S 15 eksponentnimi enačbami. Močne ali eksponentne enačbe. lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami

Rešitev eksponentnih enačb. Primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki ste zelo "ni zelo ..."
In za tiste, ki so "zelo enakomerni ...")

Kaj se je zgodilo eksponentna enačba? To je enačba, v kateri so neznanke (x) in izrazi z njimi kazalniki nekaj stopinj. In samo tam! Je pomembno.

Tukaj si primeri eksponentnih enačb:

3 x 2 x = 8 x + 3

Opomba! V osnovah stopinj (spodaj) - samo številke... V kazalniki stopinj (zgoraj) - širok izbor izrazov z x. Če se nenadoma v enačbi pojavi x nekje drugje kot indikator, na primer:

to bo že enačba mešanega tipa. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zaenkrat jih ne bomo upoštevali. Tukaj se bomo ukvarjali z reševanjem eksponentnih enačb v svoji najčistejši obliki.

Pravzaprav tudi čiste eksponentne enačbe niso vedno jasno rešene. Vendar obstajajo določene vrste eksponentnih enačb, ki jih je mogoče in bi morali rešiti. Upoštevali bomo te vrste.

Rešitev najpreprostejših eksponentnih enačb.

Začnimo z nečim zelo osnovnim. Na primer:

Tudi brez kakršnih koli teorij je iz preprostega izbora jasno, da je x = 2. Nič več, kajne!? Nobenih drugih zvitkov vrednosti x. Zdaj pa si poglejmo zapis rešitve te zvite eksponentne enačbe:

kaj smo naredili? Pravzaprav smo samo vrgli iste podlage (trojke). Popolnoma so ga vrgli ven. In kar veseli, zadeti v cilj!

Dejansko, če eksponentna enačba na levi in desni vsebuje enakoštevila v poljubnih potencih, lahko ta števila odstranimo in izenačimo eksponente. Matematika omogoča. Ostaja še rešiti veliko enostavnejšo enačbo. Super, kajne?)

Vendar se spomnimo ironično: baze lahko odstranite le, če sta osnovni številki na levi in desni v čudoviti izolaciji! Brez kakršnih koli sosedov in koeficientov. Recimo v enačbah:

2 x +2 x + 1 = 2 3, oz

dvojk ni mogoče odstraniti!

No, najpomembnejše smo obvladali. Kako preiti od zlobnih eksponentnih izrazov k enostavnejšim enačbam.

"To so časi!" - Ti rečeš. "Kdo bo dal tako primitiv na testih in izpitih!?"

moram se strinjati. Nihče ne bo dal. Zdaj pa veste, kam si prizadevati pri reševanju zmedenih primerov. Treba ga je spraviti v obrazec, ko je ista osnovna številka na levi - na desni. Potem bo vse lažje. Pravzaprav je to klasika matematike. Vzamemo izvirni primer in ga preoblikujemo v želenega. ZDA um. Po pravilih matematike, seveda.

Poglejmo primere, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih spravimo na najpreprostejše. Pokličimo jih preproste eksponentne enačbe.

Reševanje preprostih eksponentnih enačb. Primeri.

Pri reševanju eksponentnih enačb so glavna pravila - dejanja z diplomami. Brez poznavanja teh dejanj nič ne bo delovalo.

Dejanjem z stopnjami je treba dodati osebno opazovanje in iznajdljivost. Ali potrebujemo enake osnovne številke? Zato jih v primeru iščemo v eksplicitni ali šifrirani obliki.

Poglejmo, kako se to izvaja v praksi?

Naj nam damo primer:

2 2x - 8x + 1 = 0

Prvi oster pogled je na razlogov. Oni ... So različni! Dva in osem. Vendar je še prezgodaj, da bi se malodušili. Čas je, da se tega spomnimo

Dva in osem sta sorodnika po stopnji.) Povsem mogoče je zapisati:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Če se spomnite formule iz dejanj s pooblastili:

(a n) m = a nm,

na splošno se izkaže super:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Izvirni primer zdaj izgleda takole:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Prenesemo 2 3 (x + 1) desno (nihče ni preklical osnovnih dejanj matematike!), dobimo:

2 2x = 2 3 (x + 1)

To je praktično vse. Odstranimo podlage:

Rešimo to pošast in dobimo

To je pravilen odgovor.

V tem primeru nam je pomagalo poznavanje moči dveh. mi identificiran v osmici je šifrirana dvojka. Ta tehnika (šifriranje skupnih baz pod različnimi številkami) je zelo priljubljena tehnika v eksponentnih enačbah! In tudi v logaritmih. V številih je treba znati prepoznati potenco drugih števil. To je izjemno pomembno za reševanje eksponentnih enačb.

Dejstvo je, da dvig poljubnega števila na poljubno potenco ni problem. Pomnožite, tudi na kos papirja, in to je vse. Vsak lahko na primer dvigne 3 na peto potenco. 243 bo delovalo, če poznate tabelo množenja.) Toda v eksponentnih enačbah je veliko pogosteje potrebno, da ne dvignete na potenco, ampak nasprotno ... kakšno število do kakšne stopnje se skriva za številko 243 ali recimo 343 ... Tu vam ne bo pomagal noben kalkulator.

Moči nekaterih števil morate poznati na pogled, ja ... Vadimo?

Ugotovite, katere moči in katera števila so števila:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (v neredu, seveda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Če natančno pogledate, lahko vidite čudno dejstvo. Odgovorov je bistveno več kot nalog! No, zgodi se ... Na primer, 2 6, 4 3, 8 2 je vseh 64.

Recimo, da ste se seznanili z informacijami o poznavanju številk.) Naj vas spomnim, da za reševanje eksponentnih enačb uporabljamo celota zalogo matematičnega znanja. Vključno s tistimi iz mlajših in srednjih razredov. Nisi šel takoj v srednjo šolo, kajne?)

Na primer, pri reševanju eksponentnih enačb pogosto pomaga, da skupni faktor postavimo izven oklepajev (pozdravljeni, 7. razred!). Poglejmo primer:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

In spet na prvi pogled – pri temeljih! Osnove stopinj so različne ... Tri in devet. In želimo, da so enaki. No, v tem primeru je želja povsem izvedljiva!) Ker:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Upoštevajte enaka pravila za ravnanje z diplomami:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Super, lahko napišeš:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Primer smo pripeljali do istih razlogov. Torej, kaj je naslednje!? Trojke se ne smejo zavreči ... Slepa ulica?

Sploh ne. Ne pozabite na najbolj vsestransko in najmočnejše pravilo odločanja od vseh matematične naloge:

Če ne veste, kaj je potrebno, naredite, kar lahko!

Poglejte, vse se bo oblikovalo).

Kaj je v tej eksponentni enačbi lahko narediti? Da, na levi strani neposredno zahteva oklepaje! Skupni faktor 3 2x to jasno namiguje. Poskusimo, potem pa bomo videli:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primer je vedno boljši in boljši!

Ne pozabite, da za odpravo razlogov potrebujemo čisto stopnjo, brez kakršnih koli koeficientov. Število 70 nam je na poti. Tako delimo obe strani enačbe s 70, dobimo:

Ups! Vse se je izšlo!

To je končni odgovor.

Dogaja pa se, da je taksiranje na istih osnovah doseženo, njihova odprava pa ne. To se zgodi v eksponentnih enačbah druge vrste. Obvladajmo to vrsto.

Sprememba spremenljivke pri reševanju eksponentnih enačb. Primeri.

Rešimo enačbo:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprej, kot običajno. Prehod na en temelj. Na dvojko.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobimo enačbo:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

In tukaj bomo zmrznili. Prejšnje tehnike ne bodo delovale, ne glede na to, kako kul. Iz arzenala se bomo morali izogniti še enega močnega in vsestranskega načina. Se imenuje spremenljiva zamenjava.

Bistvo metode je presenetljivo preprosto. Namesto ene zapletene ikone (v našem primeru - 2 x) napišemo drugo, enostavnejšo (na primer - t). Takšna na videz nesmiselna zamenjava vodi do neverjetnih rezultatov!) Samo vse postane jasno in razumljivo!

Torej naj

Potem je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Zamenjaj vse potence z x v naši enačbi s t:

No, se je zdanilo?) Ste že pozabili na kvadratne enačbe? Rešimo z diskriminanto, dobimo:

Tukaj je glavna stvar, da se ne ustavite, kot se zgodi ... To še ni odgovor, potrebujemo X, ne t. Vračamo se k X-jem, tj. opravimo vračilo zamenjave. Najprej za t 1:

to je,

Našli smo en koren. Iščemo drugega, od t 2:

Hm ... levo 2 x, desno 1 ... Težava? Sploh ne! Dovolj je, da se spomnimo (iz dejanj s pooblastili, ja ...), da je kajštevilo na nič stopinj. kdorkoli. Dostavili bomo, kar je potrebno. Potrebujemo dvojko. pomeni:

Zdaj je to to. Imamo 2 korena:

To je odgovor.

Pri reševanje eksponentnih enačb včasih imamo na koncu kakšen neroden izraz. Vrsta:

Od sedem, dva do prvostopenjske stopnje ne deluje. Niso sorodniki ... Kako biti tukaj? Nekdo je morda zmeden ... Toda oseba, ki je na tem mestu prebrala temo "Kaj je logaritem?" , se le skopo nasmehne in s trdno roko zapiše popolnoma pravilen odgovor:

Takšnega odgovora pri nalogah "B" na izpitu ne more biti. Tam je potrebna posebna številka. Toda pri nalogah "C" - enostavno.

Ta lekcija ponuja primere reševanja najpogostejših eksponentnih enačb. Izpostavimo glavno stvar.

Praktični nasvet:

1. Najprej si ogledamo temelje stopinj. Razmišljamo, ali jih je mogoče izdelati enako. To poskušamo doseči z aktivno uporabo dejanja z diplomami. Ne pozabite, da je mogoče števila brez x pretvoriti tudi v stopnje!

2. Eksponentno enačbo skušamo reducirati na obliko, ko sta leva in desna enakoštevilke v kateri koli stopnji. Uporabljamo dejanja z diplomami in faktorizacija. Kar je mogoče prešteti v številkah - štejemo.

3. Če drugi nasvet ni deloval, poskusimo uporabiti spremenljivo substitucijo. Končni rezultat je enačba, ki jo je mogoče enostavno rešiti. Najpogosteje je kvadratna. Ali frakcijski, ki se prav tako reducira na kvadrat.

4. Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati potenco nekaterih številk »na pogled«.

Kot običajno, na koncu lekcije vas prosimo, da se malo odločite.) Sami. Od preprostega do zapletenega.

Rešite eksponentne enačbe:

Težje:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Poiščite produkt korenin:

2 3-x + 2 x = 9

se je zgodilo?

No, potem pa najbolj zapleten primer (rešen pa v mislih ...):

7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3

Kaj je bolj zanimivo? Potem je tukaj slab primer za vas. Precej pritegne povečana težavnost. Namigujem, da v tem primeru prihranita iznajdljivost in najbolj univerzalno pravilo za reševanje vseh matematičnih problemov.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Primer je enostavnejši, za počitek):

9 2 x - 4 3 x = 0

In za sladico. Poiščite vsoto korenov enačbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da, da! To je mešana enačba! Kar v tej lekciji nismo upoštevali. In da jih je treba upoštevati, jih je treba rešiti!) Ta lekcija je povsem dovolj za rešitev enačbe. No, pamet je potrebna ... In naj vam pomaga sedmi razred (to je namig!).

Odgovori (v neredu, ločeni s podpičjem):

ena; 2; 3; 4; brez rešitev; 2; -2; -5; 4; 0.

Je vse v redu? Globa.

Tukaj je problem? Ni problema! V posebnem razdelku 555 so vse te eksponentne enačbe rešene s podrobnimi razlagami. Kaj, zakaj in zakaj. In seveda obstajajo dodatne dragocene informacije o delu z vsemi vrstami eksponentnih enačb. Ne samo te.)

Še zadnje smešno vprašanje za razmislek. V tej vadnici smo delali z eksponentnimi enačbami. Zakaj tukaj nisem omenil niti besede o ODZ? V enačbah je to zelo pomembna stvar, mimogrede ...

Če vam je to spletno mesto všeč ...

Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Takojšnje validacijsko testiranje. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

V fazi priprave na zaključni preizkus morajo študenti višjih letnikov izboljšati svoje znanje na temo "Eksponentne enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da tovrstne naloge šolarjem povzročajo določene težave. Zato morajo srednješolci, ne glede na stopnjo usposobljenosti, temeljito obvladati teorijo, si zapomniti formule in razumeti princip reševanja takšnih enačb. Ko se bodo diplomanti naučili soočiti s tovrstnimi težavami, bodo lahko pri opravljanju izpita iz matematike računali na visoke ocene.

Pripravite se na izpitno testiranje s Shkolkovo!

Pri pregledu obravnavanega gradiva se veliko študentov sooča s problemom iskanja formul, potrebnih za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, izbira potrebnih informacij o temi na internetu pa traja dolgo.

Izobraževalni portal "Shkolkovo" študente vabi k uporabi naše baze znanja. Uvajamo popolnoma nov način priprave na končno testiranje. S študijem na naši spletni strani boste lahko prepoznali vrzeli v znanju in se posvetili prav tistim nalogam, ki povzročajo največje težave.

Učitelji Shkolkovo so zbrali, sistematizirali in predstavili vso gradivo, potrebno za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita v najpreprostejši in najbolj dostopni obliki.

Glavne definicije in formule so predstavljene v razdelku "Teoretično referenco".

Za boljšo asimilacijo snovi vam priporočamo, da vadite pri opravljanju nalog. Previdno preglejte primere eksponentnih enačb z rešitvijo, predstavljeno na tej strani, da razumete algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z nalogami v razdelku »Imeniki«. Začnete lahko z najlažjimi problemi ali pa greste naravnost na reševanje kompleksnih eksponentnih enačb z več neznankami oz. Baza vadbe na naši spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.

Tiste primere z indikatorji, ki so vam povzročali težave, lahko dodate med priljubljene. Tako jih lahko hitro najdete in se o rešitvi pogovorite z inštruktorjem.

Če želite uspešno opraviti enotni državni izpit, se vsak dan učite na portalu Shkolkovo!

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh možnosti predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.

Vrsta lekcije

: pouk posploševanja in kompleksne uporabe znanj, spretnosti in sposobnosti na temo »Eksponentne enačbe in načini njihovega reševanja«.

Cilji lekcije.

Izobraževalni:
ponoviti in sistematizirati glavno gradivo teme »Eksponentne enačbe, njihove rešitve«; utrditi sposobnost uporabe ustreznih algoritmov pri reševanju eksponentnih enačb različnih vrst; priprava na izpit.
Razvoj:
razvijati logično in asociativno mišljenje učencev; prispevajo k razvoju veščine samostojne uporabe znanja.
Izobraževalni:
vzgajati namenskost, pozornost in natančnost pri reševanju enačb.

oprema:

računalnik in multimedijski projektor.

Lekcija uporablja Informacijska tehnologija : metodološka podpora pouku - predstavitev v programu Microsoft Power Point.

Med poukom

Vsako spretnost daje delo

JAZ. Postavitev ciljev lekcije(Diapozitiv številka 2 )

V tej lekciji bomo povzeli in posplošili temo »Eksponentne enačbe, njihove rešitve«. Na to temo se seznanimo z značilnimi nalogami USE iz različnih let.

Naloge za reševanje eksponentnih enačb najdemo v katerem koli delu izpitnih nalog. V delu " V " običajno ponujajo reševanje najpreprostejših eksponentnih enačb. V delu " Z " najdete bolj zapletene eksponentne enačbe, katerih rešitev je običajno ena od stopenj naloge.

Na primer ( Diapozitiv številka 3 ).

Enotni državni izpit - 2007

Q 4 - Poiščite največjo vrednost izraza x y, kje ( X; pri) - sistemska rešitev:

Enotni državni izpit - 2008

B 1 - Reši enačbe:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

Enotni državni izpit - 2009

V 4 - Poiščite pomen izraza x + y, kje ( X; pri) - sistemska rešitev:

Enotni državni izpit - 2010

– Reši enačbo: 7 X– 2 = 49. - Poiščite korenine enačbe: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - Reši sistem enačb:

II. Posodabljanje osnovnega znanja. Ponavljanje

(Diapozitivi številka 4-6 predstavitve za lekcijo)

Na zaslonu se prikaže osnovni povzetek teoretičnega gradiva na to temo.

Razpravljajo se o naslednjih vprašanjih:

Kako se imenujejo enačbe okvirno?
Navedite glavne načine za njihovo reševanje. Navedite primere njihovih vrst ( Diapozitiv številka 4 )

(Predlagane enačbe za vsako metodo rešite neodvisno in opravite samopreizkus z diapozitivom)

Kateri izrek se uporablja za reševanje najpreprostejših eksponentnih enačb v obliki: in f (x) = a g (x)?
Katere druge metode za reševanje eksponentnih enačb obstajajo? ( Diapozitiv številka 5 )

Metoda faktoringa

Sprejem deljenja (množenja) z eksponentnim izrazom, ki ni nič, pri reševanju homogenih eksponentnih enačb

nasvet:

pri reševanju eksponentnih enačb je koristno najprej izvesti transformacije, pri čemer dobimo na obeh straneh enačbe moči z enakimi osnovami.

Reševanje enačb z zadnjima dvema metodama, ki jima sledijo komentarji

(Diapozitiv številka 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t - 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Reševanje nalog izpita 2010

Učenci samostojno rešujejo naloge, predlagane na začetku ure na diapozitivu številka 3, z uporabo navodil za rešitev, preverijo potek rešitve in odgovore nanje s pomočjo predstavitve ( Diapozitiv številka 7). Med delom se obravnavajo možnosti in načini reševanja, opozarja se na morebitne napake pri rešitvi.

: a) 7 X- 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. odgovor: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 = 0. (Lahko zamenjate 0,5 = 4 - 0,5)

Rešitev. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

odgovor: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, pri cos y< 0.

Indikacija za rešitev

... 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2 g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. Naj X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Od tg y= -1 in cos y< 0 torej pri II koordinatna četrt

odgovor: pri= 3/4 + 2k, k N.

IV. Sodelujte na tabli

Šteje se, da je naloga visoke stopnje usposabljanja - Diapozitiv številka 8... S pomočjo tega diapozitiva poteka dialog med učiteljem in učenci, ki prispeva k razvoju rešitve.

- Pri katerem parametru a enačba 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 ima dva korena?

Pustiti t= 2 X, kje t > 0 ... Dobimo t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

ena). Ker ima enačba dva korena, je D> 0;

2). Ker t 1,2> 0, torej t 1 t 2> 0, tj a 2 – 4a> 0 (?...).

odgovor: a(- 0,5; 0) ali (4; 4,5).

V. Verifikacijska dela

(Diapozitiv številka 9 )

Študentje nastopajo verifikacijsko delo na listih, izvajanje samokontrole in samoocenjevanja opravljenega dela s pomočjo predstavitve, ki potrjuje temo. Samostojno si določijo program za urejanje in popravljanje znanja na podlagi napak v delovnih zvezkih. Liste z opravljenim samostojnim delom predamo učitelju v preverjanje.

Podčrtane številke - osnovna raven, z zvezdico - povečana težavnost.

Rešitev in odgovori.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 * ,3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (ne ustreza),

(3/5) X = 5, x = -1.

Vi. Domača naloga
(Diapozitiv številka 10 )

Ponovite § 11, 12.
Iz gradiva enotnega državnega izpita 2008 - 2010 izberite naloge na to temo in jih rešite.

Domače testno delo

Naj vas moje besede ne ustrašijo, s to metodo ste se srečali že v 7. razredu, ko ste študirali polinome.

Na primer, če potrebujete:

Združimo: prvi in tretji člen ter drugi in četrti.

Jasno je, da sta prva in tretja razlika kvadratov:

drugi in četrti pa imata skupni faktor tri:

Potem je prvotni izraz enakovreden temu:

Kje odstraniti skupni faktor, ni več težko:

zato

Približno tako bomo ravnali pri reševanju eksponentnih enačb: med izrazi poiščite "skupnost" in jo postavite izven oklepajev, no potem - kaj bo, verjamem, da bomo imeli srečo =))

Primer št. 14

Na desni je daleč od stopnje sedem (preveril sem!) In na levi - ni veliko bolje ...

Lahko seveda iz drugega mandata »odsekaš« faktor a, potem pa se ukvarjaš z rezultatom, a naj to s tabo naredimo bolj smiselno.

Nočem se ukvarjati z ulomki, ki neizogibno izhajajo iz »označevanja«, ali ne bi bilo bolje, da zdržim?

Potem ne bom imel frakcij: kot pravijo, volkovi so hranjeni in ovce so varne:

Preštejte izraz v oklepaju.

Na čaroben, čaroben način se to izkaže (presenetljivo, čeprav kaj drugega lahko pričakujemo?).

Potem bomo s tem faktorjem preklicali obe strani enačbe. Dobimo:, od kod.

Tukaj je bolj zapleten primer (resnično precej):

Kakšna težava! Tukaj nimamo ene skupne točke!

Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj.

Naredimo, kar zmoremo: najprej premaknimo »štirike« na eno stran, »petice« pa na drugo:

Zdaj pa premaknimo "skupno" v levo in desno:

In kaj sedaj?

Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:

No, zdaj pa naredimo tako, da imamo na levi le izraz z, na desni pa vse ostalo.

Kako to naredimo?

In takole: Obe strani enačbe najprej delimo s (tako se znebimo stopnje na desni), nato pa obe strani delimo s (na ta način se znebimo številčnega faktorja na levi).

Končno dobimo:

Neverjetno!

Na levi imamo izraz, na desni pa preprostega.

Potem to takoj sklepamo

Primer št. 15

Podal bom njegovo kratko rešitev (ne da bi se preveč obremenjeval z razlagami), poskušal sam ugotoviti vse "tankosti" rešitve.

Zdaj končna konsolidacija prejetega gradiva.

Sam reševanje naslednjih 7 problemov (z odgovori)

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:
Prvi izraz predstavljamo v obliki:, razdelimo oba dela na in dobimo to
, potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poglej, kje sva ti in jaz že rešila to enačbo!
Predstavljajte si, kako, kako in, no, nato pa delite oba dela s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
Vzemite iz oklepajev.
Vzemite iz oklepajev.

RAZISKOVALNE ENAČBE. POVPREČNA RAVEN

Mislim, da po branju prvega članka, ki je povedal kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, ste obvladali potrebno minimalno znanje, potrebno za reševanje najpreprostejših primerov.

Zdaj bom analiziral drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to ...

Način uvedbe nove spremenljivke (ali zamenjave)

Večino "težkih" problemov rešuje na temo eksponentnih enačb (in ne samo enačb).

Ta metoda je ena izmed najpogosteje uporabljeni v praksi. Najprej priporočam, da se seznanite s temo.

Kot ste že razumeli iz imena, je bistvo te metode uvesti takšno spremembo spremenljivke, da se vaša eksponentna enačba čudežno spremeni v takšno, ki jo lahko enostavno rešite.

Vse, kar vam preostane po rešitvi te zelo »poenostavljene enačbe«, je, da naredite »obrnjeno zamenjavo«: to je, da se vrnete od zamenjanega k zamenjanemu.

Ponazorimo, kar smo pravkar povedali, z zelo preprostim primerom:

Primer 16. Metoda enostavne substitucije

Ta enačba se reši z uporabo "Enostavna zamenjava" kot to posmehljivo imenujejo matematiki.

Dejansko je zamenjava tukaj najbolj očitna. Samo to je treba videti

Potem se prvotna enačba spremeni v to:

Če si dodatno predstavljate, kako, potem je popolnoma jasno, kaj je treba zamenjati ...

Seveda, .

V kaj se bo potem spremenila prvotna enačba? In tukaj:

Njegove korenine lahko enostavno najdete sami:.

Kaj naj zdaj storimo?

Čas je, da se vrnemo na prvotno spremenljivko.

Kaj sem pozabil navesti?

Namreč: pri zamenjavi določene stopnje z novo spremenljivko (to je pri spreminjanju pogleda) me bo zanimalo samo pozitivne korenine!

Sami lahko zlahka odgovorite, zakaj.

Tako naju in vas ne zanima, vendar je drugi koren za nas povsem primeren:

Potem kje.

odgovor:

Kot lahko vidite, je v prejšnjem primeru zamenjava zahtevala naše roke. Žal temu ni vedno tako.

Pa ne gremo kar na žalostno, ampak vadimo še en primer z dokaj preprosto zamenjavo

Primer 17 Metoda preproste substitucije

Jasno je, da bo najverjetneje treba zamenjati (to je najmanjša od stopinj, vključenih v našo enačbo).

Preden pa uvedemo zamenjavo, je treba nanjo »pripraviti« našo enačbo, in sicer:,.

Potem lahko zamenjate, kot rezultat dobim naslednji izraz:

Oh groza: kubična enačba s popolnoma srhljivimi formulami za njeno rešitev (no, na splošno).

A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj narediti.

Predlagal bom goljufanje: vemo, da ga moramo, da bi dobili "lep" odgovor, dobiti v obliki neke moči trojke (zakaj bi to bilo, kajne?).

Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (začel bom ugibati s potenji treh).

Prva predpostavka. To ni koren. Aja in ah...

.
Leva stran je enaka.
Desni del: !

Tukaj je! Uganili ste prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!

Ali poznate shemo delitve "kot"? Seveda veste, da ga uporabljate, ko eno število delite z drugim.

Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi.

Obstaja en odličen izrek:

Glede na mojo situacijo mi to pove, s čim je deljivo.

Kako se izvaja delitev? Tako:

Pogledam, kateri monom moram pomnožiti, da dobim

Jasno je, da potem:

Odštejte dobljeni izraz od, dobite:

S čim moram zdaj pomnožiti, da dobim?

Jasno je, da na, potem bom dobil:

in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:

No, zadnji korak bom pomnožil in odštel od preostalega izraza:

Hura, delitve je konec! Kaj smo prihranili zasebno?

Samo po sebi: .

Nato smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega polinoma:

Rešimo drugo enačbo:

Ima korenine:

Nato izvirna enačba:

ima tri korenine:

Seveda bomo zadnji koren zavrgli, saj je manjši od nič.

In prva dva po povratni zamenjavi nam bosta dala dve korenini:

Odgovor: ..

S tem primerom vas nisem hotel prestrašiti!

Nasprotno, moj cilj je bil pokazati, da čeprav smo imeli dokaj preprosto zamenjavo, je vendarle vodila do precej zapletene enačbe, katere rešitev je od nas zahtevala nekaj posebnih veščin.

No, pred tem ni imun nihče. Toda zamenjava v tem primeru je bila precej očitna.

Primer # 18 (z manj očitno zamenjavo)

Sploh ni jasno, kaj bi morali storiti: problem je v tem, da sta v naši enačbi dve različni bazi in ene baze ni mogoče dobiti od druge z dvigom na katero koli (razumno, naravno) stopnjo.

Vendar, kaj vidimo?

Obe bazi se razlikujeta le po predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov, enaka ena:

Opredelitev:

Tako so števila, ki so baze v našem primeru, konjugirana.

V tem primeru bi bila pametna poteza pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.

Na primer, na, potem leva stran enačbe postane enaka, desna pa.

Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:

njene korenine in če se tega spomnimo, dobimo to.

Odgovor: , .

Za rešitev večine "šolskih" eksponentnih enačb praviloma zadostuje metoda zamenjave.

Naslednje naloge višje stopnje zahtevnosti so vzete iz različic izpita.

Tri naloge večje zahtevnosti iz možnosti izpita

Ste že dovolj usposobljeni za samostojno reševanje teh primerov. Dal bom samo potrebno zamenjavo.

Reši enačbo:
Poiščite korenine enačbe:
Reši enačbo:. Poiščite vse korene te enačbe, ki pripadajo segmentu:

In zdaj kratka pojasnila in odgovori:

Primer št. 19

Tukaj je dovolj, da opazimo, da in.

Potem bo prvotna enačba enakovredna tej:

Ta enačba se reši z zamenjavo

Nadaljnje izračune naredite sami.

Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje najpreprostejše trigonometrične (odvisno od sinusa ali kosinusa). Rešitev takšnih primerov bomo analizirali v drugih poglavjih.

Primer št. 20

Tukaj lahko storite celo brez zamenjave ...

Dovolj je, da odšteto premaknemo v desno in obe bazi predstavimo s potencami dveh:, nato pa gremo neposredno na kvadratno enačbo.

Primer št. 21

Rešuje se tudi na dokaj standarden način: predstavljajmo si, kako.

Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo:

Ali že veste, kaj je logaritem? ne? Potem pa nujno preberi temo!

Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nerazumljiv!

Bomo pa izvedeli zelo kmalu!

Ker je torej (to je lastnost logaritma!)

Od obeh delov odštejemo, dobimo:

Levo stran lahko predstavimo kot:

oba dela pomnožimo z:

potem je mogoče pomnožiti z

Potem pa primerjajmo:

od takrat:

Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu

odgovor:

Kot vidiš, izbira korenin eksponentnih enačb zahteva dovolj globoko poznavanje lastnosti logaritmov zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni.

Kot si lahko predstavljate, je v matematiki vse med seboj povezano!

Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematika, tako kot zgodovina, ne moreš brati čez noč."

Praviloma vse težava pri reševanju problemov povečane stopnje kompleksnosti je ravno izbira korenin enačbe.

Še en primer za trening ...

Primer 22

Jasno je, da je enačba sama po sebi precej enostavna za reševanje.

Z zamenjavo bomo našo prvotno enačbo zmanjšali na naslednje:

Najprej razmislimo prvi koren.

Primerjaj in: od takrat. (lastnost logaritemske funkcije, at).

Potem je jasno, da tudi prvi koren ne pripada našemu intervalu.

Zdaj drugi koren:. Jasno je, da (ker se funkcija pri povečuje).

Ostaja primerjava in.

od takrat hkrati.

Tako lahko "zabijem klin" med in.

Ta zatič je številka.

Prvi izraz je manjši, drugi pa večji.

Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.

Odgovor: .

Za zaključek si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nestandardna.

Primer # 23 (Enačba z nestandardno zamenjavo!)

Začnimo takoj s tem, kaj lahko storite in kaj - načeloma lahko, vendar je bolje, da tega ne storite.

Lahko - vse predstavljate s potenji tri, dva in šest.

Kam vodi?

Da, to ne bo pripeljalo do ničesar: mešanica stopinj, nekaterih pa se bo težko znebiti.

Kaj je potem potrebno?

Naj opozorimo, da a

In kaj nam bo dalo?

In dejstvo, da lahko rešitev tega primera reduciramo na rešitev dokaj preproste eksponentne enačbe!

Najprej prepišimo našo enačbo kot:

Zdaj delimo obe strani nastale enačbe z:

Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:

No, zdaj ste na vrsti, da rešite predstavitvene probleme, jaz pa jim bom dal le kratke komentarje, da ne zaidete! Vso srečo!

Primer št. 24

Najtežje!

Tukaj ni enostavno najti zamenjave! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo izbor polnega kvadrata.

Za njegovo rešitev je dovolj, da opozorite, da:

Potem je tukaj nadomestek za vas:

(Upoštevajte, da tukaj, med našo zamenjavo, ne moremo spustiti negativnega korena !!! In zakaj mislite?)

Zdaj, da rešite primer, morate rešiti dve enačbi:

Oboje rešuje "standardna zamenjava" (vendar druga v enem primeru!)

Primer št. 25

2. Upoštevajte to in naredite zamenjavo.

Primer št. 26

3. Število razčlenite na sopraproste faktorje in poenostavite dobljeni izraz.

Primer št. 27

4. Delite števec in imenovalec ulomka z (ali, če želite) in zamenjajte oz.

Primer št. 28

5. Upoštevajte, da sta številki in konjugirani.

REŠITEV IZRAZNIH ENAČB PO METODO LOGARIFMIRANJA. NAPREDNI NIVO

Poleg tega razmislimo o drugem načinu - rešitev eksponentnih enačb po logaritemski metodi.

Ne morem reči, da je rešitev eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljena, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do pravilne rešitve naše enačbe.

Še posebej pogosto se uporablja za reševanje tako imenovanih " mešane enačbe": To je tiste, kjer se srečujejo funkcije različnih vrst.

Primer št. 29

v splošnem primeru ga je mogoče rešiti le tako, da vzamemo logaritem obeh stranic (na primer po osnovi), pri čemer se izvirna enačba spremeni v naslednjo:

Oglejmo si naslednji primer:

Jasno je, da nas glede na ODZ logaritemske funkcije zanima le.

Vendar to ne izhaja le iz ODZ logaritma, ampak iz drugega razloga.

Mislim, da vam ne bo težko uganiti katerega.

Zapišimo obe strani naše enačbe na osnovo:

Kot lahko vidite, nas je logaritem naše prvotne enačbe dovolj hitro pripeljal do pravilnega (in lepega!) odgovora.

Vadimo še z enim primerom.