نحوه پیدا کردن ریشه در شکاف در مثلثات یافتن ریشه های معادله که متعلق به قطعه است. روش های مختلف برای انتخاب ریشه

مشکل شماره 1

منطق ساده است: با وجود این واقعیت که اکنون توابع مثلثاتی آرگومان پیچیده تری دارند، مانند قبل عمل خواهیم کرد!

اگر بخواهیم معادله ای از شکل زیر را حل کنیم:

سپس پاسخ زیر را می نویسیم:

یا (از زمانی که)

اما اکنون در نقش خود عبارت زیر را داریم:

سپس می توانید بنویسید:

هدف ما با شما این است که سمت چپ را به سادگی و بدون "ناخالصی" بسازیم!

بیایید به تدریج از شر آنها خلاص شویم!

ابتدا مخرج را حذف می کنیم: برای این کار برابری خود را در:

حالا بیایید با تقسیم هر دو قسمت از شر آن خلاص شویم:

حالا بیایید از شر این هشت خلاص شویم:

عبارت به دست آمده را می توان به صورت 2 سری راه حل نوشت (با قیاس با یک معادله درجه دوم، که در آن تفکیک کننده را اضافه یا کم می کنیم)

ما باید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم! واضح است که باید مرتب شود.

ابتدا سری اول را در نظر بگیرید:

واضح است که اگر بگیریم، در نتیجه اعداد مثبت می گیریم و آنها برای ما جالب نیستند.

پس باید آن را منفی بگیرید. اجازه دهید.

وقتی ریشه قبلاً وجود دارد:

و ما باید بزرگترین منفی را پیدا کنیم !! یعنی دیگر رفتن به سمت منفی معنا ندارد. و بزرگترین ریشه منفی برای این سریال خواهد بود.

حالا سری دوم را بررسی می کنیم:

و دوباره جایگزین:، سپس:

علاقه ای ندارد!

اونوقت دیگه افزایش معنی نداره! کم می کنیم! پس بگذار:

مناسب است!

اجازه دهید. سپس

سپس - بزرگترین ریشه منفی!

پاسخ:

مشکل شماره 2

بدون توجه به استدلال کسینوس مختلط، دوباره حل می کنیم:

اکنون دوباره به سمت چپ بیان می کنیم:

هر دو طرف را در ضرب می کنیم

هر دو طرف را به دو قسمت تقسیم می کنیم

تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به سمت راست ببرید و علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهید.

ما دوباره 2 سری ریشه داریم، یکی با و دیگری با.

ما باید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم. سری اول را در نظر بگیرید:

واضح است که اولین ریشه منفی را در دریافت خواهیم کرد، برابر است و بزرگترین ریشه منفی در 1 سری خواهد بود.

برای سری دوم

اولین ریشه منفی نیز در و برابر خواهد بود. از آنجا که، پس بزرگترین ریشه منفی معادله است.

پاسخ: .

مشکل شماره 3

بدون توجه به استدلال مماس پیچیده حل کنید.

به نظر می رسد که هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

مانند قبل، در سمت چپ بیان می کنیم:

خب خیلی خوبه فقط یک سری ریشه اینجا هست! بزرگترین منفی را دوباره پیدا کنید.

معلوم است که اگر بگذاریم معلوم می شود. و این ریشه برابر است.

پاسخ:

حال سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید.

مشق شب یا 3 کار برای یک راه حل مستقل.

تصمیمات - معادله شی ته.
تصمیمات - معادله شی ته.
در ot-ve-those na-pi-shi-te، کوچکترین po-li-tel-root.
تصمیمات - معادله شی ته.
در ot-ve-those na-pi-shi-te، کوچکترین po-li-tel-root.

آماده؟ چک کردن. من کل الگوریتم راه حل را با جزئیات شرح نمی دهم، به نظر می رسد که قبلاً در بالا به آن توجه کافی شده است.

خوب، همه چیز درست است؟ آه، آن سینوس های بد، همیشه مشکلاتی برای آنها وجود دارد!

خب حالا می توانید ساده ترین معادلات مثلثاتی را حل کنید!

بررسی راه حل ها و پاسخ ها:

مشکل شماره 1

اجازه دهید بیان کنیم

کوچکترین ریشه مثبت به دست می آید اگر قرار دهیم، از آن پس

پاسخ:

مشکل شماره 2

کوچکترین ریشه مثبت زمانی به دست می آید که.

برابر خواهد بود.

پاسخ: .

مشکل شماره 3

وقتی می گیریم، وقتی می گیریم.

پاسخ: .

این دانش به شما کمک می کند تا بسیاری از مشکلاتی را که در امتحان با آن روبرو خواهید شد حل کنید.

اگر برای نمره "5" درخواست می دهید، فقط باید به خواندن مقاله بروید سطح میانی،که به حل معادلات مثلثاتی پیچیده تر اختصاص خواهد یافت (تکلیف C1).

سطح متوسط

در این مقاله توضیح خواهم داد حل معادلات مثلثاتی از نوع پیچیده ترو نحوه انتخاب ریشه آنها. در اینجا من بر روی موضوعات زیر ایجاد خواهم کرد:

معادلات مثلثاتی برای سطح ورودی (به بالا مراجعه کنید).

معادلات مثلثاتی پیچیده تر اساس مسائل پیچیده تر هستند. در آنها، هم باید خود معادله را به صورت کلی حل کرد و هم ریشه های این معادله را که متعلق به یک بازه مشخص مشخص است، پیدا کرد.

حل معادلات مثلثاتی به دو زیر کار خلاصه می شود:

حل معادله
انتخاب ریشه

لازم به ذکر است که مورد دوم همیشه مورد نیاز نیست، اما همچنان انتخاب در اکثر نمونه ها مورد نیاز است. و اگر لازم نیست، می توانید به جای آن همدردی کنید - این بدان معنی است که این معادله به خودی خود بسیار پیچیده است.

تجربه من در تجزیه وظایف C1 نشان می دهد که آنها معمولا به این دسته ها تقسیم می شوند.

چهار دسته از وظایف با پیچیدگی افزایش یافته (C1 سابق)

معادلاتی که به فاکتورسازی کاهش می یابد.
معادلات تقلیل به فرم.
معادلات حل شده با تغییر متغیر.
معادلاتی که به دلیل غیرمنطقی یا مخرج نیاز به انتخاب بیشتر ریشه دارند.

به بیان ساده: اگر برخورد کردید یکی از سه نوع اول معادلهپس خودت را خوش شانس بدان برای آنها، به عنوان یک قاعده، شما علاوه بر این باید ریشه های متعلق به یک بازه خاص را انتخاب کنید.

اگر با معادله ای از نوع 4 برخورد کردید، خوش شانس ترید: باید کمی طولانی تر و دقیق تر با آن صحبت کنید، اما اغلب نیازی به انتخاب ریشه های اضافی در آن نیست. با این وجود، من این نوع معادلات را در مقاله بعدی تجزیه و تحلیل خواهم کرد و این یکی به حل معادلات سه نوع اول اختصاص دارد.

معادلات فاکتورینگ

مهمترین چیزی که برای حل معادلات از این نوع باید به خاطر بسپارید این است

همانطور که تمرین نشان می دهد، به عنوان یک قاعده، این دانش کافی است. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال 1. معادله کاهش به فاکتورسازی با استفاده از فرمول های کاهش و سینوس دو زاویه

معادله Res-shi-te
Nay-di-te همه ریشه های این معادله

در اینجا، همانطور که قول داده بودم، فرمول های ریخته گری کار می کنند:

سپس معادله من به شکل زیر خواهد بود:

سپس معادله من به شکل زیر در می آید:

ممکن است یک دانش آموز کوته فکر بگوید: و حالا هر دو قسمت را کوتاه می کنم، ساده ترین معادله را می گیرم و از زندگی لذت می برم! و سخت در اشتباه خواهد بود!

به یاد داشته باشید: هرگز هر دو بخش از معادله مثلثات را با تابعی که شامل یک ناشناخته است کاهش ندهید! بنابراین شما ریشه را از دست می دهید!

پس چیکار میکنی؟ بله، همه چیز ساده است، همه چیز را در یک جهت حرکت دهید و عامل مشترک را حذف کنید:

خوب، ما آن را در عوامل فاکتور می گیریم، عجله کن! حالا تصمیم می گیریم:

معادله اول ریشه دارد:

و دومی:

این قسمت اول مشکل را کامل می کند. اکنون باید ریشه ها را انتخاب کنیم:

شکاف به این صورت است:

یا می توان آن را اینگونه نیز نوشت:

خوب، بیایید ریشه ها را در نظر بگیریم:

اول، بیایید با سری اول کار کنیم (و راحت تر است، چه می توانیم بگوییم!)

از آنجایی که فاصله ما کاملاً منفی است، نیازی به گرفتن غیر منفی نیست، در عین حال آنها ریشه های غیر منفی می دهند.

اجازه دهید، پس از آن - کمی بیش از حد، مناسب نیست.

اجازه دهید، پس از آن - دوباره ضربه نخورد.

یک تلاش دیگر - سپس - وجود دارد، ضربه! اولین ریشه پیدا شد!

دوباره شلیک می کنم: بعد - دوباره زدم!

خوب، یک بار دیگر:: - این قبلا یک پرواز است.

بنابراین از سری اول 2 ریشه متعلق به فاصله:.

ما در حال کار با سری دوم هستیم (در حال ساخت تا حدی طبق قاعده):

زیر شلیک!

دوباره شلیک کن!

باز هم کم کاری!

فهمیدم!

پرواز!

بنابراین، ریشه های زیر متعلق به من هستند:

با این الگوریتم است که تمام مثال های دیگر را حل خواهیم کرد. بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم.

مثال 2. معادله ای که با استفاده از فرمول های کاهش به فاکتورسازی کاهش می یابد

معادله را حل کنید

راه حل:

باز هم فرمول های بدنام ریخته گری:

باز هم سعی نکنید کم کنید!

معادله اول ریشه دارد:

و دومی:

حالا دوباره ریشه ها را جستجو کنید.

من از سری دوم شروع می کنم، من قبلاً همه چیز را در مورد آن از مثال قبلی می دانم! نگاه کنید و مطمئن شوید که ریشه های مربوط به شکاف به شرح زیر است:

حالا قسمت اول و ساده تر است:

اگر - مناسب است

اگر - نیز خوب است

اگر - در حال حاضر پرواز.

سپس ریشه ها به صورت زیر خواهد بود:

کار مستقل. 3 معادله

خوب، آیا تکنیک برای شما واضح است؟ حل معادلات مثلثاتی دیگر چندان دشوار به نظر نمی رسد؟ سپس خودتان به سرعت مشکلات زیر را حل کنید و سپس من و شما مثال های دیگر را حل خواهیم کرد:

معادله را حل کنید
نای-دی-آنها همه ریشه های این معادله هستند که به بازه متصل می شوند.
معادله Res-shi-te
ریشه های معادله را مشخص کنید
معادله Res-shi-te
Nay-di-آنها همه ریشه های این معادله-non-niy، متصل-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku هستند.

معادله 1.

و دوباره فرمول ریخته گری:

سری اول ریشه ها:

سری دوم ریشه ها:

شروع انتخاب برای شکاف

پاسخ: ، .

معادله 2. بررسی کار مستقل

گروه بندی بسیار دشوار به عوامل (من از فرمول سینوس زاویه دوگانه استفاده خواهم کرد):

سپس یا

این یک راه حل کلی است. حالا باید ریشه ها را انتخاب کنیم. مشکل اینجاست که نمی‌توانیم مقدار دقیق زاویه را که کسینوس آن برابر با یک چهارم است بگوییم. بنابراین، من نمی توانم فقط از شر آرکوزین خلاص شوم - این بسیار شرم آور است!

کاری که من می‌توانم انجام دهم این است که بفهمم چطور، پس چگونه.

بیایید یک جدول بسازیم: interval:

خوب، از طریق جستجوهای دردناک، به این نتیجه ناامیدکننده رسیدیم که معادله ما در بازه مشخص شده یک ریشه دارد: \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi

معادله 3. بررسی کار مستقل.

یک معادله ترسناک با این حال، می توان آن را به سادگی با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی حل کرد:

کاهش 2:

بیایید ترم اول را با ترم دوم و سوم را با چهارم گروه بندی کنیم و عوامل مشترک را حذف کنیم:

واضح است که معادله اول ریشه ندارد و اکنون معادله دوم را در نظر بگیرید:

به طور کلی ، من قصد داشتم کمی بعد در مورد حل چنین معادلاتی صحبت کنم ، اما از آنجایی که مشخص شد ، پس کاری برای انجام دادن وجود ندارد ، باید حل شود ...

معادلات فرم:

این معادله با تقسیم هر دو قسمت بر:

بنابراین، معادله ما یک سری ریشه دارد:

لازم است آنهایی از آنها را که به فاصله:.

بیایید دوباره یک جدول بسازیم، همانطور که قبلا انجام دادم:

پاسخ: .

معادلاتی که به شکل کاهش می یابند:

خوب، اکنون زمان آن است که به دسته دوم معادلات برویم، به خصوص که من قبلاً توضیح داده ام که حل معادلات مثلثاتی از نوع جدید شامل چه چیزی است. اما تکرار آن معادله شکل اضافی نخواهد بود

با تقسیم هر دو قسمت بر کسینوس حل می شود:

معادله Res-shi-te
ریشه های معادله-نه-نیا، وقتی-بیش از دروغ-از-برش را نشان دهید.
معادله Res-shi-te
ریشه های معادله-not-nia، when-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku را نشان دهید.

مثال 1.

اولی بسیار ساده است. به سمت راست حرکت کنید و فرمول کسینوس دو زاویه را اعمال کنید:

آها! معادله فرم:. من هر دو قسمت را تقسیم می کنم

الک کردن ریشه ها را انجام می دهیم:

شکاف:

پاسخ:

مثال 2.

همه چیز نیز بسیار پیش پا افتاده است: بیایید براکت های سمت راست را گسترش دهیم:

هویت مثلثاتی پایه:

سینوس دو زاویه:

در نهایت دریافت می کنیم:

ریزش ریشه: شکاف.

پاسخ: .

خوب، چگونه تکنیک را دوست دارید، خیلی پیچیده نیست؟ امیدوارم اینطور نباشه. می‌توانیم فوراً رزرو کنیم: در شکل خالص خود، معادلات، که بلافاصله به معادله مماس کاهش می‌یابند، بسیار نادر هستند. به طور معمول، این انتقال (تقسیم بر کسینوس) تنها بخشی از یک مسئله پیچیده تر است. در اینجا یک مثال برای شما برای تمرین آورده شده است:

معادله Res-shi-te
نای-دی-آنها همه ریشه های این معادله-نه-نیا، پیوست-بر-له-زا-شی-کو هستند.

بیایید بررسی کنیم:

معادله بلافاصله حل می شود، کافی است هر دو قسمت را به زیر تقسیم کنیم:

حذف ریشه:

پاسخ: .

به هر شکلی، ما هنوز با معادلاتی از نوع که اخیراً تحلیل کردیم مواجه نشده ایم. با این حال، خیلی زود است که بتوانیم آن را کامل کنیم: یک "لایه" دیگر از معادلات وجود دارد که ما آن را تحلیل نکرده ایم. بنابراین:

حل معادلات مثلثاتی با تغییر یک متغیر

همه چیز در اینجا شفاف است: ما از نزدیک به معادله نگاه می کنیم، آن را تا حد امکان ساده می کنیم، جایگزینی می کنیم، حل می کنیم، جایگزینی معکوس می کنیم! در کلام، همه چیز بسیار آسان است. بیایید در عمل ببینیم:

مثال.

حل معادله:.
نای-دی-آنها همه ریشه های این معادله-نه-نیا، پیوست-بر-له-زا-شی-کو هستند.

خب، اینجا خود جایگزینی التماس می کند که دست ما باشد!

سپس معادله ما به این تبدیل می شود:

معادله اول ریشه دارد:

و دومی اینهاست:

اکنون ریشه های متعلق به بازه را خواهیم یافت

پاسخ: .

بیایید یک مثال کمی پیچیده تر را با هم مرور کنیم:

معادله Res-shi-te
ریشه های معادله داده شده-non-niy، when-over-le-za-shi-n-e-zhut-ku را نشان دهید.

در اینجا جایگزینی بلافاصله قابل مشاهده نیست، علاوه بر این، خیلی واضح نیست. بیایید ابتدا فکر کنیم: چه کاری می توانیم انجام دهیم؟

مثلاً می توانیم تصور کنیم

و در همان زمان

سپس معادله من به شکل زیر در می آید:

حالا توجه، تمرکز:

بیایید هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنیم:

ناگهان من و شما یک معادله درجه دوم برای! بیایید جایگزینی ایجاد کنیم، سپس دریافت می کنیم:

معادله دارای ریشه های زیر است:

سری دوم روت های ناخوشایند، اما نمی شود کمک کرد! ریشه ها را در بازه انتخاب می کنیم.

ما نیز باید آن را در نظر بگیریم

از آن زمان و سپس

پاسخ:

برای تثبیت، قبل از اینکه خودتان مشکلات را حل کنید، تمرین دیگری برای شما وجود دارد:

معادله Res-shi-te
Nay-di-آنها همه ریشه های این معادله-non-niy، متصل-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku هستند.

در اینجا باید چشمان خود را باز نگه دارید: اکنون مخرج هایی داریم که می توانند صفر باشند! بنابراین، شما باید به ویژه به ریشه ها توجه کنید!

اول از همه، باید معادله را تبدیل کنم تا بتوانم یک جایگزین مناسب انجام دهم. من نمی توانم در حال حاضر چیزی بهتر از بازنویسی مماس بر حسب سینوس و کسینوس فکر کنم:

اکنون من از کسینوس به سینوس بر اساس هویت مثلثاتی اولیه می روم:

و در نهایت، من همه چیز را به یک مخرج مشترک می آورم:

حالا می توانم به معادله بروم:

اما در (یعنی در).

اکنون همه چیز برای جایگزینی آماده است:

سپس یا

با این حال، لطفا توجه داشته باشید که اگر، پس در همان زمان!

چه کسی از این رنج می برد؟ مشکل با مماس، زمانی که کسینوس صفر باشد (تقسیم بر صفر) تعریف نشده است.

بنابراین، ریشه های معادله به شرح زیر است:

حالا ریشه ها را در فاصله الک می کنیم:


	- مناسب است
	- نیروی وحشیانه

بنابراین، معادله ما دارای یک ریشه در بازه است و برابر است با.

می بینید: ظاهر مخرج (و همچنین مماس، منجر به مشکلات خاصی با ریشه ها می شود! در اینجا باید بیشتر مراقب باشید!).

خوب، من و شما تقریباً تجزیه و تحلیل معادلات مثلثاتی را به پایان رسانده ایم، بسیار کمی باقی مانده است - برای حل مستقل دو مسئله. اینجا اند.

معادله را حل کنید
نای-دی-آنها همه ریشه های این معادله-نه-نیا، پیوست-بر-له-زا-شی-کو هستند.
معادله Res-shi-te
ریشه های این معادله را که به برش متصل است، نشان دهید.

تصمیم گرفت؟ خیلی سخت نیست؟ بیایید بررسی کنیم:

ما طبق فرمول های کاهش کار می کنیم:
در معادله جایگزین کنید:
بیایید همه چیز را از نظر کسینوس بازنویسی کنیم تا جایگزینی راحت تر باشد:
اکنون جایگزینی آسان است:
واضح است که این یک ریشه خارجی است، زیرا معادله هیچ راه حلی ندارد. سپس:
ما در بازه به دنبال ریشه هایی هستیم که نیاز داریم
پاسخ: .
در اینجا جایگزینی بلافاصله قابل مشاهده است:
سپس یا

- مناسب است! - مناسب است!
- مناسب است! - مناسب است!
- خیلی! - خیلی هم!
پاسخ:

خب حالا تمام شد! اما حل معادلات مثلثاتی به همین جا ختم نمی شود، ما با سخت ترین موارد باقی می مانیم: زمانی که غیرمنطقی بودن در معادلات یا انواع "مخرج های پیچیده" وجود دارد. نحوه حل چنین وظایفی را در مقاله برای سطح پیشرفته در نظر خواهیم گرفت.

سطح پیشرفته

علاوه بر معادلات مثلثاتی که در دو مقاله قبلی مورد بحث قرار گرفت، دسته دیگری از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که نیاز به تحلیل دقیق تری دارند. این مثال‌های مثلثاتی یا غیرمنطقی یا مخرج دارند که تحلیل آنها را دشوارتر می‌کند.... با این حال، ممکن است به خوبی با این معادلات در قسمت C مقاله امتحان مواجه شوید. با این حال، یک خط نقره ای وجود دارد: برای چنین معادلاتی، به عنوان یک قاعده، این سوال مطرح نمی شود که کدام یک از ریشه های آن متعلق به یک فاصله معین است. اجازه دهید در اطراف بوش ضرب و شتم نکنیم، بلکه فقط مثال های مثلثاتی.

مثال 1.

معادله را حل کنید و ریشه های متعلق به بخش را پیدا کنید.

راه حل:

ما یک مخرج داریم که نباید صفر باشد! سپس حل این معادله مانند حل سیستم است

بیایید هر یک از معادلات را حل کنیم:

و حالا دومی:

حالا بیایید نگاهی به سریال بیندازیم:

واضح است که این گزینه برای ما مناسب نیست، زیرا در این مورد مخرج صفر می شود (به فرمول ریشه های معادله دوم مراجعه کنید)

اگر، با این حال، پس همه چیز مرتب است، و مخرج صفر نیست! سپس ریشه های معادله به صورت زیر است:،.

اکنون ریشه های متعلق به بازه را انتخاب می کنیم.


	- مناسب نیست	- مناسب است
	- مناسب است	- مناسب است
	نیروی بی رحم	نیروی بی رحم

سپس ریشه ها به شرح زیر است:

ببینید، حتی ظهور یک نویز کوچک به شکل مخرج به طور قابل توجهی بر حل معادله تأثیر می گذارد: ما یک سری ریشه را رها کردیم که مخرج را صفر می کند. اگر با مثال‌های مثلثاتی مواجه شوید که غیرمنطقی هستند، وضعیت می‌تواند حتی سخت‌تر شود.

مثال 2.

معادله را حل کنید:

راه حل:

خب حداقل نیازی به انتخاب روت نیست و این خوبه! بیایید ابتدا معادله را بدون توجه به غیرمنطقی بودن حل کنیم:

آیا این همه است؟ نه، افسوس، خیلی آسان خواهد بود! باید به خاطر داشت که فقط اعداد غیر منفی می توانند زیر ریشه باشند. سپس:

راه حل این نابرابری:

اکنون باید دریابیم که آیا برخی از ریشه های معادله اول به طور تصادفی به جایی رسیده اند که نابرابری برآورده نشده است.

برای انجام این کار، می توانید دوباره از جدول استفاده کنید:


	: ، ولی	نه!
		آره!
		آره!

بنابراین، یکی از ریشه ها از من "بیرون افتاد"! اگه قرار بدی معلوم میشه سپس پاسخ را می توان به صورت زیر نوشت:

پاسخ:

می بینید، ریشه نیاز به توجه دقیق تری دارد! برای پیچیده تر کردن مسائل: حالا اجازه دهید یک تابع مثلثاتی زیر ریشه داشته باشم.

مثال 3.

مانند قبل: ابتدا هر کدام را جداگانه حل می کنیم و سپس به کارهایی که انجام داده ایم فکر می کنیم.

حالا معادله دوم:

اکنون دشوارترین کار این است که بفهمیم اگر ریشه های معادله اول را در آنجا جایگزین کنیم، مقادیر منفی زیر ریشه حسابی به دست می آیند یا خیر:

عدد را باید رادیان فهمید. از آنجایی که رادیان ها حدود درجه هستند، رادیان ها حدود درجه هستند. این گوشه کوارتر دوم است. علامت کسینوس ربع دوم چیست؟ منهای. و سینوس؟ یک مثبت. پس در مورد این عبارت چه می توان گفت:

کمتر از صفر است!

یعنی ریشه معادله نیست.

حالا نوبت است.

بیایید این عدد را با صفر مقایسه کنیم.

کوتانژانت تابعی است که در 1 چهارم کاهش می یابد (هر چه آرگومان کوچکتر باشد، کوتانژانت بزرگتر است). رادیان ها تقریباً درجه هستند. در همان زمان

از آن زمان، و از این رو
,

پاسخ: .

آیا می تواند حتی دشوارتر باشد؟ خواهش میکنم! اگر تابع مثلثاتی همچنان زیر ریشه باشد و قسمت دوم معادله باز هم تابع مثلثات باشد مشکل تر خواهد بود.

نمونه های مثلثاتی بیشتر بهتر است، به ادامه مطلب مراجعه کنید:

مثال 4.

ریشه به دلیل محدودیت کسینوس مناسب نیست

حالا دومی:

در عین حال، با تعریف ریشه:

باید دایره واحد را به خاطر بسپاریم: یعنی آن ربع هایی که سینوس کمتر از صفر است. چه ربع هایی هستند؟ سوم و چهارم. سپس ما به آن دسته از راه حل های معادله اول که در سه ماهه سوم یا چهارم قرار دارند علاقه مند خواهیم شد.

سری اول در تقاطع ربع سوم و چهارم ریشه تولید می کند. سری دوم که کاملاً مخالف آن است، ریشه هایی را ایجاد می کند که در مرز ربع اول و دوم قرار دارند. بنابراین این سریال به درد ما نمی خورد.

پاسخ: ،

و دوباره مثال های مثلثاتی با "غیر منطقی دشوار"... نه تنها تابع مثلثاتی را دوباره زیر ریشه داریم، بلکه اکنون در مخرج هم قرار دارد!

مثال 5.

خوب، هیچ کاری نمی توان کرد - ما مانند قبل عمل می کنیم.

حالا با مخرج کار می کنیم:

من نمی‌خواهم نابرابری مثلثاتی را حل کنم، و بنابراین حیله‌گرانه عمل می‌کنم: سری ریشه‌هایم را می‌گیرم و با نامساوی جایگزین می‌کنم:

اگر - حتی، پس داریم:

از آنجایی که تمام زوایای دید در ربع چهارم قرار دارند. و دوباره سوال مقدس: علامت سینوس در ربع چهارم چیست؟ منفی. سپس نابرابری

اگر فرد است، پس:

گوشه در کدام ربع قرار دارد؟ این گوشه کوارتر دوم است. سپس همه گوشه ها دوباره گوشه های کوارتر دوم هستند. سینوس آنجا مثبت است. فقط آنچه شما نیاز دارید! از این رو، سریال:

مناسب است!

با سری دوم ریشه ها به همین ترتیب برخورد کنید:

ما در نابرابری خود جایگزین می کنیم:

اگر - حتی، پس

کرنرهای کوارتر اول سینوس اونجا مثبته پس سری مناسبه. حالا اگر - فرد است، پس:

همچنین مناسب است!

خوب حالا جواب را یادداشت می کنیم!

پاسخ:

خب، این شاید زمان‌برترین مورد بود. حالا من مشکلاتی را برای راه حل خودتان به شما پیشنهاد می کنم.

تمرین

تمام ریشه های معادله را که به بخش تعلق دارند، حل کرده و پیدا کنید.

راه حل ها:

معادله اول:
یا
ریشه ODZ:
معادله دوم:
انتخاب ریشه هایی که به شکاف تعلق دارند
پاسخ:

یا
یا
ولی

در نظر گرفتن:. اگر - حتی، پس
- مناسب نیست!
اگر - عجیب و غریب،: - مناسب است!
این بدان معنی است که معادله ما دارای سری ریشه های زیر است:
یا
انتخاب ریشه در بازه:


	- مناسب نیست	- مناسب است
	- مناسب است	- مقدار زیادی
	- مناسب است	مقدار زیادی

پاسخ: ، .

یا
از زمانی که مماس تعریف نشده است. ما بلافاصله این سری ریشه ها را دور می اندازیم!

بخش دوم:

در عین حال، با توجه به ODZ، لازم است که

ما ریشه های موجود در معادله اول را بررسی می کنیم:

اگر علامت این است:

گوشه های کوارتر اول که مماس مثبت است. مناسب نیست!
اگر علامت این است:

زاویه ربع چهارم در آنجا مماس منفی است. مناسب است. پاسخ را یادداشت می کنیم:

پاسخ: ، .

ما در این مقاله به مثال های پیچیده مثلثاتی پرداخته ایم، اما شما باید خودتان معادلات را حل کنید.

خلاصه و فرمول های اساسی

معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن به شدت تحت علامت تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

دو روش برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد:

راه اول استفاده از فرمول هاست.

راه دوم از طریق دایره مثلثاتی است.

به شما امکان می دهد زاویه ها را اندازه گیری کنید، سینوس ها، کسینوس ها و موارد دیگر را بیابید.

آمادگی برای سطح پروفایل آزمون دولتی واحد ریاضی. مطالب مفید در مورد مثلثات، سخنرانی های ویدئویی نظری بزرگ، تجزیه و تحلیل ویدئویی مسائل و مجموعه ای از تکالیف از سال های گذشته.

مواد مفید

انتخاب ویدئو و دوره های آنلاین

فرمول های مثلثاتی

تصویر هندسی فرمول های مثلثاتی

توابع قوس ساده ترین معادلات مثلثاتی

معادلات مثلثاتی

نظریه لازم برای حل مسائل
الف) معادله $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) تعلق دارند، پیدا کنید (2); - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ سمت راست] $.
الف) معادله $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بازه $ \ left [-3 \ pi هستند را بیابید. - \ pi \ سمت راست] $.
معادله $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $ را حل کنید.
الف) معادله $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بازه $ \ left [- \ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $.
الف) معادله $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $ را حل کنید.
معادله $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $ را حل کنید.
معادله $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); - \ pi \ سمت راست) $.
الف) معادله $ \ cos 2x = \ sin \ چپ (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $.
الف) معادله $ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) = \ sqrt3 \ cos x $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) تعلق دارند، پیدا کنید (2); -2 \ pi \ سمت راست] $.

تجزیه و تحلیل ویدئویی وظایف

ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ sqrt (3) هستند، بیابید. \ sqrt (20) \ سمت راست] $.

ب) تمام ریشه های این معادله را که به بخش $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); -3 \ pi \ سمت راست] $.

ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ sqrt (3) هستند، بیابید. \ sqrt (30) \ سمت راست] $.

الف) معادله $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ چپ (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ راست) $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); - \ pi \ سمت راست) $.

الف) معادله $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ چپ (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ راست) = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) تعلق دارند را بیابید (2); 4 \ pi \ سمت راست] $.

ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [\ log_5 2 تعلق دارند، بیابید. \ log_5 20 \ سمت راست] $.

الف) معادله $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) = 9 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); - \ pi \ سمت راست] $.

الف) معادله $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بازه $ \ left [\ pi هستند، بیابید. \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $.

الف) معادله $ \ چپ (\ dfrac (1) (49) \ راست) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بازه $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); 3 \ pi \ سمت راست] $.

الف) معادله $ \ sin x + \ چپ (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ راست) \ چپ (\ cos \ dfrac (x) (2) را حل کنید. + \ sin \ dfrac (x) (2) \ سمت راست) = 0 $.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بازه $ \ left [\ pi هستند، بیابید. \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $.

الف) معادله $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بازه $ \ left [-4 \ pi هستند، بیابید. - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $.

مجموعه ای از تکالیف سال های گذشته

الف) معادله $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بخش $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); -3 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اولیه)
الف) معادله $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ sqrt (3) هستند، بیابید. \ sqrt (30) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اولیه، روز رزرو)
الف) معادله $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ راست) = \ cos x $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-2 \ pi هستند، پیدا کنید. - \ dfrac (\ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ چپ (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ راست) $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [3 \ pi هستند، پیدا کنید. \ dfrac (9 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ \ sin x + 2 \ sin \ چپ (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ راست) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) هستند (2) بیابید. -2 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ چپ (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ راست) $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-4 \ pi هستند، پیدا کنید. - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ sin \ چپ (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ راست) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $ را حل کنید.
الف) معادله $ 2 \ sqrt3 \ sin \ چپ (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ راست) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [2 \ pi هستند را بیابید. \ dfrac (7 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ sin \ چپ (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ راست) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بخش $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); 4 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ \ sqrt2 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ right) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (7 \ pi) هستند (2) بیابید. 5 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ \ sqrt2 \ sin \ چپ (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ راست) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بخش $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); - \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ sin \ چپ (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ راست) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-3 \ pi هستند، پیدا کنید. - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ pi هستند، بیابید. \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ sin \ چپ (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ راست) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ pi هستند، بیابید. \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) هستند (2) بیابید. -2 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که به بخش $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) تعلق دارند، بیابید (2); -3 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ 2 \ sqrt2 \ sin \ چپ (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ راست) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-3 \ pi هستند، پیدا کنید. - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ sqrt (3) هستند، بیابید. \ sqrt (20) \ سمت راست] $. (USE-2018. موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ dfrac (\ pi) (2) است؛ \ \ pi \ right] $ را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ log_2 0 (,) 2؛ \ \ log_2 5 \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ log_2 0 (,) 1؛ \ 12 \ sqrt (5) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ 0 (،) 4 ^ (\ sin x) + 2 (،) 5 ^ (\ sin x) = 2 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
الف) معادله $ \ log_8 \ چپ (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ سمت راست) = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) است؛ \ 3 \ pi \ right] $ را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
الف) معادله $ \ log_4 \ چپ (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ راست) = x $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) است؛ \ 4 \ pi \ right] $ را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ log_2 ^ 2 \ چپ (\ sin x \ راست) - 5 \ log_2 \ چپ (\ sin x \ راست) - 3 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- 3 \ pi؛ \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
الف) معادله 81 $ ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- 4 \ pi؛ \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اصلی)
الف) معادله 8 $ ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2017، موج اولیه)
الف) معادله $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ sqrt (10) است؛ \ \ sqrt (99) \ right] $ نشان دهید. (USE-2016، موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله 6 $ \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [2; \ 2 (,) 5 \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ چپ (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ راست) + 1 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-4 \ pi؛ \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اصلی، روز رزرو)
الف) معادله $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ چپ (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ راست) $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) است؛ \ 3 \ pi \ right] $ را مشخص کنید. (USE-2016، موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-2 \ pi؛ \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اصلی)
الف) معادله 8 $ ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اولیه)
الف) معادله $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ چپ (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ راست) = 0.25 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-4 \ pi؛ \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اولیه)
الف) معادله $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-3 \ pi؛ \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2016، موج اولیه)
الف) معادله $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ چپ (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ right)) = \ sqrt (2) $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left $ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
الف) معادله $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ pi; \ 0 \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
الف) معادله $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
الف) معادله $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-3 \ pi؛ \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اصلی)
الف) معادله $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اولیه)
الف) معادله $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $ است را مشخص کنید. (USE-2015، موج اولیه)
الف) معادله $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) است را مشخص کنید. \ 4 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2014، موج اصلی)
الف) معادله $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ چپ (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ راست) - \ sin 2x = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) است را مشخص کنید. \ 3 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2014، موج اصلی)
الف) معادله $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ راست) + 1 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-3 \ pi است، مشخص کنید. \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2014، موج اصلی)
الف) معادله $ - \ sqrt (2) \ sin \ left (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ right) \ cdot \ sin x = \ cos x $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [\ dfrac (9 \ pi) (2) است را مشخص کنید. \ 6 \ pi \ سمت راست] $. (USE-2014، موج اولیه)
الف) معادله $ \ sin 2x = \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) است را مشخص کنید. \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2013، موج اصلی)
الف) معادله $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ right) - 2 = 0 $ را حل کنید.
ب) ریشه های این معادله را که متعلق به بخش $ \ left [-5 \ pi است، مشخص کنید. \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ سمت راست] $. (USE-2012، موج دوم)

هدف از درس:

آ) برای تثبیت توانایی حل ساده ترین معادلات مثلثاتی;

ب) آموزش انتخاب ریشه معادلات مثلثاتی از یک بازه معین

در طول کلاس ها.

1. به فعلیت رساندن دانش.

الف) بررسی تکالیف: به کلاس یک تکلیف پیش بینی داده شد - برای حل معادله و یافتن راهی برای انتخاب ریشه ها از یک بازه معین.

1) cos ایکس= -0.5، که در آن xI [-]. پاسخ:.

2) گناه ایکس=، جایی که xI. پاسخ: ؛ ...

3) cos 2 ایکس= -، جایی که хI. پاسخ:

دانش آموزان راه حل را روی تخته یادداشت می کنند، کسی که از نمودار استفاده می کند، کسی که از روش انتخاب استفاده می کند.

در این زمان کلاس به صورت شفاهی کار می کند

معنی عبارت را پیدا کنید:

الف) tg - sin + cos + sin. پاسخ 1.

ب) 2 آرکوس 0 + 3 آرکوس 1. پاسخ: ؟

ج) arcsin + arcsin. پاسخ:.

د) 5 آرکتان (-) - آرکوس (-). پاسخ:-.

- بیایید تکالیف تان را بررسی کنیم، دفترهای مشق هایتان را باز کنید.

برخی از شما با روش مناسب راه حلی پیدا کرده اید و برخی با نمودار.

2. نتیجه گیری در مورد چگونگی حل این تکالیف و بیان مسئله، یعنی پیام موضوع و هدف درس.

- الف) اگر فاصله زیادی داده شود حل آن به کمک انتخاب مشکل است.

- ب) روش گرافیکی نتایج دقیقی نمی دهد، نیاز به تایید دارد و زمان زیادی می برد.

- بنابراین، حداقل یک روش دیگر، جهانی ترین، باید وجود داشته باشد - بیایید سعی کنیم آن را پیدا کنیم. پس امروز سر کلاس چه کار کنیم؟ (یاد بگیرید که ریشه یک معادله مثلثاتی را در یک بازه مشخص انتخاب کنید.)

- مثال 1 (دانش آموز به تخته سیاه می رود)

cos ایکس= -0.5، که در آن xI [-].

سوال: پاسخ به این تکلیف به چه چیزی بستگی دارد؟ (از حل کلی معادله. حل را به صورت کلی بنویسیم). تصمیم روی تابلو نوشته می شود

х = + 2؟ k، که در آن k R.

- بیایید این راه حل را به صورت یک مجموعه بنویسیم:

- چه فکر می کنید، برای چه رکوردی از راه حل، انتخاب ریشه در فاصله مناسب است؟ (از مدخل دوم). اما این دوباره یک روش انتخاب است. برای دریافت پاسخ صحیح چه چیزهایی باید بدانیم؟ (شما باید مقادیر k را بدانید).

(برای یافتن k یک مدل ریاضی بسازیم).



از آنجایی که kI Z، پس k = 0، بنابراین ایکس= =	این نابرابری نشان می دهد که هیچ مقدار صحیحی از k وجود ندارد.

نتیجه:برای انتخاب ریشه از یک بازه معین هنگام حل یک معادله مثلثاتی، باید:

برای حل یک معادله از فرم گناه x = a, cos x = aنوشتن ریشه های معادله به عنوان دو سری ریشه راحت تر است.
برای حل معادلات فرم tg x = a, ctg x = aفرمول کلی ریشه ها را بنویسید.
برای هر جواب یک مدل ریاضی به شکل نابرابری مضاعف ترسیم کنید و مقدار صحیح پارامتر k یا n را پیدا کنید.
این مقادیر را جایگزین فرمول ریشه کرده و آنها را محاسبه کنید.

3. لنگر انداختن.

با استفاده از الگوریتم به دست آمده مثال های 2 و 3 را از تکالیف حل کنید. همزمان دو دانش آموز پشت تخته سیاه کار می کنند و به دنبال آن کار را بررسی می کنند.

در این مقاله سعی می کنم 2 راه را توضیح دهم انتخاب ریشه در معادله مثلثاتی: با استفاده از نامساوی و استفاده از دایره مثلثاتی. بیایید مستقیماً به یک مثال گویا برویم و به قضیه بپردازیم.

الف) معادله sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x) را حل کنید.
ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به بازه [-7Pi / 2; -2Pi]

بیایید نقطه a را حل کنیم.

ما از فرمول کاهش برای سینوس (Pi / 2 + x) = cos (x) استفاده می کنیم.

Sqrt (2) cos ^ 2x = cosx

Sqrt (2) cos ^ 2x - cosx = 0

Cosx (sqrt (2) cosx - 1) = 0

X1 = Pi / 2 + پین، n ∈ Z

Sqrt (2) cosx - 1 = 0

Cosx = 1 / مربع (2)

Cosx = sqrt (2) / 2

X2 = arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin، n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin، n ∈ Z

X2 = Pi / 4 + 2Pin، n∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2Pin، n∈ Z

نقطه b را حل می کنیم.

1) انتخاب ریشه با استفاده از نامساوی

در اینجا همه چیز به سادگی انجام می شود، ریشه های به دست آمده را در بازه داده شده جایگزین می کنیم [-7Pi / 2; -2Pi]، مقادیر صحیح را برای n پیدا کنید.

7Pi / 2 کمتر یا مساوی Pi / 2 + پین کمتر یا مساوی -2Pi

همه چیز را به یکباره به Pi تقسیم کنید

7/2 کمتر یا مساوی 1/2 است + n کمتر یا مساوی 2- است

7/2 - 1/2 کمتر یا مساوی n کمتر یا مساوی 2 - 1/2 -

4 کوچکتر یا مساوی n کمتر یا مساوی 2/5- است

عدد صحیح n در این محدوده -4 و -3 است. بنابراین ریشه های متعلق به این بازه Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2، Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2 خواهند بود.

به همین ترتیب، دو نابرابری دیگر ایجاد می کنیم

7Pi / 2 کمتر یا مساوی Pi / 4 + 2Pin کمتر یا مساوی -2Pi
-15/8 کمتر یا مساوی n کمتر یا مساوی 9/8- است

در این بازه n عدد صحیح وجود ندارد

7Pi / 2 کمتر یا مساوی -Pi / 4 + 2Pin کمتر یا مساوی -2Pi
-13/8 کمتر یا مساوی n کمتر یا مساوی 7/8- است

یک عدد صحیح n در این بازه 1- است. بنابراین ریشه انتخاب شده در این بازه -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4 است.

بنابراین پاسخ در نقطه b: -7Pi / 2، -5Pi / 2، -9Pi / 4

2) انتخاب ریشه با استفاده از دایره مثلثاتی

برای استفاده از این روش، باید بدانید که این دایره چگونه کار می کند. من سعی خواهم کرد به زبان ساده توضیح دهم که چگونه این را می فهمم. فکر می کنم در مدارس در درس های جبر این موضوع بارها با کلمات زیرکانه معلم توضیح داده شد، فرمول های پیچیده در کتاب های درسی. من شخصاً این را به عنوان دایره‌ای می‌دانم که می‌توان بی‌نهایت بار از آن عبور کرد، زیرا توابع سینوس و کسینوس تناوبی هستند.

یک بار خلاف جهت عقربه های ساعت برویم

بیایید 2 بار در خلاف جهت عقربه های ساعت دور بزنیم

بیایید 1 بار در جهت عقربه های ساعت برویم (مقادیر منفی خواهند بود)

بیایید به سوال خود برگردیم، باید ریشه ها را در بازه [-7Pi / 2 انتخاب کنیم. -2Pi]

برای رسیدن به اعداد -7Pi / 2 و -2Pi، باید دو بار در خلاف جهت عقربه های ساعت دور دایره بچرخید. برای یافتن ریشه های معادله در این بازه، باید تخمین زد و جایگزین کرد.

x = Pi / 2 + Pin را در نظر بگیرید. مقدار تقریبی n برای مقدار x در جایی در این بازه چقدر است؟ با جایگزین کردن، مثلاً -2، Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2 دریافت می کنیم، بدیهی است که این در بازه زمانی ما گنجانده نشده است، بنابراین ما کمتر از -3، Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2 می گیریم، مناسب است، بیایید دوباره -4 را امتحان کنیم، Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 نیز مناسب است.

با استدلال مشابه برای Pi / 4 + 2Pin و -Pi / 4 + 2Pin، ریشه دیگری -9Pi / 4 پیدا می کنیم.

مقایسه این دو روش

روش اول (استفاده از نابرابری ها) بسیار قابل اعتمادتر است و درک آن بسیار ساده تر است، اما اگر واقعاً با دایره مثلثاتی و روش انتخاب دوم برخورد جدی داشته باشید، انتخاب ریشه ها بسیار سریعتر خواهد بود، می توانید حدود 15 دقیقه در آن صرفه جویی کنید. امتحان.

الف) معادله را حل کنید:

ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به پاره هستند بیابید.

راه حل مشکل

این درس نمونه ای از حل معادله مثلثاتی را در نظر می گیرد که می توان از آن به عنوان مثالی برای حل مسائل نوع C1 در آمادگی برای امتحان ریاضی استفاده کرد.

اول از همه، محدوده تابع تعیین می شود - تمام مقادیر مجاز آرگومان. سپس در حین حل، تابع سینوس مثلثاتی با استفاده از فرمول کاهش به کسینوس تبدیل می شود. علاوه بر این، تمام اصطلاحات معادله به سمت چپ آن منتقل می شود، جایی که عامل مشترک از براکت ها خارج می شود. هر عامل برابر با صفر است که به شما امکان می دهد ریشه های معادله را تعیین کنید. سپس ریشه های متعلق به بخش داده شده با روش نوبت تعیین می شود. برای انجام این کار، یک حلقه روی دایره واحد ساخته شده از مرز سمت چپ بخش مشخص شده به سمت راست مشخص می شود. علاوه بر این، ریشه های یافت شده روی دایره واحد توسط بخش هایی با مرکز آن به هم متصل می شوند و نقاطی که این بخش ها حلقه را قطع می کنند مشخص می شود. این نقاط تقاطع پاسخ مورد نظر به بخش دوم مسئله است.