7.5. Princip superpozicije elektrostatičkih polja

7.5.2 Princip superpozicije potencijala

Princip superpozicije za potencijal omogućava vam izračunavanje potencijala polja formiranog od nekoliko naelektrisanih objekata.

Potencijal φ rezultujućeg elektrostatičkog polja formiranog od nekoliko naboja u datoj tački u prostoru izračunava se kao zbir potencijala polja koje formira svaki od naboja posebno:

φ = φ 1 + φ 2 + … + φ n,

gdje je φ 1 potencijal polja formiranog od prvog naboja; φ 2 - potencijal polja formiranog od drugog naelektrisanja; ...; φ n je potencijal polja formiranog n-tim nabojem.

Da biste izračunali potencijal polja koji stvara nekoliko naboja Q 1, Q 2, ..., Q n u datoj tački prostora, koristite sljedeći algoritam:

1) zabilježiti potencijale polja koje formira svako od naboja Q 1, Q 2, ..., Q n (posebno) uzimajući u obzir predznak naelektrisanja:

φ 1, φ 2, …, φ n,

gdje je φ 1 potencijal polja formiranog od prvog naboja; φ 2 - potencijal polja formiranog od drugog naelektrisanja; ...; φ n je potencijal polja formiranog n-tim nabojem;

2) izračunajte potencijal rezultujućeg polja kao algebarski zbir potencijala koji su gore napisani:

φ = φ 1 + φ 2 + … + φ n.

Primer 12. Dva tačkasta naelektrisanja q 1 = 5 µC i q 2 = −2 µC nalaze se u tačkama (5; 0) i (0; 2) pravougaonog koordinatnog sistema xOy, gde su koordinate x, y izražene u metrima. Izračunajte potencijal rezultujućeg polja u početku koordinatnog sistema ako je dielektrična konstanta medija jednaka jedinici.

Rješenje . Slika prikazuje koordinatni sistem i naboje koji se nalaze u tačkama sa datim koordinatama. Potencijal rezultujućeg elektrostatičkog polja u početku koordinatnog sistema je algebarski zbir

φ = φ 1 + φ 2,

gdje je φ 1 potencijal polja formiranog od prvog naboja; φ 2 je potencijal polja formiranog od drugog naboja.

Izračunajmo potencijal rezultujućeg polja na početku koordinatnog sistema koristeći algoritam:

1) potencijali polja koje stvara svaki od naboja posebno određuju se sljedećim formulama:

φ 1 = k q 1 r 1 ,

gdje je k koeficijent proporcionalnosti, k = 9,0 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / Cl 2; q 1 - naelektrisanje koje se nalazi u tački sa koordinatama (5; 0); r 1 - rastojanje od naelektrisanja q 1 do početka koordinatnog sistema, r 1 = 5 m;

φ 2 = k q 2 r 2,

gdje je q 2 naboj (uzimajući u obzir predznak) koji se nalazi u tački sa koordinatama (0; 2); r 2 - udaljenost od naboja q 2 do početka koordinatnog sistema, r 2 = 2 m;

φ = φ 1 + φ 2 = φ 1 − | φ 2 | = k q 1 r 1 − k | q 2 | r 2.

Izračun daje željenu potencijalnu vrijednost:

φ = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 − 6 5 − 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 2 = 0 V.

U početku, potencijal rezultujućeg polja je nula.

Primjer 13. Na tri vrha kvadrata sa stranicom od 60 cm nalaze se pozitivni naboji od 0,30 µC svaki. Pronađite potencijal rezultujućeg polja na četvrtom vrhu kvadrata. Dielektrična konstanta sredine u kojoj se nalazi sistem naelektrisanja jednaka je jedinici.

Rješenje . Na slici je prikazan kvadrat, na čija se tri vrha nalaze identični pozitivni naboji. Potencijal rezultujućeg polja treba odrediti na vrhu A.

Izračunajmo potencijal rezultujućeg polja na četvrtom vrhu kvadrata koristeći algoritam:

1) potencijali polja formiranih u tački A naelektrisanjem q 1, q 2 i q 3 odvojeno određuju se sledećim formulama:

• polje formirano naelektrisanjem q 1, -

φ 1 = k q 1 r 1 = k q a ,

gdje je k koeficijent proporcionalnosti, k = 9,0 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / Cl 2; q 1 = q ; r 1 - rastojanje od q 1 do tačke A, r 1 = a;

• polje formirano naelektrisanjem q 2 -

φ 2 = k q 2 r 2 = k q a 2,

gdje je q 2 = q; r 2 - rastojanje od q 2 do tačke A, r 2 = a 2;

• polje formirano naelektrisanjem q 3, -

φ 3 = k q 3 r 3 = k q a,

gdje je q 3 = q; r 3 - rastojanje od q 3 do tačke A, r 3 = a;

2) potencijal rezultujućeg polja je algebarski zbir potencijala koji su gore napisani

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 = k q a + k q a 2 + k q a = k q a (2 + 1 2) = k q a ⋅ 4 + 2 2.

Izračunajmo:

φ = 9,0 ⋅ 10 9 ⋅ 0,30 ⋅ 10 − 6 60 ⋅ 10 − 2 ⋅ 4 + 2 2 = 12 ⋅ 10 3 V = 12 kV.

Potencijal elektrostatičkog polja na četvrtom vrhu kvadrata je 12 kV.

Primjer 14. Dvije koncentrične sfere poluprečnika 0,25 i 0,50 m jednoliko su nabijene sa naelektrisanjem od –0,80 i 0,50 µC, respektivno. Pronađite potencijal tačke polja koja se nalazi na udaljenosti od 1,0 m od središta sfera. Sistem naplate je u vakuumu.

Rješenje . Ilustrujmo iskaz problema. Koncentrične sfere imaju zajednički centar, sfera manjeg radijusa 1 nabijena je negativnim nabojem, a sfera većeg polumjera 2 nabijena je pozitivnim nabojem.

Potencijal elektrostatičkog polja u tački M je algebarski zbir potencijala polja formiranih od prve φ 1 i druge φ 2 sfere:

φ = φ 1 + φ 2.

Izračunajmo potencijal rezultujućeg polja koristeći algoritam:

1) potencijali polja formiranih u tački M od naboja q 1 i q 2 raspoređenih po površini unutrašnje i vanjske sfere, respektivno, odvojeno su određeni sljedećim formulama:

• polje formirano naelektrisanjem q 1, -

φ 1 = k q 1 r 1 = k q 1 l,

gdje je k koeficijent proporcionalnosti, k ≈ 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 /Cl 2; q 1 - naelektrisanje raspoređeno po površini unutrašnje sfere, q 1 = −|q 1 |; r 1 - rastojanje od centra sfera do tačke M, r 1 = l;

• polje formirano naelektrisanjem q 2 -

φ 2 = k q 2 r 2 = k q 2 l,

gdje je q 2 naboj raspoređen po površini vanjske sfere; r 2 - rastojanje od centra sfere do tačke M, r 2 = r 1 = l;

2) potencijal rezultujućeg polja je algebarski zbir potencijala koji su gore napisani

φ = φ 1 + φ 2 = k q 1 l + k q 2 l = k l (q 1 + q 2) = k l (− | q 1 | + q 2) .

Izračunajmo:

φ = 9 ⋅ 10 9 1,0 (− 0,80 + 0,50) ⋅ 10 − 6 = − 2,7 ⋅ 10 3 V = − 2,7 kV.

Potencijal rezultirajućeg elektrostatičkog polja u tački M je −2,7 kV. Rezultat ne zavisi od poluprečnika sfera.

Gaussova teorema za vektor

može se uspješno koristiti kao efikasan alat za izračunavanje jačine i potencijala električnog polja određene distribucije naboja, kada se integral s lijeve strane može pretvoriti u proizvod površine na kojoj se vrši integracija i vrijednosti vektorska komponenta normalna na površinu, odnosno kada

.

Sasvim je očigledno da je potrebno izračunati vektor ovo će biti dovoljno, prvo, kada vektor okomito na površinu. Dakle, površina integracije mora biti ekvipotencijalna površina izračunato polje. Njen oblik treba znati unaprijed. Konačno, drugo, u svim tačkama ove - ekvipotencijalne - površine, normalna komponenta na nju mora imati istu vrijednost, inače se ne može izvaditi ispod predznaka integrala i biće moguće pronaći samo srednju vrijednost na ekvipotencijalu površine. Naglašavamo da iz činjenice ekvipotencijalnosti površine, naime, iz činjenice da

to uopšte ne sledi

u tačkama na ovoj površini. Gledajući unapred, ističemo da je, na primer, površina naelektrisanog provodnika, pod uslovom da na njoj postoji ravnotežna raspodela naelektrisanja, uvek ekvipotencijalna, ali ako nije sfera, već telo složenog oblika, onda u u blizini izbočina (tačaka) jačina polja može biti za redove veličine veća nego u blizini udubljenja na površini. Zahtjev za stalnost je poseban zahtjev.

Iz navedenog proizilazi da Gaussova teorema može brzo i jednostavno dovesti do rezultata (vektora) samo u slučaju kada raspodjela naboja koja stvara polje ima visok stupanj simetrije; prema tome, poznat je oblik ekvipotencijalnih površina polja. unaprijed i postoji povjerenje da na ovim površinama. Ako se sve ovo dogodi, onda rješenje izgleda ovako:

Ostaje odabrati površinu prema simetriji raspodjele naboja i izračunati naboj unutra.

Sferna simetrija

Sa sferno simetričnom distribucijom naboja, polje koje stvara je također sferno simetrično. Vektorska (i skalarna) polja sa takvom simetrijom se takođe nazivaju centralna polja. U opštem slučaju, centralno simetrično polje se može napisati u obliku

Evo - radijus vektor počevši od centra simetrije polja r je njegov modul, radijalna komponenta jačine polja, zavisno samo od udaljenosti do njegovog centra simetrije. Potencijal takvog polja zavisi samo od i

I, pored toga, kao što slijedi iz, sa proizvoljnom normalizacijom potencijal polja ima oblik

Dakle, uslovi primjenjivosti su zadovoljeni i možemo koristiti ovu relaciju.

Uzmimo kao ekvipotencijalnu sfernu površinu nekog strujnog radijusa r, njegova površina. S obzirom na pretpostavljeni kontinuitet raspodjele naboja, koristimo izraz:

.

gdje je zapreminska gustina naboja. Opet, uzimajući u obzir sfernu simetriju distribucije naboja - zavisi samo od , kao element zapremine prirodno je uzeti beskonačno tanak sferni sloj sa unutrašnjim i spoljašnjim radijusom. Kao rezultat, dobijamo volumen takvog sloja

.

Konačno, za bilo koju sferno simetričnu raspodjelu naboja, kada , dobijamo

Nastavak proračuna zahtijeva specificiranje oblika ovisnosti gustine naboja od veličine radijus vektora.

Polje je ujednačeno po cijeloj zapremini nabijene lopte

Ravnomerna raspodela naelektrisanja po zapremini lopte poluprečnika (slika 1.41) znači da njena gustina naelektrisanja ima oblik

Rice. 1.41. Linije električnog polja jednoliko nabijene lopte

Ne treba zaboraviti da, pod uslovom, nema naboja van lopte.

Pošto se u jednoj tački gustina naelektrisanja naglo menja: granica „na levoj strani“ je različita od nule , a granica “desno” je nula , proračun će se morati provesti u dvije faze: prvo za sfernu površinu polumjera (leži unutar lopte), a zatim za sfernu površinu polumjera (prekriva loptu). U prvom slučaju

.

Shodno tome, polje

raste linearno sa povećanjem udaljenosti do centra lopte, što se jednostavno objašnjava: površina i naboj unutar nje

U drugom slučaju, integral je "odsječen odozgo" na:

Posljednji izraz uzima u obzir da je , gdje je ukupni naboj lopte. Dakle, izvan lopte, njeno polje je polje tačkastog naboja jednako ukupnom naboju lopte i postavljeno u centar ove lopte:

.

Oba izraza se mogu kombinovati u jednu formulu. Ako iskoristimo puni naboj lopte, dobijamo:

Ako umjesto ukupnog naboja kuglice kao parametar koristimo gustinu naboja, ove formule će poprimiti sljedeći oblik (slika 1.42):

Rice. 1.42. Raspodjela intenziteta električnog polja jednoliko nabijene lopte

Formule i izražavaju istu ovisnost, njihova pogodnost je određena time što su parametri specificirani: ili . Iz ovih formula se jasno vidi da je na površini lopte jačina polja kontinuirana, odnosno da nema diskontinuiteta. To je zbog činjenice da je u ovom slučaju jaz gustoće naboja na površini kuglice prve vrste konačne veličine: od do nule. Dakle, iu gornjoj i donjoj formulama iu njima postoje znaci slabih nejednakosti. U kojim slučajevima jačina polja može pretrpjeti diskontinuitet bit će jasno iz sljedećeg primjera.

Potencijal polja se može lako pronaći zamjenom, na primjer, od do i izvođenjem integracije. Dobijamo:

gdje su i integracijske konstante, koje se nalaze iz sljedećih razmatranja. Konstanta se određuje iz uslova normalizacije, na primjer, na nulu u beskonačnosti

Gdje . Konstanta se određuje iz uslova kontinuiteta potencijala na površini lopte, odnosno kada:

Imajte na umu da se zahtjev potencijalnog kontinuiteta često naziva „spajanjem“ dva rješenja na interfejsu. U ovom slučaju, ovo je interfejs između dva regiona: regiona gde postoji naelektrisanje (unutar lopte) i regiona gde ga nema (izvan lopte). Već se može primijetiti da je potencijal kontinuiran u svim slučajevima osim u jednom: takozvani „dvostruki sloj“. Zamislite površinu na čijoj je jednoj strani pozitivni naboj raspoređen sa gustinom, a na čijoj drugoj strani je negativni naboj raspoređen sa gustinom. Takva površina se naziva dvostrukim slojem; na toj površini potencijal se lomi. Takva (ravna) površina se može dobiti približavanjem dviju ploča ravnog kondenzatora na neodređeno vrijeme. Isto se može učiniti za kondenzator bilo kojeg oblika, na primjer, sferni ili cilindrični. U svim ostalim slučajevima potencijal je kontinuiran.

Zamjenom dobivenih vrijednosti integracijskih konstanti upisujemo konačni rezultat u obrazac

Sa ovom normalizacijom, potencijal u centru lopte je različit od nule i jednak je

.

Dobijeni rezultati su ilustrovani na slici 1.43 ispod.

Rice. 1.43. Jačina (1) i potencijal (2) električnog polja jednoliko nabijene lopte poluprečnika R u jedinicama snage i potencijala na njenoj površini (r = R)

Polje jednoliko nabijene sferne površine

U ovom slučaju ujednačene raspodjele naboja po sfernoj površini, kao iu prethodnom, dolazi do sferne simetrije, stoga su i ovdje primijenjene opće formule koje smo dobili gore. Međutim, s njima se mora postupati s određenim oprezom iz sljedećeg razloga. Gustoća zapreminskog naboja uključena na desnoj strani ponaša se u ovom slučaju na sljedeći zanimljiv način:

Rice. 1.44. Jačina električnog polja jednoliko nabijene kugle

Zaista, postoji samo naknada površine, odnosno na , svuda unutra, odnosno na i svuda spolja, odnosno na nema naboja. Šta volumetrijski Gustoća naboja u tačkama na površini ide u beskonačnost (+∞ u slučaju pozitivnog naboja i –∞ u slučaju negativnog naboja) može se prikazati na sljedeći način. Slika pored prikazuje dio neke površine duž kojega površno gustina naelektrisanja je raspoređena. Za određivanje vrijednosti volumetrijski gustinu naelektrisanja u određenoj tački na površini, razmotrimo cilindar (slika 1.45), čija je gornja osnova iznad površine, a donja baza ispod površine. Površina osnove cilindra je , visina je , a zapremina je . Naboj unutar cilindra, volumetrijska gustina naboja, po definiciji, jednaka je granici odnosa naboja koji se nalazi unutar određenog volumena i vrijednosti ove zapremine, budući da potonji teži nuli (sa svim rezervama u pogledu zapremine od „fizički beskonačno malog”). Dobijamo

Rice. 1.45. Gustoća površinskog naboja

Važno je da je gustina na površini beskonačna. Funkcije ove vrste (svuda osim jedne tačke - nula, iu ovoj jednoj tački - beskonačnost) pripadaju klasi takozvanih generaliziranih funkcija, nazvanih Diracove funkcije u čast fizičara Diraca, koji je takvu funkciju prvi uveo u fiziku zadovoljavaju potrebe kvantne mehanike. Ovdje nećemo detaljno proučavati i koristiti takve funkcije u proračunima. Naš cilj je pokazati da razmatranje formalno beskonačno tankih nabijenih površina dovodi do pojave (beskonačnih) diskontinuiteta u zapreminskoj gustoći naboja, što zauzvrat dovodi do beskonačnih diskontinuiteta na tako nabijenoj površini u jakosti električnog polja. Naglašavamo da potencijal polja ostaje kontinuiran.

Izlaz je jednostavan. Za sve, koristimo prvu od formula s , nalazimo da ne postoji polje posvuda unutar jednolično nabijene sferne ljuske: . Za sve vrijedi druga formula iz. Kao iu slučaju jednolično nabijene kuglice, izvan jednolično nabijene sferne ljuske, njeno polje je polje tačkastog naboja smještenog u centar ove ljuske i jednako njenom ukupnom naboju. U ovom slučaju, naravno.

Konačan rezultat je ovaj:

Na samoj sfernoj površini, jačina polja u ovom slučaju trpi diskontinuitet. Zavisnost komponente radijalnog polja o udaljenosti do centra sferne površine prikazana je na Sl. 1.46.

Rice. 1.46. Ovisnost polja o udaljenosti do centra sferne ljuske

Ovisnost potencijala o udaljenosti do centra sferne ljuske može se dobiti integracijom. Kada se normalizira na nulu u beskonačnosti, rezultat izgleda ovako:

Zavisnost je prikazana na sl. 1.47.

Rice. 1.47. Potencijal jednolično nabijene sfere

Homogena (ujednačena) distribucija naboja na beskonačno dugačkoj cilindričnoj površini (slika 1.48) ima cilindričnu, translacijsku i zrcalnu simetriju. To znači sljedeće. Kada se takva raspodjela naboja rotira oko ose cilindrične površine pod bilo kojim uglom, ona se poklapa sama sa sobom. Kada se takva raspodjela naboja pomakne (prenese) na bilo koju udaljenost duž ose simetrije, ona se također poklapa sa sobom. I, konačno, ako kroz bilo koju tačku na osi simetrije povučemo ravan okomitu na osu i odrazimo u ovoj ravni, kao u zrcalu, "gornji" dio raspodjele naboja, tada odraz "gornjeg" ” dio će se poklopiti sa “donjim” i obrnuto, odraz “donjeg” će se poklopiti sa “vrhom”. Drugim riječima, ova raspodjela naboja je invarijantna prema navedenim transformacijama. Posljedično, električno polje stvoreno ovom raspodjelom naboja mora biti nepromjenjivo (poklapati se sa samim sobom) pod naznačenim transformacijama.

Rice. 1.48. Beskonačno duga cilindrična površina

Hajde da uvedemo cilindrični koordinatni sistem: osa je usmerena duž ose simetrije, - rastojanje do ose simetrije, - azimutalni ugao, ugao rotacije oko ose simetrije, - kao i ranije, potencijal polja.

Iz svojstava simetrije proizlazi da potencijal polja ne može ovisiti ni o koordinatnoj – translacijska simetrija je narušena, niti o koordinatnoj – aksijalna (cilindrična) simetrija je narušena. Ostaje samo ovisnost o - udaljenosti do ose cilindra. ovako:

Odnosno

vektor jačine električnog polja je usmjeren duž radijalnih linija okomitih na os simetrije (slika 1.49), a njegova vrijednost ovisi samo o udaljenosti do ose. Potencijalne površine su cilindri koaksijalni s nabijenom cilindričnom površinom.

Rice. 1.49. Vektor jačine električnog polja usmjeren je duž radijalnih pravih linija

Koristeći ove okolnosti, integrirat ćemo na lijevoj strani Gaussove teoreme preko zatvorene površine cilindra polumjera baze i visine koaksijalne s nabijenom cilindričnom površinom polumjera . Protok kroz osnove cilindra je nula zbog činjenice da je na bazama i protok kroz njegovu bočnu površinu jednak proizvodu njegove površine: . Prema tome, ukupni (kroz cijelu zatvorenu površinu cilindra koji se razmatra) vektorski fluks je jednak

Na , naboj koji se nalazi unutar cilindra je jednak

gdje je linearna gustina naboja numerički jednaka naboju po jedinici dužine cilindrične površine. Prema Gaussovoj teoremi

odakle dolazimo

U unutrašnjosti cilindra, kroz čiju površinu se izračunava vektorski fluks, nema naelektrisanja, pa je polje nula. Kombinujući ova dva rezultata, konačno dobijamo (slika 1.50):

Zbog površinske prirode distribucije naboja (pogledajte detaljnije prethodni proračun) na najnabijenijoj površini, odnosno na radijalnoj komponenti polja dolazi do diskontinuiteta.

Rice. 1.50. Jačina električnog polja jednoliko nabijene cilindrične površine

Integracija (1.51) (vidi i (1.49)), zahtjev kontinuiteta potencijala na , i normalizacija dovode do sljedeće zavisnosti potencijala od udaljenosti do ose cilindrične površine:

U ovom slučaju, kada je naelektrisanje beskonačno velikog modula raspoređeno na beskonačno dug cilindar, to se odnosi na one slučajeve kada normalizacija na nulu u beskonačnosti nema smisla. Kao što se može vidjeti iz (1.52), ovisnost potencijala od udaljenosti do ose je logaritamska, normalizacija na nulu u beskonačnosti, jezikom formula (1.52), znači da , ali, tada će potencijal biti beskonačno velik u apsolutnoj vrijednosti u bilo kojoj final udaljenosti od ose nabijene površine, što nema smisla. Izbor one konačne udaljenosti od ose simetrije na kojoj je zgodno smatrati potencijal jednak nuli ne izaziva poteškoće i određen je specifičnostima problema. Na primjer, ništa vas ne sprječava da stavite , tada će potencijal svuda unutra i na najnabijenijoj površini biti nula.

Polje beskonačno jednolično napunjen avion

Neka je površinska gustina naelektrisanja . Ovu raspodjelu naboja u beskonačnoj ravni karakterizira činjenica da njen izgled ne ovisi o: a) rotaciji pod bilo kojim uglom oko bilo koje ose okomite ravni, b) pomaku kroz bilo koju udaljenost duž prave linije koja leži u ravni i bilo kojem pravcu. Konačno, c) refleksija date raspodjele naboja u ogledalu koje se poklapa sa samom ravninom ostavit će je nepromijenjenom.

Iz analize simetrije sasvim je očigledno da potencijal u bilo kojoj tački van ravni može zavisiti samo od udaljenosti od ove tačke do ravni. Usmjerimo osu kartezijanskog koordinatnog sistema okomito na ravan, a osi i pripadaju samoj ravni, tada

Štaviše, zbog zrcalne simetrije, polje „ispred“ ravnine se razlikuje od polja „iza“ ravnine samo smjer vektora. To znači da zavisnost od mora biti neparna, a zavisnost potencijala od mora biti parna.

Zbog ovih razmatranja, uzimamo zatvorenu površinu - onu za koju ćemo napisati Gaussovu teoremu - sljedećeg oblika (slika 1.51).

Rice. 1.51. Električno polje nabijene ravni

Ovo je cilindar sa bočnom površinom okomitom na ravan i sa bazama paralelnim sa ravninom. Visina cilindra, površina osnove. Uzimajući u obzir neparnost zavisnosti, zgodno je baze cilindra postaviti na istoj udaljenosti od ravnine, tada će doprinos baza protoku biti isti. Jačina polja na bazama je, prvo, okomita na njih, drugo, kousmjerena je s vanjskom normalom, i treće, ista je u svim njihovim tačkama u apsolutnoj vrijednosti

Doprinos vektorskom fluksu sa bočne površine je nula, budući da je na bočnoj površini .

Dakle, ukupni tok kroz cijelu zatvorenu cilindričnu površinu iznosi

Unutar razmatrane cilindrične površine nalazi se naboj

gdje je gustina naelektrisanja na ravni. Po Gaussovoj teoremi

dakle modul jačina polja naelektrisane ravni jednaki

Naglašavamo da rezultat očito ne ovisi o udaljenosti od ravni na kojoj se nalaze osnovice razmatranog cilindra. Iz toga slijedi da je na svakoj strani ravni električno polje koje stvara uniformno.

Koristeći prethodno uvedenu os okomitu na nabijenu ravninu, polje s obje strane ravnine može se opisati jednom formulom, pogodnom za bilo koji znak naboja u ravnini

Ovdje je jedinični vektor ose.

Integracija sa

za zavisnost od potencijala polja ravni lako je dobiti:

Potencijal u je normaliziran uvjetom . Ovdje, kao u primjeru s beskonačno dugom nabijenom cilindričnom površinom, potencijal raste s rastojanjem do beskonačnosti, tako da normalizacija na nulu u beskonačnosti nema smisla.

Linije polja nabijene ravni prikazane su na sl. 1.52 i 1.53.

Rice. 1.52. Polje pozitivno nabijene ravni

Rice. 1.53. Polje negativno nabijene ravni

Polje paralelnog pločastog kondenzatora

Odredimo jačinu polja koju stvaraju dvije beskonačne paralelne ravni nabijene jednoliko i različito. Gustine naelektrisanja na ravnima su identične po modulu i jednake, respektivno: i (idealni ravni kondenzator). Koristeći sl. 1.54 nije teško shvatiti da su u razmaku između ravnina polja koja stvaraju usmjerena u jednom smjeru, pa je unutar ukupnog polja dvostruko veće od polja svake od ravni. Izvan ravnina, polja koja stvaraju su usmjerena u suprotnim smjerovima, shodno tome, ukupno polje iz obje ravnine je nula (slika 1.55).

Rice. 1.54. Električno polje paralelnog pločastog kondenzatora

Rice. 1.55. Električno polje suprotno naelektrisanih ravni

Dodatak 6 razmatra primjer kretanja nabijene čestice u konstantnom električnom polju.

Potencijal polja nabijenog diska

Kao što je više puta napomenuto, poznavajući potencijal polja tačkastog naboja i koristeći princip superpozicije, u principu je uvijek moguće izračunati potencijal polja stvoren bilo kojom raspodjelom naboja.

Nađimo, na primjer, potencijal električnog polja stvorenog na osi tankog diska polumjera R, jednoliko naelektrisan sa površinskom gustinom naelektrisanja (slika 1.57). Zbog aksijalne simetrije, u tačkama na osi, dvije komponente jačine polja okomito na osu su jednake nuli: , ostaje da se pronađe - komponenta polja usmjerena duž ose.

Može se proširiti u nizu, ograničeno na prva dva termina proširenja

Coulombov zakon i dimenzija prostora

Prostor u kojem živimo ima tri dimenzije. Drugim riječima, potrebne su tri koordinate (na primjer, u kartezijanskim ili sfernim sistemima) da bi se odredio položaj točke A(Sl. 1.58). Ispostavilo se da je broj 3 usko povezan sa oblikom Kulonovog zakona. Vidjeli smo da Ostrogradsky-Gaussova teorema slijedi iz Coulombovog zakona. Vrijedi i suprotno; Coulombov zakon se može izvesti iz Ostrogradsky-Gauss teoreme. Ali ova teorema je opštija od Coulombovog zakona. Posebno se odnosi na prostore s dimenzijom , gdje ona ne mora biti jednaka tri.

Dakle, u dvodimenzionalnom prostoru ulogu volumena igra naše područje. Zaista, sfera je lokus tačaka u prostoru jednako udaljenih od centra. Prema ovoj definiciji, dvodimenzionalna sfera je kružnica čiji je polumjer u dimenzionalnom svijetu proporcionalan dimenzionalnom svijetu.

Kada odavde dobijemo zakon inverznog kvadrata (Coulombov zakon). Kada otkrijemo U stvari, već smo upoznati sa ovim ponašanjem električnog polja. Upravo smo taj zakon (10.17) izveli za polje beskonačno nabijenog cilindra. Ako pažljivo razmislite i zapamtite lokaciju linija sila cilindra, postat će jasno da ništa ne ovisi o koordinatama duž osi cilindra. Dakle, ovaj sistem simulira električno polje u dvodimenzionalnom svijetu. Sada je lakše razumjeti da nabijena ravan oponaša točkasti naboj u jednodimenzionalnom svijetu: sve ovisi samo o jednoj koordinati - udaljenosti do ravnine. Ali gore smo otkrili da električno polje ne zavisi od ove udaljenosti. A iz formule (10.49) takođe sledi da intenzitet grad ) treba da da izraz za jačinu električnog polja.

Ovo dovodi do zanimljivih zaključaka. Budući da u jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom svijetu potencijali rastu u beskonačnosti, potrebna je beskonačno velika količina rada da bi se odvojila dva privlačna naboja. To znači da je u svjetovima male dimenzije moguće samo konačno kretanje dvaju privlačećih tijela (naboja, masa). Podsjetimo da se kretanje u ograničenom području prostora naziva konačno. Dakle, u svjetovima u kojima je nemoguće jonizirati atom, nemoguće je lansirati satelit izvan Sunčevog sistema, itd. U takvom svijetu ne bi bilo hemijskih reakcija, galaksije i zvijezde ne bi mogle evoluirati. Jednom riječju, život bi tamo bio stagnirajući dosadan.

Očekivalo bi se ugodnije vrijeme u višedimenzionalnim svjetovima. Nažalost, ovo se ispostavilo kao iluzija. Proučavanje jednačine kretanja

dovodi do zaključka da u suštini nema konačnog kretanja: ono se ostvaruje samo za kružne orbite, a i tada je nestabilno – najmanji poremećaj dovodi do pada elektrona (planete) u centar za privlačenje ili njegovog (njenog) bekstva u beskonačno velika udaljenost. Ispada da se u takvom svijetu atomi, planetarni sistemi i sve ostalo uopće nisu mogli formirati. Nema stabilnosti u svjetovima viših dimenzija - ovo je alternativa "ustajalim" niskodimenzionalnim svjetovima. Samo uz to je moguće i stabilno konačno i beskonačno kretanje. Ispostavilo se da je trodimenzionalni prostor jedini pogodan oblik postojanja i kretanja materije, barem nama poznatih tipova koje proučavamo u fizici.

Dodatne informacije

http://hea.iki.rssi.ru/~nik/astro/spher.htm - sferni koordinatni sistem;

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect3.ch2.tex - konačno kretanje, Keplerov problem.

Elektrostatičko polje ima dvije karakteristike: silu (napetost) i energiju (potencijal). Napetost i potencijal su različite karakteristike iste tačke u polju, stoga mora postojati veza između njih.

Rad pomeranja pozitivnog naboja jedne tačke iz jedne tačke u drugu duž x ose, pod uslovom da se tačke nalaze beskonačno blizu jedna drugoj i da je x 1 – x 2 = dx, jednak je qE x dx. Isti rad je jednak q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Izjednačavajući oba izraza, možemo napisati

Ponavljajući slično razmišljanje za y i z osi, možemo pronaći vektor:

gdje su jedinični vektori koordinatnih osa x, y, z.

Iz definicije gradijenta slijedi da

Ili (12.31)

one. jačina polja E jednaka je potencijalnom gradijentu sa predznakom minus. Znak minus je određen činjenicom da vektor napetosti E polje je usmjereno ka smanjenju potencijala.

Uspostavljena veza između napetosti i potencijala omogućava nam da pronađemo potencijalnu razliku između dvije proizvoljne tačke ovog polja koristeći poznatu jačinu polja.

Ø Polje jednoliko nabijene sfere radijus R

Jačina polja izvan sfere određena je formulom

Razlika potencijala između tačaka r 1 i r 2 (r 1 >R; r 2 >R) određuje se pomoću relacije

Dobijamo potencijal sfere ako je r 1 = R, r 2 → ∞:

Ø Polje jednoliko nabijenog beskonačno dugog cilindra

Jačina polja izvan cilindra (r >R) određena je formulom

(τ – linearna gustina).

Razlika potencijala između dvije tačke koje leže na udaljenosti r 1 i r 2 (r 1 >R; r 2 >R) od ose cilindra jednaka je

(12.32)

Ø Polje jednolično nabijene beskonačne ravni

Jačina polja ove ravni je određena formulom

(σ - površinska gustina).

Razlika potencijala između tačaka koje leže na udaljenosti x 1 i x 2 od ravni je jednaka

(12.33)

Ø Polje dvije suprotno nabijene beskonačne paralelne ravni

Jačina polja ovih ravni je određena formulom

Razlika potencijala između aviona je

(12.34)

(d – rastojanje između ravnina).

Primjeri rješavanja problema

Primjer 12.1. Naelektrisanja u tri tačke Q 1 =2nC, Q 2 =3nC i Q 3 =-4nC nalaze se u vrhovima jednakostraničnog trougla sa dužinom stranice a=10cm. Odredite potencijalnu energiju ovog sistema.

Dato: Q 1 =2nC=2∙10 -9 C; Q 2 =3nC=3∙10 -9 C; i Q 3 =-4nC=4∙10 -9 C; a=10cm=0.1m.

Nađi: U.

Rješenje: Potencijalna energija sistema naelektrisanja jednaka je algebarskom zbiru energija interakcije svakog od parova naelektrisanja u interakciji, tj.

U=U 12 +U 13 +U 23

gdje je, respektivno, potencijalne energije jednog od naboja smještenih u polju drugog naboja na udaljenosti A od njega su jednaki

; ; (2)

Zamenimo formule (2) u izraz (1) i pronađemo željenu potencijalnu energiju sistema naelektrisanja

odgovor: U=-0,126 μJ.

Primjer 12.2. Odrediti potencijal u centru prstena sa unutrašnjim poluprečnikom R 1 = 30 cm i spoljašnjim radijusom R 2 = 60 cm, ako je na njemu ravnomerno raspoređen naboj q = 5 nC.

Dato: R 1 =30cm=0,3m; R 2 =60cm=0,6m; q=5nC=5∙10 -9 C

Nađi: φ.

Rješenje: Podijelimo prsten na koncentrične beskonačno tanke prstenove sa unutrašnjim polumjerom r i vanjskim radijusom (r+dr).

Površina tankog prstena koji se razmatra (vidi sliku) dS=2πrdr.

Potencijal u centru prstena, stvoren beskonačno tankim prstenom,

gdje je površinska gustina naboja.

Da bi se odredio potencijal u centru prstena, treba aritmetički dodati dφ iz svih beskonačno tankih prstenova. Onda

S obzirom da je naelektrisanje prstena Q=σS, gde je S= π(R 2 2 -R 1 2) površina prstena, dobijamo željeni potencijal u centru prstena

Odgovori: φ=25V

Primjer 12.3.Dva istoimena tačkasta naelektrisanja (q 1 = 2 nC i q 2 = 5 nC) nalaze se u vakuumu na udaljenosti r 1 = 20 cm. Odrediti rad A koji je potrebno obaviti da bismo ih približili na rastojanje r 2 = 5 cm.

Dato: q 1 =2nCl=2∙10 -9 Cl; q 2 =5nCl=5∙10 -9 Cl ; r 1 = 20cm=0,2m; r 2 =5cm=0,05m.

Pronaci.

Rješenje: Rad koji vrše sile elektrostatičkog polja kada se naelektrisanje Q kreće od tačke polja sa potencijalom φ 1 do tačke sa potencijalom φ 2.

A 12 = q(φ 1 - φ 2)

Kada se naboji istog imena spoje, rad obavljaju vanjske sile, pa je rad ovih sila jednak po veličini, ali suprotan po predznaku radu Kulombovih sila:

A= -q(φ 1 - φ 2)= q(φ 2 - φ 1). (1)

Potencijali tačaka 1 i 2 elektrostatičkog polja

Zamijenivši formule (2) u izraz (1), nalazimo potreban rad koji se mora obaviti da bi se naboji približili,

odgovor: A=1,35 µJ.

Primjer 12.4.Elektrostatičko polje stvara pozitivno nabijena beskonačna nit. Proton, krećući se pod uticajem elektrostatičkog polja duž linije zatezanja od navoja sa udaljenosti r 1 = 2 cm do r 2 = 10 cm, promenio je brzinu od υ 1 = 1 mm/s do υ 2 = 5 mm /s. Odrediti linearnu gustinu naboja τ niti..

Dato: q=1,6∙10 -19 C; m=1,67∙10 -27 kg; r 1 =2cm=2∙10 -2 m; r 2 = 10cm=0,1m; r 2 =5cm=0,05m; υ 1 =1Mm/s=1∙10 6 m/s; do υ 2 =5Mm/s=5∙10 6 m/s.

Nađi:τ .

Rješenje: Rad koji vrše sile elektrostatičkog polja prilikom pomeranja protona iz tačke u polju sa potencijalom φ 1 u tačku sa potencijalom φ 2 ide na povećanje kinetičke energije protona

q(φ 1 - φ 2)=ΔT (1)

U slučaju navoja, elektrostatičko polje ima aksijalnu simetriju, dakle

Ili dφ=-Edr,

tada razlika potencijala između dvije tačke koje se nalaze na udaljenosti r 1 i r 2 od niti,

(uzmite u obzir da je jačina polja koju stvara jednolično nabijena beskonačna nit ).

Zamjenjujući izraz (2) u formulu (1) i uzimajući to u obzir , dobijamo

Odakle dolazi željena linearna gustina naboja niti?

Odgovori: τ = 4,33 µC/m.

Primjer 12.5.Elektrostatičko polje u vakuumu stvara kugla poluprečnika R = 8 cm, jednoliko naelektrisana sa zapreminskom gustinom ρ = 10 nC/m 3. Odrediti razliku potencijala između dvije tačke ovog polja koje leže od centra lopte na udaljenostima: 1) r 1 = 10 cm i r 2 = 15 cm; 2) r 3 = 2 cm i r 4 = 5 cm..

Dato: R=8cm=8∙10 -2 m; ρ=10nC/m 3 =10∙10 -9 nC/m3; r 1 =10cm=10∙10 -2 m;

r 2 =15cm=15∙10 -2 m; r 3 = 2cm=2∙10 -2 m; r 4 =5cm=5∙10 -2 m.

Nađi:1) φ 1 - φ 2; 2) φ 3 - φ 4.

Rješenje: 1) Razlika potencijala između dvije tačke koje se nalaze na udaljenosti r 1 i r 2 od centra lopte.

(1)

gdje je jačina polja koju stvara jednoliko nabijena kugla zapreminske gustine ρ u bilo kojoj tački koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njenog centra.

Zamjenom ovog izraza u formulu (1) i integracijom dobijamo željenu potencijalnu razliku

2) Razlika potencijala između dvije tačke koje leže na udaljenosti r 3 i r 4 od centra lopte,

(2)

gdje je jačina polja koju stvara jednoliko nabijena lopta zapreminske gustine ρ u bilo kojoj tački koja leži unutar lopte na udaljenosti r od njenog centra.

Zamjenom ovog izraza u formulu (2) i integracijom dobijamo željenu potencijalnu razliku

Odgovori: 1) φ 1 - φ 2 =0,643 V; 2) φ 3 - φ 4 =0,395 V

Formula

može se koristiti za pronalaženje potencijalne funkcije datog potencijalnog polja

a(x, y, z)=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Da bismo to učinili, fiksiramo početnu tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i povezujemo je sa trenutnom tačkom M (x, y, z) izlomljene linije M 0 ABM, čije su veze paralelne na koordinatne ose, odnosno, M 0 A?Ox , AV?Ou, VM?Oz (sl. 6.2). Tada će formula (6.6) poprimiti oblik

gdje su x, y, z koordinate trenutne tačke na segmentima izlomljene linije duž kojih se vrši integracija.

Primjer 6.7. Dokazati da je vektorsko polje

a= (e + z)i + (x + z)j + (x + y)k

je potencijal, i pronađite njegov potencijal.

Rješenje. 1. metoda. Neophodan i dovoljan uslov za potencijalnost polja a(M) je da je rot a(M) jednak nuli. U našem slučaju

tj. polje je potencijalno. Potencijal ovog polja pronalazimo pomoću formule (6.10). Uzmimo ishodište koordinata O(0, 0, 0) kao početnu fiksnu tačku. Onda dobijamo

gdje je C proizvoljna konstanta.

2. metoda. Po definiciji, potencijal je skalarna funkcija za koju je grad φ=a. Ova vektorska jednakost je ekvivalentna tri skalarne jednakosti:

Integrirajući (6.12) preko x, dobijamo

gdje je f(y, z) proizvoljna diferencijabilna funkcija y i z. Diferencirajući obje strane (6.12) s obzirom na y i uzimajući u obzir (6.11), dobijamo relaciju za pronalaženje još uvijek nedefinirane funkcije f(y, z). Imamo

Integrisavši (6.16) preko y, imamo

gdje je F(z) još nedefinirana funkcija od z. Zamjenom (6.17) u (6.11) dobivamo

Diferencirajući posljednju jednakost s obzirom na z i uzimajući u obzir relaciju (6.12), dobijamo jednačinu za nalaženje F(z):

Odavde, dakle.

3rd method. Po definiciji ukupnog diferencijala funkcije imamo

Zamjenjujući ovdje umjesto parcijalnih izvoda , , njihove izraze iz (6.10), (6.11), (6.12), dobijamo

dφ =(y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz

ili, nakon jednostavnih transformacija,

dφ=(ydx+xdy)+(zdx+xdz)+(ydz+zdy)=d(xy)+d(xz)+d(yz)=d(xy +xz +yz).

dφ=d(xy + yz + zh).

Iz toga slijedi

U slučaju kada je oblast Ω zvezdana sa centrom u početku O(0, 0, 0), potencijal φ(M) vektorskog polja a=a(M) u tački M(x, y, z) ) može se naći po formuli

gdje je r(M)=xi + yj + zk vektor radijusa tačke M(x, y, z), a tačka (tx,ty,tz) kada teče odsječak OM prave koja prolazi kroz tačke O i M.

Primjer 6.8. Pronađite potencijal vektorskog polja

a= yzi + xzj + xyk.

Rješenje. Lako je vidjeti da je rot a 0, tj. ovo vektorsko polje je potencijalno. Ovo polje je definisano u čitavom trodimenzionalnom prostoru, koji je zvezdan sa centrom u početku koordinata O(0, 0, 0), pa za pronalaženje njegovog potencijala koristimo formulu (6.12). Pošto u ovom slučaju

a( )=a(tx, ty, tz)= t 2 yzi + t 2 xzj + t 2 xyk,

zatim skalarni proizvod vektora a() I r(M) jednaki

(a( ), r(M))=t 2 (xyz+xyz+xyz)=3t 2 xyz.

U potrazi za potencijalom

Potencijal φ u bilo kojoj tački elektrostatičkog polja je fizička veličina određena potencijalnom energijom jediničnog pozitivnog naboja smještenog u ovoj tački. Potencijal polja stvoren tačkastim nabojem Q jednak je

Potencijal je fizička veličina koja je određena radom obavljenim za pomicanje jediničnog pozitivnog električnog naboja kada se ukloni iz date tačke u polju u beskonačnost. Ovaj rad je numerički jednak radu vanjskih sila (nasuprot silama elektrostatičkog polja) da pomjere jedinični pozitivan naboj iz beskonačnosti do date tačke u polju.

Jedinica potencijala je volt (V): 1 V je jednako potencijalu tačke u polju u kojoj naelektrisanje od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C). Uzimajući u obzir dimenziju volta, može se pokazati da je prethodno uvedena jedinica jačine elektrostatičkog polja zaista jednaka 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.

Iz formula (3) i (4) proizilazi da ako polje stvara više naboja, tada je potencijal datog polja sistema naboja jednak algebarskom zbiru potencijala polja svih ovih naboja:

Intenzitet u bilo kojoj tački električnog polja jednak je gradijentu potencijala u ovoj tački, uzetom sa suprotnim predznakom. Znak minus označava da je napon E usmjeren u smjeru opadanja potencijala.

E = - grad phi = - N phi.

Da bismo uspostavili vezu između karakteristike sile električnog polja - intenziteta i njegove energetske karakteristike - potencijala, razmotrimo elementarni rad sila električnog polja na beskonačno malom pomaku tačkastog naboja q: dA = q E dl, isti rad je jednako smanjenju potencijalne energije naboja q: dA = - dWp = - q dphi, gdje je dphi promjena potencijala električnog polja na dužini pomaka dl. Izjednačavajući desne strane izraza, dobijamo: E dl = -d phi ili u Dekartovom koordinatnom sistemu

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

gdje su Ex, Ey, Ez projekcije vektora napetosti na ose koordinatnog sistema. Pošto je izraz totalni diferencijal, onda za projekcije vektora intenziteta imamo

Izraz u zagradama je gradijent potencijalnog phi.

Princip superpozicije kao osnovno svojstvo polja. Opšti izrazi za jačinu i potencijal polja stvorenog u tački sa radijus vektorom sistemom tačkastih naelektrisanja smeštenih u tačkama sa koordinatama (vidi paragraf 4)

Ako uzmemo u obzir princip superpozicije u najopćenitijem smislu, onda će prema njemu zbir utjecaja vanjskih sila koje djeluju na česticu biti zbir pojedinačnih vrijednosti svake od njih. Ovaj princip se odnosi na različite linearne sisteme, tj. sistema čije se ponašanje može opisati linearnim odnosima. Primjer bi bila jednostavna situacija u kojoj se linearni val širi u određenom mediju, u kom slučaju će njegova svojstva biti očuvana čak i pod utjecajem smetnji koje proizlaze iz samog vala. Ova svojstva su definisana kao specifičan zbir efekata svake od harmoničnih komponenti.

Princip superpozicije može uzeti i druge formulacije koje su potpuno ekvivalentne gore navedenom:

· Interakcija između dvije čestice se ne mijenja kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.

· Energija interakcije svih čestica u sistemu sa više čestica je jednostavno zbir energija interakcija parova između svih mogućih parova čestica. U sistemu nema interakcija sa više čestica.

· Jednačine koje opisuju ponašanje sistema sa više čestica su linearne po broju čestica.

6 Kruženje vektora napona je rad koji obavljaju električne sile prilikom kretanja jednog pozitivnog naboja duž zatvorene putanje L

Pošto je rad sila elektrostatičkog polja duž zatvorene petlje jednak nuli (rad sila potencijalnog polja), stoga je cirkulacija jakosti elektrostatičkog polja duž zatvorene petlje nula.

Potencijal polja. Rad bilo kojeg elektrostatičkog polja pri kretanju nabijenog tijela u njemu iz jedne tačke u drugu također ne ovisi o obliku putanje, baš kao i rad jednoličnog polja. Na zatvorenoj putanji rad elektrostatičkog polja je uvijek nula. Polja sa ovim svojstvom nazivaju se potencijalnim. Konkretno, elektrostatičko polje tačkastog naboja ima potencijalni karakter.
Rad potencijalnog polja može se izraziti kroz promjenu potencijalne energije. Formula vrijedi za bilo koje elektrostatičko polje.

7-11 Ako linije polja jednolikog električnog polja sa intenzitetom prodiru kroz određeno područje S, tada će tok vektora intenziteta (ranije smo nazivali broj linija polja kroz područje) biti određen formulom:

gdje je En proizvod vektora i normale na datu oblast (slika 2.5).

Rice. 2.5

Ukupan broj linija sile koje prolaze kroz površinu S naziva se fluks vektora intenziteta FU kroz ovu površinu.

U vektorskom obliku možemo napisati skalarni proizvod dva vektora, gdje je vector .

Dakle, vektorski fluks je skalar, koji, ovisno o vrijednosti ugla α, može biti pozitivan ili negativan.

Pogledajmo primjere prikazane na slikama 2.6 i 2.7.

	Rice. 2.6	Rice. 2.7

Za sliku 2.6, površina A1 je okružena pozitivnim nabojem i tok je ovdje usmjeren prema van, tj. Površina A2– je okružena negativnim nabojem, ovdje je usmjerena prema unutra. Ukupni tok kroz površinu A je nula.

Za sliku 2.7, fluks neće biti nula ako ukupni naboj unutar površine nije nula. Za ovu konfiguraciju, fluks kroz površinu A je negativan (izbrojite broj linija polja).

Dakle, fluks vektora napona zavisi od naboja. Ovo je značenje Ostrogradskog-Gaussove teoreme.

Gaussova teorema

Eksperimentalno utvrđeni Kulonov zakon i princip superpozicije omogućavaju da se u potpunosti opiše elektrostatičko polje datog sistema naelektrisanja u vakuumu. Međutim, svojstva elektrostatičkog polja mogu se izraziti u drugom, općenitijem obliku, bez pribjegavanja ideji Kulombovog polja točkastog naboja.

Hajde da uvedemo novu fizičku veličinu koja karakteriše električno polje – protok Φ vektora jačine električnog polja. Neka postoji neka prilično mala površina ΔS koja se nalazi u prostoru u kojem se stvara električno polje. Proizvod vektorskog modula površine ΔS i kosinusa ugla α između vektora i normale na lokaciju naziva se elementarni tok vektora intenziteta kroz lokaciju ΔS (slika 1.3.1):

Razmotrimo sada neku proizvoljnu zatvorenu površinu S. Ako ovu površinu podijelimo na male površine ΔSi, odredimo elementarne tokove ΔΦi polja kroz ove male površine, a zatim ih zbrojimo, onda kao rezultat dobijemo protok Φ polja vektor kroz zatvorenu površinu S (slika 1.3.2):

Gaussova teorema glasi:

Protok vektora jakosti elektrostatičkog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naboja koji se nalaze unutar ove površine, podijeljen s električnom konstantom ε0.

gdje je R polumjer sfere. Tok Φ kroz sfernu površinu bit će jednak proizvodu E i površine sfere 4πR2. dakle,

Okružimo sada tačkasto naelektrisanje sa proizvoljnom zatvorenom površinom S i razmotrimo pomoćnu sferu poluprečnika R0 (slika 1.3.3).

Razmotrimo konus sa malim čvrstim uglom ΔΩ na vrhu. Ovaj konus će istaknuti malu površinu ΔS0 na sferi i površinu ΔS na površini S. Elementarni tokovi ΔΦ0 i ΔΦ kroz ove oblasti su isti. stvarno,

Na sličan način se može pokazati da ako zatvorena površina S ne pokriva tačkasti naboj q, onda je protok Φ = 0. Takav slučaj je prikazan na Sl. 1.3.2. Sve linije sile električnog polja tačkastog naelektrisanja prodiru kroz zatvorenu površinu S. Unutar površine S nema naelektrisanja, tako da se u ovoj oblasti linije polja ne prekidaju niti nastaju.

Generalizacija Gaussove teoreme na slučaj proizvoljne raspodjele naboja slijedi iz principa superpozicije. Polje bilo koje raspodjele naboja može se predstaviti kao vektorski zbir električnih polja tačkastih naboja. Protok Φ sistema naelektrisanja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S biće zbir tokova Φi električnih polja pojedinačnih naelektrisanja. Ako se naboj qi nalazi unutar površine S, onda daje doprinos protoku jednak ako je ovaj naboj izvan površine, tada će doprinos njegovog električnog polja protoku biti jednak nuli.

Dakle, Gaussova teorema je dokazana.

Gaussova teorema je posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Ali ako tvrdnju sadržanu u ovoj teoremi uzmemo kao početni aksiom, onda će njena posljedica biti Coulombov zakon. Stoga se Gaussova teorema ponekad naziva alternativnom formulacijom Coulombovog zakona.

Koristeći Gaussov teorem, u nekim slučajevima moguće je lako izračunati jačinu električnog polja oko nabijenog tijela ako data raspodjela naboja ima neku simetriju i opća struktura polja se može unaprijed pogoditi.

Primjer je problem izračunavanja polja tankostjenog, šupljeg, jednoliko nabijenog dugog cilindra polumjera R. Ovaj problem ima aksijalnu simetriju. Iz razloga simetrije, električno polje mora biti usmjereno duž radijusa. Stoga je za primjenu Gaussove teoreme preporučljivo izabrati zatvorenu površinu S u obliku koaksijalnog cilindra nekog polumjera r i dužine l, zatvorenu na oba kraja (slika 1.3.4).

Za r ≥ R, cijeli tok vektora intenziteta proći će kroz bočnu površinu cilindra, čija je površina jednaka 2πrl, jer je fluks kroz obje baze jednak nuli. Primjena Gaussove teoreme daje:

Ovaj rezultat ne zavisi od poluprečnika R nabijenog cilindra, pa se odnosi i na polje dugog ravnomerno nabijenog filamenta.

Da bi se odredila jačina polja unutar nabijenog cilindra, potrebno je konstruirati zatvorenu površinu za slučaj r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Na sličan način može se primijeniti Gaussova teorema za određivanje električnog polja u nizu drugih slučajeva kada raspodjela naelektrisanja ima neku vrstu simetrije, na primjer, simetriju oko centra, ravni ili ose. U svakom od ovih slučajeva potrebno je odabrati zatvorenu Gausovu površinu odgovarajućeg oblika. Na primjer, u slučaju centralne simetrije, zgodno je odabrati Gaussovu površinu u obliku sfere sa centrom u tački simetrije. Sa aksijalnom simetrijom, zatvorena površina mora biti odabrana u obliku koaksijalnog cilindra, zatvorenog na oba kraja (kao u primjeru koji je gore razmotren). Ako raspodjela naelektrisanja nema nikakvu simetriju i ne može se pogoditi opća struktura električnog polja, primjena Gaussove teoreme ne može pojednostaviti problem određivanja jačine polja.

Razmotrimo još jedan primjer simetrične raspodjele naboja – određivanje polja jednoliko nabijene ravni (slika 1.3.5).

U ovom slučaju, preporučljivo je odabrati Gaussovu površinu S u obliku cilindra određene dužine, zatvorene na oba kraja. Osa cilindra je usmjerena okomito na nabijenu ravninu, a njegovi krajevi se nalaze na istoj udaljenosti od nje. Zbog simetrije, polje jednoliko nabijene ravni mora biti svuda usmjereno duž normale. Primjena Gaussove teoreme daje:

gdje je σ površinska gustina naboja, tj. naboj po jedinici površine.

Rezultirajući izraz za električno polje ravnomjerno nabijene ravni je također primjenjiv u slučaju ravnih nabijenih područja konačne veličine. U ovom slučaju, udaljenost od tačke u kojoj se određuje jačina polja do nabijene površine treba biti znatno manja od veličine površine.

I rasporedi za 7-11

1. Intenzitet elektrostatičkog polja stvorenog od jednolično nabijene sferne površine.

Neka sferna površina poluprečnika R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustina naelektrisanja u bilo kojoj tački sfere će biti ista.

a. Zagradimo našu sfernu površinu u simetričnu površinu S poluprečnika r>R. Tok vektora napetosti kroz površinu S bit će jednak

Po Gaussovoj teoremi

Dakle

c. Provučemo kroz tačku B, koja se nalazi unutar nabijene sferne površine, sferu S polumjera r

2. Elektrostatičko polje lopte.

Neka imamo kuglu poluprečnika R, jednoliko nabijenu zapreminskom gustinom.

U bilo kojoj tački A koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njenog centra (r>R), njeno polje je slično polju tačkastog naboja koji se nalazi u centru lopte. Onda van lopte

(13.10)

i na njegovoj površini (r=R)

(13.11)

U tački B, koja leži unutar lopte na udaljenosti r od njenog centra (r>R), polje je određeno samo naelektrisanjem zatvorenom unutar kugle poluprečnika r. Tok vektora napetosti kroz ovu sferu je jednak

s druge strane, u skladu sa Gaussovom teoremom

Iz poređenja posljednjih izraza slijedi

(13.12)

gdje je dielektrična konstanta unutar lopte. Zavisnost jačine polja koju stvara naelektrisana sfera od udaljenosti do centra lopte prikazana je na (sl. 13.10)

Neka ravnina ima beskonačan opseg i naboj po jedinici površine jednak σ. Iz zakona simetrije proizilazi da je polje usmjereno svuda okomito na ravan, a ako nema drugih vanjskih naboja, onda polja na obje strane ravni moraju biti ista. Ograničimo dio nabijene ravni na zamišljenu cilindričnu kutiju, tako da je kutija presječena na pola i njeni sastojci su okomiti, a dvije baze, od kojih svaka ima površinu S, paralelne sa nabijenom ravninom (slika 1.10).

Ukupan vektorski protok; napetost je jednaka vektoru pomnoženom površinom S prve baze, plus fluks vektora kroz suprotnu bazu. Tok napetosti kroz bočnu površinu cilindra je nula, jer linije napetosti ih ne seku. dakle, S druge strane, prema Gaussovoj teoremi

dakle,

(13.15)

Izvan ploče, vektori iz svakog od njih su usmjereni u suprotnim smjerovima i međusobno se poništavaju. Stoga će jačina polja u prostoru koji okružuje ploče biti nula E=0.

12. Polje jednoliko nabijene sfere.

Neka električno polje stvara naboj Q, jednoliko raspoređena po površini sfere poluprečnika R(Sl. 190). Za izračunavanje potencijala polja u proizvoljnoj tački koja se nalazi na udaljenosti r iz centra sfere, potrebno je izračunati rad polja pri pomeranju jediničnog pozitivnog naelektrisanja iz date tačke u beskonačnost. Prethodno smo dokazali da je jačina polja jednolično nabijene sfere izvan nje ekvivalentna polju tačkastog naboja smještenog u središtu sfere. Prema tome, izvan sfere, potencijal polja sfere će se poklopiti sa potencijalom polja tačkastog naboja

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Konkretno, na površini sfere potencijal je jednak φ 0=Q 4πε 0R. Unutar sfere nema elektrostatičkog polja, tako da je rad obavljen da se naboj pomjeri iz proizvoljne tačke koja se nalazi unutar sfere na njenu površinu jednak nuli A= 0, stoga je razlika potencijala između ovih tačaka također nula Δ φ = -A= 0. Prema tome, sve tačke unutar sfere imaju isti potencijal, koji se poklapa sa potencijalom njene površine φ 0=Q 4πε 0R .

Dakle, raspodjela potencijala polja jednolično nabijene sfere ima oblik (Sl. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Imajte na umu da unutar sfere nema polja, a potencijal je različit od nule! Ovaj primjer je jasna ilustracija činjenice da je potencijal određen vrijednošću polja od date tačke do beskonačnosti.