Suora y = 3x + 2 on tangentti funktion y = -12x ^ 2 + bx-10 kuvaajalle. Etsi b, koska kosketuspisteen abskissa on pienempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y = -12x ^ 2 + bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu funktion molempiin kaavioihin ja tangentti, eli -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Saamme yhtälöjärjestelmän \ alkaa (tapaukset) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ loppu (tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0 ^ 2 = 1, mikä tarkoittaa joko x_0 = -1 tai x_0 = 1. Ehdon mukaan kosketuspisteen abskissa on pienempi kuin nolla, joten x_0 = -1, sitten b = 3 + 24x_0 = -21.

Vastaus

Kunto

Kuvassa on funktion y = f (x) käyrä (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta janasta). Laske kuvion avulla F (9) -F (5), missä F (x) on yksi f (x) antiderivaatteista.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F (9) -F (5), jossa F (x) on yksi funktion f (x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y = f (x) kuvaajalla, suorilla y = 0, x = 9 ja x = 5. Kaavion mukaan määritämme, että esitetty kaareva puolisuunnikkaan kanta on 4 ja 3 ja korkeus 3.

Sen alue on \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. Profiilitaso". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y = f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka määritellään intervalliin (-4; 10). Etsi funktion f (x) pienenemisvälit. Vastaa, ilmoita niistä suurimman pituus.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuten tiedät, funktio f (x) pienenee niillä aikaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä derivaatta f "(x) on pienempi kuin nolla. Ottaen huomioon, että on tarpeen löytää niistä suurimman pituus, kolme tällaiset intervallit eroavat luonnollisesti kuviosta: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Niistä suurimman pituus - (5; 9) on yhtä suuri kuin 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. Profiilitaso". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kuvaaja y = f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka määritellään intervalliin (-8; 7). Selvitä funktion f (x) maksimipisteiden lukumäärä, joka kuuluu intervalli [-6; -2].

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kaavio osoittaa, että funktion f (x) derivaatta f "(x) muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkiksi (tällaisissa pisteissä on maksimi) täsmälleen yhdessä pisteessä (välillä -5 ja -4) intervalli [-6; -2 ] Siksi välissä [-6; -2] on täsmälleen yksi maksimipiste.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. Profiilitaso". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on funktion y = f (x) käyrä, joka on määritelty intervallilla (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion f (x) derivaatta on 0.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Derivaatan yhtäläisyys nollaan pisteessä tarkoittaa, että tähän pisteeseen piirretyn funktion kuvaajan tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme pisteet, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, on 5 ääripistettä.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. Profiilitaso". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Suora y = -3x + 4 on yhdensuuntainen funktion y = -x ^ 2 + 5x-7 kaavion tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Suoran kaltevuus funktion y = -x ^ 2 + 5x-7 kuvaajaan mielivaltaisessa pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin y "(x_0). Mutta y" = - 2x + 5, joten y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. Ehdossa määritetyn suoran y = -3x + 4 kerroin on kulmassa yhtä kuin -3. Rinnakkaisilla viivoilla on sama kulmakerroin, joten saadaan arvo x_0 siten, että = -2x_0 + 5 = -3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. Profiilitaso". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on funktion y = f (x) käyrä ja pisteet -6, -1, 1, 4 on merkitty abskissa-akselille. Missä näistä pisteistä derivaatan arvo on pienin? Mainitse tämä kohta vastauksessasi.

Matematiikan mestarikurssi

luokalla 11

tässä aiheessa

"JOHDANNAISTOIMINTO

KÄYTÖN TEHTÄVÄSSÄ"

matematiikan opettaja

Martynenko E.N.

Lukuvuosi 2017-2018

Mestarikurssin tarkoitus: kehittää opiskelijoiden taitojateoreettisen tiedon soveltaminen aiheesta "Funktion johdannainen" yhtenäisen valtiontutkinnon ongelmien ratkaisemiseksi.

Tehtävät

Koulutuksellinen:tiivistää ja systematisoida opiskelijoiden tietämystä aiheesta

"Funktion johdannainen", harkitse tämän aiheen USE-ongelmien prototyyppejä, antaa opiskelijoille mahdollisuuden testata tietojaan ratkaiseessaan ongelmia itsenäisesti.

Kehitetään: edistää muistin, huomion, itsetunnon ja itsehillintätaitojen kehittymistä; perusavaintaitojen muodostuminen (vertailu, rinnakkain asettaminen, esineiden luokittelu, sopivien tapojen määrittäminen kasvatusongelman ratkaisemiseksi annettujen algoritmien perusteella, kyky toimia itsenäisesti epävarmuustilanteessa, hallita ja arvioida toimintaansa, löytää ja poistamaan ilmenneiden vaikeuksien syyt).

Koulutuksellinen: edistää:

Vastuullisen oppimisasenteen muodostuminen opiskelijoiden keskuudessa;

jatkuvan kiinnostuksen kehittäminen matematiikkaa kohtaan;

luodaan positiivinen sisäinen motivaatio matematiikan opiskeluun.

Tekniikat: yksilöllisesti eriytetty oppiminen, ICT.

Opetusmenetelmät : sanallinen, visuaalinen, käytännöllinen, ongelmallinen.

Työmuodot: yksittäin, edestä, pareittain.

Varusteet ja materiaalit oppitunnille:projektori, näyttö, PC, simulaattori(Liite 1), esittely oppitunnille(Liite 2), yksilöllisesti - eriytetyt kortit itsenäiseen työskentelyyn pareittain(Liite nro 3), Internet-sivustojen luettelo, yksilölliset kotitehtävät(Liite #4).

Selitys mestarikurssille.

Tämä mestarikurssi pidetään luokassa 11 valmistautumaan yhtenäiseen valtionkokeeseen. Tavoitteena on soveltaa teoreettista materiaalia aiheesta "Funktion johdannainen" tenttitehtävien ratkaisussa.

Mestarikurssin kesto- 20 minuuttia.

Mestariluokan rakenne

I. Organisaatiohetki -1 min.

II Aiheen viestintä, mestarikurssin tavoitteet, koulutustoiminnan motivointi - 1 min.

III. Etutyötä. Koulutus "Tehtävät nro 14 PERUS, nro 7 PROFIILI yhtenäisestä valtionkokeesta". Simulaattorin työn analyysi - 7 min.

IV. Yksilöllinen työ pareittain. Itsenäinen ratkaisu tehtäviin nro 12. (PROFIILI) Keskinäinen tarkastus - 9 min. On-line-testaus (BASE) Testitulosten analysointi - 8 min

V. Yksittäisten kotitehtävien tarkistaminen. -1 minuutti.

Vi. Yksilöllinen - eriytetty kotitehtävä -1 min.

Vii. TARKASTUSTESTI 20 MINUUTTIA (4 VAIHTOEHTOA)

Mestariluokan edistyminen

minä .Ajan järjestäminen.

II Aiheen viestintä, mestarikurssin tavoitteet, koulutustoiminnan motivointi.

(Diat 1-2, Liite 2)

Tuntimme aiheena on "Funktion johdannainen tentin tehtävissä". Kaikki tietävät sanonnan "Pieni kela mutta rakas". Yksi sellaisista matematiikan "keloista" on johdannainen. Johdannaista käytetään monien matematiikan, fysiikan, kemian, taloustieteen ja muiden tieteenalojen käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Sen avulla voit ratkaista ongelmia yksinkertaisesti, kauniisti ja mielenkiintoisesti.

Aihe "Johdannainen" esitetään perustason tehtävässä 14 sekä profiilitason 7,12, 18 ja yhtenäisen valtiokokeen tehtävissä.

Työskentelit matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon 2018 kontrollimittausmateriaalien rakennetta ja sisältöä säätelevien asiakirjojen kanssa. Tee johtopäätös siitä, mitä tietoja ja taitoja tarvitset ratkaistaksesi menestyksekkäästi USE-ongelmat aiheesta "Johdannainen".

(Diat 3-4, Liite 2)

Oletko oppinut "MATEMATIIKAN sisältöelementtien kodifioija yhtenäisen valtiontutkinnon kontrollimittausmateriaalien valmistelua varten",

"Tutkinnon suorittaneiden koulutustason vaatimuskoodi", "Tarkistusmittausmateriaalien erittely", "Yhteisen valtiontutkinnon 2018 kontrollimittausmateriaalien esittelyversio" ja saada selville mitä tietoja ja taitoja funktiosta ja sen johdannaisesta tarvitaan onnistuneesti ratkaisemaan ongelmia aiheesta "Johdannainen".

Välttämätön

• TIETÄÄ

johdannaisten laskentasäännöt;

perusfunktioiden johdannaiset;

derivaatan geometrinen ja fyysinen merkitys;
funktion kaavion tangentin yhtälö;
funktion tutkiminen derivaatta käyttäen.

• SAADA

suorittaa toimintoja funktioilla (kuvaa funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia kaavion mukaan, etsi sen korkein ja pienin arvo).

• KÄYTTÄÄ

käytännössä ja jokapäiväisessä elämässä hankittuja tietoja ja taitoja.

Sinulla on teoreettinen tietämys johdannaisaiheesta. Tänään teemmeOPI KÄYTTÖÖN KÄYTTÖÖN JOHDANNAISTOIMINTOSTA KÄYTTÖONGELMIEN RATKAISEMINEN.(Dia 4, liite nro 2)

Se ei ole turhaa Aristoteles sanoi niin"MIELI EI OLE VAIN TIEDOSSA, VAIN MYÖS KYKYISSÄ SOVELTAA TIETOA KÄYTÄNNÖSSÄ"(Dia 5, liite nro 2)

Oppitunnin lopussa palaamme oppituntimme tavoitteeseen ja selvitämme, olemmeko saavuttaneet sen?

III ... Etutyötä.Koulutus "Yhdistetyn valtionkokeen tehtävät nro 14 PERUSNRO 7 PROFIILI" ( Liite nro 1). Simulaattorin työskentelyn analyysi.

Valitse oikea vastaus neljästä ehdotetusta.

Mikä sinun mielestäsi on tehtävän 7 suorittamisen vaikeus?

Mitä mieltä olette, mitä tyypillisiä virheitä valmistuneet tekevät kokeessa ratkaiseessaan tätä ongelmaa?

Tehtävän nro 14 PERUS JA 7 PROFIILI kysymyksiin vastatessasi sinun tulee pystyä kuvaamaan funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia derivaatan kaaviosta ja funktion kaaviosta - funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia. funktion derivaatta. Ja tämä edellyttää hyvää teoreettista tietämystä seuraavista aiheista: "Dirivaatan geometrinen ja mekaaninen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle. Derivaatan soveltaminen funktioiden tutkimiseen.

Analysoi, mitkä tehtävät aiheuttivat sinulle vaikeuksia?

Mitä teoreettisia kysymyksiä sinun tulee tietää?

IV. Оn - line -testaus toimeksiannoissa №14 (BASE)Testitulosten analyysi.

Testauspaikka oppitunnilla:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Kuka ei ole tehnyt virheitä?

Kenellä oli vaikeuksia testauksessa? Miksi?

Missä tehtävissä tehtiin virheitä?

Lopuksi, mitä teoreettisia kysymyksiä sinun tulee tietää?

Yksilöllinen työ pareittain. Itsenäinen ongelmien ratkaisu №12. (PROFIILI)Keskinäinen vahvistus.(Liite #3)

Muista kokeen tehtävien №12 ratkaisualgoritmi ääripistepisteiden, funktion ääriarvojen, funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi intervallilla derivaatta käyttämällä.

Ratkaise ongelmia derivaatan avulla

Opiskelijat kohtaavat seuraavan ongelman:

"Ajattele, onko mahdollista ratkaista joitakin ongelmia # 12 eri tavalla ilman johdannaista?"

1 pari

2 paria

3 paria

4 paria

(Oppilaat puolustavat ratkaisuaan kirjoittamalla ongelmien ratkaisemisen päävaiheet taululle. Opiskelijat tarjoavat kaksi tapaa ratkaista ongelman 2).

Ongelman ratkaisu. Johtopäätös opiskelijoille:

"Jotkin tentin tehtävät nro 12 funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi voidaan ratkaista ilman derivaatta, funktioiden ominaisuuksiin luottaen."

Analysoi minkä virheen teit tehtävässä?

Mitä teoreettisia kysymyksiä sinun on toistettava?

V. Yksittäisten kotitehtävien tarkistaminen. (Diat 7-8, Liite nro 2)

Vegelman V. sai henkilökohtaisen kotitehtävän: tenttiin valmistautumisoppaista numero 18.

(Opiskelija antaa ratkaisun tehtävään nojaten funktionaaliseen graafiseen menetelmään, yhtenä kokeen tehtävien nro 18 ratkaisumenetelmänä ja antaa lyhyen selvityksen tästä menetelmästä).

Vii. Yksilöllisesti - eriytetty kotitehtävä

(Dia 9, liite nro 2), (Liite 4).

Olen laatinut luettelon Internet-sivustoista kokeeseen valmistautumista varten. Voit myös suorittaa online-testejä näillä sivustoilla. Seuraavaa oppituntia varten sinun tulee: 1) käydä läpi teoreettinen materiaali aiheesta "Funktion johdannainen";

2) sivustolla "Avoin matematiikan tehtäväpankki" (http://mathege.ru/ ) löytää prototyyppejä tehtävistä nro 14 PERUS JA nro 7 ja 12 PROFIILI ja ratkaista vähintään 10 tehtävää PROFIILI;

3) V. Vegelman, ratkaise tehtäviä parametrien kanssa (LIITE 4). tehtävät 1-8 (vaihtoehto 1).PERUSTASO

VIII. Oppituntien arvosanat.

Miten arvioisit itseäsi oppitunnille?

Luuletko, että olisit voinut onnistua paremmin oppitunnilla?

IX. Oppitunnin yhteenveto. Heijastus

Tehdään yhteenveto työstämme. Mikä oli oppitunnin tarkoitus? Onko se mielestäsi saavutettu?

Katso taulua ja valitse yhdellä lauseella lauseen alku ja jatka sinulle parhaiten sopivalla lauseella.

Minä tunsin…

Opin…

Onnistuin …

Pystyin ...

Yritän …

Yllätyin siitä …

Halusin…

Voitko sanoa, että oppitunnin aikana tietokantasi rikastui?

Toistit siis teoreettiset kysymykset funktion derivaatasta, käytit tietämystäsi USE-tehtävien prototyyppien ratkaisemisessa (nro 14 PERUSTASO nro 7,12 PROFIILITASO), ja V. Vegelman suoritti tehtävän nro 18 parametrilla, joka on lisääntynyt vaikeusaste.

Minulla oli ilo työskennellä kanssasi, ja toivon, että pystyt menestyksekkäästi soveltamaan matematiikan tunneilla hankittua tietoa paitsi yhtenäisen valtionkokeen läpäisyssä myös jatko-opinnoissasi.

Haluaisin päättää oppitunnin italialaisen filosofin sanoillaTuomas Akvinolainen"Tieto on niin arvokas asia, että ei ole häpeällistä saada sitä mistään lähteestä."(Dia 10, liite 2).

Toivotan menestystä kokeeseen valmistautumisessa!

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo itsellesi Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Tenttiin valmistautuminen SIMULAATORI aiheesta "Johdannainen" Tehtävä numero 14 perustaso, numero 7, 12 profiilitaso

f (x) f / (x) x Kuvassa on funktion y = f (x) derivaatan kaavio, joka on määritetty välille (- 8; 8). Tutkitaan graafin ominaisuuksia ja voimme vastata moniin kysymyksiin funktion ominaisuuksista, vaikka itse funktion kuvaajaa ei esitetä! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Etsi pisteitä missä f / (x) = 0 (nämä ovat funktion nollia). + - - + +

TEHTÄVÄ numero 14 Matematiikan perustaso

Kuvassa on funktion y = f (x) käyrä ja pisteet A, B, C ja D on merkitty Ox-akselille. Anna jokaiselle pisteelle funktion ja sen derivaatan ominaisuudet kaavion avulla. ABCD 1) funktion arvo pisteessä on negatiivinen ja funktion derivaatan arvo pisteessä on positiivinen 2) funktion arvo pisteessä on positiivinen ja funktion derivaatan arvo pisteessä on negatiivinen 3) funktion arvo pisteessä on negatiivinen ja funktion derivaatan arvo pisteessä on negatiivinen 4) funktion arvo pisteessä on positiivinen ja funktion derivaatta pisteessä on positiivinen

№ 1 Kuvassa on käyrä funktiosta y = f (x) ja merkityistä pisteistä A, B, C ja D Ox-akselilla. Anna jokaiselle pisteelle funktion ja sen derivaatan ominaisuudet kaavion avulla. 1) funktion arvo pisteessä on positiivinen ja funktion derivaatan arvo pisteessä on negatiivinen 2) funktion arvo pisteessä on negatiivinen ja funktion derivaatan arvo pisteessä piste on negatiivinen 3) funktion arvo pisteessä on positiivinen ja funktion derivaatan arvo pisteessä on positiivinen 4) funktion arvo pisteessä on negatiivinen ja derivaatan arvo funktion pisteessä on positiivinen ABCD

Kuvassa on funktion y = f (x) kuvaaja. Pisteet a, b, c, d ja e määrittävät intervallit Ox-akselilla. Määritä kaavion avulla kullekin välille funktion tai sen derivaatan ominaisuus. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) funktion arvot ovat positiivisia jokaisessa välin pisteessä 2) arvot funktion derivaatan arvot ovat negatiivisia jokaisessa välin pisteessä 3) funktion derivaatan arvot ovat positiivisia jokaisessa intervallin pisteessä 4) funktion arvot ovat negatiivisia intervallin jokaisessa pisteessä

Kuvassa on funktion y = f (x) kuvaaja. Numerot a, b, c, d ja e määrittävät intervallit Ox-akselilla. Määritä kaavion avulla kullekin välille funktion tai sen derivaatan ominaisuus. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) funktion arvot ovat positiivisia jokaisessa välin pisteessä 2) arvot funktion arvot ovat negatiivisia jokaisessa välin pisteessä 3) derivaattafunktioiden arvot ovat negatiivisia jokaisessa intervallin pisteessä 4) funktion derivaatan arvot ovat positiivisia jokaisessa intervallin pisteessä

Kuvassa on funktion kaavio ja siihen piirretyt tangentit pisteissä, joissa on abskissat A, B, C ja D. A B C D 1) - 1,5 2) 0,5 3) 2 4) - 0,3

Kuvassa on funktion kaavio ja siihen piirretyt tangentit pisteissä, joissa on abskissat A, B, C ja D. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

TEHTÄVÄ numero 7 Matematiikan profiilitaso

Tehtäviä derivaatan geometriselle merkitykselle

1) Kuvassa on funktion y = f (x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x 0. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0. -2 -0,5 2 0,5 Ajattele! Ajatella! Oikein! Ajatella! x 0 Derivaatan geometrinen merkitys: k = tg α Tangentin kaltevuuskulma Ox-akseliin on tylppä, joten k

5 11 8 2) Jatkuva funktio y = f (x) asetetaan välille (-6; 7). Kuvassa näkyy hänen kaavionsa. Selvitä pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen suoran y = 6 kanssa. Tarkistetaan y = f (x) y x 3 Ajattele! Ajatella! Ajatella! Oikein! - 6 7 v = 6. Katkopiste. Johdannaista EI ole olemassa tässä vaiheessa! О -4 3 5 1, 5

Tehtävät funktion ominaisuuksien määrittämiseksi sen derivaatan kaaviosta

3) Kuvassa on funktion y = f / (x) derivaatan käyrä, joka on annettu intervallilla (- 6; 8). Tutki funktiota y = f (x) ääripäälle ja osoita sen ääripisteiden lukumäärä. 2 1 4 5 Väärin! Ei totta! Oikein! Ei totta! Tarkista (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Kuvassa on kaavio välissä [-5; 5] määritetyn funktion derivaatasta. Tarkista funktion monotonisuus ja osoita suurin maksimipiste. 3 2 4 5 Ajattele! Ajatella! Oikein! Ajatella! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 kahdesta maksimipisteestä suurin x max = 3 max max y

7) Kuvassa on funktion derivaatan kaavio. Etsi tämän funktion kasvavan aikavälin pituus. Tarkista O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 ATKAL! + Ajattele! OIKEIN! AJATELLA! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Kuvassa on kaavio välissä [-5; 5] asetetun funktion derivaatasta. Tutki funktion y = f (x) monotonisuutta ja osoita vähennysvälien lukumäärä. 3 2 4 1 Ajattele! Ajatella! Oikein! Ajatella! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

Tehtävät funktion graafijohdannaisen ominaisuuksien määrittämiseksi.

Kuvassa on kaavio differentioituvasta funktiosta y = f (x). Abskissalle on merkitty yhdeksän pistettä: x 1, x 2, ..., x 9. Etsi kaikki merkityt pisteet, joissa funktion f (x) derivaatta on negatiivinen. Ilmoita vastauksessa näiden pisteiden lukumäärä.

Kuvassa on kaavio funktiosta y = f (x), joka on määritelty välissä (a; b). Määritä niiden kokonaislukupisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on positiivinen. a) b) Päätä itse! Ratkaisu. jos se kasvaa. Kokonaisratkaisut: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. Niiden lukumäärä on 4. Kokonaiset ratkaisut: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. Heidän lukumääränsä on 5. Vastaus: 4. Vastaus: 5.

Ongelmia derivaatan fyysiselle merkitykselle

Vastaus: 3 Vastaus: 14

TEHTÄVÄ numero 12 Matematiikan profiilitaso

Itsenäinen työskentely pareittain Tehtävä numero 12 Profiilitaso

Esikatselu:

Liite 3 yksittäiset kortit nro 12

1. Etsi funktion maksimipiste1 Etsi funktion minimipiste

2.Etsi funktion maksimipiste2Etsi funktion minimipiste

Linnik D. Vovnenko I

1.Etsi funktion pienin arvo1. Etsi funktion suurin arvo segmentillä

segmentillä

Vegelman V.

A.

1. Etsi funktion maksimipiste1. Etsi funktion minimipiste

2. Etsi funktion pienin arvo2. Etsi funktion suurin arvo segmentillä

Segmentillä

Leontyeva A. Isaenko K.

TARKASTUKSEN ULKOPUOLINEN KÄYTÄNTÖ 2

Muunna funktiokaavioita.

Kohde

Rakenna funktioiden kuvaajia erilaisilla muunnoksilla, vastaa ongelman kysymykseen.

Työn loppuun saattaminen

Menetelmäohjeet

Teos on suunniteltu 10 versiolle, varianttinumero on sama kuin listan sarjanumeron viimeinen numero. Esimerkiksi 1, 11, 21, 31 ... suorita 1 vaihtoehto, 2,12, 22 ... - 2 vaihtoehto jne.

Työ koostuu kahdesta osasta: tehtävän ensimmäinen osa 1 - 5, nämä ovat tehtäviä, jotka on suoritettava arvosanan saamiseksi, jos nämä tehtävät suoritetaan virheellisesti, ne on korjattava ja työ tulee lähettää uudelleen vahvistusta varten. Toinen osa sisältää tehtäviä, joita suorittamalla saat lisäarvosanan: pääosa +2 tehtävää - "4", pääosa +3 tehtävää - "5".

Tehtävä 1. Lineaarifunktion kuvaaja on suora, sen piirtämiseen riittää kaksi pistettä. (otamme argumentin x arvot mielivaltaisesti ja funktion y arvon, laskemme korvaamalla sen kaavaan).

Tarkistaaksesi kulkeeko funktion kuvaaja määritetyn pisteen läpi, sinun on korvattava pisteen koordinaatit x:n ja y:n sijasta, jos saat oikean yhtälön, suora kulkee määritetyn pisteen läpi, muuten se ei mene .

Tehtävä 2, 3, 4. Määritettyjen funktioiden kaaviot saadaan funktioiden kaavioista , käyttämällä siirtoa x- tai y-akselia pitkin.

, piirrämme ensin funktion tai , sitten siirrämme sitä "a"-yksiköillä oikealle tai vasemmalle (+ a - vasemmalle, - ja oikealle), sitten siirrämme sitä "c"-yksiköillä ylös tai alas (+ b - ylös, -b - alas)

Samoin muiden toimintojen kanssa:

Tehtävä 5 Funktiokaavion piirtäminen: , sinun tulee: 1) piirtää funktio , 2) jätä x-akselin yläpuolella oleva kaavion osa ennalleen, 3) peilataan se osa kuvaajasta, joka on x-akselin alapuolella.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

Pakollinen osa

Tehtävä 1. Piirrä lineaarisen funktion kaavio, selvitä, kulkeeko funktion kuvaaja määritellyn pisteen kautta:

Tehtävä 2. Piirrä neliöfunktion kaavio, määritä tämän funktion arvot.

Tehtävä 3. Rakenna funktiosta kaavio, määritä, kasvaako vai pieneneekö määritetty funktio.

Tehtävä 4. Rakenna funktiosta kaavio, vastaa tehtävän kysymykseen.

Tehtävä 5. Piirrä moduulimerkin sisältävän funktion kuvaaja.

Tehtävät lisäarviointia varten.

Tehtävä 6. Piirrä paloittain annetun funktion kaavio, määritä, onko tälle funktiolle katkeamiskohta:

Tehtävä 7. Määritä kuinka monta ratkaisua yhtälöjärjestelmällä on, vastaus on perustella. Tee johtopäätökset vastaamalla kysymyksiin.

Mitä funktioita olet piirtänyt tässä työssä?

Mikä on lineaarifunktion kaavion nimi?

Mikä on toisen asteen funktion kaavion nimi?

Mitä graafimuunnoksia tiedät?

Miten parillisen funktion kuvaaja sijaitsee koordinaattijärjestelmässä? Pariton funktiokaavio?

Funktion $ y = f (x) $ derivaatta tietyssä pisteessä $ x_0 $ on funktion lisäyksen ja sen argumentin vastaavan lisäyksen suhteen raja, mikäli jälkimmäinen pyrkii nollaan:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

Differentiointi on johdannaisen löytämistä.

Joidenkin perusfunktioiden derivaattataulukko

Toiminto	Johdannainen
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √ x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (sin ^ 2x) $

Erottamisen perussäännöt

1. Summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa (erotus)

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

Etsi funktion johdannainen $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

Summan derivaatta (erotus) on yhtä suuri kuin johdannaisten summa (erotus).

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. Teoksen johdannainen

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

Etsi johdannainen $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. Osamäärän derivaatta

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

Etsi johdannainen $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulkofunktion derivaatan tulo sisäisen funktion derivaatalla

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

Johdannan fyysinen merkitys

Jos aineellinen piste liikkuu suoraviivaisesti ja sen koordinaatti muuttuu ajasta riippuen lain $ x (t) $ mukaan, niin tämän pisteen hetkellinen nopeus on yhtä suuri kuin funktion derivaatta.

Piste liikkuu koordinaattiviivaa pitkin lain mukaan $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, missä $ x (t) $ on koordinaatti ajanhetkellä $ t $. Millä hetkellä pisteen nopeus on 12 dollaria?

1. Nopeus on $ x (t) $ derivaatta, joten löydämme annetun funktion derivaatan

$ v (t) = x "(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. Laadi ja ratkaise yhtälö, millä hetkellä $ t $ nopeus oli yhtä suuri kuin $ 12 $:

Johdannan geometrinen merkitys

Muista, että suoran yhtälö, joka ei ole yhdensuuntainen koordinaattiakseleiden kanssa, voidaan kirjoittaa muodossa $ y = kx + b $, missä $ k $ on suoran kaltevuus. Kerroin $ k $ on yhtä suuri kuin suoran ja $ Ox $ -akselin positiivisen suunnan välisen kaltevuuskulman tangentti.

Funktion $ f (x) $ derivaatta pisteessä $ x_0 $ on yhtä suuri kuin kaavion tangentin kaltevuus $ k $ tässä pisteessä:

Siksi voimme laatia yleisen tasa-arvon:

$ f "(x_0) = k = tgα $

Kuvassa funktion $ f (x) $ tangentti kasvaa, joten kerroin $ k> 0 $. Koska $ k> 0 $, niin $ f "(x_0) = tgα> 0 $. Kulma $ α $ tangentin ja positiivisen suunnan $ Ox $ välillä on terävä.

Kuvassa funktion $ f (x) $ tangentti pienenee, joten kerroin $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Kuvassa funktion $ f (x) $ tangentti on yhdensuuntainen $ Ox $ -akselin kanssa, joten kerroin $ k = 0 $, joten $ f "(x_0) = tan α = 0 $. piste $ x_0 $, jossa $ f "(x_0) = 0 $, kutsutaan äärimmäinen.

Kuvassa on funktion $ y = f (x) $ käyrä ja tämän kaavion tangentti piirrettynä pisteessä, jossa on abskissa $ x_0 $. Etsi funktion $ f (x) $ derivaatan arvo pisteestä $ x_0 $.

Kuvaajan tangenttiviiva kasvaa, siksi $ f "(x_0) = tg α> 0 $

Löytääksesi $ f "(x_0) $, etsi tangentin ja $ Ox $ -akselin positiivisen suunnan välisen inklinaatiokulman tangentti. Tätä varten lisää tangentti kolmioon $ ABC $.

Etsi kulman $ BAC $ tangentti. (Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen haaraan.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

Vastaus: 0,25 dollaria

Derivaatta käytetään myös nousevien ja laskevien funktioiden välien etsimiseen:

Jos $ f "(x)> 0 $ välissä, niin funktio $ f (x) $ kasvaa tällä välillä.

Jos $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Kuvassa on funktion kaavio $ y = f (x) $. Etsi pisteiden $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ joukosta ne pisteet, joissa funktion derivaatta on negatiivinen.

Kirjoita vastauksena annettujen pisteiden määrä.

Perustason matematiikan USE:n tehtävässä numero 13 sinun on osoitettava taidot ja tiedot yhdestä funktion käyttäytymisen käsitteestä: derivaatat tietyssä pisteessä tai kasvu- tai laskunopeudet. Teoria lisätään tähän tehtävään hieman myöhemmin, mutta tämä ei estä meitä analysoimasta yksityiskohtaisesti useita tyypillisiä vaihtoehtoja.

Analyysi perustason matematiikan USE:n tehtävien nro 14 tyypillisistä vaihtoehdoista

Vaihtoehto 14MB1

Kaavio näyttää lämpötilan riippuvuuden ajasta henkilöauton moottorin lämpenemisen aikana. Vaaka-akseli näyttää ajan minuutteina, joka on kulunut moottorin käynnistämisestä; pystyakseli on moottorin lämpötila Celsius-asteina.

Määritä käyrän avulla kullekin aikavälille moottorin lämpenemisprosessin ominaisuus tällä aikavälillä.

Merkitse taulukossa kunkin kirjaimen alla vastaava numero.

Suoritusalgoritmi:

1. Valitse aika, jonka aikana lämpötila laski.
2. Aseta viivain 30 ° C:seen ja määritä aika, jonka aikana lämpötila oli alle 30 ° C.

Ratkaisu:

Valitaan aikaväli, jonka aikana lämpötila laski. Tämä alue näkyy paljaalla silmällä, se alkaa 8 minuutin kuluttua siitä, kun moottori käynnistetään.

Aseta viivain 30 ° C:seen ja määritä aika, jonka aikana lämpötila oli alle 30 ° C.

Viivaimen alapuolelle tulee jakso, joka vastaa aikaväliä 0 - 1 min.

Käytämme lyijykynää ja viivainta, millä aikavälillä lämpötila oli välillä 40 ° С - 80 ° С.

Jätetään kohtisuorit pois pisteistä, jotka vastaavat 40 °C ja 80 °C kuvaajasta, ja jätetään pois saaduista pisteistä aika-akselin kohtisuorat.

Näemme, että tämä lämpötilaväli vastaa 3 - 6,5 minuutin aikaväliä. Eli ehdossa annetuista 3 - 6 minuuttia.

Käytämme eliminointimenetelmää puuttuvan vastauksen valitsemiseen.

Vaihtoehto 14MB2

Ratkaisu:

Analysoidaan funktion A kuvaaja. Jos funktio kasvaa, niin derivaatta on positiivinen ja päinvastoin. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ääripisteissä.

Ensinnäkin funktio A kasvaa, ts. johdannainen on positiivinen. Tämä vastaa derivaattojen 2 ja 3 kuvaajia. Funktion maksimipisteessä x = -2, eli tässä vaiheessa derivaatan tulee olla nolla. Tämän ehdon täyttää kaavio numero 3.

Ensinnäkin funktio B pienenee, ts. johdannainen on negatiivinen. Tämä vastaa derivaattojen 1 ja 4 kuvaajia. Funktion maksimipiste on x = -2, eli tässä vaiheessa derivaatan tulee olla nolla. Tämän ehdon täyttää kaavio numero 4.

Ensinnäkin funktio B kasvaa, ts. johdannainen on positiivinen. Tämä vastaa derivaattojen 2 ja 3 kuvaajia. Funktion maksimipiste x = 1, eli tässä vaiheessa derivaatan tulee olla nolla. Tämän ehdon täyttää kaavio numero 2.

Eliminointimenetelmällä voimme määrittää, että funktion Γ kuvaaja vastaa numeron 1 derivaatan kuvaajaa.

Vastaus: 3421.

Vaihtoehto 14MB3

Suoritusalgoritmi jokaiselle toiminnolle:

1. Määritä kasvavien ja laskevien funktioiden välit.
2. Määritä funktioiden maksimi- ja minimipisteet.
3. Tee johtopäätökset, sovita ehdotetut aikataulut.

Ratkaisu:

Analysoidaan funktion A kuvaajaa.

Jos funktio on kasvava, niin derivaatta on positiivinen ja päinvastoin. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ääripisteissä.

Ääripiste on piste, jossa funktion maksimi- tai minimiarvo saavutetaan.

Ensinnäkin funktio A kasvaa, ts. johdannainen on positiivinen. Tämä vastaa derivaattojen 3 ja 4 kuvaajia. Funktion maksimipisteessä x = 0, eli tässä pisteessä derivaatan tulee olla nolla. Tämän ehdon täyttää kaavio numero 4.

Analysoidaan funktion B kuvaajaa.

Ensinnäkin funktio B pienenee, ts. johdannainen on negatiivinen. Tämä vastaa derivaattojen 1 ja 2 kuvaajia. Funktion minimipiste on x = -1, eli tässä vaiheessa derivaatan tulee olla nolla. Tämän ehdon täyttää kaavio numero 2.

Analysoidaan funktion B kuvaajaa.

Ensinnäkin funktio B pienenee, ts. johdannainen on negatiivinen. Tämä vastaa derivaattojen 1 ja 2 kuvaajia. Funktion minimipiste x = 0, eli tässä vaiheessa derivaatan tulee olla nolla. Tämän ehdon täyttää kaavio numero 1.

Eliminointimenetelmällä voimme määrittää, että funktion Γ kuvaaja vastaa numeron 3 derivaatan kuvaajaa.

Vastaus: 4213.

Vaihtoehto 14MB4

Kuvassa on funktion kaavio ja siihen piirretyt tangentit pisteissä, joissa on abskissat A, B, C ja D.Oikeassa sarakkeessa näkyy derivaatan arvot pisteissä A, B, C ja D. Määritä kaavion avulla jokaiseen pisteeseen siinä olevan funktion derivaatan arvo.

PISTEET
A
V
KANSSA
D

JOHDANNAISEN ARVOT
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Muistakaamme, mitä derivaatta tarkoittaa, nimittäin sen arvoa kohdassa - derivaatan funktion arvo pisteessä on yhtä suuri kuin tangentin kulman (kertoimen) tangentti.

Vastauksissa meillä on kaksi positiivista ja kaksi negatiivista vaihtoehtoa. Kuten muistamme, jos suoran kerroin (grafiikka y = kx + b) positiivinen, niin suora kasvaa, jos se on negatiivinen, niin suora pienenee.

Meillä on kaksi nousevaa suoraa - pisteissä A ja D. Muistetaan nyt mitä kertoimen k arvo tarkoittaa?

Kerroin k osoittaa, kuinka nopeasti funktio kasvaa tai pienenee (itse asiassa kerroin k itse on funktion y = kx + b derivaatta).

Siksi k = 2/3 vastaa tasaisempaa viivaa - D ja k = 3 - A.

Vastaavasti negatiivisten arvojen tapauksessa: piste B vastaa jyrkempää suoraa, jossa k = - 4, ja piste C - -1/2.

Vaihtoehto 14MB5

Kuvassa pisteet näyttävät kodinkoneliikkeen lämmittimien kuukausimyynnin. Kuukaudet näytetään vaakasuunnassa ja myytyjen lämmittimien määrä pystysuunnassa. Selvyyden vuoksi pisteet on yhdistetty viivalla.

Yhdistä jokainen ilmoitetuista ajanjaksoista kuvan avulla lämmittimien myyntiominaisuuksiin.

Suoritusalgoritmi

Analysoimme eri vuodenaikoja vastaavat kaavion osat. Muotoilemme kaaviossa näkyvät tilanteet. Löydämme heille sopivimmat vastausvaihtoehdot.

Ratkaisu:

Talvella myyntimäärä ylitti 120 kpl/kk ja se kasvoi jatkuvasti. Tämä tilanne vastaa vastausta numero 3. Nuo. saamme: A-3.

Keväällä myynti putosi asteittain 120 lämmittimestä kuukaudessa 50:een. Vaihtoehto 2 on lähimpänä tätä sanamuotoa. Meillä on: B-2.

Kesällä myynnin määrä ei muuttunut ja oli vähäistä. Tämän sanamuodon toinen osa ei näy vastauksissa, ja vain # 4 sopii ensimmäiseen. Siksi meillä on: KLO 4.

Syksyllä myynti kasvoi, mutta niiden määrä ei missään kuukaudessa ylittänyt 100 kappaletta. Tämä tilanne on kuvattu vaihtoehdossa 1. Saamme: G-1.

Vaihtoehto 14MB6

Kaaviossa näkyy normaalin linja-auton nopeuden riippuvuus ajasta. Pystyakselilla linja-auton nopeus on merkitty km/h, vaaka-akselilla aika minuutteina linja-auton liikkeen alkamisesta.

Määritä käyrän avulla kullekin aikavälille väylän liikkeen ominaisuus tällä aikavälillä.

Suoritusalgoritmi

1. Määritä jaon hinta vaaka- ja pystyasteikolla.
2. Analysoimme vuorotellen ehdotetut väitteet 1–4 oikeasta sarakkeesta ("Ominaisuudet"). Vertaamme niitä taulukon vasemman sarakkeen aikaväleihin, löydämme vastauksen "kirjain-numero" -parit.

Ratkaisu:

Vaaka-asteikon jako on 1 s ja pystyasteikko 20 km/h.

1. Kun bussi pysähtyy, sen nopeus on 0. Bussilla oli nollanopeus 2 minuuttia peräkkäin vain 9. - 11. minuutilla. Tämä aika osuu 8–12 minuutin väliin. Meillä on siis pari vastausta varten: B-1.
2. Bussin nopeus oli 20 km/h ja enemmänkin useiden aikavälein. Lisäksi vaihtoehto A ei sovellu tähän, koska esimerkiksi 7. minuutilla nopeus oli 60 km/h, vaihtoehto B - koska se on jo käytössä, vaihtoehto D - koska intervallin alussa ja lopussa bussi nopeus oli nolla... Tässä tapauksessa vaihtoehto B sopii (12–16 min); tällä aikavälillä bussi alkaa liikkua nopeudella 40 km/h, kiihtyy sitten 100 km/h:iin ja laskee sitten vähitellen nopeutta 20 km/h:iin. Meillä on siis: IN 2.
3. Nopeusrajoitus on asetettu tähän. Samaan aikaan emme harkitse vaihtoehtoja B ja C. Loput intervallit A ja D ovat molemmat sopivia. Siksi olisi oikein harkita ensin neljättä vaihtoehtoa ja sitten palata uudelleen kolmanteen vaihtoehtoon.
4. Kahdesta jäljellä olevasta intervallista vain 4–8 minuuttia sopii ominaisuudelle nro 4, koska tällä välillä (6. minuutilla) oli pysähdys. 18-22 minuutin välissä ei ollut pysähdyksiä. Saamme: A-4... Tästä seuraa, että ominaisuudelle nro 3 on tarpeen ottaa väli Г, ts. siitä tulee pari G-3.

Vaihtoehto 14MB7

Pistekuvio osoittaa Kiinan väestön kasvun vuodesta 2004 vuoteen 2013. Vaakasuuntaisesti osoittaa vuoden, pystysuunnassa - väestönkasvu prosentteina (väkiluvun kasvu viime vuoteen verrattuna). Selvyyden vuoksi pisteet on yhdistetty viivalla.

Yhdistä kuvion avulla jokainen ilmoitettu ajanjakso Kiinan väestön kasvun ominaisuuksiin tänä aikana..

Suoritusalgoritmi

1. Määritä kuvan pystyasteikon jaon hinta. Se saadaan erotuksena vierekkäisten asteikkoarvojen parin välillä jaettuna kahdella (koska kahden vierekkäisen arvon välillä on 2 jakoa).
2. Analysoimme peräkkäin ehdossa (taulukon vasen sarake) annetut ominaisuudet 1–4. Vertaamme kutakin niistä tiettyyn ajanjaksoon (oikea taulukon sarake).

Ratkaisu:

Pystyasteikon jako on 0,01 %.

1. Kasvun hidastuminen jatkui jatkuvasti vuodesta 2004 vuoteen 2010. Vuosina 2010–2011 kasvu oli vakaasti vähäistä, ja vuodesta 2012 lähtien se lähti nousuun. Nuo. kasvu pysähtyi vuonna 2010. Tämä vuosi on kaudella 2009–2011. Sen mukaisesti meillä on: KOHDASSA 1.
2. Kuvan kaavion "jyrkimmän" putoavan linjan tulee katsoa suurimmaksi kasvun pudotukseksi. Se osuu ajanjaksolle 2006-2007. ja on 0,04 % vuodessa (0,59-0,56 = 0,04 % vuonna 2006 ja 0,56-0,52 = 0,04 % vuonna 2007). Täältä saamme: A-2.
3. Ominaisuuden nro 3 osoittama kasvu alkoi vuonna 2007, jatkui vuonna 2008 ja päättyi vuonna 2009. Tämä vastaa ajanjaksoa B, ts. meillä on: B-3.
4. Väestönkasvu lähti nousuun vuoden 2011 jälkeen, ts. vuosina 2012-2013 Siksi saamme: G-4.

Vaihtoehto 14MB8

Kuvassa on funktion kaavio ja siihen piirretyt tangentit pisteissä, joissa on abskissat A, B, C ja D.

Oikeassa sarakkeessa näkyy funktion derivaatan arvot pisteissä A, B, C ja D. Määritä kaavion avulla jokaiselle pisteelle siinä olevan funktion derivaatan arvo.

Suoritusalgoritmi

1. Tarkastellaan paria tangentteja, joilla on terävä kulma abskissa-akselin positiivisen suunnan kanssa. Vertailemme niitä, löydämme vastaavuuden johdannaisten vastaavien arvojen parista.
2. Tarkastellaan tangenttien paria, jotka muodostavat tylpän kulman abskissa-akselin positiivisen suunnan kanssa. Vertaamme niitä absoluuttisena arvona, määritämme niiden vastaavuuden johdannaisten arvoihin kahden oikean sarakkeen joukossa.

Ratkaisu:

Pisteiden B ja C derivaatat muodostavat terävän kulman abskissa-akselin positiivisen suunnan kanssa. Näillä johdannaisilla on positiiviset arvot. Siksi tässä kannattaa valita arvojen 1 ja 3 väliltä. Sovellettaessa sääntöä, että jos kulma on pienempi kuin 45 0, niin derivaatta on pienempi kuin 1 ja jos enemmän, niin suurempi kuin 1, päätämme: kohdassa B derivaatan modulo on suurempi kuin 1, kohdassa C - pienempi kuin 1. Tämä tarkoittaa, että voit muodostaa pareja vastaukselle: KLO 3 ja С – 1.

Pisteiden A ja D derivaatat muodostavat tylpän kulman abskissan positiivisen suunnan kanssa. Ja tässä sovelletaan samaa sääntöä hieman parafrasoimalla: mitä enemmän pisteen tangenttia "painataan" abskissaviivaan (sen negatiiviseen suuntaan), sitä suurempi se on absoluuttisena arvona. Sitten saadaan: pisteen A derivaatta on itseisarvoltaan pienempi kuin pisteen D derivaatta. Siksi meillä on pari vastausta varten: A-2 ja D-4.

Vaihtoehto 14MB9

Kuvassa pisteet osoittavat Moskovan vuorokauden keskilämpötilan tammikuussa 2011. Vaakasuunnassa osoittaa kuukauden päivän, pystysuunnassa - lämpötilan Celsius-asteina. Selvyyden vuoksi pisteet on yhdistetty viivalla.

Yhdistä jokainen ilmoitetuista ajanjaksoista kuvion avulla lämpötilan muutoksen ominaispiirteisiin.

Suoritusalgoritmi

Analysoimme peräkkäisiä ominaisuuksia 1-4 (oikea sarake) käyttämällä kuvan kaaviota. Laitoimme ne jokaisen kirjeenvaihtoon tietyn ajanjakson kanssa (vasen sarake).

Ratkaisu:

1. Lämpötilan nousua havaittiin vasta jakson lopussa 22.–28. tammikuuta. Täällä 27. ja 28. päivänä se nousi 1 ja 2 astetta, vastaavasti. Jakson lopussa 1.–7.1. lämpötila oli vakaa (-10 astetta), tammikuun lopussa 8.–14. ja 15–21. lämpötila laski (–1:sta –2:een ja –11:stä –––). 12 astetta). Siksi saamme: G-1.
2. Koska jokainen ajanjakso kattaa 7 päivää, lämpötila on analysoitava kunkin jakson 4. päivästä alkaen. Lämpötila pysyi muuttumattomana 3-4 päivää vain 4.-7.1. Siksi saamme vastauksen: A-2.
3. Kuukauden alin lämpötila havaittiin 17. tammikuuta. Tämä luku on ajalla 15.-21. tammikuuta. Tästä meillä on pari: KLO 3.
4. Maksimilämpötila laski 10. tammikuuta ja oli +1 astetta. Tämä päivämäärä osuu 8.-14. tammikuuta. Siksi meillä on: B-4.

Vaihtoehto 14MB10

Suoritusalgoritmi

1. Funktion arvo pisteessä on positiivinen, jos tämä piste sijaitsee Ox-akselin yläpuolella.
2. Derivaata pisteessä on suurempi kuin nolla, jos tämän pisteen tangentti muodostaa terävän kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Ratkaisu:

Piste A. Se on Ox-akselin alapuolella, mikä tarkoittaa, että funktion arvo siinä on negatiivinen. Jos piirrät siihen tangentin, niin sen ja positiivisen suunnan Ox välinen kulma on noin 90 0, ts. muodostaa terävän kulman. Joten tässä tapauksessa tunnusluku 3 on sopiva. Nuo. meillä on: A-3.

Piste B. Se sijaitsee Ox-akselin yläpuolella, ts. pisteellä on positiivinen funktioarvo. Tangenttiviiva on tässä pisteessä melko lähellä abskissa-akselia ja muodostaa tylpän kulman (hieman alle 180 0) positiivisen suunnansa kanssa. Näin ollen derivaatta on tässä vaiheessa negatiivinen. Joten ominaisuus 1 sopii tähän. Saamme vastauksen: KOHDASSA 1.

Piste C. Piste sijaitsee Ox-akselin alapuolella, siinä oleva tangentti muodostaa suuren tylpän kulman abskissa-akselin positiivisen suunnan kanssa. Nuo. kohdassa C sekä funktion että derivaatan arvo on negatiivinen, mikä vastaa ominaisuutta nro 2. Vastaus: C-2.

Piste D. Piste on Ox-akselin yläpuolella ja siinä oleva tangentti muodostaa terävän kulman akselin positiivisen suunnan kanssa. Tämä viittaa siihen, että sekä funktion arvo että derivaatan arvo ovat suurempia kuin nolla. Vastaus: D-4.

Vaihtoehto 14MB11

Kuvassa pisteet näyttävät jääkaappien kuukausimyynnin kodinkoneliikkeessä. Kuukaudet näytetään vaakasuunnassa ja myytyjen jääkaappien määrä pystysuunnassa. Selvyyden vuoksi pisteet on yhdistetty viivalla.

Yhdistä jokainen ilmoitetuista ajanjaksoista kuvan avulla jääkaapin myyntiominaisuuksiin..