فرض کنید x یک نقطه یخ دلخواه در یک محله از یک نقطه ثابت x 0 باشد. تفاوت x - x 0 معمولاً افزایش متغیر مستقل (یا افزایش آرگومان) در نقطه x 0 نامیده می شود و با Δx نشان داده می شود. به این ترتیب،
Δx = x –x 0،
از آنجا نتیجه می گیرد که
افزایش تابع -تفاوت بین دو مقدار تابع
اجازه دهید تابع در = f (x)، زمانی تعریف می شود که مقدار آرگومان برابر باشد ایکس 0. به آرگومان افزایشی D بدهید ایکس، ᴛ.ᴇ. مقدار استدلال را برابر در نظر بگیرید ایکس 0 + D ایکس... فرض کنید این مقدار آرگومان نیز در محدوده این تابع باشد. سپس تفاوت D y = f (x 0 + D ایکس) – f (x 0)مرسوم است که تابع افزایش را فراخوانی کنیم. افزایش تابع f(ایکس) در نقطه ایکستابعی است که معمولاً با Δ نشان داده می شود x fروی متغیر جدید Δ ایکسکه تعریف میشود
Δ x f(Δ ایکس) = f(ایکس + Δ ایکس) − f(ایکس).
افزایش آرگومان و افزایش تابع را در نقطه x 0 پیدا کنید، اگر
مثال 2. افزایش تابع f (x) = x 2 را بیابید، اگر x = 1، ∆x = 0.1
راه حل: f (x) = x 2، f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2
افزایش تابع ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /
با جایگزینی مقادیر x = 1 و ∆x = 0.1، ∆f = 2 * 1 * 0.1 + (0.1) 2 = 0.2 + 0.01 = 0.21 بدست می آوریم.
افزایش آرگومان و افزایش تابع را در نقطه x 0 پیدا کنید
2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4
3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0.8
4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3.8
تعریف: مشتقتابع در یک نقطه، مرسوم است که حد (اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد) نسبت تابع افزایشی به آرگومان را افزایش می‌دهد، مشروط بر اینکه دومی به سمت صفر گرایش داشته باشد.
نام های مشتق زیر بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند:
به این ترتیب،
یافتن مشتق معمولاً نامیده می شود تفکیک ... معرفی کرد تعریف تابع متمایز: تابع f که در هر نقطه از یک بازه معین مشتق دارد، معمولاً در یک بازه معین، متمایز نامیده می شود.
اجازه دهید یک تابع در همسایگی یک نقطه تعریف شود. U(ایکس 0) می تواند به صورت نمایش داده شود
f(ایکس 0 + ساعت) = f(ایکس 0) + آه + o(ساعت)
اگر وجود داشته باشد
تعیین مشتق تابع در یک نقطه.
اجازه دهید تابع f (x)در بازه تعریف شده است (الف؛ ب)، و نقاط این فاصله هستند.
تعریف... تابع مشتق f (x)در یک نقطه، مرسوم است که حد نسبت افزایش تابع به آرگومان را افزایش در. اشاره شده است.
وقتی آخرین حد یک مقدار نهایی خاص را به خود می گیرد، آنگاه از وجود صحبت می کنند مشتق نهایی در نقطه... اگر حد نامتناهی است، پس می گویند مشتق در یک نقطه معین بی نهایت است... اگر حد وجود ندارد، پس مشتق تابع در این نقطه وجود ندارد.
عملکرد f (x)در نقطه ای که مشتق متناهی در آن باشد، متمایز نامیده می شود.
اگر تابع f (x)قابل تمایز در هر نقطه از یک بازه زمانی (الف؛ ب)، سپس تابع در این بازه متمایز نامیده می شود. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، هر نقطه ایکساز بین (الف؛ ب)ما می توانیم مقدار مشتق تابع را در این نقطه مرتبط کنیم، یعنی فرصت تعریف تابع جدیدی را داریم که به آن مشتق تابع می گویند. f (x)در فاصله زمانی (الف؛ ب).
عملیات یافتن مشتق معمولاً تمایز نامیده می شود.
1. افزایش آرگومان و افزایش تابع.اجازه دهید یک تابع داده شود. بیایید دو مقدار از آرگومان را بگیریم: اولیه 
و اصلاح شده که معمولا نشان داده می شود 
، جایی که 
- مقداری که با آن آرگومان در هنگام انتقال از مقدار اول به مقدار دوم تغییر می کند، نامیده می شود با افزایش استدلال
مقادیر آرگومان و مربوط به مقادیر تابع خاص: اولیه 
و اصلاح شد 
، ارزش 
، که به وسیله آن مقدار تابع با تغییر مقداری آرگومان تغییر می کند، فراخوانی می شود توسط افزایش تابع
2. مفهوم حد یک تابع در یک نقطه.
عدد 
حد تابع نامیده می شود 
هنگام تمایل به 
اگر برای هر عددی 
چنین عددی وجود دارد 
که برای همه 
ارضای نابرابری 
، نابرابری 
.
تعریف دوم: عددی را حد تابعی می گویند که گرایش به آن دارد، اگر برای هر عددی همسایگی نقطه وجود داشته باشد که برای هر یک از این همسایگی. نشان داده شده است 
.
3. توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک در یک نقطه. یک تابع بینهایت کوچک در یک نقطه تابعی است که وقتی به یک نقطه معین میل می کند حد آن صفر است. تابع بی نهایت بزرگ در یک نقطه تابعی است که حد آن وقتی به یک نقطه معین میل می کند با بی نهایت است.
4. قضایای اصلی حدود و پیامدهای آن (بدون اثبات).
نتیجه: عامل ثابت را می توان از علامت حد خارج کرد: 
اگر دنباله ها و 
پس همگرا می شوند و حد دنباله غیر صفر است
نتیجه: عامل ثابت را می توان از علامت حد خارج کرد.
11.اگر محدودیت هایی از توابع وجود دارد 
و 
و حد تابع غیر صفر است،
سپس حدی از نسبت آنها نیز وجود دارد، برابر با نسبت حدود توابع و:
.
12.اگر 
، سپس 
، برعکس نیز صادق است.
13. قضیه در حد دنباله میانی. اگر دنباله ها 
همگرا، و 
و 
سپس 
5. حد تابع در بی نهایت.
عدد a حد تابع در بی نهایت نامیده می شود (همانطور که x به بی نهایت میل می کند) اگر برای هر دنباله ای که به بی نهایت تمایل دارد 
دنباله ای از مقادیر مربوط به عدد است آ.
6. g حدود یک دنباله عددی است.
عدد آحد یک دنباله عددی برای هر عدد مثبت نامیده می شود 
یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n>
ننابرابری پابرجاست 
.
این به طور نمادین به صورت زیر تعریف می شود: 
نمایشگاه .
این واقعیت که تعداد آحد توالی است که به صورت زیر نشان داده می شود:
.
7. عدد "ه". لگاریتم های طبیعی
عدد "E"
نشان دهنده حد یک دنباله اعداد است، n-
عضوی که 
، یعنی
.
لگاریتم طبیعی - لگاریتم با پایه ه.
لگاریتم های طبیعی نشان داده می شوند 
بدون اینکه مبنایی مشخص شود. 
عدد 
به شما امکان می دهد از لگاریتم اعشاری به لگاریتم طبیعی تغییر دهید و به عقب بروید.
، مدول انتقال از لگاریتم طبیعی به اعشاری نامیده می شود.
8. محدودیت های قابل توجه 
,
.
اولین محدودیت قابل توجه:
بنابراین در 
توسط قضیه حد توالی میانی
محدودیت قابل توجه دوم:
.
برای اثبات وجود حد 
از لم: برای هر عدد واقعی استفاده کنید 
و 
نابرابری درست است 
(2) (برای 
یا 
نابرابری به برابری تبدیل می شود.)
دنباله (1) را می توان به صورت زیر نوشت:
.
حالا یک دنباله کمکی با یک عبارت مشترک در نظر بگیرید 
اطمینان حاصل کنید که کاهش می یابد و از زیر محدود می شود: 
اگر 
، سپس دنباله در حال کاهش است. اگر 
، سپس دنباله از زیر محدود می شود. بیایید این را نشان دهیم:
به دلیل برابری (2)
یعنی 
یا 
... یعنی دنباله در حال کاهش است، زیرا دنباله از پایین محدود شده است. اگر دنباله از پایین در حال کاهش و محدود باشد، آنگاه محدودیتی دارد. سپس
دارای حد و ترتیب (1)، از آنجایی که 
و 
.
L. Euler این حد را نامگذاری کرد 
.
9. محدودیت های یک طرفه، شکاف عملکرد.
اگر موارد زیر برای هر دنباله ای صادق باشد، عدد A حد چپ است.
اگر موارد زیر برای هر دنباله ای صادق باشد، عدد A حد صحیح است:.
اگر در نقطه آمتعلق به دامنه تعریف تابع یا مرز آن، شرط تداوم تابع نقض می شود، سپس نقطه آنقطه ناپیوستگی یا ناپیوستگی یک تابع نامیده می شود.
12. مجموع اعضای یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش.
پیشروی هندسی دنباله ای است که در آن نسبت بین اعضای بعدی و قبلی بدون تغییر باقی می ماند، این نسبت مخرج پیشرفت نامیده می شود. مجموع اولی nاعضای یک پیشرفت هندسی با فرمول بیان می شود 
استفاده از این فرمول برای یک پیشرفت هندسی رو به کاهش است - پیشرفتی که در آن قدر مطلق مخرج آن کمتر از صفر است. 
- اولین عضو؛ 
- مخرج پیشرفت؛ 
- تعداد عضو گرفته شده از دنباله. مجموع یک پیشروی نزولی نامتناهی عددی است که مجموع اولین اعضای یک پیشرفت نزولی به طور نامحدود با افزایش نامحدود در تعداد به آن نزدیک می شود. 
سپس. مجموع عبارات یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش است 
.
تعریف 1
اگر برای هر جفت $ (x, y) $ از مقادیر دو متغیر مستقل از یک منطقه خاص، مقدار معینی از $ z $ مرتبط شود، گفته میشود که $ z $ تابعی از دو متغیر $ (x، y) دلار. نماد: $ z = f (x، y) $.
با توجه به تابع $ z = f (x, y) $، مفاهیم افزایش کلی (کامل) و جزئی یک تابع را در نظر بگیرید.
اجازه دهید یک تابع $ z = f (x, y) $ از دو متغیر مستقل $ (x, y) $ داده شود.
تبصره 1
از آنجایی که متغیرهای $ (x, y) $ مستقل هستند، یکی از آنها می تواند تغییر کند، در حالی که دیگری ثابت می ماند.
اجازه دهید به متغیر $ x $ افزایشی برابر با $ \ Delta x $ بدهیم، در حالی که مقدار متغیر $ y $ را بدون تغییر نگه داریم.
سپس تابع $ z = f (x, y) $ افزایشی دریافت می کند که با توجه به متغیر $ x $، افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ نامیده می شود. تعیین:
به طور مشابه، اجازه دهید به متغیر $ y $ افزایشی برابر با $ \ Delta y $ بدهیم، در حالی که مقدار متغیر $ x $ را بدون تغییر نگه داریم.
سپس تابع $ z = f (x, y) $ افزایشی دریافت می کند که با توجه به متغیر $ y $، افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ نامیده می شود. تعیین:
اگر به آرگومان $ x $ افزایش $ \ دلتا x $ و آرگومان $ y $ - افزایش $ \ Delta y $ داده شود، آنگاه افزایش کامل تابع داده شده $ z = f (x, y) $ است. به دست آمده. تعیین:
بنابراین، ما داریم:
$ \ دلتا _ (x) z = f (x + \ دلتا x, y) -f (x, y) $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ x $;
$ \ دلتا _ (y) z = f (x, y + \ دلتا y) -f (x, y) $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ y $;
$ \ دلتا z = f (x + \ دلتا x, y + \ دلتا y) -f (x, y) $ - افزایش کامل تابع $ z = f (x, y) $.
مثال 1
راه حل:
$ \ دلتا _ (x) z = x + \ دلتا x + y $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ x $;
$ \ دلتا _ (y) z = x + y + \ دلتا y $ افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ نسبت به $ y $ است.
$ \ دلتا z = x + \ دلتا x + y + \ دلتا y $ - افزایش کامل تابع $ z = f (x, y) $.
مثال 2
ضریب و افزایش کل تابع $z = xy $ را در نقطه $ (1; 2) $ برای $ \ دلتا x = 0,1; \, \, \ دلتا y = 0,1 $ محاسبه کنید.
راه حل:
با تعریف افزایش خصوصی، متوجه می شویم:
$ \ دلتا _ (x) z = (x + \ دلتا x) \ cdot y $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ x $
$ \ دلتا _ (y) z = x \ cdot (y + \ دلتا y) $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ y $;
با تعریف افزایش کامل، متوجه می شویم:
$ \ دلتا z = (x + \ دلتا x) \ cdot (y + \ دلتا y) $ - افزایش کامل تابع $ z = f (x, y) $.
از این رو،
\ [\ دلتا _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ دلتا _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ دلتا z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]
تبصره 2
افزایش کل یک تابع معین $ z = f (x, y) $ برابر با مجموع افزایش های جزئی آن $ \ دلتا _ (x) z $ و $ \ دلتا _ (y) z $ نیست. نماد ریاضی: $ \ دلتا z \ ne \ دلتا _ (x) z + \ دلتا _ (y) z $.
مثال 3
اظهار نظر را برای عملکرد بررسی کنید
راه حل:
$ \ دلتا _ (x) z = x + \ دلتا x + y $; $ \ دلتا _ (y) z = x + y + \ دلتا y $; $ \ دلتا z = x + \ دلتا x + y + \ دلتا y $ (به دست آمده در مثال 1)
مجموع افزایش های جزئی تابع داده شده $z = f (x, y) $ را بیابید
\ [\ دلتا _ (x) z + \ دلتا _ (y) z = x + \ دلتا x + y + (x + y + \ دلتا y) = 2 \ cdot (x + y) + \ دلتا x + \ دلتا y. \]
\ [\ دلتا _ (x) z + \ دلتا _ (y) z \ ne \ دلتا z. \]
تعریف 2
اگر برای هر سه برابر $ (x, y, z) $ از مقادیر سه متغیر مستقل از یک منطقه خاص مقدار مشخصی از $ w $ مرتبط شود، گفته میشود $ w $ تابعی از سه متغیر $ است ( x، y، z) $ در این ناحیه.
نماد: $ w = f (x، y، z) $.
تعریف 3
اگر برای هر مجموعه $ (x، y، z، ...، t) $ از مقادیر متغیرهای مستقل از یک منطقه خاص، مقدار مشخصی از $ w $ مرتبط باشد، آنگاه $ w $ یک تابع گفته میشود. از متغیرهای $ (x، y، z، ...، t) $ در این دامنه.
نماد: $ w = f (x، y، z، ...، t) $.
برای تابعی از سه یا چند متغیر، مانند تابعی از دو متغیر، افزایش جزئی برای هر یک از متغیرها تعیین میشود:
$ \ دلتا _ (z) w = f (x، y، z + \ دلتا z) -f (x، y، z) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x، y، z، .. ., t ) $ توسط $ z $;
$ \ دلتا _ (t) w = f (x، y، z، ...، t + \ دلتا t) -f (x، y، z، ...، t) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x، y، z، ...، t) $ در $ t $.
مثال 4
ضریب و افزایش کل یک تابع را بنویسید
راه حل:
با تعریف افزایش خصوصی، متوجه می شویم:
$ \ دلتا _ (x) w = ((x + \ دلتا x) + y) \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ x $
$ \ دلتا _ (y) w = (x + (y + \ دلتا y)) \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ y $;
$ \ دلتا _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ z $;
با تعریف افزایش کامل، متوجه می شویم:
$ \ دلتا w = ((x + \ دلتا x) + (y + \ دلتا y)) \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش کامل تابع $ w = f (x, y, z) $ .
مثال 5
ضریب و افزایش کل تابع $ w = xyz $ را در نقطه $ (1; 2; 1) $ برای $ \ دلتا x = 0,1; \, \, \ دلتا y = 0,1; \, محاسبه کنید. \، \ دلتا z = 0.1 $.
راه حل:
با تعریف افزایش خصوصی، متوجه می شویم:
$ \ دلتا _ (x) w = (x + \ دلتا x) \ cdot y \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ x $
$ \ دلتا _ (y) w = x \ cdot (y + \ دلتا y) \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ y $;
$ \ دلتا _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x، y، z) $ با توجه به $ z $.
با تعریف افزایش کامل، متوجه می شویم:
$ \ دلتا w = (x + \ دلتا x) \ cdot (y + \ دلتا y) \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش کامل تابع $ w = f (x, y, z) $.
از این رو،
\ [\ دلتا _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ دلتا _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ دلتا _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ دلتا z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]
از نقطه نظر هندسی، افزایش کل تابع $ z = f (x, y) $ (طبق تعریف، $ \ دلتا z = f (x + \ دلتا x, y + \ دلتا y) -f (x , y) $) برابر است با افزایش تابع کاربردی نمودار $ z = f (x, y) $ هنگام عبور از نقطه $ M (x, y) $ به نقطه $ M_ (1) (x + \ دلتا x , y + \ دلتا y) $ (شکل 1).
تصویر 1.
در فیزیک پزشکی و بیولوژیکی
سخنرانی شماره 1
تابع مشتق و دیفرانسیل.
مشتقات خصوصی.
1. مفهوم مشتق، معنای مکانیکی و هندسی آن.
آ ) افزایش آرگومان و تابع.
اجازه دهید تابع y = f (x) داده شود که x مقدار آرگومان از دامنه تابع است. اگر دو مقدار آرگومان xo و x را از بازه معینی از دامنه تابع انتخاب کنیم، تفاوت بین دو مقدار آرگومان را افزایش آرگومان می گویند: x - xo = ∆x. .
مقدار آرگومان x را می توان از طریق x 0 و افزایش آن تعیین کرد: x = x o + ∆x.
تفاوت بین دو مقدار تابع را افزایش تابع می نامند: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).
افزایش آرگومان و تابع را می توان به صورت گرافیکی نشان داد (شکل 1). افزایش آرگومان و افزایش تابع می تواند مثبت یا منفی باشد. همانطور که از شکل 1 به صورت هندسی نشان داده می شود، افزایش آرگومان ∆χ با افزایش ابسیسا و افزایش تابع ∆у با افزایش ارتین نشان داده می شود. محاسبه افزایش تابع باید به ترتیب زیر انجام شود:
به آرگومان یک افزایش ∆x بدهید و مقدار - x + ∆x را بدست آورید.
2) مقدار تابع را برای مقدار آرگومان (x + ∆x) - f (x + ∆x) پیدا می کنیم.
3) افزایش تابع ∆f = f (x + ∆x) - f (x) را پیدا می کنیم.
مثال:اگر آرگومان از x o = 1 به x = 3 تغییر کرده باشد، افزایش تابع y = x 2 را تعیین کنید. برای نقطه x o مقدار تابع f (x o) = x² o; برای نقطه (x о + ∆х) مقدار تابع f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = x² о + 2х о ∆х + ∆х 2، از آنجا ∆f = f (x о + ∆х) –f (х о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; Δf = 2 1 2 + 4 = 8.
ب)وظایفی که منجر به مفهوم مشتق می شود. تعریف مشتق، معنای فیزیکی آن.
مفهوم آرگومان و افزایش تابع برای معرفی مفهوم مشتق ضروری است که از نظر تاریخی از نیاز به تعیین سرعت فرآیندهای خاص ناشی شده است.
در نظر بگیرید که چگونه می توانید سرعت حرکت مستقیم را تعیین کنید. اجازه دهید بدن مطابق قانون به صورت مستقیم حرکت کند: ∆Ѕ = · ∆t. برای حرکت یکنواخت: = ∆Ѕ / ∆t.
برای حرکت متغیر، مقدار ∆Ѕ / ∆t مقدار av را تعیین می کند. ، یعنی ر.ک. = ∆Ѕ / ∆t. اما سرعت متوسط امکان انعکاس ویژگی های حرکت بدن و ارائه ایده ای از سرعت واقعی در زمان t را فراهم نمی کند. با کاهش فاصله زمانی، یعنی. در ∆t → 0، سرعت متوسط به حد خود - سرعت لحظه ای میل می کند:
فوری = 
چهارشنبه = 
∆Ѕ / ∆t.
سرعت لحظه ای یک واکنش شیمیایی به همین ترتیب تعیین می شود:
فوری = 
چهارشنبه = 
∆х / ∆t،
که در آن x مقدار ماده ای است که در طی یک واکنش شیمیایی در طول زمان t تشکیل می شود. کارهای مشابه برای تعیین سرعت فرآیندهای مختلف منجر به معرفی مفهوم مشتق یک تابع در ریاضیات شد.
اجازه دهید یک تابع پیوسته f (x) داده شود، تعریف شده در بازه] a، در [و افزایش آن ∆f = f (x + ∆x) –f (x). 
تابع Δx است و میانگین نرخ تغییر تابع را بیان می کند.
حد نسبت 
، هنگامی که ∆х → 0، به شرط وجود این حد، مشتق تابع نامیده می شود :
y "x = 
.
مشتق نشان داده می شود: 
- (اول x stroke)؛ f "
(x) - (eff stroke توسط x) ;
y "- (خط تیره)؛ dy / dх –
(de igrek po de iks);
- (بازی با نقطه).
بر اساس تعریف مشتق، می توان گفت که سرعت لحظه ای حرکت مستقیم، مشتق زمانی مسیر است:
فوری = S "t = f " (t).
بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که مشتق تابع با توجه به آرگومان x، نرخ تغییر آنی تابع f (x) است:
y "x = f " (x) = آنی.
این معنای فیزیکی مشتق است. به فرآیند یافتن مشتق، تمایز می گویند، بنابراین عبارت «متمایز کردن یک تابع» معادل عبارت «مشتق تابع را بیابید» است.
v)معنای هندسی مشتق.
پ 
مشتق تابع y = f (x) معنای هندسی ساده ای دارد که با مفهوم مماس بر یک خط منحنی در نقطه ای M مرتبط است. علاوه بر این، مماس، i.e. یک خط مستقیم به صورت تحلیلی به صورت y = kx = tanx بیان می شود، که در آن
–
زاویه تمایل مماس (خط مستقیم) به محور X. اجازه دهید یک منحنی پیوسته را به عنوان تابعی از y = f (x) نشان دهیم، یک نقطه M روی منحنی و یک نقطه M 1 نزدیک به آن و از طریق آنها یک سکانت بدهید. شیب آن به sec = tan β = 
اگر نقطه М 1 به M نزدیک شود، افزایش آرگومان ∆х
به سمت صفر میل خواهد کرد و سکانت در β = α موقعیت مماس را خواهد گرفت. از شکل 2 به شرح زیر است: tgα = 
tgβ = 
= y "x. اما tgα برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع:
k = tgα = 
= y "x = f "
(ایکس). بنابراین، شیب مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین برابر است با مقدار مشتق آن در نقطه مماس. این معنای هندسی مشتق است.
ز)قانون کلی برای یافتن مشتق.
بر اساس تعریف مشتق، فرآیند تمایز یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;
افزایش تابع را پیدا کنید: ∆f = f (x + ∆x) - f (x).
نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان را بسازید:
;
مثال: f (x) = x 2; f " (x) = ?.
با این حال، همانطور که حتی از این مثال ساده نیز مشاهده می شود، استفاده از دنباله مشخص شده در هنگام گرفتن مشتقات فرآیندی پر زحمت و پیچیده است. از این رو برای توابع مختلف، فرمول های کلی برای تمایز معرفی می شود که در قالب جدول «فرمول های اساسی برای تمایز توابع» ارائه شده است.
تعریف 1
اگر برای هر جفت $ (x, y) $ از مقادیر دو متغیر مستقل از یک منطقه خاص، مقدار معینی از $ z $ مرتبط شود، گفته میشود که $ z $ تابعی از دو متغیر $ (x، y) دلار. نماد: $ z = f (x، y) $.
با توجه به تابع $ z = f (x, y) $، مفاهیم افزایش کلی (کامل) و جزئی یک تابع را در نظر بگیرید.
اجازه دهید یک تابع $ z = f (x, y) $ از دو متغیر مستقل $ (x, y) $ داده شود.
تبصره 1
از آنجایی که متغیرهای $ (x, y) $ مستقل هستند، یکی از آنها می تواند تغییر کند، در حالی که دیگری ثابت می ماند.
اجازه دهید به متغیر $ x $ افزایشی برابر با $ \ Delta x $ بدهیم، در حالی که مقدار متغیر $ y $ را بدون تغییر نگه داریم.
سپس تابع $ z = f (x, y) $ افزایشی دریافت می کند که با توجه به متغیر $ x $، افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ نامیده می شود. تعیین:
به طور مشابه، اجازه دهید به متغیر $ y $ افزایشی برابر با $ \ Delta y $ بدهیم، در حالی که مقدار متغیر $ x $ را بدون تغییر نگه داریم.
سپس تابع $ z = f (x, y) $ افزایشی دریافت می کند که با توجه به متغیر $ y $، افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ نامیده می شود. تعیین:
اگر به آرگومان $ x $ افزایش $ \ دلتا x $ و آرگومان $ y $ - افزایش $ \ Delta y $ داده شود، آنگاه افزایش کامل تابع داده شده $ z = f (x, y) $ است. به دست آمده. تعیین:
بنابراین، ما داریم:
$ \ دلتا _ (x) z = f (x + \ دلتا x, y) -f (x, y) $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ x $;
$ \ دلتا _ (y) z = f (x, y + \ دلتا y) -f (x, y) $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ y $;
$ \ دلتا z = f (x + \ دلتا x, y + \ دلتا y) -f (x, y) $ - افزایش کامل تابع $ z = f (x, y) $.
مثال 1
راه حل:
$ \ دلتا _ (x) z = x + \ دلتا x + y $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ x $;
$ \ دلتا _ (y) z = x + y + \ دلتا y $ افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ نسبت به $ y $ است.
$ \ دلتا z = x + \ دلتا x + y + \ دلتا y $ - افزایش کامل تابع $ z = f (x, y) $.
مثال 2
ضریب و افزایش کل تابع $z = xy $ را در نقطه $ (1; 2) $ برای $ \ دلتا x = 0,1; \, \, \ دلتا y = 0,1 $ محاسبه کنید.
راه حل:
با تعریف افزایش خصوصی، متوجه می شویم:
$ \ دلتا _ (x) z = (x + \ دلتا x) \ cdot y $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ x $
$ \ دلتا _ (y) z = x \ cdot (y + \ دلتا y) $ - افزایش جزئی تابع $ z = f (x, y) $ با توجه به $ y $;
با تعریف افزایش کامل، متوجه می شویم:
$ \ دلتا z = (x + \ دلتا x) \ cdot (y + \ دلتا y) $ - افزایش کامل تابع $ z = f (x, y) $.
از این رو،
\ [\ دلتا _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ دلتا _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ دلتا z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]
تبصره 2
افزایش کل یک تابع معین $ z = f (x, y) $ برابر با مجموع افزایش های جزئی آن $ \ دلتا _ (x) z $ و $ \ دلتا _ (y) z $ نیست. نماد ریاضی: $ \ دلتا z \ ne \ دلتا _ (x) z + \ دلتا _ (y) z $.
مثال 3
اظهار نظر را برای عملکرد بررسی کنید
راه حل:
$ \ دلتا _ (x) z = x + \ دلتا x + y $; $ \ دلتا _ (y) z = x + y + \ دلتا y $; $ \ دلتا z = x + \ دلتا x + y + \ دلتا y $ (به دست آمده در مثال 1)
مجموع افزایش های جزئی تابع داده شده $z = f (x, y) $ را بیابید
\ [\ دلتا _ (x) z + \ دلتا _ (y) z = x + \ دلتا x + y + (x + y + \ دلتا y) = 2 \ cdot (x + y) + \ دلتا x + \ دلتا y. \]
\ [\ دلتا _ (x) z + \ دلتا _ (y) z \ ne \ دلتا z. \]
تعریف 2
اگر برای هر سه برابر $ (x, y, z) $ از مقادیر سه متغیر مستقل از یک منطقه خاص مقدار مشخصی از $ w $ مرتبط شود، گفته میشود $ w $ تابعی از سه متغیر $ است ( x، y، z) $ در این ناحیه.
نماد: $ w = f (x، y، z) $.
تعریف 3
اگر برای هر مجموعه $ (x، y، z، ...، t) $ از مقادیر متغیرهای مستقل از یک منطقه خاص، مقدار مشخصی از $ w $ مرتبط باشد، آنگاه $ w $ یک تابع گفته میشود. از متغیرهای $ (x، y، z، ...، t) $ در این دامنه.
نماد: $ w = f (x، y، z، ...، t) $.
برای تابعی از سه یا چند متغیر، مانند تابعی از دو متغیر، افزایش جزئی برای هر یک از متغیرها تعیین میشود:
$ \ دلتا _ (z) w = f (x، y، z + \ دلتا z) -f (x، y، z) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x، y، z، .. ., t ) $ توسط $ z $;
$ \ دلتا _ (t) w = f (x، y، z، ...، t + \ دلتا t) -f (x، y، z، ...، t) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x، y، z، ...، t) $ در $ t $.
مثال 4
ضریب و افزایش کل یک تابع را بنویسید
راه حل:
با تعریف افزایش خصوصی، متوجه می شویم:
$ \ دلتا _ (x) w = ((x + \ دلتا x) + y) \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ x $
$ \ دلتا _ (y) w = (x + (y + \ دلتا y)) \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ y $;
$ \ دلتا _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ z $;
با تعریف افزایش کامل، متوجه می شویم:
$ \ دلتا w = ((x + \ دلتا x) + (y + \ دلتا y)) \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش کامل تابع $ w = f (x, y, z) $ .
مثال 5
ضریب و افزایش کل تابع $ w = xyz $ را در نقطه $ (1; 2; 1) $ برای $ \ دلتا x = 0,1; \, \, \ دلتا y = 0,1; \, محاسبه کنید. \، \ دلتا z = 0.1 $.
راه حل:
با تعریف افزایش خصوصی، متوجه می شویم:
$ \ دلتا _ (x) w = (x + \ دلتا x) \ cdot y \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ x $
$ \ دلتا _ (y) w = x \ cdot (y + \ دلتا y) \ cdot z $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x, y, z) $ با توجه به $ y $;
$ \ دلتا _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش جزئی تابع $ w = f (x، y، z) $ با توجه به $ z $.
با تعریف افزایش کامل، متوجه می شویم:
$ \ دلتا w = (x + \ دلتا x) \ cdot (y + \ دلتا y) \ cdot (z + \ دلتا z) $ - افزایش کامل تابع $ w = f (x, y, z) $.
از این رو،
\ [\ دلتا _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ دلتا _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ دلتا _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ دلتا z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]
از نقطه نظر هندسی، افزایش کل تابع $ z = f (x, y) $ (طبق تعریف، $ \ دلتا z = f (x + \ دلتا x, y + \ دلتا y) -f (x , y) $) برابر است با افزایش تابع کاربردی نمودار $ z = f (x, y) $ هنگام عبور از نقطه $ M (x, y) $ به نقطه $ M_ (1) (x + \ دلتا x , y + \ دلتا y) $ (شکل 1).
تصویر 1.
