y = 3x + 2 წრფე ტანგენსია y = -12x ^ 2 + bx-10 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვეთ b, იმის გათვალისწინებით, რომ შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე ნაკლებია.

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

მოდით x_0 იყოს y = -12x ^ 2 + bx-10 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსცისა, რომლის მეშვეობითაც გადის ამ გრაფიკის ტანგენსი.

წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში უდრის ტანგენტის დახრილობას, ანუ y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. მეორეს მხრივ, ტანგენტის წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის ორივე გრაფიკს. და ტანგენსი, ანუ -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას \ დაწყება (შემთხვევები) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ დასასრული (შემთხვევები)

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x_0 ^ 2 = 1, რაც ნიშნავს x_0 = -1, ან x_0 = 1. პირობის მიხედვით შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე ნაკლებია, შესაბამისად x_0 = -1, შემდეგ b = 3 + 24x_0 = -21.

უპასუხე

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი (რომელიც არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება სამი სწორი ხაზისგან). ფიგურის გამოყენებით გამოთვალეთ F (9) -F (5), სადაც F (x) არის f (x)-ის ერთ-ერთი ანტიდერივატი.

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით, სხვაობა F (9) -F (5), სადაც F (x) არის f (x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი, უდრის მრუდი ტრაპეციის შემოსაზღვრული ფართობის. y = f (x) ფუნქციის გრაფიკით, სწორი ხაზებით y = 0 , x = 9 და x = 5. გრაფიკის მიხედვით ვადგენთ, რომ მითითებული მრუდი ტრაპეცია არის ტრაპეცია 4-ისა და 3-ის ტოლი ფუძით და 3-ის სიმაღლით.

მისი ფართობი არის \ ფრაკი (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10.5.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე ". რედ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y = f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-4; 10). იპოვეთ f (x) ფუნქციის შემცირების ინტერვალები. პასუხი, მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

მოგეხსენებათ, ფუნქცია f (x) მცირდება იმ ინტერვალებზე, რომელთა თითოეულ წერტილში წარმოებული f "(x) არის ნულზე ნაკლები. იმის გათვალისწინებით, რომ აუცილებელია მათგან ყველაზე დიდის სიგრძის პოვნა, სამი ასეთი. ინტერვალები ბუნებრივად გამოირჩევა ფიგურისგან: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

მათგან ყველაზე დიდი - (5; 9) სიგრძე 4-ის ტოლია.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე ". რედ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y = f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-8; 7). იპოვეთ f (x) ფუნქციის კუთვნილი მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა. ინტერვალი [-6; -2].

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

გრაფიკი აჩვენებს, რომ f (x) ფუნქციის წარმოებული f "(x) ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე (სწორედ ასეთ წერტილებში იქნება მაქსიმუმი) ზუსტად ერთ წერტილში (-5-დან -4-ს შორის) ინტერვალი [-6; -2], შესაბამისად, არის ზუსტად ერთი მაქსიმალური წერტილი [-6; -2] ინტერვალზე.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე ". რედ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-2; 8) ინტერვალზე. განსაზღვრეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f (x) ფუნქციის წარმოებული არის 0.

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

წარმოებულის ნულის ტოლობა წერტილში ნიშნავს, რომ ამ წერტილში დახატული ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. მაშასადამე, ჩვენ ვპოულობთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია Ox ღერძის. ამ დიაგრამაზე ასეთი წერტილები არის უკიდურესი წერტილები (მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილები). როგორც ხედავთ, არის 5 ექსტრემალური წერტილი.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე ". რედ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

მდგომარეობა

y = -3x + 4 წრფე პარალელურია y = -x ^ 2 + 5x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

სწორი ხაზის დახრილობა y = -x ^ 2 + 5x-7 ფუნქციის გრაფიკისკენ თვითნებურ წერტილში x_0 უდრის y "(x_0). მაგრამ y" = - 2x + 5, ამიტომ y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. პირობითში მითითებული სწორი წრფის კოეფიციენტი y = -3x + 4 კუთხური უდრის -3. პარალელურ ხაზებს აქვთ იგივე დახრილობა, ამიტომ ვპოულობთ x_0 ისეთ მნიშვნელობას, რომ = -2x_0 + 5 = -3.

ვიღებთ: x_0 = 4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე ". რედ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი და აბსცისის ღერძზე მონიშნულია წერტილები -6, -1, 1, 4. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებულის მნიშვნელობა ყველაზე მცირე? მიუთითეთ ეს წერტილი თქვენს პასუხში.

მასტერკლასი მათემატიკაში

მე-11 კლასში

ამ თემაზე

"დერივატიული ფუნქცია

გამოყენების ამოცანებში "

მათემატიკის მასწავლებელი

მარტინენკო ე.ნ.

2017-2018 სასწავლო წელი

მასტერკლასის მიზანი: განუვითაროს მოსწავლეთა უნარებითეორიული ცოდნის გამოყენება თემაზე „ფუნქციის წარმოებული“ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანების გადასაჭრელად.

Დავალებები

საგანმანათლებლო:მოსწავლეთა ცოდნის შეჯამება და სისტემატიზაცია თემაზე

„ფუნქციის წარმოებული“, განიხილეთ USE ამოცანების პროტოტიპები ამ თემაზე, მიეცით სტუდენტებს შესაძლებლობა შეამოწმონ თავიანთი ცოდნა პრობლემების დამოუკიდებლად გადაჭრისას.

განვითარება: ხელი შეუწყოს მეხსიერების, ყურადღების, თვითშეფასების და თვითკონტროლის უნარების განვითარებას; ძირითადი საკვანძო კომპეტენციების ფორმირება (შედარება, შედარება, ობიექტების კლასიფიკაცია, მოცემული ალგორითმების საფუძველზე საგანმანათლებლო პრობლემის გადაჭრის ადეკვატური გზების განსაზღვრა, გაურკვევლობის პირობებში დამოუკიდებლად მოქმედების უნარი, მათი საქმიანობის კონტროლი და შეფასება, პოვნა. და აღმოფხვრას წარმოქმნილი სირთულეების მიზეზები).

საგანმანათლებლო: ხელი შეუწყოს:

მოსწავლეებში სწავლისადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება;

მათემატიკისადმი მდგრადი ინტერესის განვითარება;

მათემატიკის შესასწავლად პოზიტიური შინაგანი მოტივაციის შექმნა.

ტექნოლოგიები: ინდივიდუალურად დიფერენცირებული სწავლება, ისტ.

სწავლების მეთოდები: ვერბალური, ვიზუალური, პრაქტიკული, პრობლემური.

მუშაობის ფორმები: ინდივიდუალური, ფრონტალური, წყვილებში.

აღჭურვილობა და მასალა გაკვეთილისთვის:პროექტორი, ეკრანი, კომპიუტერი, სიმულატორი(დანართი #1), პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის(დანართი #2), ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული ბარათები წყვილებში დამოუკიდებელი მუშაობისთვის(დანართი No3), ინტერნეტ საიტების სია, ინდივიდუალურად დიფერენცირებული საშინაო დავალება(დანართი #4).

ახსნა მასტერკლასისთვის.

ეს მასტერკლასი ტარდება მე-11 კლასში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად. მიზნად ისახავს თეორიული მასალის გამოყენებას თემაზე „ფუნქციის წარმოებული“ საგამოცდო ამოცანების ამოხსნაში.

მასტერკლასის ხანგრძლივობა- 20 წუთი.

მასტერკლასის სტრუქტურა

I. საორგანიზაციო მომენტი -1 წთ.

II.თემის კომუნიკაცია, მასტერკლასი მიზნები, საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია - 1 წთ.

III. ფრონტალური სამუშაო. ტრენინგი „დავალებები No14 ბაზა, No7 ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პროფილი“. სიმულატორთან მუშაობის ანალიზი - 7 წთ.

IV.ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული მუშაობა წყვილებში. პრობლემების დამოუკიდებელი გადაწყვეტა No12. (პროფილი) ურთიერთშემოწმება - 9 წთ. ონლაინ ტესტირება (BASE) ტესტის შედეგების ანალიზი - 8 წთ

V. ინდივიდუალური საშინაო დავალების შემოწმება. -1 წუთი.

ვი. ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული საშინაო დავალება -1 წთ.

Vii. საკონტროლო ტესტი 20 წუთი (4 ვარიანტი)

მასტერკლასის პროგრესი

მე .საორგანიზაციო დრო.

II თემის კომუნიკაცია, მასტერკლასის მიზნები, საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია.

(სლაიდები 1-2, დანართი # 2)

ჩვენი გაკვეთილის თემაა "ფუნქციის წარმოებული გამოცდის ამოცანებში". ყველამ იცის გამონათქვამი "პატარა კოჭა, მაგრამ ძვირფასო". მათემატიკაში ერთ-ერთი ასეთი „კოჭები“ არის წარმოებული. წარმოებული გამოიყენება მრავალი პრაქტიკული ამოცანის გადასაჭრელად მათემატიკაში, ფიზიკაში, ქიმიაში, ეკონომიკაში და სხვა დისციპლინებში. ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად, ლამაზად და საინტერესოდ მოაგვაროთ პრობლემები.

თემა „წარმოებული“ წარმოდგენილია საბაზო საფეხურის No14 ამოცანაში და პროფილის საფეხურის No7,12,18 და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში.

თქვენ მუშაობდით 2018 წლის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საკონტროლო საზომი მასალების სტრუქტურისა და შინაარსის მარეგულირებელ დოკუმენტებთან. გააკეთეთ დასკვნა, თუ რა ცოდნა და უნარები გჭირდებათ წარმატებით გადაჭრათ USE ამოცანები თემაზე „წარმოებული“.

(სლაიდები 3-4, დანართი # 2)

ისწავლე „მათემატიკაში შინაარსის ელემენტების კოდიფიკატორი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის საკონტროლო საზომი მასალების მომზადებისთვის“,

„კურსდამთავრებულთა მომზადების დონის მოთხოვნების კოდიფიკატორი“, „საკონტროლო საზომი მასალების სპეციფიკაცია“, „2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საკონტროლო საზომი მასალების საჩვენებელი ვერსია“ დააღმოაჩინა რა ცოდნა და უნარებია საჭირო ფუნქციისა და მისი წარმოებულის შესახებ, რომ წარმატებით გადაჭრას პრობლემები თემაზე „წარმოებული“.

აუცილებელი

• ᲕᲘᲪᲘ

წარმოებული გამოთვლის წესები;

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები;

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა;
ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება;
ფუნქციის შესწავლა წარმოებულის გამოყენებით.

• ᲨᲔᲫᲚᲔᲑᲡ

შეასრულოს მოქმედებები ფუნქციებით (აღწერეთ ფუნქციის ქცევა და თვისებები გრაფიკის მიხედვით, იპოვეთ მისი უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობები).

• გამოყენება

შეიძინა ცოდნა და უნარები პრაქტიკაში და ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

თქვენ გაქვთ თეორიული ცოდნა წარმოებული თემის შესახებ. დღეს ჩვენისწავლეთ ცოდნის გამოყენება წარმოებული ფუნქციის შესახებ გამოყენების პრობლემების გადასაჭრელად.(სლაიდი 4, დანართი No2)

ტყუილად არ არის ეს თქვა არისტოტელემ"გონება არის არა მხოლოდ ცოდნაში, არამედ ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარშიც"(სლაიდი 5, დანართი No2)

გაკვეთილის ბოლოს დავუბრუნდებით ჩვენი გაკვეთილის მიზანს და გავარკვევთ, მივაღწიეთ თუ არა მას?

III ... ფრონტალური სამუშაო.ტრენინგი „დავალებები No14 ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საბაზო No7 პროფილი“ (დანართი No1). სიმულატორთან მუშაობის ანალიზი.

აირჩიეთ სწორი პასუხი შემოთავაზებული ოთხიდან.

როგორ ფიქრობთ, რა არის მე-7 დავალების შესრულების სირთულე?

როგორ ფიქრობთ, რა ტიპურ შეცდომებს უშვებენ კურსდამთავრებულები გამოცდაზე ამ პრობლემის გადაჭრისას?

დავალების No14 BASE და No7 PROFILE კითხვებზე პასუხისას თქვენ უნდა შეგეძლოთ წარმოებულის გრაფიკიდან აღწეროთ ფუნქციის ქცევა და თვისებები, ხოლო ფუნქციის გრაფიკიდან - ქცევა და თვისებები. ფუნქციის წარმოებული. და ეს მოითხოვს კარგ თეორიულ ცოდნას შემდეგ თემებზე: „წარმოებულის გეომეტრიული და მექანიკური მნიშვნელობა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი. წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად.

გაანალიზეთ რა ამოცანები შეგიქმნიათ სირთულეებს?

რა თეორიული კითხვები უნდა იცოდეთ?

IV. ონლაინ ტესტირება №14 ​​დავალებებზე (BASE)ტესტის შედეგების ანალიზი.

საიტი გაკვეთილზე ტესტირებისთვის:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

ვის არ დაუშვებია შეცდომები?

ვის გაუჭირდა ტესტირება? რატომ?

რა ამოცანებში დაუშვა შეცდომები?

დასკვნა, რა თეორიული კითხვები უნდა იცოდეთ?

ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული მუშაობა წყვილებში. №12 პრობლემების დამოუკიდებელი გადაწყვეტა. (პროფილი)ურთიერთდამოწმება.(დანართი #3)

დაიმახსოვრეთ გამოცდის №12 ამოცანების გადაჭრის ალგორითმი ექსტრემალური ქულების, ფუნქციის კიდურების, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად წარმოებულის გამოყენებით ინტერვალზე.

ამოცანების ამოხსნა წარმოებულით

მოსწავლეებს ექმნებათ პრობლემა:

„დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა მე-12 პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრა, წარმოებულის გამოყენების გარეშე?

1 წყვილი

2 წყვილი

3 წყვილი

4 წყვილი

(მოსწავლეები თავიანთ ამოხსნას იცავენ დაფაზე ამოცანების ამოხსნის ძირითადი საფეხურების დაწერით. მოსწავლეები გთავაზობთ #2 ამოცანის ამოხსნის ორ გზას).

პრობლემის გადაწყვეტა. დასკვნა სტუდენტებისთვის:

„ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობის საპოვნელად გამოცდის მე-12 ზოგიერთი პრობლემა შეიძლება გადაიჭრას წარმოებულის გარეშე, ფუნქციების თვისებებზე დაყრდნობით“.

გაანალიზეთ რა შეცდომა დაუშვით დავალებაში?

რა თეორიული კითხვების გამეორება გჭირდებათ?

V. ინდივიდუალური საშინაო დავალების შემოწმება. (სლაიდები 7-8, დანართი No2)

Vegelman V.-ს მიეცა ინდივიდუალური საშინაო დავალება: გამოცდისთვის მომზადების სახელმძღვანელოებიდან ნომერი 18.

(მოსწავლე იძლევა ამოცანის ამოხსნას, ფუნქციონალურ-გრაფიკულ მეთოდზე დაყრდნობით, როგორც გამოცდის No18 ამოცანების ამოხსნის ერთ-ერთ მეთოდს და აძლევს ამ მეთოდის მოკლე ახსნას).

Vii. ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული საშინაო დავალება

(სლაიდი 9, დანართი No2), (დანართი #4).

მე მოვამზადე ინტერნეტ საიტების სია გამოცდისთვის მოსამზადებლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაიაროთ ონლაინ ტესტირება ამ საიტებზე. შემდეგი გაკვეთილისთვის საჭიროა: 1) განიხილოთ თეორიული მასალა თემაზე „ფუნქციის წარმოებული“;

2) საიტზე "დავალებების ღია ბანკი მათემატიკაში" (http://mathege.ru/ ) No14 BASE AND No 7 and 12 PROFILE დავალების პროტოტიპების მოძიება და მინიმუმ 10 ამოცანის ამოხსნა PROFILE;

3) ვ.ვეგელმანი ამოცანების ამოხსნა პარამეტრებით (დანართი 4). ამოცანები 1-8 (ვარიანტი 1).ძირითადი დონე

VIII. გაკვეთილის ქულები.

როგორ შეაფასებდით საკუთარ თავს გაკვეთილზე?

როგორ ფიქრობთ, უკეთესად შეგეძლოთ გაკვეთილზე?

IX. გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი

მოდით შევაჯამოთ ჩვენი სამუშაო. რა იყო გაკვეთილის მიზანი? როგორ ფიქრობთ, ეს მიღწეულია?

შეხედე დაფას და ერთი წინადადებით, ფრაზის დასაწყისის არჩევით გააგრძელე წინადადება, რომელიც ყველაზე მეტად მოგწონს.

Ვიგრძენი…

Ვისწავლე…

Მოვახერხე …

Მე შემეძლო ...

Ვცდი …

ეს გამიკვირდა …

Მე მინდოდა…

შეგიძლიათ თქვათ, რომ გაკვეთილზე მოხდა თქვენი ცოდნის მარაგის გამდიდრება?

ასე რომ, თქვენ გაიმეორეთ თეორიული კითხვები ფუნქციის წარმოებულთან დაკავშირებით, გამოიყენეთ თქვენი ცოდნა USE ამოცანების პროტოტიპების ამოხსნაში (No. 14 BASIC LEVEL No. 7,12 PROFILE LEVEL) და ვ. ვეგელმანმა დაასრულა დავალება No18. პარამეტრით, რომელიც გაზრდილი ხარისხის სირთულეების ამოცანაა.

ჩემთვის სასიამოვნო იყო თქვენთან მუშაობა და ვიმედოვნებ, რომ მათემატიკის გაკვეთილებზე მიღებული ცოდნის წარმატებით გამოყენებას შეძლებთ არა მხოლოდ გამოცდის ჩაბარებისას, არამედ შემდგომ სწავლაშიც.

გაკვეთილი მინდა დავასრულო იტალიელი ფილოსოფოსის სიტყვებითთომა აკვინელი„ცოდნა ისეთი ძვირფასია, რომ არ არის სამარცხვინო მისი რაიმე წყაროდან მიღება“.(სლაიდი 10, დანართი #2).

წარმატებებს გისურვებთ გამოცდისთვის მომზადებაში!

გადახედვა:

პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად, შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

მომზადება გამოცდისთვის SIMULATOR თემაზე "წარმოებული" დავალება ნომერი 14 საბაზო დონე, ნომერი 7, 12 პროფილის დონე

f (x) f / (x) x ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, მითითებული ინტერვალზე (- 8; 8). გამოვიკვლიოთ გრაფიკის თვისებები და შევძლებთ ვუპასუხოთ ბევრ კითხვას ფუნქციის თვისებებთან დაკავშირებით, თუმცა თავად ფუნქციის გრაფიკი არ არის წარმოდგენილი! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 იპოვე ქულები სადაც f / (x) = 0 (ეს არის ფუნქციის ნულები). + - - + +

დავალება ნომერი 14 მათემატიკა საბაზო საფეხური

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი და A, B, C და D წერტილები მონიშნულია Ox ღერძზე. გრაფიკის გამოყენებით თითოეულ წერტილს მივანიჭეთ ფუნქციის მახასიათებლები და მისი წარმოებული. ABCD 1) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი 2) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი 3) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი 4) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი, ხოლო მნიშვნელობა ფუნქციის წარმოებული წერტილი დადებითია

№ 1 ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მონიშნულია A, B, C და D წერტილები Ox ღერძზე. გრაფიკის გამოყენებით თითოეულ წერტილს მივანიჭეთ ფუნქციის მახასიათებლები და მისი წარმოებული. 1) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში დადებითია, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი 2) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილი უარყოფითია 3) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი 4) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო წარმოებულის მნიშვნელობა ფუნქციის წერტილი არის დადებითი ABCD

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი. a, b, c, d და e წერტილები განსაზღვრავენ ინტერვალებს Ox ღერძზე. გრაფიკის გამოყენებით, თითოეულ ინტერვალს მიანიჭეთ ფუნქციის ან მისი წარმოებული მახასიათებელი. ა) (ა; ბ) ბ) (ბ; გ) გ) (გ; დ) დ) (დ; ე) 1) ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 2) მნიშვნელობები ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 3) ფუნქციის წარმოებული მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 4) ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი. რიცხვები a, b, c, d და e განსაზღვრავენ Ox ღერძზე არსებულ ინტერვალებს. გრაფიკის გამოყენებით, თითოეულ ინტერვალს მიანიჭეთ ფუნქციის ან მისი წარმოებული მახასიათებელი. ა) (ა; ბ) ბ) (ბ; გ) გ) (გ; დ) დ) (დ; ე) 1) ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 2) მნიშვნელობები ფუნქციის უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 3) წარმოებული ფუნქციების მნიშვნელობები უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 4) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში

ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მასზე დახატული ტანგენტები A, B, C და D აბსცისის წერტილებში. A B C D 1) - 1.5 2) 0.5 3) 2 4) - 0.3

ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მასზე დახატული ტანგენტები A, B, C და D აბსცისის წერტილებში. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

დავალება ნომერი 7 მათემატიკის პროფილის დონე

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის ამოცანები

1) ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში. -2 -0.5 2 0.5 იფიქრე! დაფიქრდი! უფლება! დაფიქრდი! x 0 წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: k = tg α Ox ღერძზე ტანგენსის დახრის კუთხე ბლაგვია, ამიტომ k

5 11 8 2) უწყვეტი ფუნქცია y = f (x) დაყენებულია ინტერვალზე (-6; 7). ფიგურა გვიჩვენებს მის გრაფიკს. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია სწორი წრფის y = 6. შემოწმება y = f (x) y x 3 დაფიქრდით! დაფიქრდი! დაფიქრდი! უფლება! - 6 7 წ = 6. წყვეტის წერტილი. წარმოებული ამ ეტაპზე არ არსებობს! О -4 3 5 1, 5

ფუნქციის მახასიათებლების განსაზღვრის ამოცანები მისი წარმოებულის გრაფიკიდან

3) ნახატზე ნაჩვენებია y = f / (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, მოცემული ინტერვალზე (- 6; 8). გამოიკვლიეთ ფუნქცია y = f (x) ექსტრემისთვის და მიუთითეთ მისი უკიდურესი წერტილების რაოდენობა. 2 1 4 5 არასწორია! Სიმართლეს არ შეესაბამება! უფლება! Სიმართლეს არ შეესაბამება! შეამოწმეთ (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) ნახატზე ნაჩვენებია [-5; 5] ინტერვალში მითითებული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ერთფეროვნებისთვის და მიუთითეთ ყველაზე დიდი მაქსიმალური წერტილი. 3 2 4 5 იფიქრე! დაფიქრდი! უფლება! დაფიქრდი! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 ორი მაქსიმალური წერტილიდან ყველაზე დიდი x max = 3 max max წ

7) ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ ამ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალის სიგრძე. შეამოწმეთ O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 იფიქრეთ! + დაფიქრდი! უფლება! იფიქრე! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) ნახაზი გვიჩვენებს [-5; 5] ინტერვალში მითითებული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკს. შეისწავლეთ ფუნქცია y = f (x) ერთფეროვნებისთვის და მიუთითეთ შემცირების ინტერვალების რაოდენობა. 3 2 4 1 იფიქრე! დაფიქრდი! უფლება! დაფიქრდი! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

ფუნქციის გრაფიკული წარმოებულის მახასიათებლების განსაზღვრის ამოცანები.

ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის y = f (x) გრაფიკი. აბსციზაზე მონიშნულია ცხრა წერტილი: x 1, x 2, ..., x 9. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, რომლებშიც f (x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. პასუხში მიუთითეთ ამ ქულების რაოდენობა.

ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (a; b) ინტერვალზე. დაადგინეთ მთელი რიცხვის რაოდენობა, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული დადებითია. ა) ბ) თავად გადაწყვიტეთ! გამოსავალი. თუ გაიზრდება. მთელი ამონახსნები: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. მათი რიცხვი არის 4. მთელი ამონახსნები: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. მათი რიცხვია 5. პასუხი: 4. პასუხი: 5.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის პრობლემები

პასუხი: 3 პასუხი: 14

დავალება ნომერი 12 მათემატიკის პროფილის დონე

დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში დავალება ნომერი 12 პროფილის დონე

გადახედვა:

დანართი 3 ინდივიდუალური ბარათი No12

1. იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი1 იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

2.იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი2 იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

ლინნიკ დ.ვოვნენკო ი

1.იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა1. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობასეგმენტზე

სეგმენტზე

ვეგელმან ვ.

ა.

1. იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი1. იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

2. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა2. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობასეგმენტზე

სეგმენტზე

ლეონტიევა ა.ისაენკო კ.

აუდიტის გარეშე პრაქტიკა 2

ფუნქციის გრაფიკების კონვერტაცია.

სამიზნე

შექმენით ფუნქციების გრაფიკები სხვადასხვა გარდაქმნების გამოყენებით, უპასუხეთ პრობლემის კითხვას.

სამუშაოს დასრულება

მეთოდური ინსტრუქციები

ნამუშევარი გათვლილია 10 ვარიანტზე, ვარიანტის ნომერი ემთხვევა სიაში სერიული ნომრის ბოლო ციფრს. მაგალითად, 1, 11, 21, 31 ... შეასრულეთ 1 ვარიანტი, 2,12, 22 ... - 2 ვარიანტი და ა.შ.

ნამუშევარი შედგება ორი ნაწილისგან: დავალების პირველი ნაწილი 1 - 5, ეს არის დავალებები, რომლებიც უნდა შესრულდეს კრედიტის მისაღებად, თუ ეს ამოცანები შეცდომით სრულდება, უნდა გამოსწორდეს და ნამუშევარი წარადგინოს. ისევ გადამოწმებისთვის. მეორე ნაწილი შეიცავს დავალებებს, რომელთა შესრულებით შეგიძლიათ მიიღოთ დამატებითი შეფასება: ძირითადი ნაწილი +2 დავალება - "4", ძირითადი ნაწილი +3 დავალება - "5".

ამოცანა 1. წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, მის გამოსათვლელად საკმარისია ორი წერტილი. (არგუმენტი x-ის მნიშვნელობებს ვიღებთ თვითნებურად, ხოლო y ფუნქციის მნიშვნელობას, ვითვლით მისი ფორმულაში ჩანაცვლებით).

იმის შესამოწმებლად, გადის თუ არა ფუნქციის გრაფიკი მითითებულ წერტილში, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ წერტილის კოორდინატები x-ისა და y-ის ნაცვლად, თუ მიიღებთ სწორ ტოლობას, მაშინ სწორი ხაზი გადის მითითებულ წერტილში, წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს არ მოხდება. .

დავალება 2, 3, 4. მითითებული ფუნქციების გრაფიკები მიღებულია ფუნქციების გრაფიკებიდან. , x ან y ღერძის გასწვრივ ცვლის გამოყენებით.

, ჯერ ვხატავთ ფუნქციას ან , შემდეგ გადაიტანეთ იგი "a" ერთეულებით მარჯვნივ ან მარცხნივ (+ a - მარცხნივ, - და მარჯვნივ), შემდეგ გადაიტანეთ "b" ერთეულებით ზემოთ ან ქვევით (+ b - ზემოთ, -b - ქვემოთ. )

სხვა ფუნქციების მსგავსად:

დავალება 5 ფუნქციის გრაფიკის შედგენა: , თქვენ უნდა: 1) დახაზოთ ფუნქცია , 2) გრაფიკის ნაწილი, რომელიც x ღერძზე მაღლა დგას, უცვლელად დატოვეთ, 3) აკრიფეთ გრაფიკის ის ნაწილი, რომელიც x ღერძის ქვემოთაა.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

სავალდებულო ნაწილი

დავალება 1. დახაზეთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკი, დაადგინეთ, გადის თუ არა ფუნქციის გრაფიკი მითითებულ წერტილში:

დავალება 2. დახაზეთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი, მიუთითეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები.

დავალება 3. შექმენით ფუნქციის გრაფიკი, განსაზღვრეთ მითითებული ფუნქცია იზრდება თუ მცირდება.

დავალება 4. ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი, უპასუხეთ ამოცანის კითხვას.

დავალება 5. დახაზეთ მოდულის ნიშნის შემცველი ფუნქციის გრაფიკი.

ამოცანები დამატებითი შეფასებისთვის.

დავალება 6. დახაზეთ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქციის გრაფიკი, დაადგინეთ არის თუ არა ამ ფუნქციის წყვეტის წერტილი:

დავალება 7. დაადგინეთ რამდენი ამონახსნები აქვს განტოლებათა სისტემას, პასუხი დასაბუთებულია. გამოიტანეთ დასკვნები კითხვებზე პასუხის გაცემით.

რა ფუნქციები გაქვთ დასახული ამ ნაწარმოებში?

რა ჰქვია წრფივი ფუნქციის გრაფიკს?

რა ჰქვია კვადრატული ფუნქციის გრაფიკს?

რა გრაფიკული გარდაქმნები იცით?

როგორ მდებარეობს ლუწი ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთა სისტემაში? უცნაური ფუნქციის გრაფიკი?

$ y = f (x) $ ფუნქციის წარმოებული $ x_0 $ მოცემულ წერტილში არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი მისი არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

დიფერენციაცია არის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია.

ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებული ცხრილი

ფუნქცია	წარმოებული
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (ცოდვა ^ 2x) $

დიფერენცირების ძირითადი წესები

1. ჯამის (განსხვავების) წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამის (განსხვავების).

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

ჯამის (განსხვავების) წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამის (განსხვავების).

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. ნაწარმოების წარმოებული

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

იპოვეთ წარმოებული $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. კოეფიციენტის წარმოებული

$ ((f (x)) / (გ (x))) "= (f" (x) გ (x) -f (x) გ (x) ") / (გ ^ 2 (x)) $

იპოვეთ წარმოებული $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. რთული ფუნქციის წარმოებული უდრის გარე ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლს შიდა ფუნქციის წარმოებულის მიერ.

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა

თუ მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს და მისი კოორდინატი იცვლება დროის მიხედვით კანონის მიხედვით $ x (t) $, მაშინ ამ წერტილის მყისიერი სიჩქარე უდრის ფუნქციის წარმოებულს.

წერტილი მოძრაობს კოორდინატთა ხაზის გასწვრივ კანონის მიხედვით $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, სადაც $ x (t) $ არის კოორდინატი $ t $ დროს. დროის რომელ მომენტში იქნება წერტილის სიჩქარე $12 $-ის ტოლი?

1. სიჩქარე არის $ x (t) $-ის წარმოებული, ამიტომ ვპოულობთ მოცემული ფუნქციის წარმოებულს.

$ v (t) = x "(t) = 1.5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. იმის გასაგებად, თუ რომელ მომენტში $ t $ იყო სიჩქარე $ 12 $-ის, შეადგინეთ და ამოხსენით განტოლება:

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც არ არის კოორდინატთა ღერძების პარალელურად, შეიძლება დაიწეროს $ y = kx + b $ სახით, სადაც $ k $ არის სწორი წრფის დახრილობა. კოეფიციენტი $ k $ უდრის დახრილობის კუთხის ტანგენტს სწორ ხაზსა და $ Ox $ ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.

$ f (x) $ ფუნქციის წარმოებული $ x_0 $ წერტილში უდრის ამ მომენტში გრაფიკის ტანგენტის $ k $ დახრილობას:

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ ზოგადი თანასწორობა:

$ f "(x_0) = k = tgα $

ნახატზე $ f (x) $ ფუნქციის ტანგენსი იზრდება, შესაბამისად, კოეფიციენტი $ k> 0 $. ვინაიდან $ k> 0 $, მაშინ $ f "(x_0) = tgα> 0 $. კუთხე $ α $ ტანგენტსა და $ Ox $ დადებით მიმართულებას შორის მწვავეა.

ნახატზე $f (x) $ ფუნქციის ტანგენსი მცირდება; შესაბამისად, კოეფიციენტი $ k.< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

ნახატზე $f (x) $ ფუნქციის ტანგენსი პარალელურია $ Ox $ ღერძის, შესაბამისად, კოეფიციენტი $ k = 0 $, შესაბამისად, $ f "(x_0) = tg α = 0 $. წერტილი $ x_0 $, რომელზეც გამოძახებულია $ f "(x_0) = 0 $ უკიდურესი.

ნახატზე ნაჩვენებია $ y = f (x) $ ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, დახატული აბსცისის $ x_0 $ წერტილში. იპოვეთ $ f (x) $ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა $ x_0 $ წერტილში.

გრაფიკის ტანგენსი იზრდება, შესაბამისად, $ f "(x_0) = tg α> 0 $

იმისათვის, რომ იპოვოთ $ f "(x_0) $, იპოვეთ დახრილობის კუთხის ტანგენსი $ Ox $ ღერძის ტანგენტს შორის. ამისათვის დაამატეთ ტანგენსი სამკუთხედს $ ABC $.

იპოვეთ $ BAC $ კუთხის ტანგენსი. (მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0.25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

პასუხი: $0.25

წარმოებული ასევე გამოიყენება გაზრდისა და კლების ფუნქციების ინტერვალების საპოვნელად:

თუ $ f "(x)> 0 $ ინტერვალში, მაშინ ფუნქცია $ f (x) $ იზრდება ამ ინტერვალში.

თუ $ f" (x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

ნახატზე ნაჩვენებია $ y = f (x) $ ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ წერტილებს შორის, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია.

პასუხად ჩაწერეთ მოცემული ქულების რაოდენობა.

საბაზისო საფეხურის მათემატიკაში USE-ის მე-13 ამოცანაში მოგიწევთ აჩვენოთ ფუნქციის ქცევის ერთ-ერთი კონცეფციის უნარები და ცოდნა: წარმოებულები წერტილში ან გაზრდის ან შემცირების ტემპები. თეორია ამ ამოცანას ცოტა მოგვიანებით დაემატება, მაგრამ ეს არ გვიშლის ხელს, დეტალურად გავაანალიზოთ რამდენიმე ტიპიური ვარიანტი.

საბაზო საფეხურის მათემატიკაში USE-ის No14 ამოცანების ტიპიური ვარიანტების ანალიზი

ვარიანტი 14MB1

გრაფიკი აჩვენებს ტემპერატურის დამოკიდებულებას სამგზავრო მანქანის ძრავის დათბობის დროს. ჰორიზონტალური ღერძი აჩვენებს წუთებში გასულ დროს ძრავის დაწყებიდან; ვერტიკალური ღერძი არის ძრავის ტემპერატურა გრადუს ცელსიუსში.

გრაფიკის გამოყენებით, თითოეულ დროის ინტერვალს მიანიჭეთ ძრავის დათბობის პროცესის მახასიათებელი ამ ინტერვალში.

ცხრილში, თითოეული ასოს ქვეშ, მიუთითეთ შესაბამისი ნომერი.

შესრულების ალგორითმი:

1. აირჩიეთ დროის ინტერვალი, რომლის დროსაც ტემპერატურა დაეცა.
2. გამოიყენეთ სახაზავი 30 ° C ტემპერატურაზე და განსაზღვრეთ დროის ინტერვალი, რომლის დროსაც ტემპერატურა 30 ° C-ზე დაბალი იყო.

გამოსავალი:

მოდით ავირჩიოთ დროის ინტერვალი, რომლის დროსაც ტემპერატურა დაეცა. ეს ზონა ჩანს შეუიარაღებელი თვალით, ის იწყება ძრავის ამოქმედებიდან 8 წუთის შემდეგ.

გამოიყენეთ სახაზავი 30 ° C ტემპერატურაზე და განსაზღვრეთ დროის ინტერვალი, რომლის დროსაც ტემპერატურა 30 ° C-ზე დაბალი იყო.

მმართველის ქვემოთ იქნება მონაკვეთი, რომელიც შეესაბამება დროის ინტერვალს 0 - 1 წთ.

ფანქრისა და სახაზავის გამოყენებით გავიგებთ, რომელ დროის ინტერვალში იყო ტემპერატურა 40 ° С-დან 80 ° С-მდე.

გამოვტოვოთ პერპენდიკულარები გრაფიკის 40 °C და 80 °C შესაბამისი წერტილებიდან, ხოლო მიღებული წერტილებიდან გამოვტოვებთ დროის ღერძის პერპენდიკულურებს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ტემპერატურის ინტერვალი შეესაბამება დროის ინტერვალს 3 - 6,5 წუთის განმავლობაში. ანუ პირობით მოცემულებიდან 3 - 6 წუთი.

გამოტოვებული პასუხის შესარჩევად ვიყენებთ აღმოფხვრის მეთოდს.

ვარიანტი 14MB2

გამოსავალი:

გავაანალიზოთ A ფუნქციის გრაფიკი. თუ ფუნქცია იზრდება, მაშინ წარმოებული დადებითია და პირიქით. ფუნქციის წარმოებული უდრის ნულს უკიდურეს წერტილებში.

პირველი, ფუნქცია A იზრდება, ე.ი. წარმოებული დადებითია. ეს შეესაბამება 2 და 3 წარმოებულების გრაფიკებს. x = -2 ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილში, ანუ ამ ეტაპზე წარმოებული უნდა იყოს ნული. ამ პირობას აკმაყოფილებს გრაფიკი ნომერი 3.

პირველი, ფუნქცია B მცირდება, ე.ი. წარმოებული უარყოფითია. ეს შეესაბამება 1 და 4 წარმოებულების გრაფიკებს. ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი არის x = -2, ანუ ამ ეტაპზე წარმოებული უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამ პირობას აკმაყოფილებს გრაფიკი ნომერი 4.

ჯერ B ფუნქცია იზრდება, ე.ი. წარმოებული დადებითია. ეს შეესაბამება 2 და 3 წარმოებულების გრაფიკებს. x = 1 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, ანუ ამ ეტაპზე წარმოებული უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამ პირობას აკმაყოფილებს გრაფიკი ნომერი 2.

აღმოფხვრის მეთოდით შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ Γ ფუნქციის გრაფიკი შეესაბამება წარმოებულის გრაფიკს 1 ნომერში.

პასუხი: 3421.

ვარიანტი 14MB3

თითოეული ფუნქციის შესრულების ალგორითმი:

1. განსაზღვრეთ გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალები.
2. ფუნქციების მაქსიმალური და მინიმალური ქულების განსაზღვრა.
3. გამოიტანეთ დასკვნები, დაალაგეთ შემოთავაზებული განრიგი.

გამოსავალი:

გავაანალიზოთ A ფუნქციის გრაფიკი.

თუ ფუნქცია იზრდება, მაშინ წარმოებული დადებითია და პირიქით. ფუნქციის წარმოებული უდრის ნულს უკიდურეს წერტილებში.

ექსტრემალური წერტილი არის წერტილი, სადაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა.

პირველი, ფუნქცია A იზრდება, ე.ი. წარმოებული დადებითია. ეს შეესაბამება 3 და 4 წარმოებულების გრაფიკებს. x = 0 ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილში, ანუ ამ ეტაპზე წარმოებული უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამ პირობას აკმაყოფილებს გრაფიკი ნომერი 4.

გავაანალიზოთ B ფუნქციის გრაფიკი.

პირველი, ფუნქცია B მცირდება, ე.ი. წარმოებული უარყოფითია. ეს შეესაბამება 1 და 2 წარმოებულების გრაფიკებს. ფუნქციის მინიმალური წერტილი არის x = -1, ანუ ამ ეტაპზე წარმოებული უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამ პირობას აკმაყოფილებს გრაფიკი ნომერი 2.

გავაანალიზოთ B ფუნქციის გრაფიკი.

პირველი, ფუნქცია B მცირდება, ე.ი. წარმოებული უარყოფითია. ეს შეესაბამება 1 და 2 წარმოებულების გრაფიკებს. x = 0 ფუნქციის მინიმალური წერტილი, ანუ ამ ეტაპზე წარმოებული უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამ პირობას აკმაყოფილებს გრაფიკი ნომერი 1.

აღმოფხვრის მეთოდით შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ Γ ფუნქციის გრაფიკი შეესაბამება მე-3 წარმოებულის გრაფიკს.

პასუხი: 4213.

ვარიანტი 14MB4

ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მასზე დახატული ტანგენტები A, B, C და D აბსცისის წერტილებში.მარჯვენა სვეტი აჩვენებს წარმოებულის მნიშვნელობებს A, B, C და D წერტილებში. გრაფიკის გამოყენებით, თითოეულ წერტილს მიანიჭეთ მასში არსებული ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა.

ქულები
ა
ვ
თან
დ

წარმოებულის ღირებულებები
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

გავიხსენოთ, რას ნიშნავს წარმოებული, კერძოდ, მისი მნიშვნელობა წერტილში - წარმოებული ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში უდრის ტანგენსის დახრილობის (კოეფიციენტის) ტანგენტს.

პასუხებში გვაქვს ორი დადებითი და ორი უარყოფითი ვარიანტი. როგორც გვახსოვს, თუ სწორი ხაზის კოეფიციენტი (გრაფიკა y = kx + b) დადებითი, მაშინ სწორი ხაზი იზრდება, თუ ის უარყოფითია, მაშინ სწორი ხაზი მცირდება.

გვაქვს ორი აღმავალი სწორი ხაზი - A და D წერტილებზე. ახლა გავიხსენოთ რას ნიშნავს k კოეფიციენტის მნიშვნელობა?

კოეფიციენტი k გვიჩვენებს, თუ რამდენად სწრაფად იზრდება ან მცირდება ფუნქცია (ფაქტობრივად, კოეფიციენტი k არის y = kx + b ფუნქციის წარმოებული).

აქედან გამომდინარე, k = 2/3 შეესაბამება უფრო ბრტყელ ხაზს - D და k = 3 - A.

ანალოგიურად, უარყოფითი მნიშვნელობების შემთხვევაში: წერტილი B შეესაბამება უფრო ციცაბო სწორ ხაზს k = - 4, ხოლო C წერტილი - -1/2.

ვარიანტი 14MB5

ნახატზე, წერტილები აჩვენებს გამათბობლების ყოველთვიურ გაყიდვებს საყოფაცხოვრებო ტექნიკის მაღაზიაში. თვეები ნაჩვენებია ჰორიზონტალურად, ხოლო გამათბობლების რაოდენობა ვერტიკალურად იყიდება. სიცხადისთვის, წერტილები დაკავშირებულია ხაზთან.

ფიგურის გამოყენებით, შეადარეთ თითოეული მითითებული პერიოდი გამათბობელებისთვის დამახასიათებელ გაყიდვებთან.

შესრულების ალგორითმი

ვაანალიზებთ გრაფიკის სხვადასხვა სეზონის შესაბამის ნაწილებს. ჩვენ ვაყალიბებთ სქემაზე გამოსახულ სიტუაციებს. ჩვენ ვპოულობთ მათთვის ყველაზე შესაფერისი პასუხების ვარიანტებს.

გამოსავალი:

ზამთარში გაყიდვების რაოდენობა თვეში 120 ცალს აჭარბებდა და მუდმივად იზრდებოდა. ეს სიტუაცია შეესაბამება მე -3 პასუხს. იმათ. ჩვენ ვიღებთ: A - 3.

გაზაფხულზე გაყიდვები თანდათან შემცირდა თვეში 120 გამათბობლიდან 50-მდე. ვარიანტი 2 ყველაზე ახლოს არის ამ ფორმულირებასთან. Ჩვენ გვაქვს: B – 2.

ზაფხულში გაყიდვების რაოდენობა არ შეცვლილა და მინიმალური იყო. ამ ფორმულირების მეორე ნაწილი არ არის ასახული პასუხებში და მხოლოდ # 4 არის შესაფერისი პირველისთვის. აქედან გამომდინარე გვაქვს: 4-ზე.

შემოდგომაზე გაყიდვები გაიზარდა, მაგრამ მათი რაოდენობა არც ერთ თვეში არ აღემატებოდა 100 ერთეულს. ეს სიტუაცია აღწერილია #1 ვარიანტში. ჩვენ ვიღებთ: G - 1.

ვარიანტი 14MB6

გრაფიკი აჩვენებს ჩვეულებრივი ავტობუსის სიჩქარის დამოკიდებულებას დროზე. ვერტიკალურ ღერძზე ავტობუსის სიჩქარე აღინიშნება კმ/სთ-ში, ჰორიზონტალურ ღერძზე - დრო წუთებში ავტობუსის მოძრაობის დაწყებიდან.

გრაფიკის გამოყენებით თითოეულ დროის ინტერვალს მიანიჭეთ ავტობუსის მოძრაობის მახასიათებელი ამ ინტერვალში.

შესრულების ალგორითმი

1. განსაზღვრეთ გაყოფის ფასი ჰორიზონტალურ და ვერტიკალურ მასშტაბებზე.
2. ჩვენ თავის მხრივ ვაანალიზებთ შემოთავაზებულ განცხადებებს 1–4 მარჯვენა სვეტიდან („მახასიათებლები“). ჩვენ ვადარებთ მათ ცხრილის მარცხენა სვეტის დროის ინტერვალებს, პასუხისათვის ვპოულობთ „ასო-რიცხვის“ წყვილებს.

გამოსავალი:

ჰორიზონტალურ შკალაზე დაყოფა არის 1 წმ, ხოლო ვერტიკალური შკალი 20 კმ/სთ.

1. როდესაც ავტობუსი ჩერდება, მისი სიჩქარე არის 0. ავტობუსს ზედიზედ 2 წუთის განმავლობაში ნულოვანი სიჩქარე ჰქონდა მხოლოდ მე-9-დან მე-11 წუთამდე. ეს დრო მოდის 8-12 წუთის ინტერვალის ფარგლებში. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს წყვილი პასუხისთვის: B - 1.
2. ავტობუსს რამდენიმე დროის ინტერვალით 20 კმ/სთ და მეტი სიჩქარე ჰქონდა. უფრო მეტიც, ვარიანტი A აქ არ არის შესაფერისი, რადგან, მაგალითად, მე-7 წუთზე სიჩქარე იყო 60 კმ/სთ, ვარიანტი B - იმიტომ, რომ უკვე გამოყენებულია, ვარიანტი D - იმიტომ, რომ ინტერვალის დასაწყისში და ბოლოს ავტობუსი ნულოვანი სიჩქარე ჰქონდა... ამ შემთხვევაში, ვარიანტი B არის შესაფერისი (12–16 წთ); ამ ინტერვალში ავტობუსი იწყებს მოძრაობას 40 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ აჩქარებს 100 კმ/მ-მდე და შემდეგ თანდათან ამცირებს სიჩქარეს 20 კმ/სთ-მდე. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს: 2-ში.
3. აქ მითითებულია სიჩქარის ლიმიტი. ამავდროულად, ჩვენ არ განვიხილავთ B და C ვარიანტებს. დარჩენილი A და D ინტერვალები ორივე შესაფერისია. ამიტომ სწორი იქნებოდა ჯერ მე-4 ვარიანტის განხილვა, შემდეგ კი ისევ მე-3-ზე დაბრუნება.
4. დარჩენილი ორი ინტერვალიდან მხოლოდ 4-8 წუთია შესაფერისი No4 მახასიათებლისთვის, ვინაიდან ამ ინტერვალზე იყო გაჩერება (მე-6 წუთზე). 18-22 წუთის ინტერვალში გაჩერებები არ ყოფილა. ჩვენ ვიღებთ: A - 4... აქედან გამომდინარეობს, რომ No3 მახასიათებლისთვის აუცილებელია Г ინტერვალის აღება, ე.ი. თურმე წყვილი G – 3.

ვარიანტი 14MB7

წერტილოვანი ფიგურა აჩვენებს ჩინეთის მოსახლეობის ზრდას 2004 წლიდან 2013 წლამდე. ჰორიზონტალურად მიუთითებს წელიწადზე, ვერტიკალურად - მოსახლეობის ზრდა პროცენტულად (მოსახლეობის ზრდა გასულ წელთან შედარებით). სიცხადისთვის, წერტილები დაკავშირებულია ხაზთან.

ფიგურის გამოყენებით, შეადარეთ დროის თითოეული მითითებული პერიოდი ამ პერიოდის განმავლობაში ჩინეთის მოსახლეობის ზრდის მახასიათებლებს..

შესრულების ალგორითმი

1. განსაზღვრეთ სურათის ვერტიკალური მასშტაბის გაყოფის ფასი. იგი გვხვდება როგორც სხვაობა მიმდებარე მასშტაბის მნიშვნელობებს შორის, გაყოფილი 2-ზე (რადგან არის 2 დაყოფა ორ მიმდებარე მნიშვნელობას შორის).
2. ჩვენ თანმიმდევრულად ვაანალიზებთ პირობაში მოცემულ მახასიათებლებს 1-4 (მარცხნივ ცხრილის სვეტი). თითოეულ მათგანს ვადარებთ დროის კონკრეტულ პერიოდს (მარჯვენა ცხრილის სვეტი).

გამოსავალი:

ვერტიკალური მასშტაბის დაყოფა არის 0.01%.

1. ზრდის კლება მუდმივად გაგრძელდა 2004 წლიდან 2010 წლამდე. 2010–2011 წლებში ზრდა სტაბილურად მინიმალური იყო, 2012 წლიდან კი ზრდა დაიწყო. იმათ. ზრდა შეჩერდა 2010 წელს. ეს წელი 2009-2011 წლებშია. შესაბამისად გვაქვს: 1-ში.
2. დიაგრამის "ყველაზე ციცაბო" დაცემის ხაზი ფიგურაში უნდა ჩაითვალოს ზრდის ყველაზე დიდ ვარდნად. იგი მოდის 2006-2007 წლებში. და არის 0,04% წელიწადში (0,59-0,56 = 0,04% 2006 წელს და 0,56-0,52 = 0,04% 2007 წელს). აქედან ვიღებთ: A - 2.
3. მახასიათებელ No3-ში მითითებული ზრდა დაიწყო 2007 წელს, გაგრძელდა 2008 წელს და დასრულდა 2009 წელს. ეს შეესაბამება B დროის პერიოდს, ე.ი. ჩვენ გვაქვს: B - 3.
4. მოსახლეობის ზრდა 2011 წლის შემდეგ დაიწყო, ე.ი. 2012–2013 წლებში ამიტომ, ჩვენ ვიღებთ: G-4.

ვარიანტი 14MB8

ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მასზე დახატული ტანგენტები A, B, C და D აბსცისის წერტილებში.

მარჯვენა სვეტი აჩვენებს ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობებს A, B, C და D წერტილებში. გრაფიკის გამოყენებით, თითოეულ წერტილს მიანიჭეთ მასში არსებული ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა.

შესრულების ალგორითმი

1. განვიხილოთ ტანგენტების წყვილი, რომლებსაც აქვთ მახვილი კუთხე აბსცისის ღერძის დადებითი მიმართულებით. ჩვენ ვადარებთ მათ, ვპოულობთ შესატყვისს წარმოებულების შესაბამისი მნიშვნელობების წყვილს შორის.
2. განვიხილოთ ტანგენტების წყვილი, რომლებიც ქმნიან ბლაგვ კუთხეს აბსცისის ღერძის დადებითი მიმართულებით. ჩვენ ვადარებთ მათ აბსოლუტურ მნიშვნელობას, განვსაზღვრავთ მათ შესაბამისობას წარმოებულების მნიშვნელობებთან მარჯვენა სვეტში დარჩენილ ორს შორის.

გამოსავალი:

აბსცისის ღერძის დადებითი მიმართულების მწვავე კუთხე წარმოიქმნება წარმოებულებით B წერტილში და C წერტილში. ამ წარმოებულებს აქვთ დადებითი მნიშვნელობები. აქედან გამომდინარე, აქ თქვენ უნდა აირჩიოთ მნიშვნელობებს შორის No. 1 და 3. იმ წესის გამოყენებით, რომ თუ კუთხე 45 0-ზე ნაკლებია, მაშინ წარმოებული არის 1-ზე ნაკლები, ხოლო თუ მეტი, მაშინ 1-ზე მეტი, ჩვენ დავასკვნით: B წერტილში წარმოებული მოდული 1-ზე მეტია, C წერტილში - 1-ზე ნაკლები. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ შეადგინოთ წყვილები პასუხისთვის: 3-ზედა С – 1.

A და D წერტილის წარმოებულები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს აბსცისის დადებითი მიმართულებით. და აქაც იგივე წესს ვიყენებთ, ცოტათი პერიფრაზირებით: რაც უფრო მეტია ტანგენსი წერტილში "დაჭერილი" აბსცისის ღერძის ხაზზე (მის უარყოფით მიმართულებაზე), მით უფრო დიდია იგი აბსოლუტურ მნიშვნელობაში. შემდეგ მივიღებთ: A წერტილში წარმოებული აბსოლუტური მნიშვნელობით ნაკლებია, ვიდრე D წერტილის წარმოებული. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს წყვილი პასუხისთვის: A - 2და დ - 4.

ვარიანტი 14MB9

ფიგურაში, წერტილები გვიჩვენებს ჰაერის საშუალო დღიურ ტემპერატურას მოსკოვში 2011 წლის იანვარში. ჰორიზონტალურად მიუთითებს თვის დღეს, ვერტიკალურად - ტემპერატურა გრადუს ცელსიუსში. სიცხადისთვის, წერტილები დაკავშირებულია ხაზთან.

ფიგურის გამოყენებით, შეადარეთ დროის თითოეული მითითებული პერიოდი ტემპერატურის ცვლილების მახასიათებელს.

შესრულების ალგორითმი

ჩვენ ვაანალიზებთ თანმიმდევრულად მახასიათებლებს 1-4 (მარჯვენა სვეტი), ფიგურაში მოცემული გრაფიკის გამოყენებით. თითოეულ მათგანს ვათავსებთ შესაბამის დროს კონკრეტულ პერიოდთან (მარცხენა სვეტი).

გამოსავალი:

1. ტემპერატურის მატება მხოლოდ პერიოდის ბოლოს 22-28 იანვარს დაფიქსირდა. აქ 27 და 28-ში, შესაბამისად, 1 და 2 გრადუსით გაიზარდა. პერიოდის ბოლოს 1–7 იანვარს ტემპერატურა სტაბილური იყო (–10 გრადუსი), 8–14 და 15–21 იანვრის ბოლოს შემცირდა (–1–დან –2–მდე და –11–დან––––– 12 გრადუსი, შესაბამისად). ამიტომ, ჩვენ ვიღებთ: G - 1.
2. ვინაიდან თითოეული პერიოდი მოიცავს 7 დღეს, საჭიროა ტემპერატურის გაანალიზება ყოველი პერიოდის მე-4 დღიდან. ტემპერატურა უცვლელი დარჩა 3-4 დღის განმავლობაში მხოლოდ 4-დან 7 იანვრამდე. ამიტომ ვიღებთ პასუხს: A - 2.
3. თვიური მინიმალური ტემპერატურა 17 იანვარს დაფიქსირდა. ეს რიცხვი 15-21 იანვრის პერიოდშია. აქედან გვაქვს წყვილი: 3-ზე.
4. მაქსიმალური ტემპერატურა 10 იანვარს დაეცა და +1 გრადუსი შეადგინა. ეს თარიღი 8-14 იანვარს მოდის. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს: B - 4.

ვარიანტი 14MB10

შესრულების ალგორითმი

1. ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში დადებითია, თუ ეს წერტილი მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ.
2. წარმოებული წერტილი ნულზე მეტია, თუ ამ წერტილის ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.

გამოსავალი:

წერტილი A. ის მდებარეობს Ox ღერძის ქვემოთ, რაც ნიშნავს, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა უარყოფითია. თუ მასში დახატავთ ტანგენტს, მაშინ კუთხე მასსა და დადებით მიმართულებას Ox-ს შორის იქნება დაახლოებით 90 0, ე.ი. ქმნის მწვავე კუთხეს. ასე რომ, ამ შემთხვევაში, დამახასიათებელი ნომერი 3 შესაფერისია. იმათ. ჩვენ გვაქვს: A - 3.

წერტილი B ის მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ, ე.ი. წერტილს აქვს დადებითი ფუნქციის მნიშვნელობა. ტანგენტის ხაზი ამ წერტილში საკმაოდ ახლოს იქნება აბსცისის ღერძთან და ქმნის ბლაგვ კუთხეს (180 0-ზე ოდნავ ნაკლები) თავისი დადებითი მიმართულებით. შესაბამისად, წარმოებული ამ ეტაპზე უარყოფითია. ამრიგად, მახასიათებელი 1 შესაფერისია აქ. ვიღებთ პასუხს: 1-ში.

წერტილი C. წერტილი მდებარეობს Ox ღერძის ქვემოთ, მასში ტანგენსი ქმნის დიდ ბლაგვ კუთხეს აბსცისის ღერძის დადებითი მიმართულებით. იმათ. C წერტილში როგორც ფუნქციის, ასევე წარმოებულის მნიშვნელობა უარყოფითია, რომელიც შეესაბამება No2 მახასიათებელს. პასუხი: C – 2.

წერტილი D. წერტილი არის Ox ღერძის ზემოთ და მასში არსებული ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ეს გვაფიქრებინებს, რომ როგორც ფუნქციის, ასევე წარმოებულის მნიშვნელობა ნულზე მეტია აქ. პასუხი: დ - 4.

ვარიანტი 14MB11

ნახატზე, წერტილებზე ნაჩვენებია მაცივრების ყოველთვიური გაყიდვები საყოფაცხოვრებო ტექნიკის მაღაზიაში. თვეები ნაჩვენებია ჰორიზონტალურად, ხოლო გაყიდული მაცივრების რაოდენობა ვერტიკალურად. სიცხადისთვის, წერტილები დაკავშირებულია ხაზთან.

ფიგურის გამოყენებით, შეადარეთ თითოეული მითითებული პერიოდი მაცივრებისთვის დამახასიათებელ გაყიდვებთან..