Ongelma numero 1
Logiikka on yksinkertainen: toimimme kuten ennenkin, huolimatta siitä, että nyt trigonometrisilla funktioilla on monimutkaisempi argumentti!
Jos ratkaisisimme muodon yhtälön:
Sitten kirjoitamme seuraavan vastauksen:
Tai (koska)
Mutta nyt meillä on roolissamme seuraava ilmaisu:
Sitten voit kirjoittaa:
Tavoitteemme kanssasi on tehdä vasen teline yksinkertaisesti, ilman "epäpuhtauksia"!
Päästään niistä eroon pikkuhiljaa!
Ensin poistamme nimittäjä: tätä varten kerromme yhtäläisyytemme:
Nyt päästään eroon jakamalla molemmat osat siihen:
Nyt päästään eroon kahdeksasta:
Tuloksena oleva lauseke voidaan kirjoittaa 2 sarjana ratkaisuja (analogisesti toisen asteen yhtälön kanssa, jossa joko lisäämme tai vähennämme erottimen)
Meidän on löydettävä suurin negatiivinen juuri! On selvää, että se on selvitettävä.
Mieti ensin ensimmäistä sarjaa:
On selvää, että jos otamme, niin tuloksena saamme positiivisia lukuja, eivätkä ne kiinnosta meitä.
Joten sinun on otettava se negatiivinen. Päästää.
Kun juuri on jo:
Ja meidän on löydettävä suurin negatiivinen! Se tarkoittaa, että negatiiviseen suuntaan ei ole enää järkevää mennä. Ja tämän sarjan suurin negatiivinen juuri on.
Katsotaanpa nyt toista sarjaa:
Ja taas korvaamme:, sitten:
Ei kiinnosta!
Sitten ei ole enää järkeä lisätä! Me vähennämme! Antaa sitten:
Sopii!
Päästää. Sitten
Sitten - suurin negatiivinen juuri!
Vastaus:
Ongelma numero 2
Jälleen ratkaisemme kompleksisesta kosini-argumentista huolimatta:
Nyt sanomme jälleen vasemmalle:
Kerromme molemmat puolet
Jaamme molemmat puolet
Jäljelle jää vain siirtää se oikealle ja muuttaa sen merkki miinuksesta plussaksi.
Meillä on jälleen 2 sarjaa juuria, joista toinen on ja toinen.
Meidän on löydettävä suurin negatiivinen juuri. Harkitse ensimmäistä sarjaa:
On selvää, että saamme ensimmäisen negatiivisen juuren osoitteessa, se on yhtä suuri kuin ja on suurin negatiivinen juuri 1 sarjassa.
Toiselle sarjalle
Ensimmäinen negatiivinen juuri saadaan myös kohdassa ja on yhtä suuri kuin. Siitä lähtien on yhtälön suurin negatiivinen juuri.
Vastaus: .
Ongelma numero 3
Ratkaise riippumatta kompleksisen tangentin argumentista.
Siinä ei näytä olevan mitään monimutkaista, eikö?
Kuten aiemmin, ilmaisemme vasemmalla puolella:
No, hienoa, täällä on vain yksi sarja juuria! Etsi suurin negatiivinen uudelleen.
On selvää, että se käy ilmi, jos laitamme. Ja tämä juuri on yhtä suuri.
Vastaus:
Yritä nyt ratkaista seuraavat ongelmat itse.
Kotitehtävä tai 3 tehtävää itsenäiseen ratkaisuun.
- Päätökset-shi-te yhtälö.
- Päätökset-shi-te yhtälö.
Ot-ve-näissä na-pi-shi-te, pienin po-li-tel-juuri. - Päätökset-shi-te yhtälö.
Ot-ve-näissä na-pi-shi-te, pienin po-li-tel-juuri.
Valmis? Tarkistetaan. En kuvaile yksityiskohtaisesti koko ratkaisualgoritmia, minusta näyttää siltä, että siihen on kiinnitetty riittävästi huomiota edellä.
No onko kaikki oikein? Voi niitä ikäviä poskionteloita, niissä on aina ongelmia!
No, nyt voit ratkaista yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt!
Tarkista ratkaisut ja vastaukset:
Ongelma numero 1
Ilmaistakaamme
Pienin positiivinen juuri saadaan, jos laitamme, koska, sitten
Vastaus:
Ongelma numero 2
Pienin positiivinen juuri saadaan, kun.
Se on tasa-arvoista.
Vastaus: .
Ongelma numero 3
Kun saamme, kun saamme.
Vastaus: .
Nämä tiedot auttavat sinua ratkaisemaan monia kokeessa kohtaavia ongelmia.
Jos haet arvosanaa "5", sinun on vain luettava artikkeli keskitaso, joka on omistettu monimutkaisempien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen (tehtävä C1).
KESKITASO
Tässä artikkelissa kuvailen monimutkaisempien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen ja kuinka valita niiden juuret. Tässä rakentelen seuraavia aiheita:
- Trigonometriset yhtälöt lähtötasolle (katso edellä).
Monimutkaisemmat trigonometriset yhtälöt ovat monimutkaisempien ongelmien perusta. Niissä on sekä ratkaistava itse yhtälö yleisessä muodossa että löydettävä tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat tiettyyn määrättyyn väliin.
Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen koostuu kahdesta osatehtävästä:
- Yhtälön ratkaisu
- Juurien valinta
On huomattava, että jälkimmäistä ei aina vaadita, mutta valinta vaaditaan kuitenkin useimmissa esimerkeissä. Ja jos sitä ei vaadita, voit mieluummin tuntea myötätuntoa - tämä tarkoittaa, että yhtälö on itsessään melko monimutkainen.
Kokemukseni C1-tehtävien jäsentämisestä osoittaa, että ne on yleensä jaettu näihin luokkiin.
Neljä monimutkaisempia tehtäviä (entinen C1)
- Yhtälöt, jotka pelkistyvät tekijöihin.
- Yhtälöt pelkistyvät muotoon.
- Yhtälöt ratkaistaan muuttujan muutoksella.
- Yhtälöt, jotka edellyttävät ylimääräistä juurien valintaa irrationaalisuuden tai nimittäjän vuoksi.
Yksinkertaisesti sanottuna: jos törmäät yksi kolmesta ensimmäisestä yhtälötyypistä pidä sitten itseäsi onnekkaana. Heille yleensä sinun on lisäksi poimittava tiettyyn aikaväliin kuuluvat juuret.
Jos törmäät tyypin 4 yhtälöön, olet vähemmän onnekas: sinun täytyy käsitellä sitä hieman pidempään ja tarkemmin, mutta melko usein se ei vaadi ylimääräistä juurien valintaa. Siitä huolimatta analysoin tämän tyyppisiä yhtälöitä seuraavassa artikkelissa, ja tämä on omistettu kolmen ensimmäisen tyypin yhtälöiden ratkaisemiseen.
Faktorointiyhtälöt
Tärkeintä on muistaa tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseksi
Kuten käytäntö osoittaa, tämä tieto on yleensä riittävä. Katsotaanpa joitain esimerkkejä:
Esimerkki 1. Yhtälö pelkistäminen kertoimeen käyttämällä pelkistyskaavoja ja kaksoiskulmasiniä
- Res-shi-te yhtälö
- Ei-di-te kaikki tämän yhtälön juuret
Tässä, kuten lupasin, valukaavat toimivat:
Sitten yhtälöni näyttää tältä:
Sitten yhtälööni tulee seuraava muoto:
Lyhytnäköinen opiskelija saattaa sanoa: nyt jätän molemmat osat ohi, hankin yksinkertaisimman yhtälön ja nautin elämästä! Ja se tulee olemaan katkerasti väärässä!
| MUISTA: ÄLÄ KOSKAAN VÄHENNÄ TRIGONOMETRISEN YHTÄLÖN KUMPIA OSIA FUNKTIOILLA, JOKA SISÄLTÄÄ TUNTEMATTOMAN! JOTEN menetät JUURET! |
Joten mitä sinä teet? Kyllä, kaikki on yksinkertaista, siirrä kaikki yhteen suuntaan ja poista yhteinen tekijä:
No, laskemme sen tekijöiksi, hurraa! Nyt päätämme:
Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret:
Ja toinen:
Tämä täydentää ongelman ensimmäisen osan. Nyt meidän on valittava juuret:
Väli on tällainen:
Tai se voidaan kirjoittaa myös näin:
No, otetaan juuret:
Ensin työstetään ensimmäisen sarjan kanssa (ja se on helpompaa, mitä voimme sanoa!)
Koska välimme on täysin negatiivinen, ei-negatiivisia ei tarvitse ottaa, mutta silti ne antavat ei-negatiivisia juuria.
Otetaan sitten - vähän liikaa, ei sovi.
Anna sitten - ei lyönyt uudelleen.
Vielä yksi yritys - sitten - on, osu! Ensimmäinen juuri löytynyt!
Ammun uudelleen: sitten - osuin uudestaan!
No, vielä kerran:: - tämä on jo lento.
Joten ensimmäisestä sarjasta 2 juuria kuuluu väliin:.
Työskentelemme toisen sarjan kanssa (rakennamme säännön mukaisessa määrin):
Alitus!
Alilyönti taas!
Taas alilyönti!
Sain sen!
Lento!
Joten nämä juuret kuuluvat minun alueeseeni:
Tällä algoritmilla ratkaisemme kaikki muut esimerkit. Harjoitellaan yhdessä vielä yhdellä esimerkillä.
Esimerkki 2. Yhtälö, joka pelkistyy tekijöihin jakamiseen pelkistyskaavoja käyttäen
- Ratkaise yhtälö
Ratkaisu:
Jälleen pahamaineiset valukaavat:
Jälleen, älä yritä vähentää!
Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret:
Ja toinen:
Etsi nyt juuria uudelleen.
Aloitan toisesta sarjasta, tiedän siitä jo kaiken edellisestä esimerkistä! Katso ja varmista, että aukkoon kuuluvat juuret ovat seuraavat:
Nyt ensimmäinen jakso ja se on yksinkertaisempi:
Jos - sopii
Jos - on myös hyvä
Jos - jo lento.
Sitten juuret ovat seuraavat:
Itsenäinen työ. 3 yhtälöä.
No, onko tekniikka sinulle selvä? Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen ei näytä enää niin vaikealta? Ratkaise sitten nopeasti seuraavat ongelmat itse, ja sitten sinä ja minä ratkaisemme muita esimerkkejä:
- Ratkaise yhtälö
Ei-di-nämä ovat kaikki tämän yhtälön juuret, jotka on liitetty väliin. - Res-shi-te yhtälö
Ilmoita yhtälön juuret - Res-shi-te yhtälö
Ei-di-nämä ovat kaikki tämän yhtälön juuret - ei-niy, liitetty - le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Yhtälö 1.
Ja taas valukaava:
Ensimmäinen juurisarja:
Toinen juurisarja:
Valinta aukkoon alkaa
Vastaus: ,.
Yhtälö 2. Itsenäisen työn tarkastus.
Melko hankala ryhmittely tekijöihin (käytän kaksoiskulmasinikaavaa):
sitten tai
Tämä on yleinen ratkaisu. Nyt meidän on valittava juuret. Ongelmana on, että emme voi sanoa tarkkaa kulman arvoa, jonka kosini on yhtä kuin yksi neljäsosa. Siksi en voi vain päästä eroon arkosiinista - tämä on niin sääli!
Mitä voin tehdä, on selvittää mitä ja miten sitten.
Tehdään taulukko: intervalli:
No, tuskallisten hakujen kautta päädyimme pettymykseen, että yhtälöllämme on yksi juuri mainitulla aikavälillä: \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi
Yhtälö 3. Itsenäisen työn tarkistus.
Pelottava yhtälö. Se voidaan kuitenkin ratkaista yksinkertaisesti käyttämällä kaksoiskulmasinikaavaa:
Pienennä 2:lla:
Ryhmitetään ensimmäinen termi toiseen ja kolmas neljänteen ja otetaan pois yleiset tekijät:
On selvää, että ensimmäisellä yhtälöllä ei ole juuria, ja harkitse nyt toista:
Yleensä aioin viipyä tällaisten yhtälöiden ratkaisussa hieman myöhemmin, mutta koska se paljastui, ei ole mitään tekemistä, se on ratkaistava ...
Muodon yhtälöt:
Tämä yhtälö ratkaistaan jakamalla molemmat osat:
Siten yhtälöllämme on yksi sarja juuria:
On tarpeen löytää niistä ne, jotka kuuluvat väliin:.
Rakennetaan taas taulukko, kuten tein aiemmin:
Vastaus:.
Yhtälöt, jotka pelkistyvät muotoon:
No, nyt on aika siirtyä toiseen yhtälöerään, varsinkin kun olen jo puhjennut mistä uudentyyppisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisu koostuu. Mutta ei ole tarpeetonta toistaa tätä muodon yhtälöä
Se ratkaistaan jakamalla molemmat osat kosinilla:
- Res-shi-te yhtälö
Ilmoita yhtälön-not-nia juuret, kun-yli-makaa-leikkauksesta. - Res-shi-te yhtälö
Ilmoita yhtälön-not-nia juuret, when-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Esimerkki 1.
Ensimmäinen on hyvin yksinkertainen. Siirry oikealle ja käytä kaksoiskulmakosinikaavaa:
Ahaa! Muodon yhtälö:. jaan molemmat osat
Teemme juurien seulonnan:
Väli:
Vastaus:
Esimerkki 2.
Kaikki on myös melko triviaalia: laajennetaan oikeanpuoleisia sulkuja:
Trigonometrinen perusidentiteetti:
Kaksoiskulmasini:
Lopulta saamme:
Juuren pudotus: aukko.
Vastaus:.
No, mitä pidät tekniikasta, eikö se ole liian monimutkaista? Toivottavasti ei. Voimme tehdä varauksen välittömästi: puhtaassa muodossaan yhtälöt, jotka pelkistyvät välittömästi tangentin yhtälöksi, ovat melko harvinaisia. Tyypillisesti tämä siirtymä (jako kosinilla) on vain osa monimutkaisempaa ongelmaa. Tässä on esimerkki harjoitteluun:
- Res-shi-te yhtälö
- Ei-di-nämä ovat kaikki tämän yhtälön juuret-not-nia, liitetty-over-le-zha-shi-ku.
Tarkistetaan:
Yhtälö ratkaistaan välittömästi, riittää, että jaat molemmat osat:
Juuren poisjääminen:
Vastaus:.
Tavalla tai toisella emme ole vielä kohdanneet sellaisia yhtälöitä, joita olemme juuri analysoineet. Meidän on kuitenkin liian aikaista pyöristää: on vielä yksi yhtälöjen "kerros", jota emme ole analysoineet. Niin:
Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen muuttujaa vaihtamalla
Täällä kaikki on läpinäkyvää: tarkastelemme yhtälöä tarkasti, yksinkertaistamme sitä mahdollisimman paljon, teemme korvauksen, ratkaisemme, teemme käänteisen korvauksen! Sanalla sanottuna kaikki on erittäin helppoa. Katsotaanpa toiminnassa:
Esimerkki.
- Ratkaise yhtälö:.
- Ei-di-nämä ovat kaikki tämän yhtälön juuret-not-nia, liitetty-over-le-zha-shi-ku.
No, tässä itse vaihto on meidän käsissämme!
Sitten yhtälömme muuttuu seuraavaksi:
Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret:
Ja toinen on nämä:
Nyt löydämme väliin kuuluvat juuret
Vastaus:.
Käydään yhdessä hieman monimutkaisempi esimerkki:
- Res-shi-te yhtälö
- Ilmoita annetun yhtälön juuret-non-niy, when-over-le-za-shi-n-e-zhut-ku.
Tässä korvaaminen ei ole heti näkyvissä, lisäksi se ei ole kovin ilmeinen. Mietitään ensin: mitä voimme tehdä?
Voimme esimerkiksi kuvitella
Ja samalla
Sitten yhtälööni tulee muoto:
Nyt huomio, keskity:
Jaetaan yhtälön molemmat puolet:
Yhtäkkiä sinä ja minä saimme toisen asteen yhtälön! Tehdään uusi, niin saamme:
Yhtälöllä on seuraavat juuret:
Ikävä toinen juurisarja, mutta sille ei voi mitään! Valitsemme juuret intervallista.
Meidän on myös otettava se huomioon
Siitä lähtien ja siitä lähtien
Vastaus:
Vahvistaaksesi, ennen kuin ratkaiset ongelmat itse, tässä on toinen harjoitus sinulle:
- Res-shi-te yhtälö
- Ei-di-nämä ovat kaikki tämän yhtälön juuret - ei-niy, liitetty - le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Tässä kannattaa pitää silmät auki: meillä on nyt nimittäjiä, jotka voivat olla nolla! Siksi sinun tulee olla erityisen tarkkaavainen juurille!
Ensinnäkin minun on muutettava yhtälö, jotta voin tehdä sopivan korvauksen. En voi juuri nyt keksiä parempaa kuin kirjoittaa tangentti uudelleen sinin ja kosinin suhteen:
Siirryn nyt kosinuksesta sineihin trigonometrisen perusidentiteetin avulla:
Ja lopuksi tuon kaiken yhteiselle nimittäjälle:
Nyt voin siirtyä yhtälöön:
Mutta klo (eli klo).
Kaikki on nyt valmis vaihdettavaksi:
Sitten joko
Huomaa kuitenkin, että jos, niin samaan aikaan!
Kuka tästä kärsii? Ongelma tangentin kanssa, se on määrittelemätön kun kosini on nolla (jako nollalla).
Näin ollen yhtälön juuret ovat seuraavat:
Nyt seulomme juuret väliltä:
| - sopii | |
| - raaka voima |
Siten yhtälöllämme on yksi juuri välissä, ja se on yhtä suuri kuin.
Näet: nimittäjän ulkonäkö (sekä tangentti johtaa tiettyihin vaikeuksiin juurien kanssa! Tässä sinun on oltava varovaisempi!).
No, sinä ja minä olemme melkein lopettaneet trigonometristen yhtälöiden analyysin, jäljellä on hyvin vähän - kahden ongelman itsenäiseen ratkaisemiseen. Täällä he ovat.
- Ratkaise yhtälö
Ei-di-nämä ovat kaikki tämän yhtälön juuret-not-nia, liitetty-over-le-zha-shi-ku. - Res-shi-te yhtälö
Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka on liitetty leikkaukseen.
Päätetty? Ei kovin vaikeaa? Tarkistetaan:
- Työskentelemme pelkistyskaavojen mukaisesti:
Korvaa yhtälö:
Kirjoitetaan kaikki uudelleen kosinusten suhteen, jotta korvaaminen on helpompaa:
Nyt on helppo tehdä vaihto:
On selvää, että tämä on ulkopuolinen juuri, koska yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Sitten:
Etsimme tarvittavia juuria väliltä
Vastaus:.
Tässä vaihto näkyy heti:Sitten joko
- sopii! - sopii! - sopii! - sopii! -paljon! - myös paljon! Vastaus:
No nyt se on siinä! Mutta trigonometristen yhtälöiden ratkaisu ei lopu tähän, jäämme vaikeimpiin tapauksiin: kun yhtälöissä on irrationaalisuutta tai kaikenlaisia "monimutkaisia nimittäjiä". Harkitsemme tällaisten tehtävien ratkaisemista edistyneen tason artikkelissa.
EDISTYNYT TASO
Kahdessa edellisessä artikkelissa käsiteltyjen trigonometristen yhtälöiden lisäksi tarkastelemme toista yhtälöluokkaa, joka vaatii vielä huolellisempaa analysointia. Nämä trigonometriset esimerkit sisältävät joko irrationaalisuutta tai nimittäjä, mikä vaikeuttaa niiden analysointia.... Saatat kuitenkin törmätä näihin yhtälöihin koepaperin osassa C. Siinä on kuitenkin hopeinen vuoraus: tällaisille yhtälöille ei yleensä esiinny kysymystä siitä, mikä sen juurista kuuluu tiettyyn väliin. Älkäämme lyötäkö pensasta, vaan vain trigonometrisiä esimerkkejä.
Esimerkki 1.
Ratkaise yhtälö ja etsi segmenttiin kuuluvat juuret.
Ratkaisu:
Meillä on nimittäjä, jonka ei pitäisi olla nolla! Sitten tämän yhtälön ratkaiseminen on sama kuin järjestelmän ratkaiseminen
Ratkaistaan jokainen yhtälö:
Ja nyt toinen:
Katsotaanpa nyt sarjaa:
On selvää, että vaihtoehto ei sovi meille, koska tässä tapauksessa nimittäjä nollataan pois (katso toisen yhtälön juurten kaava)
Jos kuitenkin, niin kaikki on kunnossa, eikä nimittäjä ole nolla! Sitten yhtälön juuret ovat seuraavat:,.
Nyt valitsemme väliin kuuluvat juuret.
| - ei sovi | - sopii | |
| - sopii | - sopii | |
| raaka voima | raaka voima |
Sitten juuret ovat seuraavat:
Katsos, jopa pienen kohinan esiintyminen nimittäjän muodossa vaikutti merkittävästi yhtälön ratkaisuun: pudotimme sarjan juuria, jotka nollasivat nimittäjän. Tilanne voi olla vielä vaikeampi, jos törmäät trigonometrisiin esimerkkeihin, joissa on irrationaalisuutta.
Esimerkki 2.
Ratkaise yhtälö:
Ratkaisu:
No, juuria ei ainakaan tarvitse valita, ja se on hyvä! Ratkaistaan ensin yhtälö irrationaalisuudesta riippumatta:
Onko siinä kaikki? Ei, valitettavasti se olisi liian helppoa! On muistettava, että juuren alla voivat olla vain ei-negatiiviset luvut. Sitten:
Ratkaisu tähän epätasa-arvoon:
Nyt on vielä selvitettävä, ovatko jotkin ensimmäisen yhtälön juuret vahingossa päässeet sinne, missä epäyhtälö ei täyty.
Voit tehdä tämän uudelleen käyttämällä taulukkoa:
| : , mutta | Ei! | |
| Joo! | ||
| Joo! |
Niinpä yksi juurista "pudotti pois" minulta! Se käy ilmi, jos laitat sen. Sitten vastaus voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Vastaus:
Katsos, juuri vaatii vielä tarkempaa huomiota! Asiaa mutkistaa: anna nyt juuren alle trigonometrinen funktio.
Esimerkki 3.
Kuten ennenkin: ensin ratkaistaan jokainen erikseen ja sitten mietitään mitä olemme tehneet.
Nyt toinen yhtälö:
Nyt vaikein asia on selvittää, saadaanko aritmeettisen juuren alla olevia negatiivisia arvoja, jos korvaamme juuret ensimmäisestä yhtälöstä siellä:
Luku tulee ymmärtää radiaaneina. Koska radiaanit ovat noin asteita, radiaanit ovat noin asteita. Tämä on toisen neljänneksen kulma. Mikä on toisen neljänneksen kosinin merkki? Miinus. Ja sini? Plussa. Joten mitä voidaan sanoa ilmaisusta:
Se on alle nolla!
Tämä tarkoittaa, että se ei ole yhtälön juuri.
Nyt on vuoro.
Verrataan tätä lukua nollaan.
Kotangentti on funktio, joka pienenee yhdellä neljänneksellä (mitä pienempi argumentti, sitä suurempi kotangentti). radiaanit ovat suunnilleen asteita. Samaan aikaan
siitä lähtien ja siitä lähtien
,
Vastaus:.
Voiko se olla vielä vaikeampaa? Olet tervetullut! Se on vaikeampaa, jos trigonometrinen funktio on edelleen juuren alla ja yhtälön toinen osa on jälleen trigonometrinen funktio.
Mitä enemmän trigonometrisiä esimerkkejä, sen parempi, katso lisää:
Esimerkki 4.
Juuri ei sovellu rajoitetun kosinuksen vuoksi
Nyt toinen:
Samaan aikaan juuren määritelmän mukaan:
Meidän on muistettava yksikköympyrä: nimittäin ne neljännekset, joissa sini on pienempi kuin nolla. Mitkä ne ovat? Kolmas ja neljäs. Sitten olemme kiinnostuneita niistä ensimmäisen yhtälön ratkaisuista, jotka ovat kolmannella tai neljännellä neljänneksellä.
Ensimmäinen sarja tuottaa juuret kolmannen ja neljännen neljänneksen leikkauspisteessä. Toinen sarja, joka on täysin vastakkainen sille, synnyttää juuret, jotka sijaitsevat ensimmäisen ja toisen neljänneksen rajalla. Siksi tämä sarja ei sovi meille.
Vastaus: ,
Ja uudelleen trigonometriset esimerkit "vaikealla järjettömyydellä"... Ei vain, että meillä on trigonometrinen funktio jälleen juuren alla, mutta nyt se on myös nimittäjässä!
Esimerkki 5.
No, mitään ei voida tehdä - toimimme kuten ennenkin.
Nyt työskentelemme nimittäjällä:
En halua ratkaista trigonometristä epätasa-arvoa, ja siksi toimin ovelasti: otan ja korvaan sarjani juuret epätasa-arvoon:
Jos - jopa, niin meillä on:
koska silloin kaikki kuvakulmat ovat neljännellä neljänneksellä. Ja taas pyhä kysymys: mikä on sinus-merkki neljännellä neljänneksellä? Negatiivinen. Sitten epätasa-arvo
Jos se on outoa, niin:
Millä alueella kulma sijaitsee? Tämä on toisen neljänneksen kulma. Sitten kaikki kulmat ovat jälleen toisen neljänneksen kulmia. Poskiontelo on siellä positiivinen. Juuri mitä tarvitset! Eli sarja:
Sopii!
Käsittele toista juurisarjaa samalla tavalla:
Korvaamme eriarvoisuudessamme:
Jos - jopa, niin
Ensimmäisen neljänneksen kulmat. Sinus on siellä positiivinen, joten sarja on sopiva. Jos nyt - outoa, niin:
sopii myös!
No, nyt kirjoitamme vastauksen ylös!
Vastaus:
No, tämä oli ehkä aikaa vievin tapaus. Nyt tarjoan sinulle ongelmia omaksi ratkaisuksesi.
Treenata
- Ratkaise ja etsi kaikki segmenttiin kuuluvat yhtälön juuret.
Ratkaisut:
Ensimmäinen yhtälö:
tai
ODZ-juuri:Toinen yhtälö:
Valitse aukkoon kuuluvat juuret
Vastaus:
Tai
tai
Mutta
Harkitse:. Jos - jopa, niin
- ei sovi!
Jos - outoa,: - sopii!
Tämä tarkoittaa, että yhtälöllämme on seuraavat juuret:
tai
Juurien valinta välissä:
| - ei sovi | - sopii | |
| - sopii | - paljon | |
| - sopii | paljon |
Vastaus: ,.
Tai
Koska tangenttia ei ole määritelty. Hylkäämme välittömästi tämän sarjan juuria!
Toinen osa:
Samanaikaisesti ODZ:n mukaan se vaaditaan
Tarkistamme ensimmäisestä yhtälöstä löytyneet juuret:
Jos merkki on:
Ensimmäisen neljänneksen kulmat, joissa tangentti on positiivinen. Ei sovi!
Jos merkki on:
Neljännen neljänneksen kulma. Siellä tangentti on negatiivinen. Sopii. Kirjoitamme vastauksen muistiin:
Vastaus: ,.
Olemme käsitelleet monimutkaisia trigonometrisia esimerkkejä yhdessä tässä artikkelissa, mutta sinun tulee ratkaista yhtälöt itse.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVOT
Trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on tiukasti trigonometrisen funktion merkin alla.
On kaksi tapaa ratkaista trigonometriset yhtälöt:
Ensimmäinen tapa on käyttää kaavoja.
Toinen tapa on trigonometrisen ympyrän läpi.
Voit mitata kulmia, löytää niiden sinit, kosinit ja paljon muuta.
Valmistautuminen matematiikan yhtenäisen valtiokokeen profiilitasolle. Hyödyllisiä trigonometriamateriaaleja, suuret teoreettiset videoluennot, videoanalyysit ongelmista ja valikoima tehtäviä menneiltä vuosilta.
Hyödyllisiä materiaaleja
Videovalinnat ja verkkokurssit
Trigonometriset kaavat
Trigonometristen kaavojen geometrinen kuva
Kaaren toiminnot. Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt
Trigonometriset yhtälöt
- Tarvittava teoria ongelmien ratkaisemiseen.
- a) Ratkaise yhtälö $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ oikea] $. - a) Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [-3 \ pi; - \ pi \ right] $. - Ratkaise yhtälö $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $.
- a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ vasen [- \ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $. - a) Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $.
- Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $.
- Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ oikea) $.- a) Ratkaise yhtälö $ \ cos 2x = \ sin \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $. - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) = \ sqrt3 \ cos x $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ oikea] $.
Tehtävien videoanalyysi
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ sqrt (3); \ sqrt (20) \ right] $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ oikea] $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ sqrt (3); \ sqrt (30) \ right] $.
a) Ratkaise yhtälö $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ vasen (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ oikea) $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ oikea) $.
a) Ratkaise yhtälö $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ vasen (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ oikea) = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ oikea] $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [\ log_5 2; \ log_5 20 \ right] $.
a) Ratkaise yhtälö $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ vasen (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ oikea) = 9 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right] $.
a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $.
a) Ratkaise yhtälö $ \ vasen (\ dfrac (1) (49) \ oikea) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ right] $.
a) Ratkaise yhtälö $ \ sin x + \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ right) \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) + \ sin \ dfrac (x) (2) \ oikea) = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $.
a) Ratkaise yhtälö $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin $ \ left [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $.
Valikoima tehtäviä menneiltä vuosilta
- a) Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ oikea] $. (USE-2018. Early wave) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ sqrt (3); \ sqrt (30) \ right] $. (USE-2018. Varhainen aalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) = \ cos x $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [-2 \ pi; - \ dfrac (\ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ vasen (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ oikea) $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [3 \ pi; \ dfrac (9 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ oikea] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $.
- a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sqrt3 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [2 \ pi; \ dfrac (7 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ oikea] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sqrt2 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ right) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ right] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sqrt2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ right] $. (USE-2018. Main wave) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Main wave)
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Main wave)- a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ oikea] $. (USE-2018. Pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ oikea] $. (USE-2018. Pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2018. Pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ sqrt (3); \ sqrt (20) \ right] $. (USE-2018. Pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (\ pi) (2); \ \ pi \ right] $. (USE-2017, pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ log_2 0 (,) 2; \ \ log_2 5 \ right] $. (USE-2017, pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ log_2 0 (,) 1; \ 12 \ sqrt (5) \ right] $. (USE-2017, pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 0 (,) 4 ^ (\ sin x) + 2 (,) 5 ^ (\ sin x) = 2 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ log_8 \ left (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ right) = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2017, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ log_4 \ left (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ oikea) = x $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ right] $. (USE-2017, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ log_2 ^ 2 \ vasen (\ sin x \ oikea) - 5 \ log_2 \ vasen (\ sin x \ oikea) - 3 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- 3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 81 ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- 4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 8 ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ right] $. (USE-2017, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ sqrt (10); \ \ sqrt (99) \ right] $. (USE-2016, pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 6 \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [2; \ 2 (,) 5 \ right] $. (USE-2016, pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right) + 1 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, pääaalto, varapäivä) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ vasen (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ oikea) $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2016, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [-2 \ pi; \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 8 ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ right] $. (USE-2016, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ vasen (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ oikea) = 0,25 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ vasen (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ oikea)) = \ sqrt (2) $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left $. (USE-2015, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ pi; \ 0 \ right] $. (USE-2015, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ oikea] $. (USE-2014, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) - \ sin 2x = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2014, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) + 1 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2014, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ - \ sqrt (2) \ sin \ vasen (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ oikea) \ cdot \ sin x = \ cos x $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [\ dfrac (9 \ pi) (2); \ 6 \ pi \ right] $. (USE-2014, varhainen aalto) - a) Ratkaise yhtälö $ \ sin 2x = \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2013, pääaalto) - a) Ratkaise yhtälö $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ vasen (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ oikea) - 2 = 0 $.
b) Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin $ \ vasen [-5 \ pi; \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ oikea] $. (USE-2012, toinen aalto)
Oppitunnin tarkoitus:
a) vahvistaa kykyä ratkaista yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt;
b) opettaa valitsemaan trigonometristen yhtälöiden juuret annetusta intervallista
Tuntien aikana.
1. Tiedon toteuttaminen.
a) Kotitehtävän tarkistaminen: luokalle annettiin ennakoiva kotitehtävä - yhtälön ratkaiseminen ja tapa valita juurit annetusta intervallista.
1) cos x= -0,5, missä xI [-]. Vastaus:.
2) synti x=, missä xI. Vastaus: ; ...
3) cos 2 x= -, missä хI. Vastaus:
Oppilaat kirjoittavat ratkaisun taululle, joku kaaviolla, joku valintamenetelmällä.
Tällä kertaa luokka toimii suullisesti.
Etsi ilmaisun merkitys:
a) tg - sin + cos + sin. Vastaus: 1.
b) 2 arccos 0 + 3 arccos 1. Vastaus: ?
c) arcsin + arcsin. Vastaus:.
d) 5 arctan (-) - arccos (-). Vastaus:-.
- Tarkastetaan läksyjäsi, avataan läksyvihkot.
Jotkut teistä ovat löytäneet ratkaisun sovitusmenetelmällä ja jotkut kaavion avulla.
2. Johtopäätös näiden tehtävien ratkaisemisesta ja ongelmanratkaisu eli aiheen viesti ja oppitunnin tarkoitus.
- a) On vaikea ratkaista valinnan avulla, jos annetaan suuri väli.
- b) Graafinen menetelmä ei anna tarkkoja tuloksia, vaatii varmennusta ja vie paljon aikaa.
- Siksi on oltava ainakin yksi lisää menetelmä, yleisin - yritetään löytää se. Mitä me sitten teemme luokassa tänään? (Opi valitsemaan trigonometrisen yhtälön juuret tietyllä aikavälillä.)
- Esimerkki 1 (Oppilas menee taululle)
cos x= -0,5, missä xI [-].
Kysymys: Mistä tämän tehtävän vastaus riippuu? (Yhtälön yleisestä ratkaisusta. Kirjoitetaan ratkaisu yleisessä muodossa). Päätös kirjoitetaan taululle
х = + 2? k, missä k R.
- Kirjoitetaan tämä ratkaisu joukon muotoon:
- Mitä mieltä olette, mille ratkaisun tietueelle on kätevää valita juuret välissä? (toisesta merkinnästä). Mutta tämä on jälleen valintamenetelmä. Mitä meidän tulee tietää saadaksemme oikean vastauksen? (Sinun on tiedettävä k:n arvot).
(Tehdään matemaattinen malli k:n löytämiseksi).
koska kI Z, niin k = 0, siis X= = |
tämä epäyhtälö osoittaa, että k:llä ei ole kokonaislukuarvoja. |
Johtopäätös: Jos haluat valita juuret tietystä intervallista ratkaiseessasi trigonometristä yhtälöä, sinun on:
- muodon yhtälön ratkaisemiseksi sin x = a, cos x = a on kätevämpää kirjoittaa yhtälön juuret kahtena juurisarjana.
- muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseksi tg x = a, ctg x = a kirjoita ylös yleinen kaava juurille.
- laadi jokaiselle ratkaisulle matemaattinen malli kaksois-epäyhtälön muodossa ja löydä parametrin k tai n kokonaisluku.
- korvaa nämä arvot juurikaavassa ja laske ne.
Ratkaise esimerkit 2 ja 3 kotitehtävistä saatua algoritmia käyttäen. Samanaikaisesti kaksi opiskelijaa työskentelee taulun ääressä, minkä jälkeen työt tarkistetaan.
Tässä artikkelissa yritän selittää 2 tapaa juurien valinta trigonometrisessa yhtälössä: käyttämällä epäyhtälöitä ja käyttämällä trigonometristä ympyrää. Siirrytään suoraan havainnollistavaan esimerkkiin ja käsitellään tapausta.
A) Ratkaise yhtälö sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x)
b) Etsi tämän yhtälön kaikki juuret, jotka kuuluvat väliin [-7Pi / 2; -2Pi]
Ratkaistaan kohta a.
Käytämme pelkistyskaavaa sini sinille (Pi / 2 + x) = cos (x)
Sqrt (2) cos ^ 2x = cosx
Sqrt (2) cos ^ 2x - cosx = 0
Cosx (sqrt (2) cosx - 1) = 0
X1 = Pi / 2 + Pin, n ∈ Z
Sqrt (2) cosx - 1 = 0
Cosx = 1 / neliö (2)
Cosx = sqrt (2) / 2
X2 = kaaret (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
X2 = Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
Ratkaistaan kohta b.
1) Juurien valinta epäyhtälöiden avulla
Täällä kaikki tehdään yksinkertaisesti, korvaamme saadut juuret annetulla aikavälillä [-7Pi / 2; -2Pi], etsi n:n kokonaislukuarvot.
7Pi / 2 pienempi tai yhtä suuri kuin Pi / 2 + Pin pienempi tai yhtä suuri kuin -2Pi
Jaa kaikki Piiksi kerralla
7/2 on pienempi tai yhtä suuri kuin 1/2 + n on pienempi tai yhtä suuri kuin -2
7/2 - 1/2 pienempi tai yhtä suuri kuin n pienempi tai yhtä suuri kuin -2 - 1/2
4 pienempi tai yhtä suuri kuin n pienempi tai yhtä suuri kuin -5/2
Tämän alueen kokonaisluku n on -4 ja -3. Joten tähän väliin kuuluvat juuret ovat Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2, Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2
Samalla tavalla teemme vielä kaksi epätasa-arvoa
7Pi / 2 pienempi tai yhtä suuri kuin Pi / 4 + 2Pin pienempi tai yhtä suuri kuin -2Pi
-15/8 pienempi tai yhtä suuri kuin n pienempi tai yhtä suuri kuin -9/8
Tässä välissä ei ole kokonaislukua n
7Pi / 2 pienempi tai yhtä suuri kuin -Pi / 4 + 2Pin pienempi tai yhtä suuri kuin -2Pi
-13/8 pienempi tai yhtä suuri kuin n pienempi tai yhtä suuri kuin -7/8
Yksi kokonaisluku n tällä välillä on -1. Joten valittu juuri tällä välillä on -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4.
Joten vastaus kohdassa b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4
2) Juurien valinta trigonometrisen ympyrän avulla
Jotta voit käyttää tätä menetelmää, sinun on ymmärrettävä, kuinka tämä ympyrä toimii. Yritän selittää yksinkertaisella kielellä, kuinka ymmärrän tämän. Luulen, että kouluissa algebratunneilla tämä aihe selitettiin monta kertaa opettajan älykkäillä sanoilla, monimutkaisilla sanamuodoilla oppikirjoissa. Henkilökohtaisesti ymmärrän tämän ympyränä, joka voidaan kulkea äärettömän monta kertaa, koska sini- ja kosinifunktiot ovat jaksollisia.
Mennään kerran vastapäivään
Kierretään 2 kertaa vastapäivään
Kierretään 1 kerta myötäpäivään (arvot ovat negatiivisia)
Palataan kysymykseemme, meidän on valittava juuret väliltä [-7Pi / 2; -2Pi]
Päästäksesi numeroihin -7Pi / 2 ja -2Pi, sinun on kierrettävä ympyrä vastapäivään kaksi kertaa. Yhtälön juurten löytämiseksi tälle intervallille on välttämätöntä estimoida ja korvata.
Tarkastellaan x = Pi / 2 + Pin. Mikä on likimääräinen n:n arvo, jos x:n arvo on jossain tässä välissä? Korvaamalla esimerkiksi -2, saamme Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, tämä ei ilmeisesti sisälly väliimme, joten otamme alle -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, se sopii, yritetään uudelleen -4, Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 sopii myös.
Päätellen samalla tavalla Pi / 4 + 2Pin ja -Pi / 4 + 2Pin, löydämme toisen juuren -9Pi / 4.
Kahden menetelmän vertailu.
Ensimmäinen menetelmä (käyttäen epäyhtälöitä) on paljon luotettavampi ja paljon helpompi ymmärtää, mutta jos käsittelet todella vakavasti trigonometristä ympyrää ja toista valintamenetelmää, juurien valinta on paljon nopeampi, voit säästää noin 15 minuuttia koe.
a) Ratkaise yhtälö:.
b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin.
Ongelman ratkaisu
Tällä oppitunnilla tarkastellaan esimerkkiä trigonometrisen yhtälön ratkaisemisesta, jota voidaan käyttää esimerkkinä C1-tyypin tehtävien ratkaisemiseen matematiikan tenttiin valmistautuessa.
Ensinnäkin määritetään toiminnon laajuus - kaikki argumentin sallitut arvot. Sitten ratkaisun aikana trigonometrinen sinifunktio muunnetaan kosiniksi pelkistyskaavaa käyttäen. Lisäksi kaikki yhtälön ehdot siirretään sen vasemmalle puolelle, jossa yhteinen tekijä otetaan pois suluista. Jokainen tekijä asetetaan nollaksi, jonka avulla voit määrittää yhtälön juuret. Sitten määrättyyn segmenttiin kuuluvat juuret määritetään käännösmenetelmällä. Tätä varten muodostettuun yksikköympyrään merkitään silmukka määritetyn segmentin vasemmasta rajasta oikealle. Lisäksi yksikköympyrän löydetyt juuret yhdistetään segmenteillä sen keskustaan ja määritetään pisteet, joissa nämä segmentit leikkaavat silmukan. Nämä leikkauspisteet ovat haluttu vastaus ongelman toiseen osaan.
