მუნიციპალური ავტონომიური საგანმანათლებლო დაწესებულება "იარკოვსკაიას საშუალო სკოლა"

სასწავლო პროექტი

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა რაციონალიზაციის მეთოდით

MAOU "იარკოვსკაიას საშუალო სკოლა"

შანსკიხ დარია

ხელმძღვანელი: მათემატიკის მასწავლებელი

MAOU "იარკოვსკაიას საშუალო სკოლა"

იარკოვო 2013 წ

1) შესავალი …………………………………………………………………… .2

2) ძირითადი ნაწილი ……………………………………………… ..3

3) დასკვნა …………………………………………………… ..9

4) გამოყენებული ლიტერატურის სია …………… .10

5) დანართები ………………………………………………… 11-12

1. შესავალი

ხშირად, USE ამოცანების ამოხსნისას ნაწილი "C", და განსაკუთრებით C3 ამოცანები, არის უტოლობა, რომელიც შეიცავს ლოგარითმულ გამონათქვამებს უცნობი ლოგარითმის ბაზაზე. მაგალითად, აქ არის სტანდარტული უტოლობა:

როგორც წესი, ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად გამოიყენება კლასიკური მეთოდი, ანუ გამოიყენება სისტემების ეკვივალენტურ კომპლექტზე გადასვლა.

სტანდარტული მიდგომით, მაგალითი წყდება სქემის მიხედვით: პროდუქტი ნულზე ნაკლებია, როდესაც ფაქტორები საპირისპირო ნიშნებია. ანუ განიხილება უტოლობების ორი სისტემის ნაკრები, რომელშიც თითოეული უტოლობა იყოფა კიდევ შვიდად. ამრიგად, ამ სტანდარტული უთანასწორობის გადაჭრის ნაკლებად შრომატევადი მეთოდის შემოთავაზება შეიძლება. ეს არის რაციონალიზაციის ტექნიკა, რომელიც ცნობილია მათემატიკურ ლიტერატურაში დაშლის სახელით.

პროექტის დასრულებისას დავსახე შემდეგი მიზნები :

1) დაეუფლეთ ამ გადაწყვეტილების ტექნიკას

2) 2013 წელს ტრენინგ-დიაგნოსტიკური სამუშაოებიდან C3 ამოცანებზე გადაწყვეტის უნარების გამომუშავება.

პროექტის ამოცანაარის რაციონალიზაციის მეთოდის თეორიული საფუძვლის შესწავლა.

შესაბამისობანაშრომი მდგომარეობს იმაში, რომ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ წარმატებით ამოხსნათ მათემატიკაში გამოცდის C3 ნაწილის ლოგარითმული უტოლობა.

2. Მთავარი ნაწილი

განვიხილოთ ფორმის ლოგარითმული უტოლობა

შრიფტის ზომა: 14.0pt; ხაზის სიმაღლე: 150% ">, (1)

სადაც შრიფტის ზომა: 14.0 pt; ხაზის სიმაღლე: 150% "> ასეთი უტოლობის გადაჭრის სტანდარტული მეთოდი გულისხმობს ორი შემთხვევის ანალიზს უტოლობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში.

პირველ შემთხვევაშიროდესაც ლოგარითმების ფუძეები აკმაყოფილებს პირობას

შრიფტის ზომა: 14.0pt; ხაზის სიმაღლე: 150% ">, დახაზულია უტოლობის ნიშანი: font-size: 14.0pt; ხაზის სიმაღლე: 150%"> მეორე შემთხვევაში როდესაც ბაზა აკმაყოფილებს მდგომარეობას, უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:.

ერთი შეხედვით ყველაფერი ლოგიკურია, განვიხილავთ ორ შემთხვევას და შემდეგ გავაერთიანებთ პასუხებს. მართალია, მეორე შემთხვევის განხილვისას ჩნდება გარკვეული დისკომფორტი - თქვენ უნდა გაიმეოროთ გამოთვლები პირველი შემთხვევიდან 90 პროცენტით (გარდაქმნათ, იპოვეთ დამხმარე განტოლებების ფესვები, განსაზღვრეთ ნიშნის ერთფეროვნების ინტერვალები). ჩნდება ბუნებრივი კითხვა - შესაძლებელია თუ არა ამ ყველაფრის გაერთიანება როგორმე?

ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია შემდეგ თეორემაში.

თეორემა 1. ლოგარითმული უტოლობა

შრიფტის ზომა: 14.0 pt; ხაზის სიმაღლე: 150% "> არის შემდეგი უტოლობის სისტემის ექვივალენტი :

შრიფტის ზომა: 14.0pt; ხაზის სიმაღლე: 150% "> (2)

მტკიცებულება.

1. დავიწყოთ იმით, რომ სისტემის პირველი ოთხი უტოლობა (2) განსაზღვრავს საწყისი ლოგარითმული უტოლობის დასაშვებ მნიშვნელობების სიმრავლეს. მოდით ახლა მივაქციოთ ყურადღება მეხუთე უტოლობას. თუ შრიფტის ზომა: 14.0pt; ხაზის სიმაღლე: 150% ">, მაშინ ამ უტოლობის პირველი ფაქტორი უარყოფითი იქნება. მისი გაუქმებისას მოგიწევთ უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა, შემდეგ მიიღებთ უტოლობას .

თუ , მაშინ მეხუთე უტოლობის პირველი ფაქტორი დადებითია, ჩვენ ვაუქმებთ მას უტოლობის ნიშნის შეუცვლელად,ვიღებთ უტოლობას font-size: 14.0pt; line-height: 150% ">. სისტემის მეხუთე უტოლობა მოიცავს წინა მეთოდის ორივე შემთხვევას.

ტერემი დადასტურებულია.

რაციონალიზაციის მეთოდის თეორიის ძირითადი დებულებები.

რაციონალიზაციის მეთოდი რთული გამოხატვის შეცვლაა F (x ) უფრო მარტივი გამოთქმისთვის G (x ) რისთვისაც უტოლობა G (x ) EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "> F(x ) 0 გამოხატვის დომენში F (x).

გამოვყოთ რამდენიმე გამოთქმაფ და მათი შესაბამისი რაციონალიზაციის გამონათქვამები G, სადაც u, v,, p, q - გამონათქვამები ორი ცვლადით ( u> 0; u ≠ 1; v> 0,> 0), ა - ფიქსირებული ნომერი (ა > 0, ა ≠ 1).

	გამოთქმა F	გამოთქმა გ
		(a -1) ( v - φ)
1 ბ
		)
2 ბ

მტკიცებულება

1. მოდით logav - logaφ> 0, ანუ logav> logaφ,მეტიც a> 0, a ≠ 1, v> 0,

φ > 0.

თუ 0< ა < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем ვ < φ . აქედან გამომდინარე, უთანასწორობის სისტემა

ა -1<0

ვ – φ < 0

საიდან მოჰყვება უტოლობა (ა – 1)( ვ – φ ) > 0 მართალია გამოხატვის დომენზეფ = ლოგავ - ლოგაφ.

თუ ა > 1, მაშინ ვ > φ . აქედან გამომდინარე, უთანასწორობა ( ა – 1)( ვ – φ )> 0. პირიქით, თუ უთანასწორობა ( ა – 1)( ვ – φ )> 0 დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე ( ა > 0, ა ≠ 1, ვ> 0, φ> 0),მაშინ ამ სფეროში ეს ორი სისტემის ერთობლიობის ტოლფასია.

ა – 1<0 ა – 1 > 0

ვ – φ < 0 ვ – φ > 0

თითოეული სისტემა გულისხმობს უთანასწორობასლოგავ > ლოგაφ, ანუ ლოგავ - ლოგაφ > 0.

ანალოგიურად, ჩვენ განვიხილავთ უთანასწორობებსფ< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. მოდით რამდენიმე ნომერი ა> 0 და ა≠ 1, მაშინ გვაქვს

ლოგუ ვ- ლოგუφ = EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> v - 1)( u- 1) (φ -u).

4.უთანასწორობიდან ულტრაიისფერი- uφ > 0 უნდა ულტრაიისფერი > uφ. მოდით a> 1, მაშინლოგა ულტრაიისფერი > logauφ ან

( u – φ) ლოგა u > 0.

აქედან გამომდინარე, ჩანაცვლების 1b და მდგომარეობის გათვალისწინებითა > 1 ვიღებთ

( ვ – φ)( ა – 1)( u – 1) > 0, ( ვ – φ)( u – 1) > 0. ანალოგიურად, უთანასწორობებიფ< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. მტკიცებულება მსგავსია მტკიცებულება 4-ისა.

6. ჩანაცვლების მტკიცებულება 6 გამომდინარეობს უტოლობების ეკვივალენტიდან | p | > | q | და p 2> q 2

(| p |< | q | и p 2 < q 2 ).

მოდით შევადაროთ ამონახსნების მოცულობა ლოგარითმის ბაზაზე ცვლადის შემცველ უტოლობასთან კლასიკური მეთოდით და რაციონალიზაციის მეთოდით.

3. დასკვნა

მე მჯერა, რომ ის ამოცანები, რომლებიც ჩემს თავს დავაყენე სამუშაოს შესრულებისას, მიღწეულია. პროექტს პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს, ვინაიდან ნაშრომში შემოთავაზებული მეთოდი შესაძლებელს ხდის ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მნიშვნელოვნად გამარტივებას. შედეგად, პასუხამდე მიმავალი გამოთვლების რაოდენობა დაახლოებით განახევრებულია, რაც არამარტო დაზოგავს დროს, არამედ საშუალებას გაძლევთ დაუშვათ ნაკლები არითმეტიკული და „უყურადღებო“ შეცდომები. ახლა, C3 პრობლემების გადაჭრისას, ამ მეთოდს ვიყენებ.

4. გამოყენებული ლიტერატურის სია

1. , - უტოლობების ამოხსნის მეთოდები ერთი ცვლადით. - 2011 წელი.

2. - სახელმძღვანელო მათემატიკაში. - 1972 წ.

3. - მათემატიკა განმცხადებლისთვის. მოსკოვი: MCNMO, 2008 წ.

იეჟოვა ელენა სერგეევნა
პოზიცია:მათემატიკის მასწავლებელი
Საგანმანათლებლო დაწესებულების:მემორანდუმი "77-ე საშუალო სკოლა"
რაიონი:სარატოვი
მასალის დასახელება:მეთოდური განვითარება
Თემა:უთანასწორობების გადაჭრის რაციონალიზაციის მეთოდი გამოცდისთვის მომზადებისას "
გამოქვეყნების თარიღი: 16.05.2018
თავი:სრული განათლება

ცხადია, ერთი და იგივე უტოლობა შეიძლება რამდენიმე გზით გადაიჭრას. Წარმატებები

არჩეული გზით ან, როგორც ჩვენ ვამბობდით, რაციონალურად, ნებისმიერი

უთანასწორობა სწრაფად და მარტივად მოგვარდება, მისი ამოხსნა ლამაზი და საინტერესო აღმოჩნდება.

უფრო დეტალურად მინდა განვიხილო რაციონალიზაციის მეთოდი ე.წ

ლოგარითმული და ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა, აგრეთვე შემცველი უტოლობები

ცვლადი მოდულის ნიშნის ქვეშ.

მეთოდის მთავარი იდეა.

ფაქტორების ჩანაცვლების მეთოდი გამოიყენება ფორმამდე დაყვანილი უტოლობების გადასაჭრელად

სად არის სიმბოლო "

» აღნიშნავს უთანასწორობის ოთხი შესაძლო ნიშნიდან ერთ-ერთს:

უტოლობის (1) ამოხსნისას ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ მრიცხველში რაიმე ფაქტორის ნიშანი

ან მნიშვნელი და არა მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა. ამიტომ, თუ რაიმე მიზეზით ჩვენ

ამ მულტიპლიკატორთან მუშაობა არასასიამოვნოა, შეგვიძლია ის სხვათ შევცვალოთ

ემთხვევა მას უთანასწორობის განსაზღვრის სფეროში და აქვს ამ დომენში

იგივე ფესვები.

ეს განსაზღვრავს მულტიპლიკატორის ჩანაცვლების მეთოდის მთავარ იდეას. მნიშვნელოვანია ამის გამოსწორება

ის ფაქტი, რომ ფაქტორების ჩანაცვლება ხორციელდება მხოლოდ უთანასწორობის შემთხვევაში

ფორმაში (1), ანუ როცა საჭიროა პროდუქტის ნულთან შედარება.

ჩანაცვლების ძირითადი ნაწილი განპირობებულია შემდეგი ორი ექვივალენტური განცხადებით.

დებულება 1. ფუნქცია f (x) მკაცრად იზრდება თუ და მხოლოდ თუ for

ტ-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა

) მატჩები

ნიშანი სხვაობით (f (t

)), ანუ ვ<=>(ტ

(↔ ნიშნავს დამთხვევას)

დებულება 2. ფუნქცია f (x) მკაცრად კლებადია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში

ტ-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა

ფუნქციის დომენიდან, განსხვავება (ტ

) მატჩები

ნიშანი სხვაობით (f (t

)), ანუ f ↓<=>(ტ

ამ განცხადებების დასაბუთება პირდაპირ გამომდინარეობს მკაცრად განსაზღვრებიდან

მონოტონური ფუნქცია. ამ განცხადებების მიხედვით შეიძლება დადგინდეს, რომ

ერთიდაიგივე ფუძის გასწვრივ გრადუსების სხვაობა ყოველთვის ემთხვევა ნიშნით

ამ ხარისხების ინდიკატორებს შორის სხვაობის პროდუქტი ბაზის ერთიდან გადახრით,

ერთსა და იმავე ფუძეში ლოგარითმების სხვაობა ყოველთვის ემთხვევა ნიშნით

ამ ლოგარითმების რიცხვებს შორის სხვაობის ნამრავლით ფუძის ერთობიდან გადახრით, მაშინ

ის, რომ არაუარყოფითი სიდიდეების სხვაობა ნიშანში ემთხვევა განსხვავებას

ამ რაოდენობების კვადრატები, საშუალებას იძლევა შემდეგი ჩანაცვლება:

უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი.

მოდით გადავიდეთ ეკვივალენტურ სისტემაზე:

პირველი უტოლობიდან ვიღებთ

მეორე უთანასწორობა ყველას ეხება

მესამე უტოლობიდან ვიღებთ

ამრიგად, თავდაპირველი უთანასწორობის გადაწყვეტილებების ნაკრები:

უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი.

მოვაგვაროთ უტოლობა:

პასუხი: (−4; −3)

უტოლობის ამოხსნა

მოდით შევამციროთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, რომელშიც განსხვავებაა ლოგარითმული მნიშვნელობებში

შეცვალეთ განსხვავება ლოგარითმული ფუნქციის მნიშვნელობებში არგუმენტის მნიშვნელობების სხვაობით. ვ

ფუნქცია იზრდება მრიცხველში და მცირდება მნიშვნელში, შესაბამისად უტოლობის ნიშანი

პირიქით შეიცვლება. მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგვავიწყდეს განმარტების ფარგლების გათვალისწინება

ლოგარითმული ფუნქცია; შესაბამისად, ეს უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემას.

მრიცხველის ფესვები: 8; რვა;

მნიშვნელი ფესვი: 1

უტოლობის ამოხსნა

მრიცხველში ვცვლით ორი ფუნქციის აბსოლუტური მნიშვნელობების სხვაობას მათი კვადრატების სხვაობით და

მნიშვნელი არის ლოგარითმული ფუნქციის მნიშვნელობების განსხვავება არგუმენტების სხვაობით.

მნიშვნელში ფუნქცია მცირდება, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობის ნიშანი შეიცვლება

საწინააღმდეგო.

ამ შემთხვევაში, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ლოგარითმული განსაზღვრის სფერო

პირველ უტოლობას ვხსნით ინტერვალების მეთოდით.

მრიცხველის ფესვები:

მნიშვნელის ფესვები:

უტოლობის ამოხსნა

ჩვენ ვცვლით მრიცხველსა და მნიშვნელში განსხვავებას მონოტონური ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის სხვაობით.

არგუმენტების მნიშვნელობები, ფუნქციების განსაზღვრის სფეროსა და ერთფეროვნების ბუნების გათვალისწინებით.

მრიცხველის ფესვები:

მნიშვნელის ფესვები:

ყველაზე ხშირად გამოყენებული ჩანაცვლებები (O D Z-ის გამოკლებით).

ა) მუდმივი ნიშნის ფაქტორების ჩანაცვლება.

ბ) არამუდმივი მამრავლების მოდულით შეცვლა.

გ) არამუდმივი ფაქტორების ჩანაცვლება ექსპონენციალური და ლოგარითმულით

გამონათქვამები.

გამოსავალი. ODZ:

მულტიპლიკატორების ჩანაცვლება:

ჩვენ გვაქვს სისტემა:

ამ უთანასწორობაში ფაქტორები

განიხილება, როგორც არაუარყოფითი სიდიდეების განსხვავება, რადგან გამონათქვამები 1

ODZ-ს შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები.

ჩვენ გვაქვს სისტემა:

მულტიპლიკატორების ჩანაცვლება:

ჩვენ გვაქვს სისტემა:

მულტიპლიკატორების ჩანაცვლება:

ჩვენ გვაქვს სისტემა:

მულტიპლიკატორების ჩანაცვლება:

ჩვენ გვაქვს სისტემა:

შედეგად გვაქვს: x

რაციონალიზაციის მეთოდი(დაშლის მეთოდი, მულტიპლიკატორის ჩანაცვლების მეთოდი, ჩანაცვლების მეთოდი

ფუნქციები, ნიშანთა წესი) არის რთული გამოხატვის F (x) ჩანაცვლება მეტით

მარტივი გამოხატულება G (x), რომლისთვისაც არის უტოლობა G (x)

0 უდრის F უტოლობას (x

0 გამოხატვის დომენში F (x).

სექციები: მათემატიკა

საგამოცდო ფურცლების შემოწმების პრაქტიკა აჩვენებს, რომ სკოლის მოსწავლეებისთვის ყველაზე დიდ სირთულეს წარმოადგენს ტრანსცენდენტული უტოლობების ამოხსნა, განსაკუთრებით ლოგარითმული უტოლობების ცვლადი ფუძით. ამრიგად, თქვენს ყურადღებას წარმოდგენილი გაკვეთილის შეჯამება არის რაციონალიზაციის მეთოდის პრეზენტაცია (სხვა სახელებია დაშლის მეთოდი (Modenov VP), ფაქტორების ჩანაცვლების მეთოდი (გოლუბევი VI)), რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ რთული ლოგარითმული, ექსპონენციალური. , უტოლობები აერთიანებს უფრო მარტივ რაციონალურ უტოლობათა სისტემას. როგორც წესი, თემის „ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის“ შესწავლისას რაციონალურ უტოლობებზე გამოყენებული ინტერვალების მეთოდი კარგად არის ათვისებული და დამუშავებული. ამიტომ, სტუდენტები დიდი ინტერესით და ენთუზიაზმით იღებენ იმ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას აძლევს მათ გაამარტივონ ამოხსნა, გაამარტივონ ის და, საბოლოოდ, დაზოგონ დრო გამოცდაზე სხვა ამოცანების გადასაჭრელად.

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო: საბაზისო ცოდნის განახლება ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას; უტოლობების ამოხსნის ახალი ხერხის დანერგვა; გადაწყვეტის უნარების გაუმჯობესება
• განვითარებადი: მათემატიკური ჰორიზონტების განვითარება, მათემატიკური მეტყველება, ანალიტიკური აზროვნება
• საგანმანათლებლო: სიზუსტისა და თვითკონტროლის განათლება.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.სალამი. გაკვეთილის მიზნების დასახვა.

2. მოსამზადებელი ეტაპი:

უტოლობების ამოხსნა:

3. საშინაო დავალების შემოწმება(No. 11.81 * ა)

უტოლობის ამოხსნისას

თქვენ უნდა გამოეყენებინათ შემდეგი სქემა ცვლადი ფუძით ლოგარითმული უტოლობების ამოსახსნელად:

იმათ. გასათვალისწინებელია 2 შემთხვევა: ფუძე 1-ზე მეტია ან ფუძე 1-ზე ნაკლები.

4. ახალი მასალის ახსნა

თუ ამ ფორმულებს ყურადღებით დააკვირდებით, შეამჩნევთ, რომ ეს განსხვავებაა გ(x) – თ(x) ემთხვევა სხვაობის ჟურნალის ნიშანს ვ(x) გ(x) - ჟურნალი ვ(x) თ(x) მზარდი ფუნქციის შემთხვევაში ( ვ(x)> 1, ე.ი. ვ(x) - 1> 0) და საპირისპიროა სხვაობის ჟურნალის ნიშნისა ვ(x) გ(x) - ჟურნალი ვ(x) თ(x) კლებადი ფუნქციის შემთხვევაში (0< ვ(x) < 1, т.е. ვ(x) – 1 < 0)

მაშასადამე, ეს ნაკრები შეიძლება შემცირდეს რაციონალურ უთანასწორობათა სისტემამდე:

ეს არის რაციონალიზაციის მეთოდის არსი - უფრო რთული გამონათქვამის A ჩანაცვლება უფრო მარტივი B გამოხატვით, რაც რაციონალურია. ამ შემთხვევაში, უტოლობა V V 0 იქნება A V 0 უტოლობის ექვივალენტი A გამოხატვის დომენზე.

მაგალითი 1.მოდით გადავწეროთ უტოლობა, როგორც რაციონალური უტოლობების ეკვივალენტური სისტემა.

გაითვალისწინეთ, რომ პირობები (1) - (4) არის პირობები უთანასწორობის დომენისთვის, რომლის პოვნასაც გირჩევთ ამოხსნის დასაწყისში.

მაგალითი 2.უტოლობის ამოხსნა რაციონალიზაციის მეთოდით:

უთანასწორობის დომენი მითითებულია პირობებით:

ჩვენ ვიღებთ:

რჩება უტოლობის დაწერა (5)

განსაზღვრების დომენის გათვალისწინებით

პასუხი: (3; 5)

5. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია

I. დაწერეთ უტოლობა, როგორც რაციონალური უტოლობების სისტემა:

II. წარმოიდგინეთ უტოლობის მარჯვენა მხარე, როგორც ლოგარითმი საჭირო ფუძემდე და გადადით ეკვივალენტურ სისტემაზე:

მასწავლებელი უხმობს დაფაზე I და II ჯგუფებიდან ჩამოწერილი სისტემების მქონე მოსწავლეებს და ერთ-ერთ უძლიერეს მოსწავლეს სთავაზობს საშინაო უტოლობის ამოხსნას (No11.81 *a) რაციონალიზაციის გზით.

6. გადამოწმების სამუშაო

ვარიანტი 1

ვარიანტი 2

1. ჩამოწერეთ რაციონალური უტოლობათა სისტემა უტოლობათა ამოსახსნელად:

2. უტოლობის ამოხსნა რაციონალიზაციის გზით

შეფასების კრიტერიუმები:

3-4 ქულა - „დამაკმაყოფილებელი“;
5-6 ქულა - „კარგი“;
7 ქულა - "შესანიშნავი".

7. რეფლექსია

უპასუხეთ კითხვას: ცვლადი ფუძით ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის რომელი მეთოდი მოგცემთ საშუალებას უფრო ეფექტურად გამოიყენოთ თქვენი დრო გამოცდაზე?

8. საშინაო დავალება:№№ 11.80 * (a, b), 11.81 * (a, b), 11.84 * (a, b) რაციონალიზაციის მეთოდის ამოსახსნელად.

ბიბლიოგრაფია:

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. იყიდება 11 კლ. ზოგადი განათლება. ინსტიტუტები / [ს.მ. ნიკოლსკი, მ.კ. პოტაპოვი, ნ.ნ. რეშეტნიკოვი, ა.ვ. Shevkin] - მე-5 გამოცემა. - მ .: განათლება, სს "მოსკოვის სახელმძღვანელოები", 2006 წ.
2. ა.გ. კორიანოვი, ა.ა. პროკოფიევი... სასწავლო მასალები „კარგი სტუდენტების მომზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის“: ლექციები 1-4. - მ .: პედაგოგიური უნივერსიტეტი "პირველი სექტემბერი", 2012 წ.

სექციები: მათემატიკა

ხშირად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, ჩნდება პრობლემები ლოგარითმის ცვლადი ბაზაზე. ასე რომ, ფორმის უთანასწორობა

არის სტანდარტული სასკოლო უთანასწორობა. როგორც წესი, მის გადასაჭრელად გამოიყენება სისტემების ეკვივალენტურ ნაკრებზე გადასვლა:

ამ მეთოდის მინუსი არის შვიდი უტოლობის ამოხსნის საჭიროება, არ ჩავთვლით ორ სისტემას და ერთ კომპლექტს. უკვე მოცემული კვადრატული ფუნქციებით, ნაკრების ამოხსნა შეიძლება შრომატევადი იყოს.

შეიძლება შემოთავაზებული იყოს ამ სტანდარტული უთანასწორობის გადაჭრის ალტერნატიული, ნაკლებად შრომატევადი გზა. ამისთვის ვითვალისწინებთ შემდეგ თეორემას.

თეორემა 1. დავუშვათ უწყვეტი მზარდი ფუნქცია X სიმრავლეზე. მაშინ ამ სიმრავლეში ფუნქციის ზრდის ნიშანი დაემთხვევა არგუმენტის ზრდის ნიშანს, ე.ი. , სად .

შენიშვნა: თუ უწყვეტი კლებადი ფუნქცია X ნაკრებზე, მაშინ.

დავუბრუნდეთ უთანასწორობას. მოდით გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმზე (შეგიძლიათ გადახვიდეთ ნებისმიერზე ერთზე მეტი მუდმივი ფუძით).

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ თეორემა, მრიცხველში აღნიშნოთ ფუნქციების ზრდა და მნიშვნელში. ასე რომ, ეს მართალია

შედეგად, პასუხამდე მიმავალი გამოთვლების რაოდენობა დაახლოებით განახევრებულია, რაც არამარტო დაზოგავს დროს, არამედ საშუალებას გაძლევთ დაუშვათ ნაკლები არითმეტიკული და „უყურადღებო“ შეცდომები.

მაგალითი 1.

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

(2)-ზე გადასვლისას გვექნება:

მაგალითი 2.

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ,,.

(2)-ზე გადასვლისას გვექნება:

მაგალითი 3.

ვინაიდან უტოლობის მარცხენა მხარე არის მზარდი ფუნქცია და , მაშინ პასუხი დაყენებულია.

მაგალითების ნაკრები, რომლებშიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას თეორემა 1, შეიძლება ადვილად გაფართოვდეს, თუ თეორემა 2 იქნება გათვალისწინებული.

ნება გადასაღებ მოედანზე Xფუნქციები,,, და ამ სიმრავლეზე ნიშნები და ემთხვევა, ე.ი. მაშინ სამართლიანი იქნება.

მაგალითი 4.

მაგალითი 5.

სტანდარტული მიდგომით, მაგალითი წყდება სქემის მიხედვით: პროდუქტი ნულზე ნაკლებია, როდესაც ფაქტორები საპირისპირო ნიშნებია. იმათ. განიხილება უტოლობათა ორი სისტემის ნაკრები, რომლებშიც, როგორც დასაწყისში აღინიშნა, ყოველი უტოლობა იყოფა კიდევ შვიდად.

თუ გავითვალისწინებთ თეორემა 2-ს, მაშინ თითოეული ფაქტორი, (2) გათვალისწინებით შეიძლება შეიცვალოს სხვა ფუნქციით, რომელსაც აქვს იგივე ნიშანი ამ მაგალითში O.D.Z.

ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდით ჩანაცვლების მეთოდი, თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, ძალიან მოსახერხებელი აღმოჩნდება გამოცდის C3 ტიპიური ამოცანების ამოხსნისას.

მაგალითი 6.

მაგალითი 7.

... აღვნიშნოთ. ვიღებთ

... გაითვალისწინეთ, რომ ჩანაცვლება გულისხმობს:. განტოლებას რომ დავუბრუნდეთ, მივიღებთ .

მაგალითი 8.

ჩვენ მიერ გამოყენებული თეორემებში არ არსებობს შეზღუდვა ფუნქციების კლასებზე. ამ სტატიაში, მაგალითად, თეორემები გამოყენებულია ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად. შემდეგი რამდენიმე მაგალითი გვიჩვენებს მეთოდის დაპირებას სხვა ტიპის უტოლობების გადაჭრისთვის.

რაციონალიზაციის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ უტოლობიდან რთული ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ა.შ. გამონათქვამები მისი ეკვივალენტური მარტივი რაციონალური უტოლობის შესახებ.

ამიტომ სანამ უტოლობაში რაციონალიზაციაზე დავიწყებთ საუბარს, მოდით ვისაუბროთ ეკვივალენტობაზე.

ეკვივალენტობა

ექვივალენტი ან ეკვივალენტიგანტოლებებს (უტოლობას) უწოდებენ, რომელთა ფესვთა სიმრავლეები ერთმანეთს ემთხვევა. ეკვივალენტად ითვლება აგრეთვე განტოლებები (უტოლობა), რომლებსაც ფესვები არ აქვთ.

მაგალითი 1.განტოლებები და ეკვივალენტურია, რადგან მათ აქვთ იგივე ფესვები.

მაგალითი 2.განტოლებები და ასევე ექვივალენტურია, რადგან თითოეული მათგანის ამონახსნი არის ცარიელი სიმრავლე.

მაგალითი 3.უტოლობა და ეკვივალენტურია, რადგან ორივეს გამოსავალი ბევრია.

მაგალითი 4.და - არათანაბარი. მეორე განტოლების ამონახსნი არის მხოლოდ 4, ხოლო პირველის ამონახსნი არის 4 და 2.

მაგალითი 5.უტოლობა უტოლობის ტოლფასია, რადგან ორივე უტოლობაში - ამონახსნები არის 6.

ანუ ექვივალენტური უტოლობები (განტოლებები) გარეგნულად შეიძლება საკმაოდ შორს იყოს მსგავსებისგან.

სინამდვილეში, როდესაც ჩვენ ვხსნით მსგავს რთულ, გრძელ განტოლებებს (უტოლობას) და ვიღებთ პასუხს, ჩვენ ხელთ გვაქვს სხვა არაფერი, თუ არა განტოლება (უტოლობა), რომელიც ორიგინალის ტოლფასია. ხედვა განსხვავებულია, მაგრამ არსი ერთია!

მაგალითი 6.გავიხსენოთ როგორ გავუმკლავდით უთანასწორობას ინტერვალის მეთოდის გაცნობამდე... ჩვენ შევცვალეთ საწყისი უტოლობა ორი სისტემის სიმრავლით:

ანუ უთანასწორობა და ბოლო სიმრავლე ერთმანეთის ექვივალენტურია.

ასევე, ჩვენ შეგვეძლო, ხელში გვქონდეს აგრეგატი

შეცვალეთ იგი უტოლობით, რომლის ამოხსნაც დროთა განმავლობაში შესაძლებელია ინტერვალების მეთოდით.

ჩვენ მივუახლოვდით ლოგარითმულ უტოლობებში რაციონალიზაციის მეთოდს.

რაციონალიზაციის მეთოდი ლოგარითმულ უტოლობებში

განვიხილოთ უთანასწორობა.

ჩვენ წარმოვადგენთ 4 ლოგარითმს:

საქმე გვაქვს ლოგარითმის ცვლად საფუძველთან, შესაბამისად, იმისდა მიხედვით, ლოგარითმის ფუძე 1-ზე მეტია თუ 1-ზე ნაკლები (ანუ საქმე გვაქვს მზარდ ან კლებად ფუნქციასთან), უტოლობის ნიშანი დარჩება ან შეცვლა "". ამრიგად, წარმოიქმნება ორი სისტემის კომბინაცია (კავშირი):

მაგრამ, ყურადღება, ეს სისტემა უნდა გადაწყდეს OHS-ის გათვალისწინებით! შეგნებულად არ ჩავტვირთე ODZ სისტემა, რომ მთავარი იდეა არ დაიკარგოს.

შეხედეთ, ახლა ჩვენ გადავიწერთ ჩვენს სისტემას ასე (ყველაფერს გადავიტანთ უთანასწორობის თითოეულ ხაზში მარცხენა მხარეს):

ეს რამეს გახსენებს? ანალოგიით მაგალითი 6ჩვენ ვცვლით სისტემების ამ კომპლექტს უთანასწორობით:

ODZ-ზე ამ უტოლობის ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ მივიღებთ უტოლობის ამოხსნას.

ჯერ ვიპოვოთ საწყისი უტოლობის ODV:

ახლა გადავწყვიტოთ

ბოლო უტოლობის ამოხსნა, DHS-ის გათვალისწინებით:

ასე რომ, აი, ეს არის ეს "ჯადოსნური" მაგიდა:

გაითვალისწინეთ, რომ მაგიდა მუშაობს პირობით

სად არის ფუნქციები,

- ფუნქცია ან ნომერი,

- ერთ-ერთი ნიშანი

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ცხრილის მეორე და მესამე სტრიქონები პირველის შედეგია. მეორე სტრიქონში 1 წარმოდგენილია როგორც ადრე, ხოლო მესამეში - 0 წარმოდგენილია როგორც.

და კიდევ რამდენიმე სასარგებლო შედეგი (იმედი მაქვს, რომ ადვილად მიხვდებით, საიდან მოდის ისინი):

სად არის ფუნქციები,

- ფუნქცია ან ნომერი,

- ერთ-ერთი ნიშანი

რაციონალიზაციის მეთოდი ექსპონენციურ უტოლობებში

მოვაგვაროთ უტოლობა.

თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნა უტოლობის ამოხსნის ტოლფასია

პასუხი:.

ცხრილი რაციონალიზაციისთვის ექსპონენციალურ უტოლობებში:

- ფუნქციები, - ფუნქცია ან რიცხვი, - ერთ-ერთი სიმბოლო ცხრილი მუშაობს პირობით. ასევე მესამე, მეოთხე სტრიქონებში - დამატებით -

ისევ, ფაქტობრივად, თქვენ უნდა დაიმახსოვროთ ცხრილის პირველი და მესამე სტრიქონები. მეორე სტრიქონი პირველის განსაკუთრებული შემთხვევაა, ხოლო მეოთხე სტრიქონი მესამეს განსაკუთრებული შემთხვევაა.

რაციონალიზაციის მეთოდი მოდულის შემცველ უტოლობებში

იმ ტიპის უტოლობებთან მუშაობისას, სადაც ზოგიერთი ცვლადის ფუნქციებია, შეგვიძლია ვიხელმძღვანელოთ შემდეგი ექვივალენტური გადასვლებით:

მოვაგვაროთ უტოლობა“.

ააქ მე გთავაზობთ მეტს განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი თემაზე „უთანასწორობების რაციონალიზაცია“.