Suhteet ovat niin tuttu yhdistelmä, joka on varmaan tuttu peruskoulun ala-asteilta. Yleisimmässä mielessä, osuus on kahden tai useamman suhteen yhtäläisyys.

Eli jos on joitain lukuja A, B ja C

sitten suhde

jos on neljä numeroa A, B, C ja D

sitten tai on myös suhde

Yksinkertaisin esimerkki suhteesta on laskea prosenttiosuudet.

Yleisesti ottaen mittasuhteiden käyttö on niin laajaa, että on helpompi sanoa, missä niitä ei käytetä.

Suhteita voidaan käyttää etäisyyksien, massojen, tilavuuksien ja minkä tahansa määrän määrittämiseen yhdellä tärkeällä ehdolla: suhteessa eri objektien välillä on oltava lineaarisia riippuvuuksia... Alla, käyttämällä esimerkkiä pronssiratsumiehen mallin rakentamisesta, näet kuinka suhteet tulee laskea, jos on epälineaarisia riippuvuuksia.

Määritä kuinka monta kiloa riisiä tulee olemaan, jos otat 17 prosenttia riisin kokonaismäärästä 150 kilogrammassa?

Laitetaan suhde yhteen sanoin: 150 kiloa on riisin kokonaismäärä. Otetaan siis se 100 %:na. Sitten 17 % 100 %:sta lasketaan suhteellisesti kahdesta suhteesta: 100 prosenttia viittaa 150 kiloon ja 17 prosenttia tuntemattomaan numeroon.

Nyt tuntematon luku voidaan laskea alkeellisesti

Eli vastauksemme on 25,5 kiloa riisiä.

Mielenkiintoisia arvoituksia liittyy myös mittasuhteisiin, jotka osoittavat, että mittasuhteita ei pidä piittaamattomasti soveltaa kaikkiin tilanteisiin.

Tässä yksi niistä hieman muokattuna:

Esittelyä varten yrityksen toimistossa johtaja määräsi luomaan mallin veistoksesta "Pronssiratsumies" ilman graniittijalustaa. Yksi edellytyksistä on, että pohjapiirroksen tulee olla samoista materiaaleista kuin alkuperäinen, mittasuhteita noudatetaan ja layoutin korkeus oli tasan 1 metri. Kysymys: Mikä on asettelun massa?

Käännytään ensin hakuteoksiin.

Ratsastajan pituus on 5,35 metriä ja paino 8000 kg.

Jos käytämme aivan ensimmäistä ajatusta - tehdä suhde: 5,35 metriä viittaa 8000 kiloon, kun 1 metri tuntemattomaan arvoon, emme ehkä edes aloita laskemista, koska vastaus on väärä.

Kyse on pienestä vivahteesta, joka on otettava huomioon. Kaikki on kiinni yhteydestä painon ja korkeuden välillä kuvanveistäjät epälineaarinen, eli emme voi sanoa, että lisäämällä esimerkiksi kuutiota 1 metrin (tarkkailemalla mittasuhteita niin, että se pysyy kuutiona), lisäämme sen painoa samalla määrällä.

Se on helppo tarkistaa esimerkeillä:

1.Liimaa kuutio, jonka reunan pituus on 10 senttimetriä. Kuinka paljon vettä sinne menee? On loogista, että 10 * 10 * 10 = 1000 kuutiosenttimetriä, eli 1 litra. No, koska sinne kaadettiin vettä (tiheys on yksi), eikä toista nestettä, massa on 1 kg.

2. Liimataan samanlainen kuutio, mutta rivan pituus on 20 cm. Sinne kaadettavan veden tilavuus on 20 * 20 * 20 = 8000 kuutiosenttimetriä eli 8 litraa. No, paino on luonnollisesti 8 kg.

On helppo nähdä, että massan ja kuution reunan pituuden muutoksen välinen suhde on epälineaarinen tai pikemminkin kuutio.

Muista, että tilavuus on korkeuden, leveyden ja syvyyden tulos.

Eli kun kuvio muuttuu (suhteista / muodosta riippuen) lineaarista kokoa (korkeus, leveys, syvyys), tilavuusluvun massa / tilavuus muuttuu kuutioittain.

Riitelemme:

Lineaarinen kokomme on muuttunut 5,35 metristä 1 metriin, jolloin massa (tilavuus) muuttuu 8000 / x kuutiojuurena

Ja saamme sen asettelun Pronssi ratsastaja yrityksen toimistossa, jonka korkeus on 1 metri, se painaa 52 kiloa 243 grammaa.

Mutta toisaalta, jos tehtävä asetettaisiin näin " layout tulee olla samoista materiaaleista kuin alkuperäinen, mittasuhteet ja tilavuus 1 kuutiometri "Tieden, että tilavuuden ja massan välillä on lineaarinen suhde, käyttäisimme vain standardisuhdetta, vanhaa tilavuutta uuteen ja vanhaa massaa tuntemattomaan numeroon.

Mutta bottimme auttaa laskemaan mittasuhteita muissa yleisemmissä ja käytännöllisemmissä tapauksissa.

Varmasti se on hyödyllinen kaikille kotiäidille, jotka valmistavat ruokaa.

Tilanteita syntyy, kun resepti hämmästyttävälle 10 kilon kakulle löytyy, mutta sen tilavuus on liian suuri valmistaa.. Haluaisin olla pienempi, vaikkapa vain kaksi kiloa, mutta kuinka laskea kaikki uudet ainesten painot ja tilavuudet ?

Tässä auttaa sinua botti, joka pystyy laskemaan 2 kg:n kakun uudet parametrit.

Botti auttaa myös laskelmissa ahkeralle miehelle, joka rakentaa taloa ja heidän täytyy laskea kuinka paljon ottaa ainesosia betoniin, jos hänellä on vain 50 kiloa hiekkaa.

Syntaksi

XMPP-asiakaskäyttäjille: pro<строка>

jossa merkkijonossa on vaadittuja elementtejä

numero1 / numero2 - osuuden löytäminen.

Jotta näin lyhyt kuvaus ei pelästyisi, annamme tässä esimerkin.

200 300 100 3 400/100

Joka kertoo esimerkiksi seuraavista:

200 grammaa jauhoja, 300 millilitraa maitoa, 100 grammaa voita, 3 munaa - pannukakkujen tuotanto on 400 grammaa.

Kuinka monta ainesosaa tarvitset leipoaksesi vain 100 grammaa pannukakkuja?

Kuinka helppoa se on huomata

400/100 on tyypillisen reseptin ja halutun tuloksen suhde.

Käsittelemme esimerkkejä yksityiskohtaisemmin vastaavassa osiossa.

Esimerkkejä

Ystävä jakoi ihanan reseptin

Taikina: 200 grammaa unikonsiemeniä, 8 munaa, 200 tomusokeria, 50 grammaa raastettuja sämpylöitä, 200 grammaa jauhettuja pähkinöitä, 3 kupillista hunajaa.
Keitä unikonsiemeniä 30 minuuttia miedolla lämmöllä, jauha survin, lisää sulatettu hunaja, jauhetut keksejä, pähkinät.
Vatkaa munat tomusokerin kanssa, lisää massaan.
Sekoita taikina varovasti, kaada muottiin, paista.
Leikkaa jäähtynyt kakku kahteen kerrokseen, peitä hapanhillo ja sitten kerma.
Koristele hillon marjoilla.
Kerma: 1 kuppi smetanaa, 1/2 kuppia sokeria, vatkaa.

Suhdetta kutsutaan tietyksi suhteeksi maailmamme entiteettien välillä. Nämä voivat olla numeroita, fyysisiä määriä, esineitä, tuotteita, ilmiöitä, toimia ja jopa ihmisiä.

Sanomme jokapäiväisessä elämässä suhteista "Tämän ja tuon suhde"... Esimerkiksi, jos maljakossa on 4 omenaa ja 2 päärynää, niin sanomme "Omenoiden ja päärynöiden suhde" "Päärynöiden ja omenoiden suhde".

Matematiikassa suhdetta käytetään usein muodossa "Niin ja niin asenne siihen ja niin"... Esimerkiksi neljän omenan ja kahden päärynän suhde, jota tarkastelimme edellä, luetaan matematiikassa seuraavasti "Neljän omenan suhde kahteen päärynään" tai jos vaihdat omenoita ja päärynöitä, niin "Kahden päärynän suhde neljään omenaan".

Suhde ilmaistaan ​​muodossa a Vastaanottaja b(missä sen sijaan a ja b mitkä tahansa numerot), mutta useammin voit löytää merkinnän, joka koostuu kaksoispisteestä as a: b... Voit lukea tämän artikkelin eri tavoilla:

• a Vastaanottaja b
• a viittaa b
• asenne a Vastaanottaja b

Kirjoita neljän omenan suhde kahteen päärynään käyttämällä suhdesymbolia:

4: 2

Jos vaihdamme omenoiden ja päärynöiden paikkoja, meillä on suhde 2: 4. Tämä suhde voidaan lukea seuraavasti "Kahdesta neljään" tai joko "Kaksi päärynää viittaa neljään omenaan" .

Seuraavassa kutsumme suhdetta suhteeksi.

Oppitunnin sisältö

Mikä on asenne?

Suhde, kuten aiemmin mainittiin, kirjoitetaan muotoon a: b... Se voidaan kirjoittaa myös murtolukuna. Ja me tiedämme, että tällainen merkintä matematiikassa tarkoittaa jakoa. Sitten suhteen tulos on osamäärä a ja b.

Matematiikassa suhdetta kutsutaan kahden luvun osamääräksi.

Suhteen avulla voit selvittää, kuinka paljon yhdestä entiteetistä kuuluu toisen yksikköön. Palataan neljän omenan ja kahden päärynän suhteeseen (4:2). Tämän suhteen avulla voimme selvittää, kuinka monta omenaa on päärynäyksikköä kohden. Yksikkö tarkoittaa yhtä päärynää. Ensin kirjoitetaan suhde 4:2 murtolukuna:

Tämä suhde on luvun 4 jako luvulla 2. Jos teemme tämän jaon, saamme vastauksen kysymykseen kuinka monta omenaa on päärynäyksikköä kohden

Vastaanotettu 2. Joten neljä omenaa ja kaksi päärynää (4:2) korreloivat (liittyvät toisiinsa) siten, että päärynää kohti on kaksi omenaa

Kuvassa näkyy, kuinka neljä omenaa ja kaksi päärynää liittyvät toisiinsa. Voidaan nähdä, että jokaista päärynää kohti on kaksi omenaa.

Suhteen voi kääntää kirjoittamalla nimellä. Sitten saadaan kahden päärynän suhde neljään omenaan tai "kahden päärynän suhde neljään omenaan". Tämä suhde osoittaa, kuinka monta päärynää on omenayksikköä kohden. Omenan yksikkö tarkoittaa yhtä omenaa.

Murtoluvun arvon löytämiseksi sinun on muistettava, kuinka pienempi luku jaetaan suuremmalla.

Vastaanotettu 0,5. Muunnetaan tämä desimaaliluku tavalliseksi murtoluvuksi:

Pienennä tuloksena olevaa murto-osaa 5:llä

Sain vastauksen (puolikas päärynä). Tämä tarkoittaa, että kaksi päärynää ja neljä omenaa (2:4) korreloivat (liittyvät toisiinsa) siten, että yksi omena muodostaa puolet päärynästä

Kuvassa näkyy kuinka kaksi päärynää ja neljä omenaa liittyvät toisiinsa. Voidaan nähdä, että jokaista omenaa kohti on päärynäpuolikas.

Suhteen muodostavia lukuja kutsutaan suhteen jäseniä... Esimerkiksi suhteessa 4:2 jäsenet ovat numerot 4 ja 2.

Tarkastellaanpa muita esimerkkejä suhteista. Jotain valmistamista varten laaditaan resepti. Resepti rakentuu tuotteiden välisestä suhteesta. Esimerkiksi kaurapuuron valmistukseen tarvitaan yleensä lasillinen muroja kahta maitoa tai vettä varten. Suhde on 1: 2 ("yhdestä kahteen" tai "yksi lasillinen muroja kahdelle lasilliselle maitoa").

Muunnamme suhteen 1: 2 murto-osaksi, saamme. Laskemalla tämän murtoluvun saamme 0,5. Tämä tarkoittaa, että yksi lasillinen muroja ja kaksi lasillista maitoa korreloivat (liittyvät toisiinsa) niin, että yksi lasillinen maitoa vastaa puoli lasillista muroja.

Jos käännät suhteen 1:2, saat suhteen 2:1 ("kaksi yhteen" tai "kaksi lasillista maitoa yhdelle viljalasilliselle"). Muunna suhde 2:1 murto-osaksi, saamme. Laskemalla tämän osuuden saamme 2. Joten kaksi lasillista maitoa ja yksi lasi viljaa korreloivat (liittyvät toisiinsa) siten, että yhtä viljalasia kohden on kaksi lasillista maitoa.

Esimerkki 2. Luokassa on 15 oppilasta. Heistä 5 on poikia ja 10 tyttöjä. Voit kirjoittaa muistiin tyttöjen ja poikien suhteen 10:5 ja muuntaa tämän suhteen murto-osaksi. Laskemalla tämän murtoluvun saamme 2. Eli tytöt ja pojat liittyvät toisiinsa siten, että jokaista poikaa kohden on kaksi tyttöä

Kuvassa näkyy kuinka kymmenen tyttöä ja viisi poikaa suhtautuvat toisiinsa. Voidaan nähdä, että jokaista poikaa kohden on kaksi tyttöä.

Suhdesuhdetta ei aina voi muuntaa murto-osaksi ja osamäärä löytyy. Joissakin tapauksissa tämä ei ole loogista.

Joten jos käännät asenteen, se käy ilmi, ja tämä on poikien asenne tyttöihin. Jos lasket tämän murtoluvun, saat 0,5. Osoittautuu, että viisi poikaa suhtautuu kymmeneen tyttöön siten, että jokaista tyttöä kohden on puolikas poika. Matemaattisesti tämä on tietysti totta, mutta todellisuuden näkökulmasta se ei ole täysin järkevää, koska poika on elävä ihminen, eikä häntä voi vain ottaa ja jakaa, kuten päärynää tai omenaa.

Oikean asenteen rakentaminen on tärkeä ongelmanratkaisutaito. Joten fysiikassa kuljetun matkan suhde aikaan on liikkeen nopeus.

Etäisyys ilmaistaan ​​muuttujalla S, aika - muuttujan läpi t, nopeus - muuttujan läpi v... Sitten lause "Kuljetun matkan suhde aikaan on liikkeen nopeus" kuvataan seuraavalla lausekkeella:

Oletetaan, että auto on ajanut 100 kilometriä kahdessa tunnissa. Silloin ajetun sadan kilometrin suhde kahteen tuntiin on auton nopeus:

Nopeudeksi on tapana kutsua kehon aikayksikköä kohti kulkemaa matkaa. Aikayksikkö tarkoittaa 1 tuntia, 1 minuuttia tai 1 sekuntia. Ja suhde, kuten aiemmin mainittiin, antaa sinun selvittää, kuinka paljon yhdestä entiteetistä kuuluu toisen yksikköön. Esimerkissämme sadan kilometrin suhde kahteen tuntiin osoittaa, kuinka monta kilometriä on yhden tunnin liikettä kohti. Näemme, että jokaista liiketuntia kohden on 50 kilometriä.

Siksi nopeus mitataan km/h, m/min, m/s... Murtosymboli (/) osoittaa etäisyyden ja ajan suhteen: kilometriä tunnissa , metriä minuutissa ja metriä sekunnissa vastaavasti.

Esimerkki 2... Tuotteen arvon suhde sen määrään on tuotteen yhden yksikön hinta

Jos otimme kaupasta 5 suklaapatukkaa ja niiden kokonaishinta oli 100 ruplaa, voimme määrittää yhden patukan hinnan. Tätä varten sinun on löydettävä sadan ruplan suhde tankojen lukumäärään. Sitten saamme, että yksi baari on 20 ruplaa.

Summien vertailu

Aiemmin opimme, että eri luonteisten määrien välinen suhde muodostaa uuden suuren. Kuljetun matkan suhde aikaan on siis liikkeen nopeus. Hyödykkeen arvon suhde sen määrään on tavaran yhden yksikön hinta.

Mutta suhdetta voidaan käyttää myös arvojen vertailuun. Tällaisen suhteen tulos on luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa ensimmäinen arvo on suurempi kuin toinen tai kuinka suuri osa ensimmäisestä arvosta on toisesta.

Jotta saadaan selville, kuinka monta kertaa ensimmäinen arvo on suurempi kuin toinen, suhdeluvun osoittajaan on kirjoitettava suurempi arvo ja nimittäjään pienempi arvo.

Saadaksesi selville, mikä osa ensimmäisestä arvosta on toisesta, sinun on kirjoitettava pienempi arvo suhteessa osoittajaan ja suurempi arvo nimittäjään.

Tarkastellaan lukuja 20 ja 2. Selvitetään kuinka monta kertaa luku 20 on suurempi kuin luku 2. Tätä varten selvitetään luvun 20 suhde numeroon 2. Suhteen osoittajaan kirjoitetaan luku 20 ja nimittäjässä - numero 2

Tämän suhteen arvo on kymmenen

Luvun 20 ja 2 suhde on luku 10. Tämä luku osoittaa kuinka monta kertaa luku 20 on suurempi kuin luku 2. Luku 20 on siis kymmenen kertaa suurempi kuin luku 2.

Esimerkki 2. Luokassa on 15 oppilasta. Heistä 5 on poikia ja 10 tyttöjä. Selvitä kuinka monta kertaa tyttöjä on enemmän kuin poikia.

Kirjoitamme ylös tyttöjen asenteen poikia kohtaan. Kirjoitamme tyttöjen lukumäärän suhteen osoittajaan ja poikien lukumäärän suhteen nimittäjään:

Tämän suhteen arvo on 2. Tämä tarkoittaa, että 15-vuotiaiden luokassa on kaksi kertaa enemmän tyttöjä kuin poikia.

Enää ei ole kysymys siitä, kuinka monta tyttöä on yhtä poikaa kohden. Tässä tapauksessa suhdetta käytetään vertaamaan tyttöjen määrää poikien määrään.

Esimerkki 3... Mikä osa luvusta 2 on luvusta 20.

Löydämme luvun 2 ja 20 välisen suhteen. Suhteen osoittajaan kirjoitamme luvun 2 ja nimittäjään numeron 20

Löytääksesi tämän suhteen merkityksen, sinun on muistettava

Luvun 2 ja 20 välisen suhteen arvo on luku 0,1

Tässä tapauksessa desimaaliluku 0,1 voidaan muuntaa tavalliseksi murtoluvuksi. Tämä vastaus on helpompi ymmärtää:

Joten luvun 20 numero 2 on yksi kymmenesosa.

Voit tarkistaa. Tätä varten löydämme numerosta 20. Jos teimme kaiken oikein, meidän pitäisi saada numero 2

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

Saimme luvun 2. Joten yksi kymmenesosa luvusta 20 on luku 2. Tästä päätämme, että ongelma on ratkaistu oikein.

Esimerkki 4. Luokassa on 15 henkilöä. Heistä 5 on poikia ja 10 tyttöjä. Selvitä, mikä osuus koululaisten kokonaismäärästä on poikia.

Kirjataan ylös poikien suhde koululaisten kokonaismäärään. Suhteen osoittajaan kirjoitetaan viisi poikaa ja nimittäjään oppilaiden kokonaismäärä. Koululaisten kokonaismäärä on 5 poikaa plus 10 tyttöä, joten kirjoitamme suhteen nimittäjään 15

Löytääksesi tämän suhteen merkityksen, sinun on muistettava kuinka jakaa pienempi luku suuremmalla. Tässä tapauksessa luku 5 on jaettava luvulla 15

Kun jaat 5:llä 15:llä, saat jaksollisen murtoluvun. Muunnetaan tämä murto-osa tavalliseksi

Saimme lopullisen vastauksen. Pojat muodostavat siis kolmanneksen luokasta.

Kuvasta näkyy, että 15 oppilaan luokassa 5 poikaa muodostaa kolmanneksen luokasta.

Jos löydämme 15 koululaisesta varmennettavaksi, saamme 5 poikaa

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

Esimerkki 5. Kuinka monta kertaa 35 on suurempi kuin 5?

Kirjoitamme luvun 35 ja 5 välisen suhteen. Suhteen osoittajaan on kirjoitettava numero 35, nimittäjään - numero 5, mutta ei päinvastoin.

Tämän suhteen arvo on 7. Joten luku 35 on seitsemän kertaa luku 5.

Esimerkki 6. Luokassa on 15 henkilöä. Heistä 5 on poikia ja 10 tyttöjä. Selvitä, mikä osuus kokonaismäärästä on tyttöjä.

Kirjoitamme tyttöjen suhteen koululaisten kokonaismäärään. Kirjoitamme parisuhteen osoittajaan kymmenen tyttöä ja nimittäjään koululaisten kokonaismäärän. Koululaisten kokonaismäärä on 5 poikaa plus 10 tyttöä, joten kirjoitamme suhteen nimittäjään 15

Löytääksesi tämän suhteen merkityksen, sinun on muistettava kuinka jakaa pienempi luku suuremmalla. Tässä tapauksessa luku 10 on jaettava luvulla 15

Kun jaat 10:llä 15:llä, saat jaksollisen murtoluvun. Muunnetaan tämä murto-osa tavalliseksi

Pienennä tuloksena olevaa murto-osaa 3:lla

Saimme lopullisen vastauksen. Tytöt muodostavat siis kaksi kolmasosaa luokasta.

Kuvasta näkyy, että 15 oppilaan luokassa kaksi kolmasosaa luokasta on 10 tyttöä.

Jos löydämme tarkastettavaksi 15 koululaista, saamme 10 tyttöä

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

Esimerkki 7. Mikä osa 10 cm:stä on 25 cm

Kirjoitamme kymmenen senttimetrin ja 25 senttimetrin suhteen. Suhteen osoittajaan kirjoitetaan 10 cm, nimittäjään 25 cm

Löytääksesi tämän suhteen merkityksen, sinun on muistettava kuinka jakaa pienempi luku suuremmalla. Tässä tapauksessa luku 10 on jaettava luvulla 25

Muunnetaan saatu desimaalimurto tavalliseksi

Pienennä tuloksena olevaa murto-osaa 2:lla

Saimme lopullisen vastauksen. Tämä tarkoittaa, että 10 cm on 25 cm:stä.

Esimerkki 8. Kuinka monta kertaa on 25 cm enemmän kuin 10 cm

Kirjoitamme muistiin suhteen kaksikymmentäviisi senttimetriä kymmeneen senttimetriin. Suhteen osoittajaan kirjoitamme 25 cm, nimittäjään - 10 cm

Vastaus oli 2,5. Tarkoittaa 25 cm enemmän kuin 10 cm 2,5 kertaa (kaksi ja puoli kertaa)

Tärkeä muistiinpano. Löydettäessä samannimisen fyysisten suureiden suhdetta, nämä suureet on välttämättä ilmaistava yhdellä mittayksiköllä, muuten vastaus on väärä.

Jos esimerkiksi käsittelemme kahta pituutta ja haluamme tietää, kuinka monta kertaa ensimmäinen pituus on suurempi kuin toinen tai mikä osa ensimmäisestä pituudesta on toisesta, niin molemmat pituudet on ensin ilmaistava yhdellä pituuden yksiköllä. mittaus.

Esimerkki 9. Kuinka monta kertaa 150 cm on enemmän kuin 1 metri?

Tehdään ensin niin, että molemmat pituudet ilmaistaan ​​samalla mittayksiköllä. Tehdään tämä muuttamalla 1 metri senttimetreiksi. Yksi metri on sata senttimetriä

1 m = 100 cm

Nyt löydämme suhteen sataviisikymmentä senttimetriä sataan senttimetriin. Suhteen osoittajaan kirjoitamme 150 senttimetriä, nimittäjään - 100 senttimetriä

Etsitään tämän suhteen arvo

Vastaus oli 1.5. Tämä tarkoittaa, että 150 cm on 1,5 kertaa enemmän kuin 100 cm (puolitoista kertaa).

Ja jos he eivät muuntaneet metrejä senttimetreiksi ja yrittävät heti löytää suhteen 150 cm yhteen metriin, saamme seuraavan:

Kävi ilmi, että 150 cm on enemmän kuin yksi metri sataviisikymmentä kertaa, mutta tämä ei ole totta. Siksi on välttämätöntä kiinnittää huomiota suhteeseen liittyviin fyysisten suureiden mittayksiköihin. Jos nämä suuret ilmaistaan ​​eri mittayksiköinä, näiden määrien suhteen löytämiseksi sinun on siirryttävä yhteen mittayksikköön.

Esimerkki 10. Viime kuussa henkilön palkka oli 25 000 ruplaa ja tässä kuussa palkka on noussut 27 000 ruplaan. Selvitä kuinka monta kertaa palkka on kasvanut

Kirjoitamme muistiin suhteen kaksikymmentäseitsemäntuhatta kaksikymmentäviisituhatta. Suhteen osoittajaan kirjoitetaan 27000, nimittäjään 25000.

Etsitään tämän suhteen arvo

Vastaus oli 1.08. Tämä tarkoittaa, että palkka on noussut 1,08-kertaiseksi. Tulevaisuudessa, kun opimme tuntemaan prosentit, ilmaisemme sellaiset tunnusluvut kuin palkat prosentteina.

Esimerkki 11... Kerrostalon leveys on 80 metriä ja korkeus 16 metriä. Kuinka monta kertaa talo on korkeutta leveämpi?

Kirjoitamme talon leveyden suhteen sen korkeuteen:

Tämän suhteen arvo on 5. Tämä tarkoittaa, että talon leveys on viisi kertaa sen korkeus.

Suhteen omaisuus

Suhde ei muutu, jos sen jäsenet kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla.

Tämä on yksi tärkeimmistä suhteen ominaisuuksista, joka seuraa tietyn ominaisuudesta. Tiedämme, että jos osinko ja jakaja kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, osamäärä ei muutu. Ja koska relaatio ei ole muuta kuin jakamista, myös tietyn ominaisuus toimii sille.

Palataanpa tyttöjen asenteisiin poikia kohtaan (10:5). Tämä asenne osoitti, että jokaista poikaa kohti on kaksi tyttöä. Tarkastellaan kuinka suhdeominaisuus toimii, eli yritetään kertoa tai jakaa sen jäsenet samalla luvulla.

Esimerkissämme on kätevämpää jakaa suhteen jäsenet niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Jäsenten 10 ja 5 gcd on luku 5. Siksi suhteen jäsenet voidaan jakaa luvulla 5

Sai uuden asenteen. Tämä on kaksi yhteen -suhde (2:1). Tämä suhde, kuten aikaisempi suhde 10:5, osoittaa, että yhtä poikaa kohti on kaksi tyttöä.

Kuvassa on 2:1 (kaksi yhteen) suhde. Kuten ennenkin, suhde 10:5 per poika on kaksi tyttöä. Toisin sanoen asenne ei ole muuttunut.

Esimerkki 2... Yhdessä luokassa on 10 tyttöä ja 5 poikaa. Toisella luokalla on 20 tyttöä ja 10 poikaa. Kuinka monta kertaa ensimmäisellä luokalla on enemmän tyttöjä kuin poikia? Kuinka monta kertaa toisella luokalla on enemmän tyttöjä kuin poikia?

Molemmissa luokissa tyttöjä on kaksi kertaa enemmän kuin poikia, koska suhteet ja ovat yhtä monta.

Suhdeominaisuuden avulla voit rakentaa erilaisia ​​malleja, joilla on samanlaiset parametrit kuin todellisella objektilla. Oletetaan, että kerrostalo on 30 metriä leveä ja 10 metriä korkea.

Piirtääksesi samanlaisen talon paperille, sinun on piirrettävä se samassa suhteessa 30:10.

Jaa tämän suhteen molemmat ehdot luvulla 10. Sitten saadaan suhde 3:1. Tämä suhde on 3, aivan kuten edellinen suhde on 3

Muunnetaan metrit senttimetreiksi. 3 metriä on 300 senttimetriä ja 1 metri 100 senttimetriä

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Meillä on suhde 300 cm: 100 cm. Jaa tämän suhteen ehdot 100:lla. Saamme suhteen 3 cm: 1 cm. Nyt voimme piirtää talon, jonka leveys on 3 cm ja korkeus 1 cm.

Luonnollisesti piirretty talo on paljon pienempi kuin todellinen talo, mutta leveyden ja korkeuden suhde pysyy ennallaan. Tämä antoi meille mahdollisuuden piirtää talon mahdollisimman lähelle todellista.

Asenteen voi ymmärtää myös muilla tavoilla. Alunperin sanottiin, että oikean talon leveys on 30 metriä ja korkeus 10 metriä. Yhteensä 30 + 10 eli 40 metriä.

Nämä 40 metriä voidaan ymmärtää 40 osaksi. Suhde 30:10 tarkoittaa, että leveyttä on 30 kappaletta ja korkeutta 10 kappaletta.

Lisäksi suhteen 30:10 jäsenet jaettiin 10:llä. Tuloksena oli suhde 3:1. Tämä suhde voidaan ymmärtää 4 osaksi, joista kolme on leveyttä ja yksi korkeutta. Tässä tapauksessa sinun on yleensä selvitettävä, kuinka monta metriä leveyttä ja korkeutta on.

Toisin sanoen sinun on selvitettävä kuinka monta metriä on 3 osassa ja kuinka monta metriä on 1 osassa. Ensin sinun on selvitettävä, kuinka monta metriä on yhdessä osassa. Tätä varten 40 metriä on jaettava neljällä, koska suhteessa 3:1 on vain neljä osaa

Määritetään kuinka monta metriä leveys on:

10 m × 3 = 30 m

Määritetään kuinka monta metriä on korkeudella:

10 m × 1 = 10 m

Useita suhteen jäseniä

Jos suhteessa on annettu useita jäseniä, ne voidaan ymmärtää jonkin osaksi.

Esimerkki 1... Ostettu 18 omenaa. Nämä omenat jaettiin äidin, isän ja tyttären kesken suhteessa 2:1:3. Kuinka monta omenaa kukin sai?

Suhde 2:1:3 tarkoittaa, että äiti sai 2 osaa, isä 1 osan, tytär 3 osaa. Toisin sanoen jokainen 2:1:3-suhteen jäsen on 18 omenan tietty osa:

Jos lasket yhteen suhteen 2:1:3 jäsenet, saat selville kuinka monta osaa on yhteensä:

2 + 1 + 3 = 6 (osia)

Selvitä, kuinka monta omenaa on yhdessä osassa. Tee tämä jakamalla 18 omenaa 6:lla

18: 6 = 3 (omenat per viipale)

Määritetään nyt, kuinka monta omenaa kukin sai. Kertomalla kolme omenaa kullakin 2:1:3-suhteen jäsenellä voit määrittää kuinka monta omenaa sai äiti, kuinka paljon isä sai ja kuinka paljon tytär.

Selvitetään kuinka monta omenaa äiti sai:

3 × 2 = 6 (omena)

Ota selvää kuinka monta omenaa isä sai:

3 × 1 = 3 (omena)

Selvitetään kuinka monta omenaa tyttäreni sai:

3 × 3 = 9 (omenat)

Esimerkki 2... Uusi hopea (alpakka) on nikkelin, sinkin ja kuparin seos suhteessa 3:4:13. Kuinka monta kiloa kutakin metallia sinun tulee ottaa saadaksesi 4 kg uutta hopeaa?

4 kiloa uutta hopeaa sisältää 3 osaa nikkeliä, 4 osaa sinkkiä ja 13 osaa kuparia. Ensin selvitetään, kuinka monta osaa on neljässä kilogrammassa hopeaa:

3 + 4 + 13 = 20 (osia)

Määritetään kuinka monta kiloa on yhdessä osassa:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Määritetään kuinka monta kiloa nikkeliä on 4 kg:ssa uutta hopeaa. Suhteessa 3:4:13 kolmen osan lejeeringistä on ilmoitettu sisältävän nikkeliä. Siksi kerromme 0,2 3:lla:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikkeliä

Nyt määritetään kuinka monta kiloa sinkkiä sisältää 4 kg uutta hopeaa. Suhteessa 3:4:13 seoksen neljän osan sanotaan sisältävän sinkkiä. Siksi kerromme 0,2 4:llä:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg sinkkiä

Nyt määritetään kuinka monta kiloa kuparia on 4 kg:ssa uutta hopeaa. Suhteessa 3:4:13 kolmentoista osan lejeeringistä sanotaan sisältävän kuparia. Siksi kerromme 0,2 13:lla:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg kuparia

Tämä tarkoittaa, että saadaksesi 4 kg uutta hopeaa, sinun on otettava 0,6 kg nikkeliä, 0,8 kg sinkkiä ja 2,6 kg kuparia.

Esimerkki 3... Messinki on kuparin ja sinkin seos, jonka paino on 3:2. Messinkipalan valmistamiseksi tarvitaan 120 g kuparia. Kuinka paljon sinkkiä kuluu tämän messinkipalan tekemiseen?

Määritetään kuinka monta grammaa seosta on yhdessä osassa. Ehto sanoo, että messinkipalan tekemiseen tarvitaan 120 g kuparia. Sanotaan myös, että lejeeringin kolme osaa sisältävät kuparia. Jos jaamme 120 kolmella, saamme selville kuinka monta grammaa seosta on yhdessä osassa:

120: 3 = 40 grammaa annosta kohden

Määritetään nyt, kuinka paljon sinkkiä tarvitaan messinkipalan valmistamiseen. Tätä varten kerrotaan 40 grammaa 2:lla, koska suhteessa 3:2 ilmoitetaan, että kaksi osaa sisältää sinkkiä:

40 g × 2 = 80 grammaa sinkkiä

Esimerkki 4... Otimme kaksi metalliseosta kultaa ja hopeaa. Yhdessä näiden metallien määrä on suhteessa 1:9 ja toisessa 2:3. Kuinka paljon kutakin metalliseosta tulisi ottaa, jotta saadaan 15 kg uutta metalliseosta, jossa kultaa ja hopeaa olisi suhde 1:4?

Ratkaisu

15 kg uutta metalliseosta tulisi olla suhteessa 1:4. Tämä suhde viittaa siihen, että yksi osa seoksesta on kultaa ja neljä osaa hopeaa. Osia on yhteensä viisi. Tämä voidaan esittää kaavamaisesti seuraavasti

Määritetään yhden osan massa. Tätä varten lisää ensin kaikki osat (1 ja 4) ja jaa sitten seoksen massa näiden osien lukumäärällä

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Yhden lejeeringin osan massa on 3 kg. Silloin 15 kg uutta metalliseosta sisältää 3 × 1 = 3 kg kultaa ja hopeaa 3 × 4 = 12 kg hopeaa.

Siksi 15 kg painavan seoksen saamiseksi tarvitsemme 3 kg kultaa ja 12 kg hopeaa.

Vastataan nyt ongelman kysymykseen - " Kuinka paljon kutakin metalliseosta kannattaa ottaa? »

Otamme 10 kg ensimmäistä metalliseosta, koska siinä kullan ja hopean suhde on 1:9. Eli tämä ensimmäinen seos antaa meille 1 kg kultaa ja 9 kg hopeaa.

Otamme 5 kg toista metalliseosta, koska kultaa ja hopeaa on siinä suhteessa 2:3. Toisin sanoen tämä toinen seos antaa meille 2 kg kultaa ja 3 kg hopeaa.

Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte-ryhmäämme ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista

Mittasuhteiden kaava

Suhde on kahden suhteen yhtäläisyys, kun a: b = c: d

suhde 1 : 10 on yhtä suuri kuin suhde 7 : 70, joka voidaan kirjoittaa myös murtolukuna: 1 10 = 7 70 kuuluu näin: "yksi viittaa kymmeneen ja seitsemän viittaa seitsemäänkymmeneen"

Perussuhteen ominaisuudet

Äärien tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo (ristikkäin): jos a: b = c: d, niin a⋅d = b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Suhteen käännös: jos a: b = c: d niin b: a = d: c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Keskitermien permutaatio: jos a: b = c: d, niin a: c = b: d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Äärimmäisten termien permutaatio: jos a: b = c: d, niin d: b = c: a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Suhteiden ratkaiseminen yhdellä tuntemattomalla | Yhtälö

1 : 10 = x : 70 tai 1 10 = x 70

Löytääksesi x, sinun on kerrottava kaksi tunnettua lukua ristikkäin ja jaettava vastakkaisella arvolla

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kuinka laskea suhde

Tehtävä: sinun täytyy juoda 1 tabletti aktiivihiiltä 10 painokiloa kohden. Kuinka monta tablettia sinun tulee ottaa, jos henkilö painaa 70 kg?

Tehdään suhde: 1 tabletti - 10 kg x tabletit - 70 kg Löytääksesi x, sinun on kerrottava kaksi tunnettua numeroa ristiin ja jaettava vastakkaisella arvolla: 1 tabletti x pillereitä✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Vastaus: 7 tablettia

Tehtävä: Vasya kirjoittaa kaksi artikkelia viidessä tunnissa. Kuinka monta artikkelia hän kirjoittaa 20 tunnissa?

Tehdään suhde: 2 artikkelia - 5 tuntia x artikkelit - 20 tuntia x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Vastaus: 8 artikkelia

Tuleville ylioppilaille voin sanoa, että kyky tehdä mittasuhteita oli hyödyllinen minulle sekä kuvien suhteellisessa pienentämisessä ja verkkosivun HTML-asettelussa ja arjen tilanteissa.

Useimpien lukion matematiikan ongelmien ratkaisemiseksi tarvitaan tietoa suhteellisuudesta. Tämä yksinkertainen taito auttaa sinua paitsi suorittamaan monimutkaisia ​​harjoituksia oppikirjasta, myös sukeltamaan matematiikan olemukseen. Kuinka tehdä osuus? Katsotaanpa sitä nyt.

Yksinkertaisin esimerkki on ongelma, jossa tunnetaan kolme parametria ja neljäs on löydettävä. Suhteet ovat tietysti erilaisia, mutta usein sinun on löydettävä jokin luku prosentteina. Esimerkiksi pojalla oli yhteensä kymmenen omenaa. Neljännen osan hän antoi äidilleen. Kuinka monta omenaa pojalla on jäljellä? Tämä on yksinkertaisin esimerkki, jonka avulla voit muodostaa suhteet. Pääasia on tehdä se. Omenoita oli alun perin kymmenen. Olkoon se 100%. Merkitsimme kaikki hänen omenansa. Hän luovutti neljänneksen. 1/4 = 25/100. Tämä tarkoittaa, että hän on lähtenyt: 100% (se oli alun perin) - 25% (hän ​​antoi) = 75%. Tämä luku näyttää prosenttiosuuden ensimmäisten saatavilla olevien hedelmien lukumäärästä. Nyt meillä on kolme numeroa, joilla on jo mahdollista ratkaista suhde. 10 omenaa - 100%, X omenat - 75%, missä x on tarvittava määrä hedelmiä. Kuinka tehdä osuus? Sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matemaattisesti se näyttää tältä. Yhtäläisyysmerkki laitetaan ymmärryksesi vuoksi.

10 omenaa = 100 %;

x omenat = 75 %.

Osoittautuu, että 10 / x = 100% / 75. Tämä on mittasuhteiden tärkein ominaisuus. Loppujen lopuksi, mitä suurempi x, sitä enemmän tämä luku on prosentteina alkuperäisestä. Ratkaisemme tämän suhteen ja saamme, että x = 7,5 omenaa. Meille ei tiedetä, miksi poika päätti antaa ei-kokonaismäärän. Nyt tiedät kuinka suhteuttaa. Tärkeintä on löytää kaksi relaatiota, joista toinen sisältää tuntemattoman tuntemattoman.

Suhteiden ratkaiseminen on usein yksinkertaista kertolaskua ja sitten jakamista. Kouluissa lapsille ei selitetä miksi näin on. Vaikka on tärkeää ymmärtää, että suhteelliset suhteet ovat matematiikan klassikko, se on tieteen ydin. Suhteiden ratkaisemiseksi sinun on osattava käsitellä murto-osia. Esimerkiksi prosenttiosuudet on usein muutettava murtoluvuiksi. Eli 95 % ennätys ei toimi. Ja jos kirjoitat heti 95/100, voit tehdä vakavia vähennyksiä aloittamatta päälaskentaa. On sanottava heti, että jos osuutesi osoittautui kahden tuntemattoman kanssa, niin sitä ei voida ratkaista. Kukaan professori ei voi auttaa sinua tässä. Ja tehtävälläsi on todennäköisesti monimutkaisempi oikeiden toimien algoritmi.

Harkitse toista esimerkkiä, jossa ei ole kiinnostusta. Autoilija osti 5 litraa bensiiniä 150 ruplalla. Hän mietti, kuinka paljon hän maksaisi 30 litrasta polttoainetta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi olkoon x:llä vaadittu rahamäärä. Voit ratkaista tämän ongelman itse ja tarkistaa vastauksen. Jos et ole vielä keksinyt, kuinka suhteet tehdään, katso. 5 litraa bensiiniä on 150 ruplaa. Kuten ensimmäisessä esimerkissä, kirjoitamme muistiin 5L - 150r. Etsitään nyt kolmas numero. Tietenkin tämä on 30 litraa. Hyväksy, että 30 litran pari - x ruplaa on sopiva tässä tilanteessa. Siirrytään matemaattiseen kieleen.

5 litraa - 150 ruplaa;

30 litraa - x ruplaa;

Ratkaisemme tämän osuuden:

x = 900 ruplaa.

Joten päätimme. Älä unohda tarkistaa tehtävässäsi vastauksen riittävyyttä. Tapahtuu, että väärällä päätöksellä autot saavuttavat epärealistiset 5000 kilometrin tuntinopeudet ja niin edelleen. Nyt tiedät kuinka suhteuttaa. Voit myös ratkaista sen. Kuten näette, tämä ei ole vaikeaa.

Perusta matemaattinen tutkimus on kyky saada tietoa tietyistä suureista vertaamalla niitä muihin suureisiin, jotka ovat joko ovat tasa-arvoisia tai lisää tai Vähemmän kuin ne, jotka ovat tutkimuksen kohteena. Tämä tehdään yleensä sarjan avulla yhtälöt ja mittasuhteet... Kun käytämme yhtälöitä, määritämme vaaditun arvon etsimällä sen tasa-arvo jonkin muun jo tutun määrän tai määrien kanssa.

Usein kuitenkin käy niin, että vertaamme tuntematonta määrää muihin ei tasa-arvoinen häntä, mutta enemmän tai vähemmän hänestä. Tämä vaatii erilaisen lähestymistavan tietojenkäsittelyyn. Meidän on ehkä selvitettävä esim. kuinka paljon yksi määrä on suurempi kuin toinen, tai kuinka monta kertaa toinen sisältää toisen. Löytääksemme vastauksen näihin kysymyksiin opimme, mikä on suhde kaksi määrää. Yksi suhde on nimeltään aritmeettinen ja se toinen geometrinen... On kuitenkin syytä huomata, että kumpaakaan näistä termeistä ei ole otettu vahingossa käyttöön tai vain erottamistarkoituksessa. Sekä aritmeettiset että geometriset suhteet pätevät sekä aritmetiikkaan että geometriaan.

Laajan ja tärkeän aiheen osana suhteet riippuvat mittasuhteista, joten näiden käsitteiden selkeä ja täydellinen ymmärtäminen on välttämätöntä.

338. Aritmeettinen suhde se erokahden suuren tai sarjan välillä... Itse määriä kutsutaan jäsenet suhteet, eli termit, joiden välillä on suhde. Näin ollen 2 on aritmeettinen suhde 5 ja 3. Tämä ilmaistaan ​​sijoittamalla miinusmerkki kahden arvon väliin, eli 5 - 3. Tietenkin termi aritmeettinen suhde ja sen kirjoittelu on käytännössä hyödytöntä, koska vain sana on vaihdettu ero lausekkeen miinusmerkillä.

339. Jos aritmeettisen suhteen molemmat termit moninkertaistaa tai jakaa siis samalla määrällä suhde, lopulta kerrotaan tai jaetaan tällä arvolla.
Siten, jos meillä on a - b = r
Sitten kerrotaan molemmat puolet h:lla, (Ax. 3.) ha - hb = hr
Ja jakamalla h:lla, (Ax. 4.) $ \ frac (a) (h) - \ frac (b) (h) = \ frac (r) (h) $

340. Jos aritmeettisen suhteen termit lisätään toisen vastaaviin termeihin tai vähennetään niistä, niin summan tai erotuksen suhde on yhtä suuri kuin näiden kahden suhteen summa tai erotus.
Jos a - b
Ja d-h,
ovat kaksi suhdetta,
Sitten (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Joka kussakin tapauksessa = a + d - b - h.
Ja (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Joka kussakin tapauksessa = a - d - b + h.
Joten aritmeettinen suhde 11 - 4 on 7
Ja aritmeettinen suhde 5 - 2 on 3
Jäsenten 16 - 6 summan suhde on 10, on suhteiden summa.
Termien 6 - 2 eron suhde on 4, on suhteiden ero.

341. Geometrinen suhde on määrien välinen suhde, joka ilmaistaan YKSITYINEN jos yksi määrä jaetaan toisella.
Siten suhde 8:sta 4:ään voidaan kirjoittaa 8/4 tai 2. Eli 8:n ja 4:n osamäärä. Toisin sanoen se näyttää kuinka monta kertaa 4 sisältyy 8:aan.

Samalla tavalla minkä tahansa suuren suhde toiseen voidaan määrittää jakamalla ensimmäinen toisella tai, mikä on periaatteessa sama, tekemällä ensimmäisestä murtoluvun osoittaja ja toisesta nimittäjä.
Joten a:n suhde b:hen on $ \ frac (a) (b) $
Suhde d + h ja b + c on $ \ frac (d + h) (b + c) $.

342. Geometrinen suhde kirjataan myös asettamalla kaksi pistettä päällekkäin vertailtavien arvojen väliin.
Siten a: b on tietue a:n ja b:n suhteesta ja 12:4 on suhde 12:4. Nämä kaksi määrää yhdessä muodostavat pari jossa ensimmäistä termiä kutsutaan edeltäjä ja viimeinen on seurauksena.

343. Tämä pisteillä ja toisella murto-osan muodossa oleva merkintä on tarpeen mukaan vaihdettavissa, kun taas edeltäjästä tulee murtoluvun osoittaja ja konserttista nimittäjä.
Joten 10: 5 on sama kuin $ \ frac (10) (5) $ ja b: d, sama kuin $ \ frac (b) (d) $.

344. Jos näistä kolmesta arvosta: antecedent, consequence ja ratio, mikä tahansa kaksi sitten kolmas löytyy.

Olkoon a = edeltäjä, c = seuraus, r = suhde.
Määritelmän mukaan $ r = \ frac (a) (c) $, eli suhde on yhtä suuri kuin edeltäjä jaettuna seurauksella.
Kertomalla c:llä a = cr, eli antesedentti on yhtä suuri kuin konsertti kerrottuna suhteella.
Jaa r:llä, $ c = \ frac (a) (r) $, eli se on yhtä suuri kuin antesedentti jaettuna suhteella.

Vastaava 1. Jos kahdella parilla on samat edeltäjät ja seuraukset, niin myös niiden suhteet ovat yhtä suuret.

Vastaava 2. Jos kahdella parilla suhteet ja antecidentit ovat yhtä suuret, niin seuraukset ovat yhtä suuret, ja jos suhteet ja seuraukset ovat yhtä suuret, niin myös edeltäjät ovat yhtä suuret.

345. Jos kaksi vertaili arvoja ovat tasa-arvoisia, silloin niiden suhde on yhtä suuri kuin yksi tai tasa-arvosuhde. Suhde 3 * 6: 18 on yhtä suuri kuin yksi, koska minkä tahansa suuren osamäärä jaettuna itsellään on yhtä suuri kuin 1.

Jos parin edeltäjä lisää, kuin seurauksena, suhde on suurempi kuin yksi. Koska osinko on suurempi kuin jakaja, osamäärä on suurempi kuin yksi. Joten suhde 18:6 on 3. Tätä kutsutaan suhteeksi suurempaa eriarvoisuutta.

Toisaalta, jos edeltäjä Vähemmän kuin seuraus, silloin suhde on pienempi kuin yksikkö ja tätä kutsutaan suhteeksi vähemmän eriarvoisuutta... Joten suhde 2:3 on pienempi kuin yksi, koska osinko on pienempi kuin jakaja.

346. päinvastoin suhde on kahden käänteisluvun suhde.
Joten käänteinen suhde 6:3 on k, eli:.
A:n ja b:n suora suhde on $ \ frac (a) (b) $, eli ennakko on jaettu konsekventiksi.
Käänteinen suhde on $ \ murto (1) (a) $: $ \ murto (1) (b) $ tai $ \ murto (1) (a). \ Frac (b) (1) = \ murto (b) (a) $.
eli koseventti b jaettuna antesedentillä a.

Siten käänteinen suhde ilmaistaan kääntämällä murto-osan, joka näyttää suoran kuvasuhteen, tai kun tallennus suoritetaan pisteillä, kääntää jäsenten järjestyksen.
Siten a viittaa b:hen samalla tavalla kuin b:hen a.

347. Monimutkainen suhde tämä suhde toimii vastaavia termejä kahdella tai useammalla yksinkertaisella suhteella.
Joten suhde 6:3 on 2
Ja suhde 12: 4 on 3
Niiden suhde on 72:12 = 6.

Tässä monimutkainen suhde saadaan kertomalla keskenään kaksi edeltävää suhdetta ja myös kaksi seurausta yksinkertaisista suhteista.
Joten suhde tehty
Suhteesta a: b
Ja suhde c:d
ja suhde h:y
Tämä suhde on $ ach: bdy = \ frac (ach) (bdy) $.
Yhdistelmäsuhde ei eroa sen suhteen luonto mistä tahansa muusta suhteesta. Tätä termiä käytetään osoittamaan suhteen alkuperä tietyissä tapauksissa.

Vastaava Monimutkainen suhde on yhtä suuri kuin yksinkertaisten suhteiden tulo.
Suhde a: b on yhtä suuri kuin $ \ frac (a) (b) $
Suhde c:d on yhtä suuri kuin $ \ frac (c) (d) $
Suhde h:y on $ \ frac (h) (y) $
Ja näiden kolmen lisätty suhde on ach / bdy, joka on yksinkertaisia ​​​​suhteita ilmaisevien murtolukujen tulos.

348. Jos jokaisen edellisen parin suhdesarjassa seuraus on edeltäjä seuraavassa, niin ensimmäisen edeltävän ja viimeisen seurauksen suhde on yhtä suuri kuin välisuhteista saatu suhde.
Siis useissa suhteissa
a: b
b: c
c: d
d: h
suhde a:h on yhtä suuri kuin suhteista a:b ja b:c sekä c:d ja d:h lisätty suhde. Joten kompleksisuhde viimeisessä artikkelissa on $ \ frac (abcd) (bcdh) = \ frac (a) (h) $ tai a: h.

Samalla tavalla kaikki suuret, jotka ovat sekä edeltäjiä että seurauksia kadota, kun murtolukujen tulo yksinkertaistetaan pienimpiin termeihinsä ja loppuosassa kompleksisuhde ilmaistaan ​​ensimmäisellä edeltäjällä ja viimeisellä seurauksella.

349. Monimutkaisten relaatioiden erityinen luokka saadaan kertomalla yksinkertainen relaatio luvulla itse tai jotain muuta yhtä suuri suhde. Näitä suhteita kutsutaan kaksinkertainen, kolminkertaistaa, neloset ja niin edelleen kertolaskujen lukumäärän mukaan.

Suhde, joka koostuu kaksi yhtäläiset suhteet, eli neliö- kaksinkertainen suhde.

Koostuu kolme, tuo on, kuutio yksinkertaisia ​​suhteita kutsutaan kolminkertaistaa, jne.

Samoin suhde neliöjuuret kahta määrää kutsutaan suhteeksi neliöjuuri ja suhde kuutiojuuret- suhde kuutiojuuri, jne.
Joten a:n yksinkertainen suhde b on a: b
A:n ja b:n kaksoissuhde on yhtä suuri kuin a 2:b2
A:n ja b:n kolminkertainen suhde on a 3:b3
A:n neliöjuuren suhde b:hen on √a: √b
A:n kuutiojuuren suhde b:hen on 3 √a: 3 √b ja niin edelleen.
Ehdot kaksinkertainen, kolminkertaistaa, ja niin edelleen, ei tarvitse sekoittaa kaksinkertaistunut, kolminkertaistunut, jne.
Suhde 6:2 on 6:2 = 3
Kaksinkertaistamalla tämä suhde, eli suhde kahdesti, saadaan 12: 2 = 6
Kolminkertaistamme tämän suhteen eli tämän suhteen kolme kertaa, jolloin saamme 18: 2 = 9
A kaksinkertainen suhde, eli neliö- suhde on 6 2: 2 2 = 9
JA kolminkertaistaa suhde, eli suhteen kuutio, on 6 3: 2 3 = 27

350. Jotta suureet voisivat korreloida keskenään, niiden on oltava samanlaisia, jotta voidaan varmuudella väittää, ovatko ne keskenään samanarvoisia vai onko jokin niistä suurempi tai pienempi. Jalka on kuin 12:1 suhteessa tuumaan: se on 12 kertaa suurempi kuin tuuma. Mutta ei voi sanoa esimerkiksi, että tunti on pidempi tai lyhyempi kuin keppi tai acre on suurempi tai pienempi kuin aste. Jos nämä määrät kuitenkin ilmaistaan numeroita, niin näiden lukujen välillä voi olla suhde. Toisin sanoen minuuttien lukumäärän tunnissa ja askelten lukumäärän mailia kohti välillä voi olla suhde.

351. Kääntyen luonto suhdeluvut, meidän on seuraavassa vaiheessa otettava huomioon tapa, jolla muutos yhdellä tai kahdella termillä, joita verrataan toisiinsa, vaikuttaa itse suhteeseen. Muista, että suora suhde ilmaistaan ​​murtolukuna, missä antecedet parit aina sitä osoittaja, a seurauksena - nimittäjä... Silloin murto-osien ominaisuudesta on helppo päätellä, että suhteessa tapahtuu muutoksia vaihtelemalla vertailuarvoja. Kahden suuren suhde on sama kuin merkitys murtoluvut, joista jokainen edustaa yksityinen: osoittaja jaettuna nimittäjällä. (Artikla 341.) Nyt on osoitettu, että murtoluvun osoittajan kertominen millä tahansa arvolla on sama kuin kertominen merkitys samalla määrällä ja osoittajan jakaminen on sama kuin murtoluvun arvojen jakaminen. Niin,

352. Parin edeltäjän kertominen millä tahansa arvolla tarkoittaa suhdelukujen kertomista tällä arvolla ja antesedentin jakaminen on tämän suhteen jakamista.
Joten suhde 6:2 on 3
Ja suhde 24:2 on yhtä suuri kuin 12.
Tässä viimeisen parin edeltäjä ja suhde on 4 kertaa suurempi kuin ensimmäisessä.
Suhde a:b on $ \ frac (a) (b) $
Ja suhde na: b on yhtä suuri kuin $ \ frac (na) (b) $.

Vastaava Tunnetulla seurauksella, sitä enemmän edeltäjä, sitä enemmän suhde, ja päinvastoin, mitä suurempi suhde, sitä suurempi on ennakko.

353. Kun parin seuraus kerrotaan millä tahansa arvolla, saadaan suhdeluku tällä arvolla ja jakamalla tulos kerrotaan suhde. Kertomalla murto-osan nimittäjä jaamme arvon, ja jakamalla nimittäjä, arvo kerrotaan.
Joten suhde 12:2 on 6
Ja suhde 12:4 on 3.
Tässä on toisen parin tulos kahdesti enemmän ja suhde kahdesti vähemmän kuin ensimmäinen.
Suhde a:b on $ \ frac (a) (b) $
Ja a:nb-suhde on yhtä suuri kuin $ \ frac (a) (nb) $.

Vastaava Tietyllä edeltäjällä, mitä suurempi on seuraus, sitä pienempi suhde. Sitä vastoin mitä suurempi suhde, sitä pienempi on seuraus.

354. Kahdesta viimeisestä artiklasta seuraa, että kertolasku parilla millä tahansa määrällä on sama vaikutus suhteeseen kuin seurauksen jako tällä määrällä ja edeltäjän jako, sillä on sama vaikutus kuin seurauksena oleva kertolasku.
Siksi suhde 8:4 on yhtä suuri kuin 2
Kertomalla edeltäjä 2:lla suhde 16:4 on 4
Jakamalla edeltäjä kahdella, suhde 8:2 on 4.

Vastaava Minkä tahansa tekijä tai jakaja voidaan siirtää parin edeltäjästä konsekventtiin tai konsekventista edeltävään suhdetta muuttamatta.

On syytä huomata, että kun tekijä näin siirretään termistä toiseen, siitä tulee jakaja ja siirretystä jakajasta tulee tekijä.
Joten suhde on 3,6: 9 = 2
Siirtotekijä 3, $ 6: \ frac (9) (3) = 2 $
sama suhde.

Suhde $ \ frac (ma) (y): b = \ frac (ma) (by) $
Siirretään y $ ma: by = \ frac (ma) (by) $
Siirtyy m, a: $ a: \ frac (m) (by) = \ frac (ma) (by) $.

355. Kuten artikkeleista käy ilmi. 352 ja 353, jos ennakko ja seuraus kerrotaan tai jaetaan samalla arvolla, suhde ei muutu.

Vastaava 1. Näiden kahden suhde murto-osia, joilla on yhteinen nimittäjä, on sama kuin niiden suhde osoittajia.
Joten a/n:b/n-suhde on sama kuin a:b.

Vastaava 2. Suoraan kahden murtoluvun, joilla on yhteinen osoittaja, suhde on yhtä suuri kuin niiden käänteinen suhde nimittäjiä.

356. Artikkelista on helppo määrittää minkä tahansa kahden murtoluvun suhde. Jos jokainen termi kerrotaan kahdella nimittäjällä, suhde saadaan integraalilausekkeilla. Näin ollen, kun parin a / b: c / d ehdot kerrotaan bd:llä, saadaan $ \ frac (abd) (b) $: $ \ frac (bcd) (d) $, josta tulee ad: bc vähentämällä yhteiset arvot osoittajista ja nimittäjistä.

356. b. Suhde suurempaa eriarvoisuutta lisääntyy hänen
Olkoon suuremman epäyhtälön suhde 1 + n: 1
Ja mikä tahansa suhde a: b
Yhdistelmäsuhde olisi (Art. 347,) a + na: b
Mikä on suurempi kuin suhde a:b (Art. 351. resp.)
Mutta suhde vähemmän eriarvoisuutta taitettu eri suhteilla, vähentää hänen.
Olkoon pienemmän eron suhde 1-n: 1
Mikä tahansa suhde a: b
Kompleksisuhde a - na: b
Mikä on pienempi kuin a: b.

357. Jos minkä tahansa parin jäsenille tai jäseniltälisätä tai vähennä kaksi muuta määrää, jotka ovat samassa suhteessa, niin summilla tai saldoilla on sama suhde.
Olkoon suhde a: b
On sama kuin c: d
Sitten suhde summia Seurausten summan edeltäjät, nimittäin a + c - b + d, ovat myös samat.
Eli $ \ frac (a + c) (b + d) $ = $ \ frac (c) (d) $ = $ \ frac (a) (b) $.

Todiste.

1. Oletuksen mukaan $ \ frac (a) (b) $ = $ \ frac (c) (d) $
2. Kerro b:llä ja d:llä, ad = bc
3. Lisää cd molemmille puolille, ad + cd = bc + cd
4. Jaa d:llä, $ a + c = \ frac (bc + cd) (d) $
5. Jaa b + d, $ \ murto (a + c) (b + d) $ = $ \ murto (c) (d) $ = $ \ murto (a) (b) $.

Suhde eroja seuranneen eron edeltäjät ovat myös samat.

358. Jos useissa pareissa suhteet ovat yhtä suuret, niin kaikkien edeltäjien summa viittaa kaikkien seuraamusten summaan, kuten mikä tahansa edeltäjä sen seuraukselle.
Siis suhde
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Siten suhde (12 + 10 + 8 + 6) :( 6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Suhde suurempaa eriarvoisuuttavähenee lisäämällä sama arvo molemmille jäsenille.
Olkoon annettu relaatio a + b: a tai $ \ frac (a + b) (a) $
Lisäämällä x molempiin jäseniin saadaan a + b + x: a + x tai $ \ frac (a + b) (a) $.

Ensimmäisestä tulee $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax + bx) (a (a + x)) $
Ja viimeinen on $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax) (a (a + x)) $.
Koska viimeinen osoittaja on selvästi pienempi kuin toinen, niin suhde pitäisi olla vähemmän. (Arti. 351. vast.)

Mutta suhde vähemmän eriarvoisuutta lisääntyy lisäämällä sama määrä molempiin termeihin.
Olkoon annettu relaatio (a-b): a, tai $ \ frac (a-b) (a) $.
Kun molempiin termeihin lisätään x, se saa muotoa (a-b + x) :( a + x) tai $ \ frac (a-b + x) (a + x) $
Tuomalla ne yhteiselle nimittäjälle,
Ensimmäisestä tulee $ \ frac (a ^ 2-ab + ax-bx) (a (a + x)) $
Ja viimeinen, $ \ frac (a ^ 2-ab + ax) (a (a + x)). \ Frac ((a ^ 2-ab + ax)) (a (a + x)) $.

Koska viimeinen osoittaja on suurempi kuin toinen, niin suhde lisää.
Jos sen sijaan, että lisäisit saman arvon ottaa mukaan kahdesta termistä on selvää, että vaikutus suhteeseen on päinvastainen.

Esimerkkejä.

1. Kumpi on suurempi: suhde 11:9 vai suhde 44:35?

2. Kumpi on suurempi: suhde $ (a + 3): \ frac (a) (6) $ vai suhde $ (2a + 7): \ frac (a) (3) $?

3. Jos parin ennakko on 65 ja suhde on 13, mikä on seuraus?

4. Jos parin seuraus on 7 ja suhde on 18, mikä on ennakko?

5. Miltä näyttää kompleksisuhde, joka koostuu suhteista 8:7 ja 2a:5b sekä (7x + 1) :(3y-2)?

6. Miltä kompleksisuhde, joka koostuu (x + y): b, ja (x-y) :( a + b), ja myös (a + b): h näyttää? Resp. (x 2 - y 2): bh.

7. Jos suhteet (5x + 7) :( 2x-3) ja $ (x + 2): \ vasen (\ frac (x) (2) +3 \ oikea) $ muodostavat kompleksisen suhteen, niin mikä suhdeluku saadaan: enemmän vai vähemmän epätasa-arvoa? Resp. Suuremman epätasa-arvon suhde.

8. Mikä on suhde, joka koostuu (x + y): a ja (x - y): b, ja $ b: \ frac (x ^ 2-y ^ 2) (a) $? Resp. Tasa-arvosuhde.

9. Mikä on suhde 7:5 ja kaksinkertainen suhde 4:9 ja kolme kertaa suhde 3:2?
Resp. 14:15.

10. Mikä on suhde, joka muodostuu suhteesta 3:7 ja kolminkertaistamalla x:y-suhde ja juurenpoisto suhteesta 49:9?
Resp. x 3: y 3.