Диаграмата на фигура 5:

И следващият пример: Решете неравенството 0,6 2x - 3< 0,36 .

Следвайки схемата на фигура 5, получаваме
2x - 3> log 0,6 0,36,
2x - 3> 2,
2x> 5,
x> 2.5

Отговор: (2,5; +∞) .

Помислете за последната схема за решаване на неравенство на формата a f (x)< b , при а> 0и б<0 показано на фигура 6:

Например, нека решим неравенството:

Отбелязваме, че независимо с какво число заместваме x, лявата част на неравенството винаги е по-голяма от нула, а изразът ни е по-малък от -8, т.е. и нула, тогава няма решения.

Отговор: никакви решения.

Знаейки как се решават най-простите експоненциални неравенства, може да се пристъпи към решаване на експоненциални неравенства.

Пример 1.

Намерете най-голямата цяло число x, удовлетворяващо неравенството

Тъй като 6 x е по-голямо от нула (за всеки x знаменателят не изчезва), умножаваме двете страни на неравенството по 6 x, получаваме:

440 - 2 6 2x> 8, тогава
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

х< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Отговор: 1.

Пример 2.

Решете неравенството 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

Означаваме 2 x през y, получаваме неравенството y 2 - 3y + 2 ≤ 0, решаваме това квадратно неравенство.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 и y 2 = 2.

Клоновете на параболата са насочени нагоре, ще изобразим графиката:

Тогава решението на неравенството е неравенство 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Отговор: (0; 1) .

Пример 3... Решете неравенството 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Нека съберем изрази със същите основи в една част от неравенството

5 x +1 - 2,5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Изваждаме 5 x от лявата страна на неравенството и 3 х от дясната страна на неравенството и получаваме неравенството

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 х< (25/3)·3 х

Разделяме двете страни на неравенството на израза 3 3 x, знакът на неравенството не се променя, тъй като 3 3 x е положително число, получаваме неравенството:

х< 2 (так как 5/3 > 1).

Отговор: (–∞; 2) .

Ако имате въпроси относно решаването на експоненциални неравенства или искате да практикувате решаване на подобни примери, запишете се за моите уроци. Учител Валентина Галиневская.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

А днес рационалните неравенства не могат да решат всичко. По-точно, не само всеки може да реши. Малцина могат да направят това.
Кличко

Този урок ще бъде труден. Толкова трудно, че само Избраните ще стигнат до края. Ето защо, преди да започнете да четете, препоръчвам да премахнете жените, котките, бременните деца и ...

Хайде, всъщност е просто. Да предположим, че сте усвоили метода на интервалите (ако не сте го усвоили, препоръчвам да се върнете назад и да го прочетете) и сте научили как да решавате неравенства от вида $ P \ left (x \ right) \ gt 0 $, където $ P \ left (x \ right) $ е някакъв полином или произведение от полиноми.

Вярвам, че няма да ви е трудно да решите, например, този вид игра (между другото, опитайте я за загряване):

\ [\ начало (подравняване) & \ ляво (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ дясно) \ ляво (4x + 25 \ дясно) \ gt 0; \\ & x \ наляво (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ вдясно) \ вляво (x-1 \ вдясно) \ ge 0; \\ & \ наляво (8x - ((x) ^ (4)) \ вдясно) ((\ вляво (x-5 \ вдясно)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ край (подравняване) \]

Сега нека да усложним малко задачата и да разгледаме не само полиноми, а така наречените рационални дроби от формата:

където $ P \ left (x \ right) $ и $ Q \ left (x \ right) $ са едни и същи полиноми от вида $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, или произведението на такива полиноми.

Това ще бъде рационално неравенство. Основният момент е наличието на променливата $ x $ в знаменателя. Например, това са рационални неравенства:

\ [\ начало (подравняване) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ ляво (7x + 1 \ дясно) \ ляво (11x + 2 \ дясно)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) ((\ вляво (3-x \ надясно)) ^ (2)) \ вляво (4 - ((x) ^ ( 2)) \ вдясно)) \ ge 0. \\ \ край (подравняване) \]

И това не е рационално, а най-често срещаното неравенство, което се решава по метода на интервалите:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

Поглеждайки напред, ще кажа веднага: има поне два начина за решаване на рационални неравенства, но всички те по някакъв начин се свеждат до метода на вече познатия ни интервал. Ето защо, преди да разгледаме тези методи, нека си припомним старите факти, в противен случай няма да има смисъл от новия материал.

Това, което вече трябва да знаете

Няма много важни факти. Наистина ни трябват само четири.

Съкратени формули за умножение

Да, да: те ще ни преследват в цялата учебна програма по математика. И в университета също. Има доста от тези формули, но се нуждаем само от следното:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ ляво (a \ pm b \ дясно)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ ляво (a-b \ дясно) \ ляво (a + b \ дясно); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ ляво (a + b \ дясно) \ ляво (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) ^ (2)) \ вдясно); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ ляво (ab \ дясно) \ ляво (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ ( 2)) \ вдясно). \\ \ край (подравняване) \]

Обърнете внимание на последните две формули - това са сборът и разликата на кубовете (а не кубът за сбор или разлика!). Те са лесни за запомняне, ако забележите, че знакът в първата скоба съвпада със знака в оригиналния израз, а във втория е противоположен на знака в оригиналния израз.

Линейни уравнения

Това са най-простите уравнения от вида $ ax + b = 0 $, където $ a $ и $ b $ са обикновени числа, с $ a \ ne 0 $. Това уравнение може да се реши просто:

\ [\ начало (подравняване) & ax + b = 0; \\ & ax = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ край (подравняване) \]

Забележете, че имаме право да разделим на коефициента $ a $, защото $ a \ ne 0 $. Това изискване е съвсем логично, тъй като за $ a = 0 $ получаваме това:

Първо, в това уравнение няма променлива $ x $. Най-общо казано, това не трябва да ни обърква (това се случва, да речем, в геометрията и доста често), но въпреки това вече не сме изправени пред линейно уравнение.

Второ, решението на това уравнение зависи единствено от коефициента $ b $. Ако $ b $ също е нула, тогава нашето уравнение има формата $ 0 = 0 $. Това равенство винаги е вярно; следователно, $ x $ е произволно число (обикновено се пише така: $ x \ in \ mathbb (R) $). Ако коефициентът $ b $ не е равен на нула, тогава равенството $ b = 0 $ никога не е изпълнено, т.е. няма отговори (напишете $ x \ в \ varnothing $ и прочетете "наборът от решения е празен").

За да избегнем всички тези усложнения, ние просто приемаме $ a \ ne 0 $, което по никакъв начин не ограничава по-нататъшното ни мислене.

Квадратни уравнения

Нека ви напомня, че това се нарича квадратно уравнение:

Тук отляво е полином от втора степен и отново $ a \ ne 0 $ (в противен случай вместо квадратно уравнение получаваме линейно). Следните уравнения се решават чрез дискриминанта:

1. Ако $ D \ gt 0 $, получаваме два различни корена;
2. Ако $ D = 0 $, тогава ще има един корен, но от втората кратност (каква е тази кратност и как да се вземе предвид - повече за това по-късно). Или можем да кажем, че уравнението има два еднакви корена;
3. За $ D \ lt 0 $ изобщо няма корени и знакът на полинома $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ за всеки $ x $ съвпада със знака на коефициента $ $. Между другото, това е много полезен факт, за който по някаква причина забравят да говорят в уроците по алгебра.

Самите корени се разглеждат по добре познатата формула:

\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

Оттук, между другото, и ограниченията на дискриминанта. В крайна сметка корен квадратен от отрицателно число не съществува. Що се отнася до корените, много ученици имат ужасна бъркотия в главите си, така че специално записах цял урок: какво е корен в алгебрата и как да го броим - силно препоръчвам да го прочетете. :)

Действия с рационални дроби

Всичко, което беше написано по-горе, вече знаете, ако сте изучавали метода на интервалите. Но това, което ще анализираме сега, няма аналози в миналото – това е напълно нов факт.

Определение. Рационалната дроб е израз като

\ [\ frac (P \ вляво (x \ надясно)) (Q \ наляво (x \ надясно)) \]

където $ P \ left (x \ right) $ и $ Q \ left (x \ right) $ са полиноми.

Очевидно е лесно да се получи неравенство от такава дроб - достатъчно е просто да присвоите знака "повече" или "по-малко" вдясно. И малко по-нататък ще открием, че е удоволствие да решаваме такива проблеми, там всичко е много просто.

Проблемите започват, когато има няколко такива дроби в един израз. Те трябва да бъдат сведени до общ знаменател - и точно в този момент се правят голям брой обидни грешки.

Следователно, за да решавате успешно рационални уравнения, трябва твърдо да овладеете две умения:

1. Разлагане на полинома $ P \ left (x \ right) $;
2. Всъщност свеждането на дробите до общ знаменател.

Как да разложим полином на множители? Много просто. Да предположим, че имаме полином от вида

Приравняваме го на нула. Получаваме уравнението на $ n $ -та степен:

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( а) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = 0 \]

Да кажем, че решихме това уравнение и получихме корените $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (не се тревожете: в повечето случаи ще има не повече от два от тези корени) ... В този случай нашият оригинален полином може да бъде пренаписан, както следва:

\ [\ начало (подравняване) & P \ ляво (x \ дясно) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ left ( x - ((x) _ (1)) \ дясно) \ cdot \ ляво (x - ((x) _ (2)) \ дясно) \ cdot ... \ cdot \ ляво (x - ((x) _ ( n)) \ вдясно) \ край (подравняване) \]

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: водещият коефициент $ ((a) _ (n)) $ не е изчезнал никъде - той ще бъде отделен фактор преди скобите и при необходимост може да бъде вмъкнат във всяка от тези скоби (практиката показва, че с $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ почти винаги има дроби между корените).

Задача. Опростете израза:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

Решение. Първо, нека разгледаме знаменателите: всички те са линейни биноми и няма какво да се вземе предвид. Така че нека изчислим числителите:

\ [\ начало (подравняване) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ ляво (x + 5 \ дясно) \ ляво (x-4 \ дясно); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ ляво (x- \ frac (3) (2) \ дясно) \ ляво (x-1 \ дясно) = \ ляво (2x- 3 \ дясно) \ ляво (x-1 \ дясно); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ ляво (x + 2 \ дясно) \ ляво (x- \ frac (2) (5) \ дясно) = \ ляво (x +2 \ дясно) \ ляво (2-5x \ дясно). \\\ край (подравняване) \]

Обърнете внимание: във втория полином водещият коефициент "2", в пълно съответствие с нашата схема, първо се появи пред скобата, а след това беше въведен в първата скоба, тъй като дробът излезе там.

Същото се случи и в третия полином, само че там редът на членовете също е объркан. Въпреки това, коефициентът "−5" се озова във втората скоба (запомнете: можете да въведете фактора в една и само една скоба!), Което ни спаси от неудобството, свързано с дробни корени.

Що се отнася до първия полином, там всичко е просто: корените му се търсят или по стандартния начин чрез дискриминанта, или по теоремата на Виета.

Нека се върнем към оригиналния израз и да го пренапишем с разложените на множители числители:

\ [\ начало (матрица) \ frac (\ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right)) (x-4) - \ frac (\ left (2x-3 \ right) \ left ( x-1 \ дясно)) (2x-3) - \ frac (\ ляво (x + 2 \ дясно) \ ляво (2-5x \ дясно)) (x + 2) = \\ = \ ляво (x + 5 \ дясно) - \ ляво (x-1 \ дясно) - \ ляво (2-5x \ дясно) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ край (матрица) \]

Отговор: $ 5x + $ 4.

Както виждате, нищо сложно. Малко математика в 7-8 клас - това е всичко. Смисълът на всички трансформации е да се получи нещо просто от сложен и страшен израз, с който е лесно да се работи.

Това обаче не винаги ще бъде така. Затова сега ще разгледаме по-сериозен проблем.

Но първо, нека да разберем как да доведем две дроби до общ знаменател. Алгоритъмът е изключително прост:

1. Фактор и двата знаменателя;
2. Помислете за първия знаменател и добавете към него факторите, които са във втория знаменател, но не и в първия. Полученият продукт ще бъде общият знаменател;
3. Разберете какви фактори липсват за всяка от първоначалните дроби, така че знаменателите да станат равни на общите.

Може би този алгоритъм ще ви се стори просто текст, в който има "много букви". Затова ще анализираме всичко с конкретен пример.

Задача. Опростете израза:

\ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ вдясно) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ вдясно) \]

Решение. По-добре е да решавате такива големи проблеми на части. Нека напишем какво има в първата скоба:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]

За разлика от предишния проблем, тук всичко не е толкова просто със знаменателите. Нека вземем предвид всеки един от тях.

Квадратният тричлен $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ не може да бъде разложен на множители, тъй като уравнението $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ няма корени (дискриминантът е отрицателен ). Оставяме го непроменено.

Вторият знаменател - кубичният полином $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - при внимателно разглеждане е разликата на кубчетата и може лесно да се разложи според съкратените формули за умножение:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно) \]

Нищо друго не може да бъде разложено на множители, тъй като в първата скоба има линеен бином, а във втората има вече позната ни конструкция, която няма реални корени.

И накрая, третият знаменател е линеен бином, който не може да бъде разложен. По този начин нашето уравнение ще приеме вида:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) - \ frac (1) (x-2) \]

Съвсем очевидно е, че общият знаменател ще бъде точно $ \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $ и за да намалим всички дроби към него, трябва да умножите първата дроб на $ \ left (x-2 \ right) $, а последната на $ \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $. След това остава само да дадете следното:

\ [\ begin (matrix) \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ дясно)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ вляво (x-2 \ надясно) \ наляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) - \ frac (1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ надясно)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ ляво (x-2 \ дясно) + \ ляво (((x) ^ (2)) + 8 \ дясно) - \ ляво (((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ дясно)) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ дясно)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ вляво (x-2 \ вдясно) \ наляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ вляво (x-2 \ вдясно) \ вляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)). \\ \ край (матрица) \]

Обърнете внимание на втория ред: когато знаменателят вече е общ, т.е. вместо три отделни дроби написахме една голяма, не трябва веднага да се отървавате от скобите. По-добре е да напишете допълнителен ред и да отбележите, че, да речем, имаше минус пред третата дроб - и няма да отиде никъде, а ще "виси" в числителя пред скобите. Това ще ви спести много грешки.

Е, в последния ред е полезно да се изчисли числителят. Освен това това е точен квадрат и съкратените формули за умножение отново ни идват на помощ. Ние имаме:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ вляво (x-2 \ вдясно) \ вляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно)) = \ frac (((\ вляво (x-2 \ вдясно)) ^ (2))) (\ вляво (x-2 \ надясно) \ наляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ вдясно) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Сега нека се справим с втората скоба по същия начин. Тук просто ще напиша верига от равенства:

\ [\ начало (матрица) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) + \ frac (2 \ cdot \ ляво (x + 2 \ дясно)) (\ ляво (x-2 \ дясно) ) \ cdot \ left (x + 2 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2) \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ ляво (x-2 \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно) ). \\ \ край (матрица) \]

Връщаме се към първоначалния проблем и разглеждаме продукта:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ дясно) \ ляво (x + 2 \ дясно)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Отговор: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

Значението на тази задача е същото като на предишната: да покаже колко рационални изрази могат да бъдат опростени, ако подходите разумно към тяхното преобразуване.

И сега, когато знаете всичко това, нека да преминем към основната тема на днешния урок – решаване на дробно-рационални неравенства. Освен това след такава подготовка самите неравенства ще се спукат като ядки. :)

Основният начин за решаване на рационални неравенства

Има поне два подхода за решаване на рационални неравенства. Сега ще разгледаме един от тях - този, който е общоприет в училищния курс по математика.

Но първо нека отбележим една важна подробност. Всички неравенства са разделени на два вида:

1. Строги: $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ или $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $;
2. Lax: $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ или $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

Неравенствата от втория тип могат лесно да се сведат до първия, както и уравнението:

Това малко "добавка" $ f \ left (x \ right) = 0 $ води до такова неприятно нещо като запълнени точки - ние ги опознахме още в метода на интервала. В противен случай няма разлики между строги и нестроги неравенства, така че нека анализираме универсалния алгоритъм:

1. Съберете всички ненулеви елементи от едната страна на знака за неравенство. Например отляво;
2. Приведете всички дроби до общ знаменател (ако има няколко такива дроби), доведете подобни. След това, ако е възможно, го разложете в числителя и знаменателя. По един или друг начин получаваме неравенство от вида $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $, където отметката е знакът за неравенство.
3. Задайте числителя на нула: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Решаваме това уравнение и получаваме корените $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... След това изискваме че знаменателят не е равен на нула: $ Q \ left (x \ right) \ ne 0 $. Разбира се, всъщност трябва да решим уравнението $ Q \ left (x \ right) = 0 $ и получаваме корените $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (в реални проблеми едва ли ще има повече от три такива корена).
4. Маркираме всички тези корени (със и без звездички) на една числова права, като корените без звезди се боядисват и със звездички се издълбават.
5. Поставяме знаците плюс и минус, избираме интервалите, от които се нуждаем. Ако неравенството изглежда като $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $, тогава отговорът ще бъде интервалите, отбелязани с "плюс". Ако $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $, тогава погледнете интервалите с "минус".

Практиката показва, че най-големи трудности причиняват точки 2 и 4 - компетентни трансформации и правилно подреждане на числата във възходящ ред. Е, и на последната стъпка, бъдете изключително внимателни: ние винаги поставяме знаци, разчитайки на най-новото неравенство, написано преди да преминем към уравнения... Това е универсално правило, наследено от метода на интервала.

И така, схемата е налице. Да се ​​упражняваме.

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

Решение. Пред нас е строго неравенство от вида $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $. Очевидно точки 1 и 2 от нашата схема вече са завършени: всички елементи на неравенството са събрани вляво, нищо не трябва да се довежда до общ знаменател. Затова отиваме директно към третата точка.

Задайте числителя на нула:

\ [\ начало (подравняване) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ край (подравняване) \]

И знаменателят:

\ [\ начало (подравняване) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ край (подравняване) \]

Много хора се придържат към това място, защото на теория трябва да напишете $ x + 7 \ ne 0 $, както изисква ODZ (не можете да разделите на нула, това е всичко). Но в края на краищата в бъдеще ще извадим точките, дошли от знаменателя, така че не е нужно да усложнявате изчисленията си още веднъж - пишете знак за равенство навсякъде и не се притеснявайте. Никой няма да намали точките за това. :)

Четвърта точка. Отбелязваме получените корени на числовата права:

Всички точки са пробити, защото неравенството е строго

Забележка: всички точки са пробити, тъй като първоначалното неравенство е строго... И тук няма значение дали тези точки са дошли от числителя или от знаменателя.

Е, гледаме знаците. Вземете произволно число $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. Например, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (но бихте могли да вземете $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ или $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). Получаваме:

Така че, вдясно от всички корени, имаме положителна област. И при преминаване през всеки корен знакът се променя (това не винаги ще бъде така, но повече за това по-късно). Затова преминаваме към петата точка: подредете знаците и изберете този, от който се нуждаете:

Връщаме се към последното неравенство, което беше преди решението на уравненията. Всъщност съвпада с оригиналния, тъй като не сме извършили никакви трансформации в тази задача.

Тъй като е необходимо да се реши неравенство от формата $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $, защрих интервала $ x \ in \ left (-7; 3 \ right) $ - той е единственият отбелязани със знак минус. Това е отговорът.

Отговор: $ x \ в \ вляво (-7; 3 \ вдясно) $

Това е всичко! Трудно е? Не, не е трудно. Вярно, и задачата беше лесна. Сега нека да усложним малко мисията и да разгледаме едно по-„фантастично“ неравенство. При решаването му вече няма да давам толкова подробни изчисления - просто ще очертая ключовите моменти. Като цяло ще го подредим по същия начин, както би се направило на самостоятелна работа или изпит. :)

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (\ наляво (7x + 1 \ надясно) \ наляво (11x + 2 \ надясно)) (13x-4) \ ge 0 \]

Решение. Това е свободно неравенство от формата $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Всички ненулеви елементи са събрани отляво, няма различни знаменатели. Нека да преминем към уравненията.

Числител:

\ [\ начало (подравняване) & \ наляво (7x + 1 \ надясно) \ наляво (11x + 2 \ надясно) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ край (подравняване) \]

знаменател:

\ [\ начало (подравняване) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ край (подравняване) \]

Не знам какъв вид извратен беше този проблем, но корените не се получиха много добре: би било трудно да ги поставим на числовата права. И ако с корена $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ всичко е повече или по-малко ясно (това е единственото положително число - то ще бъде вдясно), тогава $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ и $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ изискват допълнително проучване: кое е по-голям?

Можете да разберете, например, така:

\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

Надявам се, че няма нужда да обяснявам защо числовата дроб $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Ако е необходимо, препоръчвам да запомните как да извършвате действия с дроби.

И маркираме и трите корена на числовата права:

Точките от числителя се попълват, от знаменателя - издълбани

Поставяме табели. Например, можете да вземете $ ((x) _ (0)) = 1 $ и да разберете знака в този момент:

\ [\ начало (подравняване) & f \ left (x \ right) = \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4); \\ & f \ ляво (1 \ дясно) = \ frac (\ ляво (7 \ cdot 1 + 1 \ дясно) \ ляво (11 \ cdot 1 + 2 \ дясно)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ край (подравняване) \]

Последното неравенство преди уравненията беше $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, така че ни интересува знакът плюс.

Получихме две групи: едното е обикновен сегмент, а другото е отворен лъч на числовата права.

Отговор: $ x \ in \ left [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ right] \ bigcup \ left (\ frac (4) (13); + \ infty \ надясно ) $

Важна забележка относно числата, които заменяме със знака в най-десния интервал. Изобщо не е необходимо да се заменя число близо до най-десния корен. Можете да вземете милиарди или дори "плюс-безкрайност" - в този случай знакът на полинома в скоби, числител или знаменател се определя изключително от знака на водещия коефициент.

Нека разгледаме отново функцията $ f \ left (x \ right) $ от последното неравенство:

В нейния запис има три полинома:

\ [\ начало (подравняване) & ((P) _ (1)) \ ляво (x \ дясно) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ ляво (x \ дясно) = 11x + 2; \\ & Q \ ляво (x \ дясно) = 13x-4. \ край (подравняване) \]

Всички те са линейни биноми и всички водещи коефициенти (числа 7, 11 и 13) са положителни. Следователно, когато се заменят много големи числа, самите полиноми също ще бъдат положителни. :)

Това правило може да изглежда твърде сложно, но само в началото, когато анализираме много лесни проблеми. При сериозни неравенства заместването плюс-безкрайност ще ни позволи да разберем знаците много по-бързо от стандартните $ ((x) _ (0)) = 100 $.

Много скоро ще се изправим пред подобни предизвикателства. Но първо, нека разгледаме алтернативен начин за решаване на дробно-рационални неравенства.

Алтернативен начин

Тази техника ми беше предложена от един от моите студенти. Аз самият никога не съм го използвал, но практиката показа, че много ученици наистина са по-удобни да решават неравенства по този начин.

Така че първоначалните данни са едни и същи. Необходимо е да се реши дробно-рационалното неравенство:

\ [\ frac (P \ вляво (x \ надясно)) (Q \ наляво (x \ надясно)) \ gt 0 \]

Нека помислим: как полиномът $ Q \ left (x \ right) $ е "по-лош" от полинома $ P \ left (x \ right) $? Защо трябва да разглеждаме отделни групи корени (със и без звездичка), да мислим за точките на пробиване и т.н.? Просто е: една дроб има област на дефиниция, чиято съгласна има смисъл само когато знаменателят й е различен от нула.

В противен случай не могат да се проследят разлики между числителя и знаменателя: ние също го приравняваме на нула, търсим корени, след което ги отбелязваме на числовата права. Така че защо да не замените дробната лента (всъщност знакът за деление) с обичайното умножение и да напишете всички изисквания на DHS под формата на отделно неравенство? Например, като това:

\ [\ frac (P \ наляво (x \ надясно)) (Q \ наляво (x \ надясно)) \ gt 0 \ Стрелка надясно \ наляво \ (\ начало (подравняване) & P \ наляво (x \ надясно) \ cdot Q \ ляво (x \ дясно) \ gt 0, \\ & Q \ ляво (x \ дясно) \ ne 0. \\ \ край (подравняване) \ дясно. \]

Моля, обърнете внимание: този подход ще сведе проблема до метода на интервалите, но изобщо няма да усложни решението. В крайна сметка все пак ще приравним полинома $ Q \ left (x \ right) $ на нула.

Нека да видим как работи това при реални проблеми.

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

Решение. И така, нека преминем към метода на разстояние:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Стрелка надясно \ наляво \ (\ начало (подравняване) & \ наляво (x + 8 \ надясно) \ наляво (x-11 \ надясно) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ край (подравняване) \ вдясно. \]

Първото неравенство е лесно за решаване. Ние просто приравняваме всяка скоба към нула:

\ [\ начало (подравняване) & x + 8 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (2)) = 11. \\ \ край (подравняване) \]

Второто неравенство също е просто:

Отбелязваме точките $ ((x) _ (1)) $ и $ ((x) _ (2)) $ на числовата права. Всички те са издълбани, тъй като неравенството е строго:

Дясната точка беше пробита два пъти. Това е добре.

Забележете точката $ x = 11 $. Оказва се, че е "пробиван два пъти": от една страна, ние го издълбаваме заради тежестта на неравенството, а от друга - заради допълнителното изискване на DHS.

Във всеки случай това ще бъде просто точка на пробиване. Следователно подреждаме знаците за неравенството $ \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 $ - последното, което видяхме, преди да започнем да решаваме уравненията:

Интересуваме се от положителни области, тъй като решаваме неравенство от формата $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ - и ги засенчваме. Остава само да запишете отговора.

Отговор. $ x \ в \ вляво (- \ infty; -8 \ вдясно) \ bigcup \ left (11; + \ infty \ вдясно) $

Използвайки това решение като пример, бих искал да ви предупредя срещу често срещана грешка сред начинаещите студенти. А именно: никога не разширявайте скоби в неравенства! Напротив, опитайте се да вземете предвид всичко - това ще опрости решението и ще ви спести много проблеми.

Сега нека опитаме нещо малко по-трудно.

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (\ ляво (2x-13 \ дясно) \ ляво (12x-9 \ дясно)) (15x + 33) \ le 0 \]

Решение. Това е свободно неравенство от формата $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, така че трябва да обърнете специално внимание на запълнените точки тук.

Преминаваме към метода на разстояние:

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & \ ляво (2x-13 \ дясно) \ ляво (12x-9 \ дясно) \ ляво (15x + 33 \ дясно) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ край (подравняване) \ вдясно. \]

Да преминем към уравнението:

\ [\ начало (подравняване) & \ наляво (2x-13 \ надясно) \ наляво (12x-9 \ надясно) \ наляво (15x + 33 \ надясно) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Стрелка надясно ((x ) _ (1)) = 6,5; \\ & 12x-9 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (2)) = 0,75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ край (подравняване) \]

Вземаме предвид допълнително изискване:

Отбелязваме всички получени корени на числовата права:

Ако една точка е едновременно пробита и защрихована, тя се счита за пробита точка.

Отново две точки се "припокриват" - това е нормално, винаги ще бъде така. Важно е само да се разбере, че точката, отбелязана както пробита, така и попълнена, всъщност е пробита. Тези. "Издълбаването" е по-силно действие от "рисуването".

Това е абсолютно логично, защото чрез издълбаване маркираме точки, които влияят на знака на функцията, но сами по себе си не участват в отговора. И ако в даден момент номерът престане да ни удовлетворява (например не попадне в ODZ), ние го изтриваме от разглеждане до самия край на проблема.

Общо взето, спрете да философствате. Поставяме знаци и рисуваме върху онези интервали, които са маркирани със знак минус:

Отговор. $ x \ в \ вляво (- \ infty; -2,2 \ вдясно) \ bigcup \ left [0,75; 6,5 \ вдясно] $.

И отново бих искал да насоча вниманието ви към това уравнение:

\ [\ ляво (2x-13 \ дясно) \ ляво (12x-9 \ дясно) \ ляво (15x + 33 \ дясно) = 0 \]

Още веднъж: никога не отваряйте скоби в уравнения като това! Само ще затрудните себе си. Запомнете: произведението е нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Следователно това уравнение просто се „разпада“ на няколко по-малки, които решихме в предишния проблем.

Като се има предвид множеството корени

От предишните задачи е лесно да се види, че хлабавите неравенства са най-трудни, защото в тях трябва да следите запълнените точки.

Но има още по-голямо зло в света – това са множество корени в неравенствата. Тук вече трябва да следвате не някакви запълнени точки там - тук знакът за неравенство може да не се промени внезапно при преминаване през същите тези точки.

Не сме разглеждали нищо подобно в този урок (въпреки че подобен проблем често се срещаше в интервалния метод). Затова въвеждаме нова дефиниция:

Определение. Коренът на уравнението $ ((\ вляво (x-a \ вдясно)) ^ (n)) = 0 $ е равен на $ x = a $ и се нарича корен на $ n $ тата кратност.

Всъщност не се интересуваме особено от точната стойност на кратността. Единственото, което има значение, е дали точно това число $ n $ е четно или нечетно. защото:

1. Ако $ x = a $ е корен от четна кратност, тогава знакът на функцията не се променя при преминаване през нея;
2. И обратно, ако $ x = a $ е корен от нечетна кратност, тогава знакът на функцията ще се промени.

Всички предишни проблеми, разгледани в този урок, са частен случай на корена на нечетната множественост: навсякъде кратността е равна на единица.

И по-нататък. Преди да започнем да решаваме проблеми, бих искал да насоча вниманието ви към една тънкост, която ще изглежда очевидна за опитен ученик, но вкарва много начинаещи в ступор. а именно:

Коренът на множественост $ n $ възниква само когато целият израз се повдигне на тази степен: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $, а не $ \ left (((x) ^ ( n )) - a \ вдясно) $.

Още веднъж: скобата $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ ни дава корен $ x = a $ с множественост $ n $, но скобата $ \ left (((x) ^ ( n)) -a \ right) $ или, както често се случва, $ (a - ((x) ^ (n))) $ ни дава корена (или два корена, ако $ n $ е четно) на първа кратност, без значение какво е равно на $ n $.

Сравнете:

\ [((\ наляво (x-3 \ вдясно)) ^ (5)) = 0 \ Стрелка надясно x = 3 \ наляво (5k \ надясно) \]

Тук всичко е ясно: цялата скоба беше повдигната на пета степен, така че на изхода получихме корен от пета степен. И сега:

\ [\ наляво (((x) ^ (2)) - 4 \ надясно) = 0 \ Стрелка надясно ((x) ^ (2)) = 4 \ Стрелка надясно x = \ pm 2 \]

Имаме два корена, но и двата имат първа кратност. Или ето още едно:

\ [\ наляво (((x) ^ (10)) - 1024 \ надясно) = 0 \ Стрелка надясно ((x) ^ (10)) = 1024 \ Стрелка надясно x = \ pm 2 \]

И не се бъркайте от десетата степен. Основното е, че 10 е четно число, така че на изхода имаме два корена и двамата отново имат първата кратност.

Като цяло, бъдете внимателни: множествеността се случва само когато степента се отнася до цялата скоба, а не само до променливата.

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ вляво (6-x \ надясно)) ^ (3)) \ вляво (x + 4 \ вдясно)) ((\ вляво (x + 7 \ вдясно)) ^ (5))) \ ge 0 \]

Решение. Нека се опитаме да го разрешим по алтернативен начин - чрез прехода от конкретното към произведението:

\ [\ left \ (\ начало (подравняване) & ((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right) \ cdot ( (\ вляво (x + 7 \ вдясно)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ вляво (x + 7 \ вдясно)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ край (подравняване ) \ правилно. \]

Ние се занимаваме с първото неравенство, използвайки интервалния метод:

\ [\ начало (подравняване) & ((x) ^ (2)) ((\ вляво (6-x \ вдясно)) ^ (3)) \ наляво (x + 4 \ вдясно) \ cdot ((\ вляво ( x + 7 \ вдясно)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Стрелка надясно x = 0 \ наляво (2k \ надясно); \\ & ((\ ляво (6-x \ дясно)) ^ (3)) = 0 \ Стрелка надясно x = 6 \ ляво (3k \ дясно); \\ & x + 4 = 0 \ Стрелка надясно x = -4; \\ & ((\ вляво (x + 7 \ вдясно)) ^ (5)) = 0 \ Стрелка надясно x = -7 \ наляво (5k \ вдясно). \\ \ край (подравняване) \]

Освен това решаваме второто неравенство. Всъщност вече сме го решили, но за да не намерят грешки в решението, по-добре е да го решим отново:

\ [((\ вляво (x + 7 \ вдясно)) ^ (5)) \ ne 0 \ Стрелка надясно x \ ne -7 \]

Моля, обърнете внимание: в последното неравенство няма множества. Всъщност: каква разлика има колко пъти да зачеркнеш точката $ x = -7 $ на числовата права? Поне веднъж, поне пет - резултатът ще бъде същият: пробита точка.

Нека отбележим всичко, което имаме на числовата права:

Както казах, точката $ x = -7 $ в крайна сметка ще бъде пробита. Множествата се подреждат въз основа на решението на неравенството по метода на интервалите.

Остава да поставите знаците:

Тъй като точката $ x = 0 $ е корен от четно множество, знакът не се променя при преминаване през нея. Останалите точки имат нечетна кратност и всичко е просто с тях.

Отговор. $ x \ в \ вляво (- \ infty; -7 \ вдясно) \ bigcup \ left [-4; 6 \ вдясно] $

Забележете отново $ x = 0 $. Поради равномерното множество възниква интересен ефект: вляво от него всичко е боядисано, вдясно също, а самата точка е напълно боядисана.

В резултат на това не е необходимо да се изолира при запис на отговор. Тези. няма нужда да пишете нещо като $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ (въпреки че формално този отговор също ще бъде правилен). Вместо това веднага пишем $ x \ in \ left [-4; 6 \ right] $.

Такива ефекти са възможни само за корени с четна кратност. И в следващата задача ще се сблъскаме с противоположната „проява“ на този ефект. Готов?

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (((\ вляво (x-3 \ надясно)) ^ (4)) \ вляво (x-4 \ надясно)) ((\ вляво (x-1 \ вдясно)) ^ (2)) \ вляво (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ вдясно)) \ ge 0 \]

Решение. Този път ще вървим по стандартната схема. Задайте числителя на нула:

\ [\ начало (подравняване) & ((\ ляво (x-3 \ дясно)) ^ (4)) \ ляво (x-4 \ дясно) = 0; \\ & ((\ вляво (x-3 \ вдясно)) ^ (4)) = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (1)) = 3 \ наляво (4k \ надясно); \\ & x-4 = 0 \ Стрелка надясно ((x) _ (2)) = 4. \\ \ край (подравняване) \]

И знаменателят:

\ [\ начало (подравняване) & ((\ ляво (x-1 \ дясно)) ^ (2)) \ ляво (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ дясно) = 0; \\ & ((\ наляво (x-1 \ вдясно)) ^ (2)) = 0 \ Стрелка надясно x_ (1) ^ (*) = 1 \ наляво (2k \ надясно); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Стрелка надясно x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ край (подравняване) \]

Тъй като решаваме слабо неравенство от формата $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, корените от знаменателя (които са със звездички) ще бъдат пробити, а от числителя ще бъдат попълнени.

Поставяме знаци и люкове зони, маркирани с "плюс":

Точка $ x = 3 $ е изолирана. Това е част от отговора

Преди да запишете окончателния отговор, разгледайте внимателно снимката:

1. Точката $ x = 1 $ има четна кратност, но самата тя е пробита. Следователно, той ще трябва да бъде изолиран в отговора: трябва да напишете $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $, а не $ x \ in \ вляво (- \ infty; 2 \ вдясно) $.
2. Точката $ x = 3 $ също има четна кратност и се попълва едновременно. Подредбата на знаците показва, че самата точка ни устройва, но крачка наляво и надясно - и се озоваваме в зона, която определено не ни устройва. Такива точки се наричат ​​изолирани и се записват като $ x \ в \ left \ (3 \ right \) $.

Обединяваме всички получени парчета в общ набор и записваме отговора.

Отговор: $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ надясно) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; 5 \ right) $

Определение. Решаването на неравенството означава намерете много от всичките му решения, или докажете, че този набор е празен.

Изглежда: какво може да бъде неразбираемо тук? Да, фактът е, че наборите могат да се определят по различни начини. Нека запишем още веднъж отговора на последния проблем:

Четем буквално написаното. Променливата "x" принадлежи на определен набор, който се получава чрез комбиниране (знак "U") на четири отделни набора:

• Интервалът $ \ вляво (- \ infty; 1 \ вдясно) $, което буквално означава "всички числа по-малки от едно, но не и самото едно";
• $ \ Ляво (1; 2 \ дясно) $ интервал, т.е. „Всички числа в диапазона от 1 до 2, но не и самите числа 1 и 2“;
• Множеството $ \ left \ (3 \ right \) $, състоящо се от едно число - три;
• Интервал $ \ вляво [4; 5 \ вдясно) $, съдържащ всички числа в диапазона от 4 до 5, както и самите четири, но не и петте.

Третият момент представлява интерес тук. За разлика от интервалите, които дефинират безкрайни набори от числа и обозначават само границите на тези множества, множеството $ \ left \ (3 \ right \) $ определя точно едно число чрез изброяване.

За да разберем, че просто изброяваме конкретни числа, включени в набора (а не задаваме граници или нещо друго), се използват къдрави скоби. Например, нотацията $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ означава точно "набор, състоящ се от две числа: 1 и 2", но не и сегмент от 1 до 2. При никакви обстоятелства не трябва да бъркате тези понятия .

Правилото за събиране на кратности

Е, в заключение на днешния урок, малко тенекия от Павел Бердов. :)

Внимателните ученици вероятно вече са задали въпроса: какво ще се случи, ако в числителя и знаменателя се намерят същите корени? И така, следното правило работи:

Събират се множествата на едни и същи корени. Е винаги. Дори ако този корен се среща и в числителя, и в знаменателя.

Понякога е по-добре да решиш, отколкото да говориш. Следователно решаваме следния проблем:

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ вляво (((x) ^ (2)) - 16 \ надясно) \ вляво (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ вдясно)) \ ge 0 \]

\ [\ начало (подравняване) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ край (подравняване) \]

Все още нищо особено. Задайте знаменателя на нула:

\ [\ начало (подравняване) & \ вляво (((x) ^ (2)) - 16 \ вдясно) \ наляво (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ вдясно) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Стрелка надясно x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Стрелка надясно x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ край (подравняване) \]

Намерени са два еднакви корена: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ и $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. И двете са първи фолд. Следователно, ние ги заменяме с един корен $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, но вече с кратност 1 + 1 = 2.

Освен това има и идентични корени: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ и $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Те също са от първа кратност, така че остава само $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ с кратност 1 + 1 = 2.

Моля, обърнете внимание: и в двата случая сме оставили точно „пробития“ корен, а „запълненият“ е изхвърлен от разглеждане. Защото още в началото на урока се съгласихме: ако една точка е едновременно пробита и боядисана, тогава все още я считаме за пробити.

В резултат на това имаме четири корена и всички бяха извадени:

\ [\ начало (подравняване) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ вляво (2k \ вдясно); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ ляво (2k \ дясно). \\ \ край (подравняване) \]

Маркираме ги на числовата права, като вземем предвид кратността:

Поставяме табели и боядисваме областите, които ни интересуват:

Всичко. Без изолирани точки и други извращения. Можете да запишете отговора.

Отговор. $ x \ в \ вляво (- \ infty; -7 \ вдясно) \ bigcup \ left (4; + \ infty \ вдясно) $.

Правило за умножение

Понякога възниква още по-неприятна ситуация: уравнение с множество корени се повишава до определена степен. В този случай множествата на всички оригинални корени се променят.

Това е рядкост, поради което повечето студенти нямат опит в решаването на подобни проблеми. И правилото е следното:

Когато уравнението се повдигне на степен $ n $, кратностите на всичките му корени също се увеличават с $ n $ пъти.

С други думи, възлагането в степен води до умножения, умножени по една и съща степен. Нека разгледаме това правило с пример:

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (x ((\ вляво (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ надясно)) ^ (2)) ((\ вляво (x-4 \ вдясно)) ^ (5)) ) ((\ вляво (2-x \ вдясно)) ^ (3)) ((\ вляво (x-1 \ вдясно)) ^ (2))) \ le 0 \]

Решение. Задайте числителя на нула:

Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. С първия фактор всичко е ясно: $ x = 0 $. Но тогава започват проблемите:

\ [\ начало (подравняване) & ((\ вляво (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ вдясно)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ вляво (2k \ вдясно); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ ляво (2k \ дясно) \ ляво (2k \ дясно) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ ляво (4k \ дясно) \\ \ край (подравняване) \]

Както можете да видите, уравнението $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ има един корен от втората кратност: $ x = 3 $. Тогава цялото уравнение е на квадрат. Следователно кратността на корена ще бъде $ 2 \ cdot 2 = 4 $, което накрая записахме.

\ [((\ наляво (x-4 \ вдясно)) ^ (5)) = 0 \ Стрелка надясно x = 4 \ наляво (5k \ надясно) \]

Няма проблеми и със знаменателя:

\ [\ начало (подравняване) & ((\ ляво (2-x \ дясно)) ^ (3)) ((\ ляво (x-1 \ дясно)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ ляво (2-x \ дясно)) ^ (3)) = 0 \ Стрелка надясно x_ (1) ^ (*) = 2 \ ляво (3k \ дясно); \\ & ((\ ляво (x-1 \ дясно)) ^ (2)) = 0 \ Стрелка надясно x_ (2) ^ (*) = 1 \ ляво (2k \ дясно). \\ \ край (подравняване) \]

Общо получихме пет точки: две пробити и три пълни. В числителя и знаменателя няма съвпадащи корени, така че просто ги маркираме на числовата права:

Подреждаме знаците, като вземем предвид множествата и рисуваме върху интервалите, които ни интересуват:

Отново една изолирана точка и една пробита

Поради корени на равномерна множественост, отново получихме няколко "нестандартни" елемента. Това е $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $, а не $ x \ in \ left [0; 2 \ right) $, както и изолираната точка $ x \ в \ ляв \ (3 \ дясно \) $.

Отговор. $ x \ in \ left [0; 1 \ надясно) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; + \ infty \ right) $

Както виждате, всичко не е толкова трудно. Основното нещо е вниманието. Последният раздел на този урок се фокусира върху трансформациите - точно тези, които обсъждахме в самото начало.

Предварителни преобразувания

Неравенствата, които обсъждаме в този раздел, не са сложни. Въпреки това, за разлика от предишните задачи, тук ще трябва да приложите умения от теорията на рационалните дроби – разлагане на множители и свеждане до общ знаменател.

Обсъдихме този въпрос подробно в самото начало на днешния урок. Ако не сте сигурни, че разбирате за какво става дума, силно препоръчвам да се върнете и да повторите. Защото няма смисъл да се тъпчат методи за решаване на неравенства, ако "плуваш" при преобразуването на дроби.

В домашната работа, между другото, също ще има много подобни задачи. Те са поставени в отделен подраздел. И там ще намерите много нетривиални примери. Но това ще бъде в домашната работа, а сега нека анализираме няколко такива неравенства.

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

Решение. Преместете всичко наляво:

\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

Довеждаме до общ знаменател, отваряме скобите, даваме подобни термини в числителя:

\ [\ начало (подравняване) & \ frac (x \ cdot x) (\ left (x-1 \ right) \ cdot x) - \ frac (\ left (x-2 \ right) \ left (x-1 \) дясно)) (x \ cdot \ ляво (x-1 \ дясно)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ вляво (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ надясно)) (x \ вляво (x-1 \ вдясно)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ вляво (x-1 \ надясно)) \ le 0. \\\ край (подравняване) \]

Сега имаме класическо дробно-рационално неравенство, чието решение вече не е трудно. Предлагам да го реша по алтернативен метод - чрез метода на интервалите:

\ [\ начало (подравняване) & \ ляво (3x-2 \ дясно) \ cdot x \ cdot \ ляво (x-1 \ дясно) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ край (подравняване) \]

Не забравяйте ограничението, което идва от знаменателя:

Маркираме всички числа и ограничения на числовата права:

Всички корени имат първа кратност. Няма проблем. Просто поставяме знаците и рисуваме върху областите, от които се нуждаем:

Това е всичко. Можете да запишете отговора.

Отговор. $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ надясно) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ right) $.

Разбира се, това беше само пример. Затова сега ще разгледаме проблема по-сериозно. И между другото, нивото на тази задача е доста съвместимо със самостоятелна и контролна работа по тази тема в 8 клас.

Задача. Решете неравенството:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

Решение. Преместете всичко наляво:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

Преди да намалим и двете дроби до общ знаменател, разлагаме тези знаменатели на множители. Ами ако излязат същите скоби? С първия знаменател е лесно:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (x + 9 \ дясно) \]

Второто е малко по-трудно. Чувствайте се свободни да поставите постоянен фактор в скобите, където се появява дробът. Запомнете: оригиналният полином имаше цели коефициенти, така че има голяма вероятност факторизацията също да има цели коефициенти (всъщност винаги ще бъде така, освен когато дискриминантът е ирационален).

\ [\ начало (подравняване) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (x- \ frac (2) (3) \ дясно) = \\ & = \ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (3x-2 \ дясно) \ край (подравняване) \]

Както можете да видите, има обща скоба: $ \ left (x-1 \ right) $. Връщаме се към неравенството и довеждаме двете дроби до общ знаменател:

\ [\ начало (подравняване) & \ frac (1) (\ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (x + 9 \ надясно)) - \ frac (1) (\ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (3x-2 \ дясно)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ ляво (3x-2 \ дясно) -1 \ cdot \ ляво (x + 9 \ надясно)) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) ) \ ляво (3x-2 \ дясно)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (x + 9 \ дясно) \ ляво (3x-2 \ дясно)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (x + 9 \ дясно) \ ляво (3x-2 \ дясно)) \ ge 0; \\ \ край (подравняване) \]

Задайте знаменателя на нула:

\ [\ начало (подравняване) & \ ляво (x-1 \ дясно) \ ляво (x + 9 \ дясно) \ ляво (3x-2 \ дясно) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ край ( подравняване) \]

Без множества или съвпадащи корени. Отбелязваме четири числа на права линия:

Поставяме табели:

Записваме отговора.

Отговор: $ x \ in \ left (- \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ дясно) $.

Всичко! Така, тогава прочетох до този ред. :)

В статията ще разгледаме решение на неравенствата... Ще ви разкажем по достъпен начин за как да се конструира решение на неравенствата, с ясни примери!

Преди да разгледаме решението на неравенствата с помощта на примери, нека разберем основните понятия.

Обща информация за неравенствата

Неравенствосе нарича израз, в който функциите са свързани чрез знаци на релация>,. Неравенствата са както числови, така и азбучни.
Неравенствата с два знака на връзката се наричат ​​двойни, с три - тройни и т.н. Например:
a (x)> b (x),
a (x) a (x) b (x),
а (х) б (х).
a (x) Неравенствата, съдържащи знака> или или не са строги.
Решаване на неравенствотое всяка стойност на промяната, при която това неравенство е вярно.
"Решете неравенството„означава, че е необходимо да се намерят много от всичките му решения. Има различни методи за решаване на неравенства... За решения на неравенствотоизползвайте числовата права, която е безкрайна. Например, решение на неравенството x> 3 е интервал от 3 до + и числото 3 не е включено в този интервал, следователно точка на права линия се означава с празен кръг, тъй като неравенството е строго.
+
Отговорът ще бъде: x (3; +).
Стойността x = 3 не е включена в набора от решения, така че скобите са кръгли. Знакът за безкрайност винаги е заобиколен от скоби. Знакът означава "принадлежност".
Помислете как да решите неравенствата, като използвате друг пример със знак:
х 2
-+
Стойността x = 2 е включена в набора от решения, следователно скобата е квадратна и точка на правата се обозначава с запълнен кръг.
Отговорът ще бъде: x. Графиката на набора от решения е показана по-долу.

Двойни неравенства

Когато две неравенства са свързани с една дума и, или, тогава се образува двойно неравенство... Двойно неравенство като
-3 и 2x + 5 ≤ 7
Наречен свързанизащото използва и... Писане -3 Двойните неравенства могат да бъдат решени с помощта на принципите на събиране и умножение на неравенствата.

Пример 2Решете -3 РешениеНие имаме

Множеството от решения (x | x ≤ -1 или x> 3). Можем също да напишем решение, използвайки нотация на интервал и символ за сливанияили включвания на двете групи: (-∞ -1] (3, ∞). Графиката на набора от решения е показана по-долу.

За да тествате, начертайте y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 и y 3 = 1. Обърнете внимание, че за (x | x ≤ -1 или x> 3), y 1 ≤ y 2 или y 1> y 3.

Неравенства с абсолютна стойност (модул)

Неравенствата понякога съдържат модули. За решаването им се използват следните свойства.
За a> 0 и алгебричен израз x:
| х | | х | > a е еквивалентно на x или x> a.
Подобни твърдения за | x | ≤ a и | x | ≥ а.

Например,
| х | | у | ≥ 1 е еквивалентно на y ≤ -1 или y ≥ 1;
и | 2x + 3 | ≤ 4 е еквивалентно на -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4Решете всяко от следните неравенства. Начертайте набора от решения.
а) | 3x + 2 | б) | 5 - 2x | ≥ 1

Решение
а) | 3x + 2 |