اهداف:

1. آموزش عمومی: به منظور سیستم سازی، تعمیم، گسترش دانش و مهارت های دانش آموزان مرتبط با استفاده از روش های حل نابرابری ها.
2. در حال توسعه: توانایی دانش آموزان را برای گوش دادن به یک سخنرانی، به طور خلاصه در یک دفتر یادداشت کنید.
3. آموزشی: ایجاد انگیزه شناختی برای مطالعه ریاضیات.

در طول کلاس ها

I. گفتگوی مقدماتی:

ما مبحث حل معادلات غیرمنطقی را به پایان رساندیم و امروز شروع به یادگیری نحوه حل نابرابری های غیر منطقی می کنیم.

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چه نوع نابرابری هایی را می توانید حل کنید و با چه روش هایی؟

پاسخ: خطی، مربع، گویا، مثلثاتی. خطی‌ها را بر اساس ویژگی‌های نامساوی حل می‌کنیم، مثلثاتی‌ها را به ساده‌ترین مثلثاتی‌ها که با استفاده از دایره مثلثاتی حل می‌شوند کاهش می‌دهیم و بقیه را عمدتاً با روش بازه‌ها حل می‌کنیم.

سوال: روش فاصله گذاری بر اساس چه عبارتی است؟

پاسخ: در قضیه ای که ادعا می کند یک تابع پیوسته که در یک بازه ناپدید نمی شود، علامت خود را در این بازه حفظ می کند.

II.بیایید یک نابرابری غیرمنطقی مانند> را در نظر بگیریم

سوال: آیا می توان برای حل آن از روش فواصل استفاده کرد؟

پاسخ: بله، از عملکرد y =- پیوسته روشن D (y).

ما این نابرابری را حل می کنیم روش فاصله .

نتیجه گیری: ما به راحتی این نابرابری غیرمنطقی را با روش فواصل حل کردیم و در واقع آن را به حل یک معادله غیرمنطقی تقلیل دادیم.

بیایید سعی کنیم با این روش یک نابرابری دیگر را حل کنیم.

3)f (x)پیوسته روشن D (f)

4) صفرهای تابع:

• جستجوی طولانی د (ف).
• محاسبه نقاط شکست مشکل است.

این سوال مطرح می شود: "آیا راه های دیگری برای حل این نابرابری وجود ندارد؟"

بدیهی است که وجود دارد و اکنون با آنها آشنا خواهیم شد.

III.بنابراین، موضوع از امروز درس: "روش های حل نابرابری های غیر منطقی."

این درس به صورت سخنرانی برگزار می شود، زیرا آموزش تحلیل دقیقی از همه روش ها ارائه نمی دهد. بنابراین وظیفه مهم ما این است که خلاصه ای مفصل از این سخنرانی بنویسیم.

IV.قبلاً در مورد روش اول برای حل نابرابری های غیر منطقی صحبت کرده ایم.

این - روش فاصله ، یک روش جهانی برای حل انواع نابرابری ها. اما همیشه به صورت کوتاه و ساده به هدف منتهی نمی شود.

V.هنگام حل نابرابری های غیرمنطقی، می توانید از همان ایده هایی استفاده کنید که در حل معادلات غیر منطقی وجود دارد، اما از آنجایی که تأیید ساده راه حل ها غیرممکن است (در نهایت، راه حل های نامساوی اغلب فواصل عددی صحیح هستند)، لازم است از هم ارزی استفاده شود.

ما طرح هایی را برای حل انواع اصلی نابرابری های غیر منطقی ارائه می کنیم روش انتقال معادلاز یک نابرابری به سیستمی از نابرابری ها.

2. به همین ترتیب می توان ثابت کرد که

بیایید این نمودارها را روی یک تابلوی مرجع بنویسیم. در مورد اثبات انواع 3 و 4 در خانه فکر کنید، در درس بعدی به آنها خواهیم پرداخت.

Vi.بیایید نابرابری را به روشی جدید حل کنیم.

نابرابری اصلی معادل مجموعه ای از سیستم ها است.

vii.و روش سومی وجود دارد که اغلب به حل نابرابری های پیچیده غیرمنطقی کمک می کند. ما قبلاً در رابطه با نابرابری های با مدول در مورد آن صحبت کرده ایم. این روش جایگزینی تابع (جایگزینی ضریب)... اجازه دهید یادآوری کنم که ماهیت روش جایگزینی این است که تفاوت در مقادیر توابع یکنواخت را می توان با تفاوت در مقادیر آرگومان های آنها جایگزین کرد.

یک نابرابری غیرمنطقی شکل را در نظر بگیرید<,

به این معنا که -< 0.

با این قضیه، اگر p (x)در بازه‌ای افزایش می‌یابد آو ب، و آ>ب، سپس نابرابری ها p (a) - p (b)> 0 و الف - ب> 0 معادل است D (p)، به این معنا که

هشتم.اجازه دهید نابرابری را با جایگزینی عوامل حل کنیم.

از این رو، این نابرابری معادل سیستم است

بنابراین، دیدیم که استفاده از روش مبادله عاملی برای کاهش حل نابرابری به روش فاصله ای، میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

IXاکنون که سه روش اصلی برای حل معادلات را پوشش دادیم، بیایید این کار را انجام دهیم کار مستقل با خودآزمایی

انجام اعداد زیر ضروری است (طبق کتاب درسی AM Mordkovich): 1790 (a) - حل - با روش انتقال معادل، - 1791 (الف) - حل با روش جایگزینی عوامل برای حل نابرابری های غیر منطقی، آن را حل کنید. برای حل معادلات غیرمنطقی پیشنهاد می شود از روش هایی که قبلا تحلیل شده اند استفاده شود:

• تغییر متغیرها؛
• استفاده از LDZ؛
• با استفاده از خواص یکنواختی توابع.

اتمام مطالعه موضوع آزمون است.

تجزیه و تحلیل آزمایش نشان می دهد:

• اشتباهات معمولی دانش آموزان ضعیف، علاوه بر اشتباهات حسابی و جبری، انتقال معادل نادرست به یک سیستم نابرابری است.
• روش جایگزینی ضریب تنها توسط دانش آموزان قوی با موفقیت استفاده شده است.

هر نابرابری که شامل تابعی در زیر ریشه باشد نامیده می شود غیر منطقی... دو نوع از این نابرابری ها وجود دارد:

در حالت اول، ریشه کوچکتر از تابع g (x) و در حالت دوم، بزرگتر است. اگر g (x) - مقدار ثابت، نابرابری به شدت ساده شده است. لطفا توجه داشته باشید: از نظر ظاهری، این نابرابری ها بسیار مشابه هستند، اما طرح های حل آنها اساسا متفاوت است.

امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه نابرابری های غیرمنطقی نوع اول را حل کنیم - آنها ساده ترین و قابل درک ترین هستند. علامت نابرابری می تواند سخت یا غیر دقیق باشد. جمله زیر در مورد آنها صادق است:

قضیه. هر گونه نابرابری غیرمنطقی شکل

معادل سیستم نابرابری ها:

ضعیف نیست؟ بیایید نگاهی بیندازیم که چنین سیستمی از کجا آمده است:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - همه چیز در اینجا روشن است. این نابرابری مجذور اصلی است.
2. f (x) ≥ 0 ODZ ریشه است. اجازه دهید یادآوری کنم: جذر حسابی فقط از وجود دارد غیر منفیشماره؛
3. g (x) ≥ 0 محدوده ریشه است. با مجذور کردن نابرابری، منفی ها را می سوزانیم. در نتیجه، ممکن است ریشه های اضافی ایجاد شود. نابرابری g (x) ≥ 0 آنها را قطع می کند.

بسیاری از دانش آموزان اولین نابرابری سیستم را "تثبیت" می کنند: f (x) ≤ g 2 (x) - و دو مورد دیگر را کاملاً فراموش می کنند. نتیجه قابل پیش بینی است: تصمیم اشتباه، امتیاز از دست رفته.

از آنجایی که نابرابری های غیرمنطقی یک موضوع نسبتاً پیچیده هستند، ما 4 مثال را به طور همزمان تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. از ابتدایی تا واقعا پیچیده. تمام مشکلات از امتحانات ورودی دانشگاه دولتی مسکو گرفته شده است. M.V. Lomonosov.

نمونه هایی از حل مسئله

وظیفه. حل نابرابری:

قبل از ما کلاسیک است نابرابری غیر منطقی: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 یک ثابت است. ما داریم:

از سه نابرابری، تنها دو تا در پایان راه حل باقی می ماند. زیرا نابرابری 2 ≥ 0 همیشه برقرار است. نابرابری های باقیمانده را قطع می کنیم:

بنابراین، x ∈ [-1,5; 0.5]. همه نقاط پر می شوند زیرا نابرابری ها سختگیرانه نیستند.

وظیفه. حل نابرابری:

ما قضیه را اعمال می کنیم:

نابرابری اول را حل می کنیم. برای این کار، مربع تفاوت را باز می کنیم. ما داریم:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0؛ 10).

حالا بیایید نابرابری دوم را حل کنیم. اونجا هم سه جمله ای مربع:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞؛ 1] ∪∪∪∪)