Ta članek je posvečen tehnikam reševanja različnih enačb in neenakosti, ki vsebujejo
spremenljivka pod znakom modula.

Če na izpitu naletite na enačbo ali neenakost z modulom, jo ​​lahko rešite tako
brez poznavanja posebnih metod in uporabe samo definicije modula. resnica,
lahko traja uro in pol dragocenega izpitnega časa.

Zato vam želimo povedati o tehnikah, ki poenostavljajo rešitev takšnih težav.

Najprej si zapomnite to

Razmislite o različnih vrstah enačbe z modulom... (Na neenakosti bomo prešli pozneje.)

Na levi je modul, na desni je številka

To je najpreprostejši primer. Rešimo enačbo

Obstajata samo dve števili, katerih moduli so enaki štirim. To sta 4 in −4. Zato enačba
je enakovredna kombinaciji dveh preprostih:

Druga enačba nima rešitev. Rešitvi prvega: x = 0 in x = 5.

Odgovor: 0; 5.

Spremenljivo tako pod modulom kot zunaj modula

Tukaj morate razširiti modul po definiciji. ... ... ali razmišljati!

Enačba spada v dva primera, odvisno od predznaka izraza pod modulom.
Z drugimi besedami, gre za kombinacijo dveh sistemov:

Rešitev prvega sistema:. Drugi sistem nima rešitev.
Odgovor: 1.

Prvi primer: x ≥ 3. Odstranite modul:

Število, ker je negativno, ne izpolnjuje pogoja x ≥ 3 in zato ni koren prvotne enačbe.

Ugotovimo, ali številka izpolnjuje ta pogoj. Če želite to narediti, sestavite razliko in določite njen znak:

Zato je več kot tri in je zato koren prvotne enačbe

Drugi primer: x< 3. Снимаем модуль:

Številka . večji od in zato ne izpolnjuje pogoja x< 3. Проверим :

Pomeni,. je koren prvotne enačbe.

Odstraniti modul po definiciji? Strašno je tudi pomisliti na to, saj diskriminanta ni popoln kvadrat. Bolje je, da uporabimo naslednji premislek: enačba v obliki | A | = B je enakovreden kombinaciji dveh sistemov:

Enako, a nekoliko drugače:

Z drugimi besedami, rešimo dve enačbi, A = B in A = −B, in nato izberemo korenine, ki izpolnjujejo pogoj B ≥ 0.

Začnimo. Najprej rešimo prvo enačbo:

Nato rešimo drugo enačbo:

Zdaj v vsakem primeru preverimo znak desne strani:

Zato so primerni le in.

Kvadratne enačbe z zamenjavo | x | = t

Rešimo enačbo:

Ker je priročno narediti zamenjavo | x | = t. Dobimo:

Odgovor: ± 1.

Modul je enak modulu

Govorimo o enačbah v obliki | A | = | B |. To je darilo usode. Po definiciji ni razkritij modulov! Preprosto je:

Na primer, upoštevajte enačbo:. To je enako naslednjemu agregatu:

Ostaja še rešiti vsako od enačb množice in zapisati odgovor.

Dva ali več modulov

Rešimo enačbo:

Ne obremenjujmo se z vsakim modulom posebej in ga razširimo po definiciji – možnosti bo preveč. Obstaja bolj racionalen način - metoda intervalov.

Izrazi modulov izginejo v točkah x = 1, x = 2 in x = 3. Te točke delijo številsko premico na štiri intervale (intervale). Te točke označimo na številski premici in razporedimo predznake za vsak izraz pod moduli v dobljenih intervalih. (Vrstni red predznakov je enak vrstnemu redu ustreznih modulov v enačbi.)

Tako moramo upoštevati štiri primere - ko je x v vsakem od intervalov.

Primer 1: x ≥ 3. Vsi moduli so odstranjeni "s plusom":

Dobljena vrednost x = 5 izpolnjuje pogoj x ≥ 3 in je zato koren prvotne enačbe.

Primer 2: 2 ≤ x ≤ 3. Zadnji modul je zdaj odstranjen "z minusom":

Dobljena vrednost x je tudi dobra - spada v obravnavani interval.

Primer 3: 1 ≤ x ≤ 2. Drugi in tretji modul sta odstranjena "z minusom":

Kot rešitve te enačbe smo dobili pravilno numerično enakost za kateri koli x iz obravnavanega intervala.

Primer 4: x ≤ 1 ≤ 1. Drugi in tretji modul sta odstranjena "z minusom":

Nič novega. Že vemo, da je x = 1 rešitev.

Odgovor: ∪ (5).

Modul v modulu

Rešimo enačbo:

Začnemo z razširitvijo notranjega modula.

1) x ≤ 3. Dobimo:

Izraz pod modulom izgine pri. Ta točka spada med obravnavane
interval. Zato moramo analizirati dva podprimera.

1.1) V tem primeru dobimo:

Ta vrednost x ni veljavna, ker ne pripada obravnavanemu intervalu.

1.2). Nato:

Tudi ta vrednost x ni veljavna.

Torej, za x ≤ 3 ni rešitev. Pojdimo na drugi primer.

2) x ≥ 3. Imamo:

Tukaj imamo srečo: izraz x + 2 je pozitiven v obravnavanem intervalu! Zato ne bo več podprimerov: modul je odstranjen "s plusom":

Ta vrednost x je v obravnavanem intervalu in je zato koren prvotne enačbe.

Tako se rešujejo vse naloge te vrste - odpremo ugnezdene module enega za drugim, začenši z notranjim.

Srednja šola MBOU št. 17 Ivanov

« Enačbe z modulom "
Metodični razvoj

Sestavil

učitelj matematike

N.V. Lebedeva

20010 g.

Pojasnilo

Poglavje 1. Uvod

Razdelek 2. Osnovne lastnosti Oddelek 3. Geometrijska interpretacija pojma modula števila Razdelek 4. Graf funkcije y = | x | Oddelek 5. Konvencije

Poglavje 2. Reševanje enačb, ki vsebujejo modul

Oddelek 1. Enačbe v obliki | F (x) | = m (najpreprostejši) Razdelek 2. Enačbe oblike F (| x |) = m Razdelek 3. Enačbe v obliki | F (x) | = G (x) Oddelek 4. Enačbe v obliki |F (x) | = ± F (x) (lepo) Razdelek 5. Enačbe v obliki |F (x) | = | G (x) | Razdelek 6. Primeri reševanja nestandardnih enačb Razdelek 7. Enačbe v obliki |F (x) | + | G (x) | = 0 Razdelek 8. Enačbe v obliki |a 1 x ± b 1 | ± | a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± v n | = m Razdelek 9. Enačbe, ki vsebujejo več modulov

Poglavje 3. Primeri reševanja različnih enačb z modulom.

Oddelek 1. Trigonometrične enačbe Razdelek 2. Eksponentne enačbe Oddelek 3. Logaritemske enačbe Oddelek 4. Iracionalne enačbe Oddelek 5. Naloge večje zahtevnosti Odgovori na vaje Bibliografija

Pojasnilo.

Koncept absolutne vrednosti (modula) realnega števila je ena njegovih bistvenih značilnosti. Ta koncept je razširjen v različnih vejah fizikalnih, matematičnih in tehničnih znanosti. V praksi poučevanja matematičnega tečaja v srednji šoli v skladu s Programom Ministrstva za obrambo Ruske federacije se koncept "absolutne vrednosti števila" večkrat pojavlja: v 6. razredu se opredelitev modula, predstavljen je njegov geometrijski pomen; v 8. razredu se oblikuje pojem absolutne napake, obravnava se rešitev najpreprostejših enačb in neenakosti, ki vsebujejo modul, proučujejo se lastnosti aritmetičnega kvadratnega korena; v 11. razredu pojem najdemo v rubriki »Koren n-. stopnja". Izkušnje poučevanja kažejo, da se učenci pogosto srečujejo s težavami pri reševanju nalog, ki zahtevajo poznavanje te snovi, in pogosto preskočijo, preden začnejo z delom. V besedilih izpitnih nalog za tečaj 9. in 11. razreda so tudi podobne naloge. Poleg tega se zahteve, ki jih univerze postavljajo pred diplomante, razlikujejo, in sicer na višji ravni od zahtev šolskega kurikuluma. Za življenje v sodobni družbi je zelo pomembno oblikovati matematični slog razmišljanja, ki se kaže v določenih miselnih veščinah. V procesu reševanja problemov z moduli je potrebna sposobnost uporabe takih tehnik, kot so posploševanje in konkretizacija, analiza, klasifikacija in sistematizacija, analogija. Rešitev takšnih nalog vam omogoča, da preverite znanje glavnih oddelkov šolskega tečaja, raven logičnega razmišljanja, začetne spretnosti raziskovalnih dejavnosti. To delo je posvečeno enemu od razdelkov - reševanju enačb, ki vsebujejo modul. Sestavljen je iz treh poglavij. Prvo poglavje uvaja osnovne pojme in najpomembnejše teoretične izračune. V drugem poglavju je predlaganih devet osnovnih vrst enačb, ki vsebujejo modul, obravnavane so metode za njihovo reševanje, analizirani so primeri različnih stopenj kompleksnosti. Tretje poglavje ponuja bolj zapletene in nestandardne enačbe (trigonometrične, eksponentne, logaritemske in iracionalne). Vsaka vrsta enačbe ima vaje za samostojno reševanje (odgovori in navodila so priloženi). Glavni namen tega dela je zagotoviti metodično pomoč učiteljem pri pripravi na pouk in pri organizaciji izbirnih predmetov. Gradivo se lahko uporablja tudi kot učni pripomoček za srednješolce. Naloge, ki jih ponuja delo, so zanimive in niso vedno enostavne za reševanje, kar omogoča osveščanje izobraževalne motivacije študentov, preizkušanje njihovih sposobnosti in izboljšanje stopnje pripravljenosti maturantov za vstop na univerze. Diferenciran izbor predlaganih vaj vključuje prehod z reproduktivne ravni obvladovanja snovi na ustvarjalno, pa tudi možnost, da se naučite uporabiti svoje znanje pri reševanju nestandardnih problemov.

Poglavje 1. Uvod.

Oddelek 1. Določanje absolutne vrednosti .

Opredelitev : Absolutna vrednost (modul) realnega števila a nenegativno število se imenuje: a oz -a. Oznaka: │ a │ Zapis se bere takole: "modul števila a" ali "absolutna vrednost števila a"

│ a, če je a> 0

│a│ = │ 0, če je a = 0 (1)

│ - a, če a
Primeri: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Razširite izrazni modul:

a) │x - 8│, če je x> 12 b) │2x + 3│, če je x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Razdelek 2. Osnovne lastnosti.

Razmislimo o glavnih lastnostih absolutne vrednosti. Lastnost št. 1: Nasprotna števila imajo enake module, t.j. │а│ = │- a│ Pokažimo, da je enakost pravilna. Napišimo definicijo števila - a : │- a│= (2) Primerjajmo zbirki (1) in (2). Očitno so definicije absolutnih vrednosti številk a in - a ujemati se. zato │а│ = │- a│
Pri obravnavanju naslednjih lastnosti se omejimo na njihovo formulacijo, saj je njihov dokaz podan Lastnost št. 2: Absolutna vrednost vsote končnega števila realnih števil ne presega vsote absolutnih vrednosti členov: │а 1 + а 2 + ... + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ + ... + │а n │ Nepremičnina številka 3: Absolutna vrednost razlike med dvema realnima številkama ne presega vsote njunih absolutnih vrednosti: │а - в│ ≤│а│ + │в│ Lastnost št. 4: Absolutna vrednost produkta končnega števila realnih števil je enaka produktu absolutnih vrednosti faktorjev: Lastnost št. 5: Absolutna vrednost količnika realnih števil je enaka kvocientu njihovih absolutnih vrednosti:

Oddelek 3. Geometrijska interpretacija pojma modula števila.

Vsako realno število lahko povežemo s točko na številski premici, ki bo geometrijska podoba danega realnega števila. Vsaka točka na številski premici ustreza njeni oddaljenosti od izhodišča, t.j. dolžina odseka od izhodišča do dane točke. Ta razdalja se vedno šteje za nenegativno vrednost. Zato bo dolžina ustreznega segmenta geometrijska interpretacija absolutne vrednosti danega realnega števila

Predstavljena geometrijska ilustracija jasno potrjuje lastnost št.1, tj. moduli nasprotnih števil so enaki. Zato je veljavnost enakosti zlahka razumljiva: │x - a│ = │a - x│. Prav tako postane bolj očitna rešitev enačbe │х│ = m, kjer je m ≥ 0, in sicer х 1,2 = ± m. Primeri: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

Razdelek 4. Graf funkcije y = │х│

Obseg te funkcije so vsa realna števila.

Oddelek 5. Konvencije.

V prihodnosti bodo pri obravnavanju primerov reševanja enačb uporabljene naslednje konvencije: (- znak sistema [- znak celote Pri reševanju sistema enačb (neenakosti) najdemo presečišče rešitev, vključenih v sistem enačb (neenakosti). Pri reševanju niza enačb (neenakosti) najdemo unijo rešitev, ki so vključene v niz enačb (neenakosti).

Poglavje 2. Reševanje enačb, ki vsebujejo modul.

V tem poglavju si bomo ogledali algebraične načine reševanja enačb, ki vsebujejo enega ali več modulov.

Oddelek 1. Enačbe oblike │F (x) │ = m

Enačba te vrste se imenuje najenostavnejša. Ima rešitev, če in samo če je m ≥ 0. Po definiciji modula je prvotna enačba enakovredna kombinaciji dveh enačb: │ F(x) │ =m
Primeri:
№1. Reši enačbo: │7x - 2│ = 9


Odgovor: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Odgovor: vsota korenov je -2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 označujemo x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - obe vrednosti izpolnjujeta pogoj m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Odgovor: število korenov enačbe je 7. vaje:
№1. Reši enačbo in označi vsoto korenov: │х - 5│ = 3 №2 ... Reši enačbo in označi manjši koren: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Reši enačbo in označi večji koren: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Rešite enačbo in označite celoten koren: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Rešite enačbo in navedite število korenov: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Razdelek 2. Enačbe oblike F (│х│) = m

Argument funkcije na levi strani je pod znakom modula, desna stran pa je neodvisna od spremenljivke. Razmislite o dveh načinih reševanja enačb te vrste. 1. način: Po definiciji absolutne vrednosti je izvirna enačba enakovredna kombinaciji dveh sistemov. V vsakem od njih je pogoj naložen izrazu podmodula. F(│х│) =m
Ker je funkcija F (│х│) soda na celotnem območju definicije, sta koreni enačb F (x) = m in F (- x) = m pari nasprotnih števil. Zato je dovolj, da rešimo enega od sistemov (pri takem obravnavanju primerov bo podana rešitev enega sistema). 2. način: Uporaba metode uvedbe nove spremenljivke. V tem primeru se uvede oznaka │х│ = a, kjer je a ≥ 0. Ta metoda je oblikovno manj obsežna.
Primeri: №1 ... Rešite enačbo: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Uporabimo uvedbo nove spremenljivke. Označimo │x│ = a, kjer je a ≥ 0. Dobimo enačbo 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Če se vrnemo na prvotno spremenljivko: │x │ = 1 in │х│ = 1/3. Vsaka enačba ima dva korena. Odgovor: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Reši enačbo: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Najdimo rešitev prvega sistema množice: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Upoštevajte, da x 2 ne izpolnjuje pogoj x ≥ 0. Rešitev bo drugi sistem nasproten od x 1. Odgovor: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Reši enačbo: x 4 - │х│ = 0 Označimo │х│ = a, kjer je a ≥ 0. Dobimo enačbo a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Vrnite se na prvotno spremenljivko: │х│ = 0 in │х│ = 1 х = 0; ± 1 Odgovor: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
vaje: №6. Reši enačbo: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite število korenov: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite celotne rešitve: x 4 + │x│ - 2 = 0

Razdelek 3. Enačbe oblike │F (x) │ = G (x)

Desna stran enačbe te oblike je odvisna od spremenljivke in ima zato rešitev, če in samo če je desna stran funkcija G (x) ≥ 0. Prvotno enačbo je mogoče rešiti na dva načina : 1. način: Standard temelji na razkritju modula na podlagi njegove definicije in je sestavljen iz enakovrednega prehoda na kombinacijo dveh sistemov. │ F(x) │ =G(X)

To metodo je smiselno uporabiti v primeru kompleksnega izraza za funkcijo G (x) in manj kompleksnega - za funkcijo F (x), saj se predpostavlja rešitev neenakosti s funkcijo F (x). 2. način: Sestoji iz prehoda na enakovredni sistem, v katerem je pogoj naložen na desni strani. │ F(x)│= G(x)

Ta metoda je bolj priročna za uporabo, če je izraz za funkcijo G (x) manj zapleten kot za funkcijo F (x), saj se predpostavlja, da je neenakost G (x) ≥ 0. Poleg tega je v primeru več modulov, je ta metoda priporočljiva za uporabo druge možnosti. Primeri: №1. Reši enačbo: │x + 2│ = 6 -2x
(1 smer) Odgovor: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(dvosmerni) Odgovor: Zmnožek korenin je 3.
№3. Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Odgovor: vsota korenov je 4.
vaje: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Rešite enačbo, v odgovoru navedite število rešitev: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite produkt korenin: │х + 3│ = х 2 + х - 6

Razdelek 4. Enačbe v obliki │F (x) │ = F (x) in │F (x) │ = - F (x)

Takšne enačbe včasih imenujemo "najlepše". Ker je desna stran enačb odvisna od spremenljivke, obstajajo rešitve, če in samo če je desna stran nenegativna. Zato so prvotne enačbe enakovredne neenakostim:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 in │F (x) │ = - F (x) F (x) Primeri: №1 ... Reši enačbo, v odgovoru označi manjši cel koren: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Odgovor: x = 1№2. Rešite enačbo, v odgovoru navedite dolžino vrzeli: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Odgovor: Dolžina vrzeli je 6.№3 . Rešite enačbo, v odgovoru navedite število celoštevilskih rešitev: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Odgovor: 4 cele rešitve.№4 . Rešite enačbo, v odgovoru navedite največji koren:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Odgovor: x = 3.

vaje: №12. Rešite enačbo, v odgovoru navedite celoten koren: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Rešite enačbo, v odgovoru navedite število celoštevilskih rešitev: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Reši enačbo, v odgovor napiši celo število, ki ni koren enačbe:

Razdelek 5. Enačbe oblike │F (x) │ = │G (x) │

Ker sta obe strani enačbe nenegativni, rešitev vključuje upoštevanje dveh primerov: izrazi podmodula so enaki ali nasprotni po predznaku. Zato je prvotna enačba enakovredna kombinaciji dveh enačb: │ F(x)│= │ G(x)│
Primeri: №1. Rešite enačbo, v odgovoru navedite celoten koren: │x + 3│ = │2x - 1│
Odgovor: cel koren x = 4.№2. Reši enačbo: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Odgovor: x = 2.№3 . Rešite enačbo, v odgovoru navedite produkt korenin:




Korenine enačbe 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Odgovor: produkt korenin je enak - 0,25. vaje: №15 ... Reši enačbo, v svoj odgovor zapiši celotno rešitev: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Rešite enačbo, v odgovoru navedite manjši koren: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov:

Razdelek 6. Primeri reševanja nestandardnih enačb

V tem razdelku bomo obravnavali primere nestandardnih enačb, pri reševanju katerih se po definiciji razkrije absolutna vrednost izraza. Primeri:

№1. Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov: x │x│- 5x - 6 = 0
Odgovor: vsota korenov je 1 №2. . Rešite enačbo, v odgovoru navedite manjši koren: x 2 - 4x
- 5 = 0
Odgovor: manjši koren x = - 5. №3. Reši enačbo:

Odgovor: x = -1. vaje: №18. Reši enačbo in označi vsoto korenov: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Reši enačbo: x 2 - 3x =

№20. Reši enačbo:

Razdelek 7. Enačbe oblike │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Zlahka je videti, da je na levi strani enačbe te vrste vsota nenegativnih vrednosti. Posledično ima izvirna enačba rešitev, če in samo če sta oba člena hkrati enaka nič. Enačba je enakovredna sistemu enačb: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Primeri: №1 ... Reši enačbo:
Odgovor: x = 2. №2. Reši enačbo: Odgovor: x = 1. vaje: №21. Reši enačbo: №22 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov: №23 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite število rešitev:

Razdelek 8. Enačbe oblike │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

Za reševanje tovrstnih enačb se uporablja metoda intervalov. Če ga rešimo z zaporednim širjenjem modulov, potem dobimo n sistemov, kar je zelo okorno in neprijetno. Oglejmo si algoritem metode intervalov: 1). Poiščite spremenljivke vrednosti X pri kateri je vsak modul enak nič (ničeli izrazov podmodula):
2). Označite najdene vrednosti na številski premici, ki je razdeljena na intervale (število intervalov je n+1 ) 3). Določite znak, s katerim se vsak modul razkrije v vsakem od dobljenih intervalov (pri izdelavi rešitve lahko uporabite številsko premico tako, da na njej označite znake) 4). Prvotna enačba je enakovredna celoti n+1 sistemov, od katerih vsak kaže na pripadnost spremenljivke X enega od intervalov. Primeri: №1 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite največji koren:
ena). Poiščite ničle izrazov podmodula: x = 2; x = -3 2). Najdene vrednosti označimo na številski premici in določimo predznak, s katerim se vsak modul razširi na dobljene intervale:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- brez rešitev Enačba ima dva korena. Odgovor: največji koren x = 2. №2. Rešite enačbo, v odgovoru navedite celoten koren:
ena). Poiščite ničle izrazov podmodula: x = 1,5; x = - 1 2). Označimo najdene vrednosti na številski premici in določimo, s kakšnim predznakom se vsak modul razkrije na dobljenih intervalih: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Zadnji sistem nima rešitev, zato ima enačba dva korena. Pri reševanju enačbe bodite pozorni na znak "-" pred drugim modulom. Odgovor: cel koren x = 7. №3. Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov: 1). Poiščite ničle izrazov podmodula: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Najdene vrednosti označimo na številski premici in določimo, s kakšnim predznakom se vsak modul razkrije na dobljenih intervalih: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Enačba ima dva korena x = 0 in 2. Odgovor: vsota korenov je 2. №4 . Reši enačbo: 1). Poiščite ničle izrazov podmodula: x = 1; x = 2; x = 3,2). Določimo predznak, s katerim se vsak modul razkrije na dobljenih intervalih. 3).
Združimo rešitve prvih treh sistemov. Odgovor: ; x = 5.
vaje: №24. Reši enačbo:
№25. Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov: №26. Rešite enačbo, v odgovoru navedite manjši koren: №27. Rešite enačbo, v odgovoru navedite večji koren:

Razdelek 9. Enačbe, ki vsebujejo več modulov

Enačbe, ki vsebujejo več modulov, prevzamejo absolutne vrednosti v izrazih podmodula. Glavno načelo reševanja tovrstnih enačb je zaporedno razkritje modulov, začenši z "zunanjim". Pri reševanju se uporabljajo tehnike, obravnavane v razdelkih №1, №3.

Primeri: №1. Reši enačbo:
Odgovor: x = 1; -enajst. №2. Reši enačbo:
Odgovor: x = 0; 4; - 4. №3. Rešite enačbo, v odgovoru navedite produkt korenin:
Odgovor: produkt korenin je -8. №4. Reši enačbo:
Označimo enačbe množice (1) in (2) in razmislite o rešitvi vsakega od njih posebej za udobje oblikovanja. Ker obe enačbi vsebujeta več kot en modul, je bolj priročno izvesti enakovredni prehod na nize sistemov. (1)

(2)


odgovor:
vaje: №36. Reši enačbo, v odgovor zapiši vsoto korenov: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Rešite enačbo, če je več korenin, v odgovoru navedite vsoto korenov: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Reši enačbo: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Reši enačbo, v odgovoru označi število korenin z: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Rešite enačbo, v odgovoru navedite število korenov:

Oddelek 3. Logaritemske enačbe.

Pred reševanjem naslednjih enačb je treba ponoviti lastnosti logaritmov in logaritemske funkcije. Primeri: №1. Rešite enačbo, v odgovoru navedite produkt korenin: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 primer: če je x ≥ - 1, potem log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - izpolnjuje pogoj х ≥ - 1 2 primer: če je х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - izpolnjuje pogoj x - 1
Odgovor: produkt korenin je -15.
№2. Rešite enačbo, v odgovoru navedite vsoto korenov: lg
O.D.Z.

Odgovor: vsota korenov je 0,5.
№3. Reši enačbo: log 5
O.D.Z.

Odgovor: x = 9. №4. Rešite enačbo: │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Uporabimo formulo za prehod na drugo bazo. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Poiščite ničle izrazov podmodula: x = 25; x = Te številke delijo obseg dovoljenih vrednosti na tri intervale, tako da je enačba enakovredna kombinaciji treh sistemov.
Odgovor: )