Нека x е произволен точков лед в някаква околност на фиксирана точка x 0. разликата x - x 0 обикновено се нарича приращение на независимата променлива (или приращение на аргумента) в точката x 0 и се означава с Δx. По този начин,

Δx = x –x 0,

откъдето следва, че

Увеличение на функцията -разликата между двете стойности на функцията.

Нека функцията в = е (х), дефиниран, когато стойността на аргумента е равна на х 0 Дайте на аргумента увеличение D х, ᴛ.ᴇ. считай стойността на аргумента равна х 0 + D х... Да предположим, че тази стойност на аргумента също е в обхвата на тази функция. Тогава разликата D г = е (х 0 + D Х) – f (x 0)обичайно е функцията да се извиква инкремент. Увеличение на функцията е(х) в точката хе функция, която обикновено се означава с Δ х евърху новата променлива Δ хопределена като

Δ х е(Δ х) = е(х + Δ х) − е(х).

Намерете приращението на аргумента и приращението на функцията в точката x 0, ако

Пример 2. Намерете приращението на функцията f (x) = x 2, ако x = 1, ∆x = 0,1

Решение: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Намерете приращението на функцията ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Замествайки стойностите x = 1 и ∆х = 0,1, получаваме ∆f = 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 = 0,2 + 0,01 = 0,21

Намерете приращението на аргумента и приращението на функцията в точката x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0,8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Определение: Производнафункция в дадена точка, обичайно е да се извиква границата (ако съществува и е крайна) на съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, при условие че последният клони към нула.

Най-често се използват следните производни обозначения:

По този начин,

Намирането на производната обикновено се нарича диференциация ... Въведени дефиниция на диференцируема функция: Функция f, която има производна във всяка точка от определен интервал, обикновено се нарича диференцируема на даден интервал.

Нека функция е дефинирана в някаква околност на точка; У(х 0) може да се представи като

е(х 0 + з) = е(х 0) + ах + о(з)

ако съществува.

Определяне на производната на функция в точка.

Нека функцията е (х)дефинирани в интервала (а; б), и са точките на този интервал.

Определение... Производна функция е (х)в дадена точка е обичайно да се извиква границата на съотношението на инкремента на функцията към инкремента на аргумента at. Посочено е.

Когато последната граница придобие определена крайна стойност, тогава те говорят за съществуването крайната производна в точката... Ако границата е безкрайна, тогава те казват това производната е безкрайна в дадена точка... Ако ограничението не съществува, тогава производната на функцията не съществува в този момент.

Функция е (х)се нарича диференцируема в точка, когато има крайна производна в нея.

Ако функцията е (х)диференцируеми във всяка точка от някакъв интервал (а; б), тогава функцията се нарича диференцируема на този интервал. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всяка точка хот между (а; б)можем да свържем стойността на производната на функцията в този момент, тоест имаме възможност да дефинираме нова функция, която се нарича производна на функцията е (х)на интервала (а; б).

Операцията по намиране на производна обикновено се нарича диференциране.

1. инкремент на аргумента и инкремент на функцията.

Нека е дадена функция. Да вземем две стойности на аргумента: начална и модифициран, което обикновено се обозначава
, където - стойността, с която се променя аргументът при преминаване от първата стойност към втората, се извиква чрез увеличаване на аргумента.

Стойности на аргумента и съответстват на специфични стойности на функцията: начални и модифициран
, стойността , с което стойността на функцията се променя, когато аргументът се промени с определена сума, се извиква чрез нарастване на функцията.

2. понятието предел на функция в точка.

номер наречена граница на функцията
при склонност към ако за произволно число
има такъв номер
това за всички
удовлетворяване на неравенството
, неравенството
.

Втора дефиниция: Числото се нарича граница на функция като клоняща към, ако за всяко число има околност на точката, такава, че за която и да е от тази околност. Обозначава се
.

3. безкрайно големи и безкрайно малки функции в точка. Безкрайно малка функция в точка е функция, чиято граница, когато се стреми към дадена точка, е нула. Безкрайно голяма функция в точка е функция, чиято граница, когато се стреми към дадена точка, е равна на безкрайност.

4. основни теореми за границите и техните последствия (без доказателство).

следствие: постоянният фактор може да бъде изваден от граничния знак:

Ако последователностите и се сближават и границата на последователността е различна от нула

следствие: постоянният коефициент може да бъде изваден от граничния знак.

11. ако за има ограничения на функциите
и
и границата на функцията е различна от нула,

тогава има и граница на тяхното съотношение, равно на съотношението на границите на функциите и:

.

12.ако
, тогава
, обратното също е вярно.

13. теорема за границата на междинната последователност. Ако последователностите
сближаване и
и
тогава

5. границата на функцията в безкрайност.

Числото a се нарича граница на функция в безкрайност (тъй като x клони към безкрайност), ако за всяка последователност, стремяща се към безкрайност
съответства последователност от стойности, клоняща към числото а.

6. g е границите на числова последователност.

номер асе нарича граница на числова последователност, ако за всяко положително число има естествено число N такова, че за всички н> ннеравенството е в сила
.

Това се дефинира символично, както следва:
справедливо .

Фактът, че номерът ае границата на последователността, обозначена както следва:

.

7. числото "е". естествени логаритми.

номер "E" представлява границата на числова последователност, н- чийто член
, т.е.

.

Естествен логаритъм - логаритъм с основа д. естествени логаритми са обозначени
без да се посочва основата.

номер
ви позволява да превключвате от десетичен към естествен логаритъм и обратно.

, се нарича модул на преход от естествени логаритми към десетичен знак.

8.забележителни граници
,

.

Първо забележително ограничение:

по този начин при

чрез граничната теорема за междинната последователност

второ забележително ограничение:

.

За да докаже съществуването на границата
използвайте лемата: за всяко реално число
и
неравенството е вярно
(2) (за
или
неравенството се превръща в равенство.)

Последователността (1) може да се запише, както следва:

.

Сега помислете за спомагателна последователност с общ термин
уверете се, че намалява и е ограничен отдолу:
ако
, тогава последователността намалява. Ако
, тогава последователността е ограничена отдолу. Нека покажем това:

поради равенство (2)

т.е.
или
... Това означава, че последователността е намаляваща, тъй като последователността е ограничена отдолу. Ако последователността е намаляваща и ограничена отдолу, тогава тя има граница. Тогава

има граница и последователност (1), тъй като

и
.

Л. Ойлер нарече тази граница .

9. едностранни граници, функционална празнина.

число A е лявата граница, ако следното е вярно за произволна последователност:.

число A е дясната граница, ако следното е вярно за всяка последователност:.

Ако в точката апринадлежащи към областта на дефиниране на функцията или нейната граница, условието за непрекъснатост на функцията е нарушено, тогава точката асе нарича точка на прекъсване или прекъсване на функция.

12. сборът от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Геометричната прогресия е последователност, в която връзката между следващите и предишните членове остава непроменена, тази връзка се нарича знаменател на прогресията. Сумата от първата нчленове на геометрична прогресия се изразява с формулата
удобно е да се използва тази формула за намаляваща геометрична прогресия - прогресия, в която абсолютната стойност на знаменателя й е по-малка от нула. - първият член; - знаменателят на прогресията; - номера на взетия член на поредицата. Сборът от безкрайно намаляваща прогресия е число, към което сумата от първите членове на намаляваща прогресия се приближава безкрайно с неограничено увеличение на числото.
тогава. Сборът от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е .

Определение 1

Ако за всяка двойка $ (x, y) $ стойности на две независими променливи от определен регион е свързана определена стойност на $ z $, тогава $ z $ се казва, че е функция на две променливи $ (x, y) $. Обозначение: $ z = f (x, y) $.

По отношение на функцията $ z = f (x, y) $, разгледайте концепциите за общи (пълни) и частични увеличения на функция.

Нека е дадена функция $ z = f (x, y) $ от две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, една от тях може да се променя, докато другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $ x $ увеличение от $ \ Delta x $, като запазим стойността на променливата $ y $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи приращение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ x $. Обозначаване:

По същия начин, нека дадем на променливата $ y $ увеличение от $ \ Delta y $, като запазим стойността на променливата $ x $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи приращение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ y $. Обозначаване:

Ако на аргумента $ x $ е дадено увеличението $ \ Delta x $, а на аргумента $ y $ - инкремента $ \ Delta y $, тогава пълното увеличение на дадената функция $ z = f (x, y) $ е получени. Обозначаване:

По този начин имаме:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 1

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ е частичното увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 2

Изчислете частното и общото приращение на функцията $ z = xy $ в точката $ (1; 2) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното приращение намираме:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ спрямо $ y $;

По дефиницията на пълния прираст намираме:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

следователно,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Забележка 2

Общото увеличение на дадена функция $ z = f (x, y) $ не е равно на сумата от нейните частични увеличения $ \ Delta _ (x) z $ и $ \ Delta _ (y) z $. Математическа нотация: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Пример 3

Проверете забележката на твърдението за функция

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните увеличения на дадената функция $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Делта y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Определение 2

Ако за всеки троен $ (x, y, z) $ на стойности на три независими променливи от определен регион е свързана определена стойност на $ w $, тогава $ w $ се казва, че е функция на три променливи $ ( x, y, z) $ в тази област.

Обозначение: $ w = f (x, y, z) $.

Определение 3

Ако за всяка колекция $ (x, y, z, ..., t) $ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност на $ w $, тогава $ w $ се казва, че е функция на променливите $ (x, y, z, ..., t) $ в този домейн.

Обозначение: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, се определят частични увеличения за всяка от променливите:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, ..., t) $ по $ t $.

Пример 4

Напишете частното и общото приращение на функция

Решение:

По дефиницията на частното приращение намираме:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ спрямо $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълния прираст намираме:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ .

Пример 5

Изчислете частното и общото увеличение на функцията $ w = xyz $ в точката $ (1; 2; 1) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Делта z = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното приращение намираме:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ спрямо $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълния прираст намираме:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $.

следователно,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ (по дефиниция, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) е равно на нарастването на приложната функция на графика $ z = f (x, y) $ при преминаване от точка $ M (x, y) $ до точка $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (фиг. 1).

Снимка 1.

по медицинска и биологична физика

ЛЕКЦИЯ No1

ПРОИЗВОДНА И ДИФЕРЕНЦИАЛНА ФУНКЦИЯ.

ЧАСТНИ ДЕРИВАТИ.

1. Понятието за производно, неговото механично и геометрично значение.

а ) Нараства на аргумента и функцията.

Нека е дадена функцията y = f (x), където x е стойността на аргумента от областта на функцията. Ако изберем две стойности на аргумента xo и x от определен интервал от областта на функцията, тогава разликата между двете стойности на аргумента се нарича приращение на аргумента: x - xo = ∆x .

Стойността на аргумента x може да се определи чрез x 0 и неговото приращение: x = x o + ∆x.

Разликата между две стойности на функцията се нарича приращение на функцията: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Увеличението на аргумента и функцията може да бъде представено графично (фиг. 1). Увеличенията на аргумента и функциите могат да бъдат положителни или отрицателни. Както следва от фиг. 1 геометрично, приращението на аргумента ∆х се изобразява чрез приращение на абсцисата, а приращението на функцията ∆у е представено чрез приращение на ординатата. Изчисляването на нарастването на функцията трябва да се извърши в следния ред:

дайте на аргумента увеличение ∆x и получете стойността - x + ∆x;

2) намираме стойността на функцията за стойността на аргумента (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) намираме приращението на функцията ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

пример:Определете приращението на функцията y = x 2, ако аргументът се е променил от x o = 1 на x = 3. За точката x o стойността на функцията f (x o) = x² o; за точка (x о + ∆х) стойността на функцията f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = x² о + 2х о ∆х + ∆х 2, откъдето ∆f = f (x о + ∆х) –f (x о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

б)Задачи, водещи до понятието производно. Определение на производно, неговото физическо значение.

Концепцията за приращение на аргумент и функция е необходима, за да се въведе концепцията за производна, която исторически е възникнала от необходимостта да се определи скоростта на определени процеси.

Помислете как можете да определите скоростта на праволинейно движение. Нека тялото се движи праволинейно по закона: ∆Ѕ =  · ∆t. За равномерно движение:  = ∆Ѕ / ∆t.

За променливо движение стойността на ∆Ѕ / ∆t определя стойността на av. , т.е вж. = ∆Ѕ / ∆t. Но средната скорост не дава възможност да се отразят особеностите на движението на тялото и да се даде представа за истинската скорост в момент t. С намаляване на интервала от време, т.е. при ∆t → 0 средната скорост клони към своя предел - моментната скорост:

 моментално =
 ср =
∆Ѕ / ∆t.

Моментната скорост на химическа реакция се определя по същия начин:

 моментално =
 ср =
∆х / ∆t,

където x е количеството вещество, образувано по време на химическа реакция за време t. Подобни задачи за определяне на скоростта на различни процеси доведоха до въвеждането на понятието производна на функция в математиката.

Нека е дадена непрекъсната функция f (x), дефинирана на интервала] a, in [и нейното увеличение ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
е функция на ∆x и изразява средната скорост на промяна на функцията.

Ограничение на съотношението , когато ∆х → 0, при условие че тази граница съществува, се нарича производна на функцията :

y "x =

.

Производната се обозначава:
- (първ х удар); f " (x) - (eff ход по x) ; y "- (тире); dy / dх – (de igrik po de iks); - (игра с точка).

Въз основа на дефиницията на производната можем да кажем, че моментната скорост на праволинейното движение е производна по време на пътя:

 моментално = S "t = f " (т).

По този начин можем да заключим, че производната на функцията по отношение на аргумента x е моментната скорост на промяна на функцията f (x):

y "x = f " (x) =  момент.

Това е физическото значение на производната. Процесът на намиране на производна се нарича диференциране, така че изразът "диференцирайте функция" е еквивалентен на израза "намерете производната на функция".

v)Геометричното значение на производната.

П
производната на функцията y = f (x) има просто геометрично значение, свързано с концепцията за допирателна към крива линия в някаква точка M. Освен това допирателната, т.е. права линия се изразява аналитично като y = kx = tanx, където  – ъгъла на наклона на допирателната (правата линия) към оста X. Нека представим непрекъсната крива като функция на y = f (x), вземем точка M на кривата и точка M 1 близо до нея и дайте секанс през тях. Неговият наклон към sec = tan β = Ако точката М 1 се доближи до M, тогава приращението на аргумента ∆х ще се стреми към нула, а секансът при β = α ще заеме позицията на допирателната. От фиг. 2 следва: tgα =
tgβ =
= y "x. Но tgα е равно на наклона на допирателната към графиката на функцията:

k = tgα =
= y "x = f " (Х). И така, наклонът на допирателната към графиката на функцията в дадена точка е равен на стойността на нейната производна в точката на допир. Това е геометричният смисъл на производната.

ж)Общо правило за намиране на производната.

Въз основа на дефиницията на производна, процесът на диференциране на функция може да бъде представен по следния начин:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

намиране на приращението на функцията: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

съставете съотношението на инкремента на функцията към инкремента на аргумента:

;

пример: f (x) = x 2; е " (x) = ?.

Въпреки това, както може да се види дори от този прост пример, прилагането на посочената последователност при вземане на производни е трудоемък и сложен процес. Следователно за различни функции се въвеждат общи формули за диференциране, които се представят под формата на таблица „Основни формули за диференциране на функции“.

Определение 1

Ако за всяка двойка $ (x, y) $ стойности на две независими променливи от определен регион е свързана определена стойност на $ z $, тогава $ z $ се казва, че е функция на две променливи $ (x, y) $. Обозначение: $ z = f (x, y) $.

По отношение на функцията $ z = f (x, y) $, разгледайте концепциите за общи (пълни) и частични увеличения на функция.

Нека е дадена функция $ z = f (x, y) $ от две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, една от тях може да се променя, докато другата остава постоянна.

Нека да дадем на променливата $ x $ увеличение от $ \ Delta x $, като запазим стойността на променливата $ y $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи приращение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ x $. Обозначаване:

По същия начин, нека дадем на променливата $ y $ увеличение от $ \ Delta y $, като запазим стойността на променливата $ x $ непроменена.

Тогава функцията $ z = f (x, y) $ ще получи приращение, което ще се нарече частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на променливата $ y $. Обозначаване:

Ако на аргумента $ x $ е дадено увеличението $ \ Delta x $, а на аргумента $ y $ - инкремента $ \ Delta y $, тогава пълното увеличение на дадената функция $ z = f (x, y) $ е получени. Обозначаване:

По този начин имаме:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 1

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ е частичното увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

Пример 2

Изчислете частното и общото приращение на функцията $ z = xy $ в точката $ (1; 2) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното приращение намираме:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - частично увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ спрямо $ y $;

По дефиницията на пълния прираст намираме:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - пълно увеличение на функцията $ z = f (x, y) $.

следователно,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Забележка 2

Общото увеличение на дадена функция $ z = f (x, y) $ не е равно на сумата от нейните частични увеличения $ \ Delta _ (x) z $ и $ \ Delta _ (y) z $. Математическа нотация: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Пример 3

Проверете забележката на твърдението за функция

Решение:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (получено в пример 1)

Намерете сумата от частичните увеличения на дадената функция $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Делта y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Определение 2

Ако за всеки троен $ (x, y, z) $ на стойности на три независими променливи от определен регион е свързана определена стойност на $ w $, тогава $ w $ се казва, че е функция на три променливи $ ( x, y, z) $ в тази област.

Обозначение: $ w = f (x, y, z) $.

Определение 3

Ако за всяка колекция $ (x, y, z, ..., t) $ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност на $ w $, тогава $ w $ се казва, че е функция на променливите $ (x, y, z, ..., t) $ в този домейн.

Обозначение: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три или повече променливи, по същия начин, както за функция от две променливи, се определят частични увеличения за всяка от променливите:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z, ..., t) $ по $ t $.

Пример 4

Напишете частното и общото приращение на функция

Решение:

По дефиницията на частното приращение намираме:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ спрямо $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълния прираст намираме:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ .

Пример 5

Изчислете частното и общото увеличение на функцията $ w = xyz $ в точката $ (1; 2; 1) $ за $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Делта z = 0,1 $.

Решение:

По дефиницията на частното приращение намираме:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ спрямо $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - частично увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $ по отношение на $ z $;

По дефиницията на пълния прираст намираме:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - пълно увеличение на функцията $ w = f (x, y, z) $.

следователно,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

От геометрична гледна точка, общото увеличение на функцията $ z = f (x, y) $ (по дефиниция, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) е равно на нарастването на приложната функция на графика $ z = f (x, y) $ при преминаване от точка $ M (x, y) $ до точка $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (фиг. 1).

Снимка 1.