დიაგრამა 5-ში:

და შემდეგი მაგალითი: ამოხსენით უტოლობა 0.6 2x - 3< 0,36 .

სურათი 5-ის სქემის მიხედვით, ვიღებთ
2x - 3> log 0.6 0.36,
2x - 3> 2,
2x> 5,
x> 2.5

პასუხი: (2,5; +∞) .

განვიხილოთ ფორმის უტოლობის ამოხსნის ბოლო სქემა a f (x)< b , ზე a> 0და ბ<0 ნაჩვენებია სურათზე 6:

მაგალითად, გადავჭრათ უტოლობა:

აღვნიშნავთ, რომ რა რიცხვიც არ უნდა ჩავანაცვლოთ x-ს, უტოლობის მარცხენა მხარე ყოველთვის მეტია ნულზე და ჩვენი გამოხატულება ნაკლებია -8-ზე, ე.ი. და ნულოვანი, მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის.

პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

იმის ცოდნა, თუ როგორ იხსნება უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობა, შეიძლება გააგრძელოთ ექსპონენციური უტოლობების ამოხსნა.

მაგალითი 1.

იპოვეთ x უტოლობის დამაკმაყოფილებელი უდიდესი მთელი რიცხვი

ვინაიდან 6 x მეტია ნულზე (ნებისმიერი x-ისთვის მნიშვნელი არ ქრება), ჩვენ გავამრავლებთ უტოლობის ორივე მხარეს 6 x-ზე, მივიღებთ:

440 - 2 6 2x> 8, მაშინ
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

პასუხი: 1.

მაგალითი 2.

უტოლობის ამოხსნა 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

აღვნიშნავთ 2 x-ს y-მდე, ვიღებთ უტოლობას y 2 - 3y + 2 ≤ 0, ვხსნით ამ კვადრატულ უტოლობას.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 და y 2 = 2.

პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ჩვენ გამოვსახავთ გრაფიკს:

მაშინ უტოლობის გამოსავალი არის უტოლობა 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

პასუხი: (0; 1) .

მაგალითი 3... უტოლობის ამოხსნა 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
ერთი და იგივე ფუძის მქონე გამონათქვამები შევკრიბოთ უტოლობის ერთ ნაწილში

5 x +1 - 2.5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

ამოვიღებთ 5 x უტოლობის მარცხენა მხარეს და 3 х უტოლობის მარჯვენა მხარეს და ვიღებთ უტოლობას.

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

უტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ გამოსახულებით 3 3 x, უტოლობის ნიშანი არ იცვლება, რადგან 3 3 x დადებითი რიცხვია, მივიღებთ უტოლობას:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

პასუხი: (–∞; 2) .

თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნის შესახებ ან გსურთ ივარჯიშოთ მსგავსი მაგალითების ამოხსნაში, დარეგისტრირდით ჩემს გაკვეთილებზე. დამრიგებელი ვალენტინა გალინევსკაია.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

დღეს კი რაციონალური უთანასწორობები ყველაფერს ვერ გადაჭრის. უფრო სწორად, არა მხოლოდ ყველას შეუძლია გადაწყვიტოს. ცოტას შეუძლია ამის გაკეთება.
კლიჩკო

ეს გაკვეთილი რთული იქნება. იმდენად მძიმე, რომ მხოლოდ რჩეულები მიაღწევენ ბოლომდე. ამიტომ, კითხვის დაწყებამდე გირჩევთ ამოიღოთ ქალები, კატები, ორსული ბავშვები და ...

მოდი, ეს რეალურად მარტივია. დავუშვათ, რომ აითვისეთ ინტერვალების მეთოდი (თუ არ გაქვთ ათვისებული, გირჩევთ, დაბრუნდეთ და წაიკითხოთ) და ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ $ P \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) \ gt 0 $ ფორმის უტოლობები, სადაც $ P \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $ არის რამდენიმე პოლინომი ან მრავალწევრების ნამრავლი.

მე მჯერა, რომ არ გაგიჭირდებათ, მაგალითად, ასეთი თამაშის გადაჭრა (სხვათა შორის, სცადეთ გახურებისთვის):

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (4x + 25 \ მარჯვნივ) \ gt 0; \\ & x \ მარცხენა (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ მარჯვნივ) \ მარცხენა (x-1 \ მარჯვნივ) \ ge 0; \\ & \ მარცხნივ (8x - ((x) ^ (4)) \ მარჯვნივ) ((\ მარცხნივ (x-5 \ მარჯვნივ)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება და განვიხილოთ არა მხოლოდ მრავალწევრები, არამედ ფორმის ეგრეთ წოდებული რაციონალური წილადები:

სადაც $ P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) $ და $ Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) $ არის $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) ფორმის ერთნაირი პოლინომები. ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, ან ასეთი მრავალწევრების ნამრავლი.

ეს იქნება რაციონალური უთანასწორობა. ფუნდამენტური წერტილი არის $ x $ ცვლადის არსებობა მნიშვნელში. მაგალითად, ეს არის რაციონალური უტოლობები:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ ფრაკი (\ მარცხნივ (7x + 1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (11x + 2 \ მარჯვნივ)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ ფრაკი (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ მარცხნივ (3-x \ მარჯვნივ)) ^ (2)) \ მარცხნივ (4 - ((x) ^ ( 2)) \ მარჯვნივ)) \ ge 0. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

და ეს არ არის რაციონალური, არამედ ყველაზე გავრცელებული უტოლობა, რომელიც წყდება ინტერვალების მეთოდით:

\ [\ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

წინ რომ ვუყურებ, მაშინვე ვიტყვი: რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მინიმუმ ორი გზა არსებობს, მაგრამ ისინი ყველა გარკვეულწილად მცირდება ჩვენთვის უკვე ცნობილ ინტერვალების მეთოდზე. ამიტომ, სანამ ამ მეთოდებს განვიხილავთ, გავიხსენოთ ძველი ფაქტები, წინააღმდეგ შემთხვევაში ახალი მასალისგან აზრი არ იქნება.

რაც უკვე უნდა იცოდე

ბევრი მნიშვნელოვანი ფაქტი არ არის. ჩვენ ნამდვილად მხოლოდ ოთხი გვჭირდება.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

დიახ, დიახ: ისინი დაგვდევნიან მთელი სკოლის მათემატიკის სასწავლო გეგმის განმავლობაში. და უნივერსიტეტშიც. ამ ფორმულებიდან საკმაოდ ბევრია, მაგრამ ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ შემდეგი:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((ა) ^ (2)) \ pm 2ab + ((ბ) ^ (2)) = ((\ მარცხნივ (a \ pm b \ მარჯვნივ)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((ბ) ^ (2)) = \ მარცხენა (a-b \ მარჯვნივ) \ მარცხენა (a + b \ მარჯვნივ); \\ & ((ა) ^ (3)) + (ბ) ^ (3)) = \ მარცხნივ (ა + ბ \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((ა) ^ (2)) - აბ + ((ბ) ) ^ (2)) \ მარჯვნივ); \\ & ((ა) ^ (3)) - ((ბ) ^ (3)) = \ მარცხნივ (აბ \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((ა) ^ (2)) + აბ + (ბ) ^ (2)) \ მარჯვნივ). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ყურადღება მიაქციეთ ბოლო ორ ფორმულას - ეს არის კუბების ჯამი და სხვაობა (და არა ჯამი ან განსხვავება კუბი!). მათი დამახსოვრება ადვილია, თუ შეამჩნევთ, რომ პირველი ფრჩხილის ნიშანი ემთხვევა თავდაპირველ გამოსახულებაში არსებულ ნიშანს, ხოლო მეორეში ეს არის ორიგინალური გამოხატვის ნიშნის საპირისპირო.

წრფივი განტოლებები

ეს არის $ ax + b = 0 $ ფორმის უმარტივესი განტოლებები, სადაც $ a $ და $ b $ არის ჩვეულებრივი რიცხვები, $ a \ ne 0 $. ეს განტოლება შეიძლება გადაიჭრას მარტივად:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ცული + b = 0; \\ & ცული = -b; \\ & x = - \ ფრაკი (ბ) (ა). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გვაქვს უფლება გავყოთ $ a $ კოეფიციენტზე, რადგან $ a \ ne 0 $. ეს მოთხოვნა საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან $ a = 0 $-ისთვის ვიღებთ ამას:

პირველი, ამ განტოლებაში არ არის $ x $ ცვლადი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ამან არ უნდა დაგვაბრუნოს (ასე ხდება, ვთქვათ, გეომეტრიაში და საკმაოდ ხშირად), მაგრამ მიუხედავად ამისა, ჩვენ აღარ ვდგავართ წრფივი განტოლების წინაშე.

მეორეც, ამ განტოლების ამოხსნა დამოკიდებულია მხოლოდ კოეფიციენტზე $ b $. თუ $ b $ ასევე არის ნული, მაშინ ჩვენს განტოლებას აქვს ფორმა $ 0 = 0 $. ეს თანასწორობა ყოველთვის მართალია; აქედან გამომდინარე, $ x $ არის ნებისმიერი რიცხვი (ჩვეულებრივ იწერება ასე: $ x \ in \ mathbb (R) $). თუ კოეფიციენტი $ b $ არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ტოლობა $ b = 0 $ არასოდეს დაკმაყოფილდება, ე.ი. პასუხები არ არის (დაწერეთ $ x \ in \ varnothing $ და წაიკითხეთ "გადაწყვეტილებების ნაკრები ცარიელია").

ყველა ამ გართულების თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ უბრალოდ ვივარაუდებთ $ a \ ne 0 $, რაც არანაირად არ ზღუდავს ჩვენს შემდგომ აზროვნებას.

კვადრატული განტოლებები

შეგახსენებთ, რომ ამას ეწოდება კვადრატული განტოლება:

აქ მარცხნივ არის მეორე ხარისხის პოლინომი და ისევ $ a \ ne 0 $ (წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების ნაცვლად, მივიღებთ წრფივ განტოლებას). შემდეგი განტოლებები იხსნება დისკრიმინანტის საშუალებით:

1. თუ $ D \ gt 0 $, მივიღებთ ორ განსხვავებულ ფესვს;
2. თუ $ D = 0 $, მაშინ იქნება ერთი ფესვი, მაგრამ მეორე სიმრავლის (რა არის ეს სიმრავლე და როგორ უნდა გავითვალისწინოთ - ამის შესახებ მოგვიანებით). ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს;
3. $ D \ lt 0 $-ისთვის საერთოდ არ არის ფესვები და $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ ნებისმიერი $ x $ პოლინომის ნიშანი ემთხვევა $ კოეფიციენტის ნიშანს. $. სხვათა შორის, ეს ძალიან სასარგებლო ფაქტია, რაზეც რატომღაც ავიწყდებათ ლაპარაკი ალგებრის გაკვეთილებზე.

თავად ფესვები განიხილება ცნობილი ფორმულის მიხედვით:

\ [((x) _ (1,2)) = \ ფრაკი (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

აქედან გამომდინარე, სხვათა შორის, და შეზღუდვები დისკრიმინატორზე. ყოველივე ამის შემდეგ, უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არსებობს. რაც შეეხება ფესვებს, ბევრ სტუდენტს თავში საშინელი არეულობა აქვს, ამიტომ სპეციალურად დავწერე მთელი გაკვეთილი: რა არის ფესვი ალგებრაში და როგორ უნდა დათვალო - გირჩევთ წაიკითხოთ. :)

მოქმედებები რაციონალური წილადებით

ყველაფერი, რაც ზემოთ იყო დაწერილი, თქვენ უკვე იცით, შეისწავლეთ თუ არა ინტერვალების მეთოდი. მაგრამ რასაც ახლა გავაანალიზებთ, ანალოგი არ აქვს წარსულში - ეს სრულიად ახალი ფაქტია.

განმარტება. რაციონალური წილადი არის გამოხატულება, როგორიცაა

\ [\ ფრაკი (P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) (Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) \]

სადაც $ P \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $ და $ Q \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $ არის პოლინომები.

ცხადია, ასეთი წილადიდან უტოლობის მიღება მარტივია - საკმარისია მხოლოდ მარჯვნივ მივაკუთვნოთ ნიშანი "მეტი" ან "ნაკლები". და ცოტა უფრო შორს აღმოვაჩენთ, რომ ასეთი პრობლემების გადაჭრა სიამოვნებაა, იქ ყველაფერი ძალიან მარტივია.

პრობლემები იწყება მაშინ, როდესაც ერთ გამოსახულებაში რამდენიმე ასეთი წილადია. ისინი უნდა დაიყვანონ საერთო მნიშვნელამდე - და სწორედ ამ მომენტში უშვებს დიდი რაოდენობით შეტევითი შეცდომები.

ამიტომ, რაციონალური განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ მტკიცედ უნდა დაეუფლოთ ორ უნარს:

1. მრავალწევრის ფაქტორირება $ P \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $;
2. სინამდვილეში, წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

როგორ განვასხვავოთ მრავალწევრი? Ძალიან მარტივი. დავუშვათ, გვაქვს ფორმის მრავალწევრი

ვატოლებთ ნულს. ჩვენ ვიღებთ $ n $ -th ხარისხის განტოლებას:

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((ა) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( ა) _ (1)) x + ((ა) _ (0)) = 0 \]

ვთქვათ, გადავწყვიტეთ ეს განტოლება და მივიღეთ ფესვები $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (არ ინერვიულოთ: უმეტეს შემთხვევაში იქნება ამ ფესვებიდან არაუმეტეს ორი) ... ამ შემთხვევაში, ჩვენი ორიგინალური პოლინომი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ) ^ (n-1)) + ... + (ა) _ (1)) x + ((ა) _ (0)) = \\ & = ((ა) _ (ნ)) \ მარცხნივ ( x - ((x) _ (1)) \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხენა (x - ((x) _ (2)) \ მარჯვნივ) \ cdot ... \ cdot \ მარცხენა (x - ((x) _ (n)) \ მარჯვნივ) \ ბოლოს (გასწორება) \]

Სულ ეს არის! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: წამყვანი კოეფიციენტი $ ((a) _ (n)) $ არსად გაქრა - ეს იქნება ცალკე ფაქტორი ფრჩხილების წინ და საჭიროების შემთხვევაში, შეიძლება ჩასვათ რომელიმე ამ ფრჩხილში (პრაქტიკა გვიჩვენებს. რომ $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $-ით თითქმის ყოველთვის არის წილადები ფესვებს შორის).

დავალება. გამოთქმის გამარტივება:

\ [\ ფრაკი (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ ფრაკი (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ ფრაკი (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

გამოსავალი. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ მნიშვნელებს: ისინი ყველა წრფივი ბინომია და გასათვალისწინებელი არაფერია. მოდით გამოვყოთ მრიცხველები:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ მარცხნივ (x + 5 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x-4 \ მარჯვნივ); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ მარცხნივ (x- \ ფრაკი (3) (2) \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (2x- 3 \ მარჯვენა) \ მარცხენა (x-1 \ მარჯვნივ); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x- \ ფრაკი (2) (5) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (x +2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (2-5x \ მარჯვნივ). \\\ ბოლოს (გასწორება) \]

ყურადღება მიაქციეთ: მეორე პოლინომში წამყვანი კოეფიციენტი "2", ჩვენი სქემის სრული შესაბამისად, ჯერ ფრჩხილის წინ გამოჩნდა, შემდეგ კი პირველ ფრჩხილში შევიდა, რადგან წილადი იქიდან გამოვიდა.

იგივე მოხდა მესამე მრავალწევრში, მხოლოდ იქ ტერმინების თანმიმდევრობაც აირია. თუმცა, კოეფიციენტი „−5“ დასრულდა მეორე ფრჩხილში (გახსოვდეთ: თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ფაქტორი ერთ და მხოლოდ ერთ ფრჩხილში!), რამაც გადაგვარჩინა წილადი ფესვებთან დაკავშირებული უხერხულობისგან.

რაც შეეხება პირველ მრავალწევრს, აქ ყველაფერი მარტივია: მისი ფესვები სტანდარტული გზით არის მოძიებული დისკრიმინანტის მეშვეობით, ან ვიეტას თეორემით.

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამონათქვამს და გადავიწეროთ ის ფაქტორიზებული მრიცხველებით:

\ [\ დასაწყისი (მატრიცა) \ ფრაკი (\ მარცხნივ (x + 5 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x-4 \ მარჯვნივ)) (x-4) - \ ფრაკი (\ მარცხნივ (2x-3 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ ( x-1 \ მარჯვნივ)) (2x-3) - \ ფრაკი (\ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (2-5x \ მარჯვნივ)) (x + 2) = \\ = \ მარცხნივ (x + 5 \ მარჯვნივ) - \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) - \ მარცხნივ (2-5x \ მარჯვნივ) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ დასასრული (მატრიცა) \]

პასუხი: $5x + $4.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ცოტა მათემატიკა 7-8 კლასებში - სულ ესაა. ყველა ტრანსფორმაციის მიზანია მიიღოთ რაღაც მარტივი რთული და საშინელი გამონათქვამიდან, რომლებთანაც ადვილია მუშაობა.

თუმცა, ეს ყოველთვის ასე არ იქნება. ამიტომ, ახლა უფრო სერიოზულ პრობლემას განვიხილავთ.

მაგრამ ჯერ გავარკვიოთ, როგორ მივიყვანოთ ორი წილადი საერთო მნიშვნელთან. ალგორითმი ძალიან მარტივია:

1. ფაქტორზე ორივე მნიშვნელი;
2. განვიხილოთ პირველი მნიშვნელი და დაუმატეთ მას ფაქტორები, რომლებიც მეორე მნიშვნელშია, მაგრამ არა პირველში. შედეგად მიღებული პროდუქტი იქნება საერთო მნიშვნელი;
3. გაარკვიეთ, რა ფაქტორები აკლია თითოეულ თავდაპირველ წილადს, რათა მნიშვნელები ტოლი გახდეს.

შესაძლოა, ეს ალგორითმი მოგეჩვენოთ მხოლოდ ტექსტი, რომელშიც არის „ბევრი ასო“. ამიტომ ყველაფერს გავაანალიზებთ კონკრეტული მაგალითით.

დავალება. გამოთქმის გამარტივება:

\ [\ მარცხენა (\ ფრაკი (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ ფრაკი (1) (x-2) \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (\ ფრაკი ((x) ^ (2))) ((x) ^ (2)) - 4) - \ ფრაკი (2) (2-x) \ მარჯვნივ) \]

გამოსავალი. ასეთი დიდი პრობლემების ნაწილებად გადაჭრა ჯობია. მოდით დავწეროთ რა არის პირველ ფრჩხილებში:

\ [\ ფრაკი (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ ფრაკი (1) (x-2) \]

წინა პრობლემისგან განსხვავებით, აქ ყველაფერი არც ისე მარტივია მნიშვნელებთან დაკავშირებით. მოდით ფაქტორზე გავამახვილოთ თითოეული მათგანი.

$ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ კვადრატული ტრინომიის ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, რადგან განტოლებას $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ არ აქვს ფესვები (დისკრიმინანტი უარყოფითია. ). ჩვენ მას უცვლელად ვტოვებთ.

მეორე მნიშვნელი - კუბური პოლინომი $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - დეტალური შემოწმებისას არის კუბების განსხვავება და ადვილად დაიშლება გამრავლების შემოკლებული ფორმულების მიხედვით:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ) \]

სხვა არაფრის ფაქტორიზაცია არ შეიძლება, რადგან პირველ ფრჩხილში არის წრფივი ბინომი, მეორეში კი ჩვენთვის უკვე ნაცნობი კონსტრუქცია, რომელსაც რეალური ფესვები არ აქვს.

დაბოლოს, მესამე მნიშვნელი არის წრფივი ბინომი, რომლის დაშლა შეუძლებელია. ამრიგად, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:

\ [\ ფრაკი (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 8) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) - \ ფრაკი (1) (x-2) \]

აშკარაა, რომ საერთო მნიშვნელი იქნება ზუსტად $ \ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვენა) \ მარცხენა (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ) $ და რომ შევამციროთ მასზე ყველა წილადი, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი $ \ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) $, ხოლო ბოლო $ \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ) $. შემდეგ რჩება მხოლოდ შემდეგის მიცემა:

\ [\ დასაწყისი (მატრიცა) \ ფრაკი (x \ cdot \ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ)) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) + \ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 8) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) - \ ფრაკი (1 \ cdot \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) (\ მარცხენა (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხენა ((x) ^ (2)) + 2x +4 \ მარჯვნივ)) = \\ = \ ფრაკი (x \ cdot \ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) + \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 8 \ მარჯვნივ) - \ მარცხნივ ((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) = \\ = \ ფრაკი (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხენა (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) = \\ = \ ფრაკი (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)). \\ \ დასასრული (მატრიცა) \]

ყურადღება მიაქციეთ მეორე სტრიქონს: როცა მნიშვნელი უკვე საერთოა, ე.ი. სამი ცალკეული წილადის ნაცვლად ჩვენ დავწერეთ ერთი დიდი, მაშინვე არ უნდა მოიშოროთ ფრჩხილები. უმჯობესია დაწეროთ დამატებითი სტრიქონი და აღვნიშნოთ, რომ, ვთქვათ, მესამე წილადის წინ იყო მინუსი - და ის არსად წავა, მაგრამ მრიცხველში "ჩამოკიდებული" იქნება ფრჩხილის წინ. ეს გიხსნით უამრავ შეცდომას.

ისე, ბოლო სტრიქონში სასარგებლოა მრიცხველის გაანგარიშება. უფრო მეტიც, ეს არის ზუსტი კვადრატი და გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ისევ გვეხმარება. Ჩვენ გვაქვს:

\ [\ ფრაკი (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ)) = \ ფრაკი (((\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ)) ^ (2))) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ მარჯვნივ) ) = \ ფრაკი (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

ახლა ანალოგიურად გავუმკლავდეთ მეორე ფრჩხილსაც. აქ მხოლოდ თანასწორობის ჯაჭვს დავწერ:

\ [\ დაწყება (მატრიცა) \ ფრაკი (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ ფრაკი (2) (2-x) = \ ფრაკი ((( x) ^ (2))) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) - \ ფრაკი (2) (2-x) = \\ = \ ფრაკი (((x) ^ (2))) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვენა) \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) + \ ფრაკი (2) (x-2) = \\ = \ ფრაკი (((x) ^ ( 2))) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) + \ ფრაკი (2 \ cdot \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ ) \ cdot \ მარცხენა (x + 2 \ მარჯვენა)) = \\ = \ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) = \ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ) ). \\ \ დასასრული (მატრიცა) \]

ჩვენ ვუბრუნდებით საწყის პრობლემას და ვუყურებთ პროდუქტს:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 2 \ მარჯვნივ)) = \ ფრაკი (1) (x + 2) \]

პასუხი: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

ამ ამოცანის მნიშვნელობა იგივეა, რაც წინა: იმის ჩვენება, თუ რამდენად შეიძლება რაციონალური გამონათქვამები გამარტივდეს, თუ გონივრულად მიუდგებით მათ ტრანსფორმაციას.

ახლა კი, როცა ეს ყველაფერი გეცოდინებათ, გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის მთავარ თემაზე - წილადობრივ-რაციონალური უტოლობების ამოხსნაზე. უფრო მეტიც, ასეთი მომზადების შემდეგ, თავად უთანასწორობები თხილივით იბზარება. :)

რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მთავარი გზა

რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მინიმუმ ორი მიდგომა არსებობს. ახლა ჩვენ განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს - ის, რომელიც ზოგადად მიღებულია სასკოლო მათემატიკის კურსში.

მაგრამ პირველ რიგში, მოდით აღვნიშნოთ მნიშვნელოვანი დეტალი. ყველა უტოლობა იყოფა ორ ტიპად:

1. მკაცრი: $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ gt 0 $ ან $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ lt 0 $;
2. ლაქსი: $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ ge 0 $ ან $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ le 0 $.

მეორე ტიპის უტოლობები ადვილად შეიძლება შემცირდეს პირველზე, ისევე როგორც განტოლებაზე:

ეს პატარა "დამატება" $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = 0 $ იწვევს ისეთ უსიამოვნო ფაქტს, როგორიცაა შევსებული წერტილები - ჩვენ გავეცანით მათ შორის ინტერვალის მეთოდს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არ არსებობს განსხვავებები მკაცრ და არამკაცრ უტოლობებს შორის, ასე რომ, მოდით გავაანალიზოთ უნივერსალური ალგორითმი:

1. შეაგროვეთ ყველა არანულოვანი ელემენტი უტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს. მაგალითად, მარცხნივ;
2. მიიტანეთ ყველა წილადი საერთო მნიშვნელთან (თუ რამდენიმე ასეთი წილადია), მოიყვანეთ მსგავსი. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეაფასეთ იგი მრიცხველში და მნიშვნელში. ასეა თუ ისე, ვიღებთ უტოლობას $ \ frac (P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) (Q \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ)) \ vee 0 $, სადაც გამშვები ნიშანი არის უტოლობის ნიშანი.
3. დააყენეთ მრიცხველი ნულზე: $ P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = 0 $. ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას და ვიღებთ ფესვებს $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... შემდეგ მოვითხოვთ რომ მნიშვნელი არ იყო ნულის ტოლი: $ Q \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) \ ne 0 $. რა თქმა უნდა, ფაქტობრივად, ჩვენ უნდა გადავჭრათ განტოლება $ Q \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) = 0 $ და მივიღებთ ფესვებს $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (რეალურ პრობლემებში ძნელად თუ იქნება სამზე მეტი ასეთი ფესვი).
4. ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა ამ ფესვს (ვარსკვლავებით და მის გარეშე) ერთ რიცხვით წრფეზე, ვარსკვლავების გარეშე ფესვები მოხატულია და ვარსკვლავებით ამოღებულია.
5. ჩვენ ვათავსებთ პლიუს და მინუს ნიშნებს, ვირჩევთ ინტერვალებს, რომლებიც გვჭირდება. თუ უტოლობა ჰგავს $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ gt 0 $, მაშინ პასუხი იქნება "პლუს"-ით მონიშნული ინტერვალები. თუ $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ lt 0 $, მაშინ შეხედეთ ინტერვალებს "მინუსებით".

პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ყველაზე დიდ სირთულეებს იწვევს მე-2 და მე-4 პუნქტები - კომპეტენტური გარდაქმნები და რიცხვების სწორი განლაგება აღმავალი წესით. ისე, და ბოლო ეტაპზე, იყავით ძალიან ფრთხილად: ჩვენ ყოველთვის ვათავსებთ ნიშანს, ეყრდნობით განტოლებაზე გადასვლამდე დაწერილი უახლესი უტოლობა... ეს არის უნივერსალური წესი, რომელიც მიღებულია ინტერვალის მეთოდიდან.

ასე რომ, სქემა არსებობს. Მოდი ვივარჯიშოთ.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

გამოსავალი. ჩვენ წინაშე გვაქვს $ f \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) \ lt 0 $ ფორმის მკაცრი უტოლობა. ცხადია, ჩვენი სქემიდან 1 და 2 პუნქტები უკვე დასრულებულია: უთანასწორობის ყველა ელემენტი თავმოყრილია მარცხნივ, არაფერია საჭირო საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა. ამიტომ, პირდაპირ მესამე პუნქტზე გადავდივართ.

დააყენეთ მრიცხველი ნულზე:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ ბოლოს (გასწორება) \]

და მნიშვნელი:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ბევრი ადამიანი ინარჩუნებს ამ ადგილს, რადგან თეორიულად თქვენ უნდა დაწეროთ $ x + 7 \ ne 0 $, როგორც ამას მოითხოვს ODZ (თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, ეს ყველაფერია). მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, მომავალში ჩვენ ამოვიღებთ მნიშვნელიდან მოსულ წერტილებს, ასე რომ თქვენ არ დაგჭირდებათ კიდევ ერთხელ გაართულოთ თქვენი გამოთვლები - დაწერეთ ყველგან ტოლობის ნიშანი და არ ინერვიულოთ. ამისთვის ქულებს არავინ დააკლებს. :)

მეოთხე წერტილი. ჩვენ აღვნიშნავთ შედეგად ფესვებს რიცხვით ხაზზე:

ყველა წერტილი პუნქციაა, რადგან უთანასწორობა მკაცრია

Შენიშვნა: ყველა წერტილი პუნქციაა, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრია... და აქ არ აქვს მნიშვნელობა ეს ქულები მრიცხველიდან მოვიდა თუ მნიშვნელიდან.

კარგად, ჩვენ ვუყურებთ ნიშნებს. აიღეთ ნებისმიერი რიცხვი $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. მაგალითად, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ ან $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). ჩვენ ვიღებთ:

ასე რომ, ყველა ფესვის მარჯვნივ, ჩვენ გვაქვს დადებითი არე. და თითოეულ ფესვზე გავლისას, ნიშანი იცვლება (ეს ყოველთვის ასე არ იქნება, უფრო მოგვიანებით). ამიტომ, გადავდივართ მეხუთე პუნქტზე: დაალაგეთ ნიშნები და აირჩიეთ ის, რაც გჭირდებათ:

ჩვენ ვუბრუნდებით ბოლო უტოლობას, რომელიც იყო განტოლებების ამოხსნამდე. ფაქტობრივად, ის ემთხვევა თავდაპირველს, რადგან ჩვენ ამ ამოცანაში არანაირი ტრანსფორმაცია არ განვახორციელეთ.

ვინაიდან საჭიროა $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ lt 0 $ ფორმის უტოლობის ამოხსნა, მე დავჩრდილე $ x \ ინტერვალი \ მარცხნივ (-7; 3 \ მარჯვნივ) $ - ის ერთადერთია. აღინიშნება მინუს ნიშნით. ეს არის პასუხი.

პასუხი: $ x \ in \ მარცხნივ (-7; 3 \ მარჯვნივ) $

Სულ ეს არის! რთულია? არა, არ არის რთული. მართალია, და ამოცანა მარტივი იყო. ახლა ცოტა გავართულოთ მისია და განვიხილოთ უფრო „ფანტასტიკური“ უთანასწორობა. ამოხსნისას აღარ მოგცემ მსგავს დეტალურ გამოთვლებს - მხოლოდ საკვანძო პუნქტებს გამოვყოფ. ზოგადად, ჩვენ მოვაწყობთ ისე, როგორც დამოუკიდებელ სამუშაოზე ან გამოცდაზე. :)

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (\ მარცხნივ (7x + 1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (11x + 2 \ მარჯვნივ)) (13x-4) \ ge 0 \]

გამოსავალი. ეს არის $ f \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) \ ge 0 $ ფორმის ფხვიერი უტოლობა. ყველა არანულოვანი ელემენტი გროვდება მარცხნივ, არ არის განსხვავებული მნიშვნელი. გადავიდეთ განტოლებებზე.

მრიცხველი:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (7x + 1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (11x + 2 \ მარჯვნივ) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) _ (1)) = - \ ფრაკი (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) _ (2)) = - \ ფრაკი (2) (11). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

მნიშვნელი:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ ფრაკი (4) (13). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

არ ვიცი, როგორი გარყვნილი იყო ეს პრობლემა, მაგრამ ფესვები არც ისე კარგად გამომდიოდა: ძნელი იქნებოდა მათი განთავსება რიცხვთა ხაზზე. და თუ ფესვით $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია (ეს ერთადერთი დადებითი რიცხვია - ის იქნება მარჯვნივ), მაშინ $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ და $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ მოითხოვს დამატებით კვლევას: რომელი უფრო დიდია?

თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ, მაგალითად, ასე:

\ [((x) _ (1)) = - \ ფრაკი (1) (7) = - \ ფრაკი (2) (14) \ gt - \ ფრაკი (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

იმედია არ იქნება საჭირო ახსნა, თუ რატომ არის რიცხვითი წილადი $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? საჭიროების შემთხვევაში, გირჩევთ გახსოვდეთ, თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მოქმედებები წილადებთან.

და ჩვენ აღვნიშნავთ სამივე ფესვს რიცხვით ხაზზე:

მრიცხველიდან წერტილები ივსება, მნიშვნელიდან - ამოღებულია

ჩვენ ვათავსებთ ნიშნებს. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ $ ((x) _ (0)) = 1 $ და გაიგოთ ნიშანი ამ ეტაპზე:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = \ ფრაკი (\ მარცხნივ (7x + 1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (11x + 2 \ მარჯვნივ)) (13x-4); \\ & f \ მარცხნივ (1 \ მარჯვნივ) = \ ფრაკი (\ მარცხნივ (7 \ cdot 1 + 1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (11 \ cdot 1 + 2 \ მარჯვნივ)) (13 \ cdot 1-4) = \ ფრაკი (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ ბოლოს (გასწორება) \]

ბოლო უტოლობა განტოლებამდე იყო $ f \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) \ ge 0 $, ამიტომ ჩვენ გვაინტერესებს პლუსის ნიშანი.

ჩვენ მივიღეთ ორი კომპლექტი: ერთი არის ჩვეულებრივი სეგმენტი, ხოლო მეორე არის ღია სხივი რიცხვთა წრფეზე.

პასუხი: $ x \ in \ მარცხენა [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ მარჯვნივ] \ bigcup \ მარცხენა (\ frac (4) (13); + \ infty \ მარჯვენა ) $

მნიშვნელოვანი შენიშვნა რიცხვების შესახებ, რომლებსაც ჩვენ ვცვლით ნიშანს ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე. სულაც არ არის აუცილებელი მარჯვენა ფესვთან ახლოს რიცხვის ჩანაცვლება. შეგიძლიათ აიღოთ მილიარდები ან თუნდაც „პლუს-უსასრულობა“ - ამ შემთხვევაში ფრჩხილებში, მრიცხველში ან მნიშვნელში ჩასმული მრავალწევრის ნიშანი განისაზღვრება ექსკლუზიურად წამყვანი კოეფიციენტის ნიშნით.

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ფუნქციას $ f \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $ ბოლო უტოლობიდან:

მის ჩანაწერში სამი პოლინომია:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((P) _ (1)) \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = 11x + 2; \\ & Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) = 13x-4. \ ბოლოს (გასწორება) \]

ყველა მათგანი წრფივი ბინომია და ყველა წამყვანი კოეფიციენტი (7, 11 და 13 რიცხვები) დადებითია. ამიტომ, ძალიან დიდი რიცხვების ჩანაცვლებისას, თავად მრავალწევრებიც დადებითი იქნება. :)

ეს წესი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს, მაგრამ მხოლოდ თავიდან, როცა ძალიან მარტივ პრობლემებს ვაანალიზებთ. სერიოზულ უტოლობაში, პლუს-უსასრულობის ჩანაცვლება საშუალებას მოგვცემს გავიგოთ ნიშნები ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე სტანდარტული $ ((x) _ (0)) = 100 $.

ასეთი გამოწვევების წინაშე ძალიან მალე ვიქნებით. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ წილად-რაციონალური უტოლობების ამოხსნის ალტერნატიულ გზას.

ალტერნატიული გზა

ეს ტექნიკა შემომთავაზა ჩემმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა. მე თვითონ არასოდეს გამომიყენებია, მაგრამ პრაქტიკამ აჩვენა, რომ ბევრი სტუდენტი მართლაც უფრო მოსახერხებელია ამ გზით უტოლობების ამოხსნაში.

ასე რომ, საწყისი მონაცემები იგივეა. აუცილებელია წილადი-რაციონალური უტოლობის ამოხსნა:

\ [\ ფრაკი (P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) (Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) \ gt 0 \]

მოდით დავფიქრდეთ: როგორ არის პოლინომი $ Q \ მარცხენა (x \ მარჯვენა) $ "უარესი" ვიდრე მრავალწევრი $ P \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $? რატომ უნდა განვიხილოთ ფესვების ცალკეული ჯგუფები (ვარსკვლავით და მის გარეშე), ვიფიქროთ პუნქციის წერტილებზე და ა.შ. ეს მარტივია: წილადს აქვს განსაზღვრების დომენი, რომლის თანხმოვანს წილადს აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როცა მისი მნიშვნელი არ არის ნული.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, მრიცხველსა და მნიშვნელს შორის სხვაობა არ შეინიშნება: ჩვენ ასევე ვატოლებთ მას ნულთან, ვეძებთ ფესვებს, შემდეგ ვნიშნავთ მათ რიცხვით წრფეზე. მაშ, რატომ არ შეცვალოთ წილადი ზოლი (ფაქტობრივად, გაყოფის ნიშანი) ჩვეულებრივი გამრავლებით და დაწეროთ DHS-ის ყველა მოთხოვნა ცალკე უტოლობის სახით? მაგალითად, ასე:

\ [\ ფრაკი (P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) (Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ)) \ gt 0 \ მარჯვენა ისარი \ მარცხნივ \ (\ დასაწყისი (გასწორება) & P \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ cdot Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ gt 0, \\ & Q \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ ne 0. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \ მარჯვნივ. \]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს მიდგომა პრობლემას ინტერვალების მეთოდამდე შეამცირებს, მაგრამ გამოსავალს საერთოდ არ გაართულებს. ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენ კვლავ გავატოლებთ პოლინომს $ Q \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) $ ნულამდე.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს რეალურ პრობლემებზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

გამოსავალი. მოდით გადავიდეთ ინტერვალის მეთოდზე:

\ [\ ფრაკი (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ მარჯვენა ისარი \ მარცხნივ \ (\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (x + 8 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x-11 \ მარჯვნივ) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \ მარჯვნივ. \]

პირველი უტოლობა ადვილად ამოსახსნელია. ჩვენ უბრალოდ ვატოლებთ თითოეულ ფრჩხილს ნულს:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & x + 8 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) _ (2)) = 11. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

მეორე უტოლობა ასევე მარტივია:

რიცხვთა წრფეზე აღვნიშნავთ $ ((x) _ (1)) $ და $ ((x) _ (2)) $ წერტილებს. ყველა მათგანი ამოღებულია, რადგან უთანასწორობა მკაცრია:

მარჯვენა წერტილი ორჯერ იყო პუნქცია. Ეს კარგია.

გაითვალისწინეთ წერტილი $ x = 11 $. გამოდის, რომ ის „ორჯერ არის პუნქციული“: ერთის მხრივ, უთანასწორობის სიმძიმის გამო ვჭრით, მეორე მხრივ, DHS-ის დამატებითი მოთხოვნის გამო.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ეს მხოლოდ პუნქციის წერტილი იქნება. მაშასადამე, ჩვენ ვაწყობთ უტოლობის ნიშნებს $ \ მარცხნივ (x + 8 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x-11 \ მარჯვნივ) \ gt 0 $ - ბოლო, რაც ვნახეთ, სანამ განტოლებების ამოხსნას დავიწყებდით:

ჩვენ გვაინტერესებს დადებითი რეგიონები, რადგან ჩვენ ვხსნით ფორმის უტოლობას $ f \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ) \ gt 0 $ - და ვჩრდილავთ მათ. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე. $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; -8 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხენა (11; + \ infty \ მარჯვნივ) $

ამ გადაწყვეტის მაგალითის გამოყენებით, მინდა გაგაფრთხილოთ ახალბედა სტუდენტებს შორის გავრცელებული შეცდომის შესახებ. კერძოდ: არასოდეს გააფართოვოთ ფრჩხილები უტოლობაში! პირიქით, შეეცადეთ ყველაფერი ფაქტორზე მოაქციოთ – ეს გამოსავალს გაამარტივებს და უამრავ პრობლემას გიშველის.

ახლა ვცადოთ რაღაც უფრო რთული.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (\ მარცხნივ (2x-13 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (12x-9 \ მარჯვნივ)) (15x + 33) \ le 0 \]

გამოსავალი. ეს არის $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ le 0 $ ფორმის ფხვიერი უტოლობა, ასე რომ თქვენ უნდა მიაქციოთ დიდი ყურადღება აქ შევსებულ წერტილებს.

გადადით ინტერვალის მეთოდზე:

\ [\ მარცხნივ \ (\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (2x-13 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (12x-9 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (15x + 33 \ მარჯვნივ) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \ მარჯვნივ. \]

გადავიდეთ განტოლებაზე:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (2x-13 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (12x-9 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (15x + 33 \ მარჯვნივ) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x ) _ (1)) = 6,5; \\ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ჩვენ გავითვალისწინებთ დამატებით მოთხოვნას:

ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა მიღებულ ფესვს რიცხვით ხაზზე:

თუ წერტილი ერთდროულად არის პუნქციული და დაჩრდილული, იგი ითვლება პუნქციურ წერტილად.

ისევ და ისევ, ორი წერტილი ერთმანეთს „ეფარება“ – ეს ნორმალურია, ასე იქნება ყოველთვის. მნიშვნელოვანია მხოლოდ იმის გაგება, რომ წერტილი, რომელიც მონიშნულია როგორც პუნქცია, ასევე შევსებული, რეალურად პუნქციაა. იმათ. „გაჟონვა“ უფრო ძლიერი მოქმედებაა, ვიდრე „დახატვა“.

ეს აბსოლიტურად ლოგიკურია, რადგან გაჟღერებით ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილებს, რომლებიც გავლენას ახდენენ ფუნქციის ნიშანზე, მაგრამ თავად არ მონაწილეობენ პასუხში. და თუ რაღაც მომენტში რიცხვი შეწყვეტს ჩვენთან შესაბამისობას (მაგალითად, ის არ შედის ODZ-ში), ჩვენ მას ვშლით განხილვიდან პრობლემის ბოლომდე.

საერთოდ, შეწყვიტე ფილოსოფია. ჩვენ ვათავსებთ ნიშნებს და ვხატავთ იმ ინტერვალებს, რომლებიც აღინიშნება მინუს ნიშნით:

უპასუხე. $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; -2,2 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხენა [0,75; 6,5 \ მარჯვნივ] $.

და კიდევ ერთხელ მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო ამ განტოლებაზე:

\ [\ მარცხნივ (2x-13 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (12x-9 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (15x + 33 \ მარჯვნივ) = 0 \]

კიდევ ერთხელ: არასოდეს გახსენით ფრჩხილები მსგავს განტოლებებში! თქვენ მხოლოდ გაართულებთ საკუთარ თავს. დაიმახსოვრეთ: პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულია. შესაბამისად, ეს განტოლება უბრალოდ „იშლება“ რამდენიმე მცირედ, რაც წინა ამოცანაში გადავჭრით.

ფესვების სიმრავლის გათვალისწინებით

წინა პრობლემებიდან ადვილი მისახვედრია, რომ ყველაზე რთული სწორედ სუსტი უტოლობებია, რადგან მათში უნდა თვალყური ადევნოთ შევსებულ წერტილებს.

მაგრამ მსოფლიოში არის კიდევ უფრო დიდი ბოროტება - ეს არის მრავალი ფესვი უთანასწორობაში. აქ თქვენ უკვე უნდა მიჰყვეთ და არა იქ შევსებულ წერტილებს - აქ უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება მოულოდნელად არ შეიცვალოს იმავე წერტილებში გავლისას.

ამ გაკვეთილზე მსგავსი არაფერი განგვიხილავს (თუმცა მსგავს პრობლემას ხშირად აწყდებოდა ინტერვალის მეთოდში). ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებას:

განმარტება. განტოლების ფესვი $ ((\ მარცხენა (x-a \ მარჯვნივ)) ^ (n)) = 0 $ უდრის $ x = a $ და ეწოდება $ n $ th სიმრავლის ფესვი.

სინამდვილეში, ჩვენ განსაკუთრებით არ გვაინტერესებს სიმრავლის ზუსტი მნიშვნელობა. ერთადერთი, რაც მნიშვნელოვანია, არის თუ არა ეს რიცხვი $ n $ ლუწი თუ კენტი. იმიტომ რომ:

1. თუ $ x = a $ არის ლუწი სიმრავლის ფესვი, მაშინ ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება მასში გავლისას;
2. და პირიქით, თუ $ x = a $ არის კენტი სიმრავლის ფესვი, მაშინ ფუნქციის ნიშანი შეიცვლება.

ამ გაკვეთილზე განხილული ყველა წინა ამოცანა კენტი სიმრავლის ფესვის განსაკუთრებული შემთხვევაა: ყველგან სიმრავლე ერთის ტოლია.

და შემდგომ. სანამ პრობლემების გადაჭრას დავიწყებთ, მსურს თქვენი ყურადღება გავამახვილო ერთ დახვეწილობაზე, რომელიც აშკარად მოეჩვენება გამოცდილ სტუდენტს, მაგრამ ბევრ დამწყებს უბიძგებს სისულელეში. კერძოდ:

$ n $ სიმრავლის ფესვი წარმოიქმნება მხოლოდ მაშინ, როდესაც მთელი გამოხატულება ამაღლებულია ამ ხარისხზე: $ ((\ მარცხენა (xa \ მარჯვნივ)) ^ (n)) $, და არა $ \ მარცხენა (((x) ^ (n) )) - a \ მარჯვენა) $.

კიდევ ერთხელ: ფრჩხილი $ ((\ მარცხნივ (xa \ მარჯვნივ)) ^ (n)) $ გვაძლევს $ x = a $ სიმრავლის $ n $ ფესვს, მაგრამ ფრჩხილი $ \ მარცხენა (((x) ^ ( n)) -a \ მარჯვენა) $ ან, როგორც ხშირად ხდება, $ (a - ((x) ^ (n))) $ გვაძლევს ფესვს (ან ორ ფესვს, თუ $ n $ ლუწია) პირველი სიმრავლე, არ აქვს მნიშვნელობა რა უდრის $ n $-ს.

შეადარეთ:

\ [((\ მარცხნივ (x-3 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x = 3 \ მარცხნივ (5k \ მარჯვნივ) \]

აქ ყველაფერი ნათელია: მთელი ფრჩხილი მეხუთე სიმძლავრისკენ იყო აყვანილი, ამიტომ გამომავალზე მივიღეთ მეხუთე სიმძლავრის ფესვი. Და ახლა:

\ [\ მარცხნივ (((x) ^ (2)) - 4 \ მარჯვნივ) = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) ^ (2)) = 4 \ მარჯვენა ისარი x = \ pm 2 \]

ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი, მაგრამ ორივეს აქვს პირველი სიმრავლე. ან აი სხვა:

\ [\ მარცხნივ (((x) ^ (10)) - 1024 \ მარჯვნივ) = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) ^ (10)) = 1024 \ მარჯვენა ისარი x = \ pm 2 \]

და მეათე ხარისხში არ აგერიოთ. მთავარი ის არის, რომ 10 არის ლუწი რიცხვი, ამიტომ გამოსავალზე გვაქვს ორი ფესვი და ორივეს ისევ აქვს პირველი სიმრავლე.

ზოგადად, ფრთხილად იყავით: სიმრავლე ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ხარისხი ეხება მთელ ფრჩხილს და არა მხოლოდ ცვლადს.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (((x) ^ (2)) ((\ მარცხნივ (6-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) \ მარცხნივ (x + 4 \ მარჯვნივ)) (((\ მარცხნივ (x + 7 \ მარჯვნივ)) ^ (5))) \ ge 0 \]

გამოსავალი. შევეცადოთ მისი გადაჭრა ალტერნატიული გზით - კონკრეტულიდან ნაწარმოებზე გადასვლის გზით:

\ [\ მარცხნივ \ (\ დასაწყისი (გასწორება) & ((x) ^ (2)) ((\ მარცხნივ (6-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) \ მარცხნივ (x + 4 \ მარჯვნივ) \ cdot ( (\ მარცხნივ (x + 7 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ მარცხნივ (x + 7 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ დასასრული (გასწორება ) \ მარჯვენა. \]

პირველ უტოლობასთან გვაქვს საქმე ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((x) ^ (2)) ((\ მარცხნივ (6-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) \ მარცხნივ (x + 4 \ მარჯვნივ) \ cdot ((\ მარცხნივ ( x + 7 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x = 0 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ); \\ & ((\ მარცხენა (6-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x = 6 \ მარცხნივ (3k \ მარჯვნივ); \\ & x + 4 = 0 \ მარჯვენა ისარი x = -4; \\ & ((\ მარცხნივ (x + 7 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x = -7 \ მარცხნივ (5k \ მარჯვნივ). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

დამატებით ვხსნით მეორე უტოლობას. ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ, მაგრამ იმისათვის, რომ რეცენზენტებმა გამოსავალში ბრალი არ აღმოაჩინონ, სჯობს ისევ მოაგვარონ:

\ [((\ მარცხნივ (x + 7 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) \ ne 0 \ მარჯვენა ისარი x \ ne -7 \]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო უტოლობაში არ არის სიმრავლე. მართლაც: რა განსხვავებაა რამდენჯერ გადავკვეთოთ $ x = -7 $ წერტილი რიცხვით წრფეზე? ერთხელ მაინც, ხუთი მაინც - შედეგი იგივე იქნება: პუნქციური წერტილი.

მოდი აღვნიშნოთ ყველაფერი, რაც მივიღეთ რიცხვით ხაზზე:

როგორც ვთქვი, წერტილი $ x = -7 $ საბოლოოდ იქნება პუნქცია. სიმრავლეები დალაგებულია უტოლობის ამოხსნის საფუძველზე ინტერვალების მეთოდით.

რჩება ნიშნების განთავსება:

ვინაიდან წერტილი $ x = 0 $ არის ლუწი სიმრავლის ფესვი, ნიშანი არ იცვლება მასში გავლისას. დანარჩენ პუნქტებს აქვთ უცნაური სიმრავლე და მათთან ყველაფერი მარტივია.

უპასუხე. $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; -7 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხენა [-4; 6 \ მარჯვნივ] $

კიდევ ერთხელ შენიშვნა $ x = 0 $. თანაბარი სიმრავლის გამო წარმოიქმნება საინტერესო ეფექტი: მისგან მარცხნივ ყველაფერი დახატულია, მარჯვნივაც და თავად წერტილი მთლიანად დახატულია.

შედეგად, მას არ სჭირდება იზოლირება პასუხის ჩაწერისას. იმათ. არ არის საჭირო $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ მარცხენა [0; 6 \ right] $ (თუმცა ფორმალურად ეს პასუხი ასევე სწორი იქნება). ამის ნაცვლად, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ $ x \ in \ მარცხენა [-4; 6 \ მარჯვნივ] $.

ასეთი ეფექტები შესაძლებელია მხოლოდ თუნდაც სიმრავლის ფესვებისთვის. შემდეგ ამოცანაში კი ამ ეფექტის საპირისპირო „გამოვლინებას“ შევხვდებით. მზადაა?

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (((\ მარცხნივ (x-3 \ მარჯვნივ)) ^ (4)) \ მარცხნივ (x-4 \ მარჯვნივ)) (((\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) \ მარცხნივ (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ მარჯვნივ)) \ ge 0 \]

გამოსავალი. ამჯერად სტანდარტული სქემით წავალთ. დააყენეთ მრიცხველი ნულზე:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (x-3 \ მარჯვნივ)) ^ (4)) \ მარცხნივ (x-4 \ მარჯვნივ) = 0; \\ & ((\ მარცხენა (x-3 \ მარჯვნივ)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = 3 \ მარცხნივ (4k \ მარჯვნივ); \\ & x-4 = 0 \ მარჯვენა ისარი ((x) _ (2)) = 4. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

და მნიშვნელი:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) \ მარცხნივ (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ მარჯვნივ) = 0; \\ & ((\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x_ (1) ^ (*) = 1 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ვინაიდან ჩვენ ვხსნით $ f \ მარცხნივ (x \ მარჯვნივ) \ ge 0 $ ფორმის სუსტ უტოლობას, ფესვები მნიშვნელიდან (რომლებიც ვარსკვლავით არის) პუნქცია იქნება და მრიცხველიდან ისინი შეივსება.

ჩვენ ვათავსებთ ნიშანს და ვაყენებთ უბნებს, რომლებიც მონიშნულია "პლუს"-ით:

წერტილი $ x = 3 $ იზოლირებულია. ეს პასუხის ნაწილია

სანამ საბოლოო პასუხს ჩაწერთ, ყურადღებით დააკვირდით სურათს:

1. წერტილი $ x = 1 $ აქვს ლუწი სიმრავლე, მაგრამ თავად არის პუნქცია. ამიტომ, ის უნდა იყოს იზოლირებული პასუხში: თქვენ უნდა დაწეროთ $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ მარცხენა (1; 2 \ მარჯვენა) $, და არა $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; 2 \ მარჯვნივ) $.
2. წერტილი $ x = 3 $ ასევე აქვს ლუწი სიმრავლე და ივსება ერთდროულად. ნიშნების განლაგება იმაზე მეტყველებს, რომ წერტილი თავად გვერგება, მაგრამ ნაბიჯი მარცხნივ და მარჯვნივ - და ჩვენ აღმოვჩნდებით ისეთ მხარეში, რომელიც ნამდვილად არ გვიწყობს. ასეთ წერტილებს უწოდებენ იზოლირებულს და იწერება როგორც $ x \ in \ მარცხენა \ (3 \ მარჯვენა \) $.

ყველა მიღებულ ნაწილს ვაერთებთ საერთო ნაკრებში და ვწერთ პასუხს.

პასუხი: $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; 1 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხნივ (1; 2 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხნივ \ (3 \ მარჯვნივ \) \ bigcup \ მარცხნივ [4; 5 \ მარჯვნივ) $

განმარტება. უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს იპოვნეთ მისი მრავალი გამოსავალიან დაამტკიცეთ, რომ ეს ნაკრები ცარიელია.

როგორც ჩანს: რა შეიძლება იყოს აქ გაუგებარი? დიახ, საქმე იმაშია, რომ კომპლექტების დაზუსტება შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. მოდით, კიდევ ერთხელ დავწეროთ პასუხი ბოლო პრობლემაზე:

ჩვენ სიტყვასიტყვით ვკითხულობთ იმას, რაც წერია. ცვლადი "x" ეკუთვნის გარკვეულ სიმრავლეს, რომელიც მიიღება ("U" ნიშნის) ოთხი ცალკეული სიმრავლის გაერთიანებით:

• $ \ მარცხენა (- \ infty; 1 \ right) $ ინტერვალი, რაც სიტყვასიტყვით ნიშნავს "ყველა რიცხვს ერთზე ნაკლები, მაგრამ არა თავად ერთი";
• $ \ მარცხნივ (1; 2 \ მარჯვნივ) $ ინტერვალი, ე.ი. "ყველა რიცხვი 1-დან 2-მდე დიაპაზონში, მაგრამ არა თავად რიცხვები 1 და 2";
• ნაკრები $ \ მარცხენა \ (3 \ მარჯვენა \) $, რომელიც შედგება ერთი რიცხვისგან - სამი;
• ინტერვალი $ \ მარცხენა [4; 5 \ მარჯვნივ) $, რომელიც შეიცავს ყველა რიცხვს 4-დან 5-მდე დიაპაზონში, ისევე როგორც თავად ოთხს, მაგრამ არა ხუთს.

მესამე პუნქტი აქ არის საინტერესო. ინტერვალებისგან განსხვავებით, რომლებიც განსაზღვრავენ რიცხვთა უსასრულო სიმრავლეს და მხოლოდ ამ სიმრავლეების საზღვრებს აღნიშნავენ, სიმრავლე $ \ მარცხენა \ (3 \ მარჯვნივ \) $ განსაზღვრავს ზუსტად ერთ რიცხვს ჩამოთვლით.

იმის გასაგებად, რომ ჩვენ უბრალოდ ჩამოვთვლით კომპლექტში შემავალ კონკრეტულ რიცხვებს (და არ ვადგენთ საზღვრებს ან სხვა რამეს), გამოიყენება ხვეული ბრეკეტები. მაგალითად, აღნიშვნა $ \ მარცხენა \ (1; 2 \ მარჯვენა \) $ ნიშნავს ზუსტად "კომპლექტს, რომელიც შედგება ორი რიცხვისგან: 1 და 2", მაგრამ არა სეგმენტი 1-დან 2-მდე. არავითარ შემთხვევაში არ უნდა აურიოთ ეს ცნებები. .

სიმრავლეების დამატების წესი

ისე, დღევანდელი გაკვეთილის დასასრულს, პატარა კალა პაველ ბერდოვისგან. :)

ყურადღებიანმა მოსწავლეებმა ალბათ უკვე დაუსვეს კითხვა: რა მოხდება, თუ მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფესვები აღმოჩნდება? ასე რომ, შემდეგი წესი მუშაობს:

ემატება ერთი და იგივე ფესვების სიმრავლე. Ყოველთვის არის. მაშინაც კი, თუ ეს ფესვი გვხვდება როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

ზოგჯერ სჯობს გადაწყვიტო, ვიდრე ლაპარაკი. ამიტომ, ჩვენ გადავჭრით შემდეგ პრობლემას:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ მარცხნივ (((x) ^ (2)) - 16 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ მარჯვნივ)) \ ge 0 \]

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ჯერ არაფერი განსაკუთრებული. დააყენეთ მნიშვნელი ნულზე:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) - 16 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ მარჯვნივ) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ მარჯვენა ისარი x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ მარჯვენა ისარი x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ნაპოვნია ორი იდენტური ფესვი: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ და $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. ორივე პირველი დასაკეცი. ამიტომ, ჩვენ ვცვლით მათ ერთი ფესვით $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, მაგრამ უკვე სიმრავლით 1 + 1 = 2.

გარდა ამისა, არსებობს ასევე იდენტური ფესვები: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ და $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. ისინი ასევე არიან პირველი სიმრავლის, ამიტომ რჩება მხოლოდ $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ სიმრავლე 1 + 1 = 2.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ორივე შემთხვევაში ჩვენ დავტოვეთ ზუსტად „პუნქციული“ ფესვი, ხოლო „შევსებული“ განიხილება. იმიტომ, რომ ჯერ კიდევ გაკვეთილის დასაწყისში შევთანხმდით: თუ პუნქტი პუნქციაც არის და მოხატული, მაშინ მაინც პუნქციად მიგვაჩნია.

შედეგად, ჩვენ გვაქვს ოთხი ფესვი და ყველა ამოღებულია:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ჩვენ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით ხაზზე, სიმრავლის გათვალისწინებით:

ჩვენ ვათავსებთ ნიშნებს და ვხატავთ ჩვენთვის საინტერესო უბნებს:

ყველაფერი. არ არის იზოლირებული წერტილები და სხვა გარყვნილები. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

უპასუხე. $ x \ in \ მარცხენა (- \ infty; -7 \ მარჯვენა) \ bigcup \ მარცხენა (4; + \ infty \ მარჯვნივ) $.

გამრავლების წესი

ზოგჯერ კიდევ უფრო უსიამოვნო ვითარება ხდება: განტოლება მრავალი ფესვით, თავისთავად ამაღლებულია გარკვეულ ძალამდე. ამ შემთხვევაში, ყველა ორიგინალური ფესვის სიმრავლე იცვლება.

ეს იშვიათია, რის გამოც სტუდენტების უმეტესობას მსგავსი პრობლემების გადაჭრის გამოცდილება არ აქვს. და წესი ასეთია:

როდესაც განტოლება გაიზარდა $ n $ ხარისხამდე, მისი ყველა ფესვის სიმრავლე ასევე იზრდება $ n $-ჯერ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაძლიერება იწვევს გამრავლებას, რომელიც გამრავლებულია იმავე სიმძლავრეზე. განვიხილოთ ეს წესი მაგალითით:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (x ((\ მარცხნივ (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) ((\ მარცხნივ (x-4 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) ) (((\ მარცხნივ (2-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) ((\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) ^ (2))) \ le 0 \]

გამოსავალი. დააყენეთ მრიცხველი ნულზე:

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. პირველი ფაქტორით ყველაფერი ნათელია: $ x = 0 $. მაგრამ შემდეგ იწყება პრობლემები:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & (x) _ (2)) = 3 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ მარცხნივ (4k \ მარჯვნივ) \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

როგორც ხედავთ, განტოლებას $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ აქვს მეორე სიმრავლის ერთი ფესვი: $ x = 3 $. მაშინ მთელი განტოლება კვადრატშია. მაშასადამე, ფესვის სიმრავლე იქნება $ 2 \ cdot 2 = 4 $, რაც საბოლოოდ ჩამოვწერეთ.

\ [((\ მარცხნივ (x-4 \ მარჯვნივ)) ^ (5)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x = 4 \ მარცხნივ (5k \ მარჯვნივ) \]

მნიშვნელთანაც არ არის პრობლემები:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (2-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) ((\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ მარცხნივ (2-x \ მარჯვნივ)) ^ (3)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x_ (1) ^ (*) = 2 \ მარცხნივ (3k \ მარჯვნივ); \\ & ((\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) ^ (2)) = 0 \ მარჯვენა ისარი x_ (2) ^ (*) = 1 \ მარცხნივ (2k \ მარჯვნივ). \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

ჯამში მივიღეთ ხუთი ქულა: ორი პუნქცია და სამი შევსებული. მრიცხველსა და მნიშვნელში არ არის დამთხვევა ფესვები, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით წრფეზე:

ჩვენ ვაწყობთ ნიშნებს სიმრავლის გათვალისწინებით და ვხატავთ ჩვენთვის საინტერესო ინტერვალებს:

ისევ ერთი იზოლირებული წერტილი და ერთი პუნქცია

თანაბარი სიმრავლის ფესვების გამო, ჩვენ კვლავ მივიღეთ რამდენიმე "არასტანდარტული" ელემენტი. ეს არის $ x \ in \ მარცხნივ [0; 1 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხენა (1; 2 \ მარჯვნივ) $, არა $ x \ \ მარცხნივ [0; 2 \ მარჯვნივ) $, და ასევე იზოლირებული წერტილი $ x \ in \ მარცხნივ \ (3 \ მარჯვნივ \) $.

უპასუხე. $ x \ in \ მარცხენა [0; 1 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხნივ (1; 2 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხნივ \ (3 \ მარჯვნივ \) \ bigcup \ მარცხენა [4; + \ infty \ მარჯვნივ) $

როგორც ხედავთ, ყველაფერი არც ისე რთულია. მთავარია ყურადღება. ამ გაკვეთილის ბოლო ნაწილი ფოკუსირებულია გარდაქმნებზე - სწორედ ის, რაც თავიდანვე განვიხილეთ.

წინასწარი კონვერტაციები

უთანასწორობა, რომელსაც ჩვენ განვიხილავთ ამ ნაწილში, არ არის რთული. თუმცა, წინა ამოცანებისგან განსხვავებით, აქ მოგიწევთ რაციონალური წილადების თეორიიდან უნარების გამოყენება - ფაქტორიზაცია და საერთო მნიშვნელამდე შემცირება.

ეს საკითხი დეტალურად განვიხილეთ დღევანდელი გაკვეთილის დასაწყისშივე. თუ არ ხართ დარწმუნებული, რომ გესმით, რაზეა საუბარი, გირჩევთ, დაბრუნდეთ და გაიმეოროთ. იმის გამო, რომ აზრი არ აქვს უტოლობების ამოხსნის მეთოდების შეკუმშვას, თუ წილადების ტრანსფორმაციაში „ცურავ“.

საშინაო დავალებაში, სხვათა შორის, ასევე ბევრი მსგავსი დავალება იქნება. ისინი მოთავსებულია ცალკეულ ქვეგანყოფილებაში. და იქ ნახავთ ძალიან არატრივიალურ მაგალითებს. მაგრამ ეს იქნება საშინაო დავალებაში და ახლა გავაანალიზოთ რამდენიმე ასეთი უთანასწორობა.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (x) (x-1) \ le \ ფრაკი (x-2) (x) \]

გამოსავალი. გადაიტანეთ ყველაფერი მარცხნივ:

\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

მივყავართ საერთო მნიშვნელთან, ვხსნით ფრჩხილებს, ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს მრიცხველში:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ ფრაკი (x \ cdot x) (\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ cdot x) - \ ფრაკი (\ მარცხნივ (x-2 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) (x \ cdot \ მარცხენა (x-1 \ მარჯვნივ)) \ le 0; \\ & \ ფრაკი (((x) ^ (2)) - \ მარცხნივ (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ მარჯვნივ)) (x \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) \ le 0; \\ & \ ფრაკი (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) \ le 0; \\ & \ ფრაკი (3x-2) (x \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ)) \ le 0. \\\ ბოლოს (გასწორება) \]

ახლა გვაქვს კლასიკური წილად-რაციონალური უტოლობა, რომლის ამოხსნაც აღარ არის რთული. მე ვთავაზობ მის გადაჭრას ალტერნატიული მეთოდით - ინტერვალების მეთოდით:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (3x-2 \ მარჯვნივ) \ cdot x \ cdot \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ ფრაკი (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

არ დაივიწყოთ შეზღუდვა, რომელიც მოვიდა მნიშვნელიდან:

ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა რიცხვს და შეზღუდვას ნომრის ხაზზე:

ყველა ფესვს აქვს პირველი სიმრავლე. Არაა პრობლემა. ჩვენ უბრალოდ ვათავსებთ ნიშანს და ვხატავთ საჭირო უბნებს:

ეს ყველაფერი. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

უპასუხე. $ x \ in \ მარცხენა (- \ infty; 0 \ მარჯვენა) \ bigcup \ მარცხენა [(2) / (3) \ ;; 1 \ მარჯვნივ) $.

რა თქმა უნდა, ეს მხოლოდ მაგალითი იყო. ამიტომ, ახლა უფრო სერიოზულად განვიხილავთ პრობლემას. სხვათა შორის, ამ დავალების დონე საკმაოდ შეესაბამება ამ თემაზე დამოუკიდებელ და საკონტროლო მუშაობას მე-8 კლასში.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\ [\ ფრაკი (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ ფრაკი (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

გამოსავალი. გადაიტანეთ ყველაფერი მარცხნივ:

\ [\ ფრაკი (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ ფრაკი (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

სანამ ორივე წილადს საერთო მნიშვნელზე შევამცირებთ, ამ მნიშვნელებს ვაფასებთ. თუ იგივე ფრჩხილები გამოვა? პირველი მნიშვნელით ადვილია:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ) \]

მეორე ცოტა უფრო რთულია. თავისუფლად ჩადეთ მუდმივი ფაქტორი იმ ფრჩხილებში, სადაც წილადი ჩანს. დაიმახსოვრეთ: თავდაპირველ პოლინომს ჰქონდა მთელი რიცხვითი კოეფიციენტები, ამიტომ დიდია ალბათობა იმისა, რომ ფაქტორიზაციით ასევე იქნება მთელი რიცხვითი კოეფიციენტები (სინამდვილეში, ყოველთვის ასე იქნება, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც დისკრიმინანტი ირაციონალურია).

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x- \ ფრაკ (2) (3) \ მარჯვნივ) = \\ & = \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (3x-2 \ მარჯვნივ) \ ბოლოს (გასწორება) \]

როგორც ხედავთ, არსებობს საერთო ფრჩხილები: $ \ მარცხენა (x-1 \ მარჯვნივ) $. ვუბრუნდებით უტოლობას და ორივე წილადს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ ფრაკი (1) (\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ)) - \ ფრაკი (1) (\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხენა (3x-2 \ მარჯვნივ)) \ ge 0; \\ & \ ფრაკი (1 \ cdot \ მარცხნივ (3x-2 \ მარჯვნივ) -1 \ cdot \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ)) (\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ ) \ მარცხნივ (3x-2 \ მარჯვნივ)) \ ge 0; \\ & \ ფრაკი (3x-2-x-9) (\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ) \ მარცხენა (3x-2 \ მარჯვნივ)) \ ge 0; \\ & \ ფრაკი (2x-11) (\ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ) \ მარცხენა (3x-2 \ მარჯვნივ)) \ ge 0; \\ \ ბოლოს (გასწორება) \]

დააყენეთ მნიშვნელი ნულზე:

\ [\ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (x-1 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (x + 9 \ მარჯვნივ) \ მარცხნივ (3x-2 \ მარჯვნივ) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ ფრაკი (2) (3) \\ \ დასასრული ( გასწორება) \]

არავითარი სიმრავლე ან დამთხვევა ფესვები. ჩვენ ვნიშნავთ ოთხ რიცხვს სწორ ხაზზე:

ჩვენ ვათავსებთ ნიშნებს:

ჩვენ ვწერთ პასუხს.

პასუხი: $ x \ in \ მარცხნივ (- \ infty; -9 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხენა ((2) / (3) \ ;; 1 \ მარჯვნივ) \ bigcup \ მარცხენა [5,5; + \ infty \ მარჯვენა) $.

ყველაფერი! ასე, შემდეგ წავიკითხე ეს სტრიქონი. :)

სტატიაში განვიხილავთ უტოლობების ამოხსნა... ჩვენ გეტყვით მის შესახებ ხელმისაწვდომი გზით როგორ ავაშენოთ უტოლობების ამოხსნა, ნათელი მაგალითებით!

სანამ უტოლობათა ამოხსნას განვიხილავთ მაგალითების გამოყენებით, მოდით გავიგოთ ძირითადი ცნებები.

ზოგადი ინფორმაცია უთანასწორობის შესახებ

უთანასწორობაეწოდება გამოთქმა, რომელშიც ფუნქციები დაკავშირებულია მიმართების ნიშნებით>,. უტოლობები არის როგორც რიცხვითი, ასევე ანბანური.
ურთიერთობის ორი ნიშნით უტოლობას ორმაგს უწოდებენ, სამთან - სამმაგს და ა.შ. Მაგალითად:
a (x)> b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
a (x) უტოლობები, რომლებიც შეიცავს ნიშანს> ან არ არის მკაცრი.
უთანასწორობის ამოხსნაარის ცვლილების ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ეს უთანასწორობა მართალია.
"უტოლობის ამოხსნა„ნიშნავს, რომ აუცილებელია მისი ყველა გადაწყვეტის მრავალი მოძებნა. არსებობს სხვადასხვა უტოლობების ამოხსნის მეთოდები... ამისთვის უთანასწორობის გადაწყვეტილებებიგამოიყენეთ რიცხვითი ხაზი, რომელიც უსასრულოა. Მაგალითად, უთანასწორობის ამოხსნა x> 3 არის ინტერვალი 3-დან +-მდე და რიცხვი 3 არ შედის ამ ინტერვალში, ამიტომ სწორი ხაზის წერტილი აღინიშნება ცარიელი წრით, რადგან უთანასწორობა მკაცრია.
+
პასუხი იქნება: x (3; +).
მნიშვნელობა x = 3 არ შედის ამოხსნის კომპლექტში, ამიტომ ფრჩხილები მრგვალია. უსასრულობის ნიშანი ყოველთვის გარშემორტყმულია ფრჩხილებით. ნიშანი ნიშნავს "კუთვნილებას".
განვიხილოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უტოლობები სხვა ხელმოწერილი მაგალითის გამოყენებით:
x 2
-+
მნიშვნელობა x = 2 შედის ამონახსნთა სიმრავლეში, ამიტომ ფრჩხილი არის კვადრატი და ხაზის წერტილი აღინიშნება შევსებული წრით.
პასუხი იქნება: x. გადაწყვეტილების ნაკრების გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.

ორმაგი უტოლობა

როდესაც ორი უტოლობა ერთმანეთთან არის დაკავშირებული სიტყვით და, ან, შემდეგ იქმნება ორმაგი უთანასწორობა... ორმაგი უთანასწორობა მოსწონს
-3 და 2x + 5 ≤ 7
დაურეკა დაკავშირებულიარადგან იყენებს და... წერა -3 ორმაგი უტოლობების ამოხსნა შესაძლებელია უტოლობათა შეკრებისა და გამრავლების პრინციპების გამოყენებით.

მაგალითი 2ამოხსნა -3 გამოსავალიᲩვენ გვაქვს

ამონახსნების სიმრავლე (x | x ≤ -1 ან x> 3). ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ ამოხსნა ინტერვალის აღნიშვნისა და სიმბოლოს გამოყენებით გაერთიანებებიან ორივე სიმრავლის ჩართვა: (-∞ -1] (3, ∞) ამოხსნის სიმრავლის გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.

შესამოწმებლად დახაზეთ y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 და y 3 = 1. გაითვალისწინეთ, რომ (x | x ≤ -1 ან x> 3), y 1 ≤ y 2 ან y 1> y 3.

უტოლობები აბსოლუტური მნიშვნელობით (მოდული)

უტოლობები ზოგჯერ შეიცავს მოდულებს. მათი გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი თვისებები.
a> 0-სთვის და ალგებრული გამოსახულებისთვის x:
| x | | x | > a უდრის x ან x> a.
მსგავსი განცხადებები | x |-ისთვის ≤ a და | x | ≥ ა.

Მაგალითად,
| x | | y | ≥ 1 უდრის y ≤ -1-ს ან y ≥ 1;
და | 2x + 3 | ≤ 4 უდრის -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

მაგალითი 4ამოხსენით თითოეული შემდეგი უტოლობა. დახაზეთ გადაწყვეტილებების ნაკრები.
ა) | 3x + 2 | ბ) |5 - 2x | ≥ 1

გამოსავალი
ა) | 3x + 2 |