15 eksponentiaalisella yhtälöllä. Teho- tai eksponentiaaliyhtälöt. voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin

Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka ovat "erittäin tasaisia...")

Mitä on tapahtunut eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x) ja niitä sisältävät lausekkeet ovat indikaattoreita joitain asteita. Ja vain siellä! On tärkeää.

Siellähän sinä olet esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

3 x 2 x = 8 x + 3

Merkintä! Asteiden tyvissä (alla) - vain numeroita... V indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima lausekkeita x:llä. Jos yhtälössä x ilmestyy yhtäkkiä muualle kuin indikaattoriin, esimerkiksi:

tämä on jo sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä ratkaisusääntöjä. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Tässä käsitellään ratkaisemalla eksponentiaaliyhtälöt puhtaimmassa muodossaan.

Itse asiassa edes puhtaat eksponentiaaliyhtälöt eivät aina ole selkeästi ratkaistu. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Harkitsemme näitä tyyppejä.

Yksinkertaisimpien eksponenttiyhtälöiden ratkaisu.

Aloitetaan jostain hyvin perustavasta. Esimerkiksi:

Jopa ilman teorioita, yksinkertaisesta valinnasta on selvää, että x = 2. Ei enää, eikö!? Mikään muu x-arvo ei rullaa. Katsotaanpa nyt tämän ovelan eksponentiaaliyhtälön ratkaisua:

Mitä me olemme tehneet? Itse asiassa me vain heitimme pois samat alustat (kolme). He heittivät sen kokonaan pois. Ja mikä miellyttää, osu merkiksi!

Todellakin, jos eksponentiaaliyhtälö vasemmalla ja oikealla sisältää sama numerot millä tahansa potenssilla, nämä luvut voidaan poistaa ja eksponentit rinnastaa. Matematiikka sallii. On vielä ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Hienoa, eikö?)

Muistakaamme kuitenkin ironisesti: voit irrottaa jalustat vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat perusnumerot ovat loistavasti erillään! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:

2 x +2 x + 1 = 2 3 tai

kakkosia ei voi poistaa!

No, olemme hallitseneet tärkeimmän. Kuinka siirtyä pahoista eksponentiaalisista lausekkeista yksinkertaisempiin yhtälöihin.

"Nämä ovat aikoja!" - sinä sanot. "Kuka antaa niin alkeellisen kokeissa ja kokeissa!?"

Minun täytyy olla samaa mieltä. Kukaan ei anna. Mutta nyt tiedät mihin pyrkiä ratkaisemaan hämmentäviä esimerkkejä. Se on tuotava muotoon, kun sama perusnumero on vasemmalla - oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikko. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muunnamme sen halutuksi. MEILLE mieleen. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.

Katsotaanpa esimerkkejä, jotka vaativat lisäponnistusta niiden saattamiseksi yksinkertaisimmiksi. Soitetaan heille yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.

Ratkaistaessa eksponentiaaliyhtälöitä, pääsäännöt ovat - toiminnot asteilla. Ilman tietoa näistä toimista mikään ei toimi.

Henkilökohtaista havainnointia ja kekseliäisyyttä on lisättävä asteisiin tekoihin. Tarvitsemmeko samoja peruslukuja? Joten etsimme niitä esimerkistä eksplisiittisessä tai salatussa muodossa.

Katsotaanpa miten tämä tehdään käytännössä?

Otetaanpa esimerkki:

2 2x - 8x + 1 = 0

Ensimmäinen terävä katse on perusteita. He... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se

Kaksi ja kahdeksan ovat asteittain sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Jos muistat kaavan toimista, joilla on voimia:

(a n) m = a nm,

pääsääntöisesti se osoittautuu hienoksi:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Alkuperäinen esimerkki näyttää nyt tältä:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Siirrämme 2 3 (x + 1) oikealle (kukaan ei peruuttanut matematiikan perustoimintoja!), saamme:

2 2x = 2 3 (x + 1)

Siinä on käytännössä kaikki. Poistamme pohjat:

Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme

Tämä on oikea vastaus.

Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa on salattu kaksi. Tämä tekniikka (yhteisten kantojen salaus eri numeroilla) on erittäin suosittu tekniikka eksponentiaalisissa yhtälöissä! Ja myös logaritmeissa. Numeroista pitää pystyä tunnistamaan muiden lukujen potenssit. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tosiasia on, että minkä tahansa luvun nostaminen mihin tahansa tehoon ei ole ongelma. Kerro, vaikka paperille, ja siinä kaikki. Esimerkiksi jokainen voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 toimii, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaalisissa yhtälöissä on paljon useammin välttämätöntä olla korottamatta potenssiin, vaan päinvastoin ... mikä numero missä määrin on piilotettu numeron 243 tai vaikkapa 343 taakse... Mikään laskin ei auta sinua tässä.

Sinun täytyy tietää joidenkin numeroiden voimat silmämääräisesti, kyllä... Harjoitellaanko?

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä luvut ovat numeroita:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastaukset (sekaisin, luonnollisesti!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jos katsot tarkasti, voit nähdä kummallisen tosiasian. Vastauksia on huomattavasti enemmän kuin tehtäviä! No, se tapahtuu... Esimerkiksi 2 6, 4 3, 8 2 ovat kaikki 64.

Oletetaan, että olet huomioinut tiedot numeroiden tuntemisesta.) Muistutan, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi käytämme koko matemaattinen tietokanta. Mukaan lukien juniori-keskiluokkalaiset. Et mennyt lukioon heti, ethän?)

Esimerkiksi eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa auttaa usein yhteisen tekijän sijoittaminen hakasulkeiden ulkopuolelle (hei, 7. luokka!). Katsotaanpa esimerkkiä:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

Ja jälleen ensi silmäyksellä - perusteissa! Tutkintojen perusteet ovat erilaisia ... Kolme ja yhdeksän. Ja haluamme niiden olevan samat. No, tässä tapauksessa halu on melko mahdollista!) Koska:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Noudata samoja sääntöjä tutkintojen käsittelyssä:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Hienoa, voit kirjoittaa:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Olemme tuoneet esimerkin samalle pohjalle. Eli mitä seuraavaksi!? Kolmea ei saa heittää pois ... Umpikuja?

Ei lainkaan. Muista monipuolisin ja tehokkain päätössääntö kaikista matemaattiset tehtävät:

Jos et tiedä mitä tarvitset, tee mitä voit!

Katsokaa, kaikki muodostuu).

Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on voi tehdä? Kyllä, vasemmalla puolella se pyytää suoraan sulkuja! Yhteinen kerroin 3 2x viittaa selvästi tähän. Kokeillaan ja sitten nähdään:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Esimerkki paranee koko ajan!

Muista, että perusteiden poistamiseksi tarvitsemme puhtaan asteen ilman kertoimia. Numero 70 tulee tiellemme. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet 70:llä, saamme:

Oho! Kaikki sujui!

Tämä on lopullinen vastaus.

Tapahtuu kuitenkin, että rullaus samoilla perusteilla saadaan, mutta niiden eliminointia ei. Tämä tapahtuu toisen tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Otetaan tämä tyyppi hallintaan.

Muuttujan muutos eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.

Ratkaistaan yhtälö:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ensin, kuten tavallista. Siirtyminen yhteen perustaan. Kakkoselle.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saamme yhtälön:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja tässä me jäädymme. Aiemmat tekniikat eivät toimi, vaikka kuinka siistiä tahansa. Meidän on päästävä eroon toisen tehokkaan ja monipuolisen tavan arsenaalista. Sitä kutsutaan muuttuva vaihto.

Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (tapauksessamme - 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi - t). Tällainen näennäisesti järjetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!

Joten anna

Sitten 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Korvaa kaikki potenssit x:llä yhtälössämme t:llä:

No, se sarastaa?) Oletko jo unohtanut toisen asteen yhtälöt? Ratkaisemme diskriminantin avulla, saamme:

Tässä tärkeintä ei ole pysähtyä, koska se tapahtuu... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme X:n, emme t:n. Palataan X:ihin, ts. teemme palautusvaihdon. Ensin t 1:lle:

Tuo on,

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:

Hmm... Vasen 2 x oikea 1 ... Onko ongelma? Ei lainkaan! Riittää, kun muistaa (voimien toimien perusteella, kyllä...), että se on minkä tahansa numero nollaan asteeseen. Kuka tahansa. Toimitamme mitä tarvitaan. Tarvitsemme kakkosen. Keinot:

Nyt se on siinä. Meillä on 2 juurta:

Tämä on vastaus.

klo ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä joskus päädymme johonkin hankalaan ilmeeseen. Tyyppi:

Seitsemästä kahdesta prime-tutkintoon ei toimi. He eivät ole sukulaisia ... Kuinka olla täällä? Joku voi olla hämmentynyt ... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyilee vain säästeliäästi ja kirjoittaa lujalla kädellä täysin oikean vastauksen:

Tällaista vastausta ei voi olla kokeen tehtävissä "B". Siellä vaaditaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" - helposti.

Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan pääasia.

Käytännön neuvoja:

1. Ensinnäkin tarkastelemme säätiöt astetta. Mietitään, onko mahdollista tehdä niitä sama. Yritämme tehdä tämän käyttämällä aktiivisesti toiminnot asteilla.Älä unohda, että myös luvut ilman x:ää voidaan muuntaa potenssiksi!

2. Pyrimme vähentämään eksponentiaaliyhtälön muotoon, kun vasen ja oikea ovat sama numeroita missä tahansa asteessa. Käytämme toiminnot asteilla ja faktorointi. Mitä voidaan laskea numeroina - me laskemme.

3. Jos toinen kärki ei toiminut, yritämme soveltaa muuttujan substituutiota. Lopputuloksena on yhtälö, joka voidaan helposti ratkaista. Useimmiten se on neliö. Tai murto-osa, joka myös pienenee neliöiksi.

4. Jotta voisit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä joidenkin lukujen tehot "näön perusteella".

Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään tekemään vähän päätöstä.) Itse. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt:

Vaikeampaa:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Etsi juurten tulo:

2 3-x + 2 x = 9

Tapahtui?

No, sitten monimutkaisin esimerkki (ratkaistu kuitenkin mielessä ...):

7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3

Mikä on mielenkiintoisempaa? Sitten tässä on sinulle huono esimerkki. Melko vetoa lisääntyneisiin vaikeusasteisiin. Vihjaan, että tässä esimerkissä kekseliäisyys ja yleisin sääntö kaikkien matemaattisten tehtävien ratkaisemiseksi pelastaa.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Esimerkki on yksinkertaisempi, lepoon):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurien summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Kyllä kyllä! Tämä on sekoitettu yhtälö! Mitä emme huomioineet tällä oppitunnilla. Ja että ne pitäisi ottaa huomioon, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää ratkaisemaan yhtälön. No, taitoa tarvitaan ... Ja olkoon seitsemäs luokka auttaa sinua (tämä on vihje!).

Vastaukset (sekaisin, puolipiste erotettuna):

yksi; 2; 3; 4; ei ratkaisuja; 2; -2; -5; 4; 0.

Onko kaikki hyvin? Hieno.

On ongelma? Ei ongelmaa! Erityisosassa 555 kaikki nämä eksponentiaaliyhtälöt on ratkaistu yksityiskohtaisten selitysten kera. Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa työskentelemisestä on arvokasta lisätietoa. Ei vain nämä.)

Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tässä opetusohjelmassa työskentelimme eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa. Miksi en puhunut täällä sanaakaan ODZ:stä? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Viimeisen kokeen valmisteluvaiheessa vanhempien opiskelijoiden on parannettava tietojaan aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt". Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat koululaisille tiettyjä vaikeuksia. Siksi lukion opiskelijoiden on koulutustasostaan riippumatta hallittava perusteellisesti teoria, opittava ulkoa kaavat ja ymmärrettävä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen periaate. Opittuaan selviytymään tämäntyyppisistä ongelmista, valmistuneet voivat luottaa korkeisiin pisteisiin läpäiseessään matematiikan kokeen.

Valmistaudu tenttitestiin Shkolkovon kanssa!

Kun tarkastellaan katettua materiaalia, monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää yhtälöiden ratkaisemiseen tarvittavat kaavat. Kouluoppikirja ei ole aina käsillä, ja tarvittavan tiedon valinta aiheesta Internetissä kestää kauan.

Koulutusportaali "Shkolkovo" kutsuu opiskelijoita käyttämään tietopohjaamme. Otamme käyttöön täysin uudenlaisen menetelmän valmistautua lopputestaukseen. Verkkosivuillamme opiskelemalla voit tunnistaa tiedon puutteita ja kiinnittää huomiota juuri niihin tehtäviin, jotka aiheuttavat eniten vaikeuksia.

Shkolkovon opettajat ovat keränneet, systematoineet ja esittäneet kaiken yhtenäisen valtionkokeen onnistuneeseen läpäisemiseen tarvittavan materiaalin yksinkertaisimmassa ja helposti saatavilla olevassa muodossa.

Tärkeimmät määritelmät ja kaavat on esitetty "Teoreettinen viite" -osiossa.

Materiaalin paremman omaksumisen vuoksi suosittelemme harjoittelemaan tehtävien suorittamista. Tutustu huolellisesti esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä tällä sivulla esitetyllä ratkaisulla ymmärtääksesi laskenta-algoritmin. Siirry sen jälkeen "Hakemistot" -osion tehtäviin. Voit aloittaa helpoimmista ongelmista tai siirtyä suoraan ratkaisemaan monimutkaisia eksponentiaaliyhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia tai. Verkkosivustomme harjoituspohjaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.

Ne esimerkit indikaattoreineen, jotka aiheuttivat sinulle vaikeuksia, voidaan lisätä suosikkeihisi. Näin löydät ne nopeasti ja voit keskustella ratkaisusta opettajasi kanssa.

Läpäiseksesi yhtenäisen valtionkokeen onnistuneesti opiskele Shkolkovo-portaalissa joka päivä!

Takaisin eteenpäin

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esitysvaihtoehtoja. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tyyppi

: oppitunti tietojen, taitojen ja kykyjen yleistämisestä ja monimutkaisista sovelluksista aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaisutavat".

Oppitunnin tavoitteet.

Koulutuksellinen:
toistaa ja systematisoida aiheen "Eksponentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisut" päämateriaali; vahvistaa kykyä käyttää sopivia algoritmeja erityyppisten eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa; kokeeseen valmistautuminen.
Kehitetään:
kehittää opiskelijoiden loogista ja assosiatiivista ajattelua; edistää tiedon itsenäisen soveltamisen taidon kehittymistä.
Koulutuksellinen:
kouluttaa määrätietoisuutta, tarkkaavaisuutta ja tarkkuutta yhtälöiden ratkaisemisessa.

Laitteet:

tietokone ja multimediaprojektori.

Oppitunti käyttää Tietotekniikka : metodologinen tuki oppitunnille - esitys Microsoft Power Point -ohjelmassa.

Tuntien aikana

Jokainen taito on työn antama

minä Oppitunnin tavoitteiden asettaminen(Dia numero 2 )

Tällä oppitunnilla teemme yhteenvedon ja yleistämme aiheen "Eksponentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisut". Tutustutaan tyypillisiin USE-tehtäviin eri vuosilta tästä aiheesta.

Tehtäviä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi löytyy mistä tahansa tenttitehtävien osasta. Osassa " V" yleensä ne tarjoavat yksinkertaisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisen. Osassa " KANSSA " voit löytää monimutkaisempia eksponentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaisu on yleensä yksi tehtävän vaiheista.

Esimerkiksi ( Dia numero 3 ).

Yhtenäinen valtionkoe - 2007

Q 4 - Etsi suurin lausekkeen arvo x v, missä ( X; klo) - järjestelmäratkaisu:

Yhtenäinen valtionkoe - 2008

B 1 - Ratkaise yhtälöt:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

Yhtenäinen valtionkoe - 2009

Q 4 - Selvitä lausekkeen merkitys x + y, missä ( X; klo) - järjestelmäratkaisu:

Yhtenäinen valtionkoe - 2010

– Ratkaise yhtälö: 7 X– 2 = 49. - Etsi yhtälön juuret: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

II. Perustietojen päivittäminen. Toisto

(Diat numerot 4-6 esitykset oppitunnille)

Näytössä näkyy teoreettisen materiaalin perustiivistelmä tässä aiheessa.

Seuraavista asioista keskustellaan:

Mitä yhtälöitä kutsutaan suuntaa antava?
Nimeä tärkeimmät tavat ratkaista ne. Anna esimerkkejä niiden tyypeistä ( Dia numero 4 )

(Ratkaise ehdotetut yhtälöt kullekin menetelmälle itsenäisesti ja suorita itsetesti dialla)

Mitä lausetta käytetään muodon yksinkertaisimpien eksponenttiyhtälöiden ratkaisemiseen: ja f (x) = a g (x)?
Mitä muita menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen on olemassa? ( Dia numero 5 )

Factoring menetelmä

Jaon (kertomisen) vastaanotto muulla eksponentiaalisella lausekkeella kuin nolla, kun ratkaistaan homogeenisia eksponentiaaliyhtälöitä

Neuvoja:

eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa on hyödyllistä suorittaa ensin muunnoksia, jolloin yhtälön molemmille puolille saadaan potenssit samoilla kantakantoilla.

Yhtälöiden ratkaiseminen kahdella viimeisellä menetelmällä, joita seuraa kommentit

(Dia numero 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t - 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Tentin 2010 tehtävien ratkaiseminen

Oppilaat ratkaisevat itsenäisesti oppitunnin alussa ehdotetut tehtävät dialla 3 käyttäen ratkaisun ohjeita, tarkistavat ratkaisun kulkunsa ja vastaukset niihin esityksen avulla ( Dia numero 7). Työn aikana keskustellaan ratkaisuvaihtoehdoista ja -menetelmistä, kiinnitetään huomiota mahdollisiin ratkaisuvirheisiin.

: a) 7 X- 2 = 49, b) (1/6) 12-7 x = 36. Vastaus: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 = 0. (Voit korvata 0,5 = 4 - 0,5)

Ratkaisu. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Vastaus: X= -5/2, X = 1/2.

: 55 tg y+ 4 = 5 -tg y, osoitteessa cos y< 0.

Ohjeet ratkaisuun

... 55 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

55 2g y+ 45 tg y - 1 = 0. Olkoon X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Koska tg y= -1 ja cos y< 0 siis klo II koordinaattineljännes

Vastaus: klo= 3/4 + 2k, k N.

IV. Tee yhteistyötä taululla

Korkean koulutuksen tehtävänä pidetään - Dia numero 8... Tämän dian avulla syntyy dialogia opettajan ja opiskelijoiden välillä, mikä myötävaikuttaa ratkaisun kehittämiseen.

- Millä parametrilla a yhtälö 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0:lla on kaksi juuria?

Päästää t= 2 X, missä t > 0 ... Saamme t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

yksi). Koska yhtälöllä on kaksi juuria, D> 0;

2). Koska t 1,2> 0 siis t 1 t 2> 0 eli a 2 – 4a> 0 (?...).

Vastaus: a(- 0,5; 0) tai (4; 4,5).

V. Varmistustyö

(Dia numero 9 )

Opiskelijat esiintyvät varmistustyöt paperille, itsehillinnän harjoittaminen ja suoritetun työn itsearviointi aihetta vahvistavan esityksen avulla. He määrittelevät itsenäisesti itselleen ohjelman tiedon säätelemiseksi ja korjaamiseksi työkirjoissa tehtyjen virheiden perusteella. Tehdyt itsenäiset työt sisältävät lomakkeet luovutetaan opettajalle tarkistettavaksi.

Alleviivatut numerot - perustaso, tähdellä - lisääntynyt vaikeus.

Ratkaisu ja vastaukset.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 * .3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (ei sovi),

(3/5) X = 5, x = -1.

Vi. Kotitehtävät
(Dia numero 10 )

Toista kohdat 11, 12.
Valitse yhtenäisen valtionkokeen 2008 - 2010 materiaaleista aiheeseen liittyvät tehtävät ja ratkaise ne.

Kotitestityö

Älä pelkää sanojani, törmäsit tähän menetelmään jo 7. luokalla, kun opiskelit polynomeja.

Esimerkiksi, jos tarvitset:

Ryhmitetään: ensimmäinen ja kolmas termi sekä toinen ja neljäs.

On selvää, että ensimmäinen ja kolmas ovat neliöiden ero:

ja toisella ja neljännellä on yhteinen tekijä kolme:

Sitten alkuperäinen lauseke vastaa tätä:

Yhteisen tekijän poistaminen ei ole enää vaikeaa:

Siten,

Suunnilleen näin toimitaan eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa: etsi termien joukosta "yhteisyyttä" ja laita se hakasulkujen ulkopuolelle, no sitten - tulkoon mikä tahansa, uskon, että meillä on onni =))

Esimerkki nro 14

Oikealla on kaukana seitsemän astetta (tarkastin sen!) Ja vasemmalla - ei paljon parempi ...

Voit tietysti "leikkaa" kertoimen a toisesta ensimmäisestä termistä ja sitten käsitellä tulosta, mutta tehdään se varovaisemmin kanssasi.

En halua käsitellä murto-osia, jotka väistämättä tulevat "korostamisesta", joten eikö minun olisi parempi kestää?

Silloin minulla ei ole murto-osia: kuten sanotaan, sudet ovat ruokittuja ja lampaat turvassa:

Laske suluissa oleva lauseke.

Maagisella, maagisella tavalla se käy ilmi (yllättävää, vaikka mitä muuta voimme odottaa?).

Sitten kumotaan yhtälön molemmat puolet tällä tekijällä. Saamme:, mistä.

Tässä on monimutkaisempi esimerkki (todellakin melko vähän):

Mikä vaiva! Meillä ei ole täällä yhtä yhteistä perustaa!

Nyt ei ole täysin selvää, mitä tehdä.

Tehdään mitä voimme: ensin siirretään "neljät" toiselle puolelle ja "viisit" toiselle:

Siirretään nyt "yhteistä" vasemmalle ja oikealle:

Joten mitä nyt?

Mitä hyötyä on tällaisesta typerästä ryhmästä? Ensi silmäyksellä se ei näy ollenkaan, mutta katsotaanpa tarkemmin:

No, nyt tehdään niin, että vasemmalla on vain lauseke kanssa ja oikealla - kaikki muu.

Miten tämä tehdään?

Ja näin: Jaa yhtälön molemmat puolet ensin (näin päästään eroon oikeanpuoleisesta asteesta) ja jaa sitten molemmat puolet arvolla (näin pääsemme eroon vasemmanpuoleisesta numeerisesta tekijästä).

Lopulta saamme:

Uskomaton!

Vasemmalla meillä on lauseke ja oikealla yksinkertainen.

Sitten teemme sen heti sen johtopäätöksen

Esimerkki nro 15

Annan hänen lyhyen ratkaisunsa (vaivaamatta liikaa selityksiin), yritä selvittää kaikki ratkaisun "hienot" itse.

Nyt lopullinen konsolidointi läpimenneestä materiaalista.

Seuraavien 7 ongelman ratkaiseminen itse (vastauksineen)

Otetaan yhteinen tekijä suluista:
Esitämme ensimmäistä lauseketta muodossa:, jaa molemmat osat ja hanki se
, sitten alkuperäinen yhtälö muunnetaan muotoon: No, nyt vihje - katso missä sinä ja minä olemme jo ratkaisseet tämän yhtälön!
Kuvittele kuinka, miten ja no, jaa sitten molemmat osat, jotta saat yksinkertaisimman eksponentiaaliyhtälön.
Irrota kiinnikkeistä.
Irrota kiinnikkeistä.

TUTKIMUKSET YHTÄLÖT. KESKITASO

Luulen, että luettuani ensimmäisen artikkelin, joka kertoi mitä ovat eksponentiaaliset yhtälöt ja kuinka ne ratkaistaan, olet hallinnut yksinkertaisimpien esimerkkien ratkaisemiseen vaadittavat vähimmäistiedot.

Nyt analysoin toista menetelmää eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, tämä ...

Menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi (tai korvaamiseksi)

Hän ratkaisee suurimman osan "vaikeista" ongelmista eksponentiaaliyhtälöiden (eikä vain yhtälöiden) aiheesta.

Tämä menetelmä on yksi käytetään useimmiten käytännössä. Ensinnäkin suosittelen, että tutustut aiheeseen.

Kuten jo nimestä ymmärsit, tämän menetelmän ydin on tehdä sellainen muuttujan muutos, että eksponentiaaliyhtälösi muuttuu ihmeellisesti sellaiseksi, jonka voit jo helposti ratkaista.

Tämän hyvin "yksinkertaistetun yhtälön" ratkaisemisen jälkeen sinulle ei jää muuta kuin tehdä "käänteinen korvaus" eli palata korvatusta korvattuun.

Havainnollistetaan mitä juuri sanoimme hyvin yksinkertaisella esimerkillä:

Esimerkki 16. Yksinkertainen korvausmenetelmä

Tämä yhtälö ratkaistaan käyttämällä "Yksinkertainen vaihto", kuten matemaatikot sitä halveksivasti kutsuvat.

Itse asiassa korvaaminen tässä on ilmeisin. Se pitää vain nähdä

Sitten alkuperäinen yhtälö muuttuu seuraavaksi:

Jos lisäksi kuvittelet kuinka, niin on täysin selvää, mikä on vaihdettava ...

Tietysti, .

Mihin alkuperäinen yhtälö sitten muuttuu? Ja tässä mitä:

Voit helposti löytää sen juuret itse:.

Mitä meidän pitäisi tehdä nyt?

On aika palata alkuperäiseen muuttujaan.

Mitä unohdin ilmoittaa?

Nimittäin: kun korvaan tietyn asteen uudella muuttujalla (eli vaihdat näkymää), olen kiinnostunut vain positiiviset juuret!

Voit itse vastata helposti miksi.

Siten sinä ja minä emme ole kiinnostuneita, mutta toinen juuri sopii meille varsin:

Sitten missä.

Vastaus:

Kuten näet, edellisessä esimerkissä korvaaja pyysi käsiämme. Valitettavasti näin ei aina ole.

Älä kuitenkaan mene suoraan surulliseen, vaan harjoittele vielä yhdellä esimerkillä melko yksinkertaisella korvauksella

Esimerkki 17 Yksinkertainen korvausmenetelmä

On selvää, että se on todennäköisesti vaihdettava (tämä on pienin yhtälöimme sisältyvistä asteista).

Ennen kuin otamme käyttöön korvaavan, yhtälömme on kuitenkin "valmistettava" sitä varten, nimittäin:,.

Sitten voit korvata, tuloksena saan seuraavan lausekkeen:

Voi kauhua: kuutioyhtälö, jonka ratkaisuun on täysin kammottavia kaavoja (no, yleisesti ottaen).

Mutta älkäämme vaipuko epätoivoon heti, vaan miettikää mitä tehdä.

Ehdotan huijausta: tiedämme, että saadaksemme "kivan" vastauksen, meidän on saatava se jonkin kolmoisvoiman muodossa (miksi se olisi, vai mitä?).

Yritetään arvata ainakin yksi yhtälömme juuri (aloitan arvaamisen potenssilla kolme).

Ensimmäinen oletus. Se ei ole juuri. Voi ja ah...

.
Vasen puoli on tasainen.
Oikea osa: !

On! Olet arvannut ensimmäisen juuren. Nyt asiat helpottuvat!

Tiedätkö "kulma"-jakojärjestelmästä? Tietenkin tiedät käyttäväsi sitä, kun jaat yhden luvun toisella.

Mutta harvat tietävät, että sama voidaan tehdä polynomeilla.

On yksi hieno lause:

Omassa tilanteessani tämä kertoo minulle, millä on jaollinen.

Miten jako suoritetaan? Näin:

Katson, mikä monomi minun täytyy kertoa saadakseni

On selvää, että sitten:

Vähennä tuloksena oleva lauseke, saa:

Millä minun pitää nyt kertoa saadakseni?

On selvää, että, niin saan:

ja vähennä jälleen tuloksena oleva lauseke jäljellä olevasta:

No, viimeinen vaihe, kerron ja vähennän jäljellä olevasta lausekkeesta:

Hurraa, jako on ohi! Mitä olemme säästäneet yksityisesti?

Itsestään: .

Sitten saimme seuraavan jaottelun alkuperäisestä polynomista:

Ratkaistaan toinen yhtälö:

Sillä on juuret:

Sitten alkuperäinen yhtälö:

sillä on kolme juurta:

Hylkäämme tietysti viimeisen juuren, koska se on pienempi kuin nolla.

Ja kaksi ensimmäistä käänteisen korvauksen jälkeen antavat meille kaksi juuria:

Vastaus: ..

Tarkoitukseni ei ollut pelotella sinua tällä esimerkillä!

Päinvastoin, tavoitteenani oli osoittaa, että vaikka meillä olikin melko yksinkertainen korvaava, se johti kuitenkin melko monimutkaiseen yhtälöön, jonka ratkaiseminen vaati meiltä erityisosaamista.

No, kukaan ei ole immuuni tälle. Mutta korvaaminen tässä tapauksessa oli melko ilmeinen.

Esimerkki 18 (vähemmän ilmeisellä korvauksella)

Ei ole ollenkaan selvää, mitä meidän pitäisi tehdä: ongelma on se, että yhtälössämme on kaksi eri kantaa ja yhtä kantaa ei voida saada toisesta nostamalla mihinkään (kohtuulliseen, luonnollisesti) asteeseen.

Mitä me kuitenkin näemme?

Molemmat kannat eroavat vain etumerkillä, ja niiden tulo on neliöiden erotus, yhtä suuri kuin yksi:

Määritelmä:

Siten luvut, jotka ovat esimerkissämme emäkset, ovat konjugoituja.

Tässä tapauksessa fiksu liike olisi kerro yhtälön molemmat puolet konjugaattiluvulla.

Esimerkiksi päällä, yhtälön vasen puoli tulee yhtä suureksi ja oikea puoli.

Jos teemme korvauksen, alkuperäinen yhtälöstämme tulee tällainen:

sen juuret, ja muistaen sen, saamme sen.

Vastaus: ,.

Korvausmenetelmä on yleensä riittävä ratkaisemaan useimmat "koulun" eksponentiaaliyhtälöt.

Seuraavat monimutkaisemmat tehtävät on otettu kokeen versioista.

Kolme monimutkaisempaa tehtävää tentin vaihtoehdoista

Olet jo tarpeeksi pätevä ratkaisemaan nämä esimerkit itsenäisesti. Annan vain tarvittavan vaihdon.

Ratkaise yhtälö:
Etsi yhtälön juuret:
Ratkaise yhtälö:. Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin:

Ja nyt lyhyet selitykset ja vastaukset:

Esimerkki nro 19

Tässä riittää, että toteamme, että ja.

Sitten alkuperäinen yhtälö vastaa tätä:

Tämä yhtälö ratkaistaan korvaamalla

Tee lisälaskelmat itse.

Lopulta tehtäväsi rajoittuu yksinkertaisimman trigonometrisen ratkaisemiseen (sinistä tai kosinista riippuen). Analysoimme tällaisten esimerkkien ratkaisua muissa osioissa.

Esimerkki nro 20

Täällä voit jopa ilman vaihtoa ...

Riittää, kun siirrät vähennetyn oikealle ja edustavat molempia kantalukuja kahden:n potenssien kautta ja siirrytään sitten suoraan toisen asteen yhtälöön.

Esimerkki nro 21

Se on myös ratkaistu melko tavallisella tavalla: kuvitellaan kuinka.

Sitten korvaamalla saamme toisen asteen yhtälön: sitten,

Tiedätkö jo mikä logaritmi on? Ei? Lue sitten aihe pikaisesti!

Ensimmäinen juuri ei ilmeisesti kuulu segmenttiin, ja toinen on käsittämätön!

Mutta se selviää pian!

Siitä lähtien (tämä on logaritmin ominaisuus!)

Vähennä molemmista osista, niin saamme:

Vasen puoli voidaan esittää seuraavasti:

kerro molemmat osat:

voidaan sitten kertoa

Sitten verrataan:

siitä lähtien:

Sitten toinen juuri kuuluu vaadittuun väliin

Vastaus:

Kuten näet, eksponentiaaliyhtälöiden juurien valinta edellyttää riittävän syvällistä tietoa logaritmien ominaisuuksista joten suosittelen sinua olemaan mahdollisimman varovainen ratkaiseessasi eksponentiaaliyhtälöitä.

Kuten voit kuvitella, matematiikassa kaikki on yhteydessä toisiinsa!

Kuten matematiikan opettajallani oli tapana sanoa: "matematiikkaa, kuten historiaa, ei voi lukea yhdessä yössä."

Pääsääntöisesti kaikki vaikeus ratkaista monimutkaisempia ongelmia on juuri yhtälön juurien valinta.

Toinen esimerkki koulutuksesta...

Esimerkki 22

On selvää, että yhtälö itsessään on melko yksinkertainen ratkaista.

Suorittamalla korvauksen pienennämme alkuperäistä yhtälöämme seuraavaan:

Ensin harkitaan ensimmäinen juuri.

Vertaa ja: siitä lähtien. (logaritmisen funktion ominaisuus, at).

Silloin on selvää, että ensimmäinen juuri ei myöskään kuulu väliimme.

Nyt toinen juuri:. On selvää, että (koska funktio at kasvaa).

On vielä vertailla ja.

siitä lähtien, samaan aikaan.

Tällä tavalla voin "ajaa tappia" ja välillä.

Tämä tapi on numero.

Ensimmäinen lauseke on pienempi ja toinen on suurempi.

Tällöin toinen lauseke on suurempi kuin ensimmäinen ja juuri kuuluu väliin.

Vastaus:.

Lopuksi katsotaanpa toista esimerkkiä yhtälöstä, jossa korvaus on melko epästandardi.

Esimerkki # 23 (Yhtälö epästandardilla korvauksella!)

Aloitetaan heti siitä, mitä voit tehdä ja mitä - periaatteessa voit, mutta on parempi olla tekemättä sitä.

Voit edustaa kaikkea kolmen, kahden ja kuuden voiman avulla.

Minne se johtaa?

Kyllä, se ei johda mihinkään: asteiden sekaisin, ja joistakin niistä on melko vaikea päästä eroon.

Mitä sitten tarvitaan?

Huomaa, että a

Ja mitä se antaa meille?

Ja se, että voimme pelkistää tämän esimerkin ratkaisun melko yksinkertaisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisuksi!

Ensin kirjoitetaan yhtälömme uudelleen seuraavasti:

Nyt jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet seuraavasti:

Eureka! Nyt voimme vaihtaa, saamme:

No, nyt on sinun vuorosi ratkaista demonstraatioongelmia, ja annan heille vain lyhyitä kommentteja, jotta et eksy! Onnea!

Esimerkki nro 24

Vaikein!

Korvaajaa ei ole helppo löytää täältä! Mutta tästä huolimatta tämä esimerkki voidaan ratkaista täysin käyttämällä koko neliön valinta.

Sen ratkaisemiseksi riittää, että huomaat, että:

Sitten tässä sinulle korvaaja:

(Huomaa, että tässä vaihdon aikana emme voi pudottaa negatiivista juuria !!! Ja miksi luulet?)

Nyt esimerkin ratkaisemiseksi sinun on ratkaistava kaksi yhtälöä:

Molemmat ratkaistaan "vakiokorvauksella" (mutta toinen yhdessä esimerkissä!)

Esimerkki nro 25

2. Huomaa se ja vaihda.

Esimerkki nro 26

3. Jaa luku koprime-tekijöiksi ja yksinkertaista tuloksena olevaa lauseketta.

Esimerkki nro 27

4. Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä arvolla (tai halutessasi) ja korvaa tai.

Esimerkki nro 28

5. Huomaa, että numerot ja ovat konjugoituja.

ILMAISEKOHTAJIEN RATKAISEMINEN LOGARIFIOINTIMENETELMÄLLÄ. EDISTYNYT TASO

Lisäksi harkitaan toista tapaa - eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu logaritmimenetelmällä.

En voi sanoa, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu tällä menetelmällä on erittäin suosittu, mutta joissakin tapauksissa vain se voi johtaa meidät yhtälömme oikeaan ratkaisuun.

Sitä käytetään erityisen usein ratkaisemaan ns. sekayhtälöt": Eli ne, joissa erityyppiset funktiot kohtaavat.