Fie x un punct de gheață arbitrar într-o vecinătate a unui punct fix x 0. diferența x - x 0 se numește de obicei increment al variabilei independente (sau increment al argumentului) în punctul x 0 și se notează cu Δx. În acest fel,

Δx = x –x 0,

de unde rezultă că

Creșterea funcției - diferența dintre cele două valori ale funcției.

Lasă funcția la = f (x), definit atunci când valoarea argumentului este egală cu X 0. Dați argumentului un increment D X, ᴛ.ᴇ. considerați valoarea argumentului egală X 0 + D X... Să presupunem că această valoare a argumentului este, de asemenea, în domeniul de aplicare al acestei funcții. Apoi diferența D y = f (x 0 + D X) – f (x 0) este obișnuit să apelăm funcția increment. Creșterea funcției f(X) la punct X este o funcție notată de obicei cu Δ x f pe noua variabilă Δ X definit ca

Δ x f(Δ X) = f(X + Δ X) − f(X).

Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției în punctul x 0, dacă

Exemplul 2. Aflați incrementul funcției f (x) = x 2, dacă x = 1, ∆x = 0,1

Rezolvare: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Aflați incrementul funcției ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Înlocuind valorile x = 1 și ∆x = 0,1, obținem ∆f = 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 = 0,2 + 0,01 = 0,21

Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției în punctul x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0,8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Definiție: Derivat funcție într-un punct, se obișnuiește să se apeleze limita (dacă există și este finită) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca acesta din urmă să tinde spre zero.

Următoarele denumiri derivate sunt cele mai frecvent utilizate:

În acest fel,

Găsirea derivatei este de obicei numită diferenţiere ... Introdus definiția funcției diferențiabile: O funcție f care are o derivată în fiecare punct al unui anumit interval este de obicei numită diferențiabilă pe un interval dat.

Fie definită o funcție într-o anumită vecinătate a unui punct; U(X 0) poate fi reprezentat ca

f(X 0 + h) = f(X 0) + Ah + o(h)

daca exista.

Determinarea derivatei unei funcții într-un punct.

Lasă funcția f (x) definite în interval (a; b), și sunt punctele acestui interval.

Definiție... Funcția derivată f (x) la un moment dat, se obișnuiește să se apeleze limita raportului dintre incrementul funcției și argumentul increment at. Este indicat.

Când ultima limită capătă o anumită valoare finală, atunci vorbesc despre existență derivata finală la punct... Dacă limita este infinită, atunci ei spun asta derivata este infinită într-un punct dat... Dacă limita nu există, atunci derivata functiei nu exista in acest moment.

Funcţie f (x) se numeste diferentiabil intr-un punct cand are o derivata finita la el.

Dacă funcţia f (x) diferențiabilă în fiecare punct al unui interval (a; b), atunci funcția se numește diferențiabilă pe acest interval. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, orice punct X din mijloc (a; b) putem asocia valoarea derivatei funcției în acest moment, adică avem posibilitatea de a defini o nouă funcție, care se numește derivată a funcției f (x) pe interval (a; b).

Operația de găsire a unei derivate se numește de obicei diferențiere.

1. increment de argument și increment de funcție.

Să fie dată o funcție. Să luăm două valori ale argumentului: inițială și modificat, care este de obicei notat
, Unde - valoarea cu care argumentul se schimba la trecerea de la prima valoare la a doua, se numeste prin incrementarea argumentului.

Argumentează valorile și corespund unor valori specifice funcției: inițială si modificate
, valoarea , prin care valoarea funcției se modifică atunci când argumentul se modifică cu o sumă, este apelată prin incrementul funcției.

2. conceptul de limită a unei funcţii într-un punct.

Număr numită limita funcției
când tind să dacă pentru orice număr
există un astfel de număr
asta pentru toti
satisfacerea inegalitatii
, inegalitatea
.

A doua definiție: Un număr se numește limita unei funcții ca tinde către, dacă pentru orice număr există o vecinătate a punctului astfel încât pentru oricare din această vecinătate. Notat
.

3. infinit de mari și infinitezimale funcții într-un punct. O funcție infinitezimală într-un punct este o funcție a cărei limită atunci când tinde către un punct dat este zero. O funcție infinit de mare într-un punct este o funcție a cărei limită atunci când tinde către un punct dat este egală cu infinitul.

4. teoreme principale privind limitele și consecințele acestora (fără dovezi).

consecință: factorul constant poate fi scos din semnul limită:

Dacă secvenţele şi atunci converge și limita șirului este diferită de zero

consecință: factorul constant poate fi scos din semnul limită.

11.dacă pentru există limite ale funcţiilor
și
iar limita funcției este diferită de zero,

atunci există și o limită a raportului lor, egală cu raportul limitelor funcțiilor și:

.

12.dacă
, atunci
, este adevărat și invers.

13. teorema asupra limitei succesiunii intermediare. Dacă secvenţele
convergente, și
și
atunci

5. limita funcţiei la infinit.

Numărul a se numește limita unei funcții la infinit (deoarece x tinde spre infinit) dacă pentru orice succesiune care tinde spre infinit
corespunde o succesiune de valori care tind la număr A.

6. g este limitele unei succesiuni numerice.

Număr A se numește limita unei șiruri numerice dacă pentru orice număr pozitiv există un număr natural N astfel încât pentru toți n> N inegalitatea este valabilă
.

Aceasta este definită simbolic după cum urmează:
corect .

Faptul că numărul A este limita secvenței, notată după cum urmează:

.

7. numărul „e”. logaritmi naturali.

Număr "E" reprezintă limita unei secvențe de numere, n- al cărui membru
, adică

.

Logaritm natural - logaritm cu bază e. se notează logaritmii naturali
fără a preciza temeiul.

Număr
vă permite să comutați de la logaritmul zecimal la cel natural și înapoi.

, se numește modul de tranziție de la logaritmi naturali la zecimal.

8.limite remarcabile
,

.

Prima limită remarcabilă:

astfel la

prin teorema limită a secvenței intermediare

a doua limită remarcabilă:

.

Pentru a dovedi existența limitei
utilizați lema: pentru orice număr real
și
inegalitatea este adevărată
(2) (pentru
sau
inegalitatea se transformă în egalitate.)

Secvența (1) poate fi scrisă după cum urmează:

.

Acum luați în considerare o secvență auxiliară cu un termen comun
asigurați-vă că scade și este mărginit de jos:
dacă
, atunci secvența este descrescătoare. Dacă
, atunci șirul este mărginit de jos. Să arătăm asta:

datorită egalității (2)

adică
sau
... Adică, șirul este în scădere, deoarece șirul este mărginit de jos. Dacă șirul este descrescător și mărginit de jos, atunci are o limită. Atunci

are o limită și o secvență (1), deoarece

și
.

L. Euler a numit această limită .

9. limite unilaterale, decalaj de funcție.

numărul A este limita din stânga dacă următoarele sunt adevărate pentru orice succesiune:.

numărul A este limita dreaptă dacă următoarele sunt adevărate pentru orice succesiune:.

Dacă la punct A aparținând domeniului de definire a funcției sau a limitei acesteia, se încalcă condiția de continuitate a funcției, apoi punctul A se numește punct de discontinuitate sau discontinuitate a unei funcții.

12. suma membrilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite. O progresie geometrică este o succesiune în care raportul dintre membrii următori și anterior rămâne neschimbat, acest raport fiind numit numitorul progresiei. Suma primelor n membrii unei progresii geometrice se exprimă prin formula
este convenabil să folosiți această formulă pentru o progresie geometrică descrescătoare - o progresie în care valoarea absolută a numitorului său este mai mică decât zero. - primul membru; - numitorul progresiei; - numărul membrului luat al secvenței. Suma unei progresii descrescătoare infinite este un număr la care suma primilor membri ai unei progresii descrescătoare se apropie la infinit cu o creștere nelimitată a numărului.
atunci. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare este .

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $ (x, y) $ de valori a două variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ z $, atunci $ z $ se spune că este o funcție a două variabile $ (x, y) $. Notație: $ z = f (x, y) $.

În ceea ce privește funcția $ z = f (x, y) $, luați în considerare conceptele de incrementări generale (complete) și parțiale ale unei funcții.

Să fie dată o funcție $ z = f (x, y) $ a două variabile independente $ (x, y) $.

Observație 1

Deoarece variabilele $ (x, y) $ sunt independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $ x $ un increment de $ \ Delta x $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ y $ neschimbată.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ x $. Desemnare:

În mod similar, să dăm variabilei $ y $ un increment de $ \ Delta y $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ x $ neschimbată.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care se va numi increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ y $. Desemnare:

Dacă argumentului $ x $ i se dă incrementul $ \ Delta x $, iar argumentului $ y $ - incrementul $ \ Delta y $, atunci incrementul complet al funcției date $ z = f (x, y) $ este obținut. Desemnare:

Astfel, avem:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 1

Soluţie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ este incrementul parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 2

Calculați câtul și incrementul total al funcției $ z = xy $ în punctul $ (1; 2) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

Prin definiția incrementului complet, găsim:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Observația 2

Creșterea totală a unei funcții date $ z = f (x, y) $ nu este egală cu suma incrementelor sale parțiale $ \ Delta _ (x) z $ și $ \ Delta _ (y) z $. Notație matematică: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Exemplul 3

Verificați observația de afirmație pentru funcție

Soluţie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (obținut în exemplul 1)

Aflați suma incrementelor parțiale ale funcției date $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definiția 2

Dacă pentru fiecare triplu $ (x, y, z) $ de valori a trei variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci $ w $ se spune că este o funcție a trei variabile $ ( x, y, z) $ în această zonă.

Notație: $ w = f (x, y, z) $.

Definiția 3

Dacă pentru fiecare colecție $ (x, y, z, ..., t) $ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci se spune că $ w $ este o funcție dintre variabilele $ (x, y, z, ..., t) $ din acest domeniu.

Notație: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ cu $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z, ..., t) $ cu $ t $.

Exemplul 4

Scrieți câtul și incrementul total al unei funcții

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ în raport cu $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția incrementului complet, găsim:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $ .

Exemplul 5

Calculați câtul și incrementul total al funcției $ w = xyz $ în punctul $ (1; 2; 1) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ în raport cu $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția incrementului complet, găsim:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Din punct de vedere geometric, incrementul total al funcției $ z = f (x, y) $ (prin definiție, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) este egal cu incrementul funcției de aplicare grafică $ z = f (x, y) $ la trecerea de la punctul $ M (x, y) $ la punctul $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (Fig. 1).

Poza 1.

în fizica medicală și biologică

PRELEZA Nr. 1

FUNCȚIE DERIVATĂ ȘI DIFERENȚIALĂ.

DERIVATE PRIVATE.

1. Conceptul de derivat, sensul său mecanic și geometric.

A ) Argument și incremente de funcție.

Fie dată funcția y = f (x), unde x este valoarea argumentului din domeniul funcției. Dacă alegem două valori ale argumentului xo și x dintr-un anumit interval al domeniului funcției, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește increment al argumentului: x - xo = ∆x .

Valoarea argumentului x poate fi determinată prin x 0 și incrementul acestuia: x = x o + ∆x.

Diferența dintre două valori ale funcției se numește increment al funcției: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Incrementul argumentului și funcției poate fi reprezentat grafic (Fig. 1). Creșterile de argument și incrementele de funcție pot fi fie pozitive, fie negative. După cum reiese din Fig. 1 geometric, incrementul argumentului ∆х este reprezentat de incrementul abscisei, iar incrementul funcției ∆у este reprezentat de incrementul ordonatei. Calculul incrementului funcției trebuie efectuat în următoarea ordine:

dați argumentului un increment ∆x și obțineți valoarea - x + ∆x;

2) găsim valoarea funcției pentru valoarea argumentului (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) găsim incrementul funcției ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Exemplu: Determinați incrementul funcției y = x 2 dacă argumentul s-a schimbat de la x o = 1 la x = 3. Pentru punctul x o valoarea funcției f (x o) = x² o; pentru punctul (x о + ∆х) valoarea funcției f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = х2 о + 2х о ∆х + ∆х 2, de unde ∆f = f (x о + ∆х) –f (х о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Sarcini care conduc la conceptul de derivat. Definiția unui derivat, sensul său fizic.

Conceptul de argument și increment de funcție este necesar pentru a introduce conceptul de derivată, care a apărut istoric din necesitatea de a determina viteza anumitor procese.

Luați în considerare cum puteți determina viteza unei mișcări rectilinie. Lasă corpul să se miște rectiliniu conform legii: ∆Ѕ =  · ∆t. Pentru mișcare uniformă:  = ∆Ѕ / ∆t.

Pentru mișcarea variabilă, valoarea lui ∆Ѕ / ∆t determină valoarea av. , adică cf. = ∆Ѕ / ∆t. Dar viteza medie nu face posibilă reflectarea caracteristicilor mișcării corpului și să dea o idee despre viteza adevărată la momentul t. Cu o scădere a intervalului de timp, i.e. la ∆t → 0, viteza medie tinde spre limita sa - viteza instantanee:

 instant =
 Mier =
∆Ѕ / ∆t.

Viteza instantanee a unei reacții chimice se determină în același mod:

 instant =
 Mier =
∆х / ∆t,

unde x este cantitatea de substanță formată în timpul unei reacții chimice în timpul t. Sarcini similare pentru determinarea vitezei diferitelor procese au condus la introducerea conceptului de derivată a unei funcții în matematică.

Să fie dată o funcție continuă f (x), definită pe intervalul] a, în [și incrementul ei ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
este o funcție a lui ∆x și exprimă rata medie de modificare a funcției.

Limita raportului , când ∆х → 0, cu condiția ca această limită să existe, se numește derivată a funcției :

y "x =

.

Derivata se noteaza:
- (prim x curs); f " (x) - (eff cursă cu x) ; y "- (liniuță); dy / dх – (de igrek po de iks); - (joc cu un punct).

Pe baza definiției derivatei, putem spune că viteza instantanee a mișcării rectilinie este derivata în timp a căii:

 instant = S "t = f " (t).

Astfel, putem concluziona că derivata funcției față de argumentul x este rata instantanee de modificare a funcției f (x):

y "x = f " (x) =  instant.

Acesta este sensul fizic al derivatului. Procesul de găsire a unei derivate se numește diferențiere, deci expresia „diferențiază o funcție” este echivalentă cu expresia „găsește derivata unei funcții”.

v)Sensul geometric al derivatului.

P
derivata funcției y = f (x) are o semnificație geometrică simplă asociată conceptului de tangentă la o dreaptă curbă într-un punct M. Mai mult, tangenta, i.e. o linie dreaptă se exprimă analitic ca y = kx = tanx, unde – unghiul de înclinare al tangentei (liniei drepte) la axa X. Să reprezentăm o curbă continuă în funcție de y = f (x), luăm un punct M de pe curbă și un punct M 1 apropiat de acesta și da o secanta prin ele. Panta sa la sec = tan β = Dacă punctul М 1 este apropiat de M, atunci incrementul argumentului ∆х va tinde spre zero, iar secanta la β = α va lua poziția tangentei. Din fig. 2 rezultă: tgα =
tgβ =
= y "x. Dar tgα este egală cu panta tangentei la graficul funcției:

k = tgα =
= y "x = f " (X). Deci, panta tangentei la graficul funcției într-un punct dat este egală cu valoarea derivatei sale în punctul de tangență. Acesta este sensul geometric al derivatului.

G)Regula generală pentru găsirea derivatei.

Pe baza definiției unei derivate, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi reprezentat astfel:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

aflați incrementul funcției: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

alcătuiți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

;

Exemplu: f (x) = x 2; f " (x) = ?.

Cu toate acestea, după cum se poate observa chiar și din acest exemplu simplu, aplicarea secvenței specificate atunci când se iau derivate este un proces laborios și complex. Prin urmare, pentru diverse funcții se introduc formule generale de diferențiere, care sunt prezentate sub forma unui tabel „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”.

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $ (x, y) $ de valori a două variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ z $, atunci $ z $ se spune că este o funcție a două variabile $ (x, y) $. Notație: $ z = f (x, y) $.

În ceea ce privește funcția $ z = f (x, y) $, luați în considerare conceptele de incrementări generale (complete) și parțiale ale unei funcții.

Să fie dată o funcție $ z = f (x, y) $ a două variabile independente $ (x, y) $.

Observație 1

Deoarece variabilele $ (x, y) $ sunt independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $ x $ un increment de $ \ Delta x $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ y $ neschimbată.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ x $. Desemnare:

În mod similar, să dăm variabilei $ y $ un increment de $ \ Delta y $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ x $ neschimbată.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care se va numi increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ y $. Desemnare:

Dacă argumentului $ x $ i se dă incrementul $ \ Delta x $, iar argumentului $ y $ - incrementul $ \ Delta y $, atunci incrementul complet al funcției date $ z = f (x, y) $ este obținut. Desemnare:

Astfel, avem:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 1

Soluţie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ este incrementul parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 2

Calculați câtul și incrementul total al funcției $ z = xy $ în punctul $ (1; 2) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

Prin definiția incrementului complet, găsim:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Observația 2

Creșterea totală a unei funcții date $ z = f (x, y) $ nu este egală cu suma incrementelor sale parțiale $ \ Delta _ (x) z $ și $ \ Delta _ (y) z $. Notație matematică: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Exemplul 3

Verificați observația de afirmație pentru funcție

Soluţie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (obținut în exemplul 1)

Aflați suma incrementelor parțiale ale funcției date $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definiția 2

Dacă pentru fiecare triplu $ (x, y, z) $ de valori a trei variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci $ w $ se spune că este o funcție a trei variabile $ ( x, y, z) $ în această zonă.

Notație: $ w = f (x, y, z) $.

Definiția 3

Dacă pentru fiecare colecție $ (x, y, z, ..., t) $ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci se spune că $ w $ este o funcție dintre variabilele $ (x, y, z, ..., t) $ din acest domeniu.

Notație: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ cu $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z, ..., t) $ cu $ t $.

Exemplul 4

Scrieți câtul și incrementul total al unei funcții

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ în raport cu $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția incrementului complet, găsim:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $ .

Exemplul 5

Calculați câtul și incrementul total al funcției $ w = xyz $ în punctul $ (1; 2; 1) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ în raport cu $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția incrementului complet, găsim:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Din punct de vedere geometric, incrementul total al funcției $ z = f (x, y) $ (prin definiție, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) este egal cu incrementul funcției de aplicare grafică $ z = f (x, y) $ la trecerea de la punctul $ M (x, y) $ la punctul $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (Fig. 1).

Poza 1.