évaluation:

    Tout est correct - "5"

    1 erreur - "4"

    2 erreurs - "3"

    Dans les autres cas - "2"

Tableau des connaissances des élèves

Travailler sur

cartes

Le final

test

Score pour la passe

Tâches

théorie

entraine toi

1er groupe

2ème groupe

Groupe 3

Évaluation de la préparation des étudiants au crédit.

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Légendes des diapositives :

Système de coordonnées rectangulaires dans l'espace. Coordonnées vectorielles.

Système de coordonnées rectangulaires

Si trois lignes droites perpendiculaires par paires sont tracées à travers un point dans l'espace, sur chacune d'elles une direction est choisie et une unité de mesure de segments est choisie, alors ils disent qu'un système de coordonnées rectangulaires dans l'espace est donné

Les lignes droites avec les directions choisies sur elles sont appelées les axes de coordonnées, et leur point commun est l'origine. Il est généralement désigné par la lettre O. Les axes de coordonnées sont désignés comme suit : Ox, Oy, O z - et portent des noms : axe des abscisses, axe des ordonnées, axe d'application.

L'ensemble du système de coordonnées est noté Oxy z. Les plans passant par les axes de coordonnées Ox et Oy, Oy et O z, O z et Ox, respectivement, sont appelés plans de coordonnées et sont notés Oxy, Oy z, O z x.

Le point O divise chacun des axes de coordonnées en deux rayons. Un rayon dont la direction coïncide avec la direction de l'axe est appelé le demi-axe positif, et l'autre rayon le demi-axe négatif.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, chaque point M dans l'espace est associé à un triplet de nombres, que l'on appelle ses coordonnées.

La figure montre six points A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Coordonnées vectorielles

Tout vecteur peut être développé en vecteurs de coordonnées, c'est-à-dire représentés sous la forme où les coefficients d'expansion x, y, z sont déterminés de manière unique.

Les coefficients x, y et z dans l'expansion du vecteur en vecteurs de coordonnées sont appelés les coordonnées du vecteur dans le système de coordonnées donné.

Considérez les règles qui permettent de trouver les coordonnées de leur somme et de leur différence, ainsi que les coordonnées du produit d'un vecteur donné par un nombre donné, par les coordonnées de ces vecteurs.

dix . Chaque coordonnée de la somme de deux ou plusieurs vecteurs est égale à la somme des coordonnées correspondantes de ces vecteurs. En d'autres termes, si a (x 1, y 1, z 1) et b (x 2, y 2, z 2) sont ces vecteurs, alors le vecteur a + b a pour coordonnées (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2).

vingt . Chaque coordonnée de la différence de deux vecteurs est égale à la différence des coordonnées correspondantes de ces vecteurs. En d'autres termes, si a (x 1, y 1, z 1) et b (x 2 y 2; z 2) sont ces vecteurs, alors le vecteur a - b a des coordonnées (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

30 . Chaque coordonnée du produit d'un vecteur par un nombre est égale au produit de la coordonnée correspondante du vecteur par ce nombre. Autrement dit, si a (x; y; x) est un vecteur donné, α est un nombre donné, alors le vecteur α a a pour coordonnées (αх; αу; α z).


Sur le sujet : développements méthodologiques, présentations et notes

Document didactique "Un ensemble de résumés pour les étudiants sur le sujet" Méthode de coordonnées dans l'espace "pour la conduite de cours sous forme de cours magistraux. Géométrie 10-11 grade ....

Objectif de la leçon : Vérifier les connaissances, les compétences et les capacités des étudiants sur le thème "Utiliser la méthode des coordonnées dans l'espace pour résoudre les tâches C2 de l'examen". Résultats pédagogiques prévus : Les étudiants démontrent : ...

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