Цілі:

1. Загальноосвітня: систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням методів розв'язання нерівностей.
2. Розвиваюча: розвивати в учнів уміння слухати лекцію, конспективно записуючи їх у зошит.
3. Виховна: формувати пізнавальну мотивацію до вивчення математики.

Хід уроку

I. Вступна бесіда:

Ми з вами закінчили тему "Рішення ірраціональних рівнянь" і сьогодні починаємо вчитися вирішувати ірраціональні нерівності.

Перш за все давайте згадаємо, які види нерівностей ви можете вирішувати і якими способами?

Відповідь: Лінійні, квадратні, раціональні, тригонометричні. Лінійні розв'язуємо, з властивостей нерівностей, тригонометричні зводимо до найпростіших тригонометричних, розв'язуваних з допомогою тригонометричного кола, інші, переважно, шляхом інтервалів.

Питання: На якому твердженні заснований метод інтервалів?

Відповідь: На теоремі, яка стверджує, що безперервна функція, що не звертається в нуль на деякому інтервалі, зберігає свій знак на цьому інтервалі

ІІ.Давайте розглянемо ірраціональну нерівність типу >

Питання: Чи можна застосувати для його вирішення метод інтервалів?

Відповідь: Так, оскільки функція y =- Безперервна на D(y).

Вирішуємо таку нерівність методом інтервалів .

Висновок: ми досить просто вирішили цю ірраціональну нерівність шляхом інтервалів, практично звівши його до вирішення ірраціонального рівняння.

Давайте спробуємо вирішити цим способом іншу нерівність.

3)f(x)безперервна на D(f)

4) Нулі функції:

• Довго шукати D(f).
• Важко обчислювати контрольні точки.

Виникає питання: "Чи немає інших способів вирішення цієї нерівності?".

Очевидно, є і зараз ми з вами з ними познайомимося.

ІІІ.Отже, тема сьогоднішнього уроку: “Методи розв'язання ірраціональних нерівностей”.

Урок буде проходити у вигляді лекції, тому що в підручнику немає детального аналізу всіх методів. Тому наше важливе завдання: скласти докладний конспект цієї лекції.

IV.Про перший спосіб розв'язання ірраціональних нерівностей ми з вами вже поговорили.

Це – метод інтервалів , Універсальний метод вирішення всіх типів нерівностей. Але не завжди призводить до мети коротким і простим шляхом.

V.При розв'язанні ірраціональних нерівностей можна використовувати ті ж ідеї, що і при розв'язанні ірраціональних рівнянь, але так як проста перевірка рішень неможлива (адже рішеннями нерівностей є найчастіше цілі числові проміжки), необхідно використовувати рівносильність.

Наведемо схеми розв'язання основних типів ірраціональних нерівностей методом рівносильних переходіввід однієї нерівності до системи нерівностей.

2. Аналогічно доводиться, що

Запишемо ці схеми на дошці. Над доказами 3 та 4 типів подумайте вдома, на наступному уроці ми їх обговоримо.

VI.Розв'яжемо новим способом нерівність.

Вихідна нерівність рівносильна сукупності систем.

VII.І існує ще третій метод, який часто допомагає вирішувати складні ірраціональні нерівності. Ми з вами про нього вже говорили стосовно нерівностей із модулем. Це метод заміни функцій (заміни множників). Нагадаю вам, що суть методу заміни полягає в тому, що різниця значень монотонних функцій можна замінити різницею їх аргументів.

Розглянемо ірраціональну нерівність виду<,

тобто -< 0.

По теоремі, якщо p(x)зростає на деякому проміжку, якому належать aі b, причому a>b, то нерівності p(a) – p(b) > 0 та a – b> 0 рівносильні на D(p), тобто

VIII.Розв'яжемо методом заміни множників нерівність.

Значить, ця нерівність рівносильна системі

Таким чином, ми побачили, що застосування методу заміни множників для вирішення нерівності до методу інтервалів істотно скорочує обсяг роботи.

IX.Тепер, коли ми розібрали три основні методи розв'язання рівнянь, давайте виконаємо самостійну роботу із самоперевіркою.

Потрібно виконати наступні номери (за підручником А. М. Мордковича): 1790 (а) - вирішити методом рівносильних переходів, 1791 - вирішити методом заміни множників.

• заміна змінних;
• використання ОДЗ;
• використання властивостей монотонності функцій

Завершення вивчення теми є контрольна робота.

Аналіз контрольної роботи показує:

• типові помилки слабких учнів крім арифметичних та алгебраїчних - неправильні рівносильні переходи до системи нерівностей;
• Метод заміни множників успішно використовується лише сильними учнями.

Будь-яка нерівність, до складу якої входить функція, що стоїть під корінням, називається ірраціональним. Існує два типи таких нерівностей:

У першому випадку корінь менше функції g (x), у другому – більше. Якщо g(x) - константа, нерівність різко спрощується. Зверніть увагу: зовні ці нерівності дуже схожі, але схеми вирішення вони принципово різняться.

Сьогодні навчимося вирішувати ірраціональні нерівності першого типу – вони найпростіші та зрозуміліші. Знак нерівності може бути суворим або несуворим. Їх вірне таке твердження:

Теорема. Будь-яка ірраціональна нерівність виду

Рівносильно системі нерівностей:

Неслабко? Давайте розглянемо, звідки береться така система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тут все зрозуміло. Це вихідна нерівність, зведена квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 – це ОДЗ кореня. Нагадаю: арифметичний квадратний корінь існує лише з невід'ємногочисла;
3. g (x ) ≥ 0 – це область значень кореня. Зводячи нерівність у квадрат, ми спалюємо мінуси. В результаті можуть виникнути зайві корені. Нерівність g (x ) ≥ 0 відсікає їх.

Багато учнів «зациклюються» на першій нерівності системи: f (x) ≤ g 2 (x) - і геть-чисто забувають два інших. Результат передбачуваний: неправильне рішення, втрачені бали.

Оскільки ірраціональні нерівності – досить складна тема, розберемо одразу 4 приклади. Від елементарних до справді складних. Усі завдання взято із вступних іспитів МДУ ім. М. В. Ломоносова.

Приклади розв'язання задач

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Перед нами класичне ірраціональна нерівність: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - константа. Маємо:

З трьох нерівностей до кінця рішення залишилося лише два. Тому що нерівність 2 ≥ 0 завжди виконується. Перетнемо нерівності, що залишилися:

Отже, x ∈ [−1,5; 0,5]. Усі крапки зафарбовані, оскільки нерівності несуворі.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Застосовуємо теорему:

Вирішуємо першу нерівність. Для цього розкриємо квадрат різниці. Маємо:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Тепер вирішимо другу нерівність. Там теж квадратний тричлен:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)