მიზნები:

1. ზოგადი განათლება: სისტემატიზაცია, განზოგადება, მოსწავლეთა ცოდნისა და უნარების გაფართოება, რომელიც დაკავშირებულია უთანასწორობის ამოხსნის მეთოდების გამოყენებასთან.
2. განმავითარებელი: განუვითარდებათ სტუდენტებს ლექციის მოსმენის, რვეულში მოკლედ ჩაწერის უნარი.
3. საგანმანათლებლო: მათემატიკის შესწავლის შემეცნებითი მოტივაციის ჩამოყალიბება.

გაკვეთილების დროს

I. შესავალი საუბარი:

დავასრულეთ თემა „ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა“ და დღეს ვიწყებთ ირაციონალური უტოლობების ამოხსნის სწავლას.

ჯერ გავიხსენოთ, რა ტიპის უტოლობების ამოხსნა შეგიძლიათ და რა მეთოდებით?

უპასუხე: წრფივი, კვადრატული, რაციონალური, ტრიგონომეტრიული. წრფივებს ვხსნით უტოლობების თვისებებზე დაყრდნობით, ტრიგონომეტრიულებს ვამცირებთ უმარტივეს ტრიგონომეტრამდე, ამოხსნილ ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, დანარჩენს კი ძირითადად ინტერვალების მეთოდით.

Კითხვა: რა განცხადებას ეფუძნება ინტერვალის მეთოდი?

უპასუხე: თეორემაზე, რომელიც ამტკიცებს, რომ უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც არ ქრება რაღაც ინტერვალზე, ინარჩუნებს თავის ნიშანს ამ ინტერვალზე.

II.განვიხილოთ ირაციონალური უტოლობა, როგორიცაა>

Კითხვა: შესაძლებელია თუ არა მისი ამოხსნის ინტერვალების მეთოდის გამოყენება?

უპასუხე: დიახ, ფუნქციიდან y =- უწყვეტი ჩართული D (y).

ჩვენ ამ უთანასწორობას ვხსნით ინტერვალის მეთოდი .

დასკვნა: ჩვენ საკმაოდ მარტივად გადავჭრით ეს ირაციონალური უტოლობა ინტერვალების მეთოდით, ფაქტობრივად, ვამცირებდით ირაციონალური განტოლების ამოხსნამდე.

შევეცადოთ ამ მეთოდით გადავჭრათ კიდევ ერთი უტოლობა.

3)f (x)უწყვეტი D (f)

4) ფუნქციის ნულები:

• ხანგრძლივი ძებნა D (ვ).
• ძნელია წყვეტის წერტილების გამოთვლა.

ჩნდება კითხვა: „არ არსებობს ამ უთანასწორობის გადაჭრის სხვა გზები?

ცხადია, არსებობს და ახლა ჩვენ მათ გავეცნობით.

III.Ისე, თემა დღევანდელი გაკვეთილი: „ირაციონალური უტოლობების ამოხსნის მეთოდები“.

გაკვეთილი ჩატარდება ლექციის სახით, ვინაიდან გაკვეთილი არ ითვალისწინებს ყველა მეთოდის დეტალურ ანალიზს. ამიტომ, ჩვენი მნიშვნელოვანი ამოცანაა ამ ლექციის დეტალური შეჯამების შედგენა.

IV.ირაციონალური უტოლობების ამოხსნის პირველ მეთოდზე უკვე ვისაუბრეთ.

ეს - ინტერვალის მეთოდი , უნივერსალური მეთოდი ყველა სახის უტოლობის ამოხსნისათვის. მაგრამ ეს ყოველთვის არ მიგვიყვანს მიზნამდე მოკლე და მარტივი გზით.

ვ.ირაციონალური უტოლობების ამოხსნისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე იდეები, როგორც ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას, მაგრამ რადგან ამონახსნების მარტივი გადამოწმება შეუძლებელია (ბოლოს და ბოლოს, უტოლობების ამონახსნები ყველაზე ხშირად მთელი რიცხვითი ინტერვალებია), აუცილებელია ეკვივალენტობის გამოყენება.

წარმოგიდგენთ ირაციონალური უტოლობების ძირითადი ტიპების ამოხსნის სქემებს ეკვივალენტური გადასვლების მეთოდიერთი უტოლობიდან უტოლობათა სისტემამდე.

2. ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ

მოდით დავწეროთ ეს დიაგრამები საცნობარო დაფაზე. იფიქრეთ სახლში 3 და 4 ტიპის მტკიცებულებებზე, მათ განვიხილავთ შემდეგ გაკვეთილზე.

ვი.ახლებურად გადავჭრათ უტოლობა.

თავდაპირველი უთანასწორობა სისტემების ნაკრების ტოლფასია.

Vii.და არის მესამე მეთოდი, რომელიც ხშირად ეხმარება რთული ირაციონალური უთანასწორობების ამოხსნას. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ მასზე მოდულით უტოლობასთან დაკავშირებით. ეს ფუნქციის ჩანაცვლების მეთოდი (მულტიპლიკატორის ჩანაცვლება)... შეგახსენებთ, რომ ჩანაცვლების მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ მონოტონური ფუნქციების მნიშვნელობებში განსხვავება შეიძლება შეიცვალოს მათი არგუმენტების მნიშვნელობების სხვაობით.

განვიხილოთ ფორმის ირაციონალური უტოლობა<,

ანუ -< 0.

თეორემით, თუ p (x)იზრდება გარკვეული ინტერვალით, რომლამდეც ადა ბ, და ა>ბ, შემდეგ უტოლობები p (a) - p (ბ)> 0 და ა - ბ> 0 უდრის D (p), ანუ

VIII.მოდით გადავჭრათ უტოლობა ფაქტორების ჩანაცვლებით.

აქედან გამომდინარე, ეს უთანასწორობა სისტემის ექვივალენტურია

ამრიგად, ჩვენ ვნახეთ, რომ ფაქტორების გაცვლის მეთოდის გამოყენება უტოლობის ამოხსნის ინტერვალურ მეთოდზე შესამცირებლად მნიშვნელოვნად ამცირებს სამუშაოს მოცულობას.

IX.ახლა, როცა განვიხილეთ განტოლებების ამოხსნის სამი ძირითადი მეთოდი, მოდით გავაკეთოთ დამოუკიდებელი მუშაობა თვითტესტით.

აუცილებელია შემდეგი რიცხვების შესრულება (ა.მ. მორდკოვიჩის სახელმძღვანელოს მიხედვით): 1790 (ა) - ამოხსნა _ ეკვივალენტური გადასვლების მეთოდით, _ 1791 (ა) - ამოხსნა ფაქტორების ჩანაცვლების მეთოდით ირაციონალური უტოლობების ამოსახსნელად, შემოთავაზებულია გამოყენებული იქნას ადრე გაანალიზებული მეთოდები ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას:

• ცვლადების შეცვლა;
• LDZ-ის გამოყენება;
• ფუნქციების ერთფეროვნების თვისებების გამოყენებით.

თემის შესწავლის დასრულება არის ტესტი.

ტესტის ანალიზი აჩვენებს:

• სუსტი მოსწავლეების ტიპიური შეცდომები, გარდა არითმეტიკისა და ალგებრულისა, არის არასწორი ეკვივალენტური გადასვლა უტოლობათა სისტემაზე;
• მულტიპლიკატორის ჩანაცვლების მეთოდი წარმატებით გამოიყენება მხოლოდ ძლიერი სტუდენტების მიერ.

ნებისმიერ უტოლობას, რომელიც მოიცავს ფუნქციას ფესვის ქვეშ, ეწოდება ირაციონალური... ასეთი უტოლობების ორი ტიპი არსებობს:

პირველ შემთხვევაში, ფესვი ნაკლებია g ფუნქციაზე (x), მეორეში - უფრო დიდი. თუ g (x) - მუდმივი, უთანასწორობა მკვეთრად გამარტივებულია. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: გარეგნულად, ეს უტოლობები ძალიან ჰგავს, მაგრამ მათი გადაწყვეტის სქემები ფუნდამენტურად განსხვავებულია.

დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ამოხსნათ პირველი ტიპის ირაციონალური უტოლობები - ისინი ყველაზე მარტივი და გასაგებია. უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი ან არა მკაცრი. შემდეგი განცხადება მართალია მათთვის:

თეორემა. ფორმის ნებისმიერი ირაციონალური უთანასწორობა

უტოლობების სისტემის ტოლფასია:

სუსტი არაა? მოდით შევხედოთ საიდან მოდის ასეთი სისტემა:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - აქ ყველაფერი ნათელია. ეს არის თავდაპირველი კვადრატული უტოლობა;
2. f (x) ≥ 0 არის ფესვის ODZ. შეგახსენებთ: არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ დან არაუარყოფითინომრები;
3. g (x) ≥ 0 არის ფესვის დიაპაზონი. უთანასწორობის კვადრატში გამოყვანით ჩვენ ვწვავთ მინუსებს. შედეგად, შეიძლება გაჩნდეს დამატებითი ფესვები. უტოლობა g (x) ≥ 0 წყვეტს მათ.

ბევრი მოსწავლე „აფიქსირებს“ სისტემის პირველ უტოლობას: f (x) ≤ g 2 (x) - და სრულიად ივიწყებს დანარჩენ ორს. შედეგი პროგნოზირებადია: არასწორი გადაწყვეტილება, დაკარგული ქულები.

ვინაიდან ირაციონალური უტოლობები საკმაოდ რთული თემაა, ჩვენ გავაანალიზებთ 4 მაგალითს ერთდროულად. ელემენტარულიდან მართლაც რთულამდე. ყველა პრობლემა აღებულია მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მისაღები გამოცდებიდან. M.V. ლომონოსოვი.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჩვენს წინაშე არის კლასიკა ირაციონალური უთანასწორობა: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 არის მუდმივი. Ჩვენ გვაქვს:

სამი უტოლობიდან მხოლოდ ორი რჩება ამოხსნის ბოლომდე. რადგან უტოლობა 2 ≥ 0 ყოველთვის მოქმედებს. ჩვენ ვკვეთთ დარჩენილ უტოლობას:

ასე რომ, x ∈ [−1,5; 0.5]. ყველა წერტილი ივსება იმიტომ უთანასწორობა არ არის მკაცრი.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჩვენ ვიყენებთ თეორემას:

ჩვენ ვხსნით პირველ უტოლობას. ამისათვის გავხსნათ განსხვავების კვადრატი. Ჩვენ გვაქვს:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე უტოლობა. Იქაც კვადრატული ტრინომიალი:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1] ∪∪∪∪)