Koordinaattimenetelmä on erittäin tehokas ja monipuolinen tapa löytää kulmat tai etäisyydet stereometristen kohteiden välillä avaruudessa. Jos matematiikan opettajasi on erittäin pätevä, hänen pitäisi tietää tämä. Muussa tapauksessa suosittelen vaihtamaan ohjaajan "C"-osaan. Matematiikan C1-C6 tenttiin valmistautuminen sisältää yleensä alla kuvattujen perusalgoritmien ja -kaavojen analyysin.

Suorien a ja b välinen kulma

Avaruudessa suorien viivojen välinen kulma on kulma niiden kanssa yhdensuuntaisten leikkaavien suorien välillä. Tämä kulma on yhtä suuri kuin näiden suorien suuntavektorien välinen kulma (tai täydentää sitä 180 asteeseen asti).

Mitä algoritmia matematiikan ohjaaja käyttää kulman löytämiseen?

1) Valitse mitkä tahansa vektorit ja joilla on suorien a ja b suunnat (niiden kanssa yhdensuuntaiset).
2) Määritä vektorien koordinaatit ja niiden alun ja lopun vastaavat koordinaatit (alkun koordinaatit on vähennettävä vektorin lopun koordinaateista).
3) Korvaa löydetyt koordinaatit kaavaan:
... Itse kulman löytämiseksi sinun on löydettävä tuloksen käänteinen kosini.

Normaali lentokoneeseen

Mitä tahansa vektoria, joka on kohtisuorassa tähän tasoon nähden, kutsutaan normaaliksi tason suhteen.
Miten löytää normaali? Normaalin koordinaattien löytämiseksi riittää, kun selvitetään minkä tahansa kolmen pisteen M, N ja K koordinaatit, jotka sijaitsevat tietyssä tasossa. Näitä koordinaatteja käyttämällä löydämme vektorien koordinaatit ja ja edellytämme ehtojen täyttymistä ja. Yhdistäen vektorien skalaaritulon nollaan, muodostamme kolmen muuttujan yhtälöjärjestelmän, josta saadaan normaalin koordinaatit.

Matematiikan ohjaajan huomautus : Järjestelmää ei ole ollenkaan tarpeen ratkaista kokonaan, koska riittää, että valitset vähintään yhden normaalin. Voit tehdä tämän korvaamalla minkä tahansa luvun (esimerkiksi yhden) minkä tahansa sen tuntemattoman koordinaatin sijasta ja ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmän kahdella jäljellä olevalla tuntemattomalla. Jos sillä ei ole ratkaisuja, niin tämä tarkoittaa, että normaaliperheessä ei ole ketään, jolla olisi sellainen valitulle muuttujalle. Korvaa sitten toinen muuttuja (toinen koordinaatti) ja ratkaise uusi järjestelmä. Jos ohitat uudelleen, normaalillasi on yksi viimeisessä koordinaatissa, ja se itse osoittautuu jonkin koordinaattitason suuntaiseksi (tässä tapauksessa se on helppo löytää ilman järjestelmää).

Oletetaan, että suuntavektorin ja normaalin koordinaatit antavat meille suoran ja tason
Suoran ja tason välinen kulma lasketaan seuraavalla kaavalla:

Olkoon ja mitkä tahansa kaksi normaalia annetuille tasoille. Tällöin tasojen välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin normaalien välisen kulman kosinin moduuli:

Tason yhtälö avaruudessa

Pisteet, jotka täyttävät tasa-arvon, muodostavat tason normaalin kanssa. Kerroin vastaa poikkeaman (rinnakkaissiirtymän) määrästä kahden tason välillä, joilla on sama määritetty normaali. Tason yhtälön kirjoittamiseksi sinun on ensin löydettävä sen normaali (kuten yllä on kuvattu), ja sitten korvattava minkä tahansa tason pisteen koordinaatit yhdessä löydetyn normaalin koordinaatin kanssa yhtälöön ja löydettävä kerroin.

Jotta voit käyttää koordinaattimenetelmää, sinun on tunnettava kaavat hyvin. Niitä on kolme:

Ensi silmäyksellä se näyttää uhkaavalta, mutta vain vähän harjoittelua ja kaikki toimii hyvin.

Tehtävä. Etsi vektorien a = (4; 3; 0) ja b = (0; 12; 5) välisen kulman kosini.

Ratkaisu. Koska meille on annettu vektorien koordinaatit, korvaamme ne ensimmäisessä kaavassa:

Tehtävä. Tee yhtälö tasolle, joka kulkee pisteiden M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ja K = (2; 1; 0) läpi, jos tiedetään, että se ei kulje läpi alkuperä.

Ratkaisu. Tason yleinen yhtälö: Ax + By + Cz + D = 0, mutta koska haluttu taso ei kulje koordinaattien origon - pisteen (0; 0; 0) - läpi, laitetaan D = 1. Koska tämä taso kulkee pisteiden M, N ja K kautta, niin näiden pisteiden koordinaattien tulisi muuttaa yhtälö oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

Korvaa x:n sijasta pisteen M = (2; 0; 1) y- ja z-koordinaatit. Meillä on:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Samalla tavalla pisteille N = (0; 1; 1) ja K = (2; 1; 0) saadaan yhtälöt:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Joten meillä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta. Muodostetaan ja ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä:

Saimme, että tason yhtälö on muotoa: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0.

Tehtävä. Taso saadaan yhtälöllä 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Selvitä vektorin koordinaatit, joka on kohtisuorassa annettuun tasoon nähden.

Ratkaisu. Kolmannen kaavan avulla saamme n = (7; - 2; 4) - siinä kaikki!

Vektorien koordinaattien laskeminen

Mutta entä jos ongelmassa ei ole vektoreita - on vain pisteitä, jotka sijaitsevat suorilla viivoilla, ja sinun on laskettava näiden suorien välinen kulma? Se on yksinkertaista: tietäen pisteiden koordinaatit - vektorin alun ja lopun - voit laskea itse vektorin koordinaatit.

Löytääksesi vektorin koordinaatit, vähennä alun koordinaatit sen lopun koordinaateista.

Tämä lause toimii samalla tavalla sekä tasossa että avaruudessa. Ilmaisu "vähennä koordinaatit" tarkoittaa, että toisen pisteen x-koordinaatti vähennetään yhden pisteen x-koordinaatista, jolloin sama on tehtävä y- ja z-koordinaateilla. Tässä on joitain esimerkkejä:

Tehtävä. Avaruudessa on kolme pistettä, jotka on annettu niiden koordinaatteilla: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) ja C = (- 4; 3; - 2). Etsi vektorien AB, AC ja BC koordinaatit.

Tarkastellaan vektoria AB: sen alkupiste on pisteessä A ja sen loppu on pisteessä B. Siksi sen koordinaattien löytämiseksi on tarpeen vähentää pisteen A koordinaatit pisteen B koordinaateista:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Vastaavasti vektorin AC alku on edelleen sama piste A, mutta loppu on piste C. Siksi meillä on:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Lopuksi, jotta voit löytää vektorin BC koordinaatit, sinun on vähennettävä pisteen B koordinaatit pisteen C koordinaateista:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Vastaus: AB = (2; - 7; 4); AC = (-5; -3; -5); BC = (-7; 4; -9)

Kiinnitä huomiota viimeisen BC-vektorin koordinaattien laskemiseen: monet ihmiset tekevät virheitä työskennellessään negatiivisia lukuja... Tämä koskee muuttujaa y: pisteessä B on y = - 1 ja pisteessä C y = 3. Saamme täsmälleen 3 - (- 1) = 4, eikä 3 - 1, kuten monet luulevat. Älä tee noin typeriä virheitä!

Suuntavektorien laskeminen suorille viivoille

Jos luet tehtävän C2 huolellisesti, huomaat yllättyneenä, ettei siinä ole vektoreita. On vain suoria viivoja ja tasoja.

Aloitetaan suorista viivoista. Täällä kaikki on yksinkertaista: millä tahansa suoralla on vähintään kaksi eri pistettä ja päinvastoin mitkä tahansa kaksi eri pistettä määrittelevät yhden suoran ...

Ymmärtääkö kukaan mitä edellisessä kappaleessa on kirjoitettu? En ymmärtänyt sitä itse, joten selitän sen helpommin: tehtävässä C2 suorat ovat aina annettu pisteparilla. Jos otamme käyttöön koordinaattijärjestelmän ja tarkastelemme vektoria, jolla on alku ja loppu näissä pisteissä, saadaan suoralle ns. suuntavektori:

Miksi tätä vektoria tarvitaan? Asia on siinä, että kahden suoran välinen kulma on niiden suuntavektorien välinen kulma. Siten siirrymme käsittämättömistä suorista tiettyihin vektoreihin, joiden koordinaatit on helppo laskea. Kuinka helppoa se on? Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 piirretään viivat AC ja BD 1. Etsi näiden viivojen suuntavektorien koordinaatit.

Koska kuution reunojen pituutta ei ole määritelty ehdossa, asetetaan AB = 1. Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä, jonka origo on pisteessä A ja akselit x, y, z suunnattu viivoja AB, AD ja AA 1 pitkin, vastaavasti. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1.

Nyt löydämme linjan AC suuntavektorin koordinaatit. Tarvitsemme kaksi pistettä: A = (0; 0; 0) ja C = (1; 1; 0). Täältä saamme vektorin AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) koordinaatit - tämä on suuntavektori.

Käsitellään nyt suoraa BD 1:tä. Siinä on myös kaksi pistettä: B = (1; 0; 0) ja D 1 = (0; 1; 1). Saamme suuntavektorin BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Vastaus: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Tehtävä. Säännölliseen kolmioprismaan ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, piirretään suorat AB 1 ja AC 1. Etsi näiden viivojen suuntavektorien koordinaatit.

Esitellään koordinaattijärjestelmä: origo on pisteessä A, x-akseli osuu yhteen AB:n kanssa, z-akseli osuu AA 1:n kanssa, y-akseli muodostaa OXY-tason x-akselin kanssa, joka osuu yhteen ABC-tason kanssa .

Ensin käsitellään suoraa AB 1. Täällä kaikki on yksinkertaista: meillä on pisteet A = (0; 0; 0) ja B 1 = (1; 0; 1). Saamme suuntavektorin AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Nyt löydämme suuntavektorin AC 1:lle. Kaikki sama - ainoa ero on, että pisteellä C 1 on irrationaaliset koordinaatit. Joten A = (0; 0; 0), joten meillä on:

Vastaus: AB 1 = (1; 0; 1);

Pieni mutta erittäin tärkeä huomautus viimeisestä esimerkistä. Jos vektorin origo on sama kuin alkupiste, laskelmat yksinkertaistuvat suuresti: vektorin koordinaatit ovat yksinkertaisesti yhtä suuret kuin lopun koordinaatit. Valitettavasti tämä koskee vain vektoreita. Esimerkiksi työskenneltäessä tasojen kanssa, origon läsnäolo niissä vain vaikeuttaa laskelmia.

Normaalivektorien laskeminen tasoille

Normaalivektorit eivät ole vektoreita, jotka menestyvät tai menestyvät hyvin. Määritelmän mukaan normaalivektori (normaali) tasoon nähden on vektori, joka on kohtisuorassa kyseiseen tasoon nähden.

Toisin sanoen normaali on vektori, joka on kohtisuorassa mihin tahansa vektoriin tietyssä tasossa. Olet varmasti kohdannut sellaisen määritelmän - vektoreiden sijaan puhuimme kuitenkin suorista viivoista. Kuitenkin juuri yläpuolella osoitettiin, että tehtävässä C2 voit toimia millä tahansa sopivalla objektilla - jopa suoralla, jopa vektorilla.

Muistutan vielä kerran, että mikä tahansa taso määritellään avaruudessa yhtälöllä Ax + By + Cz + D = 0, jossa A, B, C ja D ovat joitain kertoimia. Ilman ratkaisun yleisyyden menettämistä voimme olettaa D = 1, jos taso ei kulje origon läpi, tai D = 0, jos se kulkee. Joka tapauksessa tämän tason normaalivektorin koordinaatit ovat n = (A; B; C).

Taso voidaan siis myös onnistuneesti korvata vektorilla - samalla normaalilla. Mikä tahansa taso määritellään avaruudessa kolmella pisteellä. Olemme jo keskustelleet artikkelin alussa, kuinka löytää tason yhtälö (ja siten normaali). Tämä prosessi aiheuttaa kuitenkin ongelmia monille, joten annan vielä pari esimerkkiä:

Tehtävä. Leikkaus A 1 BC 1 piirretään kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Etsi tämän jakson tason normaalivektori, jos origo on pisteessä A ja x-, y- ja z-akselit osuvat yhteen reunojen AB, AD ja AA 1 kanssa, vastaavasti.

Koska taso ei kulje origon läpi, sen yhtälö näyttää tältä: Ax + By + Cz + 1 = 0, ts. kerroin D = 1. Koska tämä taso kulkee pisteiden A 1, B ja C 1 kautta, näiden pisteiden koordinaatit muuttavat tason yhtälön oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Vastaavasti pisteille B = (1; 0; 0) ja C 1 = (1; 1; 1) saadaan yhtälöt:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Mutta tiedämme jo kertoimet A = - 1 ja C = - 1, joten on vielä löydettävä kerroin B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Saamme tason yhtälön: - A + B - C + 1 = 0, Siksi normaalivektorin koordinaatit ovat yhtä kuin n = (- 1; 1; - 1).

Tehtävä. Leikkaus AA 1 C 1 C piirretään kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Etsi tämän leikkauksen tason normaalivektori, jos origo on pisteessä A ja x-, y- ja z-akselit yhtyvät reunojen kanssa. AB, AD ja AA 1.

Tässä tapauksessa taso kulkee origon läpi, joten kerroin D = 0, ja tasoyhtälö näyttää tältä: Ax + By + Cz = 0. Koska taso kulkee pisteiden A1 ja C kautta, näiden pisteiden koordinaatit muuta tasoyhtälö oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

Korvaa x:n sijaan pisteen A y- ja z-koordinaatit 1 = (0; 0; 1). Meillä on:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Vastaavasti pisteelle C = (1; 1; 0) saadaan yhtälö:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Laitetaan B = 1. Silloin A = - B = - 1, ja koko tason yhtälö on muotoa: - A + B = 0, Siksi normaalivektorin koordinaatit ovat yhtä kuin n = (- 1; 1; 0).

Yleisesti ottaen yllä olevissa ongelmissa on tarpeen muodostaa yhtälöjärjestelmä ja ratkaista se. Yhtälöitä ja muuttujia on kolme, mutta toisessa tapauksessa yksi niistä on vapaa, ts. ota mielivaltaiset arvot. Tästä syystä meillä on oikeus laittaa B = 1 - vaikuttamatta ratkaisun yleisyyteen ja vastauksen oikeellisuuteen.

Hyvin usein C2-tehtävässä vaaditaan työskentelyä pisteiden kanssa, jotka jakavat segmentin puoliksi. Tällaisten pisteiden koordinaatit on helppo laskea, jos janan päiden koordinaatit tunnetaan.

Joten, määritetään jana sen päillä - pisteet A = (x a; y a; z a) ja B = (x b; y b; z b). Sitten janan keskipisteen koordinaatit - merkitsemme sitä pisteellä H - voidaan löytää kaavalla:

Toisin sanoen janan keskipisteen koordinaatit ovat sen päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

Tehtävä. Yksikkökuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sijoitetaan koordinaattijärjestelmään siten, että x-, y- ja z-akselit on suunnattu reunoja AB, AD ja AA 1 pitkin, vastaavasti ja origo osuu yhteen pisteen A kanssa. Piste K on reunan A 1 B yksi keskipiste. Etsi tämän pisteen koordinaatit.

Koska piste K on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuret kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Kirjataan ylös päiden koordinaatit: A 1 = (0; 0; 1) ja B 1 = (1; 0; 1). Etsitään nyt pisteen K koordinaatit:

Tehtävä. Yksikkökuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sijoitetaan koordinaattijärjestelmään siten, että x-, y- ja z-akselit on suunnattu reunoja AB, AD ja AA 1 pitkin, ja origo on sama kuin piste A. Etsi pisteen L koordinaatit, jossa ne leikkaavat neliön A 1 B 1 C 1 D 1 diagonaalit.

Planimetrian kurssista tiedetään, että neliön diagonaalien leikkauspiste on yhtä kaukana kaikista sen huipuista. Erityisesti A1L = C1L, so. piste L on janan A 1 C 1 keskipiste. Mutta A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), joten meillä on:

Vastaus: L = (0,5; 0,5; 1)

Geometrian oppitunti luokalla 11

Aihe: " Avaruuden koordinaattien menetelmä".

Kohde: Tarkistaa opiskelijoiden teoreettiset tiedot, taidot ja kyvyt soveltaa tätä tietoa ongelmien ratkaisussa vektori-, vektori-koordinaattimenetelmillä.

Tehtävät:

1 .Luoda edellytykset hallitukselle (itsekontrolli, keskinäinen valvonta) tiedon ja taitojen omaksumiseksi.

2. Kehitä matemaattista ajattelua, puhetta, huomiokykyä.

3. Edistää opiskelijoiden aktiivisuutta, liikkuvuutta, kommunikaatiotaitoja ja yleistä kulttuuria.

Johtamisen muoto: työ ryhmissä.

Laitteet ja tietolähteet: näyttö, multimediaprojektori, tiedonlaskentapöytä, luottokortit, testit.

Tuntien aikana

1 mobilisoiva hetki.

Oppitunti CSR:n avulla; opiskelijat jaetaan 3 dynaamiseen ryhmään, joissa opiskelijat, joilla on hyväksyttävä, optimaalinen ja edistynyt taso. Jokaiseen ryhmään valitaan koordinaattori, joka johtaa koko ryhmän työtä.

2 ... Ennakkoon perustuva opiskelijoiden itsemäärääminen.

Tehtävä:tavoitteen asettaminen suunnitelman mukaan: muista - opi - osaa.

Pääsykoe - Täytä tyhjät kohdat (tulosteissa)

Pääsykoe

Täytä aukot…

1. Avaruuden pisteen läpi vedetään kolme pareittain kohtisuoraa viivaa.

valitaan, kussakin niistä valitaan segmenttien suunta ja mittayksikkö,

sitten he sanovat, että se on asetettu …………. avaruudessa.

2. Suoria viivoja, joihin on valittu suunnat, kutsutaan nimellä …………… ..,

ja niiden yhteinen pointti on …………. ...

3. Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä jokainen avaruuden piste M liittyy numerotriplattiin, joka kutsuu sitä ……………………

4. Avaruuden pisteen koordinaatteja kutsutaan ………………… ..

5. Vektoria, jonka pituus on yksi, kutsutaan ………… ..

6. Vektorit iykkutsutaan ………….

7. Kertoimet xyz hajoamisessa a= xi + yj + zk olla nimeltään

…………… vektorit a .

8. Kahden tai useamman vektorin summan kukin koordinaatti on yhtä suuri kuin …………… ..

9. Kahden vektorin eron kukin koordinaatti on yhtä suuri kuin ……………….

10. Jokainen vektorin ja luvun tulon koordinaatti on yhtä suuri kuin ………………… ..

11.Jokainen vektorin koordinaatti on yhtä suuri kuin …………….

12. Janan keskipisteen kukin koordinaatti on yhtä suuri kuin ……………….

13. Vektorin pituus a { xyz) lasketaan kaavalla ………………………

14. Pisteiden välinen etäisyys М 1 (x 1 ; y 1; z 1) ja M 2 (x 2; y 2 ; z2) lasketaan kaavalla ……………………

15. Kahden vektorin skalaarituloa kutsutaan …………… ..

16. Nollasta poikkeavien vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla ………………… ..

17. Vektorien pistetuloa{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) sisään ilmaistaan ​​kaavalla ……………………

Syötetestin ristiintarkastus. Vastaukset testitehtäviin näytöllä.

Arviointikriteeri:

1-2 virhettä - "5"

3-4 virhettä - "4"

5-6 virhettä - "3"

Muissa tapauksissa - "2"

3. Työn suorittaminen. (korteilla).

Jokainen kortti sisältää kaksi tehtävää: Nro 1 - teoreettinen todisteineen, nro 2 sisältää tehtäviä.

Selitä työhön sisältyvien tehtävien monimutkaisuus. Ryhmä suorittaa yhden tehtävän, mutta siinä on 2 osaa. Ryhmäkoordinaattori johtaa koko ryhmän työtä. Yhdestä tiedosta keskusteleminen usean kumppanin kanssa lisää vastuuta paitsi omista onnistumisistaan ​​myös kollektiivisen työn tuloksista, millä on positiivinen vaikutus tiimin mikroilmastoon.

KORTTI #1

1. Johda kaavat, jotka ilmaisevat janan keskipisteen koordinaatit sen päiden koordinaatteina.

2. Ongelma: 1) Annetut pisteet A (-3; 1; 2) ja B (1; -1; 2)

Löytö:

a) janan AB keskikohdan koordinaatit

b) vektorin AB koordinaatit ja pituus

2) Annettu kuutio ABSDA1 B1 C1 D1. Etsi kulma koordinaattimenetelmällä

suorien AB1 ja A1 D välissä.

KORTTI #2

Tulosta kaava vektorin pituuden laskemiseksi sen koordinaattien perusteella.

Tehtävä: 1) Annetut pisteet M (-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Etsi etäisyys janan M origosta keskipisteeseenN.

→ → → → →

2) Annetut vektorit a ja b... löytö b (a + b), jos a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KORTTI #3

Tulosta kaava pisteiden välisen etäisyyden laskemiseksi annetuilla koordinaatteilla.

Tehtävä: 1) Annetut pisteet A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4).

Todista, että ∆ABC on tasakylkinen ja löydä sivusivujen keskipisteitä yhdistävän kolmion keskiviivan pituus.

2) Laske suorien AB ja SD välinen kulma, jos A (1; 1; 0),

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0).

KORTTI nro 4

Tulosta nollasta poikkeavien vektoreiden välisen kulman kosinin kaavat annetuilla koordinaateilla.

Tehtävä: 1) AVSD-suuntaviivan kolmen kärjen koordinaatit on annettu:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4). Etsi pisteen D koordinaatit.

2) Etsi suorien AB ja SD välinen kulma, jos A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KORTTI #5

Kerro minulle kuinka lasketaan kahden suoran välinen kulma avaruudessa käyttämällä näiden viivojen suuntavektoreita. →→

Tehtävä: 1) Etsi vektorien pistetuloa ja b, jos:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Pisteet A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) ja D (2; 4; 4) on annettu. Todista, että AVSD on rombi.

4. Dynaamisten ryhmien työn tarkistaminen korteilla.

Kuuntelemme ryhmien edustajien esitystä. Ryhmien työn arvioi opettaja oppilaiden osallistuessa.

5. Heijastus. Arvosanat offsetille.

Lopullinen monivalintatesti (tulosteet).

1) Annetut vektorit a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─; 1). Etsi vektorin koordinaatit

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Annetut vektorit a(4; -3; 5) ja b(-3; 1; 2). Etsi vektorin koordinaatit

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Laske vektorien pistetulom ja n, jos m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b jos | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌) = 60 °, c ┴ a , c ┴ b.

a) -1; b) -27; kohdassa 1; d) 35.

4) Vektorin pituus a { xyz) on yhtä suuri kuin 5. Etsi vektorin a koordinaatit, josx=2, z=-√5

a) 16; b) 4 tai -4; klo 9; d) 3 tai -3.

5) Etsi alue ∆ABS, jos A (1; -1; 3); B (3; -1; 1) ja C (-1; 1; -3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Testin ristiintarkastus. Näytöllä olevien testikohteiden vastauskoodit: 1 (b); 2 (c);

3 (a); 4 (b); 5 (c).

Arviointikriteeri:

Kaikki on oikein - "5"

1 virhe - "4"

2 virhettä - "3"

Muissa tapauksissa - "2"

Oppilaan tietotaulukko

Työskentele

kortit

Viimeinen

testata

Piste passista

Tehtävät

teoria

harjoitella

1. ryhmä

2. ryhmä

Ryhmä 3

Opiskelijan opintosuorituksiin valmistautumisen arviointi.

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo itsellesi Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä avaruudessa. Vektorikoordinaatit.

Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä

Jos avaruuden pisteen läpi vedetään kolme pareittain kohtisuoraa suoraa, joista jokaiselle valitaan suunta ja segmenttien mittayksikkö, niin sanotaan, että avaruudessa on annettu suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä.

Suorat viivat ja niille valitut suunnat kutsutaan koordinaattiakseleiksi ja niiden yhteinen piste on origo. Sitä merkitään yleensä kirjaimella O. Koordinaattiakselit on merkitty seuraavasti: Ox, Oy, O z - ja niillä on nimet: abskissa-akseli, ordinaatta-akseli, aplikaatio-akseli.

Koko koordinaattijärjestelmä on merkitty Oxy z:llä. Tasoja, jotka kulkevat koordinaattiakselien Ox ja Oy, Oy ja O z, O z ja Ox kautta, kutsutaan koordinaattitasoiksi ja niitä merkitään Oxy, Oy z, O z x.

Piste O jakaa kunkin koordinaattiakselin kahdeksi säteeksi. Sädettä, jonka suunta on sama kuin akselin suunta, kutsutaan positiiviseksi puoliakseliksi ja toista sädettä negatiiviseksi puoliakseliksi.

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä jokainen piste M avaruudessa liittyy numerotriplattiin, joita kutsutaan sen koordinaatteiksi.

Kuvassa kuusi pistettä A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Vektorikoordinaatit

Mitä tahansa vektoria voidaan laajentaa koordinaattivektoreilla, toisin sanoen esittää muodossa, jossa laajennuskertoimet x, y, z on määritetty yksiselitteisesti.

Koordinaattivektoreiden vektorin laajennuksessa olevia kertoimia x, y ja z kutsutaan vektorin koordinaatteiksi annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Harkitse sääntöjä, joiden avulla voidaan löytää niiden summan ja eron koordinaatit sekä tietyn vektorin tulon koordinaatit tietyllä luvulla näiden vektorien koordinaateista.

10. Kukin kahden tai useamman vektorin summan koordinaatti on yhtä suuri kuin näiden vektorien vastaavien koordinaattien summa. Toisin sanoen, jos a (x 1, y 1, z 1) ja b (x 2, y 2, z 2) ovat näitä vektoreita, niin vektorilla a + b on koordinaatit (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).

kaksikymmentä. Kukin kahden vektorin eron koordinaatti on yhtä suuri kuin näiden vektorien vastaavien koordinaattien ero. Toisin sanoen, jos a (x 1, y 1, z 1) ja b (x 2 y 2; z 2) ovat näitä vektoreita, niin vektorilla a - b on koordinaatit (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

kolmekymmentä. Jokainen vektorin luvun tulon koordinaatti on yhtä suuri kuin vektorin vastaavan koordinaatin tulo tällä luvulla. Toisin sanoen, jos a (x; y; x) on annettu vektori, α on annettu luku, niin vektorilla α a on koordinaatit (αх; αу; α z).

Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot

Didaktinen moniste "Abstraktien sarja opiskelijoille aiheesta" Koordinaattimenetelmä avaruudessa "tuntien johtamiseen luentojen muodossa. Geometria 10-11 luokka ....

Oppitunnin tarkoitus: Tarkistaa opiskelijoiden tiedot, taidot ja kyvyt aiheesta "Koordinaattimenetelmän käyttö avaruudessa kokeen C2 tehtävien ratkaisemiseen". Suunnitellut koulutustulokset: Opiskelijat osoittavat: ...