Рационализиращ метод за решаване на логаритмични неравенства с променлива основа. Метод на рационализация Метод на рационализация на експоненциални уравнения

Общинска автономна образователна институция "Ярковска средно училище"

Учебен проект

Решаване на логаритмични неравенства по метод на рационализиране

MAOU "Ярковска средно училище"

Шанских Дария

Ръководител: учител по математика

MAOU "Ярковска средно училище"

Ярково 2013г

1) Въведение ………………………………………………………… .2

2) Основна част …………………………………………… ..3

3) Заключение …………………………………………………………… ..9

4) Списък на използваната литература …………… .10

5) Приложения …………………………………………………………… 11-12

1. Въведение

Често при решаване на USE задачи от част "C", и особено в задачи C3, има неравенства, съдържащи логаритмични изрази с неизвестно в основата на логаритъма. Например, ето стандартното неравенство:

По правило за решаване на такива задачи се използва класическият метод, тоест се прилага преходът към еквивалентен набор от системи

При стандартния подход примерът се решава по схемата: произведението е по-малко от нула, когато факторите са с противоположни знаци. Тоест, разглежда се набор от две системи от неравенства, в които всяко неравенство се разделя на още седем. Следователно може да се предложи по-малко трудоемък метод за решаване на това стандартно неравенство. Това е техника за рационализация, известна в математическата литература като декомпозиция.

При завършването на проекта си поставям следните цели :

1) Овладейте тази техника за вземане на решение

2) Да се упражнят уменията за решаване на задачи С3 от учебно-диагностичните работи през 2013г.

Задачата на проектае изследване на теоретичната основа на метода на рационализация.

Уместностна работата се крие във факта, че този метод ви позволява успешно да решите логаритмичните неравенства на частта C3 от изпита по математика.

2. Главна част

Помислете за логаритмично неравенство на формата

размер на шрифта: 14.0pt; височина на линията: 150% ">, (1)

където font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> Стандартният метод за решаване на такова неравенство включва анализиране на два случая в диапазона от приемливи стойности на неравенството.

В първия случайкогато основите на логаритмите удовлетворяват условието

размер на шрифта: 14.0pt; line-height: 150% ">, се рисува знакът за неравенство: font-size: 14.0pt; line-height: 150%"> Във втория случай когато основата удовлетворява условието, знакът за неравенство се запазва:.

На пръв поглед всичко е логично, ще разгледаме два случая и след това ще комбинираме отговорите. Вярно е, че при разглеждането на втория случай възниква известен дискомфорт - трябва да повторите изчисленията от първия случай с 90 процента (преобразуване, намиране на корените на помощните уравнения, определяне на интервалите на монотонност на знака). Възниква естествен въпрос - възможно ли е да се комбинира всичко това по някакъв начин?

Отговорът на този въпрос се съдържа в следната теорема.

Теорема 1. Логаритмично неравенство

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> е еквивалентно на следната система за неравенство :

размер на шрифта: 14.0pt; височина на линията: 150% "> (2)

Доказателство.

1. Нека започнем с факта, че първите четири неравенства на система (2) определят множеството от допустимите стойности на първоначалното логаритмично неравенство. Нека сега насочим вниманието си към петото неравенство. Ако размер на шрифта: 14.0pt; line-height: 150% ">, тогава първият фактор на това неравенство ще бъде отрицателен. Когато отмените от него, ще трябва да промените знака на неравенството на обратния, след което получавате неравенството .

Ако , тогава първият фактор на петото неравенство е положителен, ние го отменяме, без да променяме знака на неравенството,получаваме неравенството font-size: 14.0pt; line-height: 150% ">. Така че петото неравенство на системата включва и двата случая на предишния метод.

Терем е доказан.

Основните положения на теорията на метода на рационализацията.

Методът на рационализация е да се замени сложен израз F (x ) до по-прост израз G (x ), за което неравенството G (x ) EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "> F(х ) 0 в областта на израза F (x).

Нека подчертаем някои изразиФ и съответните им рационализиращи изрази G, където u, v,, p, q - изрази с две променливи ( u> 0; u ≠ 1; v> 0,> 0), а - фиксиран номер (а > 0, а ≠ 1).

	Израз F	Израз G
		(а –1) ( v - φ)

1 б

		)
2 б

Доказателство

1. Нека logav - logaφ> 0, това е logav> logaφ,освен това a> 0, a ≠ 1, v> 0,

φ > 0.

Ако 0< а < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Следователно системата от неравенства

а -1<0

v – φ < 0

Откъде следва неравенството (а – 1)( v – φ ) > 0 true в областта на изразаФ = logav - logaφ.

Ако а > 1, тогава v > φ . Следователно неравенството ( а – 1)( v – φ )> 0. Обратно, ако неравенството ( а – 1)( v – φ )> 0 върху диапазона на допустимите стойности ( а > 0, а ≠ 1, v> 0, φ > 0),тогава в тази област това е еквивалентно на комбинация от две системи.

а – 1<0 а – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Всяка система предполага неравенствотоlogav > logaφ, това е logav - logaφ > 0.

По същия начин разглеждаме неравенстватаФ< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Нека някакво число а> 0 и а≠ 1, тогава имаме

logu v- loguφ = EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> v - 1)( u- 1) (φ -u).

4.От неравенството uv- uφ > 0 Трябва uv > uφ. Нека а> 1, тогавалога uv > logauφ или

( u – φ) лога u > 0.

Следователно, като се вземе предвид заместването 1b и условиетоа > 1 получаваме

( v – φ)( а – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. По същия начин, неравенстватаФ< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Доказателството е подобно на доказателство 4.

6. Доказателството за заместване 6 следва от еквивалентността на неравенствата |п | > | q | и p 2> q 2

(| п |< | q | и p 2 < q 2 ).

Нека сравним обема на решенията на неравенствата, съдържащи променлива в основата на логаритъма, използвайки класическия метод и метода на рационализация

3. Заключение

Вярвам, че задачите, които си поставях, докато вършех работата, са постигнати. Проектът е от практическо значение, тъй като методът, предложен в работата, позволява значително да се опрости решаването на логаритмични неравенства. В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, е приблизително наполовина, което не само спестява време, но и ви позволява потенциално да правите по-малко аритметични грешки и грешки при „невнимание“. Сега, когато решавам задачи C3, използвам този метод.

4. Списък на използваната литература

1. , - Методи за решаване на неравенства с една променлива. - 2011г.

2. - Ръководство по математика. - 1972 г.

3. - Математика за кандидата. Москва: MCNMO, 2008.

Ежова Елена Сергеевна
позиция:учител по математика
Образователна институция:МОУ "Средно училище № 77"
Местоположение:Саратов
Име на материала:методическо развитие
тема:Методът за рационализиране за решаване на неравенства при подготовка за изпита "
Дата на публикуване: 16.05.2018
Глава:пълно образование

Очевидно едно и също неравенство може да бъде решено по няколко начина. Късмет

по избрания начин или, както казвахме, по рационален начин, всеки

неравенството ще се реши бързо и лесно, решението му ще се окаже красиво и интересно.

Бих искал да разгледам по-подробно така наречения рационализиращ метод за

решение на логаритмични и експоненциални неравенства, както и неравенства, съдържащи

променлива под знака на модула.

Основната идея на метода.

Методът на заместване на фактори се използва за решаване на неравенства, които се свеждат до формата

Къде е символът "

»Означава един от четирите възможни знака за неравенство:

Когато решаваме неравенство (1), ние се интересуваме само от знака на който и да е фактор в числителя

или знаменателя, а не абсолютната му стойност. Следователно, ако по някаква причина ние

неудобно е да се работи с този множител, можем да го заменим с друг

съвпадащи с него в областта на дефиницията на неравенството и имащи в тази област

същите корени.

Това определя основната идея на метода за заместване на множителя. Важно е да се поправи това

фактът, че замяната на фактори се извършва само ако неравенството

към формата (1), тоест когато се изисква да се сравни произведението с нула.

Основната част от замяната се дължи на следните две еквивалентни твърдения.

Твърдение 1. Функцията f (x) е строго нарастваща, ако и само ако за

всякакви стойности на t

) съвпада

знак с разликата (f (t

)), тоест е<=>(т

(↔ означава съвпадение)

Твърдение 2. Функцията f (x) е строго намаляваща, ако и само ако за

всякакви стойности на t

от областта на функцията, разликата (t

) съвпада

знак с разликата (f (t

)), тоест f ↓<=>(т

Обосновката на тези твърдения следва пряко от определението на строго

монотонна функция. Според тези твърдения може да се установи, че

Разликата в градусите по една и съща основа винаги съвпада по знак с

произведението на разликата между показателите на тези градуси от отклонението на основата от една,

Разликата в логаритмите в една и съща основа винаги съвпада по знак с

чрез произведението на разликата между числата на тези логаритми от отклонението на основата от единицата, тогава

Фактът, че разликата на неотрицателните величини съвпада по знак с разликата

квадрати на тези количества, позволява следните замествания:

Решете неравенството

Решение.

Нека да преминем към еквивалентна система:

От първото неравенство получаваме

Второто неравенство важи за всички

От третото неравенство получаваме

По този начин, наборът от решения на първоначалното неравенство:

Решете неравенството

Решение.

Нека решим неравенството:

Отговор: (−4; −3)

Решете неравенството

Нека намалим неравенството до форма, в която разликата в стойностите на логаритмичното

Заменете разликата в стойностите на логаритмичната функция с разликата в стойностите на аргумента. V

функцията се увеличава в числителя и намалява в знаменателя, следователно знакът за неравенство

ще се промени на обратното. Важно е да не забравяте да вземете предвид обхвата на определението

логаритмична функция; следователно това неравенство е еквивалентно на система от неравенства.

Числителни корени: 8; осем;

Корен от знаменател: 1

Решете неравенството

Заменяме в числителя разликата на абсолютните стойности на две функции с разликата в техните квадрати и в

знаменателят е разликата на стойностите на логаритмичната функция от разликата на аргументите.

В знаменателя функцията е намаляваща, което означава, че знакът на неравенството ще се промени на

противоположно.

В този случай е необходимо да се вземе предвид областта на дефиниране на логаритмичното

Първото неравенство решаваме по метода на интервалите.

Числителни корени:

Корени от знаменател:

Решете неравенството

Заменяме в числителя и знаменателя разликата между стойностите на монотонните функции с разликата

стойности на аргументите, като се вземе предвид областта на дефиниране на функциите и естеството на монотонността.

Числителни корени:

Корени от знаменател:

Най-често използваните замествания (с изключение на O D Z).

а) Замяна на постоянни знакови фактори.

б) Замяна на непостоянни множители с модула.

в) Замяна на непостоянни множители с експоненциални и логаритмични

изрази.

Решение. ODZ:

Замяна на множители:

Имаме система:

В това неравенство факторите

да се разглеждат като разлики на неотрицателни величини, тъй като изрази 1

ODZ може да приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Имаме система:

Замяна на множители:

Имаме система:

Замяна на множители:

Имаме система:

Замяна на множители:

Имаме система:

В резултат на това имаме: x

Метод на рационализация(метод на разлагане, метод на заместване на множител, метод на подмяна

функции, правилото на знаците) е да замените сложния израз F (x) с повече

прост израз G (x), за който неравенството G (x)

0 е еквивалентно на неравенството F (x

0 в областта на израза F (x).

раздели: математика

Практиката на проверка на изпитните работи показва, че най-голямата трудност за учениците е решаването на трансцендентални неравенства, особено на логаритмични неравенства с променлива основа. Следователно обобщението на урока, представено на вашето внимание, е представяне на метода на рационализация (други имена са методът на разлагане (Моденов В.П.), методът за заместване на фактори (Голубев В.И.)), който ви позволява да намалите сложни логаритмични, експоненциални , комбинирани неравенства към система от по-прости рационални неравенства. По правило методът на интервалите, приложен към рационалните неравенства към момента на изучаване на темата "Решаване на логаритмични неравенства", е добре усвоен и отработен. Затова студентите с голям интерес и ентусиазъм приемат онези методи, които им позволяват да опростят решението, да го направят по-кратко и в крайна сметка да спестят време на изпита за решаване на други задачи.

Цели на урока:

Образователни: актуализиране на основни знания при решаване на логаритмични неравенства; въвеждане на нов начин за решаване на неравенства; подобряване на уменията за решаване
Развиващи се: развитие на математически хоризонти, математическа реч, аналитично мислене
Образователни: възпитание на точност и самоконтрол.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

1. Организационен момент.Поздравления. Определяне на целите на урока.

2. Подготвителен етап:

Решете неравенствата:

3. Проверка на домашното(№ 11.81 * а)

При решаване на неравенството

Трябваше да използвате следната схема за решаване на логаритмични неравенства с променлива основа:

Тези. Трябва да се вземат предвид 2 случая: основата е по-голяма от 1 или основата е по-малка от 1.

4. Обяснение на новия материал

Ако погледнете внимателно тези формули, ще забележите, че знакът на разликата ж(х) – з(х) съвпада със знака на регистъра на разликата е(х) ж(х) - дневник е(х) з(х) в случай на нарастваща функция ( е(х)> 1, т.е. е(х) - 1> 0) и е противоположен на знака на логарифма на разликата е(х) ж(х) - дневник е(х) з(х) в случай на намаляваща функция (0< е(х) < 1, т.е. е(х) – 1 < 0)

Следователно това множество може да се сведе до система от рационални неравенства:

Това е същността на метода на рационализация – да се замени по-сложният израз А с по-прост израз В, който е рационален. В този случай неравенството V V 0 ще бъде еквивалентно на неравенството A V 0 в областта на израза A.

Пример 1.Нека пренапишем неравенството като еквивалентна система от рационални неравенства.

Забележете, че условията (1) - (4) са условията за областта на неравенството, която препоръчвам да намерите в началото на решението.

Пример 2.Решете неравенството с метода на рационализация:

Областта на неравенството се определя от условията:

Получаваме:

Остава да напишем неравенството (5)

Като се вземе предвид областта на дефиниция

Отговор: (3; 5)

5. Затвърдяване на изучавания материал

I. Запишете неравенството като система от рационални неравенства:

II. Представете си дясната страна на неравенството като необходимия логаритъм към основата и преминете към еквивалентната система:

Учителят извиква на дъската учениците, записали системите от I и II групи, и предлага на един от най-силните ученици да реши домашното неравенство (No 11.81 * а) чрез рационализация.

6. Проверка

Опция 1

Вариант 2

1. Запишете система от рационални неравенства за решаване на неравенства:

2. Решете неравенството чрез рационализация

Критерии за оценяване:

3-4 точки - "задоволително";
5-6 точки - "добър";
7 точки - "отличен".

7. Отражение

Отговорете на въпроса: кой от известните методи за решаване на логаритмични неравенства с променлива основа ще ви позволи да използвате по-ефективно времето си на изпита?

8. Домашна работа:№№ 11.80 * (a, b), 11.81 * (a, b), 11.84 * (a, b) за решаване на метода на рационализация.

Библиография:

Алгебра и началото на анализа: Учеб. За 11 кл. общо образование. Институции / [С.М. Николски, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, A.V. Шевкин] - 5-то изд. - М .: Образование, АД "Московски учебници", 2006.
A.G. Корянов, А.А. Прокофиев... Учебни материали "Подготовка на добрите ученици за единен държавен изпит": лекции 1-4. - М .: Педагогически университет "Първи септември", 2012 г.

раздели: математика

Често при решаване на логаритмични неравенства има проблеми с променлива база на логаритъма. И така, неравенство на формата

е стандартно училищно неравенство. Като правило, за решаването му се прилага преход към еквивалентен набор от системи:

Недостатъкът на този метод е необходимостта от решаване на седем неравенства, без да се броят две системи и един набор. Вече с дадени квадратични функции решаването на множество може да отнеме време.

Може да се предложи алтернативен, по-малко трудоемък начин за решаване на това стандартно неравенство. За това вземаме предвид следната теорема.

Теорема 1. Нека непрекъснато нарастваща функция на множеството X. Тогава на това множество знакът на нарастването на функцията ще съвпада със знака на нарастването на аргумента, т.е. , където .

Забележка: ако непрекъснато намаляваща функция на множеството X, тогава.

Да се върнем към неравенството. Да преминем към десетичния логаритъм (можете да отидете на всеки с константна основа, по-голяма от единица).

Сега можете да използвате теоремата, като отбелязвате в числителя нарастването на функциите и в знаменателя. Значи е вярно

В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, е приблизително наполовина, което не само спестява време, но и ви позволява потенциално да правите по-малко аритметични грешки и грешки по „невнимание“.

Пример 1.

Сравнявайки с (1) намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 2.

Сравнявайки с (1) намираме,,.

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 3.

Тъй като лявата страна на неравенството е нарастваща функция за и , тогава отговорът е зададен.

Наборът от примери, в които може да се приложи теорема 1, може лесно да се разшири, ако се вземе предвид теорема 2.

Нека на снимачната площадка хфункции,,, и на това множество знаците и съвпадат, т.е. тогава ще бъде справедливо.

Пример 4.

Пример 5.

При стандартния подход примерът се решава по схемата: произведението е по-малко от нула, когато факторите са с противоположни знаци. Тези. разглежда се множеството от две системи от неравенства, в които, както е посочено в началото, всяко неравенство се разделя на още седем.

Ако вземем предвид теорема 2, тогава всеки от факторите, като се вземе предвид (2), може да бъде заменен с друга функция, която има същия знак в този пример O.D.Z.

Методът за замяна на приращение на функция с приращение на аргумента, като се вземе предвид теорема 2, се оказва много удобен при решаване на типични задачи C3 на изпита.

Пример 6.

Пример 7.

... Нека обозначим. Получаваме

... Имайте предвид, че подмяната предполага:. Връщайки се към уравнението, получаваме .

Пример 8.

В теоремите, които използваме, няма ограничение за класовете функции. В тази статия, например, теоремите са приложени за решаване на логаритмични неравенства. Следващите няколко примера ще демонстрират обещанието на метода за решаване на други видове неравенства.

Методът на рационализиране ви позволява да преминете от неравенство, съдържащо сложни експоненциални, логаритмични и т.н. изрази към неговото еквивалентно по-просто рационално неравенство.

Така че, преди да започнем да говорим за рационализация в неравенствата, нека поговорим за еквивалентността.

Еквивалентност

Еквивалент или еквивалентнаричат се уравнения (неравенства), чиито множества корени съвпадат. Уравнения (неравенства), които нямат корени, също се считат за еквивалентни.

Пример 1.Уравненията и са еквивалентни, тъй като имат едни и същи корени.

Пример 2.Уравненията и също са еквивалентни, тъй като решението на всяко от тях е празното множество.

Пример 3.Неравенствата и са еквивалентни, тъй като решението и на двете е много.

Пример 4.и - са неравни. Решението на второто уравнение е само 4, а решението на първото е както 4, така и 2.

Пример 5.Неравенството е еквивалентно на неравенство, тъй като и в двете неравенства - решението е 6.

Тоест еквивалентните неравенства (уравнения) на външен вид може да са доста далеч от сходството.

Всъщност, когато решаваме сложни дълги уравнения (неравенства) по този начин и получаваме отговора, в ръцете си нямаме нищо повече от уравнение (неравенство), което е еквивалентно на първоначалното. Гледката е различна, но същността е същата!

Пример 6.Нека си спомним как се справяхме с неравенството преди да се запознаете с интервалния метод... Заменихме първоначалното неравенство с набор от две системи:

Тоест, неравенството и последното множество са еквивалентни едно на друго.

Освен това бихме могли, като имаме в ръцете си агрегата

заменете го с неравенство, което може да бъде решено за нула време по метода на интервалите.

Доближихме се до метода на рационализация в логаритмичните неравенства.

Метод на рационализация в логаритмични неравенства

Помислете за неравенството.

Представяме 4 като логаритъм:

Имаме работа с променлива база на логаритъма, следователно, в зависимост от това дали основата на логаритъма е по-голяма от 1 или по-малка от 1 (тоест имаме работа с нарастваща или намаляваща функция), знакът на неравенството ще остане или промени на "". Следователно възниква комбинация (съюз) от две системи:

Но, ВНИМАНИЕ, тази система трябва да бъде решена, като се вземе предвид ЗБУТ! Нарочно не заредих системата ODZ, за да не се загуби основната идея.

Вижте, сега ще пренапишем нашата система по този начин (ще прехвърлим всичко във всеки ред на неравенството в лявата страна):

Това напомня ли ви за нещо? По аналогия с пример 6заменяме този набор от системи с неравенството:

След като решим това неравенство върху ODZ, ще получим решение на неравенството.

Нека първо намерим ODV на първоначалното неравенство:

Сега да решим

Решение на последното неравенство, като се вземе предвид DHS:

И така, ето я тази "магическа" таблица:

Имайте предвид, че таблицата работи при условието

къде са функциите на,

- функция или число,

- един от признаците

Имайте предвид също, че вторият и третият ред на таблицата са следствие от първия. Във втория ред 1 е представено преди като, а в третия - 0 е представено като.

И още няколко полезни последствия (надявам се, че можете лесно да разберете откъде идват):

къде са функциите на,

- функция или число,

- един от признаците

Метод на рационализация в експоненциални неравенства

Нека решим неравенството.

Решаването на първоначалното неравенство е еквивалентно на решаването на неравенството

Отговор: .

Таблица за рационализация в експоненциални неравенства:

- функции от, - функция или число, - един от символите Таблицата работи при условие. Също в третия, четвъртия ред - допълнително -

Отново всъщност трябва да запомните първия и третия ред на таблицата. Вторият ред е специален случай на първия, а четвъртият ред е специален случай на третия.